Środkowe w trójkącie

Dowód twierdzenia mówiącego, że w trójkącie odcinek łączący środki dwóch boków jest równy połowie długości trzeciego i jest do niego równoległy.

1. Dowód Twierdzenia
Odcinek łączący środki dwóch
boków trójkąta jest równoległy do
trzeciego boku i równy połowie
jego długości.

2. Założenia i teza
Weźmy dowolny trójkąt ABC. Zaznaczmy środki
boków BC i AC i oznaczamy je jako A
1
i B
1
.
Pokażemy, że:
AB || A
1
B
1
|AB| = 2|A
1
B
1
|

3. Dowód: AB || A
1
B
1
Połączmy odcinkami punkty A
1
,B
1
i C
1
.
Korzystając z odpowiednich własności trójkątów
przystających i podobnych możemy oznaczyć kąty
w trójkątach jak na poniższym rysunku.
Zaznaczmy środek odcinka AB i opiszmy go jako C
1

4. Dowód: AB || A
1
B
1
Proste e i d przecięte prostą B
1
C
1
tworzą identyczne kąty
naprzemianległe, a więc prosta e jest równoległa do
prostej d.
Udowodniliśmy, że AB || A
1
B
1

5. Dowód: |AB| = 2|A
1
B
1
|
Z twierdzenia Talesa mamy następującą równość:
∣AB∣
∣A
1B
1∣
=
∣BC∣
∣A
1C∣
Wiemy, że A
1
jest środkiem
odcinka BC, więc:
∣AB∣
∣A
1
B
1
∣
=
2∣A
1
C∣
∣A
1
C∣
=2
Ostatecznie:
∣AB∣=2∣A
1
B
1
∣ Analogicznie z pozostałymi bokami
Udowodniliśmy, że odcinek łączący środki dwóch boków
trójkąta jest równy połowie długości trzeciego boku