Sáng kiến kinh nghiệm Kỹ thuật đọc bảng biến thiên, đồ thị xét tính đơn điệu của hàm số.pdf

2. Mục đích nghiên cứu
• Hệ thống các bài toán tính đơn điệu của hàm số.
• Đưa ra các phương pháp giải toán phù hợp với đối tượng học sinh.
• Rèn luyện kĩ năng đọc đồ thị, bảng biến thiên cho học sinh.
• Hệ thống bài tập có phân loại phù hợp với trình độ của học sinh.
• Rèn luyện tính cẩn thận, chính xác, óc tư duy cho học sinh.
• Góp phần năng cao chất lượng dạy và học cho học sinh.

1. SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
TRƯỜNG THPT NGÔ GIA TỰ





BÁO CÁO KẾT QUẢ
NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN
Tên sáng kiến:
“Kỹ thuật đọc bảng biến thiên, đồ thị xét tính đơn điệu của
hàm số”



Tác giả sáng kiến: Phạm Quốc Huy
Mã lĩnh vực: 12.52







Lập Thạch, năm 2020 Lop9.edu.vn

2. MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 1
1. Lý do chọn đề tài ............................................................................................ 1
2. Mục đích nghiên cứu ...................................................................................... 1
3. Đối tượng nghiên cứu: .................................................................................... 1
4. Giới hạn phạm vi, nội dung nghiên cứu ......................................................... 1
5. Nhiệm vụ nghiên cứu ..................................................................................... 1
6. Phương pháp nghiên cứu ................................................................................ 2
NỘI DUNG ....................................................................................................... 3
I. Kiến thức chuẩn bị: ......................................................................................... 3
II. Bài tập áp dụng .............................................................................................. 5
8. Những thông tin cần được bảo mật: Không. ................................................. 38
9. Các điều kiện cần thiết để áp dung sáng kiến: .............................................. 38
10. Đánh giá lợi ích thu được do áp dụng sáng kiến theo ý kiến của tác giả và
theo ý kiến của tổ chức cá nhân đã tham gia áp dụng sáng kiến lần đầu: .......... 39
11. Danh sách những tổ chức / cá nhân đã tham gia áp dụng sáng kiến lần đầu:
......................................................................................................................... 39
Lop9.edu.vn

3. 1
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong chương trình toán THPT đặc là Giải Tích lớp 12, bài toán xét tính đơn
điệu của hàm số là một vấn đề cơ bản, quan trọng của chương trình. Trong các kì thi
học sinh giỏi cấp tỉnh các khối không chuyên và kỳ thi trung học phổ thông quốc gia
xét tốt nghiệp và lấy kết quả xét vào các trường đại học và cao đẳng đây là một vấn đề
luôn được đề cập tới. Để giúp các em có những kiến thức nhất định trong các kì thi
học sinh giỏi và thi trung học phổ thông quốc gia, với đề tài này tôi hy vọng giúp học
sinh có được kết quả tốt hơn.
2. Mục đích nghiên cứu
• Hệ thống các bài toán tính đơn điệu của hàm số.
• Đưa ra các phương pháp giải toán phù hợp với đối tượng học sinh.
• Rèn luyện kĩ năng đọc đồ thị, bảng biến thiên cho học sinh.
• Hệ thống bài tập có phân loại phù hợp với trình độ của học sinh.
• Rèn luyện tính cẩn thận, chính xác, óc tư duy cho học sinh.
• Góp phần năng cao chất lượng dạy và học cho học sinh.
3. Đối tượng nghiên cứu:
• Học sinh lớp 12.
• Học sinh ôn thi học sinh giỏi.
• Học sinh ôn thi THPT Quốc Gia.
4. Giới hạn phạm vi, nội dung nghiên cứu
• Chương trình Giải Tích lớp 12.
• Sách Giải Tích cơ bản và nâng cao lớp 12.
• Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán.
• Đề thi THPT Quốc Gia các năm của Bộ Giáo Giục và đề thi THPT Quốc Gia
của các sở và các trường nổi tiếng trên toàn quốc.
5. Nhiệm vụ nghiên cứu
• Tính đơn điệu của hàm số, tính đơn điệu của hàm số dựa vào đồ thị hàm số,
bảng biến thiên của hàm số, tìm tham số để hàm số đồng biến, nghịch biến trên
tập .D tìm tham số để hàm số, đơn điệu thỏa mãn điều kiện cho trước.
• Một số bài toán về thương gặp về tính đơn điệu của hàm số.
• Vận dụng linh hoạt trong quá trình tính toán, giải bài tập. Lop9.edu.vn

4. 2
• Rèn luyện kĩ năng tính toán, phát huy tính tích cực của người học.
6. Phương pháp nghiên cứu
• Tự rút ra trong quá trình dạy học.
• Nghiên cứu tài liệu, sách tham khảo.
• Học hỏi kinh nghiệm của đồng nghiệp, tích lũy kiến thức trong quá trình giảng
dạy.
• Nghiên cứu đề thi THPT Quốc Gia của BGD và đề minh họa của BGD hàng
năm và đề thi THPT Quốc Gia của các sở, các trường những năm gần đây.



















Lop9.edu.vn

5. 3
NỘI DUNG
KỸ THUẬT ĐỌC BẢNG BIÊN THIÊN, ĐỒ THỊ
XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
I. Kiến thức chuẩn bị:
1. Định lý về dấu của tam thức bậc hai
Cho tam thức bậc hai () ()
2
, 0 .f x ax bx c a= + +  Tính 2
4b ac = − hoặc 2
.b ac = −

1) Nếu ( )00    thì ()fx luôn cùng dấu với dấu của hệ số a với mọi .x

2) Nếu ( )00 =  = thì ()fx luôn cùng dấu với dấu của hệ số a với mọi .
2
b
x
a
−

3) Nếu ( )00    thì ()fx có hai nghiệm phân biệt 12
,.xx Giả sử 12
.xx
Ta có ()fx cùng dấu với dấu của hệ số a với mọi ( )( )
12
;;x x x −  +
và ()fx trái dấu với dấu của hệ số a với mọi ()
12
;.x x x

2. Đaọ hàm các hàm số sơ cấp cơ bản và hàm hợp của nó
STT Hàm sơ cấp cơ bản Hàm hợp
1 1.x=
2 ()
1
.xx


−
=
()
1
.u u u


−
=
3 2
11
, 0.x
xx


= −  


2
11
, 0.u
uu


= −  


4 ()sin cos .xx

=
()sin cos .u u u

=
5 ()cos sinxx

=−
()cos sin .u u u

=−
6 ()
2
1
tan , , .
cos 2
x x k k
x



=   + 
()
2
tanu , , .
cos 2
u
u k k
u




=   + 
7 ()
2
1
cot , , .
sin
x x k k
x


= −   
()
2
cot , , .
sin
u
u u k k
x



= −   
9 ( )
1
log , 0, 0 1.
ln
a
x x a a
xa

=    
( )
1
log , 0, 0 1.
ln
a
u u a a
ua

=     Lop9.edu.vn

6. 4
10 ()
1
ln , 0.xx
x

=  
()ln , 0.
u
uu
u


=  
11 () ln , 0, 1.
xx
a a a a a

=  
() ln , 0, 1.
uu
a u a a a a

=  
12 ().
xx
ee

=
() .
uu
e u e

=

3. Tính đơn điệu của hàm số
3.1. Định nghĩa: Cho hàm số ()y f x= xác định trên tập .D
3.1.1. Hàm số ()y f x= được gọi là đồng biến trên D nếu với mọi 12
,x x D
và 12
xx ta có ()()
12
.f x f x
3.1.2. Hàm số ()y f x= được gọi là nghịch biến trên D nếu với mọi 12
,x x D
và 12
xx ta có ()()
12
.f x f x

Chú ý:
+ Hàm số ()y f x= đồng biến hoặc nghịch biến trên D được gọi là đơn điệu
trên .D
+ Đồ thị của hàm đồng biến trên D là một đường đi lên từ trái sang phải.
+ Đồ thị của hàm nghịch biến trên D là một đường đi xuống từ trái sang phải.
3.2. Mối liên hệ giữa tính đơn điệu của hàm số và dấu của đạo hàm
Định lý: Cho hàm số ()y f x= xác định trên khoảng ();ab và có đạo hàm liên
tục trên ();.ab
+ Nếu ()0fx với mọi ();x a b (Đẳng thức chỉ xẩy ra ở một số hữu hạn
điểm trên khoảng ();ab ) thì hàm số ()y f x= đồng biến trên khoảng ();.ab
+ Nếu ()0fx với mọi ();x a b (Đẳng thức chỉ xẩy ra ở một số hữu hạn
điểm trên khoảng ();ab ) thì hàm số()y f x= nghịch biến trên khoảng();.ab
+ Nếu ()0fx= với mọi ();x a b thì hàm số ()y f x= không đổi trên
khoảng ();.ab
Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm sô ()y f x=
B1. Tìm TXĐ.
B2. Tính ()fx , giải phương trình ()0.fx=
B3. Lập bảng xét dấu ().fx
B4. Kết luận.



