S. DIÉDRICO. INTERSECCIÓN DE PLANOS Y RECTAS CON PLANOS. 2º BACHILLERATO

Documento destinado fundamentalmente al alumnado de Dibujo Técnico de 2º de Bachillerato donde se muestran ejercicios de intersecciones entre planos y entre rectas y planos en el Sistema Diédrico.

1. DIBUJO TÉCNICO II. 2º BACHILLERATO
T8. SISTEMA DIÉDRICO I
INTERSECCIÓN ENTRE PLANOS Y ENTRE RECTA Y PLANO
A2
A
B
M2B2
B1
r2
r
b2
a2
M
Vm2

2. A1
A2 r2
s1
B1
B2
C2
O
C1
r1
s2
DT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTASDT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTAS
1. Dibuja las trazas del plano determinado por la recta horizontal
r: A (-70, 0, 30), C (0, 40, 30) y la frontal s: B (-30, 40, 0),
C ( 0, 40, 30). Representa en el plano las líneas de
máxima pendiente y de máxima inclinación

3. V1r-A1
V2r-A2
r2
s1
H1s-B1
H2s-B2
C2
O
1. Se hallan las trazas
vertical V2r y
horizontal H1s
de las rectas dadas
C1
r1
s2
1. Dibuja las trazas del plano determinado por la recta horizontal
r: A (-70, 0, 30), C (0, 40, 30) y la frontal s: B (-30, 40, 0),
C ( 0, 40, 30). Representa en el plano las líneas de
máxima pendiente y de máxima inclinación
DT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTAS

4. 2. La traza horizontal a1 del plano
pasará por la traza horizontal H1s.
Además, será paralela a la
proyección horizontal r1 por
ser la recta r una recta horizontal
1. Dibuja las trazas del plano determinado por la recta horizontal
r: A (-70, 0, 30), C (0, 40, 30) y la frontal s: B (-30, 40, 0),
C ( 0, 40, 30). Representa en el plano las líneas de
máxima pendiente y de máxima inclinación
a1
V2r-A2
r2
s1
H1s-B1
C2
O
C1
r1
s2
V1r-A1
H2s-B2
DT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTAS

5. a1
a2
V2r-A2
r2
s1
H1s-B1
C2
O
C1
r1
s2
3. La traza vertical a2 pasa por la
traza vertical V2r, y es paralela a
la proyección vertical s2 por ser
la recta r una recta frontal
1. Dibuja las trazas del plano determinado por la recta horizontal
r: A (-70, 0, 30), C (0, 40, 30) y la frontal s: B (-30, 40, 0),
C ( 0, 40, 30). Representa en el plano las líneas de
máxima pendiente y de máxima inclinación
V1r-A1
H2s-B2
DT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTAS

6. 1. Dibuja las trazas del plano determinado por la recta horizontal
r: A (-70, 0, 30), C (0, 40, 30) y la frontal s: B (-30, 40, 0),
C ( 0, 40, 30). Representa en el plano las líneas de
máxima pendiente y de máxima inclinación
4. Por el punto C de intersección de las
rectas r y s se traza la recta m de
MÁXIMA PENDIENTE, de manera
que m1 sea perpendicular a la
traza horizontal a1 del plano
a1
V2r-A2
r2
r1
s1
m1
m2
s2
C1
H1s-B1
C2
O
H1m
V2m
a2
V1mH2m
O
V1r-A1
H2s-B2
DT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTAS

7. 1. Dibuja las trazas del plano determinado por la recta horizontal
r: A (-70, 0, 30), C (0, 40, 30) y la frontal s: B (-30, 40, 0),
C ( 0, 40, 30). Representa en el plano las líneas de
máxima pendiente y de máxima inclinación
5. De igual manera, por el punto C
se traza la recta n de
MÁXIMA INCLINACIÓN,
de manera que n2 sea
perpendicular a a2
a1
V2r-A2
r2
r1
s1
m1
m2
n2
n1
s2
C1
H1s-B1
C2
O
H1m
H1n
V2m
V2n
a2
V1n
H2n
O
V1mH2mV1r-A1
H2s-B2
DT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTAS

8. A1
a1
V2r-A2
r2
r1
s1
m1
m2
n2
n1
s2
C1
H1s-B1
B2
C2
O
H1m
H2m
V2m
a1
V2r-A2
r2
s1
H1s-B1
C2
O
C1
r1
s2
a2
V1r-A1 V1r-A1
a1
V2r-A2
r2
s1
H1s-B1
H2s-B2 H2s-B2
C2
O
C1
r1
s2
5. De igual manera, por el punto C se traza la
recta n de MÁXIMA INCLINACIÓN,
de manera que n2 sea perpendicular a a2
4. Por el punto C de intersección de las rectas r y s
se traza la recta m de MÁXIMA PENDIENTE,
de manera que m1 sea perpendicular a la
traza horizontal a1 del plano
3. La traza vertical a2 pasa por la traza vertical V2r,
y es paralela a la proyección vertical s2 por ser
la recta r una recta frontal
2. La traza horizontal a1 del plano pasará por la traza
horizontal H1s. Además, será paralela a la
proyección horizontal r1 por
ser la recta r una recta horizontal
1. Se hallan las trazas vertical V2r y horizontal H1s
de las rectas dadas
H1n
H2n
V2n
V1n
1. Dibuja las trazas del plano determinado por la recta horizontal r: A (-70, 0, 30), C (0, 40, 30) y la frontal s: B (-30, 40, 0),
C ( 0, 40, 30). Representa en el plano las líneas de máxima pendiente y de máxima inclinación
DT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTAS

9. 2. Por el punto P (0, 55, 25) traza un plano a paralelo al segundo plano bisector.
O
P2
P1
DT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTAS

10. 2. Por el punto P (0, 55, 25) traza un plano a paralelo al segundo plano bisector.
1. Se traza un plano p
de perfil cualquiera
O
P2
p2
p1
P1
DT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTAS

