Santillana HIPERTEXTO 7 MATEMATICAS.pdf

Matemáticas de Santillana para 7

1. rnote

2. HIPERTEXTO
MATEMÁTICAS 7
Directora de Educativas
Directora Editorial
Equipo editorial
Autores
Equipo técnico
Para educación básica secundaria, es una obra colectiva concebida, diseñada y creada por el
Departamento Editorial de Santillana S.A.
Ana Julia Mora Torres
Fabiola Nancy Ramírez Sarmiento
lsabel Hernández Ayala. Coordinadora de conten¡dos
Diana Constanza Salgado Ramírez. Editora Ejecutiva del órea de matemóticas
Carlos David Sánchez. Editctr júnior del área de matemóticas
Ed ga r Alexa nder Olarte
(:ha
pa rro. Ed itor jú n ior del á rea de matemáticas
Jheny Aguilar Suan. Asistente editorial del órea de matemót¡cas
Johann Alexander Chizner Ramos
Licenciado en matemátic'ts y física. Universidad Antonio Nariño.
Juan de Jesús Romero Roa
Licenciado en matemattc'1s. Universidad D¡str¡tal Franc¡sco José de Caldas Especialización en estadística.
Universidad Nacional de C-oiombia. Magister en economía. Universidad Nactonal de Colombia.
Francia Leonora Salazar 5uárez
Licenciada en física. Universidad Distritol Francisco José de Caldas. Estudios de maestría en Educación con
énfasis en investigación. Untverstdad de la Sabana
Anneris del Rocío Joya Vega
Licenciada en matemóticas Universidad Distr¡tal Francisco José de Caldas. Especialista en matemótica
aplicada. Universidad Sergio Arboleda. Magíster en didáctica de la matemática Universidod Pedagógica
Nocional
Valeria Cely Rojas
Licenciada en matemóttcas. Universidad Pedagógica Nactonal Estudtos de maestr[a en matemdticas.
Universidad Nacional de Colombia
La especialista encargada de avalar este texto desde el punto de vista de la disciplina especifica y
desde su pedagogía fue LucíaVictoria Cabrera Díaz.licenciada en Matemáticas. Pont¡ficia Universidad
Javeriana. Magíster en Economía. Universidad de los Andes.
El especiaiista encargado de avalar este texto desde la equidad de género y de su adecuación a la
diversidad cultural fue Auri Waldron Bul/a. Psicólogo Pontificia Universidad Javeriana Especialista en
psicología médica y de la salud. Universldad del Bosque
Las pruebas de campo del texto fueron realizadas por el departamento de lnvestigación de Editorial
Santillana bajo la dirección de Ximena Galvis Ortiz.
5e han hecho todos los esfu,,-rzos para ubicar a los propietarios de los derechos de autor. Sin embargo, st es
necesario hacer alguna rect.'ficacion, to editorial esta dispuesto a hacer los arregtos necesarios.
lvan Merchán Rodríguez. Coordinadorcreat¡vo.D¡señadordel modelográficoycarótulas
Carlos Ernesto Tamayo Sánchez. Coordinador de Arte Educativas
Martha Jeanet Pulido Delgado, Orlando Bermúdez Rodríguez. Corrección de estilo
Alveiro Javler Bueno Aguirre. Coordinador de soporte técnico,
Lu is Nelson Col mena res Eiarragán Docu m entalisto g rófi co y de escá ner.
Sandra Patricia Acosta Tovar, Edward Jimeno Guerrero Chinome, Paola Andrea Franco Chacón.
Diagramadores.
Claudia JaimeTapia, Anacelia Blanco Suárez Documental¡stas.
Diomedez Guilombo Ramírez, Edwin Hernando Cruz Delgado, Miguel Darío Martínez, Yein Barreto,
Danilo Ramírez Parra, Francisco Sánchez. llustrodores
Ana Maria Restrepo,Juan G ra do, Luis Ramírez,JavierJaimes Sánchez, Manuel GonzálezVicente,Tulio
Pizano Arroyave. Gustavo 1lodríguez Fotógrofos
Getty lmages, Repositorio 5antillana (archivo imágenes) Corel Professional Photos, images provided
by Photodisc, lnc., Corbis irrages, Archivo Santillana. Fotografía.
Francisco Rey González. Di¡ector de Producción.
o 2010 EDITORIAL SANTI[iLANA 5.A.
CATLE 80 No 9-69
Bogotá, Colombia
I S B N 978-958-24-1 365-1 Obra completa
I 5 B N 978-958-24-1388-0 Ediciór para el estudiante
Este libro está elaborado de acuerdo con las normas ICONTEC NfC-4724v NTC-4725
para textos escolares
Depósito legal en trámite
lmpreso en Colombia por Printer Colombiana S.A
Prohibida Ia reproducc¡ón total o parc al, el registro o la transmisión por cualquier medio
de recuperación de inform¿ción, sin permiso previo por escrito de la editorial
I
Santillama

3. HIPERTEXTO MATEMÁTICAS 7
De la serie HIPERTEXTOS SANTILLANA, es una nueva propuesta pedagógica que responde a
los lineamientos curriculares y a los estándares básicos en competencias exigidos por el MEN.
Tu hipertexto te permitirá potenclar tus capacidades de manera que puedas aplicar los cono-
cimientos y habilidades adquiridas, analizar, tazonar, interpretar y reso.lver problemas en dis-
tintas situaciones.
¡Tu Hipertexto Matemáticas 7 hace tu aprendizaje más dinámico!
iQué hay en tu hipertexto?
Estos hipervínculos.
Cuando los veas debes saber que cada uno de ellos te indica que, además de lo que hay en
la página, vas a encontrar:
Mayor información para ampliar tus conocimientos
sobre temas especÍficos. Además, en algunos casos,
te sugiere realizar más a(tividades para reforzar los
conceptos trabajados.
Una presentación o un video que
te ayudará a comprender mejor
los temas trabajados.
Una dirección de lnternet para
profundizar en un tema.
$
x
Para acceder a esta información debes consultar la página www,santillana.com.colhipertextos.
Un método para que desarrolles destrezas en la comprensión de los contenidos propios de
Matemáticas.
Comprender para aprender
Recupero informociónE
Reflexiono y voloro Plonteo y octúo
!
Actividades para desarrollar las habilidades matemáticas.
Soluciono problemos
o Santillana
| 3
,
Pf,IESENTACION DEL MODELO
}t
./

4. ¿Cómo está organizado tu hipertexto?
Tu hipertexto consta de siete unidades y los contenidos están organizados de acuerdo ccn
los cinco pensamientos matemáticos: pensamiento numerico, pensamiento variacional,
pensamiento espacial, pensamiento métrico y pensamiento aleatorio"
Ahora prepárate para conocer la estructura de cada unidad.
H
Página inicial
, Al comienzo de cada unidad encontrarás una doble página de apertura con los temas que
: vas a trabajar, una narración sobre historia de las matemáticas y algunas preguntas soLrre ella.
0bservarás algunos datos de m¿temátiros que hicieron
ap0rtes imp0rt¿ntes en el desarrollo de las m¿temátic¿s
Observ¿rás recuadros que se llanan recuerda que,
te ayudaran a comprender mejor os contenldos
Prepárate para. . .
Propone actividades de motiv¿ción
que te prepar¿n para trabajar
con l¿ temátlca de ¿ unid¿d
Una n¿rrac ón que relaciona Ia
hlstori¿ de ¿s m¿temátiras c(]n
1n de
d¿
te
'eforzar
-l
Present¿ los tem¿s
que vas a trabajar
e¡ la unidad,
!{ Desarrollo de temáticas
, Encontrarás el desarrollo de contenidos con ejemplos resueltos que explican el procedimiento
¡ que se debe realizar paso.a paso.
Te indic¿ e tipo de estándar o
estándares que vas a trabajar
en ¿ unldad
f
I{ Además tu hipertexto contiene:
Actividades con
ejercicios enfocados
¿l desarro o de
p[oresos matemátiros
y habilidades de la
r0fnpetenai¿ ertOrd
En síntesis
Es un resumen
de lastemátic¿s
trabajadas que te
servirá para recordar
los conceptos más
importantes,
Taller
[s u¡:,...-
e]eri , :
l¿.' :, -
5tf r -r l
,.,
o¡ Le l-ü'0P l¿ -lid¿d
"; J
Para responder...
L¿s preguntas de efa sección te permitirán
forta ecer tu capacldad de interpretar textos
re acion¿dos con ¿s m¿temátic¿s
I i¡ 5a¡iill¿na

5. t
l{ Secciones especiales
Laboratorio con Cabri
L¿ encuentr¿s en l¿ unidad de pensamiento
espacial y pens¿miento métrico, en ell¿ se
prop0nen activid¿des para que desarrolles con
el uso del progr¿ma [abri Est¿ sección tiene como
frnalid¿d la utilización de la tecno ogÍa como
herramlent¿ para mejorar tu análisis m¿temático
Y esto que aprendí,
¿para
qué me sirve?
L¿ encuentr¿s ¿l fn¿l de l¿ unidad, en e La podrás
leer situaciones que se relacion¿n con las temáticas
efudiadas y que tienen aplicaciones fuera
de las m¿temáticas, ron efa sección mejorarás
tu rompeteniia ledor¿.
Matemáticas y tecnología
Te informa sobre ¿vances tecnológicos, útiles en
matemáticas, y l¿ m¿nera como influyen en la sociedad.
Tiene como objetivo que des¿rro es os componentes de
los estánd¿res de tecno oqÍa: n¿turalez¿ y evo ución de a
tecnología, apropiación y uso de la tecnología, solución de
problemas con tern0l0gía y te(n0logÍa y sociedad
O"*
Bicentenario en datos
L¿ encuentr¿s en ¿ unid¿d de pensamiento aleatorio,
present¿ und lectura con datos veridicos de l¿
época de la independencia de [olombia y propone
activid¿cies rel¿cion¿das con estadktica

6. Éi El conjunto de los números enteros I I O
Definición del conjunto de los enteros
Representación en la recta numérica
Representación de puntos en eJ plano cartesiano
Números opuestos
Valor absoluto de un número entero
Orden en Z
OperacionesenZ I ZO
Adición en los enteros
Propiedades de la adición de números enteros
Sustracción en los enLe.os
Supresión de signos de agrupación
Multiplicación de números enteros
Propiedades de la multlplicación de números ente[os
División de enteros
Potenciación de números enteros
Representación de los racionales en la recta numérica
Clasificación de los números racionales decimales
Ubicación de un punto en el plano cartesiano
Orden de racionales en Q
F¡' Operaciones en I i os
Adición de racionales en forma de fracción
Adición de racionales decimales
Sustracción de racionales
Propiedades de la potenciación
Radicación de números enteros
Polinomios aritméticos con números enteros
Polinomios aritméticos sin signos de agrupación
Polinomios aritméticos con signos de agrupación
Ecuaciones con números enteros
Propiedad uniforme
Ecuacionesdelaforma x+ a: b
Ecuaciones de la forma a- x: b
Planteamiento y solución de problemas mediante
ecuactoneS
Taller 1
En síntesis
Y esto que aprendí,
¿para
qué me sirve?
Los números enteros en las lÍneas de tiempo
Sustracción de racionales decimales
Mu tiplicación de racionales en forma de fracción
Multipllcación de números racionales decimales
División de racionales en forma de fracción
D vision de rac onales decimales
Potenciación de números racionaies
Radicación de números radicales
Polinomios aritméticos con racionales
Ecuaciones con números racionales
Solución de ecuaciones con números racionales
Planteamiento y solución de problemas
Taller 2
En síntesis
Y esto que aprendí,
¿para
qué me sirve?
Los números racionales en Goog e iarth
37
39
42
44
45
83
88
92
94
95
It" Razones y proporciones
Razón
Proporción
Proporcionalidad directa
Ma g nitudes d irecta mente correlacionadas
Magnitudes directamente proporclonales
Proporcionalidad inversa
Magnitudes inversamente correlacionadas
Magnitudes inversamente proporcionales
Aplicaciones de la proporcionalidad
'-
:.
..;íirllilr
r:l
iga
jroo
lro
!ll:
Irza
ir¡o
!r¡r

7. {l
Expresiones algebraicas
Clasifi cación de expresiones algebraicas
Términos semejantes
Reducción de términos semejantes
Adición y sustracción
Multiplicac¡ón
Polígonos
Clasificación de poligonos
Triánguios
Cuadriláteros
Construcción de cuadriláteros
Laboratorio con Cabri
PolÍgonos congruentes
Criterios de congruencia de triángulos
Polígonos semejantes
Cirtunferencia y circulo
Sólidos
Para lelepipedo
Longitud
Unidades métricas de longitud
Conversiones
Otras unidades de longitud
Perimetro
Área
Propiedades deL área
Unidades métricas de área
Conversiones
Unidades agrarias
Área de polÍgonos
Estadística
Conceptos fundamentales
Caracterización de una variable cualitativa
Caracterización de dos variables cualitativas
Caracterlzación de una variable cuantitativa
Datos agrupados
Datos no agrupados
Bicentenario en datos
Taller 4
En síntesis
Y esto que aprendí,
¿para
qué me sirve?
E álgebra en la pista de patinaje
Matemáticas y tecnología
Máquinas simples
Prisma
Pirá mide
Po iedros regu ares e irregulares
Cuerpos redondos
Ci indro
Cono
Esfera
Taller 5
En síntesis
Y esto que aprendí,
¿para
qué me sirve?
Para determinar a forma y e1 diseño de un cometa
Área del círculo
Área de la supericie de un poliedro
Área de una pirámide
Área de un poliedro regular
Volumen
A gunos voiúmenes
Taller 6
En síntesis
Y esto que aprendí,
¿para
qué me sirve?
Medidas de una piscina o ímpica
Probabilidad
Conceptos fundamenta es
Técnicas de conteo
Probabilidad
Taller 7
En síntesis
Y esto que aprendí, ¿para
qué me sirve?
EstadÍstica en e medal ero de Beqing 2008
lr¡+
It¡a
lr+o
ltsz
lroo
i173
lraa
1 tgo
I zza
142
144
145
146
179
182
184
185
izre
lzzz
1224
lzzs
lz+2.
250
252
253
lz+o

8. Números
enteros
Temos de lo unidod
El conjunto de los números enteros
Operaciones en Z
Polinomios aritméticos con números enteros
Ecuaciones con números enteros

9. I
EI secreto de los nudos
Hacia el Este se veían los picachos nevados que, como
cada mañana, incapaces de contener los rayos de luz,
parecían aliarse a ellos revistiéndolos de matices y to-
nalidades únicas.
Kinu hizo una reverencia al Sol recién nacido y se
apresuró a dar las gracias por poder contemplar cada
mañana el nacimiento del dios.
Mientras tanto Laymi, su esposa, ya habia encendido el
fuego donde comenzaban a humear unas tortillas de
mahy tras preparar el refrigerio, reclamó la atenciÓn
de su marido.
-¡Kinu,
date prisalTodavía no has preparado nada y te
esperan en el palacio a primera hora.
-Cálmate,
como cada año, todo está preparado.
-Este
año es especial.
-El
gesto tenso de la mujer,
delataba su estado de preocupación-. Este año ade-
más del Emperador están también los extranjeros, los
enviados del Sol.
Tras el refrigerio, Kinu recogió cuidadosamente las
cuerdas de diferentes colores, que contenían nudos
colocados de manera caprichosa, las guardó entre sus
ropas y emprendió el camino hacia el palacio.
Las cuerdas y sus nudos usados como regla nemotéc-
nica hacían las veces de libros de contabilidad, y causa-
ron una profunda impresión entre los conquistadores,
incapaces de descifrar su significado.
Los incas no conocian el cero nr los números negat¡vos.
Tomado de Motemáticas 4 FSO. España, Editorial Santillana.
En la lectura se describe un quipu. Consulta qué es y cómo
se representan en él os números.
Escribe las operaciones que no podían resolver los incas,
debido a que no conocian el cero ni los números negativos.
a. Determina qué camino debe recorrer Diego
para que la suma de los números sea 300.
Ubica los números del 1 al 7 de tal forma que
no haya números consecutivos en las casillas
que tienen un lado en común.
Determina el valor de cada letra en los si-
guientes ejercicios de criptoaritmética.
ABCDE
x4
IS
+ so
EDCBA SOS

10. *r,
Matemático y astrónomo hindú.
Fue el director del observ¿torio
de astronomía de la ciudad de
Ujjain, ubicada al noroeste de l¿
India. Escribió el primer libro de
matemáticas en el que se habla
del cero como un dígito propio y
de los números neg¿tirlos, des(ri-
bió operaciones matemáticas con
números negativos y desanolló la
ley de los signos.
EI coniunto
de los números enteros
En la vida cotidiana, el ser humano está habituado a emplear los números enteros: al
indicar temperaturas inferiores o superiores a los 0o, al hablar de ingresos y egresos
de dinero, al señalar los goles a favor o los goles en contra de un equipo de fútbol, al
representar desplazamientos hacia la derecha o hacia la izquierda, o al referirse a los
niveles superiores e inferiores en ciertos edificios o centros comerciales. En síntesis,
son muchas las situaciones en las cuales el ser humano ha necesitado considerar un
conjunto de números distinto al conjunto de los números naturales N.
Definición de! coniunto de los enteros
En el conjunto de los números naturales N, no tiene sentido considerar restas tales
como 8 - 11,5 -
17,23 -
39;yaque, por ejemplo,la resta 8 -
11 significaría querer
quitar de un conjunto de ocho elementos un total de once elementos.
Por tal motivo, se hace necesaria Ia ampliación del conjunto de los números, a otro
conjunto denominado conjunto de números enteros, que se simbolizaZ.
La ampliación del conjunto Z se origina con la introducción de los números enteros
negativos utilizados para representar situaciones tales como las temperaturas inferio-
res a 0o o los egresos de dinero. Estos números, que forman el conjunto de los núme-
ros negativos se simbolizaZ- y se representa por los números naturales precedidos
por el signo menos, así:
z- :
1...,
_5, _4, _3, _2, _l\.
Por su parte, el conjunto de los números naturales es considerado como el conjunto de
los números enteros positivos, los cuales forman el conjunto Z+ y se representan así:
Z+ :
1r,2,3, 4, 5,...j.
El número 0 pertenece al conjunto de los números enteros y es el único que no se
considera negativo o positivo.
El conjunto de los números enteros se considera como la unión del conjunto de los
números enteros negativos, el conjunto de los enteros positivos y el cero, es decir:
Z:Z-UZ+Uloj
z :
{. .., -3, -2, -
l , o, 1 ,2,3,. . .}
A continuación se muestra una situación en la cual se utilizan
números enteros.
Un edificio tiene un ascensor que sirve para llevar a las per-
sonas hasta uno de los cinco pisos, a una planta baja o a uno
de los tres sótanos. Esto se puede mostrar así:
Se asignan números enteros positivos para indicar los
pisos, el cero para indicar la planta baja y los números
enteros negativos para indicar los sótanos
O ! o Sant¡llana
Brahmagupta
598-668
PENSAMIENTO NUMÉRICO

11. I Estándar: pensam¡ento numérico
*# jm L*=
Simbolizar las siguientes situaciones mediante números enteros:
a. Un submarino se encuentra a 1.500 m de profundidad.
Como es una profundidad, se expresa mediante un entero negativo así: -
1.500.
b. La lombriz Alvinella Pompejana puede sobrevivir a una temperatura de 105 'C.
Como es una temperatura mayor que cero se expresa como: + 105.
c. La pérdida generada al vender un producto en $ 16.000, si fue comprado en
s 19.500.
Como se perdió dinero, entonces, la cantidad se expresa como
-3.500.
Representoción en lo recto numérico
Todos los elementos del conjunto de los números enteros se pueden representar grá-
fi.camente en la recta numérica así:
. Primero, se fija un punto sobre la recta al que se le hace corresponder el cero.
. Luego, se dibujan marcas, separadas unas de otras por espacios iguales, tanto a la
derecha como a la izquierda.
. Finalmente, a cada marca se le asigna un número entero; a la derecha del cero se
ubican los enteros positivos y a la izquierda, los enteros negativos, así:
Enteros negativos Enteros positivos
-10-9-8-7-6-s-4-3-2-r 0 I 2 3 4 5 6 7 8 9 l0
El conjunto de los números
enteros es infrnito.
x Ejemptos
Determinar por extensión los siguientes conjuntos. Luego, representar cada uno
en la recta numérica.
a. S: números que están a la derecha de 4.
El conjunto S por extensión es S :
{5, 6,7,8,...}, y su representación en Ia recta
numérica es:
-1 0 I 2 3 4 5 6 7 8 9 10...
b. T: números que están a la izquierda de 2.
EI conjunto T por extensión es T :
{. .., -
3, -
2, - I, 0, 1}, y su representación en la
recta numérica es:
*-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 - I
c. F: números que están entre -5 y f .
El conjunto F por extensión es F :
{- 4, -3, -2, -
1, 0}, y su representación en la
recta numérica es:
-9 -8-7-6-5 -4-3 -2-l
co Santillana
I Il

12. EE eonjuntc de los números eErteros
Responde.
a.
¿Qué
operaciones no se pueden hacer en el
conjunto de los números naturales?
b.
¿Cuál conjunto numérico se representa a la
izquierda de cero en la recta numérica?
Marca con una ¿Y las operaciones que no se pueden
hacer en el conjunto de los números naturales, y
con / las operaciones que sí se pueden hacer.
(
(
(
(
(
Recupero informoción: 1
recibe el nombre de biosfera. Dentro de ella, el
mayor porcentaje de seres yivos se localiza en la
banda situada entre los 3.000 m de altitud y los
2.000 m de profundidad, aproximadamente. La es-
tructura de la biosfera se muestra a continuación:
4.000
2.000
0
2.000
4.000
6.000
8.000
10.000
'l
Límite del vuelo de las ¿ves,
2 Límite de la vid¿ en l¿s m0nt¿ñas de a zona tropical
3. LÍmlte de la vida en l¿s mont¿ñas de la zona templada.
4. M¿xim¿ (0n(ent'a('ón de seres vivos.
5. Fosas oceánicas: imite inferior de la vida
Expresa con números enteros los siguientes datos:
a. El límite del vuelo de las aves.
b. El límite de la vida en las montañas de la zona
tropical.
c. El límite inferior de la vida.
d. El rango en donde se encuentra la máxima
concentración de seres vivos.
Representa en la recta numérica el conjunto de
enteros dado en cada enunciado.
a. Las profundidades a las que se sumerge un
buzo son: 8 m,45 m, 80 m,60 m, 120 m.
c.
Las temperaturas de una población colombiana
a las 5:00 a.m. en los últimos cinco días: 3 'C
bajo cero, 4"C, 1"C,2"C bajo cero,5 "C.
La altura de seis poblaciones colombianas con
respecto al nivel del mar es, respectivamente,
1.200 m, 700 m,450 m,600 m y 2m.
f.
o
D'
h.
i.
j.
a.
b.
C.
d.
e.
7-8
9-2
27-40
t2-80
80-50
100 -
500
472 -
t29
600 -
900
r90 -
294
430 -
100
Representa en la recta numérica cada conjunto de
numeros.
a. Los números que están a la derecha de 2.
b. Los números que están a la izquierda de 5.
c. Los números que están entre -3
y 4.
d. Los números que están a la izquierda de -
1.
Soluciono problemos
Lee la siguiente información.
La aparición de la escritura
es un suceso importante
para el desarrollo de las
civilizaciones puesto que
con ella se registraron
por escrito los asuntos y
acontecimientos del
mundo.
A continuación se relacio-
nan algunos años de aparición de la escritura en
diversas culturas.
En el 1000 a.C.: el alfabeto fenicio.
En el2200 a.C.: el protoindio.
En el 2000 a.C.: el cretense.
En el 1400 a.C.: el hitita.
En el 1300 a.C.: los ideogramas chinos.
En el 3000 a.C.: la escritura jeroglífica egipcia.
Elabora una línea de tiempo en la que ubiques los
datos anteriores. Considera como año 0 el naci-
miento de Cristo.
':1i;::¡rrrl
b
lZl«
r-
Lee la siguiente información.

13. Estándar: pe n sa n i e r¡to n u rn éri co
Representoción de puntos
en el plono cortesiono
El plano cartesiano o sistema de coordenadas es el plano que se encuentra formado
por la intersección de dos rectas numéricas que se cortan perpendicularmente en cero.
En un plano cartesiano se reconocen los siguientes elementos:
. La recta numérica horizontal denominada eje xyla recta numérica vertical deno-
minada ejey.
. El punto de intersección entre los ejes, llamado origen.
. Las cuatro regiones generadas por los dos ejes que dividen al plano son denomi-
nadas cuadrantes y se representan con los números romanos I, II, III, IV
En el plano cartesiano, cada punto se encuentra determinado por una pareja orde-
nada de números, la cual se escribe entre paréntesis y se separa por medio de una
coma. Por ejemplo, la pareja ordenada (4, 3).
En toda pareja ordenada (a,b) se distinguen dos coordenadas: la coordenada a, de-
nominada abscisa, localizada sobre el eje xyla coordenada b, denominada ordenada,
ubicada sobre el eje
7.
Para representar una pareja ordenada (a, b) en el plano cartesiano se realizan los
siguientes pasos.
. Primero, se localizan la abscisa sobre el eje xy la ordenada sobre el eje
7.
. Posteriormente, se traza por a una recta vertical y por b una recta horizontal. La
intersección de estas rectas representa el punto donde está ubicada lapareja (a, b).
. Finalmente, se nombra el punto con una letra mayúscula, así: P(a, b), es decir, el
punto P de coordenadas (a, b).
El signo de cada componente, en una pareja ordenada, depende del cuadrante en el
que esté ubicado el punto correspondiente.
Eje x
o Santillana I l3.i
,rr-

14. *€ ffijwm (ms
ffi
n"p""."ntar en el plano cartesiano cada pareja
ordenada. Luego, determinar en cuál cuadrante
se encuentra ubicado el punto correspondiente.
a. D(-3, -2)
Primero, se ubica el número -3
en el eje horizon-
tal, luego, se ubica el número -2
enel eje vertical.
Después, se traza una recta vertical por -3
y una
recta horizontal por -2. El punto se ubica en la
intersección de las dos rectas.
El punto está ubicado en el tercer cuadrante. .
b. c(1, -4)
Siguiendo el procedimiento para grafi.car,el punto
se ubica en el plano cartesiano de la siguiente
manera:
El punto está ubicado en el cuarto cuadrante.
c. F(-2,5)
Siguiendo el procedimiento para grafrcar,el punto
se ubica en el plano cartesiano de la siguiente
manera:
Yi;
tl
t-
-.--
El punto se ubica en el segundo cuadrante.
:4
I rrq¡nt¡tt".:
Representaeién de pu,ltcs er: e! pl*r:* eart*sianc
+
Escribir las coordenadas de cada punto que se
indica en el siguiente plano:
Por cada punto, se escribe primero la coordenada
correspondiente al eje horizontal y luego se es-
cribe, la coordenada del eje vertical.
Para el punto P, por ejemplo, la coordenada hori-
zontal es 5 y la coordenada vertical es 2. Luego, las
coordenadas son P(5, 2).
Las parejas ordenadas son:
P(5,2)
Q(4,0)
R(0, -3)
s(-4, -
1)
T(-4,2)
u(3, -5)
El pirata Barbanegra está buscando un tesoro,
para ello debe seguir las instrucciones que apa-
recen a continuación:
. Punto de referencia (-3,
-3).
. Siete pasos hacia la derecha.
. Dos pasos hacia arriba.
. Tres pasos hacia la izquierda.
. Dos pasos hacia arriba.
Determinar las coordenadas del punto donde se
encuentra el tesoro a partir del mapa.
Primero se ubica el punto de referencia y luego,
se indican sobre el mapa los pasos de las instruc-
ciones.
Las coordenadas del punto donde se encuentra el
tesoro son T(1, 1).
')
V
L

15. Estándar: pe n sa m i e nto n u mé rica
Recupero informoción: 1
Soluciono problemos
8
7
6
5
4
A
2
I
ii @
o",.tmina las coordenadas de los puntos que
i1 están ubicados en el siguiente plano cartesiano.
tC
tl
H
E
tlt
123
€F
xicohs y Sofía juegan batalla naval con los siguien-
tes tableros:
Nicolás
Sofia
Las coordenadas de ataque de Sofía fueron: (0, 3),
(2,
-2),
(1, 1), (-2, 4),(-4, -4),(-3,4),(4, -5),
(0,0), (-2,
-3),
(3,4).
Y las coordenadas de ataque de Nicolás fueron:
(-2, t), (0, o), (-1, 5), (t,2), (5, 5), (-4,
-5),
(3,2), (4,5), (-3, 5), (4,2).
a.
¿Cuántos
impactos de Sofía fueron acertados?
b.
¿Cuántos
impactos falló Nicolás?
c.
¿Quién
ganó el juego al realizar más impactos
acertados en el tablero de su contendor?
Responde.
d.
¿Cuál
es el signo de la abscisa de un punto en el
primer cuadrante?
e.
¿Cuál
es el signo de la ordenada de un punto en
el segundo cuadrante?
f.
¿Cuál
es el signo de la abscisa de un punto en el
tercer cuadrante?
G
il
CD
uUt.u cada grupo de puntos en el plano cartesiano.
a. A(-2, 2), B(2, 2), C(5, -2),
D(0, 2), E(- 5, 2)
b. F(-5, 7), G(5, -7),
H(9,1), 1(0,
g),
Ie7, 5)
c. M(-6, 4), N(-2, 8), O(2,8), P(6, 4), Q(6, 0),
R(2,
-4), S(-2, -4), T(-6, o)
Responde:
d. Si unes los vértices ABCDE del literal a,
¿qué
clase de polígono se forma?
e. Si unes los vértices FGHII del literal b,
¿qué
clase de polígono se forma?
f. Si unes los vértices MNOPQRS? del literal c,
¿qué
clase de polígono se forma?
ii @
Er..iUe dos puntos que cumplan con la condición
dada en cada caso.
a. Con abscisa cero.
b. Con ordenada negativa.
c. Con la misma ordenada.
d. Con ordenada cero y abscisa negativa.
..-..-- r4, és
co Santillana | 15
@
R"spord".
a.
¿Cómo
se forma el plano cartesiano?
b.
¿Qué
representan la abscisa y la ordenada en
una pareja ordenada (a,b)?
/:
5 r,.
+:
J
lj

16. Nusneros Gpuestos
Al observar la recta numérica del conjunto de los entero s,Z, se puede determinar que
existen parejas de números que se encuentran a la misma distancia de cero, aunque
tengan signos diferentes. Por ejemplo, los númerosT y -7
se encuentran a 7 unidades
del cero a pesar de tener signos distintos.
-8-7-6 s 4-3-2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Se puede decir que el número -7
es el opuesto del número 7, y a su vez, que 7 es el
opuesto de -7.
Dos números enteros se aman opuestos si están a a misma distancia de cero y t¡enen
diferente signo Es decir, e opuesto de a es a
Vcl*r obsaEufo de un número entero
Geométricamente, Ia distancia que separa a un número y a su opuesto de cero siem-
pre es la misma. Así, se puede afirmar que el valor absoluto de un número entero,
corresponde al número de unidades que separan a dicho número de cero, es decir, a
la distancia del número respecto a cero.
SiaeZel valorabsolutodeosenotalal yesladistanciaqueexisteentredycero.El
valor absoluto de cero es cero Ol :
O
x Ejemptos
,{
t-i UUicar en la recta numérica cada número y su opuesto.
a. -5
El opuesto de -5
es 5, entonces, se ubican en Ia recta numérica 5 y -5,
así:
-6-5 4-3-2 -1 0 I 2 3 4 5
b.8
El opuesto de 8 es -8,
entonces, se deben ubicar 8 y -8
en la recta numérica,
así:
-10 9 -8 -7 -6 -s -4 -3 -2 -r 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
ffi
Cutcutar el valor absoluto en cada caso.
u.
lol
Como hay 6 unidades entre 6 y 0, entonces, 6] :
6.
u. l-sl
Como hay 9 unidades entre -9
y 0, entonces, l-gl
:
S.
,.
lxl,
xmayor que o.
Como hay x unidades entre 0 y r, entonc.s,
lx]
: ,.
¿ i-«-sll
Como el opuesto del opuesto de m estn, entonces,]-«-Sl :
lSl
:
S.
r6l¡Sani¡llana
-
-

17. I
Recupero informoción: l Rozono:5-6-7-8
a.
¿Por
qué puede afirmarse que 10 y -
10 son
números opuestos?
b. ¿Cómo
se define el valor absoluto de un nú-
mero?
c. ¿Cómo
puedes ubicar el opuesto de 8 en la
recta numérica?
t,
@Escribe
el opuesto de los siguientes números ente-
:l ros.
f. 16 k. 4s
g. -20 l. -
100
h. 35 m.n
i. -70 n. m
j. - 100 o. -p'
Q
R"spond",
a. -8
b.s
c. -10
d.9
e.3
400
300
200
100
Nivel
del g
mar
-
100
200
300
400
..
@
o"t"rmina el opuesto de cada número represen-
tado en la recta numérica y ubícalo en ella.
a.
-6-5-4 -3-2-t 0 1 2 3 4 5 6
b.
-12-10-8-6-4-2 0 2 4 6 810 12
C.
-25-20-15-10 -5 0 5 10 \s 20 2s
- r00 -80 -40
Escribe el valor de cada expresión.
a. l-zs
e. 2OO
f. -90
d.
t20
u.
l3l
b. -s
c. -11
g.
lzsol
tr.
laol
i. l-
al
Estándo r : p e n sam ¡ e nto n u mé r ico
Completa la siguiente tabla.
t-
Determina si las afirmaciones son verdaderas o
falsas. Luego, explica tu respuesta mediante un
ejemplo numérico.
a. Si un número es positivo, entonces, su valor
3 4
-2
5
6-3
-4
12
8 12
oSantillana llZ
Observa Ia siguiente figura. Luego, responde.
:
r¡ Halla el valor absoluto y represéntalo en la recta
numérica.
u
lsl
u l-zl
c. -l¡l
d --81
e. -lt-:ll
-ttt
r. l-l-s I

18. Para comparar dos números,
se observa en l¿ recta numé-
rica cuál de los dos está a l¿
derech¿ del otro.
Entre dos números enteros es
mayor el que está a la derecha
del otro.
Orden en Z
Al comparar dos números enteros a y b, en]re ellos se cumple una y solo una de las
siguientes relaciones:
. a > b, a es mayor qu.e b, si al representarlos en la recta numérica, a se encuentra
a la derecha de b.
. a 1Ú, a es menor que &, si al representarlos gráficamente sobre la recta numérica,
a se encuentra ubicado a la izquierda de b.
a
. a :
b, a es igual a b, si al representarlos en la
ponde el mismo punto.
b
recta numérica, a a y b les corres-
:+ Ejempl,os
Observar la recta numérica. Luego, escribir los símbolos ), ( o : para rela-
cionar las siguientes parejas de números enteros.
a. oEs
6 > 5, 6 es mayor que 5 porque 6 está a Ia derecha de 5 en la recta numérica.
b. -3 [ -ro
-3 > -10, -3
es mayor que -10
porque -3
está a la derecha de -10
en la
recta numérica.
c. -s L_,18
-5 < 8, s-5 es menor que 8, porque -5
está a la izquierda de 8 en la recta
numérica.
Representar los números sobre la recta numérica. Luego, ordenarlos de
menoramayor: -10,4,6, -8, -5, l, -3.
Al representar los números enteros dados en Ia recta numérica, se ubican así:
Para ordenar los números, se leen de izquierda a derecha, así:
(t t' tt I I I I t I I I I I I I I I I >
-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-10<-8<-5<-3<t<4<6
Si la temperatura en una ciudad es 2" bajo cero,
¿qué
debe suceder para que
quede en 7o sobre cero?
Se ubica -2
en la recta numérica, luego, se ubica 7 y se cuenta el número de
unidades que hay entre estos dos números. Así:
;8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3
rQ
I osant¡llana
Se puede determinar que la temperatura en dicha ciudad debe aumentar 9 "C.