Lop9.edu.vn

7. 5
II. Bài tập áp dụng
Trong phần này tác giả đưa ra các dạng sau:

DẠNG 1: XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ DỰA VÀO ĐẠO HÀM

1. Bài tập tự luận
Bài 1. Xét tính đơn điệu của hàm số 32
3 2.y x x= − +
Giải
+ Tập xác định .D=
+ 2
0
3 6 ; 0
2
x
y x x y
x
=
= − = 

=
+ Ta có bảng biến thiên

+ Vậy hàm số đồng biến trên khoảng ( );0− và ( )2; .+ Nghịch biến trên khoảng ()0;2 .

Bài 2. Xét tính đơn điệu của hàm số 32
3 3 .y x x x= − + −
Giải
+ Tập xác định .D=
+ ()
2
2
3 6 3 3 1 0y x x x= − + − = − −  với mọi x hàm số nghịch biến trên .
Bài 3. Xét tính đơn điệu của hàm sô 42
2 3.y x x= − +
Giải
+ Tập xác định .D=
+ 3
0
4 4 ; 0
1
x
y x x y
x
=
= − = 

=
+ Ta có bảng biến thiên 22
3
0 0 0
+∞ +∞
+∞∞ 1 10
y'
y
x
+
2−
2
−
+
− + 2
0
0 +
0
− y
y
x
Lop9.edu.vn

8. 6
+ Vậy hàm số đồng biến trên khoảng ()1;0− và ()1; .+ Nghịch biến trên khoảng ( );1− −
và ()0;1 .
Bài 4. Xét tính đơn điệu của hàm số 1
.
1
x
y
x
+
=
−
Giải
+ Tập xác định ()();1 1; .D= −  +
+ ()
2
2
0
1
y
x
=
− với mọi xD hàm số nghịch biến trên ();1− và ()1; .+
Bài 5. Tìm tất cả những giá trị của m để hàm số sau đồng biến trên . ( )
31
2 4 3 2 6.
3
y x mx m x m= + + − + −

Giải
+ Tập xác định .D=
+ 2
2 4 3y x mx m= + + −
Hàm số đồng biến trên khi 2
2 4 3 0y x mx m= + + −  với mọi x ( đẳng thức
chỉ xẩy ra ở một số hữu hạn điểm trên ). 2
2 4 3 0y x mx m = + + − 
với mọi .x 
2
4 3 0 1;3 .m m m = − +   

+ Vậy với 1;3m thì hàm số đồng biến trên .
Bài 6. Tìm tất cả những giá trị của m để hàm số sau nghịch biến trên . ( )
32
2 3 5 6
3
m
y x mx m x m= − + − + −

Giải
+ Tập xác định .D=
+ 2
2 2 3.y mx mx m= − + −
+ Với0m= ta có 0 3 0yx= −  với mọi x hàm số nghịch biến trên .
+ Với0m ta có hàm số nghịch biến trên khi 0y với mọi x ( đẳng thức
xẩy ra chỉ ở một số hữu hạn điểm trên ) 2
2 2 3 0,y mx mx m x= − + −   
khi 2
0
0.
30
m
m
mm


 = − + 

+ Vậy với 0m thì hàm số nghịch biến trên .
Bài 7. Tìm tất cả những giá trị thực của m để hàm số 2
1
xm
y
x
+
=
− nghịch biến trên
mỗi khoảng xác định của nó.

Giải
+ Tập xác định ()();1 1; .D= −  +
+ ()
2
2
.
1
m
y
x
−−
=
− Lop9.edu.vn

9. 7
+ Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó khi ()
2
2
0
1
m
y
x
−−
=
− với mọi 2 0 2.x D m m  − −    −

+ Vậy với 2m− thì hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó.

Nhận xét: Trong bài toán trên ta không sử dụng được hàm số nghịch biến trên ()();1 1;−  +
khi 0y với mọi ()();1 1;x −  + được vì ở đây nếu xẩy ra
dầu bằng thì sẽ xẩy ra với mọi .xD

Bài 8. Tìm tất cả những giá trị của m để hàm số 26xm
y
xm
+−
=
−
1) Đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó.
2) Đồng biến trên khoảng ( ); 6 .− −
3) Nghịch biến trên khoảng ( )10; .+
4) Nghịch biến trên khoảng ()4;12 .

Giải
+ Tập xác định ( )( ); ; .D m m= −  +
+ ( )
2
63
.
m
y
xm
−
=
−

1) Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó khi ( )
2
63
0
m
y
xm
−
=
− .xD
( )
2
63
0
m
y
xm
−
=
− 6 3 0 2.x D m m   −   
+ Vậy với 2m thì hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó.

2) Hàm số đồng biến trên khoảng ( );6− − hàm số liên tục trên khoảng ( );6− −
và ( )0 ; 6 .yx   − − ( ) 6;6
6 2.
26 3 0
mm
m
mm
− − − 
   −  
− 

+ Vậy với )6;2m− thì hàm số đồng biến trên khoảng ( ); 6 .− −

3) Hàm số nghịch biến trên khoảng ( )10;+ hàm số liên tục trên khoảng ( )10;+
và ( )0 10; .yx   + ( ) 1010;
2 10.
26 3 0
mm
m
mm
 + 
    
− 

+ Vậy với (2;10m thì hàm số nghịch biến trên khoảng ( ); 6 .− − Lop9.edu.vn

10. 8

4) Hàm số nghịch biến trên khoảng ()4;12 hàm số liên tục trên khoảng ()4;12
và ()0 4;12 .yx   () (  )
( )
( )
;4 12;4;12
2;4 12; .
2;6 3 0
mm
m
mm
 −  +
     +
 +− 

+ Vậy với ( )2;4 12;m  + thì hàm số nghịch biến trên khoảng ()4;12 .

Nhận xét: + Tương tự như bài 7 trong bài 8 cả 4 phần ta không sử dụng được 0y
với phần 1; 2 và 0y với phần 3;4 vì ở đây nếu dầu bằng xẩy ra thì sẽ xẩy
ra với mọi .xD
+ Trong phần 2 ta có thể thay hàm số liên tục bằng trên khoảng ( );6− −
bằng hàm số xác định trên khoảng ( );6− − và các phần 3,4 tương tự
Bài 9. Hàm số ( )()
33
3
y x m x n x= + + + − (tham số ;mn ) đồng biến trên khoảng ( );− +
. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức ( )
22
4P m n m n= + − − bằng
Giải
Ta có ()() ()
22
2 2 2 2
3 3 3 3 2y x m x n x x m n x m n = + + + − = + + + +
 .
Hàm số đồng biến trên ( );− + 0
0
0
a
mn

  
 .
TH1: 0
0
0
m
mn
n
=
=

= .
Do vai trò của ,mn là như nhau nên ta chỉ cần xét trường hợp 0m= . ()
2 1 1 1
4 2 1
4 16 16
P n n n

 = − = − −  −


.
TH2: 0 0; 0mn m n    (do vai trò của ,mn như nhau).
Ta có () ()
2
21 1 1
2 4 2
4 16 16
P m n n

= − − + + −  −

 .
Từ ()()1 , 2 ta có min
1
16
P=− . Dấu ""= xảy ra khi và chỉ khi 1
;0
8
mn== hoặc 1
0;
8
mn==
.
Bài 10. Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số sau 32
sin 3cos sin 1y x x m x= − − −
đồng biến trên đoạn 0;
2


 .
Giải
Đặt sin , 0; 0;1
2
x t x t

=   


Xét hàm số ()
32
34f t t t mt= + − −
Ta có ()
2
36f t t t m= + − Lop9.edu.vn

11. 9
Để hàm số ()ft đồng biến trên 0;1 cần: ()   
22
0 0;1 3 6 0 0;1 3 6 0;1f t t t t m t t t m t    + −     +   

Xét hàm số ()
2
36g t t t=+ trên đoạn 0;1 () ()6 6; 0 1.g t t g t t= + =  = −

Bảng biến thiên

Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy với 0m thì hàm số ()ft đồng biến trên 0;1 , hàm
số ()fx đồng biến trên đoạn 0;
2


 .
Chú ý: Với cách đặt sintx= ta có hàm số sintx= đồng biến trên đoạn 0;
2



do đó tìm m để hàm số 32
sin 3cos sin 1y x x m x= − − − đồng biến trên đoạn
.0;
2


 trở thành bài toán tìm m để hàm số()
32
34f t t t mt= + − − đồng biến trên đoạn 0;1 .

