S03_s1_Transformada Zeta inversa. TEORIA pdf

TRANSFORMADA Z PARA SISTEMA DE CONTROL

1. SISTEMAS DE CONTROL
DISCRETO
Tema S3.s1: Transformada Zeta inversa.

2. DUDAS
¿Qué tema se trató la sesión anterior?
•Transformada Z de una función.

3. SABERES
PREVIOS
Elementos de un sistema de control discreto

4. SABERES
PREVIOS
Ecuaciones en diferencia
Lasecuacionesendiferenciassurgenenproblemasdondela
variableindependiente,usualmenteeltiempo,seasumeque
tieneunconjuntodiscretodevaloresposibles.
Porejemplo:
Asícomolasecuacionesdiferencialesdescribenladinámica
desistemasentiempocontinuo,lasecuacionesdiferenciales
describenladinámicadesistemasentiempodiscreto.
????????????????????????+ ????????????=????????????????????????????????????+ ????????????−1,????????????????????????+????????????− 2,…,????????????????????????+ 1,????????????????????????,????????????????????????+ ????????????,????????????????????????+ ????????????− 1,…,????????????????????????+ 1,????????????????????????

5. SABERES
PREVIOS
Tablas de transformada Z

6. SABERES
PREVIOS
Saberes Previos
•Transformada Z de una función.
•Teorema del Corrimiento.
•Teorema de la Derivada.
•Transformada Z de funciones elementales.
•Tablas Transformada Z.

7. LOGRO
Logro de la Unidad 1: Transformada Z.
(semana 1-4)
Al finalizar la unidad, el estudiante identifica las propiedades
de la transformada Z y las ecuaciones de diferencias para
modelar sistemas discretos.

8. LOGRO
Logro de aprendizaje de la sesión
Al finalizar la sesión, el estudiante entiende conceptos de la
transformada zeta inversa, propiedades y desarrollo de
ejercicios en tiempo discreto.

9. UTILIDAD
¿Para qué sirve la Transformada Zeta inversa?
La Transformada Zeta inversa es una operación matemática que
permite recuperar una señal en el dominio del tiempo a partir de
su representación en el dominio de la frecuencia.
Esta operación es esencial para el procesamiento de señales
digitales, análisis y proyecto de circuitos digitales, y sistemas de
control de procesos por computadoras.
La transformada inversa de Z se utiliza para convertir una función Z
dada de nuevo a su representación en el dominio del tiempo,
formando la base del procesamiento de señales, los sistemas de
control y los cálculos matemáticos complejos en Ingeniería.

10. TRANSFORMACIÓN
Contenido
Durante esta sesión, revisaremos los siguientes temas de la
Transformada Zeta inversa:
•Transformada Z inversa.
•Métodos para obtener la Transformada inversa.
•Transformada Z inversa de una función.
•Tablas de Transformada Z inversa.

11. TRANSFORMACIÓN
Transformada Zeta
Inversa

12. TRANSFORMACIÓN
Transformada Z inversa
La transformada z inversa, es empleada para pasar al dominio
del tiempo discreto según:
x(kT) = ????????????
−1
{ X(z) }
Esta transformada no observa unicidad, dado que si:
Z { x(t) } = X(z) entonces:
????????????
−1
{ X(z) } no necesariamente es igual a x(t)

13. TRANSFORMACIÓN
Métodos para obtener la Transformada inversa
Para obtener la transformada inversa z se puede emplear la
tabla o cualquiera de los siguientes métodos:
•Método de la división directa ✓
•Método computacional
•Método de expansión en fracciones parciales ✓
•Método de integral de inversión

14. TRANSFORMACIÓN
Método de la división directa

15. TRANSFORMACIÓN
Método de la división directa
Ejemplo 1

16. TRANSFORMACIÓN
Método de la división directa
Ejemplo 2:

17. TRANSFORMACIÓN
Método de expansión en fracciones parciales
•Este método es similar empleado con la Transformada de
Laplace.
•Hay una pequeña modificación en caso tenga un cero en ????????????=0
Aquí la expansión en fracciones parciales deberá ser en base a
????????????(????????????)/???????????? lo cual resultará en términos similares a los que
aparecen en las tablas.
•Solo en el caso de que ????????????(????????????)no tenga ceros en ????????????=0 la expansión
en fracciones parciales se realiza de manera similar a la
empleada con la Transformada de Laplace.

18. TRANSFORMACIÓN
Método de expansión en fracciones parciales

19. TRANSFORMACIÓN
Método de expansión en fracciones parciales

20. TRANSFORMACIÓN
Método de expansión en fracciones parciales
Ejemplo 1:

21. TRANSFORMACIÓN
Método de expansión en fracciones parciales
Ejemplo 2:

22. TRANSFORMACIÓN
Transformada Z inversa de una función

23. TRANSFORMACIÓN
Transformada Z inversa de una función

24. TRANSFORMACIÓN
Transformada Z inversa de una función

25. TRANSFORMACIÓN
Transformada Z inversa de una función

26. TRANSFORMACIÓN
Transformada Z inversa de una función

27. TRANSFORMACIÓN
Transformada Z inversa de una función

28. TRANSFORMACIÓN
Transformada Z inversa de una función

29. TRANSFORMACIÓN
Aplicación de la transformada Z: solución de
ecuaciones en diferencias
Ejemplo 1:

30. TRANSFORMACIÓN
Aplicación de la transformada z: solución de
ecuaciones en diferencias
Ejemplo 2:

31. TRANSFORMACIÓN
Aplicación de la transformada z: solución de
ecuaciones en diferencias
Ejemplo 2:

32. TRANSFORMACIÓN
Aplicación de la transformada z: solución de
ecuaciones en diferencias
Ejemplo 2:

33. ESPACIO PRÁCTICO
Espacio Práctico

34. ESPACIO PRÁCTICO
Ejemplo Práctico
Obtener la transformada inversa de la siguiente función:

35. ESPACIO PRÁCTICO
Ejercicios Prácticos
Obtener las transformadas Z inversa de las siguientes
funciones:
F(Z)=(14Z
2
–14Z+3)/[(Z–1/4)(Z–1/2)(Z–1)]
F(Z) =6Z
3
/[(Z–2)
2
(Z+1)]
F(Z)=(Z+3)/[(Z–1)
3
Z]
F(Z)=Z
2
/[(Z–1)
(
Z –a)]
F(Z)=(Z+2)/(Z–1)

36. CIERRE
¿Qué aprendimos hoy?
•Transformada Z
inversa de una
función.
•Métodos para
obtener la
Transformada inversa
•Tablas de
Transformada Z
inversa.

37. CIERRE
Conclusiones
•La transformada z inversa (????????????????????????
−1
) permite obtener la
secuencia de tiempo ????????????(k)
•Se debe de tener presente que sólo la secuencia de tiempo
en los instantes de muestreo se obtiene mediante la (????????????????????????
−1
)
•Se menciono diversos métodos para obtener la
transformada inversa Z.

38. CIERRE
Bibliografía Complementaria
• Benjamin C. Kuo, Sistemas de control Automático, Séptima
edición. Prentice Hall.
•Katsuhito Ogata, Sistemas de Control en Tiempo Discreto,
segunda edición, Prentice Hall.

39. CIERRE
RECORDAR
Para la próxima sesión tendremos la primera
evaluación del curso “Laboratorio Calificado
N°1”, revisar antes los temas y venir preparados.
Revisar continuamente la plataforma virtual para
ver las diapositivas, tareas y foros.

40. CIERRE