19. I
Estándar: pe n sa m i e nto n u m ér i co
-=
Recupero informoción: 1 Plonteo y octúo: B
k.
l.
c.
d.
e.
f.
-rEs
qE-o
-¡Eo
zE-ro
1¡
Ordena en forma descendente cada grupo de nú-
meros.
a. -2,5,0,7,4, -18, -1,
l5
b. 9, -8, 5,6, -4,0, -22,35
c. 8, -7, -17,25, -32,50, -47,19
d. 15, -10,5, -25,30,45, -75,60
e. 100,
-2.000,
300, -500,
0, -800,
600, -
1.000
f. 1.500,2.000, -3.000,4.500, -8.000, -5.500
I
Escribe un ejemplo numérico que muestre que Ia
afirmación no se cumple en todos los casos.
Si a€ Z,entonces,r: -|ol
Si a > b, entonces, lrl, lal
Si a,b, c e Z, a < byb (
c, entonces,
]a
<
lcl
Si a,b, c e Z, a :
b y b ) c, entonces, a 4 c
Sia,b,c,de Z,a: d,b) c,b (
d, entonces,
a1b
a.
b.
c.
d.
e.
..:
ii ,Q"¿
relación existe entre dos número s a y b si al
Soluciono problemos
representarlos en la recta numérica, a está ubicado
a la izquierda de b?.
Escribe <, > o : según sea el caso.
a.5 9
u. oErz
-2 -25
o
-7 -5b'
-rzoIr
h.
i.
;.aIl-al
-11 -11
l-nllf n
Encuentra números enteros que cumplan con la
condición dada.
a. a,beZya<b
b. a,be Z-ya>b
c. a,b eZsonparesy a) b
d. a, b, c e. Z- son impares, consecutivos y
a1b1c
a,b,ce Z sonpares a) b) c
a, b, c e Z son primos, consecutivos y
a)blc
María, Camilo, Claudia, Diana y fuan son herma-
nos. Si fuan es mayor que María pero menor que
Diana, Camilo es menor que María y Diana menor
que Claudia,
¿cómo
quedan los cinco hermanos
ordenados de mayor a menor?
,@
OUr"rua la siguiente gráfica que muestra las ga-
nancias y las pérdidas de una fábrica de vestidos
''(e bano entre junio de 2008 y abril de2009.
70
60
50
40
30
20
10
0
10
20
30
40
50
Responde:
a.
¿De
cuánto fueron las ganancias en diciembre?
b.
¿En
cuáles meses tuvieron pérdidas?
c.
¿En
cuál mes tuvieron más pérdidas?
d.
¿En
cuál mes tuvieron más ganancias?
e-. Escribe los nombres de los meses desde el que
obtuvieron más ganancias al que obtuvieron
más pérdidas.
@
Rverigua los siguientes datos y escríbelos en tu
cuaderno. Luego, ordena los números de menor a
mayor.
a. La temperatura normal del cuerpo humano.
b. La temperatura dentro de un refrigerador.
c. La temperatura al interior del Sol.
d. La temperatura corporal de un cocodrilo.

20. Operociones en Z
Adición en los enteros
En la adición de números enteros se deben tener en cuenta los siguientes casos:
Coso I. Adición de dos números enteros
de lguol signo
Para realizar la adición de dos números enteros de igual signo, se suman los valores
absolutos de dichos números y, al resultado, se Ie antepone el signo común de los
sumandos. Por ejemplo:
. Para resolver la suma 5 + 16, se procede como en la suma de números naturales,
esdecir:5*L6:2I.
. Para resolver la suma (-7) + (- 11), se suman los respectivos valores absolutos,
7 y l7,y a la respuesta se le antepone el signo menos, asi: (-7) + (-11) :
-
18.
Coso 2. Adición de dos números enteros
de diferenle signo
Para realizar la adición de dos números enteros de diferente signo, se determina el
valor absoluto de ellos. Luego, se restan los valores absolutos y al resultado se le an-
tepone el signo del número que tiene mayor valor absoluto.
Por ejemplo, para sumar 15 + (-26), se restan los valores absolutos de cada número,
15 y 26, y a la respuesta se le antepone el signo menos, ya que -26
tiene mayor valor
absoluto que 15, entonces, L5 + (-26):
-11.
La suma de enteros se puede observar fácilmente en la recta numérica. Para ello, se
ubica el primer sumando y luego, se desplaza hacia la derecha o hacia la izquierda
tantas unidades como indique el segundo sumando, según sea positivo o negativo.
Así,la suma (-9) + (4) se representa así:
-r0 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
Portanto, (-9) + (4) :
-S.
x Ejemptc§
Realizar las siguientes sumas:
a. (-81) + (-le)
(=81) + (-19) :
-100,
pues se deben sumarlos va-
lores absolutos así l-Sf l + l-rgl
:
81 + 19 :
100, se
antepone el signo menos (-) ya que los dos sumandos
son negativos.
b. (-3s) + 17
(-35) Í 17 :
-18,
como son de diferente signo se
restan los valores absolutos de los números entonces:
35 - 17 :
18 y el sumando que tiene mayor valor
absoluto es 35, por tanto, se antepone el signo menos.
''n19s,nt¡runu
c. (-13) + (-17) + 10
Al sumar tres o más números enteros, se suman los
dos primeros sumandos; este resultado se suma con el
tercer sumando, y así sucesivamente.
(-13) + (-17) + 10 Sumadada.
:(-30)+ 10 Sesuma(-13) +(-t7):-30
- -/'\'
)?sumal-3l) + la: _
2a
Entonces, (-13) + (-17) -l 10 :
-20.
.
Todo número entero tiene
signo positi\/o o nega-
tivo. Así, -5
tiene signo
negativoy6tienesigno
positrvo
. (uando
un número no está
precedido de un signo, se
asume que es posrti\io.
,rr,
-
l

21. Est án da r: pe n sa m i e nlo n u nt ér i co
Pnopiedodes de lo odición
de números enteros
A continuación se plantean las propiedades que cumple la adición de números en-
teros.
Clausurativa. La suma de dos números enteros es siempre otro número entero.
Si a e Z y b e Z, entonces, a -f b € Z
Porejemplo,3e Zy(-8) €Z;3 + (-S) :
-5y(-5) e Z.
Asociativa. Al agrupar los sumandos de diferente forma, siempre se obtiene el mismo
resultado.
Sia,b, c e Z,entonces, (a + b) I c : a + (b + c)
Porejemplo,l?7) + 3l + 9 : (-4) t 9 :
5
(-7) + [3 + e] : (-7) -t 12: 5
Portanto, t(-7) + 3l + 9: (-7) + [3 + 9]
Conmutativa. EI orden en el que se realiza la suma de dos números enteros no altera
el resultado.
Sia,b e Z,entonces, a * b: b + a
Porejemplo,3 + (-7) = (-4)y(-7) + 3: (-4).
Portanto,3 + (-7): (-7) + 3.
Elemento neutro. La suma de cualquier número entero con el cero da como resul-
tado el mismo número entero. El 0 recibe el nombre de elemento neutro o módulo
de la adición.
Existe 0 e Ztal que O I a : a I 0 : aparatodo a e Z
Porejemplo,(-8) * 0 : 0 + (-8) - -8y7
-f 0 : 0 I 7 :
7
Inverso aditivo u opuesto. Todo número entero sumado con su opuesto da como
resultado el módulo de la adición.
Paratodo ae Z, existe (-a) e Zhlqte a I (-o) : (-a) -f a: 0
Porejemplo, (-5) -t 5 : 5 + (-5) = 0.
Por tanto, 5 es el inverso aditivo de ( -
5) y también (
-
5) es el inverso aditivo de 5.
u Ejemptos
agua, se sacaron 2.500 litros, después se deposi-
taron 4.000litros y por último se sacaron 6.000
litros.
¿Cuántos litros de agua contiene ahora la
depuradora?
Para calcularlo se realiza la siguiente adición:
4.s00 + (-2.s00) + 4.000 + (-6.000)
Al aplicar la propiedad asociativa para agrupar los
números de igual signo, se tiene que:
4.s00 + (-2.s00) + 4.000 + (-6.000)
:
[4.s00 + 4.000] + [(-2.s00) + (-6.000)]
: 8.500 + (-8.500) :
0
Esto significa que la depuradora no tiene agua.
@
Escribir la propiedad que representa cada igual- i @
De una depuradora que contenía 4.500 litros de
dad.
a. (-5) +2:2+(-5)
Como se cambia el orden en la suma, corresponde
a la propiedad conmutativa.
b.(-9)*9:o
Como se suma el mismo número, con diferente
signo, corresponde a la propiedad del elemento
rnverso.
c. (-15) + 0: -15
Como se suma 0 y se obtiene el mismo número,
entonces, la propiedad que se está utilizando es la
del elemento neutro.
c¡ Sanriliana I Zlt

22. Arf ieión en iec eftter*s
Explica paso a paso la manera como sumarías los
números -
100 y -300
sin usar la recta numérica.
r. (-8) + (-r2) + (-13)
m.-4+6+(-1)
n. -7 + (-8) + (-r2)
o. (-23) + (-22) + 7
p. (-6) + (-18) + (-3)
q. (+10) + (-s0) + 60
r. -35 + (-s8) + 120
s. -t4 + (-i8) + (-3s)
t. -r2 + (-16) + 20 + 3s
tt.
-7 + (-45) + 14 + (-s)
v. -22 + 65 + (-30)
a. -4'f 5:L
b. -2 + (-3): -5
c.8*(-Z):-e
d. -9 1-7:5
e. -s + (-1) :
-6
f. -4*10:-6
g. -8*3:5
h. ++(-ro¡:6
i.7+(-t+¡:2,
j. 16 + (-g) : zo
k. -7 + (-2): -9
l. -8 + (-3) :
-s
Una persona va de una ciudad A a una ciudad B. if
Cuando lleva recorridos 60 km se devuelve 10 km.
{j
i1
ii Reallza las siguientes sumas.
a. 12+13
b.6+2t
c. 9 + (-2)
d. 8 + (-24)
e. -8 + (-7)
f. -6 + (-r2)
g. -17+5
h. -13 + (-2t)
i. ls + (-e)
j. -16+9
k. -11 + (-13)
Completá la siguiente tabla.
a b atb b+a
-6
+4
B -2
-7
+8
+4 +10
-4
+13
-9
+16
+42 12
+50
-30
-270
+'180
-
1.500+2304
Escribe en el
- -.
el signo >, < o :
de tal forma
que la expresión sea verdadera.
a. 12+(-8) 7+2
b. -11
-r (-4)
-6 + (-3)
c. ei (-18) I -s+(-4)
d. 16 + 18 -,- -t2 + (-2t)
e. -25+42 -6+8
f. -4+(-3)+t2i -16+1
s.25-ri2-4 -8+(-16)-2
h. -49+ 16+ (-9) i,, -11 +8+ (-s)
Reflexiono y volorc: 1
;
Determina si las sumas fueron realizadas correc-
tamente. En caso contrario, corrígelas.
m. -24 + (-32):
-56
n. -51 * 16 :
-55
o. -80
-f 14: 94
p. -10 + (-82): e2
q. -45 + 30 :
-85
r. -22 + (-27) :
-49
s. -34
+ (-50) :
-16
t. -12 t4: -8
u. 45 * 16:71
v. 31 + (-5) :
-26
w. -81 * 19 :
-110
x. -18 + (-14) :
-32
Escribe, en cada caso, la propiedad de la adición lj
utilizada.
a. -18 + (-25):
-43
b. -78 + 0: -78
c. (-6+ (-4)) t 7 :
-6 + ((-4) + 7) :
-3
d. -77 + 84:7
e. -95+95:0
f. (-s6 + 48) + 0:7 -t 0:7
Soluciono problemos
¡i
Resuelve cada situación y representa la operación jf
en la recta numérica.
a. En una región se regi
-8
oC
en la mañana
tura subió 5 'C. ¿Qué
termómetro en la tard
b. Un equipo de futbol t
15 goles a favor.
¿Cuál
equipo?
c. Un tiburón nadaba 26 metros bajo el nivel del
Ji
mar y ascendió 2 metros. ¿A qué nivel nada ÉÉ
ahora?
Ejercito: 2-3

23. Sustrocción en los enteros
En la sustracción de números naturales existe la condición de que el minuendo debe
ser mayor que el sustraendo; sin embargo, con los números enteros esta condición
desaparece, ya que el minuendo puede ser mayor o menor que el sustraendo.
Toda sustracción puede expresarse como a -
b - c, siendo a el minuendo, b, el sus-
traendo y c la diferencia.
Para hallar la diferencia entre dos números enteros, se suma el minuendo con el opuesto
del sustraendo. Fs dec'r, a - b : a + \-b).
Por ejemplo: Para resolver Ia resta 9 -
12, se suma al minuendo el inverso aditivo del
sustraendo, es decir: 9 - 12:9 * (-12) - -3.
Pararealizar la resta (-21) -
(-6), se le adiciona al minuendo el inverso aditivo
del sustraendo, y a Ia diferencia se le antepone el signo del sumando de mayor valor
absoluto, así: (-21) - (-6) : (-21) + 6 :
-15.
Pararealizar Ia resta (-15) -
9, se le adiciona al minuendo el inverso aditivo del
sustraendo, y a Ia diferencia se le antepone el signo del sumando mayor, por tanto:
(-Is) - e : (-ls) + (-e) :
-24.
La sustracción de números enteros es clausurativa, es decir, Ia resta de dos números
enteros siempre da como resultado un número entero.
Así,5,(-6) c Zy5 - (-6) :5 * 6: rty11e Z.
@
neaHzar las siguientes sustracciones:
i @
Determinar el resultado de cada expresión:
a. (-3) + (-7) - (-8) -
5
: (-3) + (-7) + 8 + (-s)
tt Ejemptos
a.23-9
23 + (-e)
t4
6-18
6 + (-18)
-t2
7 - (-e)
7+9
16
d. -8 -
(-17)
:-8*L7
:9
b.
c.
5e escilbe la resta como
suma con el opuesto de 9.
Como son de diferente signo,
se resta y se antepone el
signo de 23.
5e escribe la resta como
suma con el opuesto de 18.
Como son de diferente
signo, se resta y se antepone
el signo de -
18.
Se escribe la resta como
suma con el opuesto de -9.
Como son de igual signo, se
suma y se antepone el signo
de7y9.
Se escribe la resta como
suma con el opuesto de 17.
Se realiza la suma de enteros
b.-(e-4+s)-
Se transforman las
su stracc¡o nes e n ad i cio nes.
5e calcula la suma.
(-3 + ll)
5e realizan las operaciones
de los paréntesis.
: _(10) _
(8)
I
:-10+(-s):-ts
;
5e escribe la resta como suma con el
, opuesto de I y se realiza la suma de enteios.
I O
El congelador de un frigorífico tiene una tempe-
i raturainicialde -lS"C.Enunahoralatempera-
, turadisminuye6"C.¿Curileslatemperaturafinal?
; -
tA - A 5e plantea la resta.
li
I
:(-18)+(-6):-24
I
I
S e escribe la resta como suma con el
I o puesto de 6y se realiza la suma de enteros.
i lor tanto, la temperatura final es -24"C.
23
,-e 5¿rrtillana I Z:
Están d a r : pe n sa m ientc n u rné ri coxx

24. Los signos de agrupacrón usa-
dos en matemáticas son:
(
)
paréntesis
[ ] corchetes
{ } llaves
x Ejemptos
ffi
culcular.
a. (-10)
- (-ls)
:-10*15
-5
b. (-14) + (-3) - (-8)
:-14-3+8
:-17-1
8
--9
-11 -6+4+I
r-1,-61 +[4+1]
-17+5
:
-12
(-11)+(-6) -(-4) -(-1)
Supresión de signos de ogrupoción
En expresiones en las cuales se combinan adiciones y sustracciones con números
enteros, se utilizan signos de agrupación con el fin de diferenciar el signo del número
respecto al signo de la operación. Por ejemplo, (-2) + (-5) -
(-3) -
(-6).
Para resolver estas expresiones, se deben eliminar los signos de agrupación teniendo
en cuenta las siguientes reglas:
. Cuando un signo de agrupación está precedido por el signo *, se suprime dejando
las cantidades que están en su interior con el mismo signo, así:
. Cuando un signo de agrupación va precedido por el signo -,
se suprime cam-
biando de signo las cantidades que se encuentran en su interior, es decir:
Luego de la supresión de signos de agrupación, se calcula el resultado de las expre-
siones considerando que:
. Dos cantidades de igual signo se suman y al resultado se le antepone el signo
común.
. Dos cantidades de diferente signo se restan y al resultado se le antepone el signo
de la cantidad que tenga mayor valor absoluto.
5+(-2):5-2
8-(-5):8*5
@
nesolrer la siguiente expresión.
-2-{-12+(-s+8)-41 +3}
:-2-{-Í2-3-41
--1
f-rr"l
L L I J]
1l
LL
--4
Se suprimen signos de
agrupación.
Se realiza la suma.
Se suprimen signos de
agrupaoón.
5e suman los números
de igualsigno.
5e realiza la suma.
Se suprimen signos de
agrupacón.
Se suman los números
de igual signo.
Se realizan las operaciones
Se suprimen los paréntesis
+3i
Se suprimen los corchetes.
5e suprimen las llaves.
Se resuelve la resta
Verificarque (p -
q) - r + p -
(q - r)teniendo
en cuenta quep :
2,61 :
-4y r : l.
Se deben remplazar las letras por los números
correspondientes en cada expresión y se realizan
las operaciones.
(p - q) - r : (2- (-4)) - r : (2* 4) - I :
5
P -
(q - r) : 2 - (-4- 1): 2 - (-s) :
-7
Como 5 * 7 enfonces se verifica que
(p-q)-r+p-@-r).
ztl
'4 i,
ii Sant¡llana
5e realiza la suma.

25. Estándar: pensa miento n u méri co
fl)
n.rporrde las sigqientes preguntas.
a.
¿Qué número debe restars e de -24
para que la
diferencia sea 15?
b. ¿Qué número restado de 19 da 31?
c.
¿Cuál
es el minuendo, si el sustraendo es 19 y
la diferencia -8?
d.
¿Cuál
es la diferencia si el sustraendo es -34
y
el minuendo -21?
e.
¿Cuál
es el sustraendo si el minuendo es 50 y la
diferencia -120?
La distancia entre dos números se define como
el valor absoluto de la diferencia que hay entre
ellos, entonces, si a y b son dos números ente-
ros, la distancia entre ellos se simboliza como
d(a, b) :
l" - bl.
d@, b)
ao
),-ul
Halla la distancia entre cada par de números:
i. 104 y -36
j. -100y-205
k. 39 y -400
l. -s13 y -490
m.-324y -230
n. 450 y -890
o. -350 y -120
p. 1.390 y -4.509
S!
R".r"l,re las expresiones teniendo en cuenta que:
ffi:2,ll:5,P: -3.
a. m*Í"-(p+m))+m
b. ntlm+(p-m-n))-m
c.Im+[m-(m-r+il+n)l+P
d. Ilm-(-n))+@-n)\+P
e.{lm+(n-p)l+p}+n
Soluciono problemos
El punto de
mayor altitud
en la superfi-
cie de Ia Tierra
es el Monte
Everest en el
Himalaya, y se
encuentra ubi-
cado a 29.269 --'i ¡'.
I
pies sobre el nivel del mar. El punto de menor alti-
tud de Ia Tierra es el mar Muerto en Palestina, y se
encuentra a1.286 pies bajo el nivel del mar.
¿Cuál
es la distancia en pies entre estos dos puntos?
fr)
Iuui", salió de su casa en la mañana con $ 120.000.
Primero pagó los recibos de los servicios de luz y
gas por $ 85.000. Luego, se encontró con un amigo
que le pagó $ 50.000 que le debía y después pagó
el servicio de telefonía móvil por $ 42.000.
¿Con
cuánto dinero regresó ]avier a su casa?
Andrea vive en el tercer piso. Baja en ascensor 4
pisos para ir al sótano y luego sube 5 pisos para
visitar a su amiga Sara.
¿En
qué piso vive Sara?
i. -9-2
j. -1-
1
k. s-10
l. -8-3
m.6 -
12
n. -19-5
o. -5-24
p.32-15
or. 12 - (-7)
r. 8 - (-s)
s, -21 -
12
t. -i8 -
(-31)
u. 24 - (-75)
v. 34 -
(-81)
w. (-41) -
(-18)
x. -44 - (-3s)
Q
f..la siguiente información.
a. 5y 4
b. 7y -2
c. -3y6
d. -8 y -r2
e. 15 y -31
f. -13 y -24
g. -9 y -34
h. -81y
12
Q
Realiza las siguientes restas.
a.4-8
b.6-s
c. -5-1
d.2-6
e. -7-4
f. e-s
o 1-Q
h. -8-7
@
Realiza las siguientes operaciones suprimiendo
signos de agrupación.
a. (-8) + (-ls) + 16
b. (1e) + 24 - (-3t)
c. 3s - (- 18) + (-21)
d. -t7 + (-2r) - (-le) -
(+10)
e. -(-2t) - (-3s) - (-60) -
(+42)
f. -8+ [-(13+ (-s)) - 4+ 16] - ls
s. te + (-4)l - l-32 + (-s + 4)l + 6
h. t7 - [4+ (-3 + s) - (-8 + 7) + 3)
i. ss - {11 + [-ls - (-8)] - 2tl -
(7 -
(-11))
j. i(¡r + (-8)) - t(-17) -
16 + (-14)l) -
41
oSantillana
I P5
§-
I
J

26. Multiplicoción de números enteros
La multiplicación de dos números enteros a y b es un número entero c llamado
producto.
Si o, b e Z, enlonces, a . b : c e Z, los términos a y b se
denominan factores y c se llama producto.
Para multiplicar dos números enteros se deben tener cuenta los siguientes casos:
. Si los números tienen el mismo signo, se multiplican los valores absolutos de cada
número y el producto respectivo es positivo.
Por ejemplo:
M¿temático y fisico suizo Popu-
larizó v¿rios siqnos de nota-
c ón científica tales como n,
i f(x)y>
Dernofró que (- 1)(- 1) :
1
Una expresión como:
(-¡) x (2)x (-5),
se puede escribir eliminando
elsigno X, así:
(-3)(2)(-5)
3x7:21
. Si los números son de distinto signo, se
producto es negativo.
Por ejemplo:
(-5)x1o:-50
(-8) x (-4):32
multiplican sus valores absolutos y el
6X(-7):-42
Estos casos se pueden generalizar en la siguiente ley de signos:
El producto de dos enteros de igua signo es positivo.
(+)(+) :+ (-x-) :+
El producto de dos enteros de dlferente signo es negativo,
(+x-) :- (x+) :-
Cuando se multiplican tres o más números enteros se multiplican sus valores abso-
lutos sin tener en cuenta el signo. Posteriormente, se procede así:
. Si el número de factores negativos es par, el producto es positivo, por ejemplo:
(-9X-4) : 36,ya que 9 X 4 :
36 y hay dos factores negativos.
Si el número de factores negativos es impar, el producto es negativo, por ejemplo:
(-5X-2X-6) :
-60,
ya que 5 X 2 X 6 : 60yhaytres factores negativos.
Si todos los factores son positivos, el producto es positivo, es decir:
(4)(5X2X3) :
L20,ya que 4 X 5 X 2 X 3 :
120 ytodos los factores sonpositivos.
Propiedodes de Io multiplicoción
de números enteros
El producto de números enteros cumple las siguientes propiedades.
Clausurativa. La multiplicación de dos números enteros siempre da como resultado
un número entero. Es decir,
Si a € Zy b e Z, entonces, a. b e Z
Porejemplo: (-5) e Zy (-10) e Z,entonces, (-5) X (-10) : 50y 50 e Z.
Asociativa. Tres o más enteros se pueden agrupar de diferente forma y el producto
no se altera. Es decir,
Si a € Z, b e Zy c e Z, entonces, (a. b)
.
c : a. (b .
c)
Porejemplo' [(-s) x (-8)] x (-6) :40 X ?e): -z+O
(-s) x t(-8) x (-6)l : (-s) x 48:
-240
Portanto, [(-s) x (-8)] x (-6): (-s) x t(-8) x (-6)l
qfi
i
t Santillana
Leonhard Euler
fiat-1783

27. Conmutativa. El orden en el que se realiza la multiplicación no altera el resultado.
Es decir, si a e Zy b e Z,entonces, a. b :
b
.
a.
Porejemplo: 3 X (-5) :
-15 y(-5) X 3 :
-15.
Luego,3 x (-5): (-5) x 3.
Elemento neutro. El producto de un número entero con uno da como resultado el
mismo número entero. El 1 recibe el nombre de elemento neutro o módulo de la
multiplicación,
Esdecir,existe I e Zálque 1. a: a.lparatodoae Z.
Porejemplo: I X (-13):
-13y(-13)
X 1: -13.
Elemento nulo. El producto de un número entero con cero da como resultado cero.
Es decir, si a e Z,entonces, A. 0 : 0
.
a :
0.
Porejemplo: (-35) X 0 : 0y0 X (-:S¡ : g.
Distributiva. Es Ia propiedad que relaciona la adición o la sustracción y la multipli-
cación de números enteros.
Esdecir, sia,b,ce Z,entonces, a. (b -+ c): (a, b)
-+ (a. c).
Porejemplo: (-3)'
[2 + (-s)] : (-3)' 2 + (-3). (-s) : (-6) * 15 :
e.
=
ffij*rnpto§
@
n".olrer las siguientes multiplicaciones:
Estándar : pe nsa m ie nto n u mé rico
b. (-e)(-6)(r)
EI producto de los números es 54 y el producto de
los signos es positivo (*). Entonces,
(-eX-6X1): 54.
c. (-¡)(s)(- l0)(-2)
El producto de los números es 300 y el producto
de los signos es negativo (-). Entonces,
(-3)(sX-10)(-2) :
-300.
@
Irdi.u.la propiedad que se aplica en cada mul-
tiplicación de números enteros.
a.(-7) x9:9x(-7)
El orden de los factores no altera el producto, se
aplica la propiedad conmutativa.
b. t(-s) x 8l x (-4) : (-s) x [8 x (-4)]
Se puede agrupar de diferentes formas y el pro-
ducto es el mismo, se aplica la propiedad asocia-
tiva.
c.(-6) Xl:lx(-6)--6
Al multiplicar por 1, el resultado es el mismo, se
aplica la propiedad del elemento neutro.
d.(-7)x0:0x(-7):0
Cuando se multiplica un número por 0, el resul-
tado es 0, se aplica la propiedad del elemento nulo.
e. -5 x [(-3) + sl :
(-s)x(-3)+(-s)xs
La multiplicación es distributiva con respecto a la
suma, se aplica la propiedad distributiva.
a. (-6) x (-2)
(-6) X (-2) :
12 porque los factores son de
igual signo.
b. ro x (-16)
10 X (-16) :
-160, porque los factores son de
diferente signo.
@
O",.r-inar el signo de cada una de las siguien-
tes multiplicaciones.
a.5Xl
El signo es positivo porque los dos números tienen
signo positivo.
b. (-r) x (-s)
El signo es positivo porque los dos números tienen
el mismo signo negativo.
@
Escribir los factores que faltan en cada pro-
ducto.
a. I, t-sl :
-30
EI factor que falta es 6 porque 6 X (-5) :
-30.
b.6xE:s¿
El factor que falta es 9 porque 6 x 9 :
54.
@
ffuU", los siguientes productos.
a. (s)(s)(-2)
El producto de los números es 80 y el de los signos
es negativo (-). Entonces, (5)(8)(-2) :
-80.
=,Sant¡lrana I 27
l-'

28. Multipli(áeíén de números enterús
Recupero informoción: I
entre números enteros?
Determina el signo de cada uno de los siguientes
productos.
d.7x10
e.8X-3
f.5X14
o
b'
h.
i.
@
Uallu el valor de cada expresión de acuerdo con los
yalores que se asignan para cada letra:
a.5m,m: -10
b. -3ab,a: l,b: -2
c. -llxy, l,y: I
d. 5(c -
d), c - -2, d: -I
a.
b.
c.
d.
(-4)[(-s) + 3]
[-8 + (-4)](-6)
(6)[8 + (-2)]
(+s)t(-7) + (-3)l
e. (e)[6 + 11]
f. l.(-7) + 6l(-12)
g. 10[(-8) + (-6)]
h. t(-11) + 3l(-s)
a,
b.
c.
8X6
-4X -3
12X -4
-5X6
-11
X -5
-9
X
-11
m. (-6)(3)(-4)(s)
n. (8)(-s)(-6)(-e)
o. (-4)(- 10)(-3)(-6)
p. (s)(eXt t)(8)
q. (-eX7X-s)(6)
r. (-1I)(-7X-eX10)
s. (3)(4X6)(8X2)
t. (-4)(-s)(-8)(-12)
u. (-7)(s)(-8)(2)(-6)
v. (10X-e)(-3)(0)(- 11)
w. (11X-8)(10)(s)(-4)
x. (12)?a)(3)(-s)(-2)
li3 Soluciono problemos
c.
d.
e.
Responde las siguientes preguntas.
c.
a.
d
¿Cuál
es el signo del producto de siete números
enteros negativos?
¿Qué número entero multiplicado con -
1 da
7?
¿Qué número entero diferente de cero al mul-
tiplicarlo por 0 da 0?
Si el producto de tres números enteros es po-
sitivo y uno de ellos es negativo,
¿cómo son los
signos de los otros dos?
@
U"nr"t gasta $19.000
cada domingo en la
entrada para un par-
tido de fútbol. Deja
de ir a cinco partidos
porque no jugaba su
¿Cuál
es la ley de los signos para la multiplicación
@
Solo.iona aplicando la propiedad distributiva.
Realiza los siguientes productos.
(
-4)(s)
(-ex1o)
(2s)(-4)
(-6)(-8)
(- lsx-6)
(r2x1o)
(e)(-3x-s)
(s)(7)(3)
(6)(-4)(8)
(-e)(- r2)(-2)
(
-
7)(s)( -e)
(-6)(-4x- 1o)
@
Escribe V si la expresión es verdadera o E si es
falsa y justifica tu respuesta.
a. EI producto entre dos números enteros de igual
signo es negativo.
b. El producto de dos enteros de diferente signo
es negativo.
El producto de cuatro enteros siempre es posi-
tivo.
El producto de todo número entero por cero da
como resultado el mismo número.
El 2 es el módulo de la multiplicación, por lo
tanto,si ae Zentonces aX2: a.
@
oor trabajadores de una
empresa de aseo limpian las
ventanas de un ediflcio en
el siguiente orden. Primero,
las del piso 15, luego, las del
8, después, las del I 1 y final-
mente,las del6. Si cada piso
mide 3 m, determina:
a.
¿Cuántos
metros descendieron del piso 15 al8?
b.
¿Cuántos
metros ascendieron del 8 al 1 1?
c. ¿Cuántos
metros descendieron del 11 al 6?
O
r" pequeño submarino que fotografía fauna ma-
rina desciende automáticamente 10 m cada 20
minutos. Si descendió durante 2 horas:
a.
¿A
qué profundidad se encuentra al cabo de
dos horas?
b. ¿Cuántos
metros desciende en la primera hora?
c.
¿Cuánto tiempo tarda en llegar a -40
m?
@
Ourante 7 días Natalia retiró de su cuenta $40.000,
cada día.
¿Cuánto dinero retiró Natalia en una se-
mana?
?8 I osanrittana
equipo favorito.
¿Cuánto dinero ahorra en total?