Bài 11. Tìm m để hàm số 2cot 1
cot
x
y
xm
+
=
+ đồng biến trên khoảng ;
42


 ?
Giải
Đặt cottx= , ;
42
x



 ()0;1t .
Xét hàm số ()
21t
ft
tm
+
=
+ trên khoảng ()0; 1 ,tm− .
Ta có ()
()
2
21m
ft
tm
−
=
+ , ()0;1t ,tm− .
Khi đó để hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ;
42


 thì ()ft nghịch biến trên
khoảng ()0; 1 (vì 2
1
0,
sin
t
x
−
= ;
42
x



 ()0,ft ()t 0; 1 ,tm− ).
Điều kiện: ()
2 1 0
0;1
m
m
−

− 1
2
0
1
m
m
m





−


− 1
2
0
1
m
m
m








− 1
1
0
2
m
m
−



 . t
0 1 ()gt
+ ()gt
0


9

Lop9.edu.vn

12. 10
Chú ý: Với cách đặt cottx= ta có hàm số cottx= nghịch biến trên
khoảng ;
42


 do đó tìm m để hàm số 2cot 1
cot
x
y
xm
+
=
+ đồng biến trên khoảng
;
42


 trở thành bài toán tìm m để hàm số ()
21t
ft
tm
+
=
+ nghịch biến trên khoảng ()0;1 .



DẠNG 2: XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU DỰA VÀO BẢNG BIẾN THIÊN HOẶC
BẢNG XÉT DẤU CỦA ĐẠO HÀM

Bài 1. Cho hàm số ()fx có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào?
Giải
+ Cách 1: Từ bảng biến thiên ta thấy ( )()0 ; 2 0;2yx   − −   hàm số nghịch
biến trên khoảng ( );2− − và ()0;2 .
+ Cách 2: Từ bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số đi xuống trên khoảng ( );2− − và ()0;2
hàm số nghịch biến trên khoảng ( );2− − và ()0;2 .

Bài 2. Cho hàm số ()fx có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào?

Giải
+ Cách 1: Từ bảng biến thiên ta thấy ()0 1;2yx   −  hàm số nghịch biến trên
khoảng ()1;2 .−
+ Cách 2: Từ bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số lên từ trái qua phải trên khoảng ()1;2−
hàm số đồng biến trên khoảng ()1;2 .− Lop9.edu.vn

13. 11

Bài 3. Cho hàm số ()fx có bảng biến thiên như sau:

Hàm số () ()32g x f x=− đồng biến trên khoảng nào?
Giải
+ Từ bảng biến thiên của hàm số()y f x= tập xác định của hàm số ()y f x= là D=
tập xác định của hàm số () ()32g x f x=− cũng là .
+ Ta có () ()() () ()
0
2 ; 2 0 0
2
x
g x f x g x f x f x
x
=
    = − = − =  =  

=
+ Bảng biến thiên của hàm số ()y g x= như hình vẽ -6 -6
+ +
5
+∞
+∞
+∞
0
000
22
∞
g
g'
x

+ Vậy hàm số () ()32g x f x=− đồng biến trên các khoảng ()2;0− và ( )2; .+
Bài 4. Cho hàm số ()y f x= liển tục trên và ta có bảng xét dấu của ()fx
như sau: x
− 3− 1− 1 + ()fx
− 0 + 0 − 0 +
Hàm số ()( )32g x f x=− nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
Giải
+ Từ bảng xét dấu của()fx tập xác định của hàm số ()y f x= là D= tập
xác định của hàm số ()( )32g x f x=− cũng là .
+ Ta có () ( )() ( ) ( )2 3 2 ; 2 3 2 0 3 2 0g x f x g x f x f x    = − − = − − =  − = Lop9.edu.vn

14. 12 3
3 2 3
2.
3 2 1
1
x
x
x
x
x
=
− = − 
  =
 
− = 
=


+ Bảng xét dấu của ()gx như hình vẽ x
− 1 2 3 + ()gx
− 0 + 0 −
0 +
+ Từ bảng xét dấu ()gx hàm số ()( )32g x f x=− nghịch biến trên các khoảng ();1 .−
và ()2;3 .
Bài 5. Cho hàm số ()=y f x có bảng biến thiên như sau:

Xét tính đơn điệu của hàm số 2
( 2)=−y f x ..
Giải
+ Quan sát bảng biến thiên của hàm số ()y f x= ta thấy ()0fx= 0
2
x
x
=


= .
+ Với ( )
2
2y f x=− ta có ( )
2
2 . 2y x f x=− ; 0y= 2
2
0
20
22
x
x
x
=

 − =


− = 
 0
2
2
x
x
x
=

 = 


=
 .
+ Bảng xét dấu

+ Dựa vào bảng xét dấu y ta được 0y , x ( )( )( )2; 2 0; 2 2;− −   + nên hàm
số ( )
2
4y f x=− nghịch biến trên các khoảng ( )( )( )2; 2 ; 0; 2 ; 2;− − + và 0y
với ( )( )( ); 2 2;0 2;2x  − −  −   hàm số ( )
2
4y f x=− đồng biến trên các
khoảng( )( )( ); 2 ; 2;0 ; 2;2 .− − − Lop9.edu.vn

15. 13
Bài 6. Cho hàm số ()y f x= có đạo hàm liên tục trên . Bảng biến thiên của hàm số ()y f x=
được cho như hình vẽ bên. Hàm số 1
2
x
y f x

= − +

 nghịch biến trên khoảng

A. ()2;4 . B. ()0;2 . C. ()2;0− . D. ( )4; 2−− .
Giải
Đặt ()1
2
x
g x f x

= − +

 thì ()
1
11
22
x
g x f

= − − +

 .
Ta có ()0 1 2
2
x
g x f

  − 


+ TH1: 12
2
x
f

−

 2 1 3
2
x
  −  42x −   − . Do đó hàm số nghịch biến trên
khoảng ( )4; 2−− .
+ TH2: 12
2
x
f

−

 1 1 <0
2
x
a −  −  2 2 2 4ax  −   nên hàm số chỉ nghịch
biến trên khoảng ( )2 2 ;4a− , chứ không nghịch biến trên toàn khoảng ()2;4 .
Vậy hàm số 1
2
x
y f x

= − +

 nghịch biến trên ( )4; 2−− .



DẠNG 3: XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU DỰA VÀO ĐỒ THỊ HÀM SỐ HOẶC ĐỒ THỊ
CỦA ĐẠO HÀM
Bài 1. Cho đồ thị hàm số như hình vẽ.

Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số.
Giải x
1− 0 1 2 3 ()fx

4 3

1

2


1−
Lop9.edu.vn

16. 14
+ Từ đồ thị hàm số ()y f x= ta thấy đồ thị hàm số đi xuống từ trái qua phải trên
khoảng ( );1− − và khoảng ()0;1 hàm số nghịch biến trên khoảng ( );1− − và
khoảng ()0;1 .
+ Từ đồ thị hàm số ()y f x= ta thấy đồ thị hàm số đi lên từ trái qua phải trên khoảng ()1;0−
và khoảng ()1;+  hàm số nghịch biến trên khoảng ()1;0− và khoảng ()1; .+


Bài 2. Cho hàm số ()fx xác định trên và có đồ thị hàm số ()y f x= là đường
cong trong hình vẽ. Xác định các khoảng đồng biến,nghịch biến của hàm số.


Giải
+ Từ đồ thị hàm số ()y f x= ta thấy đồ thị hàm số nằm phía dưới trục hoành trên
khoảng ( );2− − và khoảng () () ( )()0;2 0 ; 2 0;2f x x    − −   hàm số
nghịch biến trên khoảng ( );2− − và khoảng ()0;2 .
+ Từ đồ thị hàm số ()y f x= ta thấy đồ thị hàm số nằm phía trên trục hoành trên
khoảng ()2;0− và khoảng ( ) () ()( )2; 0 2;0 2;f x x+     −  +  hàm số
đồng biến trên khoảng ()2;0− và khoảng ( )2; .+

Bài 3. Cho hàm số()y f x= liên tục trên . Hàm số ()y f x= có đồ thị như
hình bên. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số ()()2.g x f x=−


Giải
O x y 1− 1 4 ()y f x= Lop9.edu.vn

17. 15
+ Từ đồ thị của hàm số ()y f x= tập xác định của hàm số ()y f x= là D=
tập xác định của hàm số ()()2g x f x=− cũng là .
+ Ta có () ()() () ()2 ; 2 0 2 0g x f x g x f x f x    = − − = − − =  − = 2 1 3
2 1 1 .
2 4 2
xx
xx
xx
− = − =

 − =  =

− = = −


+ Bảng xét dấu của ()gx như hình vẽ x
− 2− 1 3 + ()gx
− 0 + 0 −
0 +
+ Từ bảng xét dấu ()gx hàm số ()()2g x f x=− đồng biến trên các khoảng ()2;1 ,−
()3;+ và nghịch biến trên các khoảng ( )(); 2 , 1;3 .− −
Bài 4. Cho hàm số ()fx xác định trên tập số thực và có đồ thị ()fx như hình sau.
Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số ()().g x f x x=−

Giải

+ Từ đồ thị của hàm số ()y f x= tập xác định của hàm số ()y f x= là D=
tập xác định của hàm số ()()g x f x x=− cũng là .
+ Ta có ()() ()() ()1; 1 0 1g x f x g x f x f x    = − = − =  = 1
1.
2
x
x
x
=−

