S1 Espacios Vectoriales y Transformaciones Lineales

Este archivo es para los estudiantes de ingeniería civil

1. ÁLGEBRA LINEAL Y ECUACIONES
DIFERENCIALES
FORMACIÓN POR COMPETENCIAS
Espacios Vectoriales y
Transformaciones
lineales

2. OBJETIVOS
Definir espacios vectoriales
Reconocer los axiomas de un Espacio Vectorial
Reconocer cuando un conjunto es la base de un
Espacio Vectorial
Definir una Transformación Lineal
Identificar a las Transformaciones Lineales
Aplicar los métodos estudiados a diferentes
problemas de contexto real

4. Espacios Vectoriales
Un Espacio Vectorial es un conjunto no vacío ?????? de objetos,
llamados vectores, en el que están definidas dos operaciones,
llamadas adición y multiplicación por un escalar (números
reales), sujeta a diez axiomas (o reglas)
Adición: +:??????×??????→??????
A cada par �;�∈??????×?????? se le
asocia otro vector �+�∈??????
Multiplicación por un escalar:
⋅∶ℝ×??????→??????
A cada par �;�∈ℝ×?????? se le
asocia otro vector � �∈??????

5. Axiomas de un Espacio Vectorial
Adición
1.- Conmutatividad: �+�=�+�,∀�,�∈??????.
2.- Asociatividad: �+�+�=�+�+�; ∀ �,�,�∈??????
3.- Elemento neutro: Existe un vector 0∈?????? tal que
�+0=0+�=�,∀ �∈??????.
4.- Elemento opuesto: Para cualquier �∈??????, existe un −�∈??????
tal que
∀�∈?????? existe −�∈?????? tal que �+−�=−�+�=0

6. Axiomas de un Espacio Vectorial:
Producto por un escalar
5.- Ley asociativa de la multiplicación por escalares: Para �∈??????
y �,�∈ℝ se cumple: ���=���
6.- Primera ley distributiva: Para �,�∈?????? y �∈ℝ se cumple:
��+�=��+��
7.- Segunda ley distributiva: Para �∈?????? y �,�∈ℝ se cumple:
�+��=��+��.
8.- Para cada vector �∈?????? se cumple
1.�=�

7. Ejemplo 1
El conjunto de �−uplas de números reales:
ℝ
�
=*�=�
1;�
2;…;�
�=�
�1≤�≤�:�
�∈ℝ,1≤�≤�+
Con las operaciones:
�+�=(�
1+�
1;�
2+�
2;…;�
�+�
�)
??????�=(??????�
1;??????�
2;…;??????�
�)
es un espacio vectorial real.
Solución:
�(−�;�;�)
�(�;�;�)
�
�
�
�(�;�;�) y B(−�;�;�) son vectores
en ℝ
�

8. Ejemplo 2
El conjunto de matrices reales de orden ��:
ℳ
�×�(ℝ)=*??????=??????
��1≤�≤�
1≤�≤�
,??????
��∈�,1≤�≤�,1≤�≤�+
con las operaciones: suma de matrices y producto por
números reales, es un espacio vectorial real
Solución:
Por ejemplo las matrices
�=
−���
���
y �=
��
�
�
���

son vectores en ℳ
�×�ℝ

9. Ejemplo 3
El conjunto de todos los polinomios con coeficientes reales
en la variable �:
??????(ℝ)= ??????
��
�
:
�
�=0
�∈ℕ,??????
�∈ℝ
Con las clásicas operaciones de suma de polinomios y
producto de un polinomio por un escalar.
Solución:
Por ejemplo los polinomios
��=�
�
+��−� y
��=��
�
−��
�
−���
�
+���
�
+���−��
son vectores en �ℝ �
�

10. Ejemplo 4
El conjunto de todos los polinomios con coeficientes reales
en la variable � de grado menor o igual a �∈ℕ
??????
�ℝ=��= �
��
�
�
�=�
�∈ℕ∪�;�≤�;�
�∈ℝ
Con las clásicas operaciones de suma de polinomios y
producto de un polinomio por un escalar.
Solución:

11. Ejemplo 5
El conjunto de todas las funciones reales de variable real
cuyo dominio es el intervalo �;�
??????�;�=??????:�;�→ℝ?????? �?????? ??????�??????�??????���ó� ��� ������� �;�
Con las operaciones usuales de adición de funciones y
multiplicación de una función por un escalar
Solución:
Por ejemplo las funciones mostradas
son vectores en el espacio ��;�
�
�

