S11 teorema de lhospital.pdf

O teorema de L'Hospital

1. Cálculo Diferencial e Integral I
Universidade Federal do Recôncavo da Bahia
01/06/2022
Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento

2. O Teorema de L’Hospital
Um pouco de História
No final de 1600, John Bernoulli descobriu uma regra
para calcular os limites de funções racionais cujos valo-
res reais tanto do numerador quanto do denominador se
aproximavam de zero quando os valores do domínio se
aproximavam de um valor no qual a função racional não
estava definida. Hoje a regra é conhecida como “Regra
de L’Hospital”.
2CETECPaulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022

3. O Teorema de L’Hospital
Um pouco de História
No final de 1600, John Bernoulli descobriu uma regra
para calcular os limites de funções racionais cujos valo-
res reais tanto do numerador quanto do denominador se
aproximavam de zero quando os valores do domínio se
aproximavam de um valor no qual a função racional não
estava definida. Hoje a regra é conhecida como “Regra
de L’Hospital”.
Guilherme de L’Hospital era um nobre francês que escre-
veu um texto de introdução ao cálculo no qual a regra
era apresentada pela primeira vez.
2CETECPaulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022

4. O Teorema de L’Hospital
Um pouco de História
No final de 1600, John Bernoulli descobriu uma regra
para calcular os limites de funções racionais cujos valo-
res reais tanto do numerador quanto do denominador se
aproximavam de zero quando os valores do domínio se
aproximavam de um valor no qual a função racional não
estava definida. Hoje a regra é conhecida como “Regra
de L’Hospital”.
Guilherme de L’Hospital era um nobre francês que escre-
veu um texto de introdução ao cálculo no qual a regra
era apresentada pela primeira vez.
Fonte: commons.wikimedia.org/wiki
2CETECPaulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022

5. O Teorema de L’Hospital
Um pouco de História
A regra de L’Hospital frequentemente apresenta resultados rápidos e diretos e, algumas
vezes, funciona onde outros métodos falham.
2CETECPaulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022

6. O Teorema de L’Hospital
Um pouco de História
A regra de L’Hospital frequentemente apresenta resultados rápidos e diretos e, algumas
vezes, funciona onde outros métodos falham. Em 1691, Bernoulli concordou em aceitar
um salário de 300 libras por ano de seu antigo aluno L’Hospital para solucionar os
problemas de cálculo e manter o ex-aluno atualizado sobre o assunto.
2CETECPaulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022

7. O Teorema de L’Hospital
Um pouco de História
A regra de L’Hospital frequentemente apresenta resultados rápidos e diretos e, algumas
vezes, funciona onde outros métodos falham. Em 1691, Bernoulli concordou em aceitar
um salário de 300 libras por ano de seu antigo aluno L’Hospital para solucionar os pro-
blemas de cálculo e manter o ex-aluno atualizado sobre o assunto. Um desses problemas
intitulava-se “problema 0/0”, solucionado por Bernoulli.
2CETECPaulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022

8. O Teorema de L’Hospital
Um pouco de História
A regra de L’Hospital frequentemente apresenta resultados rápidos e diretos e, algumas
vezes, funciona onde outros métodos falham. Em 1691, Bernoulli concordou em aceitar
um salário de 300 libras por ano de seu antigo aluno L’Hospital para solucionar os pro-
blemas de cálculo e manter o ex-aluno atualizado sobre o assunto. Um desses problemas
intitulava-se “problema 0/0”, solucionado por Bernoulli.
Quando L’Hospital publicou seu livro de cálculo em 1696, o primeiro livro de cálculo
(Analyse des infiniment petits pour l’intelligence des linges courbes), a regra de “0/0”
era apresentada como um teorema. Ele reconheceu sua dívida para com Bernoulli e,
para não se intitular único autor, não colocou seu nome no livro. Entretanto, Bernoulli
acusou L’Hospital de plágio por publicar no livro os resultados que ele obtivera.
2CETECPaulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022