=

=

+ Bảng xét dấu của ()gx như hình vẽ x
− 1− 1 2 + ()gx
+ 0 − 0 −
0 + O x y 1− 1− 1 2 1 Lop9.edu.vn

18. 16
+ Từ bảng xét dấu ()gx hàm số ()()g x f x x=− đồng biến trên các khoảng ( ); 1 ,− −
( )2;+ và nghịch biến trên các khoảng ()1;2 .−
Bài 5. Cho hàm số ()y f x= liên tục trên . Biết hàm số ()y f x= liên tục trên
và có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Hàm số ( )
2
3y f x=− đồng biến trên
khoảng

A. ()2;3 . B. ( )2; 1−− . C. ()1;0− . D. ()0;1 .
Giải

Cách 1: Dựa vào đồ thị ()fx ta có ()
6
01
2
x
f x x
x
=−

=  = −

=
 (cả 3 nghiệm đều là nghiệm
đơn). Ta có: ( )
2
2 . 3y x f x= − − ( )
2
0 2 . 3 0y x f x=  − − = 22
22
22
00 0
3 6 9 3
23 1 4
13 2 1
xx x
xx x
xxx
xxx
== =
 
− = − = =
   
 =− = − =
 
= − =  = 

(cả 7 nghiệm đều là nghiệm đơn)
Nhận xét: Do ()fx mang dấu dương khi 2x (ta gọi là miền ngoài cùng) nên ( )
2
2 . 3x f x−−
có miền ngoài cũng cũng mang dấu ()()().− − = + nên ta có bảng xét dấu ( )
2
2 . 3y x f x= − −
như sau x
− 3− 2− 1− 0 1 2 3 + ( )
2
2 . 3x f x−−
− 0 + 0 − 0 + 0 − 0 + 0 − 0 +
Do đó hàm số đồng biến trên khoảng ()1;0− .
Cách 2: Hàm số ( )
2
3y f x=− đồng biến khi 0y ( )
2
2 3 0xf x − −  ( )
2
2 3 0xf x − 
.
TH1: ( )
2
0
30
x
fx



−
 2
2
0
32
6 3 1
x
x
x


 −

−  −  − 2
2
0
1
0
49
x
x
x
x








 10
32
x
x
−  


−   − O x y 2 1− 6− Lop9.edu.vn

19. 17
TH2: ( )
2
0
30
x
fx



−
 2
2
0
36
1 3 2
x
x
x


 −  −

−  −  2
2
0
9
0
14
x
x
x
x








 3
12
x
x



 .
So sánh với đáp án Chọn C.
Cách 3: Giải trắc nghiệm
Từ đồ thị hàm số ()y f x= ta có ()
2
0
61
x
fx
x



−   − ; ()
6
0
12
x
fx
x
−


−  
Xét hàm số ( )
2
3y f x=− ta có ( )
2
23y xf x= − − .
Hàm số ( )
2
3y f x=− đồng biến khi 0y ( )
2
2 3 0xf x − −  ( )
2
2 3 0xf x −  tức là
hàm số ( )
2
3y f x=− đồng biến khi x và ( )
2
3fx− trái dấu.
Dựa vào đồ thị ()y f x= ta có với ()1;0x  − thì ( )
2
30fx− (do 2
2 3 3x −  ) nên
hàm số ( )
2
3y f x=− đồng biến.
Bài 6. Cho hai hàm số () (),.y f x y g x== Hai hàm số ()y f x= và ()y g x=
có đồ thị như hình vẽ bên, trong đó đường cong đậm hơn là đồ thị của hàm số ().y g x=


Hàm số()()
3
42
2
h x f x g x

= + − −

 đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A. 31
5;
5


 . B. 9
;3
4


 . C. 31
;
5

+

 . D. 25
6;
4


 .
Giải
Kẻ đường thẳng 10y= cắt đồ thị hàm số ()y f x= tại ();10Aa , ()3;10a . Khi đó ta
có () ()' 4 10,khi3 4 ' 4 10,khi 1 4
3 3 3 3 25
' 2 5,khi0 2 11 ' 2 5,khi
2 2 2 4 4
f x x a f x x
g x x g x x
+   +  +  −  

   
−   −  −   
   
    . Lop9.edu.vn

20. 18
Do đó ()()
3
4 2 2 0
2
h x f x g x

  = + − − 

 khi 3
4
4
x .
Kiểu đánh giá khác:
Ta có ()()
3
4 2 2
2
h x f x g x

  = + − −

 .
Dựa vào đồ thị, 9
;3
4
x



 , ta có 25
47
4
x +  , ()()' 4 ' 3 10f x f+  = ; 39
32
22
x − 
, do đó ()
3
' 2 ' 8 5
2
g x f

−  =

 .
Suy ra ()()
39
4 2 2 0, ;3
24
h x f x g x x
   
  = + − −   
   
    . Do đó hàm số đồng biến trên 9
;3
4



.
Bài 7. Cho hàm số y f x có đạo hàm trên thỏa 2 2 0ff và đồ thị
hàm số y f x có dạng như hình vẽ bên dưới.

Hàm số 2
y f x nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau:
A. 3
1;
2 B. 2; 1 C. 1;1 D. 1;2
Giải
Dựa vào đồ thị hàm sốy f x ta lập được bảng biến thiên của y f x như sau:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy 0,f x x .
Xét hàm số 2
y f x , ta có 2.y f x f x . Lop9.edu.vn

21. 19
Do ()0 y f x x=    và 0, 1;2 ; 2f x x nên hàm số 2
y f x
nghịch biến trên khoảng ;2 và 1;2 .
Bài 8. Cho hàm số()y f x= . Đồ thị hàm số ()y f x= như hình vẽ dưới

Đặt ()()
21
2018.
2
g x f x x x= + + + Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số ()gx đồng biến trên ()1; 3 B. Hàm số ()gx đồng biến trên ( )3; 0−

C. Hàm số ()gx đồng biến trên ()0; 3 D. Hàm số ()gx nghịch biến trên ()0; 3

Giải
Ta có: ()() 1g x f x x= + +
Xét: () () ()110g x f x x   − −
Dựa vào đồ thị hàm số ()y f x= và đồ thị 1yx= − − ta thấy:

Đồ thị hàm số ()y f x= nằm “phía trên” đồ thị 1yx= − − khi ()( )3; 1 3;x −  +  .
Do đó: () ()( )3; 1 3;1x  −  +
Vậy hàm số ()gx đồng biến trên ()3; 1− và ( )3;+ , hàm số ()gx nghịch biến trên ( );3− −
và ()1; 3
Vậy khẳng định đúng là B. Lop9.edu.vn

22. 20
Bài 9. Cho hàm số ()
32
y f x ax bx cx d= = + + + có đồ thị như
hình bên. Đặt ()( )
2
2g x f x x= + + . Chọn khẳng định đúng
trong các khẳng định sau


A. ()gx nghịch biến trên khoảng ()0;2 .
B. ()gx đồng biến trên khoảng ()1;0− .
C. ()gx nghịch biến trên khoảng 1
;0
2
−

 .
D. ()gx đồng biến trên khoảng ( );1− − .
Giải
Hàm số ()
32
y f x ax bx cx d= = + + + ; ()
2
32f x ax bx c= + + , có đồ thị như hình vẽ.
Do đó 04xd=  = ; 2 8 4 2 0x a b c d=  + + + = ; ()2 0 12 4 0f a b c=  + + = ; ()0 0 0fc=  =
. Tìm được 1; 3; 0; 4a b c d= = − = = và hàm số 32
34y x x= − + .
Ta có ()( )
2
2g x f x x= + + ( )( )
3
22
2 3 2 4x x x x= + + − + + + ()( ) ( )( )
2231
2 1 2 3 2 1 3 2 1 2 1
22
g x x x x x x x x

 = + + + − + = + + + −


; ()
1
2
01
2
x
g x x
x

=−


=  =


=−



Bảng xét dấu của ()gx : x y y − + 1 0 − + + 0 0 1/2− 2− − + + 4 4 7710
8
−

Vậy ()gx nghịch biến trên khoảng 1
;0
2
−

 .
O x y 2 4 Lop9.edu.vn

23. 21
Bài tập trắc nghiệm
Câu 1. Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên .
A. 42
1y x x= + + . B. 3
1yx=+ . C. 41
2
x
y
x
+
=
+ . D. tanyx= .
Câu 2. Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên ?
A. 2
yxx=+ . B. 42
yxx=+ . C. 3
yxx=+ . D. 1
3
y
x
x
+
=
+
Câu 3. Cho hàm số ()fx có đạo hàm ()()()()
23
1 1 2f x x x x= + − − . Hàm số ()fx
đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A. ( )2;+ . B. ()1;1− . C. ()1;2 . D. ( );1− − .
Câu 4. Hàm số nào sau đây đồng biến trên ?
A. 32
2 3.y x x x= − + + B. 42
4 2.y x x= + − C. 1
.
2
x
y
x
−
=
− D. 1
2
y
x
=
−
Câu 5. Hàm số 4
2yx=− nghịch biến trên khoảng nào?
A. 1
;
2