29. Estdndar: oe n sa m iento n u m é r t co
División de números enteros
La división es la operación inversa de la multiplicación, ya que permite encontrar el
factor desconocido de una multiplicación en la que se conoce el producto y un factor.
Sia,be Zconb # Ose lama cocienteexacto deay b ai número ce Zalque b. c: a.
Para simbolrzar la división entre ¿z y b se utiliza Ia notación a
dividendo y b es el divisor.
, donde a es el
Para hallar el cociente entre dos números enteros se debe tener en cuenta que:
. El cociente de dos números enteros de igual signo es positivo, por ejemplo:
(-24) + (-8) :
3 porque3 X (-8) :
-24
45+9:5porque5X'9:45
. El cociente de dos números enteros de distinto signo es negativo, por ejemplo:
12 + (-3):
-4porque
(-4) x (-3) :
12
(-3s) + 5 :
-Tporque
(-7) x (s) :
-3s
. El cociente de cualquier número entero entre uno es el mismo número entero, por
ejemplo:
(-88) + 1 :
-88porque(-88) x 1 :
-88
15 + 1: l5porque 15 X 1:15
. El cociente de cero entre cualquier número entero diferente de cero es cero, por
ejemplo:
g + (-23) : 0porque 0 x (-23) :
0
+boL
b
O
n".oL,"r la siguiente operación:
l+ Ejemptos
O
Comptetar los siguientes enunciados.
Como -32
+ 4 :
-8,
entonces, el enunciado
completo es:
4 X -8
:
-32
porque -32
+ 4: -9.
Como 50 + -2
:
-25,
entonces, el enunciado
completo es:
-25 x -2:
50 porque 50 + -2: -25.
c. -2Ox tr : l2Oporque l2O+ : _20.
Como 120 +
-6 - -20,
entonces, el enunciado
completo es:
-20 x -6:
I2O porque l2O + -6: -20.
Como -100
+ 5: -20,
entonces, el enunciado
es -20X5
:
-100
porque -100
+ 5: -20.
7 x(-e)x2
3 x (-2)
_ -126
-6
:21
La ley de los signos para mul-
tiplicar es:
*.*:*
-.--+
+.---
-.+--
7 x(-e)x2
3 x (-2)
5e multiplica en el numeradar
y en el denominador.
5e divide el numerador entre
el denominador y se aplica
la ley de signos.
Se escribe el número como
la suma de dos enteros.
5e aplica la propiedad
distributiva.
5e realiza la suma.
@
R".olrr"r aplicando la propiedad distributiva.
(-rso) + zo
: (-100 + (-80)) + ZO
-100
20
-5+
-9
o Santillana I P9
RECUERDA QUE...

30. Divisién de números enteros
Recupero info.:1-2
ú
b'
h.
i.
72 +
-12
15 +
-30
-4+3
Responde,
¿qué
reglas se deben tener en cuenta al
dividir dos números enteros?
ii
i!
Responde,
¿cuáles
propiedades de la multiplica-
ij ción no se cumplen para Ia diüsión?
ri
I:
ii Encierra en un círculo las diüsiones que no pue-
l,
lj
den hacerse en el conjunto delosZ.
ti
18+-3 d. -24+48
-4+12 e. -36+-9
-6
+ -4 f. -LO}
+ 25
iÉ
II Er.oge dos divisiones en los enteros que expresen
cada uno de los productos dados.
a. 8'3:24
24+8 3+248+3 24+3
b. (-5) ' 6: -30
6 + (-30)
-30
+ 1-5¡-30+6
6 + (-5)
c. (-11) ' (-e) :
ee
ee + (-e)
-11
+999 + (-11
-11
+ (-9
d.7.(-8):-56
-8+7-56+7-56+8
7 + (-s6)
e. (-12) - (-+¡:4s
48 + (-4)-r2
+ (-4)-4+
4848 + (-r2)
tr
:i
!j
n"utiza los siguientes cocientes:
ii
u.-18+2 h.-e8+7
ii
b 22 +
-Lr i.
-640
+
-20
ii
. -3s
+ -7 j.
-720
+ 16
il d. s2 + 13 k. 1.500 +
-25
;; a. B6-24\+-4
1l '
ll b. (-¡s + 55) + 5
|l
' c. (64+32-24)+-g
j! d. (-26 + sz -
13) + 13
3S l,t'Santillana
:l
I¡
1'
il
ll
::
Camila, Sebastián ::
y sus hijos van de
campamento el fin
de semana. Si com-
pran alimentos
por $ 120.000, ele-
mentos de aseo por
$ 19.000 y bebidas
por $ 140.000,
¿cuánto
Un turista toma un curso de buceo durante cuatro
días en Cartagena. En cada clase se sumerge las
siguientes distancias: 4 m, 6m, 5 m y 9 m.
¿Cuál
es la profundidad promedio a la que se sumergió?
dinero debe pagar cada uno?
3-4
La temperatura en Cota, una población de Cundi-
narnarca, medida duranteunasemana alas 5:30 a.m.
fue la siguiente: lunes -3 "C, martes 0 "C, miér-
coles -4
oC,
jueves
-2"C, viernes -
1 "C, sábado
-
1 'C y domingo -3
"C.
¿Cuál
fue la temperatura
promedio en Cota esa semana?

31. Potencioción de
La potenciación se define como
varios factores iguales.
>t o ¿ Ly n e. L', entonces,
o.a.o. ..a:o'
En expresiones como: a' :
b se identifican los siguientes términos:
, a, indica el factor que se repite en Ia multiplicación, recibe el nombre de base.
. n, indica la cantidad de veces que se repite el factor, recibe el nombre de expo-
nente.
. b, indica el resultado de la multiplicación, recibe el nombre de potencia.
Por ejemplo:
f--Exponente
2)a :
16
+
PotenciaBase
nÚmeros enteros
la operación que simplifica la multiplicación de
Se multiplica -
c, 4 veces por sí mismo.
5e multiplica a,5 veces por sí mismo
Para hallar el valor de una potencia, se multiplica el valor absoluto de la base por
sí mismo, tantas veces como indique el exponente y para determinar el signo de la
potencia se deben tener en cuenta las siguientes reglas:
. Si la base es negativa y el exponente es par, la potencia es positiva.
Por ejemplo: (-3¡z : (-3) X (-3) :
9
. Si la base es negativa y el exponente es impa¡ la potencia es negativa.
Porejemplo: (-5¡a : (-s) x (-s) x (-s) :
-r25
. Si la base es positiva y el exponente es par o impar, la potencia es positiva.
Por ejemplo: 24 : 2 x 2 X 2 X 2 :
16
63:6X6X6:216
It Ejemptos
O
Escribir en forma de producto las siguientes potencias:
a. (-c)4
(-c)t : (-c) x (-c) x (-c) x (-c)
b. as
a5:aXaXa\aXa
6) Irdi."r el signo de cada potencia.
t. 62
El signo de la potencia es positivo porque la base 6 es positiva y el exponente es
par.
b. (-2)4
EI signo de la potencia es positivo porque la base es negativa y el exponente es par.
c. (-7)3
El signo de la potencia es negativo porque la base es negativa y el exponente es
impar.
i; S¿¡t;r!¡n¿ I Jl
Estánda r: pen sam ie nto n u m éri co

32. Matemático y teólogo ¿lemán.
lntentó descifrar el final del mundo
en el Apocalipsis, al fracasar con la
fecha que dio, desifló de su ide¿.
Popularizó los signos -l y -,
des-
plazando a la p y a la m que se
usab¿n antes para representarlos.
-
Propiedodes de lo potencioción
La potenciación de números enteros cumple las siguientes propiedades.
Producto de potencias de igual base. Para multiplicar potencias de igual base, y con
diferente exponente, se deja la misma base y se suman los exponentes.
Esdecit siqe Zyn,m C N, entonces,an. Am: an
+ m
Por ejemplo:
(-S)¡ x (-S;+ : (-S¡r*
q : (-5)7
72X73.;¡.75:72+3+s-710
Cociente de potencias de igual base. Para dividir potencias de igual base y diferente
exponente, se deja la misma base y se restan los exponentes.
Esdecir, siae Zyn,m e N, entonces,an + a*: an -
m
cona * Oyn) m
Por ejemplo:
tr6:tr4- 56
-tr6-4_
tr2
J J
-J-1
)-
(-s), * (-8¡+: 9+ : (-8)7-4: (-8)3
(-8).
Potencia de una potencia. En ocasiones, la base de una potencia es otra potencia.
Para resolver una potencia elevada a un exponente, se deja la base y se multiplican
Ios exponentes.
Esdecir, siae Zyfl,m e N, entonces,(a')*: snXm
Por ejemplo:
(112)s : y12x s
- 1110 y Le»3)4
: (-2)3x
4 : (-Z)12
Potencia de un producto. Para calcular la potencia de un producto, se eleva cada
factor del producto al exponente indicado.
Es decir, si a, b e Z y n e N, entonces, (a, b), - an
.
bn
Por ejemplo:
[s x (-3)]4:54 x (-3)4y [(-7) x (-e)j3 : (-7)3 x (-e)3
Potencia de un cociente. Para calcular Ia potencia de un cociente, se eleva a dicha
potencia cada uno de los términos de la división.
Esdecir, sia,b e Zy n€ N, entonces,(a + b)" - a, + bn
Por ejemplo:
(t2+5)3:(+)':+
Otros prop¡edodes de lo potencioción
Exponente uno. Todo número entero elevado al exponente uno da como resultado
el mismo número entero.
Es decir, si a e Z, entonces, at :
a
Exponente cero. Todo número entero diferente de cero, elevado al exponente cero
da como resultado uno.
Es decir, si a e Z con a * 0, entonces, ao : I
3 ? |
,,,santillana
Michaelltifel
1487-1561

33. Estánd a r: p en sa m i e nro n u rn ér i ro
Potencia de uno. Uno elevado a un exponente entero, da como resultado 1.
Es decir, si n e N, entonces,ln : I.
b. (-8) x (-8)3 x (-8)o
(-s)x(-s;:x1-3¡o
: (-$)t
+: + o
- (-8)4
c. [(-7)2]3 x [(-7)4]s
l(-7)2)3 x [(-7)1]5
- (-7)o x (-t¡»
/
-\15
- \-/)-'
5e suman los exponentes
d. t( r)rl, x (2'), x [( 3)4]3
[(-1)3]4 x (22)3 x [(-3)1]3
: (-1)12 x 26 x (-:¡,,
:1X26x(-3)t2
e.
[(2 x s)3x (2 x s)'zx (2 x s)]
f(-2), x (-s),1
[(2 x s)3 x (2 xs)' x (2 x s)]
t( 2)1x (-s),1
_ 2r\5''2rx5: 2x5
(-2)1x (-s)'
26X56
(-2)1x (-s)'
:22Y5+
f.
a3 x (-b)s X c? x. (-d)8
(-b)'x c7 x a3 x (-d)'
: qo x (-b)2 x co x (-d)t
:1X (-b)2x 1x (-d)
ffi 3*
pL*s
Simplificar cada expresión. Para ello, utilizar las propiedades de la potenciación.
a. 5z¡5t¡5r
:52y 51X53
-16
resión dada.
Se aplica la potencta de una potenc¡a.
5e oplica el producto de potenc¡as de igual base
Expresión dada.
Se aplica la potencia de uno potencta.
Se aplica la potencta de uno
resión dada
Se aplica la potencra de un producto.
Se aplica el producto de potenclas de igual base
Se utilizan las reglas generales
de potencras de tgual base
5e aplica el coctente de potenctas de igual base
Se aplica el exponente 0 y la potencia de L

34. e.
f.
o
ó'
h.
¿Qué
representa el exponente en la potenciación
de un número?
¿Cómo
se determina el signo de una potencia si la
base es negativa?
i.(-s)3
j. (7)5
k. 1-2¡t+
l. -(-tz¡s
[(-e)n]0
(st¡z
[(-6)3]2
[(-2)s]4
(-4)4
(-8)6
(- to¡t
-(-e)6
@
Cornpt"ta la siguiente tabla.
@
Escribe con un solo exponente las siguientes po-
tencias.
a. (32)4
b. [(4)3]'
c. [(-1)s]3
d. [(-e)4]3
i.
j.
k.
l.
il
ii €}
arr*sa como una sola potencia.
a.32x33
b.53X54
c.23x24x2
d. (-6¡s + (-8)2
e. (+¡e . p¡z
f. (-3)4. (-3)3 . (-3)2
g. (-6)3 . (-6)2.(-6)4
h. (-r¡:1-1)6(-1)s
§)
Escribe los siguientes productos como potencia.
a. (-3X-3)
b. zx2x2x2x2
c.7X7X7x7x7x7
d.9X9X9X9X9X9
e. (-aX-¿)(-+)
f. (-6x-6x-6x-6)
s.
(-sx-sx-s) (-sX-s)
h. (-b)(- b)(- b)(-b)(- b)
ii lB td"",ifica el signo de cada potencia.
^)3-
(6)4
(- 1)8
-(tt¡+
Potencia Base Exponente Valor
(- s)-3
-3
4
3 -216
(- t o¡-t
-7
4
3 729
15 I
-t
B
e. lcs)2)2
f. [(-10)2]s
s. [(-z¡'1',
h.
[az1+
Propiedades de la potenciación
a.
h.
@
Cornpt"ta los espacios en blanco para hacer verda-
dera la expresión.
(-3)r'(-3)r:(-3)12
!-'l= : (-5)'
(-5)"
t(-4)rlr:
(-4)15
I (-z).
-l'_
(z¡,u
L (-ro)nl - (-ro),0
I (-o)'
-lo
(-6)n
Lf-r'I
- (-r=
tt##l':{-')'
Soluciono problemos
@
Escribe en forma de potencia la cantidad de cubos
c.
e.
@
U"l"ru compró 5 cajas de chocolates, cada una con
5 paquetes de 5 chocolates cada uno.
a.
¿Qué
potencia expresa el número de chocolates
que compró?
b.
¿Cuántos
chocolates tiene en total Helena?
() R..r"lrr" como una sola potencia.
(_8)3. (_8)5
(-8)'. (-8)'
18. 110. lls
(1so)o
(3 + 3),. 63
64
[(-3)']'
[(-3)']'
73. (-4)31(-4)21'
Í(-4)'1n.7'
s,. (-4)31(-4)')'. s'
(s,),. (-4)4 (-4)8
I t(-z)']'. (o'¡n
1'
L t(rrr'.6' l
que forman cada cubo.
d.
d.

35. Están dar: pe n sa m¡ ento n u méri co
Rodicoción de números enteros
La radicación es una operación inversa a Ia potenciación en la que, dadasla potencia
y el exponenfe, se debe hallar la base.
Si a, b e Z,la raízr-ésima de o se ,oru \li : b si bn - a
En expresiones como: Ji :
U, n recibe el nombre de índice radical, el símbolo r[
se denomina signo radical, a se llama cantidad subradical y b recibe el nombre de
raiz.
Por ejemplo, en la expresión V81 :3,81
es la cantidad subradical,4 es el índice
radical y 3 eslaraí2.
En la radicación de números enteros, para determinar la raiz n-ésima de un número
entero se deben considerar tres casos:
Si el índice es par y la cantidad subradical es positiva, Ias raíces son dos números
opuestos. En este caso se dice que la radicación es una operación multiforme.
Por ejemplo, J25 : 15
ya que (5)2 :
25 y (-s1z : ,t
Si el índice es imparyla cantidad subradical es positiva o negativa, laraiz es única
y del mismo signo del radical.
Porejemplo, V(-8)
:
-2
yaque (-2)3 - -8,y,
",[:2
yaque (2):: 3
Si el índice es par y la cantidad subradical es negativa, la operación no es posible en
el conjunto Z.Por ejemplo, ú-36) Zyaque (6)2 : 36y (e)z :
36
En este."ro, .(-36¡ no tiene solución, ya que no existe un número que elevado
al cuadrado dé como resultado -36.
Propiedodes de lo rodicoción
La radicación de números enteros cumple las mismas propiedades que la radicación
de números naturales.
Es decir, si a, b son números enteros y m, n son los índices se cumple que:
Raíz n-ésima de un producto: <1, x f : <E x !,[i
Porejemplo,iln xe : fix Vl:: \.2:6.
Raíz z-ésima de un cociente:
_ :{;
{i
Por ejemplo: -
l0
-"
5
{,f 6' - 6--'
:36
{l : a Por ejemplo: xlz^ :
z
{G -
*"ifi
L¿s r¿ices de indice 2, se lla-
m¿n raíces cuadradas En
este caso, el índice no se es-
cribe.
)tT
-
fT
\lt)
-
1¿)
llto {fot
! zs Jzs
Raíz n-ésima de una potencia:
Por ejemplo, J{ :
64 -2 - 62
Raíz n-ésima de la potencia n:
Raíz n-ésima de la raiz n-ésimaz
Por ejemplo, 1[@
:3'<[64 :
\164 :
2
39
EE
l?q

36. Radicación de números enteros
x Ejempl,os
Resolver las siguientes raíces aplicando las propieda-
des de radicación.
a. VFO
x o+
Se escribe la expresión dada.
Se aplica la raíz de un producto.
5e hallan las raíces.
5e realiza la multiplicación.
Se escribe la expresión dada.
Se aplica la raíz de un producto.
Se aplica la raíz n de la potencia n.
Se realiza la operación en
el exponente.
<lw
"
<17
:
(-4) x a3-3
b3+3xc3+3
-
-4'a
b'c
d. vlo^ooo
{10¡_
- 104+4
:10
= V1-s) x V6a
= {sl x 41,.
- 3x a+=+
:3.A
Se aplica la raíz de un cociente.
Se aplica la raíz de un producto
Se aplica la raíz de la
potencia n.
Se realizan la operaciones.
5e escribe el radicando como
producto de factores pr¡mos.
Se aplica la raíz n de la potencia.
Se realiza la operación de los exponentes
Rozono:3-4-5-6
S
Explica:
¿Por
qué se afrrma que si n es un número Determina si el resultado es correcto,
"rr.uro.o.r-
,
par y b e Z-, Ub no existe? trario, corrígelo. ::
ii e
Resuelve las potencias. Luego, escríbela en forma
a' t4 :1 c' :l=2$ : 7 e' J900 :30
]l - d.r"ír. b J62s: ls d. 11729 :-3 f. J400 :-20
li
'u
i,.1: I l-i]; f,. l;u"
iut,nu,
(! R.,o"l,e aplicando propiedades de potenciació,. il
c. (-2\6 f. 74 i (-))4 | l-10)3 , ^l¡.1 16,
"
1li7c. (-2)6 f. 34 i. (-2)4 l. (-10)3 a. J4 x L6 e. I,lB",
, Determina cuáles de las siguientes raíces no se
b' !2? xf f ili x *'
pueden calcular en los enteros. c. J25d g.
"56
x e
a. {-2? e. J6 i. rl-Tze
d' {16*' h' iDs x s
b. J, r. !t2s j. J8r
c. Vt s. V-1000 k. {-216
d. :,lt h. \1156 l. {El Determina la longitud de la ,rista de cada cua-
4. ! L/ s. Vt) r.. V /L>
b. J, f. tlr2s j J8r
drado de a uerdo con su área.
f @
Calcula las siguientes raíces. a. A: 49 cmz b. A: l2t c 2 c.A:2g9 cm2 ,:
a. Jf d. V81 g. J%r rr rr i ,. . , , .,1..
-- ,: : ;"-
Halla las dimensiones de una barra metálica de ll
b. V-64 e.
'1156
h. 1,82%
2.058 cm3 de volumen, si el largo es el doble del
:
<[eaq x {a'

37. Estánda r: pe n so m ¡e nto n u m é ri co
Poli nomios c r¡tméticos
con nÚmeros entercs
Un polinomio es una expresión matemática en la que se encuentran indicadas varias
operaciones matemáticas que pueden tener o no tener signos de agrupación. Las
siguientes expresiones son ejemplos de polinomios aritméticos:
15 -
12 + 4 + 8 X 3 + 5 es unpolinomio sin signos de agrupación.
- {( -
14) - l- (2 X 3)l} es un polinomio con signos de agrupación.
En esta sección, se resolverán polinomios en los que se combinan las operaciones de
adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación de números
enteros.
Polinomios aritméticos sin signos de CIgrupoción
Cuando un polinomio aritmético no tiene signos de agrupación, se soluciona reali-
zando las operaciones en el siguiente orden:
. Primero, se resuelven las potencias y las raíces.
. Luego, se realizan las multiplicaciones y las divisiones.
. Por último, se solucionan las adiciones y las sustracciones.
Por ejemplo, para solucionar el polinomio 15 -
12 -
4 + 8 X 3 + 5, se realiza el
siguiente procedimiento, primero se realizan la división y la multiplicación; luego, se
resuelven las adiciones y sustracciones de izquierda a derecha. Así,
t5- 12+ 4+ 8X 3+ 5: 15- 3+ 24+ 5 Serealizanladivisióny
la multiplicación.
: 12 I 24 + 5
Se resuelve la sustracción.
:
36 -l 5
5 e resuelven las adiciones.
:41
Entonces, 15 -
12 + 4 + 8 X 3 + 5 :
41.
Polinomios oritmétlcos con signos de cgrupoción
Cuando un polinomio aritmético tiene signos de agrupación, se elimina cada signo
de agrupación de adentro hacia fuera, teniendo en cuenta el orden de las operaciones
y aplicando la ley de signos.
Por ejemplo, para solucionar el polinomio -{(-14) - l-(2 X 3)]}, primero se re-
suelve el paréntesis, es decir, se realiza la multiplicación, luego, se elimina el corchete
y se finaliza resolviendo las llaves. Así,
-{(-14) - l-(2x 3)l} :
-{(-14) - [-6]]
:
-{(-14) + 6}
- -r-aItoJ
-8
Entonces, -{(-14) - l-(2 x 3)l}:8.
r,. s=.t;ii.*. I ?7

38. Polinomios aritméticos con números enteros
x Ejemptos
Luego, il:l x (-3 + T) + (-2)'z :
-4.
@
Simplificar los siguientes polinomios.
L (-7 -
2)3 + (-S) + ez
: (-9)3
-
(-9) + 62 Seresuelveelparéntesis.
: (-729) + (
-
9) + 36 Se realizan las potenctas
: 8l * 36 Se resuelve la división.
: ll7 5e realiza la suma.
Luego, (-7 -
Z)t + (-O) * 62 : ll7.
b. {32 x (-3 + 7) + (-2)'z
: (-2) x 4 + n
5e resuelven la raíz' el
paréntesis y la potencia.
: (
- 8) + 4 5e realiza la multiplicactón
- -4
Se realiza la suma de enteros.
Determina la primera operación que harías para
resolver el polinomio: -4
-l 52 -
82 x 4.
@
Realiza las siguientes operaciones.
8-(s)(-3)+(-4)(7)
(-6)(4)-(-sx8)+(-6)
(-7)+ (-8x-4) -(e)(-2)
(-3X-s)-(eX-2)+18
(-12x6) +(-4)(2)+6
(-ls)+(-3)+(-s)(8)+4
b: -2y c: -4.
-3b+c-2a
5b*4c+2a
ab3+c*3b-a
J*erl+c2b+b'
a.
b.
c.
d.
e.
f.
ú
b'
h.
36
18 l,a(:ntill:n:
a.2a-3b-fc e.
(lJ Suprimir los signos de agrupación y resolver el
siguiente polinomio:
(-2) x [(-6 + s) x (-3) + (-36) + 6]4 + r.
: (-2) x [(-0 + 5) x (-3) + (-36) + 6]4 + I
Se resuelve el parénLesis.
: (-2) x [-1 x (-3) + (-36) + 6]4 + r
5e realiza la mult¡plicac¡ón
y la división delcorchete.
:(-2) x [3 + (-6)]4+ I Serealizalasuma
: (-2) x [-31+ a 1
:(-2)x81 +1
: (-162) + 1
:
-r6t
del corchete.
Se realiza la potencia.
Se realiza la multiplicación.
Se realiza la suma.
Luego, el resultado del polinomio dado es: -
161.
Ejercito: 2-3-4-5
@
fscribe paréntesis en el lugar que corresponda
para obtener el resultado dado.
a. 15-6X4-12:-72
b. s+7-4-9-12:32
c.6X14-4-17- 8:51
d.35-10-15-3-20*7:0
e.2l- 35+5+6X9-4:46
f. -65-28-13-56+8:-87
g.-21+ 9+5+4X8+6:41
h. -18
+ 3 + 5 - lzx 4 -30 - 5 :
-59
@
R"rrr"lre los polinomios.
:
;:
a. -3+{[(-8)-(-s)] +t2l+ 6
if
b. -(-r2)-{-t(-4) x6l + (-3)(-e)}+4
:i
@
r.r.r-ina el valor de cada expresión si a :
3,

39. Ecuociones con
números enteros
Una ecuación es una igualdad en la que se desconoce algún término al que se
le denomina variable o incógnita. La incógnita se representa generalmente con
una letra minúscula. Por ejemplo, las expresiones -3 + x :
9; y -7 - -17
y
4' w :20;
son ecuaciones donde las incógnitas están representadas por las letras x,
y y w, respectivamente.
Una ecuación está conformada por dos expresiones separadas por el signo igual (:
).
La expresión ubicada al lado izquierdo del signo :
se denomina primer miembro
y la expresión ubicada al lado derecho del signo :
se denomina segundo miembro.
En la ecuación -3 I x :
9,el primer miembro es -3
.|
x y el segundo miembro es 9.
Solucionar una ecuación consiste en hallar el valor de la variable que satisface
la igualdad. En el caso anterior, el valor de x que hace verdadera Ia igualdad
-3 * x: 9 es l2,yaqre -3 + 12: 9. Por tanto, Ia solución de Ia ecuación es x :
12.
Propiedod uniforme
El proceso que permite solucionar ecuaciones está fundamentado en la aplicación de
la propiedad uniforme de las igualdades. Este proceso consiste en sumar, restar, mul-
tiplicar o dividir una misma cantidad a los dos miembros de Ia igualdad, obteniendo
así otra ecuación equivalente a Ia primera.
Si a, b, c e Zy a :
b, se cumple que:
alc=b*c A-c:b-C a.c:b.c 6+¡:$+¡
Ecuociones de lo formo x v 0- b
Las expresionesr * 4 :
-9
y x -
9 :
-15
son ecuacionesdelaforma x + a :
b.
Este tipo de ecuaciones se resuelven sumando o restando la misma cantidad en los
dos miembros de la ecuación para obtener de esta manera otra ecuación equivalente,
por ejemplo:
^
Ecuación dada
¡-+--9
Se resta 4 en ambos mtembros de la
x-l 4-4:-9-4 ecuaoón.
5e resuelven las operaciones a ambos
x * 0: -13
ladosdelaecuación
M¿temático alemán Escribió va-
rlos libros, uno de ellos llamado Dre
Coss, donde expone problemas al-
gebraicos, qtle nunr¿ publicó, pero
sus manuscritos fueron editados en
el año 1992.
3ft
q¡r'r :i:na l lQ
II
x: -13
Se aplica la propiedad modulativa y se
obtiene la solución.
En el ejemplo anterior se tiene que: -13 + 4 - -9.
Por lo tanto, r :
-13 sí es Ia
solución de la ecuación.
Para comprobar que la soluclón de una ecuación es la correcta, se remplaza
el valor de la incógnita en la ecuación dada y se veriñca la igualdad
Está ndar: pen s a miento n u rn éri co

40. Eeuaciones ecn numer*s ei]?er*5
Ecuociones de lo formo o
. x: b
Expresiones como 3 ' x: 18y -7 ' x: -35
y son ejemplos de ecuaciones de la
forma A. x: b. Esta clase de ecuaciones se soluciona multiplicando o dividiendo los
dos miembros de una ecuación por un mismo número, distinto de cero, obteniendo
así otra ecuación equivalente a la primera, por ejemplo:
-7'x: -35
-7'x -
-35
7-7
1'¡:5
..
-
I
I-J
Ecuación dada.
Luego, se comprueba qu,e x :
5 es la solución de la ecuación, para ello se remplaza
la x por 5 en la ecuación dada así:
Ecuación dado
Se remplaza x por 5 y se verifica que el producto es -
35.
5 sí es solución de la ecuación.
-7 ' x: -35
-7 ' 5: -35
Entonces, r :
Se divide a ambos lados entre el coeficiente de x que es -
7.
Se realizan las operaciones en ambos lados de la ecuación.
Se resuelve lo multiplicación.
Ecuación dada.
Se multiplica por 2 a ambos
lados de lo igualdad.
Se realizan las operaciones,
x_
2
l,
^
_
2
lo
'tl I I 7 C1^rill1--
ffi
§*mpto
Resolver la siguiente ecuación.
x
1
7
7.2
l4
Luego, se comprueba la solución de la ecuación. Para ello se remplaza x : 14 enla
ecuación
|
: Z asi: JL:
7,
entonces, la solución de la ecuación es x :
14.
Plonteomiento y solución
de problemos medionte ecuociones
Por medio de las ecuaciones es posible resolver problemas que involucran números
enteros. Para ello, hay que tener en cuenta los pasos para la solución de problemas:
Interpretar el enunciado. Este paso consiste en identificar los datos conocidos del
problema e identificar el dato que se busca calcular. Se debe asignar una letra (o
incógnita) para el dato desconocido.
Plantear y resolver la ecuación. En este paso se debe escribir el problema en forma
de ecuación. Luego, se debe resolver la ecuación.
Comprobar el resultado.lJna vez se resuelva la ecuación se debe verificar si la so-
lución cumple las condiciones del problema. Luego, se debe redactar la respuesta
en términos de la información del problema.

