Símbolo de christoffel

1. Sím bolo de Christoffel
n esta entrada aprovecharemos las simplificaciones obtenidas al final de la entrada previa para poder obtener los
sím bolos de Christoffel de segundo género cuando se trata de tensores m étricos cuya m atriz es una matriz
diagonal.

PROBLEMA : Determinar los símbolos de Christoffel de segundo género para las coordenadas cilíndricas.

Para las coordenadas cilíndricas:

(x
1
, x
2
, x
3
) = (r, φ, z)

el elem ento de línea es:

ds² = dr² + r²dθ² + dz²

con lo cual las com ponentes diagonales del tensor m étrico son:

g11 = 1____g22 = r²____g33 = 1

Puesto que tanto g11 com o g33 son constantes, de acuerdo con lo que v imos en la entrada previa los únicos
sím bolos de Christoffel que no son cero los tendremos para p = 2. Usando las fórmulas sim plificadas, estos son:






PROBLEMA : Determinar los símbolos de Christoffel de segundo género para las coordenadas esféricas.

Para las coordenadas esféricas:

(x
1
, x
2
, x
3
) = (r, φ, z)

el elem ento de línea es:

ds² = dr² + r²dθ² + r² sen²θ dθ²

con lo cual las com ponentes diagonales del tensor m étrico son:

g11 = 1____g22 = r²____g33 = r² sen² θ

Puesto que tanto g11 es constante, de acuerdo con lo que vimos en la entrada previa los únicos sím bolos de
Christoffel que no son cero los tendremos para p = 2 o p = 3 . Usando las fórmulas sim plificadas, estos son:

2. Los sím bolos de Christoffel NO son tensores. Sin em bargo, cabe hacernos la siguiente pregunta: si queremos
pasar de un sistema de coordenadas a otro, ¿cuáles serán entonces las propiedades de transformación de los
sím bolos de Christoffel, tanto del primer género com o del segundo género?

PROBLEMA : Derivar la ley de transformación para los símbolos de Christoffel de primer género.

La naturaleza del problema consiste en obtener el procedimiento requerido para transformar un sím bolo de
Christoffel de primer género Γab c a su correspondiente símbolo de Christoffel Γab c. (con una barra encima de la
letra gamma). El punto de arranque para la solución empieza, desde luego, con la ley tensorial de transformación
para el tensor métrico:



Tenem os que obtener tres derivadas parciales del tensor m étrico con respecto a cada una de las coordenadas del
sistem a hacia el cual se v a a llevar el símbolo de Christoffel a ser transformado. Aplicando la regla de Leibniz para
la diferencial del producto de tres funciones:

d(uv w) = uv ·dw + uw·dv + v w·du

y aplicando también la regla de la cadena a ∂gpq /∂x
m
, la primera derivada parcial será:



Aplicando la m isma regla de Leibniz, podem os obtener las otras dos derivadas parciales. Sin embargo, podem os
ahorrarnos algo de trabajo si sim plemente tomamos la expresión para la primera derivada que acabamos de
obtener y aplicamos una permutación cíclica de los índices para obtener la segunda derivada:

3. j → k

k → m

m → j

que resulta ser:



Otra permutación cíclica de los índices:

k → m

m → j

j → k

nos produce la tercera derivada:



Restando ∂gjk/∂x
m
de la suma de ∂gkm/∂x
j
y ∂gmj/∂x
k
, multiplicando por 1/2 y m etiendo las definiciones de los
sím bolos de Christoffel de primer género, obtenemos la siguiente ley de transformación:



con la que el sím bolo de Christoffel de primer género Γp qr es transformado a Γjk m. Obsérvese que si no fuese por el
segundo término en el lado derecho, los sím bolos de Christoffel se transformarían también com o tensores. Pero
no son tensores, ya que fueron de hecho concebidos com o el “factor de corrección” requerido para que la derivada
de un tensor pueda ser redefinida como derivada covariante de m odo tal que esta también sea un tensor.

PROBLEMA : Derivar la ley de transformación para los símbolos de Christoffel de segundo género.

Puesto que los sím bolos de Christoffel de segundo género se obtienen a partir de los sím bolos de Christoffel de
prim er género, para lo cual se utiliza el tensor métrico conjugado g
-1
para subir el tercer índice, no debe causar
asom bro de que una vez obtenida la ley de transformación para los sím bolos de Christoffel de primer género en el
problem a anterior recurramos al tensor métrico conjugado aplicándolo sobre dicho resultado para poder obtener
la ley de transformación para los sím bolos de Christoffel de segundo género.