−


 . B. ( );0− . C. 1
;
2

+


 . D. ( )0;.+
Câu 6. Cho hàm số 3
3.y x x=− Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng ( );1− − và nghịch biến trên khoảng ()1;+ .
B. Hàm số đồng biến trên khoảng ( ; ).− +
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( );1− − và đồng biến trên khoảng ()1;+
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng ()1;1− .
Câu 7. Cho hàm số 42
25y x x= − − . Kết luận nào sau đây đúng?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng ( );1− − .
B. Hàm số nghịch biến với mọi x .
C. Hàm số đồng biến với mọi x .
D. Hàm số đồng biến trên khoảng ()1;0− và ( )1;+ .
Câu 8. Các khoảng đồng biến của hàm số 3
3y x x=+ là
A. ( )0;+ . B. ()0;2 . C. . D. ();1−

và ( )2;+ .
Câu 9. Cho hàm số 1
2
x
y
x
+
=
− . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Hàm số đã cho đồng biến trên từng khoảng xác định của nó.
B. Hàm số đã cho nghịch biến trên .
C. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ( )( );2 2;−  + .
D. Hàm số đã cho nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó.
Câu 10. Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào không đồng biến trên ? Lop9.edu.vn

24. 22
A. sin 3 .=−y x x B. cos 2 .=+y x x C. 32
5 1.= − + −y x x x D. 5
.=yx
Câu 11. Cho hàm số 32
3 5.= − +y x x Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( );0− . B. Hàm số nghịch biến trên khoảng ()0;2 .
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( )2;+ . D. Hàm số đồng biến trên khoảng ()0;2 .
Câu 12: Tìm tất cả các khoảng đồng biến của hàm số 321
2 3 1
3
y x x x= − + − .
A. ()1;3 . B. ();1− và ( )3;+ . C. ( );3− . D. ()1;+ .
Câu 13. Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào nghịch biến trên tập số thực ?
A. 2
x
y
e

=

 . B. ( )
2
4
y log 2 1x

=+ . C. 1
2
y logx= . D. 3
x
y

=

 .
Câu 14: Cho hàm số 1
.
1
x
y
x
+
=
− Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng ();1− .
B. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ();1− và khoảng ()1;+ .
C. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ( )0;+ .
D. Hàm số đã cho nghịch biến trên tập \1 .
Câu 15. Hàm số 4
2
21
4
x
yx= + − đồng biến trên khoảng
A. ( );1− − . B. ( );0− . C. ( )1;− + . D. ( )0;+ .
Câu 16. Kết luận nào sau đây về tính đơn điệu của hàm số 21
1
x
y
x
+
=
+ là đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên .
B. Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ( );1− − và ( )1;− + .
C. Hàm số đồng biến trên .
D. Hàm số nghịch biến trên \1− .
Câu 17. Trong các hàm số sau, hàm số nào luôn nghịch biến trên ?
A. siny x x=− . B. 32
3y x x= − + . C. 23
1
x
y
x
+
=
+ . D. 42
31y x x= − − .
Câu 18. Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên ?
A. tan=yx . B. 42
1= + +y x x . C. 3
1=+yx . D. 41
2
+
=
+
x
y
x .
Câu 19. Hàm số nào sau đây không đồng biến trên khoảng ( );− + ?
A. 3
1yx=+ . B. 1yx=+ . C. 2
1
x
y
x
−
=
− . D. 53
10y x x= + − . Lop9.edu.vn

25. 23
Câu 20. Cho hàm số 3
32= + +y x x . Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng ( );0− và nghịch biến trên khoảng ( )0;+ .
B. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( );0− và đồng biến trên khoảng ( )0;+ .
C. Hàm số đồng biến trên khoảng ( );− + .
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( );− + .
Câu 21. Hàm số 2
44y x x= − + đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây?
A. ( );2− . B. ( );− + . C. ( )2;+ . D. ( )2;− + .
Câu 22: Cho hàm số 21
1
x
y
x
+
=
− . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên ();1− và ( )1;+ .
B. Hàm số đồng biến trên \1 .
C. Hàm số đồng biến trên ();1− và ( )1;+ .
D. Hàm số đồng biến trên ()();1 1;−  + .
Câu 23. Hàm số nào sau đây nghịch biến trên từng khoảng xác định?
A. 42
y x x=− . B. 32
3y x x= − + . C. 2 siny x x=− . D. 1
2
x
y
x
−
=
− .
Câu 24. Cho hàm số 32
3 9 1y x x x= − + + − . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ( );1− − , ( )3;+ ; nghịch biến trên ()1;3− .
B. Hàm số đồng biến trên ()1;3− , nghịch biến trên ( )( ); 1 3;− −  + .
C. Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ( );3− − , ( )1;+ ; nghịch biến trên ()3;1− .
D. Hàm số đồng biến trên ()1;3− , nghịch biến trên mỗi khoảng ( );1− − , ( )3;+ .
Câu 25: Cho hàm số 23
4
x
y
x
−
=
− . Hãy chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
A. Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định.
B. Hàm số đồng biến trên .
C. Hàm số nghịch biến trên .
D. Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định.
Câu 26. Tìm các khoảng đồng biến của hàm số 42
23y x x= + − .
A. ()1;0− và ()1;+ . B. ( );1− − và ()0;1 . C. ( )0;+ . D. ( );0− .
Câu 27. Hàm số nào dưới đây đồng biến trên ?
A. 42
23y x x= + + . B. 2
x
y
x
=
+ . C. 3
32y x x= + + . D. 2
2yx= .
Câu 28. Cho hàm số 3
32y x x= − + . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( );1− − . Lop9.edu.vn

26. 24
B. Hàm số nghịch biến trên khoảng ()1;+ .
C. Hàm số đồng biến trên khoảng ()1;1− .
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng ()1;1− .
Câu 29. Cho hàm số 32
31y x x= − + − , kết luận nào sau đây về tính đơn điệu của hàm
số là đúng nhất:
A. Hàm số đồng biến trên khoảng ()0;2 và nghịch biến trên các khoảng ( );0−
;( )2;+ ;
B. Hàm số đồng biến trên khoảng ()0;2 ;
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng ()0;2 và đồng biến trên các khoảng ( );0−
;( )2;+ ;
D. Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( );0− và ( )2;+ .
Câu 30. Cho hàm số 3211
12 1
32
xyxx− − −= . Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng ()3;4− .
B. Hàm số đồng biến trên khoảng ( )4;+ .
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( );4− .
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( )3;−+ .
Câu 31. Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để hàm số sau đồng biến trên . 321
2 ( 3) 5
3
y x mx m x m= − + + + −

A. 3
1
4
m−   . B. 1m . C. 3
1
4
m−   . D. 3
4
m− .
Câu 32. Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số m để hàm số sau nghịch biến trên
một đoạn có độ dài bằng 3 3211
2 3 4
32
y x mx mx m= − + − + .

Tính tổng tất cả phần tử của
S.
A. 9 . B. 1− . C. 8− . D. 8 .
Câu 33. Tìm m để hàm số ( )
32
3 3 2 1 1y x mx m= − + − + đồng biến trên .
A. Không có giá trị m thỏa mãn. B. 1m .
C. 1m= . D. Luôn thỏa mãn với mọi m .
Câu 34. Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên m để hàm số ( )()
2 3 2
1 1 4y m x m x x= − + − − +
nghịch biến trên khoảng ( );− + ?
A. 1 . B. 2 . C. 0 . D. 3 . Lop9.edu.vn

27. 25
Câu 35. Cho hàm số ( )
32
4 9 5y x mx m x= − − + + + , với m là tham số. Có bao nhiêu giá
trị nguyên của m để hàm số nghịch biến trên ( );− + ?
A. 5 . B. 6 . C. 7 . D. 4 .
Câu 36. Tìm m để hàm số 21x
y
xm
−
=
− đồng biến trên ( )0;+ .
A. 1
2
m . B. 0m . C. 1
2
m . D. 1
0
2
m .
Câu 37. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số 2
4
xm
y
x
+
=
+ đồng biến
trên từng khoảng xác định của nó?
A. 5 B. 3 C. 1 D. 2
Câu 38. Có bao nhiêu giá trị nguyên không âm của tham số m để hàm số
42
2 3 1y x mx m= − − + đồng biến trên khoảng ()1;2 .
A. 1 B. 4 C. 2 D. 3
Câu 39. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số ()
2
ln 1
2
x
y mx x= − + −
đồng biến trên khoảng ()1;+ ?
A. 3 . B. 4 . C. 2 . D. 1 .
Câu 40. Cho hàm số 2
xm
y
x
+
=
+ . Tập hợp tất cả các giá trị của m để hàm số đồng biến
trên khoảng ( )0;+ là
A. ( )2;+ .