41. x Ejemptos
@
t ado.ir cada expresión numérica en forma de
ecuación.
a. Un número disminuido en 12 equivale a 500.
n es el número.
Como disminuir está relacionado con restar en-
tonces la expresión es: ,? -
12 :
500.
b. La mitad de un número es 70.
d es el número.
Como la expresión la mitad equivale a dividir
entre 2, entonces, la expresión es 4 : n.
z
Estándar : pe n sa m t e nto n u mé ri co
Tercero, se comprueba el resultado. En este caso
se remplaza 80 en la ecuación planteada inicial-
mente.
x I 15:95 + 80 * 15 :95
Como sí se cumplen las condiciones del problema,
se puede afirmar que el número que aumentado en
15 equivale a 95 es 80.
b. El perímetro de un cuadrado
es 80 cm.
¿Cuánto mide el lado
de dicho cuadrado?
Primero, se asigna la variable I a Ia
medida del lado.
Segundo, se plantea y resuelve la ecuación.
4l:80
4l _80
44
l: zo
Tercero, se compruebá el resultado. En este caso se
cumple que 4 X 20 equivale a 80. Luego, la medida
del lado del cuadrado es 20 cm.
Se divide a ambos lados
entre 4
Se realizan las operaciones.
Resolver cada situación:
a. Un número aumentado en 15 equivale a 95,
¿cuál
es ese número?
Primero, se asigna Ia variable x al número.
Segundo, se plantea y resuelve la ecuación:
x l- 15:95
x:95 -
15
x: *80
;i
Resuelve las ecuaciones. fuan y David juegan un videojuego. Si el puntaje
a. x_5:12 f. g: x_25
obtenidoporDavidesl50menosqueeldeJuany
d. -2 I x :
-6 i. 315 : 216 -l t El número de niños en un salón de clase es el doble
:
e n
-
3O:
-55
i 1O7:
-3O5
-l- w rlcl nrimcrn rle niñcq m4c Á Si en el qelÁn her¡ 1Á
/' i:-i\
E1
e. a -
30 :
-55 j. 107 :
-305
-l w del número de niñas más 6. Si en el salón hay 36
personas,
¿cuántos
niños y cuántas niñas hay?
Soluciono problemos
'.5ar¡riiana I 4i
I

42. Números enteros
C.
d.
e.
a. 100.000
b. -
1.700
c. 3.785
d. -20
e.150
f.
-486
e. -3, -2, -I,0
f. 1,2,3, -5
g' -1, -2, -3,9
h.
g,
-7,6, -5
a. Punto A: Canadá
b. Punto B: México
c. Punto C: Ecuador
d. Punto D: Brasil
e. Punto E: Argentina
Punto F: Malí
Punto G: Zaire
Punto.FI: Turquía
Punto 1: China
Punto /: Rusia
f.
o
b'
h.
i.
)
e. -12
f. - rs
g.13
h. 200
i. -17
j.
-2os
k. +40
l. -r2o
Responde.
Escribe cuántos opuestos están entre cada par de
numeros.
a. 3y su opuesto
b. ay su opuesto
c. -Tysuopuesto
Ordena los siguientes grupos de números de
menor a mayor.
a. -
150, 470, 8.000, -9.000
b. 490,250,
-7.000,
4.900
Representoción de enteros
utiliza números enteros para expresar el valor en e! plCnO gCfteSiOnO
numérico de las siguientes afirmaciones.
Lee la información: Las coordenadas geográfi-
a.
b.
Un helicóptero l'uela a 6.000 metros de altura
máxima.
En la Antártida se registró una temperatura de
15 "C bajo cero.
Pitágoras nació en el año 582 a,C.
Me pagaron $ 150.000 que me debían.
Unpez se encuentra a 1 m de profundidad.
Escribe un enunciado que se pueda expresar me-
diante los números dados.
Orden en ¡os núnreros enteros
Escribe en cada línea dos números que hagan ver-
dadera la expresión.
a. 5< _l< -<10
b. 12> _r> -_1>8
g. t <,,,-- t< -3 . :l
i. -51 > ->-60>___
cas permiten ubicar lugares sobre la Tierra, estas
coordenadas se definen teniendo en cuenta los
meridianos y los paralelos.
Los meridianos atraviesan la Tierra de polo a polo.
El cero es el meridiano de Greenwich.
Los paralelos son líneas paralelas y su cero es el
Ecuador. Observa.
80- r00" 120' 1,10'
80'
I ro'
40'
20'
0'
20'
40'
20'
,10'
140' 120" 100' 80' 60' 40' 20" 0" 20" 40' 60' 80" r00' 120' 140'
Determina las coordenadas de cada país usando
coordenadas cuyos componentes sean números
enteros.
r,10' 120' r00' 80' 60" 40' 20' 0' 20' 40' 60'
80" I lll
60'
-.1
20'
0'
Escribe en la línea e, e, C, ( según corresponda.
a.3- Z- e. Z -Z+
b. -ls 7- f. -7s z
c.-8 Z g Z Z
d.0 z h.0 _z
Dibuja una recta numérica y ubica en ella cada
grupo de números.
a. -5,4,7,0
b. -2, r,2,3
c. -3,2,0, I
d. 0,4, -2, -l
Escribe los números enteros en cada caso.
a. Mayores que -3
y menores que *7.
b. Menores qtue2y mayores que -6.
c. Menores que 1 y mayores que -9.
d. Mayores que -5
y menores que 2.
Calcula.
a.5
b. -2
c. -3]
d. +8i
a"
b.
¿Puede t"rl* :
-2?
Explica tu respuesta.
¿Puede
ser lm
:4? Explica tu respuesta.
d. 9ysuopuesto
.. l-+l
y su opuesto
f. 2 ysuopuesto
+ L ! 5¿F'r;:iane

43. Sumo y resto de enteros
@
Realiza las siguientes sumas.
a. (12) + (-1s)
b. (-10) + (+2)
c. (-2t) + (-11)
d. (-32) + 7s
e. (-a8) + (-47)
f. (-3e) + sl
g. -t2+9
h. -31 + (-32)
i. 4s + (+38)
j. -sl + 16
k. le + (-38)
l. 4e + (-37)
@
Co-pt"ta la tabla.
a b c a-lbl-c
f.
o
b'
h.
i.
j.
a.
b.
c.
d.
e.
4s -
(-eo)
12 -
(-300)
-3s0 - (-lso)
-4es - (- leo)
4so -
(-30)
s.
(-4)(-2)(-e)
h. (-8x10)(-2s)
i. (13)(16)(-30)
j. -
(lex- lsx -
1s0)
k. (2eo)(- 16x-3so)
r. -(lex-
lso)(380)
-5 -3 -8
-4
12 +9
-9
31 -7
12 -29 -32
7 14 +15
_a
16 12
@
Rerrellre las sustracciones.
-15 -
19
-8-30
-e -
(-2)
-3s -
10
30-t4
@
a" un juego d,e mesa cada jugado r avarrza o re-
trocede su ficha según lo indique el tablero. Pilar
partió de 0 y anotó lo que sacó en cada ronda: con
aatl cada avance y con rojo cada retroceso.
¿Con cuánto puntaje quedó Pilar después de sus
avances y retrocesos?
Mulliplicoción
de números enteros
@
Rerrr"lrre las multiplicaciones.
a. -3X2
b. -8x10
c. -9x -4
d. -15 x 10
e. -9 x (-2)
f. -ls x 16
@
r" un juego de dardos, el puntaje se obtiene de
acuerdo con la zona donde cae el dardo, de la si-
guiente forma:
50
Responde:
¿Qué
puntaje obtuvo el jugador si los dardos se
ubicaron de la siguiente forma en el tablero.
División de números enteros
490 + 70
-85
+
-5
t30 +
-2
@
Realiza las divisiones.
-1.500
+ 3
450 + -5
150 + 10
a.
b.
c.
d.
e.
f.
Potencioción y rodicoción
@
o","rrnina la suma de las potencias que expresa el
número de cubos de la pirámide. ¿Cuántos
cubos
son?
@ ¿Coe.rt"
malla debe ser comprada para rodear un
terreno de forma rectangular, que tiene un área de
588 m2, si su largo es tres veces el ancho?
Ecuociones
@
Uuri" salió de compras con $ 240.000 y compró
una falda, una blusa y unos zapatos; si la falda
costó el doble de la blusa y los zapatos el triple de
la blusa,
¿cuál
fue el costo de cada prenda?
osantillana
|
43j

44. La potenciación permite simplificar la multiplicación de
varios factores iguales. En ella se presentan los siguientes
Al comparar dos números enteros a y b sola
mente se puede presentar una de estas rela-
ctones.
.
Que d sea mayor que b. En este caso d se
ubrca a la derecha de b en la recta numérica.
.
Que d sea menor que b. En este caso ú se
ubica a la izquierda de b en la recta numérica.
.
Que a sea iguala b En este caso ay brepre
sentan e mismo punto en la recta
Para sumar dos números enteros se presen
tan los siguientes casos:
. Cuando los dos números enteros tienen
igual signo se suman sus valores absolu-
tos y se escribe la suma anteponiéndole el
srgno común de los sumandos.
. Cuando los dos números enteros tienen
diferente signo se restan sus valores abso-
lutos como números naturales y se escribe
la diferencia anteponiéndole el signo del
número cuyo valor absoluto es rnayor.
Para restar dos números enteros se suma el
minuendo con el opuesto del sustraendo.
La radicación es una relación inversa a la potencra-
ción, ya que dados el exponente y la potencia permite
encontrar la base. En esta se encuentran los siguientes
elementos:
an:b
-u
44
1a,5¿nti!lana

45. I
Los números enteros
en los líneos de tiempo
En el estudio de la historia se abarca todo lo que ha
sucedido desde la aparición de la humanidad hasta la
actualidad. Para poder comprender el conocimiento
histórico, los historiadores han establecido divisiones
temporales que conocemos como eras, períodos y
épocas; aún así, parala mente humana es difícil ima-
ginar la temporalidad ya que implica un alto grado de
abstracción.
Una forma sencilla y clara de entender el tiempo histó-
rico es por medio de organizadores gráficos como las
líneas de tiempo. Estas permiten ordenar una secuen-
cia de eventos sobre un tema y observar con claridad
la relación temporal entre ellos; visualizar la duración
de los procesos y la conexión entre sucesos que se
desarrollaron en un tiempo histórico determinado,
también es posible reconocer la distancia que separa
una época de otra.
Hay distintos tipos de línea de tiempo, por ejemplo,
hay líneas de tiempo de un año, una vida, una época,
un período de pocos años o de miles de años, las hay
también temáticas, por ejemplo de historia política,
cultural, artística, etc.
Para elaborar una línea de tiempo acerca de un tema,
es necesario identificar los eventos y las fechas en que
ocurrieron, luego ordenar los eventos en forma crono-
lógica; después seleccionar los hitos más relevantes del
tema para establecer los intervalos de tiempo adecua-
dos y así establecer gráficamente las diferencias tempo-
rales utilizando un color para cada época; finalmente,
determinar la escala de medición para organizar los
eventos en el diagrama.
En algunas líneas de tiempo aparecen números nega-
tivos como -500,
que representa el año 500 a.C. Para
la siguiente línea de tiempo se toma como 0, el año de
nacimiento de Cristo. En ella se muestra desde la era
neolítica hasta la actualidad.
Explica qué es una Iínea de tiempo y para qué
# ¿Cu¿t imperio predominaba en el año -3000?
En la línea de tiempo,
¿qué
representa el número
entero -
10.000?
Elabora una línea de tiempo sobre los sucesos
O ¿Cuántos años transcurrieron desde el Imperio más importantes de tu propia yida. Toma como
referencia 0 el día que cumpliste 6 años.
macedónico hasta la conquista de América?
Y esto que oprendi,
¿PARAO ÉVTSTRVE?
Pora construir líneas de tiempo.
ts
Sant:llana
I 4

46. Núrneros
r0cionoles
Temos de lo unidod
Los números racionales
Operaciones en Q
Polinomios aritméticos con racionales
Ecuaciones en los números racionales

47. Lo sendo
de los recuerdos
La sala del trono papal aparecía enorme y vacía a los
ojos de Silvestre ll. El otrora poderoso pontífice romano
había perdido todo su poder político aunque a los ojos
de cualquiera su presencia aún imponía un respeto casi
místico.
Ya anciano gustaba de pasear por su pasado, el único
sitio adonde solo podía llegar él y se sentia libre.
Recordaba feliz su estancia en el monasterio catalán de
Ripoll, las frecuentes visitas a su rmponente biblioteca
y la ciencia que venía del sur.
A su memoria volvían algunos de sus recuerdos ilu-
minando su rostro, como aquel ábaco que él mismo
construyó con los números arábigos escritos en sus
fichas y cuyo uso describió con detalle, o el proyecto de
aquella máquina que fraccionaría el t¡empo, sustituta
de la campana de los monjes: maitines, laudes, prima,
tercia. . .
Abrió el libro y, por azat, se encontró con el proyecto
de la máquina que medía el tiempo cuyas primeras
líneas decían:
Dia y noche son las dos partes en que se divide el día, mas
no son iguales, el pilmero de diciembre durante el día se
han consumido 3 velas y 6 durante la noche. . .
De repente, como el humo de las velas tras un golpe
de aire, el imaginario camino trazado en el tiempo se
desvaneció al oÍr la voz de su secretario que, a cierta
distancia, le informaba de su próxima audiencia.
Tomado de l'"4atemóticas J ESO. España, Editorial Santillana.
¿Qué
signif ca maitines, laudes, prima y tercia?
¿Qué
fra«ión deldía le asignarras al día y a la noche, según
la explicación de la máquina que media eltiempo?
PARA... RAZONAR
a.
¿Qué fracción del pan representa una tajada
delgada?
b.
¿A
qué fracción del tangrama corresponde la
ficha F?,
¿y
la ficha D?
Uno de los objetos de la balanza pesa
I
Oft
el otro pesa 5
kg,
¿cuál
es el peso de cada
objeto?
10

48. Los números rocionoles
6
8
J
T
EI concepto de número racional surge a partir de la idea intuitiva de dividir una
totalidad en partes iguales, como por ejemplo, cuando nos referimos a un cuarto de
hora, a la mitad de unaprzzao las tres cuartas partes de una naranja. Así, los números
racionales suelen ser empleados al establecer ganancias y pérdidas de un negocio, el
tiempo empleado por un móvil al recorrer cierta distancia o al representar en una
encuesta los porcentajes de una población
Definición del coniunto
de los números rce¡onoles
En el conjunto de los números enteros, Z, operaciones tales como 8 + (-5) no tie-
nen solución, ya que, la división entre números enteros tiene como condición que
el cociente debe ser un número entero, es decir, que la división sea exacta. Por tal
razón, se hace necesario ampliar el conjunto de los números enteros al conjunto de
números racionales.
El conjunto de los números racionales se simboliza @ y se define como el conjunto de
cocientes entre dos nÚmeros enteros, es decrr,
A- {¿ /a.b e /.b + ovncd(o.ol : l}
tb )
En todo número racional es posible determinar el signo a partir de los signos del
numerador, a, y del denominador, b. Si el numerador y el denominador tienen el
mismo signo, el número racional es positivo, pero, si el numerador y el denominador
tienen signos distintos, el número es negativo. Por ejemplo ,
+, +
son números
racionales positivos t
*,--92
son números racionales negativos.
Froceiones eq u ivo lentes
Los números racionales, en algunos casos, pueden representar una misma cantidad.
Por ejemplo, al representar los números
+
,
+
en una unidad se puede observar
que indican la misma región coloreada.
Cuando dos fracciones representan la misma cantidad pero se escriben de forma
diferente se dice que las fracciones son equivalentes.
Dos fracciones se llaman fracciones equivalentes cuando representan la misma
cantidad,es decir, +
:
+.Si +
:
!,.n,on."t,a x d: b x cdondea,b,c,d €Z
b d b d'
conb*0yd*0.
Como las fraccione t
i t f
,on equivalentes, podemos escribir:
'^ -
!
ful""3X8:24:4x6
48
loSantillana
.t{i

49. Sim plificoción de frocciones
Simplificar una fracción racional consiste en encontraI otras fracciones equivalentes a a
fracción dada, pero que tengan los términos menores.
Para simplificar una fracción se dividen tanto el numerador como el denominador
entre el mismo número, de esta manera, se obtiene una fracción equivalente. La sim-
plificación termina cuando se obtiene una fracción que tiene los términos primos
entre sí, y sellamafracción irreducible.
Una fracción es irreducible cuando no hay factores comunes al numerador y al
denominador, es decir, cuando el máximo común divisor (mcd) del numerador y del
denominador es 1.
La obtención de una fracción irreducible se puede realizar de dos formas:
. Al dividir cada término de la fracción entre divisiones comunes. Por ejemplo,
30 : 30+2 _ 15 : l5+3 :a,lr.so, 30 _ 5
36 36+2 18 l8+3 6 " 36 6
. Al dividir cada término de la fracción entre su mcd. Por ejemplo, el máximo
común divisor entre 30 y 36 es 6, por tanto, +
:
?9 I 9
:
5
36 36+6 6
Complificoción de frocciones
Complificar una fracción raciona es encontrar otras fracciones equivalentes con
términos mayores a la fracción dada
Para complificar una fracción se multiplica tanto el numerador como el denominador
por el mismo número. Así, se obtiene una fracción equivalente. Por ejemplo,
-3 _ (-3)x2 _ 6. -3 _ (-3)xs __ts
4 - 4X2 - 8' 4 4X5 20
Por medio de los procesos de simplificación y complificación, se pueden determinar
conjuntos de fracciones equivalentes. Por ejemplo,
lz 4 6 8 10 I
\7' 14' A' n' 3s '"'J
Se observa que el conjunto está formado por la fracci ó" 4 ,que es una fracción irre-
7'
ducible, y por todas sus equivalencias. En este caso, Z reclbe el nombre de racional
representante de dicho conjunto.
7
En general, t
{t,#,#,)es
un conjunto de fracciones equivalentes,
donde L con b + 0, se denomina racional representante.
b
El conjunto formado por todos los representantes de los conjuntos de las fracciones
equivalentes es el conjunto de los números racionales.
5e conoce como máximo
común divisor de dos o más
números, al mayor de los
divisores comunes de dichos
n úmeros.
Lfi
r,ai4
()

50. Closificoción de rocionoles
Racional positivo. Un número racional es positivo cuando el producto de los signos
del numerador y del denominador es positivo. Por ejempro,
I
e Q+ ya que
(+) x (+) :
«*l'
*
e Q+ va
que (-) x (-) : (+).
Racional negativo. Un número racional es negativo cuando el producto de los signos
del numerador y del denominador es negativo. Por ejemplo, +
€ Q
-
ya que
(-) x (+) : (-); * e Q- ya que (+) x (-) :
Racional nulo. Un número racional es nulo cuando el numerador es cero y el deno-
minador es cualquier número entero diferente de cero. Por ejemplo, los números
'
8' -25' 2l
Racional entero. Un número racional es entero cuando su denominador es uno. Por
ejemplo, +,t+,29 ro., racionales enteros y se escriben así,6, -13,
_20,
I 1 -1
respectivamente.
Números mixtos
Existen números racionales en los que el numerador es mayor que el denominador,
sin ser el denominador un múltiplo del numerador.
13
4
Luego, L:I*1:,1
Por ejemplo,la fracción
f
,. ,"p."renta de la siguiente manera:
corresponde a 1 unidadcompletal
f
d. ot.u.
LLLII ffi-t 1
. Siendo un número mixto.
@
E*pr.rur como un número racional el número
mixto 5
I
J
Para convertir un mixto en racional, se multiplica
la parte entera por el denominador de la fracción
y, a este producto, se le suma el numerador. El re-
sultado anterior es el numerador de la fracción. El
denominador es el mismo. Por tanto,
Un número m¡xto es el racional que se expresa como la suma de un número entero y un
número racional. Simbolicamente,seexpresaasi a I +
:
"+
con c# O.
CC
m Ejennptos
@
Escribir en forma de número mixto el número
racional 2.
4
Para convertir un racional en mixto, se divide el
numerador entre el denominador. El cociente es
la parte entera del número mixto, el residuo es el
numerad.or de la fracción y el denominador es el
mismo. Por tanto,
9
I
Entonces,
f,:
z
V
2
5a
Ley de signos es:
/r\/r
-
r
!| r / r /
-
|
I I
t-/(-/
-
-r
(-)(+): -
/ r \/
-t-r/(-/
- -
0
|
o santillana

51. Recupero inf.: 1
La palabra racional se deriva de la palabra "ración i
€D
Escribe la fracción que representa la parte som-
Observa el diagrama de Venn. Luego, utilízalo
para determinar si las afirmaciones son verdaderas
o falsas.
I
/
a. Los números enteros son un subconjunto de
los números naturales.
b. Todo número natural es un número racional.
c. Todo número racional es un número entero.
-24 57 220
u'64D'n.9%
b-+
-od.i
. t25
d'
6n
1
CT
¿Qué
representa el símbolo Q?
Explica la relación entre las dos palabras.
breada de cada figura.
j,
O
gt..iue
cad.a número racional teniendo en cuenta
la condición dada.
b.
El denominador es el doble del numerador y el
numerador es la unidad.
El denominador es el triple del numerador
aumentado en I y el numerador es el menor
número primo.
El numerador es el opuesto a 8 y el denomina-
dor es el mayor número dígito.
@
Escribe un conjunto de fracciones equivalentes a
cada racional dado.
3
a.T
Encuentra la fracción irreductible de cada racio-
nal.
Determina el racional representante de cada con-
junto de fracciones.
11
JJ
Rozono: 4-5-8-9-1 O-1 1 -1 2
10
30
D1
361
-40
30
100 D1
600' n I
b.
-400
300
5
30
a.
d.
Escribe el número entero que verifica cada equiva-
lencia.
^ 140_
L'
3so -
Soluciono problemos
t2r
tl
:17
2
Relaciona las etiquetas que hacen referencia al
mrsmo peso.
Á
hb.u
8
@
U" un supermercado venden café por octavos de
kg. Si Luisa compró
f
a. cafe,
¿cuántos kg de
café compró?
tl :
7
16
a
b.
iI
76
54
tr
:18
49
!
übru
2
! hb."
8
a
hbr"
4
4
hb.u
8
Indica qué fracciones son equivalentes.
Determina el racional que no pertenece a cada
1 libra
7
t2
2L 70
36120
t4
6
42
72
35
60
60
25
72
IO
72
30
t2
5
36
I5
t20
50
Está n da r: pe n sa m i e nto n u m é ri co y pe n sam ie n to v ari aci on a I
P'
b.
b.a.
oSantiltana
|5ll,

52. Clasifica los siguientes números en positivos, ne-
gativos, nulos o enteros.
u.5 d. -3
-0L.-
10
Relaciona cada número de arriba con su racional
equivalente.
u. 3L b. -2L
27
El Paedocypis progenetica es el pez
más pequeño. Vive en los lagos áci-
dos de Sumatra y mide zfr mm.
El Phocoena sinus o la "vaquita" es el
cetáceo más pequeño Es una espe-
cie en vía de extinción y mide t! m.
2
0
-5
-t2
t7
I1
I
e.
9
b. -4
I
15
6
18
7
u.9
2
b.7
J
-7
.I0
l.
-
-3
@
Erpr"ru cada fracción como un número mixto.
2l
e.-
5
f.
19
11
c. -tZ
7
d. 3a
7
Ejercito: l 4-1 5-1 6
Soluciono problemos
Si un tercio de los estudiantes de séptimo juega
fútbol y en total hay 75 estudiantes en séptimo,
¿cuántos
estudiantes juegan fútbol?
En una población, 4 de cada 7 habitantes son mu-
jeres.
¿Cuántas
mujeres hay si la población es de
14.000 habitantes?
@
," brazo robótico fue diseñado para hacer giros
positivos (+), si gira en el sentido contrario a Ias
manecillas del reloj y giros negativos (-), si gira
en el mismo sentido de las manecillas.
Por ejemplo:
I
A
gffo
Dibuja la posición final del brazo robótico des-
pués del giro.
c
d.
-|si'o
! siro
t.
24
2. _18 3.
7
4. _9
7727
Escribe el número racional correspondiente a cada
dato.
a'
El Phobaeticos chani es un insecto pa-
b.
La mangosta de Kimberley es el mar-
supial más pequeño. ¡y1¡6s 5--7 6m.
10
Números mixtos
7
't{.r
E

53. Representoción decimol
de un número rocionol
Las fracciones racionale,
fr, it,#,
,
,ofu,
son fracciones cuyo denomi-
nador es una potencia de 10. Estas fracciones se denominan decimales y se leen así:
7
fr:
siete décimos
200
**
: doscientos milésimos
. Cuando las fracciones no tienen como denominador una potencia de 10, pero son
potencias de 2, potencias de 5 o productos de una potencia de2por una potencia
de 5, se pueden expresar como una fracción equivalente, en donde, el denomina-
dor sea una potencia de 10. Para ello, se complifica la fracción, por el factor que
convenga, de modo que el denominador se transforme en una potencia de 10, así,
17
100
: drecrslete centeslmos
10.000
:nueve diezmilésimos
_125.
100'
M¿temático, afrónomo, afrólogo y
cartógrafo ita iano. Tabajó c0m0 ma-
temático en l¿ Univenid¿d de Boloni¿
después de ser elegido por Galileo. Fue
el primer matemático en us¿r la com¿
para separar la parte entera de la parte
decimal
5
4
-
5X
4x25
25
-u _ (-11)x 4 _ -44
250 250x4 1.000
. Toda fracción decimal se puede representar como un número decimal, el cual
se encuentra formado de una parte entera, escrita antes de la coma, y una parte
decimal, escrita después de la coma.
. Para expresar una fracción decimal como un número decimal, se escribe el nu-
merador de la fracción y en él se separan con una coma, de derecha a izquierda,
tantas cifras decimales como ceros tenga el denominador de la fracción. Si las
cifras del numerador no alcanzan, se agregan a su izquierda, tantos ceros como
sean necesarios. Por ejemplo:
#:26,48
16 :
o,o16
1.000
oé.¡r*i
-
c.nG¡'nii rvr¡lliirár
t
dcm
En los números decimales se tiene en cuenta el valor de posición de las cifras, al igual
que en los números naturales. Por tal razón, se pueden ubicar en la tabla de posición, así:
Coma
]t
0
emptos
Transforma6 si es posible,la fracción
ción decimal.
afrac-
9 _ 9xt25 _ 1.125
8 8x125 1.000
5e multiplican tanto el numerador
como el denominador por 125.
1.T25
1.000
fuego,
f:
_ t92
1.000
53
o Santiilana
I
l6
9
8 ffi
E*pr".ur en forma decimal la fracción
iffi
_r01
L)' :
-0.192
1.000
Se escribe el numerador -
192 y como
el denominador tiene tres ceros, se
separan tres cifras.
Luego, :
-0,192.
5:
Estándar: pe ns a m i e nto n u m éri co y pen s a m i ento va r t acia na I
Giovanni Antonio Magini
1 555-1 61 7
CDU
2 6 4 8
0 0 I

54. Matemático y afrónomo pena, Logró
calcular l6 decim¿les para el número
pi (o'), cifr¿ que hasta ese momento
no había sido calculada [ontribuyó en
el des¿rrollo de las fracclones decima-
les proporcionando un algoritmo para
el cálculo de l¿s rakes enésimas
Closificoción de los números
roc¡onoles decimoles
Un número racional decimal se clasifica en: decimal exacto, decimal periódico puro
y decimal periódico mixto.
Decimol exocto
El número decimal exacto es aquel que tiene parte decimal finita. Se obtiene a partir
de fracciones decimales o de fracciones equivalentes a una fracción decimal. Por
ejemplo, 1,24;0,1;18,05 y 125,1 son números decimales exactos.
Decimol periódico
Todo número racional que no es equivalente a una fracción decimal se puede expresar
como un número decimal al dividir el numerador entre el denominador.
A
Por ejemplo,
É
no es equivalente a una fracción decimal. Para expresar la fracción
como un número decimal se realiza la división de 4 entre 33, así:
40
70
40
70
40
70
4
Se puede observar que en el residuo de la división se repiten dos número s, el7 y e 4,
y que en el cociente hay un grupo de cifras que se repiten, 12.En este caso, el número
decimal se denomina periódico, ya que tiene infinitas cifras decimales que se repiten.
Por tanto, 0,1212... es un número decimal periódico, en el cual el número 12, que es
el grupo de cifras decimales que se repiten, se llama período.
Un número decimal periódico puede ser: periódico
Puro
o periódico mixto.
Decimal periódico puro. Es un decimal inexacto cuya parte decimal es infinita y
tiene un número o grupo de números que se repiten indefinidamente a partir de
Ias décimas. Por ejemplo,0,I2I2... o 0,333..., son decimales periódicos puros,
cuyos períodos son L2 y 3, respectivamente. Estos decimales periódicos puros
también se pueden representar como: o,D o 0,1 , donde el arco indica el dígito
o conjunto de dígitos que se repiten indefinidamente.
Decimal periódico mixto. Es un decimal inexacto cuya parte decimal es infinita y
tiene un período que no comienza en las décimas. Por ejemplo, 0,59191... es un
decimal periódico mixto, cuyo período, 91, no empieza a partir de las décimas.
Por tanto, 0,59191 se representa así 0,591.
Existen otros números decimales infinitos, sin embargo, no son racionales, por ejem-
plo n : 3,1415..., J, : I,4142..., entre otros.
Ghiyath al-Din Jamshid
Mas'ud al-Kashi
1380-1429
RECUERDA QUE...
Toda fra«ión se puede escribir
en forma decimal.
5rl
i4
|
osantillana

55. 324 _ 162
105
45.708 rt.427
'
1.000 250
0,3: a
9
o,;4: 5L
99
Ü ffUur la fracción decimal correspondiente a
fl
O"t..-inar la fracción correspondiente a cada
b. 10,65
Se escribe como numerador 1.065 y como deno-
minador 100, ya que 10,65 tiene dos cifras decima-
les. Luego, se simplifica.
10,65:
r'065
-
213
100 20
c. -0,25
Se escribe como numerador -25 y como deno-
minador 1.000, ya que -0,025 tiene tres cifras
decimales. Luego, se simplifica.
-0.025
:
-
25
'
1.000
decimal e indicar qué clase de decimal es.
a. 0,6
Se escribe como numerador 6 y como denomi-
nador 9, pues el período tiene una cifra decimal.
0,3:6
9
Por tanto, 0,3 es un decimal periódico puro.
b. 0,gt
Se escribe como numerador 8l y como denomi-
nador 99.
o,íi : -818
99
Por tanto, 0,íi .s un decimal periódico puro.
c. 0,325
Se escribe como numerador 325 y como denomi-
nador 1.000.
0,325:
-325
1.000
Por tanto, es un número decimal exacto.
1,3:18 -
9
105
Estándar: pensamiento numérico y pensamiento vaiacional
Conversión de decimol o rocionol
Un número decimal está formado por una parte entera y una parte decimal. La parte
entera corresponde a las cifras ubicadas antes de la coma y la parte decimal, a las cifras
escritas después de la coma.
Así, para expresar un número decimal exacto como un número racional, se escribe
como numerador el mismo número decimal pero sin coma; y como denominador, la
unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tenga el número decimal. De
ser posible, la respuesta se debe simplificar para obtener así el racional representante.
Por ejemplo,
o,t5:
15
-
3
100 20
Para encontrar el número racional de un número decimal periódico puro, en el cual
la parte entera es cero, se escribe como numerador el período y como denominador,
tantos nueves como cifras tiene el período. Por ejemplo:
0,6ñ:##
Cuando la parte entera del número decimal no es cero, se escribe el número como
la suma de la parte entera más Ia parte decimal. En la parte decimal, cero es la parte
entera y las cifras decimales se conservan. Luego, se determina el decimal como un
número mixto y por último, el número mixto se expresa como una fracción. Por
ejemplo,
4,43:4+0,43:443 -
439
99 99
l€ Ejemptes
cada número decimal. Luego, encontrar el ra-
cional representante.
a' 1,8
Se escrib como numerador 18 y como denomi-
nador 10, ya que 1,8 solo tiene una cifra decimal.
Luego, se simplific .
osantillana
155
.t+

56. Encuentra
ción dada.
u.
17
50
b.
2t
d.
29
t25 4
una fracción equivalente a cada frac-
c.: o9
o'
16
h.
327
2
e. -7
8
,57
l.-
25
-3750
1.000
;483
10.000
f:
1t
:l
ii Determina elvalor que debe haber en cada cuadro
it
ll
para que se cumpla la equivalencia.
I
i] &
Expresa como un número decimal cada fracción
ii decimal.
il
ii
i] Inaica el valor de verdad de las siguientes propo-
srclones.
a. La forma decimal d"
15
es 1,5.
100
b. La fracci¿" *
se representa como 0,31.
10
c. 2,35 es la representación decimal d" P
100
¿.
-
431 :-0,431
1.000
decisegundo+'
S
centisegundo
1-
loo '
s
milisegundo s
microsegundo S
nanosegundo S
5 6
l "'5anrillar-'¿
Conversién de decimal a racional
Expresa como números decimales los siguierrt"r
iiUI'
números racionales.
u.
10
b._t7
l,G
4,92
valenciaa por qué se cumple
a. l,¡
b. 2,5
Explic
Completa la siguiente tabla.
_19
6
24
125
_5
11
Escribe cada número decimal como una fracción.
c. 0,16
^
d. -37,6
e.
f.
la equi
0,1 :
0,10 :
0,100 : ...
ll
Escribe cinco ejemplo
veriflcar que: toda frac
descomponerse en fact
los factores 2 o 5, es un
Soluciono problemos
David debe partir un palo de balso de 20 cm
""
: ii
\i
partes iguales. Para esto planteó Ia fracción 4 ¡i
3jl
¿Qué
puede hacer David para partir el palo?
i¡
El dueño del supermercado desea verificar en su
balanza digital si los pesos de los productos son
correctos.
.
¿Cuáles
productos tienen el peso que indica su
etiqueta?
6
L-
15

57. Representoción de los rocionoles
en lo recto numérico
Para representar un número racional en la recta numérica se realiza el siguiente
procedimiento:
. Primero, se localizan los números enteros sobre Ia recta numérica.
. Segundo, se determina el par de números enteros entre los cuales se encuentra el
número racional. Si en la fracción, el numerador es mayor que el denominador se
expresa el número racional como un número mixto.
. Tercero, se divide cada segmento unidad en tantas partes como indique el deno-
minador.
. Finalmente, se cuenta a partir del cero, el número de partes que indique el nu-
merador. Si el número es positivo se cuenta hacia la derecha, pero si el número es
negativo, se cuenta hacia la izquierda.
x Ejernptos
Representar en la recta numérica los siguientes números racionales.
".58
Para representar en la recta numérica a
, primero, se determina el par de núme-
8
ros entre los cuales está la fracción. Como A está entre 0 y 1, se divide Ia unidad
8
en ocho partes y se cuenta a partir del cero cinco partes.
-1 051
8
b. _7
2
Para representar en la recta numérica -Z,
primero, se determina el par de nú-
2
meros entre los cuales está la fracción. Como -!
estáentre -3 y -4,
se divide Ia
2
unidad en dos partes y se cuenta a partir de -3
una parte.
:
c. 23
4
Para representar en la recta numérica 2
3.
, primero, se determina el par de núme-
4
ros entre los cuales está la fracción. Como Za estáentre 2 y 3, se divide la unidad
4
en cuatro partes y se cuenta a partir de 2 tres partes.
L¿s d v siones de ¿ recta nu
méric¿ deben serde la misma
medida.
Grsantillana tSZi'i{
Estándar: pensamiento numérico y pensamiento variacianal :
j!
Fi
1|

