Séries fourier cap_1 Funções Periódicas

Séries fourier cap_1 Funções Periódicas

1. Capítulo 01
1

1.1. Funções Periódicas.

Definição: uma função RRf: é dita periódica se existe um número não-nulo RT ,
tal que )()( tfTtf 
, (1)

onde o valor T é chamado período de f .

O gráfico de uma função periódica é obtido pela repetição de qualquer intervalo de
comprimento T :

Observações:

i) o período T é o comprimento do intervalo em t necessário para a função se repetir;

ii) apesar de a definição (1) admitir períodos negativos, por uma questão de simplicidade
trabalharemos somente com períodos positivos, ou seja, sempre teremos 0T ;

iii) segue também de (1) que, se f é periódica de período T , então para qualquer *

Zn
(inteiro positivo) temos )()( tfnTtf 
, (2)

ou seja, qualquer múltiplo inteiro nT de T também é um periodo de f . O menor valor de T
que satisfaz (1) é chamado período fundamental (ou período primitivo) e qualquer outro período de f
será um múltiplo inteiro do período fundamental. A figura a seguir ilustra tal conceito:

;

iv) a freqüência f de uma função periódica é definida como o inverso de seu período:

2. Fabiano J. Santos
2 T
1

,

e nos dá o número de repetições (ciclos) em cada intervalo unitário em t . Se t é medido em
segundos então a freqüência  é o número de ciclos por segundo (Hertz). Um outro tipo de
freqüência utilizada é a freqüência angular, dada por 2;

v) o inverso do período fundamental é chamado freqüência fundamental.


Exemplo 01: a função )sen(ty é periódica com período fundamental 2T e período n2
(n inteiro positivo), conforme ilustra o gráfico



Exemplo 02: a função )cos(ty é periódica com período fundamental 2T e período n2
(n inteiro positivo), conforme ilustra o gráfico

3. Capítulo 01
3
Exemplo 03: a função constante ctfy )( tem como período qualquer valor 0T , e não
possui período fundamental.


As duas proposições a seguir nos dão duas propriedades importantes das funções periódicas,
as quais utilizaremos freqüentemente.

Proposição 01: seja f uma função periódica de período T , então:
i) )(atf , 0a , é periódica de período a
T ;
ii) )(
b
t
f , 0b , é periódica de período bT .

Provas:

i) ).()]([)(
**
aTatfTtafatf 
Fazendo atu , obtemos )()(
*
aTufuf  . Logo pela hipótese concluímos que TaT
*
donde a
T
T
* .

ii) )()](
1
[)(
*
*
b
T
b
t
fTt
b
f
b
t
f  .
Fazendo b
t
u , obtemos )()(
*
b
T
ufuf  . Logo pela hipótese concluímos que T
b
T

*
donde bTT
* .


Proposição 02: sejam f e g duas funções periódicas com o mesmo período T e a e b duas
constantes reais quaisquer. A função h definida por
)()()( tbgtafth 
, (3)

também é periódica de período T .

Prova: aqui a prova é muito simples e pode ser obtida diretamente de (3), a saber

)()()()()()( thtbgtafTtbgTtafTth  .

4. Fabiano J. Santos
4
Exemplo 04: de acordo com a proposição (01) temos os seguintes exemplos:

a) )2sen(t , )2cos(t período 
b) )2sen(t , )2cos(t período 1
c) )
2
sen(
T
t , )
2
cos(
T
t período T

Além disto, para todo *

Zn (inteiro positivo) temos que as funções
)
2
sen(
T
tn
e )
2
cos(
T
tn
(4)

possuem ambas período T , haja vista qualquer múltiplo inteiro do período fundamental também
ser período. E pela proposição (2), a função
)
2
cos()
2
sen()(
T
tn
b
T
tn
axh


,
(5)

também possui período T .


Proposição 03: sejam nffff ,...,,,
321 funções periódicas de período T . Então a função
)(...)()()()(
321 tftftftfth
n
, (6)

dada pela combinação linear de nffff ,...,,,
321 também é periódica de período T . A prova é
análoga à da proposição (02) e pode ser obtida pelo princípio da indução.

1.2. Séries Trigonométricas.

Extrapolando a proposição (03), sejam ,...,...,,,
321 nffff funções periódicas de mesmo
período T , a série infinita dada por
...)(...)()()(
321
 tftftftf
n
, (7)

define, nos pontos onde converge, uma função periódica de mesmo período T . Assim podemos
definir a função
...)(...)()()()(
321  tftftftfth
n
, (8)

tal que

5. Capítulo 01
5 )()( Tthth 
. (9)

Esta última afirmação será de crucial importância para nosso trabalho posterior, uma vez que
trabalharemos com séries infinitas da forma


1
)
2
cos()
2
sen(
n
T
tn
T
tn  ...)
2
cos()
2
sen(...)
2
cos()
2
sen( 
T
tn
T
tn
T
t
T
t 


(10)

denominada série trigonométrica. Observe que cada termo da série em (10) possui período T ,
desta forma, nos pontos onde a série converge ela define uma função periódica de período T .

Para conveniência nos cálculos, a partir de agora consideraremos LT2 , onde L é
chamado meio-período. Com esta convenção a equação (10) torna-se


1
)cos()sen(
n
L
tn
L
tn  ...)cos()sen(...)cos()sen( 
L
tn
L
tn
L
t
L
t 


(11)

que será nossa forma trabalhável nos próximos capítulos.

Problemas:

1. Determine se cada uma das funções a seguir é ou não períódica. Caso seja determine também seu
período fundamental T e o meio-período L .

a))sen(
T
t b))cos(t c))2senh(t d))tan(t
e)2
t f))5sen(t g))cos(mt h)t
e
i))5sen()4sen()3cos( ttt  j))
13
4
cos()
11
sen()
7
2
sen()
3
cos(
tttt

k),...3,2,1,0,
122,1
212,0
)( 





 n
ntn
ntn
tf
(sugestão: esboce o gráfico para alguns valores de n)

l),...3,2,1,0,
122,1
212,)1(
)( 







 n
ntn
ntn
tf
n

02*. Seja RRg: uma função periódica de período T e integrável em toda a reta R . Mostre
que

6. Fabiano J. Santos
6 


Tb
b
Ta
a
dttgdttg )()(


(ou seja, não importa em qual intervalo se dá a integração o valor será sempre o mesmo desde que o
tamanho deste intervalo seja o próprio período da função. Geometricamente isto é óbvio. Por quê?)