12. Ejercicio 1
Considere los vectores �=�;�;−� y �=�;�;�.
Demuestre que el conjunto
�=��+���,�∈ℝ ⊂ℝ
�

Es un espacio vectorial con las operaciones usuales de ℝ
�

Solución:

13. Combinación lineal
Sea ?????? un espacio vectorial. Se dice que �∈?????? es combinación
lineal de los vectores �
1;�
2;…;�
�⊂??????, si existen escalares
??????
1;??????
2;…;??????
�, tal que
�= ??????
��
�
�
�=1

Por ejemplo en ℝ
�
el vector �=�;�;−� es una combinación
lineal de los vectores �=�;�;�; �=(�;�;�) y �=(�;�;�)
pues
�=��+��+−��

14. Ejemplo 1
Exprese el vector �=�;�;� como una combinación lineal
de los vectores �
�=�;�;�;�
�=�;�;� y �
�=�;�;�
Solución:

15. Ejemplo 2
Exprese la matriz �=
−��
��
como una combinación lineal
de las matrices �
�=
��
��
y �
�=
��
��

Solución:

16. Ejemplo 3
En el espacio ??????�;� exprese el vector
??????�=��
�
−��+�; �∈�;�
como una combinación lineal de los vectores mostrados en
la figura adjunta
�
�
Solución:

17. Dependencia e independencia lineal de
vectores
Sea ?????? un espacio vectorial. Se dice que el conjunto de
vectores �
1;�
2;…;�
�⊂??????, es linealmente dependiente (L.D) si
y sólo si existen escalares ??????
1;??????
2;…;??????
�, con algún ??????
�≠0, tales
que:
??????
��
�=0
�
�=1

En caso contrario, se dice que el conjunto �
1;�
2;…;�
� es
linealmente independiente (L.I)

18. Observación
Para estudiar si un conjunto de vectores �
1;�
2;…;�
�, es
linealmente dependiente o independiente, se plantea la
ecuación:
??????
��
�=0
�
�=1

y se estudian sus soluciones.
���� �
Si admite alguna solución no nula (??????
�≠0 para algún �),
entonces el conjunto de vectores es linealmente dependiente.

Si admite sólo solución nula (??????
�=0 para todo �), entonces el
conjunto de vectores es linealmente independiente.

���� �

19. Ejemplo 1
Analice si los vectores �
1=1;0;−1;2,�
2=1;1;0;1 y
�
3=2;1;−1;1 son linealmente independientes en el espacio
ℝ
�
.
Solución:

20. Ejemplo 2
Solución:
Analice si los vectores �
1=3;3;4,�
2=4;1;−2 y �
3=
−3;1;5 son linealmente independientes en el espacio ℝ
�
.

21. Ejercicio 1
Determine si el siguiente conjunto de funciones en ??????
2 es
linealmente independiente o dependiente.
�=1+�−2�
2
,2+5�−�
2
,�+�
2

Solución:

22. Ejercicio 2
Determine si el siguiente conjunto:
�=??????
2�
;????????????�5�;�
2

es linealmente independiente o dependiente en el espacio de
funciones ??????−??????;??????
Solución:

23. Conjunto generador de un espacio
vectorial
Sea ?????? un espacio vectorial y S=�
1;�
2;…;�
�⊂??????. El
conjunto � se denomina conjunto generador de ?????? si todo
vector en ?????? puede expresarse como una combinación lineal de
vectores en �. En estos casos se dice que � genera a ??????.

24. Ejemplo 1
Demuestre que los vectores generan el espacio vectorial
dado.
a.�;�;�,�;�;�;�;�;� ; ??????=ℝ
�

b.�;�;�
�
; ??????=�
�ℝ
c.�;�;�;�;�;�;−�;�;� ; ??????=ℝ
�




Solución:

25. Ejemplo 2
Sea ?????? el espacio vectorial de ecuación
�+�=�
con las operaciones usuales de ℝ
�
. Demuestre que los
vectores �=�;�;� y �=�;�;� generan el espacio
vectorial ??????, pero que no generan el espacio ℝ
�
.
Solución:

26. Bases de un espacio vectorial
Si V es cualquier espacio vectorial y S=�
1;�
2;…;�
� es un
conjunto de vectores en ??????, entonces � se llama base de V si se
cumplen las dos condiciones siguientes