B. ( );2− . C.  )2;+ .

D. ( ;2− .
Câu 41. Cho hàm số ()=y f x có bảng biến thiên
như hình dưới đây.Tìm mệnh đề đúng
trong các mệnh đề sau

A. Hàm số đồng biến trên khoảng ();3− .
B. Hàm số nghịch biến trên khoảng( );2− − .
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( )2;− + .
D. Hàm số đồng biến trên khoảng ( )4; 1−− .
Câu 42. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số 2
3
3
1
mm
yx
x
đồng biến trên từng khoảng xác định của nó?
A. 4 . B. 2 . C. 1 . D. 3 .
Câu 43. Tất cả các giá trị của tham số m sao cho hàm số 32
31y x x mx= − + + luôn
đồng biến trên tập xác định là Lop9.edu.vn

28. 26
A. 3m . B. 3m . C. 3m . D. 3m .
Câu 44. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số 4
xm
y
mx
+
=
+ đồng biến
trên từng khoảng xác định?
A. 2 . B.4 . C. 3 . D. 5 .
Câu 45. Cho hàm số 32
31y x x mx= − + − + . Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của m để
hàm số nghịch biến trên .
A. 3 . B. Vô số. C. 0 . D. 1 .
Câu 46. Cho hàm số 32
axy bx cx d= + + + đồng biến trên R khi
A. 2
;0
30
a b c
b ac
=

− . B. 2
0
0; 3 0
abc
a b ac
= = =

 −  .
C. 2
0; 0
0; 3 0
a b c
a b ac
= = 

 −  . D. 2
0; 0
0; 3 0
a b c
a b ac
= = 

 −  .
Câu 47. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số tan 2
tan
x
y
xm
−
=
− đồng
biến trên khoảng ;0 .
4

−


A. 12m−   . B. 2m . C. 2m . D. 1
02
m
m
−

 .
Câu 48. Tìm điều kiện của tham số thực m để hàm số ()
32
3 3 1 2y x x m x= − + + +
đồng biến trên .
A. 2m . B. 2m . C. 0m . D. 0m .
Câu 49. Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để hàm số 4mx
y
mx
−
=
− nghịch biến trên
khoảng ()3;1− .
A. ()1;2m . B. )1;2m . C. 1;2m . D. (1;2m .
Câu 50. Số giá trị nguyên của 10m để hàm số ( )
2
ln 1y x mx= + + đồng biến trên ( )0;+
là
A. 10 . B. 11 . C. 8 . D. 9 .

Câu 51 Cho hàm số ()y f x= có bảng biến thiên sau:

Hàm số ()y f x= đồng biến trên khoảng nào sau đây? Lop9.edu.vn

29. 27
A. ( );5− . B. ()0;2 . C. ( )2;+ . D. ( )0;+ .
Câu 52. Cho hàm số ()y f x= có bảng biến thiên như sau:

Hàm số nghịch biến trong khoảng nào?
A. ()1;1− . B. ()0;1 . C. ( )4;+ . D. ( );2− .
Câu 53. Cho hàm số ()y f x= có bảng biến thiên như hình vẽ.

Mệnh đề nào sau đây là sai?
A. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ();1− .
B. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng ()0;3 .
C. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ( )2;+ .
D. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ( )3;+ .
Câu 54. Cho hàm số ()y f x= có bảng biến thiên như sau. Khẳng định nào dưới đây
đúng?

A. Hàm số đồng biến trên ()1;1− .
B. Hàm số nghịch biến trên các khoảng ()1;0− và ()1;+ .
C. Hàm số đồng biến trên các khoảng ()1;0− và ()1;+ .
D. Hàm số đồng biến trên các khoảng ( );1− − và ()0;1 .
Câu 55. Cho đồ thị hàm số ()y f x= liên tục trên và có đồ thị
như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng ()1;3 .
B. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( )6;+ .
C. Hàm số đồng biến trên khoảng ( );3− .
O x y 2 7 x
− 1 2 + y
+ 0 − 0 + y
−

3 0

+
x
− 1− 0 1 + y
+ 0 −

− 0 + y
−

2 −
+
4

+
x
− 1− 0 1 + y
− 0 + 0 − 0 + y
+
0

3 0

+
Lop9.edu.vn

30. 28
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng ()3;6 .
Câu 56. Cho hàm số ()y f x= có bảng biến thiên như sau


Mệnh đề nào sau đây sai?
A. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ( )2;+ .
B. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ( )3;+ .
C. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng ()0;3 .
D. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ();1− .
Câu 57. Cho hàm số ()y f x= có bảng biến thiên như sau

Hàm số ()y f x= đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A. ( );1− − . B. ( )1;− + . C. ()0;1 . D. ()1;0− .
Câu 58. Cho hàm số ()y f x= có bảng biến thiên như sau:

Hàm số ()y f x= nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A. ()3;1− . B. ( )0;+ . C. ( );2− − . D. ()2; 0− .
Câu 59. Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số có
dạng 32
y ax bx cx d= + + + ()0a . Hàm số đồng biến trên khoảng
nào dưới đây?
A. ()1;+ . B. ( )1;− + .
C. ();1− . D. ()1;1− .

Câu 60. Cho hàm số ()y f x= có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây đúng
về hàm số đó?
O x y 1− 1 1 3− x
− 1− 0 1 + y
− 0 + 0 − 0 + y
+
1

0 1

+
x
− 2− 0 + y
+ 0 − 0 + y
−

1 3−

+
Lop9.edu.vn

31. 29
A. Đồng biến trên khoảng ()0;2 .
B. Nghịch biến trên khoảng ()3;0− .
C. Đồng biến trên khoảng ()1;0− .
D. Nghịch biến trên khoảng ()0;3 .

Câu 61: Cho hàm số ()y f x= có đồ thị như như hình vẽ
bên dưới. Hàm số ()y f x= nghịch biến trên khoảng nào
dưới đây?
A. ()1;0− B. ( )1;+
C. ( );2− − D. ()2;1−


Câu 62. Cho hàm số ()y f x= liên tục trên R và có bảng xét dấu đạo hàm như hình
bên. Hàm số ()y f x=

nghịch biến trên khoảng nào sau đây? x
− 2− 1 3 5 + y
+ 0 − 0 + 0 − 0 +
A.()2;1− . B. ()1;3 . C.( );2− − . D. ( )3;+ .
Câu 63. Cho hàm số ()y f x= có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A. ( )1;− + . B. ()0;1 . C. ( );0− . D. ();1− .
Câu 64. Cho hàm số ()y f x= liên tục trên và có bảng biến thiên như hình dưới
dây.

Hỏi hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây?
A. ( )0;+ . B. ( );0− . C. ()1;0− . D. ()1;2− .
Câu 65. Cho hàm số ()y f x= có bảng biến thiên như sau O x y 1 1− 2− 4− 1 2− O x y 3− 1− 2 3 x
− 0 1 + y
+ 0 − 0 + y
−

5 1−

+
x
− 1− 0

2 + ()fx

− 0 + 0 − 0 +
()fx
+
5−

0

32−

+
Lop9.edu.vn

32. 30

Hàm số ()y f x= đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A. ()0;3 . B. ( )0;+ . C. ( );2− − . D. ()2;0− .
Câu 66. Cho hàm số ()y f x= có bảng biến thiên như sau:

Hàm số ()y f x= đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A. ()3;4− . B. ( );1− − . C. ( )2;+ . D. ()1;2− .
Câu 67. Cho hàm số ()y f x= có bảng
biến thiên như hình vẽ bên. Hàm số ()y f x=
nghịch biến trên khoảng nào
trong các khoảng sau đây?
A. ()1; 0− . B. ()1; 1− .
C. ( );1− − . D. ( )0;+ . + +
−
−
0
−−
−1x
y'
y
− +
0 0+
1
+

Câu 68. Cho hàm số ()y f x=
xác định, liên tục trên \1−
và có bảng biến thiên bên.

Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
A. Đồ thị hàm số không có điểm chung với trục hoành.
B. Hàm số có hai điểm cực trị.
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng ()2;0− .
D. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng.
Câu 69. Cho đồ thị hàm số ()y f x= có đồ thị như
hình vẽ. Hàm số ()y f x= đồng biến trên khoảng
nào dưới đây?
A. ()2; 2− . B. ( );0− .
C. ()0; 2 . D. ( )2;+ .
Lop9.edu.vn

33. 31
Câu 70. Cho hàm số ()y f x= có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số
nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A. ( );0− . B.( )2;+ .
C.( )0; 2 . D. ()2;2− .
Câu 71. Cho hàm số ()y f x= có bảng biến thiên như hình bên
dưới. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Hàm số đồng biến trên khoảng ( )0;+ .B. Hàm số nghịch biến trên khoảng ()1;1− .
C. Hàm số đồng biến trên khoảng ()1;0− . D. Hàm số nghịch biến trên khoảng ()0;1 .
Câu 72. Cho hàm số ()
ax b
fx
cx d
+
=
+ có đồ thị như hình bên dưới.