58. Representoción de los rocionoles
en formo decimol en lo recto numérico
Para representar un número decimal en la recta numérica se deben tener en cuenta
los siguientes pasos:
. Primero, se localizan los números enteros sobre la recta numérica.
. Luego, se ubica el valor correspondiente va la parte entera del número decimal.
. Por último, se ubica la parte decimal, teniendo en cuenta que el segmento com-
prendido entre cada par de números enteros se diüde entre 10, 100, 1.000 partes
iguales. Esta división se hace de manera aproximada.
ffi jm
ñtffi
Representar 2,3 sobre la recta numérica.
Para representar en la recta numérica 2,3,primero, se determina el par de números
entre los cuales está el decimal. Como 2,3 esfá entre 2 y 3, se divide la unidad en diez
partes y se cuenta a partir de 2 tres partes.
- -rr r¡+->
-1 01"33
@
escribe V si Ia afirmación es verdadera o F, si es i
'
1)
iÉ
falsa. fustifica tu respuesta. c.
o li
" "' j"' '" '--l---
EF
a. EI número a ,. representa en la recta numé-
4
llricaentrely2.
:
ii
Soluciono problemos
b. Elnúmeromixto 84 seubicaenlarectaentre i
i;
7ti/
8 y 9. Para poder comparar los datos de las pesas de un
laboratorio, se requiere ubicarlos en una recta nu-
c. El racional --1!
se ubica en la recta entre - 3 I mérica.
:
.
Q
R"pr"r.nta en la recta numérica cada número Indica el número racional que representa cada ,.
racional. Ietra.
-?
y-4.
J
d. En la recta, el racional -
13
," ubica a la [e- i
sl
rechade -2.
j
e. En la recta, el racional
12
coincide con el 3.
4
f. El racional coincide en la recta con el 4.
a. Representa los datos en una sola recta numérica.
b. Ordénalas de menor a mayor peso según la
ubicación en la recta númerica.
H I (:.nrill¡na

59. Están d a r: pe ns a m i e nto nu rn é ri co y pen sa m ie nto va riaci o na I
Ubicoción de puntos
en el plono cortesiol'ro:
coordenodos con nÚmeros roc¡onoles
En la unidad anterior se definió el plano cartesiano o sistema de coordenadas, como
el plano que está formado por la intersección de dos rectas numéricas que se cortan
perpendicularmente en cero. En el plano se distinguen los siguientes elementos:
. La recta numérica horizontal denominada eje x y la recta vertical llamada eje;r.
. El punto de intersección entre los ejes, llamado origen.
. Las regiones generadas por los dos ejes que dividen al plano. Estas cuatro regiones
denominadas cuadrantes, se representan por los números I, II, III, IV.
. Dos coordenadas: la coordenada a, denominada abscisa,localizada sobre el eje x
y la coordenada b, denominada ordenada, ubicada sobre el eje
7.
Para representar una parejade números racionales (
+, +)
en el plano cartesiano
se realiza el siguiente procedimiento:
b
'
d )
. Primero, se localizan los números enteros sobre cada eje del plano cartesiano.
. Segundo, se determina, sobre el eje x, el par de números enteros entre los cuales
se encuentra la coordena aa
f,
V
se ubica. De igual manera, se procede a ubicar
sobre el eje yla coordenada -e- .
Si en la fracción el numerador es mayor que el denominador, se expresa el número
racional como un número mixto y se determina entre qué números enteros se en-
cuentra.
. Tercero, por el núme ro
f
se tÍaza úna recta vertical y por el número !- ana recta
horizontal. El punto de corte entre las rectas trazadas indica la pareja ordenada
dada.
Todo punto se nombra con una letra mayúscula, por ejemplo, ,(t,á) , Or"
indica
el punto P de coorde nuaur( !,+)
af signo de cada coordenada, en una pareja
d) '
ordenada, depende del cuadrante en el que esté ubicado el punto correspondiente.
x Ejempto
Representar en el plano cartesiano la pareja ordenada
Ara. ¿').
\3-3l
Para ubicar esta pareja ordenada en el plano cartesiano se
realizan los siguientes pasos:
Primero, se escriben los números enteros en cada eje.
Luego, se ubica sobre el eje xlacoordenada
]
y sobre el
J
eie y la coordenada 2
.
J
Finalmente, se trazan las rectas respectivas y se dibuja el
punto de corte entre las rectas trazadas.
CO Santillana I5c

60. Ubicoción de puntos en el plono corfesiono:
coordenodos con números racionoles decimales
Con la misma idea con la cual se representan las parejas ordenadas de números
racionales en el plano cartesiano, se representan las parejas ordenadas de números
decimales.
Para representar una pareja de números decimales en el plano cartesiano, se realizan
los siguientes pasos:
. Primero, se determina el par de números enteros entre los cuales se encuentra la
parte entera del número decimal.
. Segundo, se divide la unidad en la cual se encuentra ubicado el número en 10, 100,
1.000 partes iguales, para ubicar la parte decimal del número.
. Luego, se localiza sobre el eje x el primer número decimal de Ia pareja ordenada
y sobre el eje y el segundo número decimal de la pareja.
. Por último, por el número decimal ubicado sobre el eje x se trazauna recta vertical
y, por el decimal localizado sobre el eje y wa recta horizontal. La intersección de
las rectas corresponde al punto donde está ubicada la pareja ordenada dada.
x Ejempl,os
Representar en el plano cartesiano las siguientes
parejas ordenadas. Luego, determinar en qué cua-
drante se ubica el punto.
a. M(1,5;2,7)
Para ubicar esta pareja ordenada en el plano cartesiano
se realiza lo siguiente:
Primero, se escriben los números enteros en cada eje.
Luego, como la pareja es de números decimales, se di-
vide en 10 partes iguales la unidad donde se encuentra
la parte entera de cada número.
Después, se ubican los números sobre los ejes y se tra-
zan las rectas respectivas.
Finalmente, se dibuja el punto de corte entre las rectas
trazadas.
El punto M está ubicado en el cuadrante I.
,b
iñ l'¡;s¡ntillan¡
b. o(-z,s' -|)
Para ubicar esta pareja ordenada en el plano cartesiano
se realiza lo siguiente:
Primero, se escribe la fracción como número mixto:
(-z,s'-;)
:
(-2,s, -r+)
Segundo, se dibujan los ejes y se escriben los números
enteros en cada eje.
Tercero, se ubica el valor -
2,5 sobre el eje x y
-
t
I
sobre
el eje y.
Luego, se trazan las rectas respectivas y se dibuja el
punto de corte.
El punto Q está ubicado en el cuadrante II.
::
a€
l1
Ei
fi
::
ll
É:
l¡
i?
:
I
-i-l
+
t
+

61. de
de
u-
ffi
&
ffiÍ:
u-
O
t, plano cartesiano debe su nombre al materr
René Descartes. Consulta su biografía e ind
porqué del nombre.

62. Orden en los rocionoles
Orden de rocionoles en formo de frocción
Dados dos números racionales * V l,entre
ellos se puede cumplir una y solo una
de las siguientes relaciones:
0 a
. !- > !,
si al representarlos en la recta numérica, L
se encuentra a la derecha
b d
'b
de !.
d
.
t
a
l,
sialrepresentarlos gráficamente sobre la recta numérica,
f
se encuen-
tra ubicado a la izquierda de j.
.
t
:
|,
si al representarlos en la recta numérica,
f
mismo punto.
V
I
les corresponde el
i
Para comparar dos números racionales en forma de fracción es necesario convertir
dichos racionales en racionales homogéneos, es decir, fracciones con igual deno-
minad.or. Por ejemplo , 1 y -I
I
son fracciones homogéneas.
4'.4
Para expresar como homogéneas un grupo de fracciones, se determina el mínimo
común múltiplo entre los denominadores y, posteriormente, se complifican para
expresarlas con igual denominador.
Por ejemplo, para expresar los racionales 1 V !
como fracciones homogéneas se
5'4
procede así:
. Primero, se determina el mínimo común múltiplo de los denominadores de las
fracciones 1 V !
que es 20.
54
. Segundo, se complifican las fracciones para expresarlas con denominador 20 de
la siguiente manera,
3:3x4 _t2,, 1_ 1X5 _ 5
5-- 5x4- nv 4- 4x5- n
Por tanto, * V *
son fracciones homogéneas.
20 20
Para comparar dos nú meros racionales, primero se expresan como fracciones homogéneas
y luego, se comparan los numeradores de acuerdo con su posición en la recta numérica.
Cuando los números racionales son negativos se escriben como números racionales
con numerador negativo, se expresan como fracciones homogéneas y se comparan
los numeradores.
ca
7b
ac
bd
b
éz
É7 I at (rntirr¡n¡
.r..qi

63. I
Orden de rocionoles decimoles
Para comparar dos números racionales en forma decimal se deben tener en cuenta
las siguientes condiciones:
. Si la parte entera de los dos números decimales es diferente, es mayor el número
decimal cuya parte entera es mayor. Por ejemplo,
3,55 < 30,55 ya que 3 < 30
85,1 >
-85,1
ya que 85 >
-85
. Si la parte entera de los dos números decimales es igual, se verifica que tengan
la misma cantidad de cifras decimales para poderlas comparar. De no ser así, se
completan con ceros. Luego, se comparan, una a una sus cifras, teniendo en cuenta
el lugar de posición de las mismas. Así, resulta ser mayor el decimal que tenga Ia
cifra mayor en el lugar de posición comparado.
Por ejemplo, para comparar los números racionales decimales 78,3934y 78,395,
se agrega un cero como cifra decimal al segundo número, para igualar la cantidad
de cifras decimales en ambos números. Luego, se comparan una a una las cifras
de los números. Por tanto, se tiene que 78,3934 < 78,3950 ya que en el lugar de
lamilésimas3<5.
. Si tanto la parte entera como la parte decimal de los dos números decimales es la
misma, los números decimales son iguales.
It Ejernptos
@
Escribir, para cada par de números racionales,
y 35,16
los signos ) o (
según corresponda.
d.s
8
q)
a.
tY'
79
5_45_-2_14
?- 63vr- 63
5e convierten los números racionales en fracciones
homogéneas y se determina la relación de orden.
Como 45 > l4se tiene ou"
I >
2
'79
_10:_30._r7 :_136
824'324
Se convierten los números racionales en fracciones
homogéneas y se determina la relación de orden.
Como -30 >
-136
se tiene cue
_ 10 > -)l-
83
c. -3,365 y -3,356
Como la parte entera de los decimales es igual,
se comparan una a una las cifras de los números.
Por tanto, -3,365 <
-3,356
ya que en el Iugar de
las centésimas -6
(
-5.
Primero, se convierte la fracción en número de-
cimal.
. 5 e realiza la división
! :0.625
8
-'--- de 5 entre 8'
Luego, se comparan los dos números decimales.
0,625 y 35,16
Como la parte entera de los decimales es diferente,
se tiene que 0,625 < 35,16, pues 0 (
35.
Entonces. á < 35,16.'8
@
Escribir un número decimal entre cada par de
números decimales.
a. -1,7 y -1,6
Como -1,7 < -
1,6, entonces, se escribe una cifra
en las centésimas a -1,6.
En este caso, puede ser
-
1,65.
Luego, -1,7 <
-1,65 <
-1,6
b. -2,25y3
Como 2,25 < 3, entonces, un número entre estos
dos puede ser 2,3.
Asi,2,25<2,3<3.
b.
_ r0
Y
_17
83
63
r¡ Cr^t;llr., l 6l
Estándar: pensamtento numérico y pensam¡ento variacional
Para comparar dos números,
se observa en la recta numé-
rica cuál de los dos está a l¿
derech¿ del otro.
Entre dos números decimales
es mayor el que está a la de-
rech¿ del oÍ0.
RECUERDA OUE...

64. Al comparar fracciones de igual denominador, es
mayor la fracción con _ denominador.
32324
777
7 4ttt
444
,913t725
tl-
-r4'4'4' 4' 4'
2t1374
L.
555555
,31
cl.
74
42
L.
915
ZuL
93
Z,L
67
3
-
5
n2l
il
fi)
O.a"n" de menor a mayor los siguientes conjuntos
de números racionales.
12591936
77777
_t6
5
Q
E*pr"r" cada grupo de racionales como fracciones
homogéneas.
^. -auL
/5
.,)
r.
-,
49
11
'14
_7
6
I _16
7' 2l
@
Ord"rru de mayor a menor las siguientes fraccio-
ii O
et..iue >, < o :
según corresponda.
9
-r8
, I 4
a.
-r
r- o.
-
4 ',- 3 30 15
a1
t- L r r r - ll 28
U.-!9.
. 5!2 2t5 349
.:
5t7146
;. l3-- 20 t9 7
lf
:; O
r"Ur.a el número que hace verdadera cada rela-
;i CrOn.
Orden de racionales decimales
Ejercito: 2-3-4-5-8
@
fscribe el número decimal que cumple la condi- :
ción dada.
a. 3,51 < 7, <3,75 d.6,1 > J >6,02
b. -0,38<
L.l <
-0,34 e.-2,02> a >-2,1
c. 5,63< I <6 f. --1-;, n >0
10
fip
o.d.rru de menor a mayor cada grupo de números
decimales.
a. 4,17; 4,107; 4,7; 4,017;0,417
b. -2,205; -2,1;2,20L; -2,5; -2,05
c. 0,019; 0,25; 0,17l' 0,206; 0,2
Soluciono problemos
G
a" siguiente tabla muestra el contenido de agua
aproximada, de diferentes alimentos.
Huevo hervido
147
500
Lomo de ternera
27
50
Maní
2
25
Jamón
127
200
Galletas
13
25
Papas fritas
11
20
a.
¿Cuál
alimento tiene mayor contenido de agua?
b.
¿Cuál alimento tiene menor contenido de agua?
c.
¿Tiene mayor contenido de agua el jamón o el
huevo hervido?
d.
¿Tiene
menor contenido de agua las galletas o
las papas fritas?
@
fu. focas y los elefantes marinos son mamíferos
que pasan la mayor parte del tiempo en los océanos.
La foca común llega a medir 1,9 m; la foca de
Largha, 1,8 m; Ia foca de Baikal, I,4 m, y Ia foca
anillada, 1,6 m.
Entre estas especies,
¿cuál
es la foca de menor
longitud?
¿Cuál
Ia de mayor longitud?
:' Q
OUr"rva la serie. Luego, completa la expresión.

65. Operociones en
Adición de rocionoles
en formCI de frocción
En la adición de racionales en forma de fracción se presentan dos casos:
easo l" Adieión de númer*s raei*=*É*=
con igual denominodor
Para realizar la adición de dos números racionales con igual denominador, se suman
los valores correspondientes a Ios nr'tmeradores
)r
se deja el rlismo denominador'
e*sCI 2" AdEeión de nú¡*ner*= rete 5*r:*l*=
con diferente denominador
Para rcalizar la adición de dos números racionales con diferente denominador, se
expresan las fracciones con igual denominador, es decir, se transforman en fracciones
homogéneas, Posteriormente, se suman los numeradores.
"(-#)
.(-*)
En una fir.u
i
del terreno están destinados a
9
vivienda, ! ohconstrucción de una piscina y
'9
t-
li
pu.u sembrar árboles frutales. ¿Qué
parte
de la finca se encuentra destinada a algún pro-
yecto?
Para hallar qué parte del terreno se encuentra
destinado a algún proyecto, se suma la parte des-
tinada a la vivienda, a la piscina y al sembrado de
árboles frutales.
Se plantea la suma
de numeradores.
Se complifican los
raclonales al mcm
queeslS
5e realtza la suma.
Se simplifica.
5 2,4
9918
: -60 +rr _ _49
55 55
I
t
t
Se escribe cada
fracción con
numerador negativo,
5e plantea la sumo
de numeradores
5e suprimen los
signos de agrupacrón
y se apera
El mcm de 9 y 18 es 18.
_10 4 4
18 18 18
_18
18
:1
Como el resultado es I entonces, toda la finca se
encuentra distribuida para algún pro1.s.1..
x Ejemptos
Resolver las siguientes adiciones.
:(+) .(+)
:
(-zt¡ + (-r7)
13
_ -2t-t7 __38
13 13
/-rz\- r
rri s
60 11
55 55
(-60) + 11
55
y se apera

66. Adición de rocionales decirnoles
La equivalencia de números decimales exactos y periódicos con respecto a las frac-
ciones decimales permite realizar Ia adición de números decimales por medio de las
fracciones ¡
luego, expresar la respuesta en forma decimal.
Por ejemplo, la suma 3,29 + 12,6 es:
3,2e+t2,6: ??2 *'?! :32s+r'260 -
1's8e :I5,8e
100 10 100 100
Sin embargo, para sumar dos o más números racionales en forma decimal se realiza
lo siguiente:
. Primero, se escriben Ios números, uno debajo de otro, de tal manera que las comas
queden en Ia misma columna. Así, se garantizaque las unidades del mismo orden
también estén en columnas.
. Luego, se suman los números como si fueran números enteros.
. Por último, a la suma se le pone la coma en la columna correspondiente.
Por ejemplo, para determinar el resultado de 531,6 + 5,0234 + 53,24 se procede así:
Primero, se ubica un número debajo del otro, de manera que coincidan las comas.
531,6
5,0234
+ 53,24
Luego, se suman los números como si fueran números enteros.
531,6
5,0234
+ 53,24
589,8634
Así,531,6 + 5,0234 + 53,24: 589,8634.
Propiedodes de la odicién
Clausurativa. La adición de dos números racionales es siempre otro número racional.
Es decir, t,
+, i
e Q, entonc es
f,
+
i =
@
porejempto,
!
e* r(-*) c e;rueso,+ . (-+) :
I
r * =
*
Conmutativa. El orden en el que se realiza la suma de dos números racionales no
altera el resultado.
tr+,+ e Q, entonces,f +
i: í
*
a
b
9_ I 4
ro
Y
to
-s
Por ejemplo, L +
+-
:
4
5
1_9_
10 10
8+1_
10
_ 1+8
10
_9
10
Por tanto, {
5
1+
10
1
66 l
€,santillana

67. Asociativa. Cuando se suman dos o más números racionales, se pueden agrupar los
sumandos de diferente forma y siempre se obtiene el mismo resultado.
En general, r,
+, i. í.*,entonces,
(+ .
+)
+
i
:
+
-(; .
í)
Por ejemplo:
.
[(-+)
.+)+]:
eE-)
.+
_ 11 , 1: -- t
=
Se suman los numeradores del corchete.
123
: ll + 4
5e suman los numeradores.
t2
_15_5
12 n
Se simplifica el resultado.
.
(-+) .l+.+l :(-+) .(r+'):
",12i::x:":Ii,i:"'
/ s zs
\-o/
-
12
-
-10
+ 25 5e suma el resultado con el otro número.
l2
-
15
-
5 Se simplifica el resultado.
124
Portanto,
t(-*)
.
+)+
r:
(-+) .l+.
+l
Elemento neutro. La suma de todo número racional con el cero da como resultado
el mismo número racional. El 0 recibe el nombre de elemento neutro o módulo
de la adición de racionales.
Engeneral,existe0 e Qtalque 0 *
+: +
* 0:
f
V"r^todof
e Q
Por ejemplo:
l--tr)*o:o*l--11):-Is
I z¡r'"-" I E)- E
2+o:o* 9:9
444
Elemento simétrico u opuesto aditivo. Todo número racional sumado con su
opuesto da como resultado el módulo de Ia adición.
paratodo
+.
@""o" (-á) e Q tar q.."
+. lt)
:
l+)
*
+
:
o
Por ejemplo:
17 +l__tz): l__¿) + u_:
o
s '(
a )- [ s /' s
-v
Por tanto,
f
., e[ inverso aditivo o. (--tt
)
,
ru.no,un (-+) es el inverso
aditivo d"
17
8
<rsantillana
| 67
ilfllm

68. Sustrocción de rocionoles
Al igual que en la adición de racionales, en Ia sustracción de numéros racionales se
presentan dos casos:
Coso l. Sustrocción de números rocionoles
con ¡guol denominodor
Para restar dos números racionales con igual denominador, se restan los valores co-
rrespondientes a los numeradores y se deja el mismo denominador.
Coso 2. Sustrocc¡ón de números rocionoles
con diferente denominodor
Para restar dos números racionales con diferente denominador, se transforman los
racionales en fracciones homogéneas. Luego, se suman los numeradores.
Sustrocción
de rocionoles decimoles
Para restar números decimales, se sigue un proceso similar al que se utiliza para
sumar. Sin embargo, en la resta de números decimales, el minuendo debe tener la
misma cantidad de cifras decimales que el sustraendo. De no ser así, se agregan tantos
ceros como sea necesario a la derecha de Ia última cifra decimal del minuendo.
l+ Ejempl,os
Resolver las siguientes sustracciones.
".
l-¿) - r
z) 6
-(
rs) 7
-\- {r)- {2
_
(-rs) -
z
42
_ -18-7 _ 25
42 42
Se expresan como
fraccio nes homogénea s.
Se plantea la resta de
numeradores y se suprimen
los signos de agrupación.
Se restan los numeradores
y se deja el mismo
denominador.
Se plantea la resta de
numeradores.
Se suprimen los
signos de agrupación.
Se operan los numeradores y se
deja el mismo denominador. '
c. 7,16 -
3,126
Primero, se ubica un número debajo del otro, de ma-
nera que coincidan las co as.
7,160
- 3,t26
Luego, se restan los números como si fueran números
enteros.
7,t60
- 3,L26
4,034
d. 13,2 -
2,001
Primero, se ubica un número debajo del otro, de ma-
nera que coincidan las co as.
t3,200
-
2,00L
Luego, se restan los números como si fu, ran números
enteros.
13,200
-
2,001
ll,l99
(-+) -(-+)
(-1) -
(-8)
15
_ -1 +8
15
_7
15
68 losantillana
.t{i

69. Estándar: pensantienta ntimérico y pensamiento var¡acional
t,
Recupero informoción: 1 Elercito: 2-3-4-5
diente.
2t4t28
a. o.
9182545
,5346
D. e.
791746
45"19
c'
i- a
r' -r5 -
A
Realiza las siguientes operaciones.
"(-+)
.(-;) .
[-*)
-(-*)
b +-(-+) "-+.(-+)
,-+-i* ,(-*)-+
Observa e1 peso de cada producto. Luego, calcula
s-(z\- I ^
43
c'7
lt/'tz
5'i
a.Fríjol,margarinaysalsad re
a. L + 9 + f s.
79 b. Café y salsa de tomate
6 4 8 12 s. café y fríjol
13_5_2 - 25 d.Caféymargarina
e.-5.-
364936
Para medir la masa de los planetas, se toma como
Determina los resultados de las siguientes expre- unidad la masa de Ia Tierra. La siguiente tabla mues-
slones. tra Ia masa de algunos planetas del sistema solar.
u.2!+t+-rl
ii -3s1s:
"
:
: a. ¿Cuál
es la diferencia entre las masas de Marte
: y Mercurio?
_ ,t2 _ 9 _( t )
b. ¿CuáleslacliferenciaentrelasmasasdeVenus
d''t-
A t,ro, YNePtuno?
Escribe cada expresión. Luego, resuelve la opera-
ción.
a. De la suma a,
! r f
, t.tru.
f
.
b Restar
f
, r" suma de (
+),
(-;)
c. Sumar -+
"
Ia suma o"
*
t
*
Completa las casillas del siguiente cuadro.
Soluciono problemos
2
5
+
9
10
+
J
15
J
T
+
1
10
,
a.
b.
i.
2.
Relaciona cada operación de Ia izquierda con su
correspondiente resultado en la columna de la
derecha.

70. Surstreeeién de raeiorlales
Recupero informoción: 1 .iercito: 2-3-4-5
Realiza las siguientes operaciones.
3,18 +',5,4
2,t6J I t,8
-7,06 -
2,165
a.
b.
c.
Completa cada pirámide si se sabe que cada nú-
mero es la suma de los bloques que le quedan
debajo.
En un cuadrado mágico la suma de cada fila, cada
columna y cada diagonal es la misma. Completa
cada cuadrado mágico.
Encuentra las cifras perdidas en cada operación.
d. L2,st + (-3,968)
e, 4 -
2,019
f. (-2,63) + (-1,9)
r i+0,16:1,08
-l-1,/o
41,7 6 6
e z,l) t
,1n
43,s
0,91 1s 2,9 B
Observa las gráficas.
C.
1,79
¿Cuál
es la altura total de la bandera roja?
¿Cuál
es la altura del asta o palo de la bandera
aztl?
¿Cuánto
más mide de altura total, la bandera
azul qre la bandera roja?
¿Cuál
es la diferencia entre las medidas de las
astas o palos de las dos banderas?
¿Cuántos
metros menos mide la base de la
bandera azul que la base de la bandera roja?
c.
49, 6
t4
Altura
2'15
totul
Io,r'
d.
Resuelve las siguientes operaciones. Luego, ex-
presa el-resultado en forma decimal.
7 ^__
a.
'
-
l),'/5
5
a.
b.
d +
o,o3+(
+)
b.r,e2+
2
e 4,%+( -r) +r
2s 8) 4
Escribe en cada cuadro el número que hace verda-
dera la igualdad.
a. 4,36 -f t : 2,19
b. 35,9 - ; :: 26,3
Soluciono problemos
C.
d.
El nuevo sistema de
transporte de la NASA
se llama Constellation'.
Se está ensayando Ia
nueYa cápsula Orión
con un diseño clá-
sico de forma cónica.
Similar a las del pro-
grama Apolo. Orión
tiene un diámetro de 5 m y 3,5 m de altura, mien-
tras que una cápsula del Apolo medía 3,9 m de
diámetro y 3,5 m de altura.
¿Cuántos
metros más de diámetro mide la cáp-
sula Orión conrespecto auna cápsula delApolo?
¿Cuántos
metros menos de altura mide la cáp-
sula Orión con respecto a la del Apolo?
e.

71. Multiplicoción de roeionoles
en formo de frocción
Para multiplicar dos fracciones racionales se multiplican los numeradores entre sí y
los denominadores entre sí. Es decir:
St*,! e Q, entonces,4.
c;
- ?'c; serdo b +O,d +a.
D d b d b.d
Los racional rt
f,
V
f
se ilaman factores
V
ffi
se llama producto.
Como los números racionales pueden ser positivos o negativos, en la multiplicación
en Q se ú1liza la misma regla del producto que enZ.
Por ejemplo,
¡.1_s)- 3.(-s) __rs
7 ( ?)- 4.? -
nY
(-+) (-+) :#
Cuando en la multiplicación dada, alguno de los numeradores tiene un divisor
común con alguno de los denominadores, estos se deben simplificar. Por ejemplo,
Propiedodes de lc multiplicoción de rocionoles
Clausurativa. La multiplicación de dos números racionales siempre da como resul-
tado un número racional.
En general, si
f,
e q,
i
€ Q, entonc"t,
+' i =
@
Asociativa. Al multiplicar tres o más números racionales se pueden agrupar de dife-
rente forma y el producto no se altera.
Si a
=
6¡ -e-
=
alv4 C e. entonces, ( q .
-c \. -9- : -S-.[L. --. 1.
b -:'d'*, f -:' '
7) T-T-17 Tl
Conmutativa. El orden en el que se realiza la multiplicación de dos números racio-
nales no altera el resultado.
Engeneral,si a
=
(-)r, c F(l entonces. d . c
-
c . a
b-:1 d-:' b d d b
Elemento neutro. El producto de un número racional con uno da como resultado
el mismo número racional. EI 1 recibe el nombre de elemento neutro o módulo de
la multiplicación.
En general, existe I € Q talQue 1'
t
:
+'
1 :
+
i
I
(-,\. / :
t)s
-+
paratodo
t=@
ü
Estándar: pensamiento numérico y pensamiento variacional
Ley de signos es:
/ r \/ r
-
r
\-rl\-rl -
-r
(-)(-) : +
/ \/ r
-t-lt-1- I
- -
(+X-): -
7l

72. Distributiva. Es la propiedad que relaciona la adición o la sustracción y la multipli-
cación de números racionales.
t,
+,i,íe
Q, entonces,
+ (+'í):(+ +)'@ t)
ffi je L*m
2
-x60
J
Se plantea la multiplicación.
c
(-+) lt+1. +l
:[(-+)
l+1-[(-+) +]
)
Luego, los :
de 60 equivalen a 40.
J
)1
b. Los a de l.
43
Para hallar Ia cantidad se multiplica ' ,or
1
, urí'
' 4' 3
Se plantea la multiplicación.
5e realiza la multiplicación
y se simplifica
21 1
.
de
-
equivalen a -
2l
-x-
43
_ 2 _l
126
Mulliplicoción
de rocionoles decimoles
Dos números decimales se pueden multiplicar siguiendo alguno de los siguientes
procedimientos.
. Conviertiendo los números a fracciones decimales. Por ejemplo,
3.22. 4.6 : 322 . 46 : 3??
. 4g : t4.8r2 : 14,812
100 10 100. 10 1.000
. Calculando el producto entre los dos números decimales. Por ejemplo ,
'
'
\.))
-
Dos citias decimales
X 4,6 +- Una cifra decimal
1932
+ 1288
14,812 (-
Tres cifras decimales
Se puede observar que se separan del producto tantas cifras decimales como cifras
decimales hay entre los dos factores.
0
fr,ai.ur la propiedad aplicada en cada multipli- : Uullar la cantidad que se indica en cada caso.
cación de números racionales. : - 2 -
a. Los I
2
-
de 60.
a. /-¿) . 16 :
-4 --!q.¡r-¿\
+/ e 3 g +l
La propiedad que se aplica en este caso es la pro-
piedad conmutativa ya que al cambiar el orden de
los factores no se altera el producto.
b. r.l-x :-ll
49) 49
La propiedad que se aplica es la del elemento neu-
tro, ya que al multiplicar
-4
.or, 1 el resultado
es el mismo
:[+.(-+)] :+-+:#
La propiedad que se áplica es la asociativa ya que
se pueden agrupar los números de diferente ma-
nera y el resultado es el mismo.
7 ? l'santillana
J
)
Para hallar la cantidad se multiplica
i
por 60, así:
J
Luego, los I de l
6
'td..t:

73. Recupero informoción: 1
3..5
712
4t .. 22
315
9,,4
11 5
l2
a.
-cle-35
u.2¿"r
73
47
c.
-oe-58
e.
Simplifica los factores. Luego, encuentra cada pro-
a. 3,24 X I,5
b. 0,26 X (-4,9)
c. (-3,71) X (-0,7)
d. 0,5 x (-1,66)
e. 3 x 4,758
f. 5,19 X(-49,1)
c. l0 x (-45,2)
d. 100 x 0,016
d.
e.
, Calcula cada fracción de cada número.
b. Un cuarto de un quinto.
c. La tercera parte de un medio.
d. El triple de un cuarto.
e. Un tercio de dos séptimos.
f. Once quintos de un sexto.
2
8
son delan-
nente conocido por su fauna
7
salvaie, solo a- partes de su
' ¿5'
territorio es salvaje. En cam-
bio, en Norteaméri.u lu, ]?
50
partes del territorio es salvaje.
Si la superficie de África es 30.330.000 km2 y la
superficie de Norteamérica es 23.752.600 km2,
¿cuáles son las áreas del territorio salvaje de
Norteaméric a y de Africa?
En el sistema de medidas sajón o imperial, o.udo
ji
en Estados Unidos, existe el pie (foot) como uni- ,
dad de longitud; 1 pie :
30,48 cm.
La siguiente tabla muestra las alturas de algunas
especies de árboles. Complétala.
Árbol
a Altura
Guavacán 20 óo,qe¡
Rob e cimarrón 25
Roble plateado 30
Sec 275
Pino blanco BO
Abeto norueoo 60
Relaciona las expresiones de la columna de la iz-
quierda con las fracciones de la derecha.
a. La mitad de un cuarto. 1.
2
J.
4.
5.
6.
o santillana
| 73ii
Resuelve las siguientes operaciones.
Explica:
¿cuál
propiedad afirma que el producto de Indica el valor de verdad de cada proposición.
dos números racionales es otro número racional?
de 45 es 6.
de -63
es -6.
de 840 es -21.
Halla los siguientes productos.
Calcula cada producto.
a. 3,75 X l0
b. 4,032 x 100
Soluciono problemos
Aunque África es un conti-
a. ¿
de los 28 estudiantes del salón escuchan
4
música.
b. Los * a" los 5.600 habitantes de una pobla-
7
ción son adultos.
c. De los 12 jugadores del equipo,
teros.
Estándar: pe n sa rnie nto n u nérica y pe n samie nto variacionai