11. 2. Por el punto P (0, 55, 25) traza un plano a paralelo al segundo plano bisector.
2. Se halla la tercera proyección
P3 del punto P
O
P2 P3
p2
p1
P1
DT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTAS

12. 2. Por el punto P (0, 55, 25) traza un plano a paralelo al segundo plano bisector.
3.Trazamos el 2º BISECTOR, a
135º de la LT
O
135º
P2 P3
2º bis.
p2
p1
P1
DT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTAS

13. 2. Por el punto P (0, 55, 25) traza un plano a paralelo al segundo plano bisector.
4. La traza a3 es paralela
a la traza del 2º bisector
y pasa por P3
O
P2 P3
2º bis.
p2
p1
P1
a3
DT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTAS

14. 2. Por el punto P (0, 55, 25) traza un plano a paralelo al segundo plano bisector.
5. Una vez tenemos a3
podemos trazar a1 y a2,
paralelas a la LT y
perpendiculares al
P Perfil
O
P2 P3
2º bis.
p2
a3
a2
a1
p1
P1
DT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTAS

15. 2. Por el punto P (0, 55, 25) traza un plano a paralelo al segundo plano bisector.
DT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTAS

16. 2. Por el punto P (0, 55, 25) traza un plano a paralelo al segundo plano bisector.
DT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTAS

17. 2. Por el punto P (0, 55, 25) traza un plano a paralelo al segundo plano bisector.
DT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTAS

18. 2. Por el punto P (0, 55, 25) traza un plano a paralelo al segundo plano bisector.
DT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTAS

19. 2. Por el punto P (0, 55, 25) traza un plano a paralelo al segundo plano bisector.
DT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTAS

20. 2. Por el punto P (0, 55, 25) traza un plano a paralelo al segundo plano bisector.
DT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTAS

21. 2. Por el punto P (0, 55, 25) traza un plano a paralelo al segundo plano bisector.
O
P2
P1
1. Se traza un plano p
de perfil cualquiera
O
P2
p2
p1
P1
2. Se halla la tercera proyección
P3 del punto P
O
P2 P3
p2
p1
P1
DT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTAS

22. 2. Por el punto P (0, 55, 25) traza un plano a paralelo al segundo plano bisector.
5. Una vez tenemos a3, podemos trazar a1 y a2,
paralelas a la LT y perpendiculares al P Perfil
O
P2 P3
2º bis.
p2
a3
a2
a1
p1
P1
4. La traza a3 es paralela a la traza del
2º bisector y pasa por P3
O
P2 P3
2º bis.
p2
p1
P1
a3
3.Trazamos el 2º BISECTOR,
a 135º de la LT
O
135º
P2 P3
2º bis.
p2
p1
P1
DT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTAS

23. 3. Dadas las proyecciones diédricas de un punto P (-20, 30, 15) y de una recta r: A (0, 20, 0) B ( 20, 20, 20),
haya las trazas del plano a que determinan.
O
P2
A2
B2
r2
r1
B1
A1
P1
DT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTAS

24. 3. Dadas las proyecciones diédricas de un punto P (-20, 30, 15) y de una recta r: A (0, 20, 0) B ( 20, 20, 20),
haya las trazas del plano a que determinan.
1. Elegimos un punto M cualquiera
de la recta r que tenga M1 en r1 y
m2 en r2
O
P2
A2
B2
r2
r1
B1M1
M2
A1
P1
DT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTAS

25. 3. Dadas las proyecciones diédricas de un punto P (-20, 30, 15) y de una recta r: A (0, 20, 0) B ( 20, 20, 20),
haya las trazas del plano a que determinan.
2. Unimos P y M mediante
la recta m y hallamos
sus trazas V2 y H1
O
P2
A2
B2
r2
r1
Hm2 Vm1
B1M1
Hm1 Vm2
M2
m2
m1
A1
P1
DT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTAS

26. 3. Dadas las proyecciones diédricas de un punto P (-20, 30, 15) y de una recta r: A (0, 20, 0) B ( 20, 20, 20),
haya las trazas del plano a que determinan.
3. El problema estriba en tener
las trazas de r y de m
para situar el plano
resultante. La traza H1 de r
coincide con A1
O
P2
Hr2-A2
B2
r2
r1
B1M1
Hm1 Vm2
M2
m2
Hr1=A1
P1
m1
Hm2 Vm1
DT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTAS

27. 3. Dadas las proyecciones diédricas de un punto P (-20, 30, 15) y de una recta r: A (0, 20, 0) B ( 20, 20, 20),
haya las trazas del plano a que determinan.
4. La traza horizontal a1del plano a
es la que une las trazas
horizontales de r y m (Hr1-Hm1)
O
P2
B2
r2
r1
B1M1
Hm1 Vm2
M2
m2
a1
Hr1=A1
P1
m1
Hr2-A2
Hm2 Vm1
DT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTAS

28. 3. Dadas las proyecciones diédricas de un punto P (-20, 30, 15) y de una recta r: A (0, 20, 0) B ( 20, 20, 20),
haya las trazas del plano a que determinan.
5. La traza vertical a2 se halla al unir
la traza vertical Vm2 con el vértice del
plano (punto donde corta a1 con la LT)
O
P2
B2
r2
r1
B1M1
Hm1 Vm2
M2
m2
a1
a2
Hr1=A1
P1
m1
Hr2-A2
Hm2 Vm1
DT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTAS

29. 3. Dadas las proyecciones diédricas de un punto P (-20, 30, 15) y de una recta r: A (0, 20, 0) B ( 20, 20, 20),
haya las trazas del plano a que determinan.
5. La traza vertical a2 se halla al unir la traza vertical
Vm2 con el vértice del plano
(punto donde corta a1 con la LT)
O
P2
B2
r2
r1
B1M1
Hm1 Vm2
M2
m2
a1
a2
P1
m1
O
P2
B2
r2
r1
B1M1
Hm1 Vm2
M2
m2
a1
P1
m1
4. La traza horizontal a1del plano a es la que
une las trazas horizontales de r y m (Hr1-Hm1)
O
P2
Hr1=A2
B2
r2
r1
B1M1
Hm1 Vm2
M2
m2
Hr1=A1
P1
m1
3. El problema estriba en tener las trazas de r y
de m para situar el plano resultante.
La traza H1 de r coincide con A1
O
P2
A2
B2
r2
r1
B1M1
Hm1
Hm2
Hm2Hm2Hm2
Vm2
Vm1
Vm1Vm1Vm1
M2
m2
m1
A1
P1
2. Unimos P y M mediante la recta m y hallamos
sus trazas V2 y H1
O
P2
A2
B2
r2
r1
B1M1
M2
A1
P1
1. Elegimos un punto M cualquiera de la recta r
que tenga M1 en r1 y m2 en r2
Datos:
O
P2
A2
B2
r2
r1
B1
A1
P1
Hr1=A2 Hr1=A2
Hr1=A1 Hr1=A1
DT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTAS

30. 4. Halla el punto de intersección de los tres planos dados
a2
a1
b2
b1
g2
g1
DT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTAS

31. 4. Halla el punto de intersección de los tres planos dados
1. Se halla la recta r
de intersección
de los planos
a y b.a2
a1 b1
g2
g1
r1
r2
Vr2
Hr1
b2
DT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTAS

32. 4. Halla el punto de intersección de los tres planos dados
2. Se halla la recta s
de intersección de
los planos a y g
a2
a1
b2
b1
g2
g1
r1
r2
s2
s1
Vr2
Vs2
Hr1
Hs1
DT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTAS

33. 4. Halla el punto de intersección de los tres planos dados
3. Donde se cortan
r y s se encuentra
el punto P
solicitado
a2
a1
b2
b1
g2
g1
r1
r2
s2
s1
Vr2
P2
P1
Vr2
Hr1
Hs1
DT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTAS

34. 4. Halla el punto de intersección de los tres planos dados
3. Donde se cortan
r y s se encuentra
el punto P
solicitado
a2
a1
b2
b1
g2
g1
r1
r2
s2
s1
Vr2
P2
P1
Vs2
Vs1
Hr1
Hs1
Hs2
2. Se halla la recta s
de intersección de
los planos a y g
a2
a1
b2
b1
g2
g1
r1
r2
s2
s1
Vr2
Vs2
Vs1
Hr1
Hs1
Hs2
1. Se halla la recta r
de intersección
de los planos
a y b.a2
a1 b1
g2
g1
r1
r2
Vr2
Vr1
Vr1 Vr1-
Hr1
Hr2
Hr2 Hr2
b2
a2
a1
b2
b1
g2
g1
DT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTAS

35. 5. Halla la intersección de los cuatro pares de planos dados
a2
a2
a1
a1
a1
a2
a1
b2
b1
b2
b2
b1 b1
b2
DT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTAS

36. 5. Halla la intersección de los cuatro pares de planos dados
5a. b= Plano paralelo al P. Horizontal/ a= Plano oblicuo a los dos planos de proyección
a1
a2
b2
DT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTAS

37. 5. Halla la intersección de los cuatro pares de planos dados
5a. b= Plano paralelo al P. Horizontal/ a= Plano oblicuo a los dos planos de proyección
a1
a1
a2
b2= r2
b2= r2
r
Por ser b paralelo al PH, la recta r
de intersección con a es una recta
horizontal que pertenece a ambos planos,
por tanto r2 coincide con b2,
y r1 es paralela a a1
r1
r1
V2
V2
a2
DT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTAS

38. 5. Halla la intersección de los cuatro pares de planos dados
a2
a1
b1
b2
5b. b y a= Planos oblicuos a los dos planos de proyección
DT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTAS

39. 5. Halla la intersección de los cuatro pares de planos dados
a2
a1
b1
b2
5b. b y a= Planos oblicuos a los dos planos de proyección
1. Localizamos las trazas V y H,
que estarán donde se corten
las trazas de los planos:
b1-a1 y b2-a2
V2
V1
H1
H2
DT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTAS

40. 5. Halla la intersección de los cuatro pares de planos dados
a2
a1b1
b2
5b. b y a= Planos oblicuos a los dos planos de proyección
2. Uniendo H1 con V1 y H2 con V2 obtenemos la recta
intersección. Lo único que hay que tener en cuenta es
la visibilidad de la recta, que queda visible a partir de
su traza V2 hacia el Primer Cuadrante
V2
V1
r2
r1
H1
H2
DT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTAS

41. 5a. Halla la intersección de a y b. = Plano paralelo al P. Horizontal / a= Plano oblicuo a los dos planos de proyección
5b. Halla la in tersección de los planos b y a. Ambos son Planos oblicuos a los dos planos de proyección
a2
a1
b1
b2
a2
a1
b1
b2
V2
V1
H1
H2
a2
a1b1
b2
V2
V1
r2
r1
H1
H2
a1
a2
a2
b2
a1
b2= r2
r1
V2
V1
DT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTAS

42. 5 Halla la intersección de los cuatro pares de planos dados
a2
a1
b2
b1
5c. b= Plano proyectante Horizontal y a= Plano oblicuo a los dos planos de proyección
DT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTAS

43. 5. Halla la intersección de los cuatro pares de planos dados
a2
a1
b2
=b1
1. Donde a1 y b1 se cortan tenemos H1.
Dado que b es proyectante horizontal, la
proyección horizontal r1 coincidirá con
la traza horizontal b1 del plano b
5c. b= Plano proyectante Horizontal y a= Plano oblicuo a los dos planos de proyección
H1
r1
DT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTAS

44. 5. Halla la intersección de los cuatro pares de planos dados
a2
a1
b2
2. Donde a1 y b1 se cortan tenemos V2.
Uniendo V2 y H2 tenemos la traza r2
5c. b= Plano proyectante Horizontal y a= Plano oblicuo a los dos planos de proyección
H1
H2
V2
V1
=b1r1
r2
DT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTAS

45. 5. Halla la intersección de los cuatro pares de planos dados
a1
a2
b2
b1
5d. b= Plano proyectante Vertical y a= Plano proyectante horizontal
DT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTAS

46. 1. Como ambos planos son
proyectantes, r1 coincide
con a1 y r2 con b2
5. Halla la intersección de los cuatro pares de planos dados
a1
a2
b2
b1
5d. b= Plano proyectante Vertical y a= Plano proyectante horizontal
r2=
=r1
DT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTAS

47. 4d. b= Plano proyectante Vertical y a= Plano proyectante horizontal
5d. b= Plano proyectante Horizontal y a= Plano oblicuo a los dos planos de proyección
1. Como ambos planos son
proyectantes, r1 coincide
con a1 y r2 con b2
a1
a2
b2
b1
r2=
=r1
a1
a2
b2
b1
a2
a1
b2
b1
a2
a1
b2
=b1
H1
r1
1. Donde a1 y b1 se cortan tenemos H1.
Dado que b es proyectante horizontal, la
proyección horizontal r1 coincidirá con
la traza horizontal b1 del plano b
a2
a1
b2
2. Donde a1 y b1 se cortan tenemos V2.
Uniendo V2 y H2 tenemos la traza r2
H1
H1
H2
V2
V1
H2
V2
V2
V1V1
=b1r1
r2
DT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTAS

48. 6. Determina el punto de intersección de la recta r con el triángulo dado. Considerando el triángulo opaco,
diferencia las partes vistas y ocultas de la recta en cada proyección
r2
r1
A1
A2
B2
C2
C1
B1
DT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTAS

49. 6. Determina el punto de intersección de la recta r con el triángulo dado. Considerando el triángulo opaco,
diferencia las partes vistas y ocultas de la recta en cada proyección
1. Se determina el plano a,
proyectante horizontal,
que contiene a la recta r:
La traza horizontal a1
coincide con la
proyección horizontal r1
r2
r1=a1
A1
A2
B2
C2
C1
B1
DT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTAS

50. 6. Determina el punto de intersección de la recta r con el triángulo dado. Considerando el triángulo opaco,
diferencia las partes vistas y ocultas de la recta en cada proyección
2. Se halla la recta m de
intersección del plano a con
el triángulo dado:
Los puntos M y N de dicha
recta son los puntos de
intersección del plano a
con los lados AC y BC
respectivamente.
r2
r1=a1=
A1
M1
N1
N2
M2
m2
m1
A2
B2
C2
C1
B1
DT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTAS

51. 6. Determina el punto de intersección de la recta r con el triángulo dado. Considerando el triángulo opaco,
diferencia las partes vistas y ocultas de la recta en cada proyección
3. El punto P de intersección
entre m y r es la solución.
r2
r1=a1=
A1
M1
N1
N2
M2
m2
m1
A2
B2
P2
P1
C2
C1
B1
DT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTAS

52. 6. Determina el punto de intersección de la recta r con el triángulo dado. Considerando el triángulo opaco,
diferencia las partes vistas y ocultas de la recta en cada proyección
4. A partir de P determinamos
las partes vistas y ocultas
de la recta
r2
r1=a1=
A1
M1
N1
N2
M2
m2
m1
A2
B2
P2
P1
C2
C1
B1
DT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTAS

53. 6. Determina el punto de intersección de la recta r con el triángulo dado. Considerando el triángulo opaco,
diferencia las partes vistas y ocultas de la recta en cada proyección
4. A partir de P determinamos
las partes vistas y ocultas
de la recta
r2
r1=a1=
A1
M1
N1
N2
M2
m2
m1
A2
B2
P2
P1
C2
C1
B1
3. El punto P de intersección
entre m y r es la solución.
r2
r1=a1=
A1
M1
N1
N2
M2
m2
m1
A2
B2
P2
P1
C2
C1
B1
2. Se halla la recta m
de intersección del plano
a conel triángulo dado:
Los puntos M y N de dicha
recta son los puntos de
intersección del plano a
con los lados AC y BC
respectivamente.
r2
r1=a1=
A1
M1
N1
N2
M2
m2
m1
A2
B2
C2
C1
B1
1. Se determina el
plano a,
proyectante hori.
zontal, que contiene
a la recta r:
La traza horizontal a1
coincide con la
proyección
horizontal r1
r2
r1=a1
A1
A2
B2
C2
C1
B1
r2
r1
A1
A2
B2
C2
C1
B1
DT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTAS

54. 7. Por el punto P (40, 40, 35), traza un plano a que sea paralelo a las dos rectas r: A (-45, 20, 0) B (0, 20, 35)
y s: C (0, 0, 20) D (0, 30, 20).
O
A2
P2
C2 D2
C1
P1
A1
B2
B1
D1
s1
s2
r2
r1
P2
C2 D2
C1
B2
A2
A1
B1
D1
D
B
r2
r1
r S
s1
s2
P
P1
DT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTAS

55. 7. Por el punto P (40, 40, 35), traza un plano a que sea paralelo a las dos rectas r: A (-45, 20, 0) B (0, 20, 35)
y s: C (0, 0, 20) D (0, 30, 20).
1.Por el punto P trazamos r´y s´,
paralelas a r y s.
O
A2
P2
C2 D2
C1
P1
A1
B2
B1
D1
s1
s2
r2 r´2
s´2
s´1
r´1
r1
P2
C2 D2
C1
B2
A2
A1
B1
D1
D
B
r2
r´2
s´2
s´1
r1
r
r´
S´
P
P1
S
s1
s2
r´1
DT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTAS

56. 7. Por el punto P (40, 40, 35), traza un plano a que sea paralelo a las dos rectas r: A (-45, 20, 0) B (0, 20, 35)
y s: C (0, 0, 20) D (0, 30, 20).
2. Siendo r´una recta frontal y
s´una recta de punta, se hallan
las trazas H1r´ y V2s´
O
A2
P2
C2 D2
C1
P1
A1
B2
B1
D1
s1
s2
r2 r´2
s´2
s´1
r´1Hr´1
Vs´2
r1
P2
C2 D2
C1
B2
A2
A1
B1
D1
D
B
r2
r´2
s´2
s´1
Vs´2
r1
r
S´
P
P1
Hr´1
S
s1
s2
r´
r´1
DT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTAS

57. 7. Por el punto P (40, 40, 35), traza un plano a que sea paralelo a las dos rectas r: A (-45, 20, 0) B (0, 20, 35)
y s: C (0, 0, 20) D (0, 30, 20).
3. Teniendo Hr´1 y Vs´2,
se traza el plano que definen
r´y s´.
La traza horizontal pasa
por Hr´1 y es peralela
a s´1 y la traza vertical
por Vs´2 y es la que une
Vs´2 con el vértice
del plano
O
A2
P2
P2
C2 D2
C2 D2
C1
C1
a2
a2
a1
a1
P1
A1
B2
B2
A2
A1
B1
B1
D1
D1
D
B
s1
s2
r2
r2
r´2
r´2
r´1
s´2
s´2
s´1
s´1
r´1Hr´1
Vs´2
Vs´2
r1
r1
r
S´
P
Hr´1
S
s1
s2
r´
P1
DT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTAS

58. 7. Por el punto P (40, 40, 35), traza un plano a que sea paralelo a las dos rectas r: A (-45, 20, 0) B (0, 20, 35)
y s: C (0, 0, 20) D (0, 30, 20).
P2
C2 D2
C1
a2
a1
B2
A2
A1
B1
D1
D
B
r2
r´2
r´1
s´2
s´1
Vs´2
r1
r
S´r´
P
P1
Hr´1
S
s1
s2
DT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTAS

59. 1.Por el punto P trazamos
r´y s´, paralelas a r y s.
2. Siendo r´una recta frontal y
s´una recta de punta, se hallan
las trazas H1r´ y V2s´
3. Teniendo Hr´1 y Vs´2, se traza
el plano que definen r´y s´. La
traza horizontal pasa por Hr´1
y es peralela a s´1 y la traza
vertical por Vs´2 y es la que une
Vs´2 con el vértice del plano
P2
C2 D2
C1
a2
a1
B2
A2
A1
B1
D1
D
B
r2
r´2
r´1
s´2
s´1
Vs´2
r1
r
S´r´
P
P1
Hr´1
S
s1
s2
P2
C2 D2
C1
a2
a1
B2
A2
A1
B1
D1
D
B
r2
r´2
r´1
s´2
s´1
Vs´2
r1
r
S´
P
Hr´1
S
s1
s2
r´
P1
P2
C2 D2
C1
B2
A2
A1
B1
D1
D
B
r2
r´2
s´2
s´1
r1
r
r´
S´
P
P1
S
s1
s2
r´1
O
A2
P2
C2 D2
C1
P1
A1
B2
B1
D1
s1
s2
r2
r1
O
A2
P2
C2 D2
C1
P1
A1
B2
B1
D1
s1
s2
r2 r´2
s´2
s´1
r´1
r1
O
A2
P2
C2 D2
C1
P1
A1
B2
B1
D1
s1
s2
r2 r´2
s´2
s´1
r´1Hr´1
Hr´2
Vs´2
Vs´1
Vs´1
r1
O
A2
P2
C2 D2
C1
a2
a1
P1
A1
B2
A2
B1
D1
s1
s2
r2 r´2
s´2
s´1
r´1Hr´1
Vs´2
r1
7. Por el punto P (40, 40, 35), traza un plano a que sea paralelo a las dos rectas r: A (-45, 20, 0) B (0, 20, 35)
y s: C (0, 0, 20) D (0, 30, 20).
P2
C2 D2
C1
B2
A2
A1
B1
D1
D
B
r2
r1
r S
s1
s2
P
P1
DT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTAS

60. 8. Determina las trazas de un plano b, que pasando por el punto P (0, 15, -30) sea paralelo al plano a que contiene
a la LT y al punto A (-20, 25, 30).
o
P1
A2
A2
A
P
a2a1
A1
P2
P2
DT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTAS

61. 8. Determina las trazas de un plano b, que pasando por el punto P (0, 15, -30) sea paralelo al plano a que contiene
a la LT y al punto A (-20, 25, 30).
1. Ya que a contiene a la LT,
se traslada todo a la tercera
proyección mediante el
Plano de Perfil
o
P1
A2
A3
A2
A
P
a2
a3
a1
p2
p1
A1
P2
P3
P2
DT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTAS

62. 8. Determina las trazas de un plano b, que pasando por el punto P (0, 15, -30) sea paralelo al plano a que contiene
a la LT y al punto A (-20, 25, 30).
2. En la tercera proyección,
por el punto P se traza
el plano b paralelo a a,
siendo b paralelo a la LT
o
P1
A2
A3
A2
A
P
a2
a3
b3
a1
p2
p1
A1
P2
P3
P2
DT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTAS

63. 8. Determina las trazas de un plano b, que pasando por el punto P (0, 15, -30) sea paralelo al plano a que contiene
a la LT y al punto A (-20, 25, 30).
3. Una vez tenemos b3,
se pueden trazar b1 y b2
o
P1
A2
A3
a2
a3
b3
b1
b2
a1
p2
p1
A1
P2
P3
A2
A
P
P2
b2
DT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTAS

64. 8. Determina las trazas de un plano b, que pasando por el punto P (0, 15, -30) sea paralelo al plano a que contiene
a la LT y al punto A (-20, 25, 30).
A2
A
P
P2
b2
A2
A
P
P2
A2
A
P
P2
A2
A
P
P2
o
P1
A2
A3
a2
a3
b3
b1
b2
a1
p2
p1
A1
P2
P3
3. Una vez tenemos b3,
se pueden trazar b1 y b2
2. En la tercera proyección, por el
punto P se traza el plano b paralelo a a,
siendo b paralelo a la LT
o
P1
A2
A3
a2
a3
b3
a1
p2
p1
A1
P2
P3
1. Ya que a contiene a la LT, se traslada
todo a la tercera proyección mediante el
Plano de Perfil
o
P1
A2
A3
a2
a3
a1
p2
p1
A1
P2
P3
o
P1
A2
a2a1
A1
P2
DT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTAS

65. 9. Representa el plano b que contiene a la recta r: A (0, 20, 20) B (30, 0, 20) y es perpendicular al plano a ( -30, 30, 30).
o
A2
A2
A
B2
B1
r2
r2
r
r1
B1
a2
a2
A1
B
B2
a1
DT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTAS

66. 9. Representa el plano b que contiene a la recta r: A (0, 20, 20) B (30, 0, 20) y es perpendicular al plano a ( -30, 30, 30).
o
A2
A2
A
B
M2
M2B2
B1
r2
r2
r
r1
B1
M1
a2
a2
1. Se elige un punto arbitrario
M de la recta r
A1
M
B2-Vr2
a1
DT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTAS

67. 9. Representa el plano b que contiene a la recta r: A (0, 20, 20) B (30, 0, 20) y es perpendicular al plano a ( -30, 30, 30).
o
A2
A2
A
B
Hm1
Vm2
M2
m2
m1
M2B2
B1
r2
r2
r
r1
B1
M1
A1
a2
a2
a1
2. Por el punto M trazamos la recta m
perpendicular al plano a y hallamos las
trazas Vm2 y Hm1
M
B2-Vr2 Vm2
DT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTAS

68. o
A2
A2
A
B
B2-Vr2
Hm1
Vm2
M2
m2
m1
M2B2
B1
r2
r2
r
r1
B1
M1
A1
a2
b2
b2
b1
b1
a2
3. La traza vertical b2 del plano
es la que une las trazas verticales V2m y V2r.
y la traza horizontal b1 es la que une Hm1
con el vértice del plano
M
Vm2
Hm1
a1
DT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTAS
9. Representa el plano b que contiene a la recta r: A (0, 20, 20) B (30, 0, 20) y es perpendicular al plano a ( -30, 30, 30).

69. o
A2
A2
A
B
B2-Vr2
Hm1
Vm2
M2
m2
m1
M2B2
B1
r2
r2
r
r1
B1
M1
A1
a2
b2
b2
b1
a2
3. La traza vertical b2 del plano
es la que une las trazas verticales V2m y V2r.
y la traza horizontal b1 es la que une Hm1
con el vértice del plano
M
Vm2
a1
DT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTAS
9. Representa el plano b que contiene a la recta r: A (0, 20, 20) B (30, 0, 20) y es perpendicular al plano a ( -30, 30, 30).

70. 9. Representa el plano b que contiene a la recta r: A (0, 20, 20) B (30, 0, 20) y es perpendicular al plano a ( -30, 30, 30).
o
A2 B2r2
r1
B1
a2
A1
a1
o
A2 M2r2
r1
B1-Vr1
M1
a2
1. Se elige un punto arbitrario M de la recta r
A1
B2-Vr2
a1
o
A2
Hm1
Hm2
Vm2
Vm1
M2
m2
m1
r2
r1
M1
A1
a2
a1
B2-Vr2
A2
A
B1
r2
r
a2
B
B2 A2
A
B
M2B2
B1
r2
r
a2
M
A2
A
B
M2B2
B1
r2
r
a2
M
Vm2
2. Por el punto M trazamos la recta m
perpendicular al plano a y hallamos las
trazas Vm2 y Hm1
B1-Vr1
DT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTAS

71. 9. Representa el plano b que contiene a la recta r: A (0, 20, 20) B (30, 0, 20) y es perpendicular al plano a ( -30, 30, 30).
3. La traza vertical b2 del plano es la que une las trazas verticales V2m y V2r,
y la traza horizontal b1 es la que une Hm1 con el vértice del plano
A2
A
B
M2B2
B1
r2
r
b2
b1
a2
M
Vm2
Hm1
o
A2
B2-Vr2
Hm1
Hm2 Hm2
Vm2
Vm1 Vm1
M2
m2
m1
r2
r1
B1
M1
A1
a2
b2
b1
a1
A2
A
B
M2B2
B1
r2
r
b2
a2
M
Vm2
o
A2
B2-Vr2
Hm1
Vm2
M2
m2
m1
r2
r1
B1
M1
A1
a2
b2
b1
a1
DT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTAS

72. 10. Dados los planos a (a1 - a2) y b (b1-b2) hallar: 1º. La recta i, de intersección de ambos.
2º.El punto P donde esta recta corta al primer bisector
b2
b1
a1
a2
DT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTASDT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTAS

73. b2
b1
a1
a2
1º. Las trazas de la recta de intersección i las determinan las intersecciones
de las trazas de los planos .
DT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTASDT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTAS
10. Dados los planos a (a1 - a2) y b (b1-b2) hallar: 1º. La recta i, de intersección de ambos.
2º.El punto P donde esta recta corta al primer bisector

74. b2
b1
a1
a2
1º. Las trazas de la recta de intersección i las determinan las intersecciones
de las trazas de los planos .
i´´
i´
H´´i
Hi´
Vi´
Vi´´
DT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTASDT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTAS
10. Dados los planos a (a1 - a2) y b (b1-b2) hallar: 1º. La recta i, de intersección de ambos.
2º.El punto P donde esta recta corta al primer bisector

75. b2
b1
a1
a2
2º. El punto P´- P´´, donde la recta i corta al primer bisector, debe cumplir dos condiciones:
a) para pertenecer a la recta sus proyecciones tienen que encontrarse en las proyecciones
del mismo nombre de la recta, P´ en i´ y P´´ en i´´.
b) Para ser un punto en el primer bisector, cota y alejamiento han de ser iguales.
Para ello se traza un arco arbitrario desde H´´ y la recta auxiliar d, que forma con la LT
el mismo ángulo que con i´´
i´´
d
i´
H´´i
Hi´
Vi´
V´´
DT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTASDT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTAS
10. Dados los planos a (a1 - a2) y b (b1-b2) hallar: 1º. La recta i, de intersección de ambos.
2º.El punto P donde esta recta corta al primer bisector