En este caso, utilizamos la relación que nos define al tensor métrico conjugado com o un tensor, la cual es:

4. Utilizamos esta relación en la ley de transformación para los sím bolos de Christoffel de primer género que
obtuvimos en el problema anterior, la parte izquierda de la relación en el lado izquierdo de la ecuación y la parte
derecha de esta relación en el lado derecho de la ecuación:



En el lado izquierdo de esta ecuación el tensor métrico conjugado g
nm
eleva al tercer índice m del símbolo de
Christoffel de primer género Γjk m convirtiéndolo en un símbolo de Christoffel de segundo género con el super-
índice n:



Lo m ismo sucede en el lado derecho de la ecuación en donde el tensor métrico conjugado eleva al tercer índice del
sím bolo de Christoffel de primer género convirtiéndolo en uno de segundo género. Obsérvese que hemos
agrupado dos sim plificaciones, las cuales nos resultan en la siguiente ley de transformación para los sím bolos de
Christoffel de segundo género:



Obsérv ese que si no fuese por el segundo término en el lado derecho, los sím bolos de Christoffel de segundo
género se transformarían también como tensores.

PROBLEMA : Demostrar la siguiente relación:



Para dem ostrar la relación proporcionada, usaremos la ley de transformación para los sím bolos de Christoffel de
segundo género obtenida en el problema anterior. Si multiplicamos am bos lados de dicha ley por ∂x
m
/∂x
n
,
tenemos entonces, introduciendo en el lado derecho los deltas Kronecer δ
m
sy δ
m
p:



Esto se sim plifica de inmediato a lo siguiente:

5. Despejando esto último para ∂²x
m
/∂x
j
∂x
k
obtenemos la relación pedida.

Este último resultado nos posibilita llevar a cabo una demostración importante, la demostración de que la
derivada covariante de un tensor es un tensor.

PROBLEMA : Demostrar que la derivada covariante de un tensor es un tensor.

Para la resolución de este problema podem os utilizar ya sea un tensor covariante o un tensor contravariante. La
dem ostración que será llevada a cabo aquí utilizará un tensor contravariante; en el caso del tensor covariante la
dem ostración es casi idéntica con modificaciones triviales en los pasos.

Considérese el tensor contravariante T = (T
p
) de orden uno. Siendo un tensor, entonces debe obedecer la regla
fundamental de transformación:



Tom aremos ahora la derivada parcial de este tensor con respecto a x
k
:



Utilizaremos ahora la regla de la cadena en el lado derecho de la expresión:



Tom amos ahora la derivada del producto de las dos cantidades ∂x
i
/∂x
r
y T
r
:



Utilizaremos ahora la relación obtenida en el problema anterior, con la cual obtenemos lo siguiente:



Puesto que, por la regla de la cadena:

6. Y puesto que, por la misma definición de tensor para el caso de un tensor contravariante de orden uno:



la expresión que estamos desarrollando se convierte en:



Factorizando el lado derecho, reacomodando los términos, renombrando índices según se requiera y utilizando la
propiedad de sim etría de los sím bolos de Christoffel, llegamos a lo siguiente:



Obsérv ese bien la forma en la cual se han puesto tanto el lado izquierdo com o el lado derecho de la relación. Del
lado izquierdo, lo que tenemos es ni m ás ni menos que la derivada covariante del tensor T = (T
p
) en el sistema de
coordenadas de barra. Y lo que tenemos del lado derecho es ni m ás ni menos que la derivada covariante del
tensor original T en el sistema de coordenadas original (sin la barra). Esto significa que la relación se reduce a:



Lo que nos está diciendo esto esencialmente es que la derivada covariante del tensor contravariante de orden
uno T = (T
p
), simbolizada mediante el semicolon como T;k = (T
p
;k), se transforma justo com o lo requieren las
propiedades de la definición de un tensor. Queda demostrado entonces que la derivada covariante de un tensor
es también un tensor. Esto, desde luego, se lo debem os a la ayuda de los sím bolos de Christoffel que nos dieron la
“corrección” necesaria para poder definir a la derivada covariante de un tensor.