9. O Teorema de L’Hospital
Um pouco de História
A regra de L’Hospital frequentemente apresenta resultados rápidos e diretos e, algumas
vezes, funciona onde outros métodos falham. Em 1691, Bernoulli concordou em aceitar
um salário de 300 libras por ano de seu antigo aluno L’Hospital para solucionar os pro-
blemas de cálculo e manter o ex-aluno atualizado sobre o assunto. Um desses problemas
intitulava-se “problema 0/0”, solucionado por Bernoulli.
Quando L’Hospital publicou seu livro de cálculo em 1696, o primeiro livro de cálculo
(Analyse des infiniment petits pour l’intelligence des linges courbes), a regra de “0/0”
era apresentada como um teorema. Ele reconheceu sua dívida para com Bernoulli e,
para não se intitular único autor, não colocou seu nome no livro. Entretanto, Bernoulli
acusou L’Hospital de plágio por publicar no livro os resultados que ele obtivera.
Fonte: Thomas–Guia Para História do Cálculo, Editora Pearson.
2CETECPaulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022

10. O Teorema de L’Hospital
O Teorema de L’Hospital
3CETECPaulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022

11. O Teorema de L’Hospital
O Teorema de L’Hospital
No estudo de limites, vimos que selim
x→x0
f(x)elim
x→x0
g(x)existem, então:
3CETECPaulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022

12. O Teorema de L’Hospital
O Teorema de L’Hospital
No estudo de limites, vimos que selim
x→x0
f(x)elim
x→x0
g(x)existem, então:
lim
x→x0
f(x)
g(x)
=
lim
x→x0
f(x)
lim
x→x0
g(x)
,
3CETECPaulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022

13. O Teorema de L’Hospital
O Teorema de L’Hospital
No estudo de limites, vimos que selim
x→x0
f(x)elim
x→x0
g(x)existem, então:
lim
x→x0
f(x)
g(x)
=
lim
x→x0
f(x)
lim
x→x0
g(x)
,
desde quelim
x→x0
g(x)̸=0.
3CETECPaulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022

14. O Teorema de L’Hospital
O Teorema de L’Hospital
Selim
x→x0
f(x) =0 elim
x→x0
g(x) =0, então
lim
x→x0
f(x)
lim
x→x0
g(x)
é indeterminado.
3CETECPaulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022

15. O Teorema de L’Hospital
O Teorema de L’Hospital
Selim
x→x0
f(x) =0 elim
x→x0
g(x) =0, então
lim
x→x0
f(x)
lim
x→x0
g(x)
é indeterminado.
Vimos vários métodos para encontrar o limite para este caso se o limite existe. Entre-
tanto, o Teorema de L’Hospital, que veremos a seguir, exibe um outro método para
encontrar, se existir, o limite de uma funçãoh: (I\ {x0})⊂R→R, definida por
h(x) =
f(x)
g(x)
, em quef(x0) =g(x0) =0, quandoxse aproxima dex0.
3CETECPaulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022

16. O Teorema de L’Hospital
O Teorema de L’Hospital
Theorem 1 (de L’Hospital).
Sejam f e g funções deriváveis num intervalo I. Suponha que, para todo x̸=x0
em I, g
′
(x)̸=0. Então selim
x→x0
f(x) =0elim
x→x0
g(x) =0e se
lim
x→x0
f
′
(x)
lim
x→x0
g
′
(x)
=L⇒
lim
x→x0
f(x)
lim
x→x0
g(x)
=L.
3CETECPaulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022

17. O Teorema de L’Hospital
O Teorema de L’Hospital
Demonstração:
Fonte: Toda a Matemática: https://www.youtube.com/watch?v=XkSy6fCu7go
3CETECPaulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022

18. O Teorema de L’Hospital
O Teorema de L’Hospital
Theorem 1 (de L’Hospital).
Sejam f e g funções deriváveis num intervalo I. Suponha que, para todo x̸=x0
em I, g
′
(x)̸=0. Então selim
x→x0
f(x) =0elim
x→x0
g(x) =0e se
lim
x→x0
f
′
(x)
lim
x→x0
g
′
(x)
=L⇒
lim
x→x0
f(x)
lim
x→x0
g(x)
=L.
Claramente, o teorema é válido se os limites laterais à direita e à esquerda forem iguais.
Também, é válido para as formas indeterminadas:
∞
∞
,
−∞
−∞
e
∞
−∞
.
3CETECPaulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022