Xét các mệnh đề sau:
(I) Hàm số đồng biến trên các khoảng ();1− và ()1;+ .
(II) Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( );1− − và ()1;+ .
(III) Hàm số đồng biến trên tập xác định.
Số các mệnh đề đúng là:
1O
y
x
1

A. 2 . B. 1 . C. 0 . D. 3 .
Câu 73. Cho hàm số ()
32
f x ax bx cx d= + + + có đồ thị như
hình bên. Mệnh đề nào sau đây sai?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng ( );0− .
B. Hàm số đồng biến trên khoảng ();1− .
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng ()0;1 .
D. Hàm số đồng biến trên khoảng ( )1;+ . x
y
2
1
2
Hide Luoi
vuong
3
O1

Câu 74. Hàm số ()y f x= có đồ thị như hình vẽ bên.
Hàm số ()y f x=− đồng biến trên khoảng
A. ( )2;− + . B. ();1− . C. ( );0− . D. ( )1;− + . f(x)=1/(x+1)
x(t)=-1 , y(t)=t
T ?p h?p 1
y
4
20 4

-

- x
x
− 1− 0 1 + y
+ 0 −

− 0 + y
−

4− −
+
0

+
x
y
2 2
2
O Lop9.edu.vn

34. 32

Câu 75. Hàm số ()y f x= xác định
trên \1− và có bảng biến thiên
như hình bên. Khẳng định nào sau đây
sai?


A. ()fx đồng biến trên khoảng ();1− . B. ()fx đạt cực đại tại 1x= .
C. ()fx đồng biến trên khoảng ()1;1− . D. ()fx có cực đại bằng 0 .
Câu 76. Cho hàm số ()y f x= có bảng biến thiên như sau:

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng:
A. Hàm số đồng biến trên tập ( )( );0 2;−  + .
B. Hàm số nghịch biến trên khoảng ()0;4 .
C. Hàm số đồng biến trên khoảng ( );4− .
D. Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ( );0− và ( )2;+ .
Câu 77. Cho hàm số ()y f x= có đồ thị như hình vẽ bên.
Hàm số ()y f x= đồng biến trên khoảng
A. ( )1;− + . B. ()1;1− .
C. ();1− . D. ( );1− − .



Câu 78. Cho hàm số ()y f x= có đồ thị như hình vẽ.
Hàm số ()y f x= đồng biến trên khoảng nào dưới
đây?
A. ()0;2 . B. ()2;2− .
C. ( )2;+ . D. ( );0− .

Câu 79. Cho hàm số ()=y f x liên tục trên và có đồ thị như sau

O x 2 1 2− 1− 1 3 y 1− Lop9.edu.vn

35. 33
Hàm số ()=y f x nghịch biến trên khoảng
nào dưới đây?
A. ( );1− − . B. ()1;1− .
C. ( );0− . D. ( )0;+ . x
y
1
-2
-1
O
1

Câu 80. Cho hàm số ()y f x= có bảng biến thiên như sau


Hàm số ()y f x= nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A.
()1;0−
. B. ( );1− − . C. ()0;1 . D. ()1;1− .
Câu 81. Hàm số()y f x= có bảng biến thiên như sau. Hàm số ()y f x= đồng biến
trên khoảng nào dưới đây?

A. ()1;5 . B. ()0;2 . C. ( )2;+ . D. ( );0− .
Câu 82. Cho hàm số ()y f x= có bảng biến thiên như hình dưới đây. Mệnh đề nào
sau đây là đúng?

A. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng 1
;
2

− +

 .
B. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ( );3− . x
−
1
2
− 3 + y

+ + 0 − y
−

+ −

4 −

x
− 1− 0 1 + y
+ 0 − 0 + 0 − y
−

2 1

2 −

x
− 0 2 + y
- 0 + 0 - y
+




1



5








−

Lop9.edu.vn

36. 34
C. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng ( )3;+ .
D. Hàm số đã cho nghịch biến trên các khoảng 1
;
2

− −

 và ( )3;+ .
Câu 83. Cho hàm ()y f x= có bảng biến
thiên như hình vẽ bên. Hàm số đồng biến trên
khoảng nào dưới đây ?
A. ( )2;+ . B. ();3− .
C. ()2;2− D. ( )0;+ .

Câu 84. Cho hai hàm số ()y f x= và ()y g x= . Hai hàm
số ()y f x= và ()y g x= có đồ thị như hình vẽ dưới đây,
trong đó đường cong đậm hơn là đồ thị hàm số
()y g x= . Hàm số 5
( ) ( 6) 2
2
h x f x g x

= + − +

 đồng biến
trên khoảng nào dưới đây?
A. 21
;
5

+

 . B. 1
;1
4


 . C. 21
3;
5


 . D. 17
4;
4


 .
Câu 85. Cho hàm số ()y f x= có bảng biến thiên như hình vẽ sau:

Hàm số ()y f x= nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A. ()3;1− . B. ( )0;+ . C. ( );2− − . D. ()2; 0− .
Câu 86. Cho hàm số ()y f x= có đồ thị như hình vẽ
bên. Hàm số ()y f x= đồng biến trên khoảng nào
dưới đây ?
A. ()0;2 . B. ()2;2− .
C. ( );0− . D. ( )2;+

. Lop9.edu.vn

37. 35
Câu 87. Cho hàm số ()y f x= liên tục trên và có bảng biến thiên như hình dưới
dây. x
− 1− 0 2 + ()fx

− 0 + 0 − 0 + ()fx
+

5−

0
32−

+
Hỏi hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây?
A. ( )0;+ . B. ( );0− . C. ()1;0− . D. ()1;2− .
Câu 88. Cho hàm số ()fx liên tục trên và có đồ thị
như hình vẽ dưới đây, hàm số ()fx đồng biến trên
khoảng nào?
A. ( );0− . B. ( );1− − .
C. ()1;+ . D. ()1;1− .

Câu 89. Cho hàm số ()fx có bảng biến thiên như sau. Tìm mệnh đề đúng? 1
y
y'
∞
∞+ 2
00
1x
+
+∞ ∞
2

A. Hàm số ()y f x= nghịch biến trên khoảng ();1− .
B. Hàm số ()y f x= đồng biến trên khoảng ()1;1− .
C. Hàm số ()y f x= đồng biến trên khoảng ()2;2− .
D. Hàm số ()y f x= nghịch biến trên khoảng ( )1;− + .
Câu 90. Cho hàm số ()y f x= . Hàm số ()y f x= có đồ
thị như hình bên. Hàm số ( )
2
y f x x=− nghịch biến trên
khoảng nào dưới đây.
A. 1
;
2

− +

 . B. 3
;
2

− +

 .
C. 3
;
2

−

 . D. 1
;
2

+

 .
Lop9.edu.vn

38. 36
Câu 91. Cho đồ thị hàm số như hình vẽ.
Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
A. Hàm số luôn đồng biến trên .
B. Hàm số nghịch biến trên ()1;+ .
C. Hàm số đồng biến trên ( )1;− + .
D. Hàm số nghịch biến trên ( );1− − .

Câu 92. Cho hàm số ()y f x= có bảng biến thiên như sau. Khẳng định nào dưới đây
đúng?

A. Hàm số đồng biến trên ()1;1− .
B. Hàm số nghịch biến trên các khoảng ()1;0− và ()1;+ .
C. Hàm số đồng biến trên các khoảng ()1;0− và ()1;+ .
D. Hàm số đồng biến trên các khoảng ( );1− − và ()0;1 .
Câu 93. Cho đồ thị hàm số ()y f x= liên tục
trên và có đồ thị như hình vẽ bên.
Khẳng định nào sau đây là đúng ?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng ()1;3 .
B. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( )6;+ .
C. Hàm số đồng biến trên khoảng ( );3− .
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng ()3;6 .


Câu 94. Cho hàm số ()y f x= có bảng biến
thiên như hình dưới đây.
Số mệnh đề sai trong các mệnh đề sau đây ?
I. Hàm số đồng biến trên khoảng ( )3; 2−− .
II. Hàm số đồng biến trên khoảng ( );5− . ∞
++
5
∞
+∞
-2
0
00
3
∞
y
y'
x

III. Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( )2;− + .
IV. Hàm số đồng biến trên khoảng ( );2− − .
A. 2 . B. 3 . C. 4 . D. 1 . x
− 1− 0 1 + y
− 0 + 0 − 0 + y
+
0

3 0

+
Lop9.edu.vn

39. 37
Câu 96. Cho hàm số ()y f x= có đồ thị như như
hình vẽ bên dưới. Hàm số ()y f x= nghịch biến trên
khoảng nào dưới đây?
A. ()1;0− . B. ( )1;+ .
C. ( );2− − . D. ()2;1− .


Câu 97. Hàm số ()y f x= có
bảng biến thiên như hình vẽ bên.
Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên \2 .
B. Hàm số nghịch biến trên .

C. Hàm số nghịch biến trên ( );2− , ( )2;+ .
D. Hàm số đồng biến trên ( );2− , ( )2;+ .
Câu 98. Cho hàm s ố ()y f x=
có bảng biến thiên
như hình vẽ bên.Hàm số ()y f x=
đồng biến trên
khoảng nào dưới đây?