76. b2
b1
a1
a2
3. El punto donde la recta d corta a i´ es el punto P´ (proyección horizontal del
punto P que buscamos), y teniendo P´ calculamos P´´
i´´
d
i´
H´´i
P´´
P´
H´
V´
V´´
DT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTASDT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTAS
10. Dados los planos a (a1 - a2) y b (b1-b2) hallar: 1º. La recta i, de intersección de ambos.
2º.El punto P donde esta recta corta al primer bisector

77. DT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTASDT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTAS
10. Dados los planos a (a1 - a2) y b (b1-b2) hallar: 1º. La recta i, de intersección de ambos.
2º.El punto P donde esta recta corta al primer bisector

78. DT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTASDT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTAS
10. Dados los planos a (a1 - a2) y b (b1-b2) hallar: 1º. La recta i, de intersección de ambos.
2º.El punto P donde esta recta corta al primer bisector

79. i
DT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTASDT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTAS
10. Dados los planos a (a1 - a2) y b (b1-b2) hallar: 1º. La recta i, de intersección de ambos.
2º.El punto P donde esta recta corta al primer bisector

80. i´
i´´
i
DT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTASDT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTAS
10. Dados los planos a (a1 - a2) y b (b1-b2) hallar: 1º. La recta i, de intersección de ambos.
2º.El punto P donde esta recta corta al primer bisector

81. 11. Determinar las proyecciones de la recta de intersección de los planos a (a1 - a2) y b (b1 b2).
Efectuar el cálculo recurriendo a la proyección sobre el plano de perfil
b2b1
a1
a2
DT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTASDT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTAS

82. b2b1
a1
a2
1º. Ambos planos son perpendiculares al plano de perfil y paralelos a la LT,
por tanto la recta de intersección i de ambos, también tendrá esas características
DT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTASDT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTAS
11. Determinar las proyecciones de la recta de intersección de los planos a (a1 - a2) y b (b1 b2).
Efectuar el cálculo recurriendo a la proyección sobre el plano de perfil

83. b2b1
a1
a2
1º. Se hayan las trazas a3 y b3 de los planos dados con el perfil, lo que permite calcular i´´´
PP
DT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTASDT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTAS
11. Determinar las proyecciones de la recta de intersección de los planos a (a1 - a2) y b (b1 b2).
Efectuar el cálculo recurriendo a la proyección sobre el plano de perfil

84. b2
b2´
b1
b1´
a1
a1´
a2
a2´
a3
b3
1º. Se hayan las trazas a3 y b3 de los planos dados con el perfil, lo que permite calcular i´´´
PP
i´´´
DT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTASDT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTAS
11. Determinar las proyecciones de la recta de intersección de los planos a (a1 - a2) y b (b1 b2).
Efectuar el cálculo recurriendo a la proyección sobre el plano de perfil

85. b2b1
a1
a2
a3
b3
PP
i´´
i´´´
1º. A partir de i´´´ se hallan las proyecciones i´- i´´ .
b2´
b1´a1´
a2´
i´
i´´
DT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTASDT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTAS
11. Determinar las proyecciones de la recta de intersección de los planos a (a1 - a2) y b (b1 b2).
Efectuar el cálculo recurriendo a la proyección sobre el plano de perfil

86. b2b1
a1
a2
a3
b3
1º. A partir de i´´´ se hallan las proyecciones i´- i´´ .
PP
i´´´
i´´
i´
i´´
i´
b2´
b1´a1´
a2´
DT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTASDT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTAS
11. Determinar las proyecciones de la recta de intersección de los planos a (a1 - a2) y b (b1 b2).
Efectuar el cálculo recurriendo a la proyección sobre el plano de perfil

87. 12. Hallar las proyecciones del punto I, intersección de la recta r (r´ - r´´) con el plano a (a1 - a2).
Trazar las proyecciones de la frontal f, del plano a que pasa por el punto I
a1
r2
r1
a2
DT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTASDT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTAS

88. a1
b1
b2 r2
r1
a2
1º. Para calcular el punto I de intersección de una recta con un plano, se hace contener
la recta en un plano auxiliar que, para facilitar la operación, conviene que sea proyectante,
vertical u horizontal. En este caso es b´- b´´ , PROYECTANTE VERTICAL
DT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTASDT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTAS
12. Hallar las proyecciones del punto I, intersección de la recta r (r´ - r´´) con el plano a (a1 - a2).
Trazar las proyecciones de la frontal f, del plano a que pasa por el punto I

89. 2º. La intersección de b1 - b2 con a1 - a2 produce la recta i1 - i2,
que corta a r1 - r2 en I1 - I2
a1
b1
r2 i2
i1
r1
vi2
vi1 Hi2
Hi1
a2
b2
DT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTASDT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTAS
12. Hallar las proyecciones del punto I, intersección de la recta r (r´ - r´´) con el plano a (a1 - a2).
Trazar las proyecciones de la frontal f, del plano a que pasa por el punto I

90. 2º. La intersección de b1 - b2 con a1 - a2 produce la recta i1 - i2,
que corta a r1 - r2 en I1 - I2
a1
b1
r2 i2
I1
i1
r1
vi2
vi1 Hi2
Hi1
a2
b2
I2
DT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTASDT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTAS
12. Hallar las proyecciones del punto I, intersección de la recta r (r´ - r´´) con el plano a (a1 - a2).
Trazar las proyecciones de la frontal f, del plano a que pasa por el punto I

91. 3º. La FRONTAL f1 - f2 que se pide debe cumplir las siguientes condiciones:
f1 contendrá a I1, y será paralela a la LT.
Su única traza, Hf1, se encontrará en a1
a1
b1
r2 i2
I2
f1
I1
i1
r1
vi2
vi1 Hi2
Hi1
Hf1
a2
b2
DT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTASDT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTAS
12. Hallar las proyecciones del punto I, intersección de la recta r (r´ - r´´) con el plano a (a1 - a2).
Trazar las proyecciones de la frontal f, del plano a que pasa por el punto I