19. O Teorema de L’Hospital
Exemplo
Example 2.
Verifique, para o limite a seguir, se as condições do Teorema de L’Hospital estão
satisfeitas e, caso afirmativo, encontre-o empregando este teorema.
lim
x→0
sin(x)
x
4CETECPaulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022

20. O Teorema de L’Hospital
Exemplo
Solução:
4CETECPaulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022

21. O Teorema de L’Hospital
Exemplo
Solução: Consideref(x) = sin(x)eg(x) =x.
4CETECPaulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022

22. O Teorema de L’Hospital
Exemplo
Solução: Consideref(x) = sin(x)eg(x) =x.
Observe quef(0) =0 eg(0) =0 e, além disso, estas funções são deriváveis emRe
f
′
(x) = cos(x)eg
′
(x) =1.
4CETECPaulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022

23. O Teorema de L’Hospital
Exemplo
Solução: Consideref(x) = sin(x)eg(x) =x.
Observe quef(0) =0 eg(0) =0 e, além disso, estas funções são deriváveis emRe
f
′
(x) = cos(x)eg
′
(x) =1.
Portanto, as condições do teorema de L’Hospital estão satisfeitas.
4CETECPaulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022

24. O Teorema de L’Hospital
Exemplo
Solução: Consideref(x) = sin(x)eg(x) =x.
Observe quef(0) =0 eg(0) =0 e, além disso, estas funções são deriváveis emRe
f
′
(x) = cos(x)eg
′
(x) =1.
Portanto, as condições do teorema de L’Hospital estão satisfeitas.
Sendo assim,
4CETECPaulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022

25. O Teorema de L’Hospital
Exemplo
Solução: Consideref(x) = sin(x)eg(x) =x.
Observe quef(0) =0 eg(0) =0 e, além disso, estas funções são deriváveis emRe
f
′
(x) = cos(x)eg
′
(x) =1.
Portanto, as condições do teorema de L’Hospital estão satisfeitas.
Sendo assim,
lim
x→0
sin(x)
x
= lim
x→0
cos(x)
1
=1.
4CETECPaulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022

26. O Teorema de L’Hospital
Prova do limite exponencial fundamental
Com o resultado estabelecido neste teorema podemos, agora, provar o limite exponencial
fundamental.
5CETECPaulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022

27. O Teorema de L’Hospital
Prova do limite exponencial fundamental
Com o resultado estabelecido neste teorema podemos, agora, provar o limite exponencial
fundamental.
De fato, vamos supor quelim
x→∞
(
1+
1
x
)
x
exista, ou seja,
5CETECPaulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022

28. O Teorema de L’Hospital
Prova do limite exponencial fundamental
Com o resultado estabelecido neste teorema podemos, agora, provar o limite exponencial
fundamental.
De fato, vamos supor quelim
x→∞
(
1+
1
x
)
x
exista, ou seja,
lim
x→∞
(
1+
1
x
)
x
=L.
5CETECPaulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022

29. O Teorema de L’Hospital
Prova do limite exponencial fundamental
Com o resultado estabelecido neste teorema podemos, agora, provar o limite exponencial
fundamental.
De fato, vamos supor quelim
x→∞
(
1+
1
x
)
x
exista, ou seja,
lim
x→∞
(
1+
1
x
)
x
=L.
Portanto,
5CETECPaulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022

30. O Teorema de L’Hospital
Prova do limite exponencial fundamental
Com o resultado estabelecido neste teorema podemos, agora, provar o limite exponencial
fundamental.
De fato, vamos supor quelim
x→∞
(
1+
1
x
)
x
exista, ou seja,
lim
x→∞
(
1+
1
x
)
x
=L.
Portanto,
ln
[
lim
x→∞
(
1+
1
x
)
x]
= ln(L)
5CETECPaulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022

31. O Teorema de L’Hospital
Prova do limite exponencial fundamental
Com o resultado estabelecido neste teorema podemos, agora, provar o limite exponencial
fundamental.
De fato, vamos supor quelim
x→∞
(
1+
1
x
)
x
exista, ou seja,
lim
x→∞
(
1+
1
x
)
x
=L.
Portanto,
ln
[
lim
x→∞
(
1+
1
x
)
x]
= ln(L)
Como a função logarítmica é contínua, temos que:
5CETECPaulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022