1) � es linealmente independiente. 2) � genera a ??????.
Por ejemplo el conjunto de vectores canónicos �=�;�;�;�=
�;�;�;�=�;�;� es una base del espacio ℝ
�

27. Teorema
Si S=�
1;�
2;…;�
� es una base del espacio vectorial ??????,
entonces todo vector �∈?????? se puede expresar en forma única
como una combinación lineal de los vectores de la base, es
decir
�=??????
1�
1+??????
2�
2+⋯+??????
��
�
donde ??????
� son escalares

28. Ejemplo 1
Demuestre que cada uno de los siguientes conjuntos forman
una base de �
3
.
a.- (1;0;0);(0;1;0);(0;0;1)
b.- (1;2;3);(0;1;2);(−2;0;1)


Solución:

29. Ejemplo 2
Verifique que el siguiente conjunto es una base de ??????
3.
S=1;1+�;1−�;1+�+�
2
;1−�+�
2


Solución:

31. Transformaciónes
Una transformación (función o mapeo) � de �
�
a �
�
es una
regla que asigna a cada vector � de �
�
un vector �(� ) en �
�
.

�
�
(�;�)
��;�=(�;�)
(�;�)
��;�=(�;�)
Para cada punto �,
se le asocia el vector
�(�)
Transformación �:ℝ
�
→ℝ
�

32. Transformación lineal
Una transformación lineal � de �
�
a �
�
es una
transformación que cumple los siguientes axiomas

T1.- ��+�=��+�� ∀ �;�∈ℝ
�
.
T2.- ���=��� ∀ �∈ℝ
�
,∀ �∈ℝ

33. Ejemplo 1
Sea la función �∶ℝ
�
→ℝ
�
definida por
��;�=�−�;�
a.- Demuestre que � es una transformación lineal.
b.- Halle la imagen del punto �;�
c.- Esboce la gráfica de la imagen del segmento mostrado en
la gráfica

Solución:
�
�

34. TEOREMA
Sea �:ℝ
�
→ℝ
�
entonces se cumple:
1.- � es lineal si y solo si para cualquier �,�∈ℝ
�
y �,�∈ℝ se
cumple
���+��=���+���
2.- Si � es una transformación lineal, entonces se cumple
��=�
Por ejemplo, usando la propiedad 2 podemos deducir
inmediatamente que las siguientes transformaciones NO SON
lineales.
��;�=�+��;�−��;�
��;�;�=�+�;�−�
��=��+�

35. Ejercicio 1
Dado un vector � =(�
1;�
2) y una transformación lineal
T:�
2
→�
2
definida por: T�
1;�
2=(�
1−�
2;�
1+2�
2) determine
a.- La imagen de � =−1;2, generada por la transformación
�.
b.- La preimagen que a través de la transformación � genera
�=(−1;11)
Solución:

36. Ejercicio 2
Sea T:�
2
→�
2
una transformación lineal para la cual se
cumple
�1;2=(2;3) y �0;1=1;4.
Determine la regla de correspondencia de �

Solución:

37. Ejercicio 3
Sea T:�
3
→�
3
una transformación lineal para la cual
��=2;−1;4, ��=1;5;−2 y ��+�=0;3;1. Calcule
�(2;3;−2)
Solución:

38. Ejercicio 4
Dada la transformación lineal �,
definida por
��;�=�−3�;−3�+9�
si D es la región triangular que
se muestra en la figura, grafique
la imagen �(??????)
Solución:
�
�

39. Ejercicio 5
Considere la transformación: �: ℝ
2
→ℝ
2
definida por:
��;�=
�−�
2
;
�+�
2
y la región ??????⊂ℝ
2
limitada por dos rectas
de ecuaciones �=�;�=−� y la gráfica de la curva de
ecuación: �
2
+�
2
=2� con �≥1
a.- Demuestre que � es una transformación lineal.
b.- Grafique la región ??????.
c.- Usando la transformación lineal, grafique �(??????).
Solución:

40. Bibliografía
4. Calculus – Larson Edwards
3. Introducción al Álgebra Lineal – Howard Anton
1. Algebra lineal y sus aplicaciones –David C. Lay.
2. Introducción al Álgebra Lineal – Larson Edwards.
5. Álgebra Lineal – Bernard Kolman; David R. Hill