74. División de rocionales
en formc de froccEón
Cuando se dividen dos fraccion
"t f,
V
i
,t, busca una fracción que multiplicada
po, 4 décomoresultado 4,"tdecir, * - I
:
1,siysólos
c
" e a
r-
d b b a I '¡n7- b'
Cuando el producto entre dos números racionales es 1, se dice que uno de los nú-
meros es el inverso multiplicativo del otro. Por tanto, si
f, "t
unnúmero racional
diferente de cero, entonces, su inverso multiplicatiro .,
2
.
w
Para dividir dos números racionales se multiplica el dividendo por el inverso multi
plicativo del divisor. Luego,
+*i:t +-í
9
es el dividendo, es el divisor u
9
",
el cociente
bf
En algunos casos, Ia división entre números racionales está determinada por racio-
nales en los cuales el numerador es una fracción y el denominador es otra fracción.
Este tipo de expresiones se denominan fracciones complejas. Por ejemplo,
29
l- t 4-
son fracciones complejas.
13 15
43
Para resolver una fracción compleja, se divide el numerador entre el denominador.
2
7 _2=r3:2.4:8
13747t39r
4
x Ejemptos
_30_5
183
74||«'Santiilana
Se multiplica por el
i nverso m u lti pl i cativo
Se multiplica por el
i nve rso m u lti pl i cativo.
ffi
Resolrr"r la siguiente fracción compleja:
Se escribe la fracción como
una división.
Se escribe la división como
multiplicación con el inverso.
Se realiza la multiplicación.
5e simplifica.
@
Realizar las siguientes divisiones.
74
a.
---35
_7 .5 _ 35
3412
I
5
)
6
!=2-
56
T6
52
6
:_
10
'(-+)
-(-+)
"(-*)
:#
J
2
En la división el número que se
divide es el dividendo, el nú
mero que divide es el divisor y
el resultado es el cociente. As¡
0
b
dividendo
ao
.L_L
df
t
cociente
divisor
Se simplifica.
Q=: RecueRol

75. Estó ndar: pe n sa m i e nto n u rnéri co y pe n sa m
¡ e n to va r t aci o n a I
Resolver la siguiente fracción compleja que involucra sumas y restas.
2_l-5
396
B+15-1
Se resuelven las operaciones en el
numerador y en el denominador.
Se simplifica en la parte racional
de arriba y se plantea la división
5e escibe la divtsión.
Se realiza la multiplicación.
Se simplifrca.
2-3_t
T'4 n
20
t2-2+15
18
22 11
20 10
2s 25
18 18
:ll .25
10 18
_ lI .,.. 18
10 25
_ 198
250
99
t25
División de rocionoles decimoles
Para dividir dos números decimales, se deben transformar los números racionales
en enteros. Para ello, se multiplican el dividendo y el divisor por una misma potencia
de 10.
Por ejemplo, la operación (-6,30924) -: (-2,03) se resuelve así:
. Primero se multiplica por 100, tanto el dividendo como el divisor. Para ello, se
desplaza la coma decimal tantos Iugares como ceros tenga la potencia de 10, en
este caso, se desplaza dos lugares,
(-630,924) + (-203)
. Luego, se realiza la división como una división entre números enteros. Para este
caso, se pone la coma decimal en el cociente cuando se toma Ia primera cifra de-
cimal.
630,e24
l2g2-.
630,924 |
ZOZ
219 3,108
r624
0
Entonces, (-6,30924) + (-2,03): 3,108.
Para dividir un decimal entre una potencia de'l 0, se desplaza la coma decimal tantos
lugares a la izquierda, como ceros tenga 1a potencia de
'1
0
Por ejemplo, para resolver 3,878 + 100 se desplaza la coma dos lugares a Ia izquierda,
así:
J,219
3,878+100:0,03878
- Sar::iilan:
I f 1

76. División de nún:eros racion=ies
racional también se Ie llama
tes iguales,
¿qué fracción de torta le corresponde a
cada persona?
2t62
o-
9-'23b'9
, 7 " 18 ll
r.-n.
82924
fic
a.
b.
c.
a. 4++f- c. 12+-l e É+?
2s3
b. 31 +I d,
_25: I
f. -40+1
4t05
d
Si Fernando recorrió Á
kilómetros en 9 minutos
'
a velocidad constante,
¿qué fracción de kilómetro
recorrió en I minuto?
En Estados Unidos se usan 6 monedas con los
siguientes valores.
Penny :
0,01 dólar Quarter
:
0,25 dólar
Nickel : 0,05 dólar 50 centavos : 0,5 dólar
Dime :
0,1 dólar 1 dólar
a.
¿A
cuántos pennys equivalen 2 dólares?
b.
¿A
cuántos nickels equivalen 3 dólares?
c.
¿A
cuántos quarters equivalen 5 dólares?
d.
¿A
cuántos dimes equivale 1 quarter?
e.
¿Cuántas
monedas de 50 centavos se requieren
para reunir 12 dólares?
f.
¿Cuántos
quarters se requieren para reunir 1,5
dólares?
En una pastelería utilizan los siguientes productos.
Para elaborar una torta de cumpleaños se gastaron
1,5 kg de mantequilla,2,5kg de harina y 1,8litros
de leche.
a.
¿Cuántas
barras de mantequilla se gastaron?
b.
¿Cuántas
bolsas de harina se gastaron?
c.
¿Cuántas
bolsas de leche se gastaron?
o
b'
h.
l.
j.
k.
l.
¿Cuántos vasos de
f
fir.o se pueden servir de
una saseosa de
9
litros?
u4
¿Cuántos
octavos de pliego de cartulina se pueden
cortar de un pliego y medio de cartulina?
¿Cuántos
tarros de
f
SdO"
se pueden llenar con'
t{!
Completa. AI inverso multiplicativo de un número Si se reparte., A
d. torta entre 6 personas en par-
Indica el inverso multiplicativo de cada número
racional.
2
a.-
J
q
b.
_1
4
Resuelve las siguientes divisiones. Luego, simpli-
Escribe cada división como
Luego, soluciónala.
(-+) - (-+)
2s.( 4)
15
:
(.-"1
(-+) -(-+)
, una multiplicación.
Resuelve los siguientes cocientes.
a.38+5
b. 1,5 + 0,25
c. 8,2 + 0,1
d. 0,t2 + 2
e. -27,2
+ 30
f. 6,25 + 1,72
Soluciono problemos
-6,39
+
-3
-1,25
+ 0,5
6,75 + 2
-3,28
+
-1,2
5,7 +
-0,03
9,65 + 6,3
llARrrÁ
o,s
rs

77. Potencioción de números rocionoles
La potenciación es la operación que permite escribir y determinar el producto entre
varios factores iguales.
^ ^n
.u-u
bb,
En expresiones como: (il'
:
t
se identifican los siguientes términos:
.
t,
que indica el factor que se repite en la multiplicación. Recibe el nombre de
base.
. n, ([ue indica la cantidad de veces que se repite el factor. Recibe el nombre de ex-
ponente.
an
.
?,
que indica el resultado de Ia multiplicación. Recibe el nombre de potencia.
Cuando se va a determinar el signo de la potencia se deben tener en cuenta las si-
guientes condiciones:
. t,
t
€ Q*, entonces, (f)'. *-',
. Si
f
eA ynespar,entonces, (á)'=**.
. si
f
e O ynesimpar,entonces, (á)' a *-
l+ Ejemptos
Escribir cada expresión como potencia de base
racional.
a. axaxaxa
2222
I r r r lr\
,""';:l;)
b. 3,878
.
3,878. 3,878
3,878 ' 3,878' 3,878: (3,878)3
(-sx-s)( -s)
(2)(2)(2)
(-s)'
-l
s \'
23 -t-tl
1.1.1.1.1.1
4.4.4.4.4.4
16 /t\'
- 4'-\7/
a,
Se escribe la base
elevada a la 4.
!;
aa
::
::
.:
d.
c.
d.
Calcular las siguientes potencias.
(-L\^ Semultiplicacuatroreces -2.
\T/ 3
:
(-+)(-+)(-+X-+)
: r
/ 1 \'
\o/
_1.1 1 I 1_ 1
6 6 6 6 6 7.776
(r,2s)3
: 1,25' 1,25' 1,25 : 1,953125
(3,4)6
: 3,4' 3,4'3,4' 3,4' 3,4' 3,{: 133,6336
/ I \u
o/
e.
Está nd a r : pe n sa m ie nta n u m éri co y pe n s a m i ento vari acio n al
-
osantittana 177:¡

78. Propiedodes de lo potenciación
Producto de potencias de igual base. Para multiplicar potencias de la misma base,
se deja la base y se suman los exponentes.
En general, si
f,
eQ con b * o y n, m e Z, entonces, (t)'
.
(+)^
:
(+)"-
Por ejemplo:
(-+)' (-+)'
: (-+)'.': (-+)'
Cociente de potencias de igual base. Para dividir potencias de la misma base, se deja
la misma base y se restan los exponentes.
Engeneral, si
f
eQcon b*oyn,me Z,entonces,(+)" *(+)' :(+)"-
Por ejemplo:
(?)'- (+)': (+)'
':
(+)'
Potencia de una potencia. Para elevar una potencia a otra potencia se deja la misma
base y se multiplican los exponentes.
si
f,
eG) con b * oy n, m eZ, entonces,
l+fl
:
(t)'
^
Por ejemplo:
[(;)']'
:(+)":(+)'
Potencia de un producto. Para elevar un producto a una potencia, se eleva cada
factor a dicha potencia.
S,
+,i =
q
conb * o, d + 0 y n e Z, entonces, (+
.
+)'
:
(+)'
.
(i)'
Por ejemplo:
t(-+)
(+)1": (-+)' (+)'
Potencia de un cociente. Para elevar un cociente a una potencia se eleva cada tér-
mino de la división.
S, +,i =
q
con b * o, d + o y n e Z, enronces, (+ -
i)'
:
(+)' = (i)'
Por ejemplo:
t(+)
* (-+)I:(?)'* (-+)'
7E
78 l,e s¡.titla",

79. Estándar: pen sa m ie nto n u nér i co y pen s c m iento va riacio n al
;: e
Ha[a la
Potencia
indicada.
::
i: Lee la siguiente propiedad de la potenciación.
Potencia con exponente negativo si 1 g
Q
b * o y n e Z,entonces, (;)'
:e\
Aplica la propiedad en cada caso.
a(+)
'
Resuelve las siguientes potencias.
a. (1,1)3 b. (2,3)2 c. (0,5)3d. (-0,5)1
G
En la página 77 aparecelaexpresión " s¡ ! e @- y n
Aprica ras propiedades de la potenciación para
, ( , ^,, ^
.. , ,. ,
resolver cada operación.: (.)
-
resolver cada operación.
,: es par, entonces,l
i I e q'i
¿Qué
significado tiene?
) a. [(r,2)2)3 c. (3,7)3 + (3,7)2
,, Expresa en forma de potencia. Luego, resuelve. b. [(-4,5)4]0 d. (2,4)3 x (2,4)0
,t,, u (+X+X+X+)" , simprinca cada expresión
L \l , \/ , \/ , \/ , \':) -
(0'31l(2'5)']
b (-+)(-+)(-+)(-+)(-+)"
a'
(2,5X0,31)3
t'
rr"qI(r,,
Soluciono problemos
^
(-+)(-+)'
o (+)'
e
(-;)'
'
(;)'
l,
Escribe cada expresión, como una sola potencia.
c.
a
Si una hoja de papel blanco se divide en la mitad,
cada mitad se divide en la mitad y cada pedazo
obtenido se divide nueyamente en la mitad,
¿a
qué
fracción de la hoja corresponde un pedazo de los
Lee el enunciado. Luego, completa la tabla.
El área de un cuadrado se calcula mediante Ia
1,27
-8,45
)?4
-1,12
Elvolumen Vde un cubo de lado l, se
calcula mediante la fórmula
V: l3
Calcula el volumen de un cubo de lado:
a. 3,4 cm
b. 2,54 cm
c. 4,22 cm
d. 7,81 cm
e.
f.
5:cm
2
A
--- 6¡¡
10
11
2
7
3
13
tr
)
15
4
más pequeños?

80. Rodicocién de números rocionoles
La radicación es la operación que permite determinar Ia base en una potenciación.
si$;ie 8,n
=
*r(-fr) =i,rrdiceque
f
estaraizn-ésimadef,
l. , la\" c
tsdecir,
l;
:
t,tt,
sotosi, (fJ
:7
f
es la base de la raí2, nse llama índice y
iF
,. denomina raíz n-ésima de
f.
Para determinar la raíz n-ésima de un número racional se deben considerar los si-
guientes casos:
.,8 :lLsirespar vfreA*. .,8 =t rrresimparrfeO*.
' tE
ÉQsi'?espar vle a-.' 'rE
: -t
sizresimPar viea- '
Para hallar \a raiz de un número racional se debe calcular la raiz en el numerador
y en el denominador. Por ejemplo, para calcular la raízcúbica ¿. *
se realiza el
125
+c Ejem los
Calcular el valor de las siguientes raíces.
como (+)'
:
#
t (-+)'
:
#,
entonces, el valor u tZ
, ,|2?
D'V
8
Como (-+)'
:
-+,entonces, elvalor * -1
c' {Ao'z?
: ,E:
-3- uu ou.lj- \' : ,, : 0,027
.ooo to''\Io/ Looo
Entonces, :,F@:+:0,3.
siguiente procedimiento:
i8
r,- .- -t
I *
<e planrea la roí2.
iE
-
2 Se hallo la raíz del numerador y del denomtnador.
ffs-i
&
'll
! :!;:rtlll¡r',¡

81. Propiedodes de lo rodicoción
La radicación de números racionales cumple las siguientes propiedades.
Raízdeunproducto .t,
t. i
. *,n eZt
ff ff "*irt.n,
secumple que
Raízdeuncociente.t,
t,; =@,ne
Zt
E
-
E
existen,secumpleque
Estúndar: pensc nie nio nu nérico,v pensc m tentc variacional
Se aplica la raíz
de una raí2.
Se halla la raí2.
d.
:
Simplificar la siguiente expresión.
n6.h6
V2s
-!4e
16 36
25 49
4 6 _28 _t4
573015
c.
:
Se escribe el número decimal
como fracción.
Se aplica la raiz de un
producta en el numerador.
1., I I
:310:30_4_2
113015
Se calculan las raices
y se realrza la divtsión.
a
,.'§antiitana
l 0
i'
Raizndelapotencia r. Si
t =
@y n €Z,secumple r*
W
:
t
Raízde anaraiz.si
t
r-Qyr, me L,secumpleOr",m :
E
It Ejemptos
S
nesotoer las expresiones aplicando las propieda-
des de la radicación.
a. ,/l--q') r
I
27 ) t2s
:
(-+X+)
: -+
Se aplica la raiz
de una potencia.
5e resuelve la potenc¡ac¡ón.
Se aplica la raíz
de un producto
5e halla el producto
Se aplica la raíz
de un cociente
Se resuelve la división.
1x o,ot
!t
Raízdeunapotenci a.si
f,e
Qy n,me Z,secumpt"qr.
i[tb f
:(t)''="

82. Recuperc informoción: 1 Rozono:3-4-5-7
@
Completa:
Soluciono problemos
@
R.r.r.lr,.,
a. Al hallar waraíz cúbica el índice es
b. Al hallar :una raíz cuadrada el índice es
tr
r/z
l4
V;
E
V36
a.
b
c.
f16
V roo
ta
(T
.t8
V 12s
d.
@
roao ffiángulo rectángulo cumple el teorema de
Pitágoras que relaciona la medida de los catetos a,
b y dela hipotenusa h, así:
Calcula la hipotenusa de cada triángulo de acuerdo
con la medida de sus catetos.
a. a:16 cmvb:12 r
5'5
b.o:Lcmvb:
I
.-
5t2
a:llcmyb:56.rn
39
A: -4cmvb:
I
cm,2
c. 0,0256 m2
d. 0,01 m2
h.,[--!-
! 1.ooo
,86
V 343
f.
@
rscribe un número en el cuadro para que se cum-
pla la igualdad.
:
Q
eptca las propiedades de la radicación para resol-
ver cada operación.
f4-25
!t^ 36
164
-36\/rx
-
225
.tr's
t-A
-
62s
bd.
@
cutc,.rlu cadaraí2.
d.
c,
d.
Jo,04
J"5
a.
b.
Jo,r6
J0,36
c.
d,
$,ns
J-onzz
e.
f.
: G
El ajedrezse juega en un tablero cuadrado de 64
casillas cuadradas iguales de colores intercalados
blanco y negro.
Un artesano necesita saber la medida del lado de
cada casilla de cada tablero para elaborar las fichas
de tamaño adecuado.
Calcula el lado de cada casilla si se sabe que los
tableros de ajedrez, a los que se les debe elaborar
las fichas, tienen las siguientes áreas.
Q
Simpliflca cada expresión utilizando las propieda-
des de la radicación y la potenciación.
E),(F), )'
25
81
Escribe Y si la af rmación es verdadera o F, si no lo
es. En caso de ser falsa, escribe un contraejemplo.
a. La raiz cuadrada de un racional siempre es
mayor que su raiz cúbica.
b. Laraiz cuadrada de un racional negativo es un
racional negativo.
c. Laraiz n-ésima de un producto es igual al pro-
b.
Radicación de números naturales
1
27
.tt
h:Ja'z+w

83. Estándar: pensamiento numérico ;r
pensamiento vartacional
Pol i nom ios o ritmét¡cos
con rocionoles
Un polinomio aritmético con números racionales es una expresión en la cual se
combinan números racionales con varias operaciones aritméticas. En este caso, se
encontrarán expresiones en las que se combinan la adición, Ia sustracción, la multi-
plicación, la división, la potenciación y la radicación de números racionales.
Las siguientes expresiones son ejemplos de polinomios aritméticos:
3915L + L : 5
---> Sin signos de agrupación.
s24
¿\l ,l
.
; ))- ;i
--> consignosdeagrupación.
En las expresiones anteriores se observan dos tipos de polinomios aritméticos:
polinomios en los que no aparecen signos de agrupación y polinomios en los que
aparecen signos de agrupación.
Polinornios oritméticos sin signos de ogrupoc¡ón
Cuando un polinomio aritmético no tiene signos de agrupación, se soluciona reali-
zando las diferentes operaciones en el siguiente orden:
. Primero, se resuelven potencias y raíces.
. Lu€go, se realizan las multiplicaciones y las divisiones.
. Por último, se solucionan las adiciones y las sustracciones de izquierda a derecha.
Porejemplo, parasolucionarel polinomio 4
*
! x i + 2- + -15- seprocede
así:'325124'
Polinomio dado.
_ 20+9+6
5e resuelve la multiplicación y la división.
Se expresan como fracciones homogéneas.
Se realizan las adicione_s y se simplifica
Cuando los polinomios aritméticos se encuentran formados por números decimales
y por operaciones aritméticas, se procede de la misma manera.
Por ejemplo, el polinomio 8,3 -
0,05 X 4,25 + 3,15 se realiza el siguiente procedi-
miento:
8,3-0,05X4,25+3,15
Se realiza la multiplicación
Se resuelve la sustracción.
Se resuelve la adición
2 I.,
-
|
-/\32
{-t-+ "
(-+
915
124
2 1..3
2\--r
32s
_2, 3 ,1
3105
30
_35_7
306
:
8,3 -
0,2125 + 3,15
:
8,0875 + 3,15
:
1L,2375
J
E3
e Santillana I 8;'

84. FoEino¡nios aritmciics:s e*n r+e !*n*i*=
Para simplificar un¿ fra((ión
h¿sta una fracción irreducr-
ble, se deben dividir tanto el
numerador como el denomi
nador entre el m. c d de los
términos de l¿ fr¿«ión
l+ Ejemptos
Simplificar los siguientes polinomios.
a. -2 +txL_ r+z-
533
2-7u4 1,2 1-,6 g
15-1--.
513132124
| -,- 9 t5
-^o224
2,4 1,2 6 g
15
5313224
24 , 80 60 , 40 180 270 225 Se rest,el', en las
T-
60 60 60 60 60 60 60 multiplicaciones.
: -24+
80 -
60 + 40 -
180 -
270 -
225
60
__639 __2r3
60 20
Se resuelve la multiplicación y la división.
5e escriben los números
e nte ros co m o fra cci o n es
Se plantean la suma
y resta de numeradores.
5e resuelven las sumas y restas Luego, se simplifica
. 0,4 4 0,05 5 0,006
T-:
4 0,4 5 0,056 0,006
_ 0,16 0,0025 _ 0,000036 Se resuelven las divisiones
t6 25 36
:
0,01 -
0,0001 + 0,000001
5e resuelven las divisiones
entre térm¡nos de la fracción.
:
0,009901 Se resuelven la suma y resta de decimales
La pintura contenida en una caneca corresponde
a los 2
m3 de su capacidad total. Se han sacado
36
*
-'para
pintar las paredes de la sala, L
^,
puru
pintar la cocina, -3- m3 para pintarlos bañor,
+
*
para pintar las alcobas.
¿Qué cantidad de pintura se sacó de la caneca?
La expresión que indica la cantidad de pintura
"r,
5 + ? + -a + !
99186
Para resolver esta expresión se procede así:
_ 20 - 8 6 | 6 Se e<preson como fracciones homogeneas
36 36 36 36
-
20 + 8 + 6 + 6
Se plantea la suma de numeradores.
36
_40_I0
36 g
)e resuetven ta' sumas.
Se sacaron de Ia caneca
1o
-:.
9
b\
,', i . ,-.,u-.^-_t
i i'1'rt,,¿irG

85. Estándar: pe nsaniento numérico y penscniento vañaciortal
Polinomios oritméticos con s¡gnos de ogrupoción
Cuando un polinomio aritmético tiene signos de agrupación, se resuelven las ope-
raciones indicadas en el interior de cada uno, teniendo en cuenta el orden de las
operaciones. Luego, se elimina cada signo de agrupación de adentro hacia fuera,
aplicando la ley de signos.
H Ejemptcs
ffi
Simphncar las siguientes expresiones.
a
{+.l+
- (+ -
?)-+l
.,}
:-{+.[+-(*.*)-+] .,]
: -l+.
[+
- (*) -;] .,]
:1+.[+ -*-+] .,]
:-{+.l+-*-#l .,}
: [ ,
-
[- ,n
-l
* ,J
5e suet,ven ta testay la suma
-
1;
-
L- 20 -l
- 'f de orchete
lz t v1
I
:
tí
*
L-á]
-
'i
\z5imptificatae<presión
Se expresan las fracciones del
paréntisis como kacciones
equivalentes
Se resuelve la suma del paréntesis.
Se suprime el paréntesis.
5e expresan las fracciones del corchete
co m o fra cci o n es homog é n eas.
Se suprime el corchete
Se expresan las fracciones como
fraccio n es h o m og én ea s.
Se resuelven las operaciones, se
suprimen las llaves y se simplifrca.
b. 6,1 -(1,8 +0,7) - [(5,6 -3,2) - l,9l +2,5-3,8
:
6,1 -
2,5 - 12,4- 1,91 + 2,5 -
3,8
:
6,1 -
2,5 - [0,5] + 2,5 -
3,8
:
6,1 -
2,5 -
0,5 + 2,5 -
3,8
:1,8
Se suprimen los paréntesis
Se realiza la resta del corchete
5e suprime el corchete.
Se resuelven las operaciones
Los signos de agrupación usa-
dos en m¿temáticas son:
( )
paréntesis
[] corchetes
{} llaves
ERECUERDA QUE...
Z5
- :antiiiana
!
81:,

86. PsIin+r¡"¡ios aritr¡retiees <on :ignos de agrup*<ián
Los números racion¿les se
utilizan en gran parte de la
economia, ya que las cifras en
qlle se present¿n gran rarri
dad de datos contienen cifras
decimales.
L+L-[-r*-l
,,, L T^'
4 1 11..r
t-
-9 2 LS 9
L+f--f-_l-"_l-
e 2 Ls 9
41110
92723
32+36+r+240
Se solucionan las raíces.
Se realiza la suma de los
n u me radores del pa réntesis
Se resuelve la división entre los ractonales
del paréntesis. Luego, se simplifica.
72
_ 309 _ 103
72 24
5e realiza el producto del corchete
y se suprime el signo de aqrupactón
Se plantea la suma de los numeradores
5e realizo la suma y se simplifico.
@ t, Daniel le debía los a
de $ 2.520.000 a Lorena y
le pagó los i de los --5 ¿" $ 2.520.000,
¿cuánto
dinero le debe aún Daniel a Lorena?
La expresión que indica la cantidad de dinero que aún
le debe Daniel a Lorena es:
(+,
2.s2o.ooo) - (+ ¡ -s x 2.52o.ooo)
Esta expresión se resuelve así:
_ 7.560.000 _ 37.g00.000
Se realiza.n los productos de los paréntesis
g 56
y se supilme el signo de agrupación.
_ 59.920.000 _ 37.g00.000
S-e expresan las fracciones como
56 56
fracciones homogéneas
-
15.120.000 : 27O.0OO
Se resta y se simplifica.
56
Daniel le debe aún a Lorena $ 270.000.
L6
iñ i,¡,i,;nt;ti¿i;¿
Y esto que oprendi,
¿PARA OUE ME SIRVE?

87. Suprime los signos de agrupación y resuelve cada
.
+)l]
-
1)
corresponde
:
@
6
@
Estándar: pensamiento numérico y penscmiento variacional
: Consulta en un diccionario el significado de la pa-
labra " p olinomio". Llego, escríbelo en tu cuaderno.
Escribe los números l,2y 3 para ordenar el proce-
dimiento que se sigue para resolver un polinomio
aritmético.
Se rei;uelven las multiplicaciones y las divisio-
nes.
Se resuelven las potencias y los radicales.
Se resuelven las sumas y las restas.
Resuelve los siguientes polinomios.
a.5+
2
b. l-¿)'-,E- E
z) !a o
(-+)'+fft+r
-(+)' *
1*(-+)'-,F
Relaciona cada polinomio de la izquierda con su
resultado en la columna derecha.
a. l-¿)*-L+axr
3i 4 7 6
, \2 / \l
b lll
'fl -l-
\si \zl 3
f+,2 r..s
L'
{t^ 5- 6' 3
'(+)'*E-,tr
Indica cuál fue el error que se cometió al resolver
, 149
I.
75
,7
45
, I07
J.
42
,49
+.
90
v
+
.1 3
27
orrígelo.
3:4
49
56
tt7
COTI
3
4
=5t
11
-ttl

88. Ecucociones con
números rocionoles
Una ecuación es una igualdad en la que se desconoce uno o varios términos llamados
variables o incógnitas, representados generalmente por una letra minúscula.
Así, ! I x : X ., ,r.ru ecuación en la que se distinguen los siguientes elementos.
JJ
1 .-_ 11
33
VV
Primer miembro Segundo miembrolVatemático y afrónomo indio Escri-
bió un tratado ¿fronómico y matemá-
tico en versos llanado Aryobhatiyam
Hal ó soluciones para as ecuaciones
indeterminadas de primer grado
Solución de ecuociones
con nÚmeros roc¡onoles
Cuando se resuelve una ecuación, se encuentra el valor de Ia variable que hace ver
dadera la igualdad. En el caso anterior, el valor de x que satisface la igualdad
",
+,
J
ya que I + -lg -
11
. Por tanto, la solución de la ecuación es r :
10
'-'--3 3 3 3'
Para solucionar una ecuación en el conjunto de los números racionales se debe
aplicar la propiedad uniforme de las igualdades.
Las ecuaciones en Q pueden ser de dos tipos: ecuaciones de la forma x t
y ecuaciones de la forma
t
' . :
i
Ecuociones de lo formo x+ I -
c
bd
Las expresiones -
+
:
-L, ro, ejemplos de ecuaciones de
la forma * t *
: ci
.Este tipo de ecuaciones se resuelven al sumar o restar la
bd
misma cantidad en los dos miembros de la ecuación. De esta manera se obtiene otra
ecuación equivalente, por ejemplo:
a:c
bd
x+17 :21 u*
22
_ll _17 _2r_ 17
-.._4
..-'\--
22222
t7 _2r
22
eara
f
,f,, e Qtalesquef :
á
r"cumple
a,ec,e
b-7-7-7
a_e:c_e
bfdf
a,,e_c,,e
bfdf
a e _c e
bfdf
!8
|
o 56¡1¡¡¡unu
x+
-x-2
Aryabhata
476-550

89. Ecuaciones de ia f*rma 4-'
f^t
v
Sonejemplosdeecuacionesdelaforma !' x -
J-,expresiones.o-o a' r :
I
b d' 4 2
u 1
. * :
!. Estas ecuaciones se resuelven al multiplicar o dividir los dos miem-
'5 35
bros de una ecuación por un mismo número, distinto de cero, por ejemplo:
3 .x:5 +
4.3 .*:L.4
-x:_4_ =r:4
4-- 2 3 4 2 3 6 3
, 1 | _17 I
^-1--
44204
5
0+I'x:50
2
2.1 .x:50'Z
L2 1
2.1.*:50.2
t2 11
El producto de un número,
distrnto de cero, por su inverso
multiplrcativo es igua a I
43
34
Traducir a una ecuación cada expresión y resolver.
a. La suma entre un número y -l- es -lZ.
'4 20
.. l_17
,\T-
420
25+f-.x:75
2
25-25+
I
' x:75_ 25
2
2.x_ 100'
2l
1 'x: 100
x: 100
b. 25 más la mitad de un número es igual a 75.
Se escribe la expresiórt que traduce la exprestón
Se restan ambos miembros de la iguoldad
5e plantea la resto entre numeradores.
Se resuelve la resta y se stmplihca
5e expreso lo solución de la ecuactón
Se escilbe la expresión que traduce la expresrón.
Se restan ambos mtembros de la igualdad
por
-25
que es el tnverso de 25
Se resuelven las restas indicadas
5e multtplicon ambos mtembros de la igualdad
Dot Z
aue es el inverro de
I
5e escribe el número entera como fracción.
Se resuelve el producto
Se simplifica
Se expresa la solución de la ecuación,
Está nd*r: Pen sa nie n tc numé rt co y "¡)€ttSCt m t€rtto'tartuc'ona i

90. Plonteomiento y solucién de problernos
En la solución de problemas en los que intervienen ecuaciones se siguen los siguien-
tes pasos:
Comprender el problema. Se reconocen en el enunciado los datos y las incógnitas
que se deben calcular. A continuación, se asigna una letra minúscula a la incóg-
nita, que es la información desconocida en el enunciado.
Elaborar un plan y llevarlo a cabo. Se escribe la ecuación correspondiente a la
situación que plantea el problema. Luego, se resuelve la ecuación aplicando la
propiedad uniforme de las ecuaciones.
Verificar la respuesta. Se remplaza el valor obtenido para Ia incógnita y se verifica si
dicho dato hace verdadera la igualdad.
Redactar la respuesta. Unavez verificada la solución, se redacta la respuesta corres-
pondiente a la pregunta planteada en el problema.
=
ñjernp(c
Resolver la siguiente situación.
Si al dinero que tiene Daniel se le agrega la mitad y $ 100.000 más; Daniel tendrá
$ f .000.000.
¿Cuánto dinero tiene Daniel?
Para resolver la situación se deben realizar los pasos de solución de problemas.
Comprender el problema. Se asigna la letra x al dinero que tiene Daniel, así: dinero
que tiene Daniel: x
Elaborar un plan y llevarlo a cabo. Como se le añade la mitad del dinero que tenía
Daniel, además de $ 100.000, se tiene que
I . *+ 100.000 :
1.000.000
2
'x*100.000:1.000.000
Se resuelve la suma de los términos de x.
Se resta 100.000 a ambos miembros
de la ecuactón.
' x * 100.000 -
100.000 : 1.000.000 - 100.000 Se resuelve la resta.
'r: 900.000
Se multiplican ambos miembros de la igualdad por
2
)
)
900.000
2
J
5e resuelven las operactones indlcadas
x :
600.000
Verificar y redactar la respuesta. Remplazar el valor de x en la ecuación para compro-
bar si el valor que se encontró cumple las condiciones del problema.
600.000 +
1 .
600.000 + 100.000 :
600.000 + 300.000 + 100.000 :
I.000.000.
2
Luego, x = 600.000 cumple con las condiciones del problema.
Finalmente, se redacta la respuesta: El dinero que tiene Daniel es $ 600.000.
:.X:
2
xl
J
,
J
,
J
,
)
;'
J
lo
E0
|
*,santillana

91. Estándar: penscm¡enta numérico y pensaniento variccional
Recupero informoción: 1
Explica con tus palabras los pasos que se siguieron
-^-^
*^^^'l--^- l^
^:-,-:^'^+^ ^-,.^-:A^ ^^- -,',*^-^^
$
Err.o.ntra el valor de y enlas siguientes ecuacio-
para resolver la siguiente ecuación con números
racionales.
512
a^ l-t
Resuelve las ecuaciones de Ia forma !* : ,.
b
r27-f2
a. -fit:--
d,.
-p:-
5 3 s' 9
.5-9-5
b. - r- e. 1P:-
68'6
1 t2 .
_100
7' 13 2
Resuelve las siguientes ecuaciones.
nes.
a. 5,3y I I,7 :
32,76
b. 4,02 - 5,3y: 2,9
c. y-4,038:-7,31
d. 15,3 12,017
¿. 5:x+L
37
e. 2+L:L- *
942
-
2 f. -x +
5
-
|
-
2
7379
Verifica si la respuesta obtenida para cada ecua-
ción es correcta, remplazando la incógnita.
a. ax+L:4
-r-
38
25 15
L x I
-
2 ^.-
13
3s3 15
/-)
L.
73
¿.
1 :-4*-*:9
5920
c. Un número más ! es igual a 2.
5
-*:L
6
@
f"" la siguiente situación. Luego, plantea una
ecuación y responde.
Un mago le pidió a un niño que siguiera las ins-
trucciones y él adivinaría el número que pensó.
. Piensa un número.
. Duplícalo y añade al resultado 30 unidades.
. Halla la mitad de Io que obtengas y réstale a esa
mitad el número que pensaste.
A1final, el mago adivinó que el niño pensó en el
número 15.
¿Cómo adivinó el mago el número que pensó el
niño?
Soluciono problemos
Pensé un número,le sumé ! y obtuve 9. ¿Q"é
númeropensé?
3' 9
A un número lo multipliqué por 2 y obtuve !
.
¿Cuál
era el número?
- 5 35
@
oaniel pensó un número,lo multiplicó po, -+
y a lo que obtuvo le sumó
Í.
t, el resultado fue
f-, ¿cuál número pensó Daniel?
27
@
Árrg"t" tenía una cierta cantidad de harina. Si usó
I ¿. esa harina para hacer un pastel, luego usó
3
1,5 kg para hacer galletas y aún le quedan 0,75 kg
de harina,
¿cuántos
kilogramos de harina tenía
inicialmente?
metro es 35 m.
37
a.t-
5
)'9
Escribe una ecuación que represente cada enun-
ciado.
a. La mitad de un número aumentado en 1 es
igual a 9.
b. Los ] d".rn número es igual a 16.
J
to sanutlana
|
9l llr
b.
:es
8

92. Frocciones eq u ivo lentes
^ t25
600
: 2OO
Lt.
250
420
49
- 111
+ LLL
l.
-
99
f.
t5 __45
p81
64 _t6
200 q
15:_300
35r
Escribe las siguientes cantidades como números
mixtos.
a. Z hb.", de harina.
2
b.
25
htro, de agua.
4
c.
17
kilonrurnos de café.
g"
Closificoción
10
:10
6
2
c.
J
r 13
t.
-
6
Simplifica las siguientes fracciones hasta su forma
irreductible.
^
r24
d.
68
b. _ 49
343
,Escribe un valor para cada letra de manera que se
cumplan las equivalencias.
a.
m-35
d.
749
r- 5 125
U.
n95
- t4_ P
L.
330
Números mixfos
de los números decimoles
Expresa los siguientes racionales en su forma de-
cimal. Luego, clasifícalos.
a.5c.16
8
b.
t2
25
Indica los siguientes pesos en su forma decimal.
c. d.
?kg
R*pr*=eref*eÉ*n d* r*ei*n*Ees
*ft É# r*{?* **e=:*rue*
y en *á pE*n* e*rÉ*§itrft*
Ubica cada conjunto de racionales en una misma
recta numérica.
a.{2,:,r}
Ls 2 4)
b. {r,:,:}
110 2 4)
C.
d
d. 0,01, 0,19
e. 9,03 -
0,9
f. -s,381
l-S,Oge
¡¿s !-3 partes de Ia masa corpo-
Construye un cuadrilátero con vértices:
(-* -+) t+ +) (
+ +) t+ +)
Y determina si es un cuadrado midiendo sus án-
gulos.
*rdea= *n l*s r*ei*ncies
Escribe >, < o - segíu corresponda.
ral humana están compuestas por
agua.
Las f Dartes del cerebro huma-
4'
mano están compuestas por agua.
Los huesos humanos tienen ! oarte comDuesta
4'I
por agua.
La sangre humana está compuss¡¿ -8f- partes
por agua.
' loo
r
a.
¿Es
mayor la fracción de agua de la sangre o del
cerebro humano?
¿El contenido de agua en el cuerpo humano es
menor a la mitad de la masa corporal?
¿Se
puede afirmar que más de I
de los huesos
J
están compuestos por agua?
Ordena de menor a mayor los siguientes números.
0,19 0,017 t,92 1,758 0,91 I,79
b.