32. O Teorema de L’Hospital
Prova do limite exponencial fundamental
Com o resultado estabelecido neste teorema podemos, agora, provar o limite exponencial
fundamental.
De fato, vamos supor quelim
x→∞
(
1+
1
x
)
x
exista, ou seja,
lim
x→∞
(
1+
1
x
)
x
=L.
Portanto,
ln
[
lim
x→∞
(
1+
1
x
)
x]
= ln(L)
Como a função logarítmica é contínua, temos que:
lim
x→∞
ln
(
1+
1
x
)
x
= ln(L)
5CETECPaulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022

33. O Teorema de L’Hospital
Prova do limite exponencial fundamental
Como o logaritmo de uma potência é igual ao produto do expoente desta pelo logaritmo
da base da potência, temos que:
5CETECPaulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022

34. O Teorema de L’Hospital
Prova do limite exponencial fundamental
Como o logaritmo de uma potência é igual ao produto do expoente desta pelo logaritmo
da base da potência, temos que:
lim
x→∞
x·ln
(
1+
1
x
)
= ln(L).
5CETECPaulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022

35. O Teorema de L’Hospital
Prova do limite exponencial fundamental
Como o logaritmo de uma potência é igual ao produto do expoente desta pelo logaritmo
da base da potência, temos que:
lim
x→∞
x·ln
(
1+
1
x
)
= ln(L).
O qual pode ser escrito:
5CETECPaulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022

36. O Teorema de L’Hospital
Prova do limite exponencial fundamental
Como o logaritmo de uma potência é igual ao produto do expoente desta pelo logaritmo
da base da potência, temos que:
lim
x→∞
x·ln
(
1+
1
x
)
= ln(L).
O qual pode ser escrito:
lim
x→∞
ln
(
1+
1
x
)
1
x
= ln(L).
5CETECPaulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022

37. O Teorema de L’Hospital
Prova do limite exponencial fundamental
Aplicando o teorema de L’Hospital, temos que:
5CETECPaulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022

38. O Teorema de L’Hospital
Prova do limite exponencial fundamental
Aplicando o teorema de L’Hospital, temos que:
lim
x→∞
1
1+
1
x
·
−1
x
2
−1
x
2
= ln(L),
5CETECPaulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022

39. O Teorema de L’Hospital
Prova do limite exponencial fundamental
Aplicando o teorema de L’Hospital, temos que:
lim
x→∞
1
1+
1
x
·
−1
x
2
−1
x
2
= ln(L),
ou seja,
5CETECPaulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022

40. O Teorema de L’Hospital
Prova do limite exponencial fundamental
Aplicando o teorema de L’Hospital, temos que:
lim
x→∞
1
1+
1
x
·
−1
x
2
−1
x
2
= ln(L),
ou seja,
lim
x→∞
1
1+
1
x
= ln(L)⇔1= ln(L)⇐⇒L=e.
5CETECPaulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022

41. O Teorema de L’Hospital
Casos os quais podemos empregar o Teorema de L’Hospital
Muitas vezes, o limite a ser calculado aparece de maneira tal que aparentemente não
prevemos a utilização da Regra de L’Hospital. Esse é o próximo caso.
6CETECPaulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022

42. O Teorema de L’Hospital
Casos os quais podemos empregar o Teorema de L’Hospital
Muitas vezes, o limite a ser calculado aparece de maneira tal que aparentemente não
prevemos a utilização da Regra de L’Hospital. Esse é o próximo caso.
Example 2.
Transforme o limite a seguir em outro equivalente, de modo que as condições do
Teorema de L’Hospital sejam satisfeitas e, em seguida, determine-o empregando este
teorema.
lim
x→0
+
x·ln(x).
6CETECPaulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022

43. O Teorema de L’Hospital
Casos os quais podemos empregar o Teorema de L’Hospital
Solução:
6CETECPaulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022

44. O Teorema de L’Hospital
Casos os quais podemos empregar o Teorema de L’Hospital
Solução:
lim
x→0
+
x·ln(x)
6CETECPaulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022

45. O Teorema de L’Hospital
Casos os quais podemos empregar o Teorema de L’Hospital
Solução:
lim
x→0
+
x·ln(x) = lim
x→0
+
ln(x)
1
x
6CETECPaulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022