92. 3º. La FRONTAL f1 - f2 que se pide debe cumplir las siguientes condiciones:
f1 contendrá a I1, y será paralela a la LT.
Su única traza, Hf1, se encontrará en a1
a1
b1
r2 i2
I2
f1
I1
i1
r1
vi2
vi1 Hi2
Hi1
Hf1
Hf2
a2
b2
DT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTASDT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTAS
12. Hallar las proyecciones del punto I, intersección de la recta r (r´ - r´´) con el plano a (a1 - a2).
Trazar las proyecciones de la frontal f, del plano a que pasa por el punto I

93. 3º. La FRONTAL f1 - f2 que se pide debe cumplir las siguientes condiciones:
f1 contendrá a I1, y será paralela a la LT.
Su única traza, Hf1, se encontrará en a1
a1
b1
r2 i2
I2
f2
f1
I1
i1
r1
vi2
vi1 Hi2
Hi1
Hf1
Hf2
a2
b2
DT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTASDT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTAS
12. Hallar las proyecciones del punto I, intersección de la recta r (r´ - r´´) con el plano a (a1 - a2).
Trazar las proyecciones de la frontal f, del plano a que pasa por el punto I

94. 13. Determinar las proyecciones del punto I, de intersección de los tres planos dados

a (a1 - a2), b (b1-b2) y g (g1-g2).
Indicar en qué diedro se encuentra dicho punto I, así como los valores en mm de su alejamiento y su cota
a1
b1
g1
a2
g2
b2
.........Diedro
Alejamiento.........mm
Cota..................mm
DT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTASDT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTAS

95. a1
b1
g1
a2
g2
b2
1º. Se haya la recta r1 - r2, intersección
de los planos a1 - a2 y b1 - b2
vr2
vr1
Hr2
Hr1
r1
r2
.........Diedro
Alejamiento.........mm
Cota..................mm
DT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTASDT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTAS
13. Determinar las proyecciones del punto I, de intersección de los tres planos dados

a (a1 - a2), b (b1-b2) y g (g1-g2).
Indicar en qué diedro se encuentra dicho punto I, así como los valores en mm de su alejamiento y su cota

96. a1
w1
w2
b1
g1
a2
g2
b2
.........Diedro
Alejamiento.........mm
Cota..................mm
vr2
vr1
Hr2
Hr1
r1
r2
2º. Se calcula la intersección de la recta r1 - r2,
calculada anteriormente, con el tercer plano g1 - g2.
Para ello utilizamos un plano auxiliar w1 - w2,
proyectante vertical que contiene a r1 - r2.
DT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTASDT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTASDT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTASDT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTAS
13. Determinar las proyecciones del punto I, de intersección de los tres planos dados

a (a1 - a2), b (b1-b2) y g (g1-g2).
Indicar en qué diedro se encuentra dicho punto I, así como los valores en mm de su alejamiento y su cota

97. a1
w1
w2
b1
g1
a2
g2
b2
vr2
vr1 vi1
i1
i2
vi2
Hr2Hi2
Hi1
Hr1
r1
r2
.........Diedro
Alejamiento.........mm
Cota..................mm
2º. Se calcula la intersección de la recta r1 - r2,
calculada anteriormente, con el tercer plano g1 - g2.
Para ello utilizamos un plano auxiliar w1 - w2,
proyectante vertical que contiene a r1 - r2.
DT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTASDT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTAS
13. Determinar las proyecciones del punto I, de intersección de los tres planos dados

a (a1 - a2), b (b1-b2) y g (g1-g2).
Indicar en qué diedro se encuentra dicho punto I, así como los valores en mm de su alejamiento y su cota

98. a1
w1
w2
b1
g1
a2
g2
b2
...Diedro4º
Alejamiento...mm6
Cota.......mm-17
a2
vr2
vr1 vi1
I1
I2
i1
i2
vi2
Hr2Hi2
Hi1
Hr1
r1
r2
3º. la recta de intersección i1 - i2 corta
a la recta r1 - r2 en el punto I1 - I2, que es
la solución que buscamos
DT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTASDT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTAS
13. Determinar las proyecciones del punto I, de intersección de los tres planos dados

a (a1 - a2), b (b1-b2) y g (g1-g2).
Indicar en qué diedro se encuentra dicho punto I, así como los valores en mm de su alejamiento y su cota

99. DT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTASDT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTAS
14. Hallar la intersección de dos planos cuyas trazas se salen del papel
a2
a1 b1
b2

100. 1. Trazamos el plano auxiliar horizontal P,
paralelo al PH
DT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTASDT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTAS
14. Hallar la intersección de dos planos cuyas trazas se salen del papel
a2
P2
a1 b1
b2

101. 2. sacamos las rectas r y s, intersecciones
de aP y bP respectivamente.
Las trazas horizontales de ambas rectas
se cortarán en el punto H1, traza
horizontal de la rercta que buscamos
DT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTASDT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTAS
14. Hallar la intersección de dos planos cuyas trazas se salen del papel
a2
P2=r2=s2
r1
s1
a1 b1
b2
H1

102. 3. Trazamos el plano auxiliar frontal Q,
que corta a a y b.
DT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTASDT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTAS
14. Hallar la intersección de dos planos cuyas trazas se salen del papel
a2
P2=r2=s2
H1
Q1
r1
s1
a1 b1
b2

103. 4. Trazamos las rectas intersección
t y u entre aP y bP, que se cortan
en el punto V2, traza vertical de la
recta intersección solución
DT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTASDT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTAS
14. Hallar la intersección de dos planos cuyas trazas se salen del papel
a2
P2=r2=s2
V2
H1
Q1=t1=u1
r1
s1
t2
u2
a1 b1
b2

104. 5. Sabiendo que V2 y H2 son trazas de
la solución, sólo tenemos que calcular
H1 y V1 y tendremos la recta I,
intersección de a y b
DT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTASDT II T8. S. DIÉDRICO I. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS Y RECTAS
14. Hallar la intersección de dos planos cuyas trazas se salen del papel
a2
P2=r2=s2
V2
I2
I1
H1
Q1=t1=u1
r1
s1
t2
u2
a1 b1
b2