A. ( );1− − . B. ( )1;− + . C. ()0;1 . D. ()1;0− .
Câu 99. Cho hàm số ()y f x= có bảng
biến thiên như hình vẽ bên. Mệnh đề nào
sau đây là sai?


A. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ();1− .
B. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng ()0;3 .
C. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ( )2;+ .
D. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ( )3;+ .
Câu 100. Cho hàm s ố ()y f x=
có bảng biến thiên
như hình vẽ bên. Hàm số đã
cho đồng biến trên khoảng nào
dưới đây ?

A. ( )2;− + . B. ()2;3− . C. ( )3;+ . D. ( );2− − . x
− 2− 3 + y
− 0 + 0 − y
+
1

4 −

O x y 1 1− 2− 4− 1 2− Lop9.edu.vn

40. 38
- VỀ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG CỦA SÁNG KIẾN: Việc giải pháp đã được áp dụng
đã mang lại lợi ích thiết thực.
- Chuyên đề đã được áp dụng giảng dạy cho học sinh lớp 12 ôn thi tốt nghiệp, ĐH, CĐ
(trước đây), ôn thi HSG và ôn thi THPT Quốc gia năm học 2015 – 2016, 2016 – 2017,
2017 – 2018, 2018 - 2019, 2019 - 2020 tại trường THPT Ngô Gia Tự.
* ĐỐI VỚI GIÁO VIÊN TRỰC TIẾP ĐỨNG LỚP:
Chuyên đề giúp giáo viên có hướng giải lớp bài toán xét tính đơn điệu của hàm
số, tìm khoảng đơn điệu của hàm số, hàm hợp, hàm ẩn khi biết bảng biến thiên hoặc
đồ thị của hàm số hoặc đồ thị của hàm đạo hàm của hàm số, các bài toán về tính đơn
điệu của hàm số có tham số.
* ĐỐI VỚI HỌC SINH:
- Mô tả ý nghĩa, vai trò của việc giải quyết tình huống được lựa chọn đối với thực
tiễn học tập:
Sau khi học sinh đã lĩnh hội được các kiến thức về đạo hàm về sự biến thiên của hàm
số, học sinh có cách nhìn tổng quát về xét tính đơn điệu của hàm số và các dạng bài
tập về tính đơn điệu của hàm số.
Giúp bản thân học sinh nhận thức sâu sắc, chủ động kiến thức bài học, có khả năng
tổng hợp các thao tác khi giải các bài toán về tính đơn điệu của hàm số.
- Mô tả ý nghĩa, vai trò của việc giải quyết tình huống được lựa chọn đối với thực
tiễn đời sống kinh tế - xã hội:
Trường THPT Ngô Gia Tự là một trong những trường miền núi xa xôi của tỉnh Vĩnh
Phúc, công tác dạy và học còn gặp nhiều khó khăn nhưng cán bộ quản lý và giáo viên
nhà trường đã nắm bắt được tinh thần đổi mới của Ngành và quyết tâm thực hiện thắng
lợi các nhiệm vụ được giao bằng những việc làm cụ thể trong công tác chỉ đạo và
giảng dạy. Đời sống kinh tế trong vùng còn hạn chế so với nhiều địa phương khác
song kết quả học tập của con em nhân dân tương đối cao. Niềm vinh dự lớn lao của
ngôi trường mang tên người cộng sản kiên trung là nhiều năm nay, nhà trường liên tục
đứng trong tốp 6 trường có điểm trung bình thi THPT cao nhất tỉnh và tốp 200 trường
có điểm trung bình thi đại học, THPTQG cao nhất cả nước. Có được thành công vẻ
vang này là do Ban giám hiệu nhà trường luôn ủng hộ, tạo điều kiện để các tổ ứng
dụng những sáng kiến kinh nghiệm, chuyên đề chuyên môn, nhằm nâng cao chất
lượng dạy học. Chuyên đề KỸ THUẬT ĐỌC BẢNG BIẾN THIÊN, ĐỒ THỊ XÉT
TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ được thực hiện tại trường chúng tôi suốt từ năm
học 2015 - 2016 cho đến nay.
8. Những thông tin cần được bảo mật: Không.
9. Các điều kiện cần thiết để áp dung sáng kiến:
- Giáo viên cần say mê chuyên môn và làm việc một cách công phu, nghiêm túc từ
khâu thiết kế bài giảng đến giảng dạy. Lop9.edu.vn

41. 39
- Học sinh cần học tập tích cực, chủ động và sáng tạo để có thể nắm chắc kiến thức cơ
bản về tính đơn điệu của hàm số để từ đó chủ động sáng tạo giải quyết các bài toán
Giải tích.
- Cần có sự ủng hộ Ban giám hiệu nhà trường: sắp xếp lịch dạy, tổ chức dạy và thi thử
đánh giá hiệu quả của chuyên đề, phân tích các kết quả thi THPTQG và thi HSG cấp
tỉnh để rút kinh nghiệm và thực hiện chuyên đề tốt hơn nữa.
10. Đánh giá lợi ích thu được do áp dụng sáng kiến theo ý kiến của tác giả và theo
ý kiến của tổ chức cá nhân đã tham gia áp dụng sáng kiến lần đầu:
10.1. Đánh giá lợi ích thu được do áp dụng sáng kiến theo ý kiến của tác giả:
Đối với giáo viên, việc áp dụng sáng kiến này khiến cho người giáo viên say mê
tìm tòi và sáng tạo hơn, hiệu quả dạy học cũng cao hơn.
Đối với học sinh, được sự hướng dẫn của giáo viên, các em sẽ biết tìm hiểu các kiến
thức trong chuyên đề để có cách nhìn tổng quát để giải quyết các bài toán về tính đơn
điệu của hàm số.
Trong những năm học vừa qua, trường THPT Ngô Gia Tự liên tục giữ vững chất
lượng dạy và học, đứng trong tốp 6 trường có điểm thi THPTQG cao nhất tỉnh và tốp
200 trường có điểm trung bình thi đại học cao nhất cả nước. Kết quả ấy đã góp một
phần không nhỏ làm nên những vụ mùa bội thu cho giáo dục tỉnh nhà. Có được thành
công đó là do mỗi người giáo viên khi đứng lớp luôn luôn tâm niệm: Người dạy học
phải tin vào sức mạnh tiềm tàng của học trò, và phải nỗ lực hết sức để giúp học trò
mình trải nghiệm được sức mạnh này. Nếu người kỹ sư vui mừng nhìn thấy cây cầu
mà mình vừa mới xây xong, người nông dân mỉm cười nhìn đồng lúa mình vừa mới
trồng, thì người giáo viên vui sướng khi nhìn thấy học sinh đang trưởng thành, lớn lên.
Uy tín và vị trí của người giáo viên trong nhà trường chính là kết quả học tập và rèn
luyện đạo đức của học sinh.
Đóng góp vào thành công lớn của nhà trường phải kể đến sự lao động bền bỉ của mỗi
giáo viên thuộc các tổ chuyên môn trong đó có tổ Toán - Tin. Việc các tổ chuyên môn
đầu tư công phu, thống nhất ý chí và quyết tâm cao thực hiện giảng dạy các chuyên đề
ôn thi THPTQG đã cho thấy vai trò quan trọng của người thầy trong hoạt động dạy
học theo định hướng phát triển năng lực học sinh.
10.2. Đánh giá lợi ích thu được do áp dụng sáng kiến theo ý kiến của tổ chức / cá
nhân áp dụng sáng kiến:
Các cá nhân / tổ chức khi áp dụng sáng kiến đều đánh giá: so với phương pháp dạy học
truyền thống, việc áp dụng sáng kiến đã nâng cao chất lượng dạy học, đem lại những
hiệu quả thiết thực trong giáo dục.
11. Danh sách những tổ chức / cá nhân đã tham gia áp dụng sáng kiến lần đầu:
Số
TT
Tên tổ
chức/cá
nhân
Địa chỉ Phạm vi/Lĩnh vực
áp dụng sáng kiến
1 Tổ Toán Trường THPT Ngô Gia Tự Hướng dẫn học sinh ôn thi
THPTQG và ôn thi HSG cấp tỉnh. Lop9.edu.vn

42. 40
2 Đặng Thị
Thu
Trường THPT Trần Nguyên
Hãn
Hướng dẫn học sinh ôn thi
THPTQG và ôn thi HSG cấp tỉnh.
3 Lê Mạnh
Hùng
Trường THPT Hai Bà Trưng Hướng dẫn học sinh ôn thi
THPTQG và ôn thi HSG cấp tỉnh.

Lập Thạch, ngày 20 tháng 01 năm 2020
Thủ trưởng đơn vị
(Ký tên, đóng dấu)






Lập Thạch, ngày 20 tháng 01 năm 2020
Tác giả sáng kiến
(Ký, ghi rõ họ tên)




Phạm Quốc Huy


Lop9.edu.vn