46. O Teorema de L’Hospital
Casos os quais podemos empregar o Teorema de L’Hospital
Solução:
lim
x→0
+
x·ln(x) = lim
x→0
+
ln(x)
1
x
= lim
x→0
+
1
x
−
1
x
2
6CETECPaulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022

47. O Teorema de L’Hospital
Casos os quais podemos empregar o Teorema de L’Hospital
Solução:
lim
x→0
+
x·ln(x) = lim
x→0
+
ln(x)
1
x
= lim
x→0
+
1
x
−
1
x
2
= lim
x→0
+
−x=0.
6CETECPaulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022

48. O Teorema de L’Hospital
Casos os quais podemos empregar o Teorema de L’Hospital
Solução:
lim
x→0
+
x·ln(x) = lim
x→0
+
ln(x)
1
x
= lim
x→0
+
1
x
−
1
x
2
= lim
x→0
+
−x=0.
Observe, na primeira igualdade, que o produto de funções foi transformado em um
quociente de funções. Essa primeira igualdade é verdadeira visto que queremos calcular
o limite com valores do domínio se aproximando do zero por valores maiores do que
zero.
6CETECPaulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022

49. O Teorema de L’Hospital
Casos os quais podemos empregar o Teorema de L’Hospital
Solução:
lim
x→0
+
x·ln(x) = lim
x→0
+
ln(x)
1
x
= lim
x→0
+
1
x
−
1
x
2
= lim
x→0
+
−x=0.
No segundo membro da primeira igualdade, o teorema de L’Hospital já pode ser empre-
gado visto que aparece uma indeterminação “0/0” e, em seguida obtemos o valor do
limite procurado.
6CETECPaulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022

50. O Teorema de L’Hospital
Casos os quais podemos empregar o Teorema de L’Hospital
Às vezes, alguns limites, inicialmente indetermináveis, porém existentes, ficam difíceis
ou até impossíveis de se obter utilizando os métodos vistos até agora, sem que se aplique
a regra de L’Hospital.
6CETECPaulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022

51. O Teorema de L’Hospital
Casos os quais podemos empregar o Teorema de L’Hospital
Às vezes, alguns limites, inicialmente indetermináveis, porém existentes, ficam difíceis
ou até impossíveis de se obter utilizando os métodos vistos até agora, sem que se aplique
a regra de L’Hospital. Esse é o caso, por exemplo, do limite:
6CETECPaulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022

52. O Teorema de L’Hospital
Casos os quais podemos empregar o Teorema de L’Hospital
Às vezes, alguns limites, inicialmente indetermináveis, porém existentes, ficam difíceis
ou até impossíveis de se obter utilizando os métodos vistos até agora, sem que se aplique
a regra de L’Hospital. Esse é o caso, por exemplo, do limite:
lim
x→0
x−sin(x)
tan(x)−x
6CETECPaulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022

53. O Teorema de L’Hospital
Casos os quais podemos empregar o Teorema de L’Hospital
Às vezes, alguns limites, inicialmente indetermináveis, porém existentes, ficam difíceis
ou até impossíveis de se obter utilizando os métodos vistos até agora, sem que se aplique
a regra de L’Hospital. Esse é o caso, por exemplo, do limite:
lim
x→0
x−sin(x)
tan(x)−x
Exercício 1.1.
(a) Obtenha o valor deste limite empregando o teorema de L’Hospital. Sugestão:
Empregue este teorema tantas vezes quanto necessário para obter o limite.
(b) Tente encontrar outra maneira de obtê-lo.
6CETECPaulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022

54. O Teorema de L’Hospital
Referências
M. B. Gonçalves and D. M. Flemming.
Cálculo A.
Pearson Education, 5 edition, 2007.
H. L. Guidorizzi.
Um curso de cálculo, volume 1.
Grupo Gen-LTC, 5 edition, 2000.
A. Howard.
Cálculo, um novo horizonte, volume 1.
Bookman, Porto Alegre, 2000.
E. L. Lima.
Curso de Análise, volume 1.
IMPA, Rio de Janeiro, 2000.
J. Stewart.
Cálculo, volume 1.
Cengage Learning, São Paulo, 6 edition, 2009.
7CETECPaulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022