93. Adición y sustrocción
de rocionoles
Resuelve las siguientes operaciones.
a. 3,605 -
4,29
b. 2,73 + 1,9 -
0,s
c. -0,3 - 5,8 + I
d. 23,12 + 0,758 -
0,2
5t6
39
13_13
78
a. f-+L
25
o
b'
h.
).
r- 3,41
U.
72
^142
L.
s3
d I
* l--¡-)
90 r0l
z (t\
e. ---l-
|
s \ei
Relaciona cada operación con su resultado.
1. -5,1
2. 23,678
3. 4,r3
4.
-0,685
¿Cuál
es el perímetro del triángulo?
Adriana compró en el
supermercado:
0,250 kg de espinaca
1,3 kg de manzanas
2,45kgde tomates
1,82 kg de cebolla
2,08 kg de maracuyá
¿Cuál
fue el peso total de los productos que com-
pró Adriana en el supermercado?
|ulián comp 16 L
galones de pintura blanca y la
mezcló .on I
de galón de pintura azul. Si de Ia
4"
cantidad de pintura resultante gasú 2
galones
al pintar la casa, ¿cuántos galones de pintura le
sobraron?
¿Le
sobra más o menos un galón?
6,02m
Multiplicoción y división
de rocionoles
@
Cd.rl" los siguientes productos.
a. fane:63 kg
b. |oseph:
f
U
)
d. 4,32 X 0,8
e. 5,24 + (-2,3)
f. (-0,1)(0,5)(0,7)
@
U" la Luna, el peso de los objetos corresponden a
! d"l peso de los objetos en la Tierra. Calcula el
6
peso que tienen en la Luna los siguientes astro-
nautas.
c. Michel: 54 kg
d. fohn: nl uz
@
UuUu el área de los siguientes rectángulos.
T
I
3,8 m
I
1
(;)
(;)'
T
I
I
4,2m
I
I
Potencioción y rodicoción en Q
@
R"rrr.lue las siguientes potencias.
c.a
b.
d
(?)'
4,32 m
-
@
Simplifica cada expresión.
a (+)'(,F)
Ecuociones con rocionoles
@
Camilo gastó -3- de Ia leche que tenía. Si Io que
gastó correspo.rd. u I d" htro de leche,
¿cuántos
litros de leche tenía inicialmente?
a.
b.
osantiltana
l93i'

94. El conjunto de los números racionales, Q, se
define como el conjunto de coclentes entre
dos números enteros, es decit
@ :
{+,
a, b eZ, b +o y mcd(a, b) :
1}
Para multiplicar números racionales en forma
de fracción se multiplican entre sí los numera-
dores y los denominadores entre sÍ. El resultado
se simplifica sies posible.
En algunas ocasiones es posible simplificar antes
de multiplicar, es importante hacerlo, ya que este
proceso facilita la solucrón del ejercicio.
Las propiedades más usadas de potencia-
ción para
f
a O,con b= O, n,m eZson'.
Para sumar o restar dos o más nú-
meros racionales cuyos denomi-
nadores son rguales se realiza ei
siguiente procedimrento:
. Primero, se suman o restan los va-
lores del numerador.
. Segundo, se escribe el mismo de-
nominador.
. Tercero, se simplifrca la fracción
obtenida, hasta hallar la fracción
irreductible.
Dos o más fracciones con diferente
denominador se pueden sumar o
restar de la srguiente manera:
. Se transforman los racronales a
fracciones homogéneas, es decir,
con iguales denominadores.
.
Se realiza la suma o la resta de los
valores del numerador y se escribe
el denomrnador común
.
Se simplifrca la fracción, hasta ha-
llar la fracción irreductible.
Para dividir números racionales en forma de
fracción, se multiplica la primera fracción por el
inverso multiplicativo de la segunda fracción.
Si es posible, se simplifica el resultado.
En la solución de problemas se deben
tener en cuenta los siguientes pasos:
. Comprender el problema.
. Elaborar un plan y seguirlo.
. Verifrcar la respuesta.
. Redactar la respuesta.
.
+)..^
(+)'-^
.
,,
94 l.oSantillana
EH EIHTE:=IE...
U

95. Los números rocionoles
en Google Eorth
Google Earth es un software similar a un Sistema de
Información Geográfica (SIG), creado por la empresa
Keyhole Inc. que combina imágenes de satélite, mapas
y el motor de búsqueda de Google,
Cuenta con tres versiones, todas disponibles en inglés:
una gratuita llamada Google Earth Free y otras dos
versiones de pago (Google Earth Plus y Google Earth
Pro). Google Earth Free permite al usuario:
. Aproximarse a un territorio de la Tierra desde la at-
mósfera y observarlo desde diferentes alturas y
ángulos.
. Desplazarse entre ciudades de diferentes países del
mundo, volar de un sitio a otro recorriendo océanos
o grandes territorios como desiertos y selvas.
. Observar calles, edificios, casas y monumentos de
las ciudades.
. Marcar y guardar imágenes de sitios y compartirlas
con otras personas a través de Internet.
. Medir la distancia entre dos sitios trazando una
trayectoria.
. Observar las formas de relieve (nevados, volcanes,
llanuras, cordilleras, valles, altiplanos, etc.) en cual-
quier lugar del mundo y conocer sus nombres.
. Conocer las coordenadas de cualquier punto de Ia
Tierra y ubicar un sitio a partir de sus coordenadas.
O ¿a"¿
es Google Earth y para qué sirve?
Responde con base en la información anterior.
Q) ¿r^latitud del aeropuerto El Dorado es norte o
sur?
¿La longitud de las Cataratas del lgraza es este u
oeste?
Se puede localizar un punto de la superficie de la Tierra
a partir de sus coordenadas, es decir, a partir de su
latitud y su longitud. La latitud es la distancia angular
entre el Ecuador y el punto se mide en grados ("), entre
0'y 90o y puede representarse con valores positivos si
es norte y negativos si es sur. La longitud, es la distancia
angular entre el punto dado y el meridiano 0' (meri-
diano de Greenwich), se mide también en grados ('),
entre 0o y 180'con valores positivos para el este y ne-
gativos para el oeste. Algunos ejemplos de coordenadas
de sitios que se pueden ubicar con Google Earth son:
Aeropuerto El Dorado, Bogotá 4,69979779372',
-74,1446263761"
Gran muralla China 34,381247", 109,254079"
Cataratas del Iguazú -
25,690327 ", -
54,438629'
Islas Galápagos -0,329588', -90,681
152'
¿Qué indican los signos negativos en las coorde-
nadas de las islas Galápagos?
Usa una hoja de papel milimetrado para ubicar los
siguientes puntos:
Himalaya: 30o,80o
Andes: 20", -64"
Gran Cañón: 36,05o, -1L2,I4"
Recupero informoción
rir Santillana
195:
Y esto que oprendÍ,
¿PARA OUÉ ME SIRVE?
Para ubicar un sitio en Google Earth

96. Propcne§Gr:al§ tr
Tennos de Ea umidad
Razones y proporciones
Proporciona lidad d irecta
Proporcional idad inversa
Aplicaciones de la proporcionalidad
§
§
ft¡. _
§
r-l
'lü

97. E
§
-áñ
Un pedozo de Io historio
Por fin, Alí había conseguido sacar a Schoene del
hotel, donde llevaba recluido cuatro días srn apartar la
vista de aquel libro, que a rntervalos hacia exclamar a
Schoene:
-¡Es
maravilloso! ¡Fantástico! ¡Estuvo perdido durante
siglos y lo he encontrado yol
Aquella tarde, paseando por el zoco, Schoene no de-
jaba de hablar de su nueva adquisición, de la que decia
ser una pequeña pieza del puzzle de la historia.
-Alí,
el libro es la prueba. Schoene lo miraba emo-
cionado-. Es una traduccrón de un libro de mate-
máticas de Herón de Alejandria perdido hace mucho
tiempo, cuyo original se escribió en el siglo l.
-Yo
prefiero lo real a las teorias matemátlcas
-con-
testó Alisin compartir el entusiasmo de su compañelo.
-Te
equrvocas Alí, este libro está lleno de aplicacio-
nes prácticas: enseña maneras de aproxrmar raíces
cuadradas no exactas, métodos para calcular área de
polígonos, volúmenes de cuerpos e, incluso, división
de superficies en partes proporcionales,..
Estos conocimientos eran muy útiles en el Egipto del
siglo l, por ejemplo, para calcular las medidas de los
terrenos que cultivaban o repartrr herencias.
Tomado de Matemáttcas 3 Eso, España, Editorial Santillana, 2007.
:
i
.
Según la anécdota anterior,
¿cuál
es la rmportancia del libro de
I m¿temáticas de Herón de Alejandría?
I
.
¿Qué
otras aplicaciones, aparte de la división de superfcies men-
i
cionadas en l¿ lectura, crees que tiene la proporcionalidad?
1 -,
¡
.
¿Cómo
se podria repartir tln terren0 de 1.000 m2 entre dos familias
i de ul forma que a una le correspondan 7 partes y a la otra 13?
#rr@
c,
co
Sr
t
b
Si para preparar un postre para
cuatro personas se necesita
medio litro de leche, 250 g de
azúcar y 3 huevos,
¿qué cantidad
de ingredientes se necesita para
hacer el mismo postre para doce
personas?
Dos de los animales más rápidos
del mundo son el guepardo y el
avestruz, aunque el primero es el
más rápido. Si la razón entre sus
velocidades ., 9 , la velocidad
Fl
l
del guepardo es 108 km/h,
¿cuál
es la velocidad del avestruz?

98. Rozones y proporciones
El estudio de las razones y de las proporciones se inicia como solución de problemas
de repartos proporcionales, el cobro de impuestos, el cambio de monedá, también
aspectos geométricos relacionados con la medición y semejanza de figuras utilizadas
para la construcción de templos y edificios. En la actualidad, se presentan yariadas
aplicaciones de la proporcionalidad que involucran rela'ciones y cornparaciones entre
dos magnitudes.
La relación y comparación entre dos magnitudes se puede expresar como el cociente
entre dos números.
El cociente indicado entre dos cantidades ay b I
conb *O se denomlna la razón entre
ayb. b
una razónse puede presentar.oro 9
o como a: b, enambos casos se lee:
,,la
razón de
aab"o"aesab".
b
a
En una razón -,
a es el antecedente y b es el consecuente.
D
Rozén
I
I
I
a
I
I
i
I
I
i
x Ejemptos
Así, 2
representa la razón de
9 8
l
.-, Santiliana
(# Escribir cada expresión como una razón.
cuente. Entonces,
189
28 t4
a. 4esa2l
4 se escribe como antecedente y 2l se escribe como
consecuente.
4
Así,
-
representa la razón de 4 a 21.
21
b. 0,5 es a l0
0,5 es el antecedente y l0 es el consecuente, luego,
0,5_ 5
r0 100
5
Así,
-
representa Ia razón de 0,5 a 10.
100
24
En este caso
7
es el antecedente y
;
es el conse-
300
24
c. -
esa -
79
1
5
?
5
?
7
t
9
29
-
esa -
74
# ," un colegio hay 300
niñas y 200 niños.
Determinar la razón
en cada caso.
a. La razón entre la
cantidad de niñas y
la cantidad de estu-
diantes del colegio.
Como la cantidad de estudiantes es 500 y la can-
tidad de niñas es 300, entonces, la razón entre la
cantidad de niñas y la cantidad de estudiantes es:
500
Por lo tanto, la razón es
b. La razón entre la cantidad de niños yla canti-
dad de estudiantes del colegio.
Como la cantidad de estudiantes es 500 y la can-
tidad de niños es 200, entonces, la razón entre la
cantidad de niños y Ia cantidad de estudiantes es:
200 2
s00
Por lo tanto, la razón es

99. x Ejermptos
Hallar los términos desconocidos en cada serie de
razones iguales.
12a18
:-:-
20sb
El valor de a se halla de la siguiente manera:
123
Se simplifica por 4.
Estándar: pen sa m i ento va ri acio n al
M¿temático italiano. Viajó alrede-
dor del N,4editerráneo para efudiar
con matemáticos árabes. Formuló
l¿ sucesión de Fibon¿cci, en la que
se puede hallar el número de oro o
la proporción divino.
0,2+0,6+2
_
2,8
70,5+1,5+5
ya*b:21
+ b Se aplica propiedad de razones iguales.
Series de rozones iguoles
Se denomina serie de razones iguales a la igualdad de dos o más razones equivalentes.
Una serie de razones iguales se simboliza .oro, I : t : 9 :
...
bdf
Por ejemplo, el equipo de fútbol de un colegio, ha ganado 5 de los 9 partidos que ha
jugado. Larazónque corresponde a Ia situación es
1.
9
Sin embargo, si los datos fueran que el equipo ha ganado 10 partidos de los 18 jugados,
la razónque correspondería a este caso ,"ríu 4,
que al ser simplificada
"s
ig,ral a l.
Por Io tanto, se puede afirmar que las razones
;
,
*
son equivalentes, es decir,
510
9l8lss
que el equipo ha ganado 15 partidos delos2T que hajugado, ya que
i
:
,.
Por lo
tanto, se puede concluir que las razones
;, *
E
,onuna serie de razones iguales, es
51015
cteclr:-:-:-.
9 l8 27
Propiedod fundomental de uno ser¡e de rozones
En una serie de razones iguales, la razón entre la suma de los antecedentes y la
suma de los consecuentes es igual a cada una de las razones de la serie. Es decir, si
a c e a c e alcle
-:-:-,entonces.-:
:-
b d f b d f b+d+Í
. 0,2 0,6 2 0,2 0,6 2
0,5 1,5 5 0,5 1,5 5
ab
-:-
212
205
3a
Ahora, al comparar
;
:
;,
se tiene qte a :
3.
El valor de b se halla de la siguiente manera:
1
:
18
se complifica por 6,
530
Ahora. al comoarar
l8
-
18
. se tiene oue b :
30.
30 b'
Por lo tanto, los valores son: a :
3 y b :
ZO.
Se remplaza el valor de a -l
b.
Se simplifica por 7.
a3
5e compara
22
5e plantea la proporción y se complifica
b t8
Se compara
t) 12
a
b
2+t2
2I
:-
L4
J
:-
2
-J
318
122
b: 18
t2
osantillana
199
Ii
b. !:L
2t2

100. Escribe cada expresión como una razón.
@
Umu los términos desconocidos de la serie.
Razón y serie de razonés [guales
0,02 es a 1,009.
36 100
a. 8esa10.
b. 202 es a 180.
a.
b
d
Escribe larazónentre dos cantidades sabiendo que
una de ellas es el triple de Ia otra.
Expresa en términos de una razón las situaciones.
a. En una población hay tres adultos por cada
niño.
En los últimos cuatro mundiales Colombia
solo clasificó a un mundial.
De I0 personas que ingresaron a la educación
superior, en una ciudad, solamente se gradua-
ron 4.
En los números naturales primos menores que
diez solo hay un número par.
En un hospital nacen siete mujeres por cada
tres hombres.
abc
-:-:-
v
s 9 3'
b.
d
b.
I
6
10
13
J
11
k
2
o-
b'
4
h.-
5
.1
1.-
7
d. I
2
7
e.
8
-4
f.-
9
Determina \a razón entre los perímetros de los
siguientes rectángulos.
@
e partir del triángulo equilátero de la figura res-
ponde:
¿Cuáles
la razónen-
tre el perímetro y su
lado?
Si se duplica el lado,
¿cuál
es larazón en-
tre el perímetro y su
lado?
@
R".porde:
¿Cuántas
personas viajan en el autobús
si en el automóvil caben 5 pasajeros y la razón
)
entre las capacidades de los dos es a?
18
b.
Escribe tres razones equivalentes en cada caso.
).
l.
En el parqueadero de un centro comercial hay 160
automóviles y 80 motos. Determina las siguientes
razones,
a. Razón entre el número de motos y automóviles.
b. Razón entre el número de automéviles y el
número total de vehículos.
c. Razón entre el número de motos y el número
' total de vehículos
Recupero informoción: 1
137
4l2a
abc
:-y
3 15 2r'
a-lb-lc:26
@
Ejercito: 4-5-6-7-8
? _9 _
b
9a45
3918
d
;: i:;
v
a-lb-lc:40
@
uuffu el valor de (a -t b -
c), si
a-lb-lc:85.
Soluciono problemos
GD
t. realizauna encuesta entre los estudiantes de un
colegio sobre los deportes que les gusta practicar.
. Cantidad
ueoortes
de estud¡antes
c.
Determina la razón entre el número de estu-
diantes que les gusta el fútbol ylos que les gusta
el ciclismo.
Halla la razón entre los estudiantes que prefie-
ren voleibol y los que les gusta el baloncesto.
Halla la razón entre los estudiantes que les
gusta el fútbol y el total de estudiantes.
Ba loncesto
Ciclismo
6m
9m

101. Estándar:pensam¡entovariacional !
Propol,ción
Una proporción es una igualdad de dos razones.
ACAC
Laproporciónentrelasrazones-y-con b * Avd * 0seescribe oa.b"..c.d
b'd b d
y se lee"a es a b como c es a d".
Por ejemplo, las razones I t !
forman una proporción ya que al complificar por 3
3'9
la fracción se tiene ,u", |
:').
39
t2
Las razones
,y i "o
forman una proporción ya que ninguna de las dos se puede
obtener a partir de la complificación o la simplificación de la otra.
. En la proporción
+
:
:
ay dsonlosextremosy bycson losmedios.
0a
Por ejemplo, en Iaproporción
;
:
*
o 3 : 5 :: 6 : 1.0; 3 y 10 son los extremos y
5 y 6 son los medios.
. Cuando, en una proporción, los medios o los extremos son iguales, la proporción
recibe el nombre de proporción continua.
39204
Porejemplo, i: v
-:
-
sonoroporcionescontinuas.) Í '9
27'roo 20
r
. El término que se repite en una proporción continua se denomina media propor-
cional de los términos no repetidos. Así:
En la proposición ]
:
),
n es Ia media proporcional de los términos 3 y 27.
927
. Cada término en una proporción con todos sus términos diferentes se denomina
cuarta proporcional de los tres términos restantes de la proporción.
Por ejemplo, en Ia propo.clón 9
-
!,
*es cuarta proporcional de 8, 3 y 4.
Así, en la proporció
"
+
:-
l,
a
"tcuarta
proporcional d.e a, b y c.
bd
Matemática griega, esposa de
Pitágoras. Lueqo cie la muerte de
su esposo, dirigió la escuela pita-
górica. Escribió tr¿tados sobre la
proporción áurea, que es un nú-
mero algebraico que se aplicó en
la confrucción de templos y de
obras de ¿rte.
Propiedod fundomenlol de los proporciones
En toda proporción se cumple que el producto de
os medios es igua al producto de los extremos
AC
En qener¿l,si -
:
-,
enlonces, a x d -
bx c.
"bd
Por ejemplo, en Ia proporció.r 1 : I ,. tiene que:
'1015
8 X 15 : 120y10 X 12 : 1,20,porlotanto, 8 X 15 : l0 12
La propiedad fundamental de las proporciones permite verifi.car si un par de razo-
nes forman una proporción y también permite hallar el valor de cualquier término
desconocido en la proporción.
n Santillana
I
l0

102. Determinar, en cada caso, si el par de razones
representan una proporción.
126
a.
32' t6
12 x 16 : 192y 32 x 6 :
192
126
"'32 16
5/
b._
0,25
'
O,75
5 X 0,75:3,75y7 X 0,25: 1,75
57
" 0,25 0,75
64
c. -y-
8'3
3 X 6 : 18y4 X 8 : 32,luego3 x 6 + 4 X 8.
64
Por lo tanto, las razones y
-
no establecen una
8'3
proporción.
Encontrar dos proporciones a partir de las si-
guientes igualdades.
0,3X4:2XO,6
En este caso 0,3 y 4 pueden ser extremo s y 2 y 0,6
pueden ser medios, entonces, una proporción es:
0,3 0,6
24
Otra proporción puede ser:
4 0,6
2 0,3
Así, las proporciones cumplen la propiedad fun-
damental.
Determinar la media proporcion ul
"r!
:9
.
4a
Se aplica la propiedad
fundamental de las proporcrones.
Se multiplica y se extrae la raí2.
media proporcional de 4 y 9 en
o _9
4a
q2:4X9
a2:36
u-o
Por lo tanto, la
a9
esa:6.
4a
I
I
I
a
I
I
t
i
I
I
I
[,
Encontrar el término desconocido de cada pro-
porción.
n8
a.
-:-
2,5 5
nX5:8X.2,5
8\2,5
rl
-
5
n:4
Por lo tanto, en la proporció
"
:
:2
,n :
n.
) 5
5X3:bxl20
, 5.3 I
t20 8
I
Por lo tanto, b :
-
8
Se apltca la propiedad
fundamental
de las proporciones
Sedespelanyse
real i za n I os operociones.
Se oplica la propiedad
fundamental
de las proporctones,
Sedespejabyse
rea liza n I as operactones
en la proporción dada.
b.5:!
r20 3
Determinar el valor de x, si las medidas de los
lados correspondientes de los dos triángulos son
proporcionales.
E
B
a:3
C b:.1 A F e D
Como la medida de los lados de los dos triángulos
son proporcionales se cumple que:
ad
be
36
4e
3Xe:6X4
^-
o
c-o
Además,
ad
cf
36
sf
3xf:6xs
f:10
Por lo tanto, las medidas de los lados desconocidos
del triángulo DEF son: e :
8 y f
: 10.
5e remplazan los valores.
Se aplica la propiedad
lurdonpntol de lo, proporcionet
5e despeja e y se realtzan
las operaciones.
Se remplazan los valores.
Se aplica la propiedad
fundamental de la, p,opot, ione>.
5e despeja f y se realizan
las operaciones
Fr*p*re icn
d-6

103. Estdndor: penscrmienio vo riccioncl
Escribe, frente a cada razón, otra razón para for-
mar una proporción.
8
d.-
3
5 1 000
10 2.000
20 4.000
25 5 000
7.000 70
10.000 r00
14.000
.t35
2t 000 205
93
o-i-
6'4)'2
t2
h.- k.
54
2I
i.- l.-
36
4
e-
6
5
f.-
3
1
a.
2
2
b.
5
3
c.
7
Determina si los datos de cada tabla conforman o
no una proporción. Explica tu respuesta.
a. b.
Gasolina Distancia
(cm3) (km)
os
on
te5.
e.
f.
o
b'
h.
D
los
))
o
b
h.
b.
c.
1m
5X3:15X1
6X2:12Xl
5X6:10X3
8X10:20X4
-9 54
2a
3x
t2
Escribir ocho proporciones a partir de cada igual-
2X.3:l\.6
3X4:2X.6
4X6:8X3
lX4:2X2
'
@
Er.rr"ntra el término que falta en cada proporción.
3q
48
1_
ls
a2I
212
).
0,25 1,2
3a
1
3 _a
24
15 10
3
z5
;- e
t4
1r
f;)
Escribe las razones que plantea cada situación y
r,
determina si son o no proporciones. ij
c.
En una ciudad A hay 3 carros por cada 120 per-
sonas y en una ciudad Bhay 2 autos por cada
80 personas.
En el laboratorio de un colegio Ahay 6 compu-
tadores por cada 35 estudiantes y en un colegio
Bhay 12 computadores por cada 60 estudiantes.
En un bus viajan 45 personas sentadas y en 4
buses viajan 225 personas sentadas.
Soluciono problemos
(s) x(m)
O
ro. trabajar 5 horas diarias, Daniel .".iU" o, ii
salario de $ 350.000. ¿Cuántas
horas al día debe
trabajar para recibir $ 490.000?
La razón de consumo de agua por persona en un
día caluroso es3,75litros por cada3 personas. En
las mismas condiciones, ¿cuántos litros de agua
consumen diariamente 7 personas?
1{
@
Urru caja de 12 colores cuesta $ 15.000 y rrrr" .uiu li
de 48 colores cuesta $ 55.000. Determina si las ra-
zones entre las cajas de colores y el precio forman
una proporción. De no ser así cambia el precio de
la caja de 48 colores para formar una proporción.
tI
@
U"u caja de 12 colores cuesta $ 15.000 y una caja
de 48 colores cuesta $ 55.000. Determina si las
razones entre las cajas de colores y precio forman
una proporción. De no ser así cambia el precio de
la caja de 48 colores para formar una proporción.
fl
f"t., de Mileto utilizó un método interesante para
medir la altura de la pirámide de Keops, aplicando
las proporciones .
'..N
MN MP
AB AP
Calcula la altura de la pirámide de Keops, teniendo
en cuenta que Tales utilizó un bastón de 1 m de
largo que proyectó una sombra de 3 m, cuando la
pirámide proyectó una sombra de 438 m.
:idos
728
L.
a2l
nes

104. I
I
I
i¡
ll
t¡
:
ii
il
I
Propiedodes de los proporciones
En una proporción se cumplen también las siguientes propiedades:
lol
,,iC4
i<;5antiti¿¡a
abbd
v -:-
CdAC
ac
Sir:7,entonces,
T12
Como se tiene:
336
I3
_-
:
_,ya
que 12 X 3 : 36y I X 36 :
36.
t2 36'.
JJO
::
-,
yaque 36 X I :36y3 X 12: 36.
I 12'-
Sil:1,entonces.
bd
alc a a-c a
b+d:iY b-d: b
alc c a-c c
b+d: dl b4:¡
co-o I
6
8+4 12 8
-,
yaque 12 X 6 :
72 y 8 X 9 :
72.
6+3 9 6'.-
8-4 4 8
_
:
I
:
, 1ra Que 4 X 6 : 24y 8 X 3 :
24.
6-3 3 6'
4
J
, se tiene:
^.4
c
5l_:_,entonces,
bd
a-fb c-fd a-b c-d
v-
bdbd
a-lb c*d a-b c-d
l-
acac
_2515
Como se tiene:
20 12
25+20 L5+12
-
:
-,
ya que 45 X 12: 540
20 t2
y27 X2O:540.
25-20 t5-Í2
_
:
_ ,yaqueS^15:75
25 15
y3X25:75.
Si
a: c,entonces,
bd
a-fb c'ld
a-b- c-d
249.
LOmO Se ltcne:
t66
24+16 9+6
vaque-10 v
3 -
120
24-t6 9 6'
y15x8:120.
ffi je
ñaffi§
Determinar larazón d,e n a2
"i'
:2
.
58
u)
Como i
:
i,entonces,
se puede cambiar el lugar
58
de los medios:
n _ 5 Se aplta la primera propiedad
2 g de los proporciones.
Por lo tanto, la razón d,e n u2
",
1.
8
Determinar larazón de n -t m a n si
n
-
36
m40
^n36
Como-:-,entonces:
m40
n I m
-
36 + 40
Se aplica la tercera propiedad
n 36 de las proporciones
nlm
_76 _19
Sesuma.
n369
Por lo tanto, la razón de n I m u ,
"r
2.
9

105. Determinar las edades de Diana y Andrea si
Andrea es la mayor. La razón entre las edades
¿-
es
j
v la diferencia de las edades es 3 años.
5
Si ri es Ia edad de Andrea y m es la edad de Diana,
entonces:
n5
m4
n-m:3
n-m 5-4
5e establece la razón
entre las edades.
5e plantea la diferencia de edades.
Se aplica la propiedad
de las proporciones
5e remplaza n -
m y se resta.
3:1
m4
c.
d.
Determina larazón de x a3,si
r
:
3
4tl
Determina los valores desconocidos en cada una
de las siguientes proporciones.
ab
a. _:_Ya-tb:14
9 12'
ab
-:-va-b:756 7'.
11 44
-:-vb-a:15a b'
315
-:-valb:42
ab
a40
-:-va-b:7
b t2'
2a
-:-vb-a:7713 b'
17a
-:-va-lb:1386 b'
Soluciono problemos
Halla el número mayor de tres números que son
proporcionales a 2, 5 y 8, sabiendo que Ia suma de
los dos números menores es 35.
b
Ia diferencia entre dos números es 3 y su razón es
3X4:1X
m: 12
n5
En-:-
m4
Está ndar: pe n sc mi ento va ri c ci on a i
m
Se aplica la propiedad
fundamentol de las proporciones.
Se despeja m y se simplifica.
se tiene que:
Se remplaza el valor de m.
Se aplica la propiedad
12 fundamental de las proporciones
Se despeja n y se simplifica
4Xn:5X
2
n
4
n: 15
1
Por lo tanto, las edades de Diana y Andrea son 12
y 15 años, respectivamente.
Larazón entre los pesos de |uan y su padre es 2 : 5,
si sus pesos suman 105 kg,
¿cuánto
pesa Juan y
cuánto pesa su papá?
Dos hermanos compran una finca por $ 30.000.000,
invirtiendo cada uno a razón de 3 :7 .
¿Cuánto di-
nero aporta cada uno?
Una pareja ahorra mensualmente en su cuenta
común a razón de 4 : 7. Si Ia diferencia entre lo
que ha ahorrado cada uno es de $ 8 10.000, ¿cuánto
dinero tienen en la cuenta?
En una finca se yenden canecas de leche y docenas
de huevos arazón de 15 :6. Si en el último mes
en esta finca se recibió por concepto de ventas
§ 4.050.207,
¿cuánto dinero se recibió por Ia leche
y cuánto por los huevos?
Un auto recorre 80 km cada hora. Responde:
a.
¿Cuántos kilómetros recorre en 3 horas?
b.
¿Cuál
es la razón entre los tiempos recorridos
si el tiempo de recorrido es de 5 horas?
c.
¿Cuál
es Ia razón entre las distancias recorri-
das?
d.
¿Qué
sucede con la distancia recorrida si se
triplica el tiempo?
¿En
qué proporción se deben mezclar dos tipos
de café Ay B, de precios $ 9.000 y $ 15.000 por ki-
logramo, para que resulte un café cuyo precio sea
to5
o Santillana I I0 ],1
'
il-
I
Ib

106. Filósofo y matemátrco griego. 5e le
consider¿ uno de ros siete sabios
de Greci¿ Gracias a su trabajo de
proporcionalidad de segmentos,
calculó la altura de las pirámides
de Egipto por la sombra que estas
proyectaban.
Proporc¡ono I ¡dod d irecto
En varias situaciones es necesario reahzar mediciones, es decir, asignar cantidades a
algunas propiedades que caracterizan a los objetos y a los fenómenos.
De esta forma, a todas las cualidades que caracterizan un cuerpo o fenómeno y que,
a su vez, dicha cualidad permite ser presentada en términos numéricos se denomina
magnitud.
Se denomina magnitud a una cualidad de un objeto o fenómeno a la cual se le puede
asignar medida. Por ejemplo, la temperatura, la longitud, el tiempo y el peso son
magnitudes. Toda magnitud necesita de un valor numérico que represente su medida,
valor que se denomina cantidad y que resulta de comparar o medir una magnitud.
Se denomina cantidad al valor numérico que resulta de medir una magnitud, Por
ejemplo, el peso de Andrés es 75 kg.
Cuando se realiza el análisis de una situación o fenómeno, se estudia la relación que
existe entre las magnitudes, por lo tanto, es indispensable presentar las cantidades que
pueden tomar las magnitudes, en tablas y en gráficas en el plano cartesiano, como se
muestra en el siguiente ejemplo.
En la tabla se indica el cambio de tem-
peratura que presenta cierta cantidad de
agua al ser calentada, conforme pasa el
tiempo. La temperatura (7) se encuentra
medida en grados Celsius y el tiempo (r)
en minutos.
Una vez se tienen las cantidades que
indican las medidas de las magnitudes,
se representan en un plano cartesiano
los pares de números determinados por
Ia tabla.
T("C)
048'121620
203250' 7393100
10 15 20
r (min)
correlocionodos
cuando al dlsminulr una de ellas, la otra también disminuye.
Por ejemplo, en el Mini-mercado Esperanza, don Luis lanza una promoción de arroz,
con el fin de incentivar la compra de productos en su negocio. Para ello, relaciona
en una tabla el peso (en libras) del arroz y el precio (en pesos) correspondientes a la
promoción. Así,
precio ($)
Mog n itudes directa rnente
Se puede afirmar que las dos magnitudes son direc-
tamente correlacionadas, ya que, cuando aumenta
Ia magnitud peso también aumenta la magnitud
preclo.
2000
1000
234
Peso (1b)
I to¿
ÍOO
l.Santilana
Tales de Mileto
624a.C.-547a.(.
1 2 3 5
r 000 r 800 2 500 4 000

107. 5 10 t5 20 25
't0
20 30 40 s0
Mognitudes
d irecto mente proporcionc les
Dos magnitudes son directamente proporcionales si larazón entre cada medida de
una de ellas y la respectiva medida de la otra es igual a una constante.
Dos magnitudes directamente proporcionales cumplen con lo siguiente:
. Estándirectamentecorrelacionadas.
. La razón entre dos cantidades que se corresponden es siempre la misma.
Por ejemplo, Nicolás y su hermano entrenan patinaje. Para controlar su rendimiento,
ellos registran el número de vueltas que realizan y el tiempo que emplean al practicar
este deporte.
Tiempo (min)
Número de vueltas
Se puede afi.rmar que cuando el tiempo aumenta, el número de r,-ueltas realizadas
también aumenta; entonces, el número de i,.ueltas y el tiempo son magnitudes direc-
tamente correlacionadas.
Luego, se confirma que Ia razón entre cada par de valores correspondientes a las
magnitudes relacionadas es siempre igual
10
-:2510 15 20
Como larazón ente cada par de cantidades correspondientes es siempre el mismo
resultado, se dice que la razón es constante y, por tanto, las magnitudes son directa-
mente proporcionales.
El valor constante obtenido en cada división se llama constante de proporcionalidad,
para este caso es 2.
Si x es la medida de una magnitud A y y la medida de una magnitud B, se dice que A y
B son directamente proporcionales si se cumple que l:
k, donde k es la constante
de proporcionalidad.
Los valores de las magnitudes xy y se relacionan mediante Ia expresión: y : k X x.
Así, en el ejemplo anterior los valores del número de vueltas y el tiempo se pueden
relacionar mediante la expresión:
n:2Xt
La representación gráfica de la relación tiempo-número de vueltas se muestra en la
figura 1.
Gráficamente, se puede determinar si las magnitudes son directamente proporcio-
nales.
Dos magnitudes son directamente proporciona es si al unir los puntos en el plano
cartesiano que representan los pares de valores determinados por la tabla, forman una
lÍnea recta que pasa por el orrgen.
50
-a
25
4030
-'l
20
-l
Para entender el uso de las es-
calas en los mapas o los dibu-
jos técnicos Escala es la razón
entre la distancia medid¿ sobre
un mapa y la difancia corres-
pondiente en l¿ realidad.
No. de l.ueltas
510152025
Tiempo (min)
Figura 1
/
50
40
30
)n
t0
Estándar: pen sam ienio variacio nal
Y esto que oprendi,
¿PARA QUE ME SIRVE?
I
t0?
;
,o Santillana l l 0:l
;l
roil

108. Fropiedcd d* lcs r=:cgr:É?r:d*s
d i reet* ¡-nenÉ* pr* pGá"eá *
gr* l*s
Si A y B son dos magnitudes directamente proporcionales, donde m y n son medidas
de la magnit ud, A; py q medidas de la rnagnitud B, entonc
"r,*
:
P
.
nq
Esta relación corresponde a la propiedad de 1as magnitudes directamente propor-
cionales.
m ffjemp[es
Determinar si las magnitudes representadas son La siguiente tabla mues-
directamente proporcionales. tra la variación del perí-
metro de un cuadrado en
relación con la longitud
de su lado.
a.
0123x
Como la línea recta pasa por los puntos: (1, 2),
(2,4), (3,6) se tiene que:
a. Determinar si las magnitudes son directa-
mente proporcionales.
A medida que aumenta la longitud del lado del
cuadrado aumenta el perímetro, por tanto, las me-
didas son directamente correlacionadas. Ahora, la
razón entre cadapar de valores correspondientes
a las magnitudes es:
9:¿ 9:+ Y:+ !:+ 4:+
23456
Como la razón entre cada par de valores corres-
pondientes es siempre el mismo resultado, se
afirma que las magnitudes son directamente pro-
porcionales.
b. Hallar el valor de la constante de proporcio-
nalidad.
Como las magnitudes son directamente propor-
cionales, la constante de proporcionalidad es:
9:+
2
Por lo tanto, 4 es la constante de proporcionalidad.
c. Encontrar la expresión que representa la re-
lación entre el perímetro de un cuadrado y la
longitud de su lado.
Sip es el perímetro del cuadradoy llalongitud de
su lado, entonces:
24
-] -)
-L-L
I2
Por lo tanto, Ias magnitudes son directamente
proporcionales porque larazón entre sus medidas
es constante.
0
Como la línea recta pasa por los puntos: (1, 1),
(1,5,2), (2,3), (2,5,4) se tiene que:
1234
_
- 1 _:1,33 _:1,5 _:1,6
I 1,5 ) )\
Por lo tanto, las magnitudes son directamente
correlacionadas pero no son directamente pro-
porcionales, porque la razón entre sus medidas
correspondientes es diferente. Además, la línea
recta no pasa por el origen.
6
-a
-)
v
4
b.
I
I
!
I
I
¡
:
I
¡
I
0,5 1 1,5 2 2.5 .{
lhñ I ^.-
..,
ilu I ',)dn'.lllln¿
P:axl

109. ! Escribe Y si la afirmación es verdadera o F, si es
!5 Soluciono Droblemos
falsa. |ustifica tu respuesta con un ejemplo.
c.
La edad de una persona y su peso en kg son dos
magnitudes directamente correlacionados.
Dos magnitudes directamente proporcionales
son Ia masa de un cuerpo y el volumen que este
ocuPa.
El lado de un cuadrado y su perímetro son
magnitudes directamente proporcionales.
El número de libros leídos es directamente
proporcional a la edad del lector.
Dos magnitudes directamente correlacionadas
son siempre directamente proporcionales.
El costo de kilovatio-hora de energía de una casa
de estrato I,2 o 3 es de $ 280, mientras que para
una casa de estrato 4,5 o 6, es de $ 1.350.
a. Construye una tabla que muestre el costo de
diferentes cantidades de kilovatios-hora.
b. Determina si las magnitudes son directamente
correlacionadas y si son directamente propor-
cionales.
c. Representa gráficamente los datos.
@
fo, estudiantes de matemáticas realizan una prác-
tica en la que miden el perímetro y el diámetro de
cinco circunferencias. Los resultados se presentan
en Ia siguiente tabla.
Diámetro (cm)
Perímetro (cm)
5 | 10]s | 20
1a
L)
15,7 78,531,4 | 47,1 | 62,8
c.
e.
Representa gráficamente los datos.
Determina si las magnitudes son directamente
proporcionales
Halla el valor de la constante de proporcionali-
dad.
Encuentra la expresión matemática que rela-
ciona las magnitudes.
Halla el valor del perímetro de las circunferen-
cias cuyo diámetro es 2 cm, 12 cmy 30 cm.
e.
Clasifica las magnitudes representadas en las si-
guientes gráficas en directamente correlacionadas
o directamente proporcionales. Halla la constante
de proporcionalidad a las que les corresponda.
v
t2
8
4
0
6121824x
Las siguientes tablas corresponden a magnitu-
des directamente proporcionales. Complétalas,
represéntalas gráficamente, halla la constante de
proporcionalidad y la expresión matemática que
las representa.
c.
/
300
a,
b.
d.
v
t6
12
8
4
r 1,1 |
18,s27833,3447
soi
Un motor gira a razón de 800 vueltas por cada
minuto. ¿Cuánto tiempo emplea en dar 1.000.000
de vueltas?
Realiza aquello que se indica en cada caso.
a. Determina el peso de la masa que debe suje-
tarse del resorte para que se estire 5 cm.
l
5cm
I
(,
¿Cuánto
se estirará un resorte con una masa de
22,5kg?.
L ,---
u'
Volumen (cmr¡
'
il
lr
i Masa (9)
i
bq
,¡, !:r¡titi-. r¡ l ] ftil
a
Estrl nd ar: pe n sc m i e ntc vari a ci o n a i
il
ül
a.
b.
f,
0246x

110. Proporcionolidod inverso
Mog nitudes i nverso mente
correlocionodos
Dos magnitudes son inversamente correlacionadas cuando al aumentar una de ellas,
la otra disminuye.
Por ejemplo, la siguiente tabla muestra los va-
lores correspondientes a dos magnitudes A y B.
Ahora, se representan en el plano cartesiano los
pares de números determinados por la tabla. A
partir de los vaiores de las magnitudes, se puede
afirmar que cuando la magnitud A aumenta,
la magnitud B disminuye; por tanto, las mag-
nitudes A y B son magnitudes inversamente
correlacionadas.
B
80
60
40
20
0
Mog n itudes i nverso mente
proporcionoles
Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando el producto de cada me-
dida de una magnitud por la respectiva medida de la otra magnitud es igual a una
constante.
Dos magnitudes inversamente proporcionales cumplen con lo siguiente:
. Soninversamentecorrelacionadas.
. El producto de sus cantidades correspondientes siempre es el mismo.
Si x es la medida de una magnitud Ay y es la medida de una magnitud B, se dice que
A y B son inversamente proporcionales si se cumple que:
y x x :
k, donde k es la constante de proporcionalidad.
Los valores de las magnitudes xy y se relacionan mediante la expresión:
7
It Ejempto
En una carretera de72km se va a instalar peajes se-
parados entre sí por la misma distancia. Determinar
cuántos peajes y a qué distancia deben quedar sepa-
rados, teniendo en cuenta que unos ingenieros deci-
den registrar algunas posibles opciones en una tabla.
Ahora, el producto entre cada par de valores corres-
pondientes de las magnitudes es:
1X72:72
2X36:72
3X24=72
4X18:72
Como el producto entre los valores correspondientes es
el mismo, entonces, las magnitudes son inversamente
proporcionales.
La constante de proporcionalidad inversa en este caso
es 72.
I 2 3 4
80 70 60 50
Astrónomo y matemático griego. Es
considerado el padre de la astrono-
mia matemátic¿ por ser el primero
en hacer un modelo de planetas
basado en un modelo matemáti(0.
Estudió l¿ teorÍa de las proporcio-
nes, lo que indica su gran entendi-
miento de los números.
k
1C
I 2 3 4
72 36 24 r8
En este caso, se puede afirmar que las magnitudes son
inversamente correlacionadas, ya que mientras una de
las magnitudes aumenta la otra disminuye.
ilo
tllfl
i
"
(:ntir:r¡¡
Eudoxio de
(nidos
390 a.
(.-387
a. (.

111. Propiedod de los mcgnitudes
inversomente proporcionoles
Si A y B son dos magnitudes inversamente proporcionales, m y n las medidas de la
magnitud A; p y q las medidas de la magnitud B, entonces,
*
-
q
.
nP
Esta relación corresponde a la propiedad de las magnitudes inversamente propor-
cionales.
30
d--
n
Establecer si las magnitudes representadas en la
gtátfica son inversamente proporcionales.
/
8
7
6
5
4
J
2
1
0
2 3 5 6 10
15r0 6 5 3
x Ejempl,os
ffi
O"t"r-inar si las magnitudes relacionadas en
la tabla son inversamente proporcionales. Si lo
son, hallar la constante de proporcionalidad y la
expresión que las relaciona.
Las magnitudes son: número de días necesarios
para reahzar cierto trabajo y cantidad de obreros.
Las magnitudes son inversamente correlaciona-
das, ya que, mientras una de las magnitudes au-
menta, la otra disminuye.
Ahora, el producto de las medidas correspondien-
tes a las magnitudes son:
2X15:30 3X10:30 5X6:30
6X5:30 10x3:30
La magnitudes son inversamente proporcionales,
pues el producto entre las medidas correspondien-
tes es constante.
Si d representa los días de trabajo y zr representa el
número de obreros, entonces, la expresión que las
relaciona es:
Se observa que cuando los valores de x aumentan,
los valores de7 disminuyen, por lo tanto, las mag-
nitudes son inversamente correlacionadas.
Como Ia gráfica pasa por los puntos (1, 8), (3, 4),
(5,2), (7, L),entonces: 8 X I : 8, 4 X 3 : 12,
2X5:10,1X7:7.
Las magnitudes son inversamente correlaciona-
das, pero no inversamente proporcionales, ya que,
el producto entre las medidas correspondientes no
es constante.
(# U, bus recorre diariamente el mismo trayecto.
La siguiente tabla muestra la velocidad del bus
durante el trayecto y el tiempo que gasta en rea-
lizarlo.
Determinar si las magnitudes son inversamente
proporcionales.
A partir de los datos es posible afirmar que a
medida que aumenta la velocidad, el tiempo dis-
minuye. Por lo tanto, las magnitudes son inversa-
mente correlacionadas. Ahora, el producto entre
cadapara de valores correspondientes a las mag-
nitudes es:
60 X 5:300 50 X 6:300 40X7,5:300
30 x 10 : 300 20 X 15: 300
Como el producto entre cada par de valores co-
rrespondientes es siempre igual, entonces las mag-
nitudes son inversamente proporcionales.
t,f
60s0403020
5 675 10 15
osantillana lll
Estándar: pe n sa m t e n to va ri acion al

112. ,: $
ao-rleta las siguientes tablas si se sabe que las
'.
magnitudessoninversamenteproporcionales.
i,Ai
i
¡l
BI
i_l
!---.,
A\
ri
,Bl
..
S)
O","rmina cuáles de las magnitudes relacionadas
ll en cada tabla son inversamente proporcionales.
6 2 5 30
90 54
2 10 6 15
30 75
.'
fi)
O"t"tmina si las magnitudes planteadas en cada
situación son inversamente correlacionadas o in-
versamente proporcionales. Explica por qué.
a. El mercado mensual y el día del mes en que
estamos.
b. El estrato de la zona y el subsidio para los ser-
vicios de ag:uay deltz.
c. La longitud del lado de un cuadrado y su área.
d. El diámetro de un orificio y el tiempo que tarda
una determinada cantidad de agua en salir por
é1.
e. La distancia recorrida y el tiempo empleado en
recorrerla a una misma velocidad.
Grafícalas y halla Ia expresión matemática que las
relaciona.
9 2 100
8 1.600
6 1.200
4 700
3 B
4 6
6 4
8 3
10 6
20 3
30 2
60 1
12
't
5
9 2
6 3
)
) 6
Proporcionalidad invers*
Construye la tabla de datos que corresponde a las
siguientes gráficas de magnitudes inversamente
proporcionales y encuentra la expresión matemá-
tica que relaciona las dos variables.
by
35
30
25
)n
15
10
5
0
ay
2l
18
15
l2
9
6
3
0
v
1B
16
l4
l2
10
8
F
4
2
0
8101214f
Soluciono problemos
GD
U" una clase de electricidad se midió la corriente
que pasa por diferentes
conectan a una pila de 9
fueron:
a.
b.
Representa los datos gráficamente.
Determina si las magnitudes son inversamente
proporcionales.
Halla el valor de la constante de proporcionali-
dad.
Encuentra Ia expresión matemática que per-
mite relacionar las dos magnitudes.
Halla el valor de la corriente para una resisten-
cia de 2,5 y 9, respectivamente.
resistencias cuando se
voltios. Los resultados
d
e.
La gráfrca muestra el número de días que dura un
cilindro de gas, dependiendo del número de horas
que diariamente permanece encendida la estufa.
Responde:
No. de dias
¿Cuántos días dura
el cilindro si la es-
tufa está encendida
10 horas al día?
Si el cilindro dura
30 días,
¿cuántas
horas al día está
encendida Ia es-
tufa? 12345678x
No. horas al día ^
a
b
2 4 6 8t0l2t4x
1t5 345 6
9 6 3 2t5
I
1[Z
llz
! ,.;
S¿ntil!:¡r¡i
üllllllr

113. Están da r: p e n sa m i e nto va r i aci on al
Aplicociones
de lo proporc¡onol¡dod
Reglc de tres simple
La regla de tres simple es el procedimiento que permite encontrar términos desco-
nocidos en una proporción en Ia que intervienen dos magnitudes.
Reglo de tres simple directo
Un problema se denomina regla de tres simple directa cuando las magnitudes que in-
tervienen en el problema son magnitudes directamente proporcionales. Para resolver
un problema de regla de tres simple directa es necesario realizar los siguientes pasos:
. Primero, se nombra la cantidad desconocida con una letra y se elabora una tabla
con las cantidades que intervienen.
. Segundo, se plantea una proporción de acuerdo con la propiedad de las magnitu-
des directamente proporcionales.
. Finalmente, se encuentra el término desconocido.
Por lo tanto, la cantidad de agua que contiene el
tanque cuando el nivel ha bajado 1,8 m es 23.800
litros.
fl
Si O revistas científicas valen $ 31.200, ¿cuánto
es
el costo de 9 revistas?
Las magnitudes número de revistas y precio son
directamente proporcionales, pues, al aumentar el
número de revistas se espera que el precio de las
revistas también aumente proporcionalmente. Sip
es el precio de Ias 9 revistas, entonces, la tabla que
representa la información es:
6 9
31 .200 p
La proporción correspondiente es:
6 3t.200
La proporción correspondiente es:
2,5
_
85.000
0,7 c
2,5 X c: 85.000 X 0,7
85.000 x 0,7
c:
)\
c:23.800
T 25 07
85.000 C
5e aplica la propiedad
fundamental
de las proporciones.
Se despeja c.
Se realizan las
operactones.
ep
6X'P:31.200x9
31.200 x 9
P:
Por Io tanto, el precio de
es $ 46.800.
Se aplica la propiedad
fundamental
de las proporciones.
Se despeja p
Ias 9 revistas científicas
6
46.800
* Ejempl,os
#
r" tanque de 2,5 m de profundidad contiene
85.000 litros de agua cuando está lleno. Si el
nivel del agua baja 1,8 m,
¿qué cantidad de agua
contiene?
Las magnitudes nivel del agua del tanque y can-
tidad de agua son directamente proporcionales.
Como el nivel del agua baja 1,8 m, se tiene que:
2,5m-1,8m:0,7m
Entonces, el nivel del agua es 0,7 m.
Si c es la cantidad de litros contenida en el tanque
después de bajar el nivel 1,8 m, entonces, la tabla
que representa la información es:
tilllilltr
-^-
.a
-L- -

114. Reglo de tres simple inverso
Un problema se denomina de regla de tres simple inversa cuando las magnitudes
que intervienen en el problema son magnitudes inversamente proporcionales.
Para resolver un problema de regla de tres simple inversa se procede así:
. Primero, se nombra la cantidad desconocida con una letra y se elabora una tabla
con las cantidades que intervienen.
. Luego, se plantea una proporción de acuerdo con la propiedad de las magnitudes
inversamente proporcionales y se busca el término desconocido.
x Ejemptos
@
," una finca hay pasto para alimentar 600 reses
i @
Un vehículo gasta 6 horas para viaiar de un lugar
durante 5 meses. Si se venden 100 reses, ¿para
cuánto tiempo alcanzará el pasto que se tiene?
La relación entre la cantidad de reses y el tiempo
de duración del pasto es de proporcionalidad
inversa, ya que, al disminuir la cantidad de reses
se espera que aumente el tiempo de duración del
pasto proporcionalmente.
Como se venden 100 reses, la cantidad que hay
ahora en la finca es 500.
Si f es el tiempo de duración del pasto, al reducir
en 100 reses la cantidad original, entonces,
Tiempo (meses) Cantidad de reses
La proporción correspondiente es:
t:6
Por 1o tanto, el pasto para 100 reses menos alcan-
zarápara 6 mese¡.
llr{
l/r I _ .--.:¡!---
a otro a una velocidad de 40 km/h. ¿Cuánto
tiempo gasta si viaja a una velocidad de 70 km/h?
El tiempo empleado ylavelocidad son magnitudes
inversamente proporcionales, pues, al viajar con
una mayor velocidad se espera que el tiempo em-
pleado sea menor. Si r es el tiempo empleado por
el vehículo en viajar a una velocidad de 70 km/h,
entonces, la tabla que muestra los datos es:
La proporción correspondiente es:
670
t40
6 x 40 :70 X'
?::::|fÍ,f,X!,"'d'o
6 X 40 de las orooorciones
t:
70
:3,43
yrr,rrurlrr.
Por lo tanto, con una velocidad de 70 km/h el
tiempo que se gastaría en el viaje es 3,43 horas.
Un edificio es pintado por 12 obreros en 15 días.
¿Cuántos
días emplearin20 obreros en pintar el
mismo edificio?
Las magnitudes número de obreros y días son
inversamente proporcionales. Si ú es el tiempo
empleado por los 20 obreros en pintar el edificio,
entonces, la proporción correspondiente es:
15 20
t12
15X12
t:- -9
20
Se aplica la propiedad
fundamental
de las proporciones
y se resuelve.
Por lo tanto, el tiempo empleado por los 20 obre-
ros en pintar el edificio es 9 días.
500
t
5X600
600
:500Xf
Se aplica la propiedad
fundamental
de las proporciones.
Se despeja t.
Se realizan las
operactones.
Tiempo (meses)
5 600
t 500

115. ---a:_
, ..-
de tres simple y luego, resuélvelo.
a. Pedro gasta de lunes a viernes $ 18.000 en
transporte.
b.
c.
d.
e.
Dos traductores tardan 10 días para traducir
un texto de inglés a español.
Juan gana al año $ 5.820.000.
María emplea 15 minutos en ir de su casa al
colegio caminando arazón de 3 m/s.
Una familia paga por un mes de energía una
factura de $ 129.000.
d.
e
@
U"" excursión de 60 personas lleva provisiones
para 15 días. Si se encuentran con 15 personas
que perdieron los alimentos,
¿cuántos
días podrán
quedarse hasta,terminar sus provisiones?
Un bus de pasajeros lleva una velocidad de 80
km/h y un camión de carga va a 50 km/h.
Responde:
Si parten de puntos opuestos, distantes 250 km
entre sí, a la misma hora y uno va al encuentro
del otro,
¿cuánto tiempo tardarán en encon-
trarse?
Si los dos parten del mismo punto y el camión
de carga sale antes, con una ventaja de 120 km,
¿cuánto tiempo tardará el bus en alcanzarlo?
Según una estadística realizada en un centro den-
tal,2 de cada 3 personas tiene caries. Si en la ciudad
hay 36.000 personas,
¿cuántos
tienen caries?
Un automóvil promedio tiene aproximadamente
600 cm de longitud y 150 cm de altura.
¿Cuál
es
el valor de la escala a, en la que están hechas las
siguientes representaciones?
t15
.c-^*¡rr--. I Il
@
tdentifica cuáles de las siguientes situaciones se . e
Plantea para cada situación un problema de regla
pueden solucionar aplicando regla de tres simple
y determina si es directa o inversa.
a. María compra 6 libras de arroz con $ 8.000,
¿Cuántas
libras compra con $ 12.000?
b. Stella tiene 7 hermanos. Si el menor tiene 5
años, ¿cuántos
años tiene el mayor?
c. Tres pintores pintan una casa en cinco días.
¿Cuántos
días necesitarán cinco pintores para
pintar la misma casa si cada pintor trabaja al
mismo ritmo?
Una familia consume en tres días 1,5 bolsas de
leche.
¿Cuántas
bolsas necesitan para toda la
semana?
fuan gasta $ 15.000 en transporte para 5 días
de la semana. ¿Cuánto dinero necesita para su
transporte en estos 5 días?
i5 Soluciono problemos
a. E: l'.a b. E: l:a c. E: l:a
12cm-
Dos niños juegan en un sube ybaja que tiene sus
lados de diferente longitud. Si para que el sube y
baja quede equilibrado,la relación masa longitud
debe ser la misma a lado y lado.
¿Cuánto
debe
pesar el niño para equilibrarse con la niña?
zo cm
--§-
50 cm
-
Un automóvil va de la ciudad A ala ciudad B en
2,5 h viajando a 68 km/h. Si en el regreso gasta 4
horas,
¿cuál
fue la velocidad de regreso?

116. Reglo de tres compuesto
En algunos problemas de proporcionalidad intervienen más de dos magnitudes. Por
ejemplo, para realizar una campaña publicitaria se debe tener en cuenta la cantidad
de personas que participan, el número de folletos que se repartirán y los días de du-
ración que tendrá la campaña. Para resolver este tipo de situaciones se utiliza la regla
de tres compuesta. La proporcionalidad compuesta se presenta cuando se plantean
proporciones en las que interüenen m᧠de dos magnitudes.
Propiedod fundomentcl
de lo proporcionolidod compuesto
A, By C son magnitudes, my n me-
didas de la magnitud A;
P
y q medi-
dasdelamagnitud Byry f medidas
de la magnitud C, como se muestra
en la tabla.
Al comparar la magnitudA con las magnitudes B y C se pueden presentar los siguien-
tes tipos de proporcionalidad.
Caso l. A es directamente proporcional a B y a C, entonces,
Caso 2. A es inversamente proporcional a B y a C, entonces,
Caso 3. A es directamente proporcional a B y a A es inversamente proporcional a C,
mDt
entonces,-:L1-.
nqr
La regla de tres compuesta es el proceso que permite solucionar problemas en los
cuales intervienen varias magnitudes.
Para resolver un problema de regla de tres compuesta se procede así:
. Primero, se ordenan los datos en una tabla.
. Lu€Bo, se compara la magnitud de la incógnita con cada una de las cantidades
restantes, para determinar el tipo de proporcionalidad que hay entre ellas, man-
teniendo constantes las otras magnitudes.
. Finalmente, se plantea la proporción teniendo en cuenta la propiedad fundamen-
tal de la proporcionalidad compuesta y se halla el término desconocido.
Por ejemplo, 5 fotocopiadoras gastan 6 minutos en realízar 600 fotocopias. Si 7 foto-
copiadoras funcionan duránte 10 minutos se logra sacar 1.400 fotocopias.
El tipo de proporcionalidad que existe entre la cantidad de minutos y las otras dos
magnitudes es:
. Como a más fotocopiadoras menos minutos, la proporcionalidad es inversa.
. Como a más fotocopias más minutos, la proporcionalidad es directa.
Es posible organizar la anterior información en la siguiente tabla:
iF?1.n- d"';-l"IiqI
-*
;t-,
La p ropo rc i ó n co rres pon d ienre es:
600 67600
10 5 1.400
m p, r
nqt
m q .t
nPr
tu6
li-,
h i ; C--+l¡-
I 400
m p
n q ¡

117. x Ejempl,os
Una digitadora.escribe 10.000 caracteres en dos días.
¿Cuántas digitadoras se
necesitan para digitar f.350.000 caracteres en 5 dias?
La tabla que relaciona las magnitudes dadas es:
I 10.000 2
X r.350.000 5
EI número de digitadoras es directamente proporcional a la cantidad de carac-
teres, ya que entre más digitadoras haya más caracteres serán digitados. Por otra
parte, el número de digitadoras es inversamente proporcional al número de
dÍas, pues entre más digitadoras haya menos días serán utilizados para desem-
peñar la labor. Por lo tanto,la magnitud número de digitadoras es directamente
proporcional a la magnitud caracteres para digitar e inversamente proporcional
a la magnitud días empleados.
De esta manera, se plantea la proporción teniendo en cuenta la propiedad de la
proporcionalidad compuesta, así:
1 10.000 5
x 1.350.000 2
r 50.000
Se resuelven las operaciones indicadas
Se despeja x y se simplifica.
\
x: 54
Se necesitan 54 digitadoras para digitar 1.350.000 caracteres en 5 días.
Hallar cuántos días puede alimentar Luis a sus 75 gallinas con24 kg de ali-
mento, si en el saco de alimento se indica que 12 kg alcanzan para20 gallinas
durante 15 días.
La tabla que relaciona las magnitudes dadas es:
Las magnitudes tiempo y número de gallinas son inversamente proporcionales y
las magnitudes tiempo y cantidad de alimento son directamente proporcionales,
entonces, se plantea la proporción teniendo en cuenta la relación de proporciona-
Iidad entre las magnitudes y Ia propiedad de Ia proporcionalidad compuesta, así:
t2
X-
24
x
x-
50.000
x 480
480 x 15
900
2.700.000
2.700.000 x r
15 75
-:-x20
90015
Se plantea la proporción
Se realizan las operociones.
Se resuelven los operaciones
: 8 indicadas, se despeja x y se simplifica
15 20 12
X 75 24
Por lo tanto, Luis puede alimentar a sus 75 gallinas por 8 días.
e¡Santillana I Ii
Está ndor: pe n sa m i ento va ri acion a I

118. Recupero informoción: 1
20 hombres
realizan los
Responde,
¿en
qué caso se utiliza la regla de tres
compuesta?
Soluciono oroblemos
Una barra de metal de 10 cm de largo y 2 cm2 de
sección pesa 5,45 kg.
¿Cuánto
pesará una barra
del mismo material de 5 cm de largo y 7 cm2 de
sección?
GD
t. cree que, para construir la pirámide de Keops,
trabajaron 20.000 personas durante 10 horas dia-
rias, y que tardaron 20 años en terminarla. ¿Cuánto
habrían tardado si hubiesen sido 10.000 personas
más y hubiesen trabajado 8 horas diarias?
Los vecinos de un barrio, en
Ia época de diciembre, colo-
can en las calles 1.200 faroles
que se encienden 8 horas al día,
ocasionando un gasto total de
$ 4.550.000.
¿Cuál
sería el gasto
si se colocan 600 faroles más y
se encienden 2 horas menos?
que trabajan 9 días, 8 horas diarias,
?
I
de una obra.
¿Cuántos
hombres más
IJ
será necesario contratar para acabar la obra en 10
días si se trabaja 6 horas diarias?
O
t, trabajo realizado sobre un cuerpo se calcula de
acuerdo con la ecuación W : F' d, donde F es Ia
fircr za aplicada y d, la distancia recorrida. Formula
una pregunta de acuerdo con cada tabla dada;
plantea Ia regla de tres compuesta para solucionar
el problema.
WFd
Trabajo Fuerza Distancia
r00 20 5
X 8 7
b.
WFd
Trabajo Fuerza Distancia
12 4 3
5 2 X
a
(Ott 15 cajas, cada,una de 12 crayones, cuestan
$ 75.000, ¿cuántas cajas de 18 crayones se puede
comprar con $ 109.375?
En una residencia estudiantil 8 personas pagan
$ 120.000 por 30 días de servicio eléctrico. ¿Cuánto
deberán pagar 6 personas por 8 días de servicio?
li O
,"r máquinas revelan 600 fotografías en 8 horas.
b.
Determina la relación entre el número de má-
quinas y el número de horas'empleado en
revelar las fotografías.
Halla la cantidad de fotos que es posible revelar
si se triplica el número de máquinas y se reduce
el número de horas a 6.
Determina la relación entre el número de má-
quinas y el número de fotos reveladas.
Halla las horas que deben funcionar el doble
de las máquinas para revelar el triple de las
fotografías.
c,
@
Cuatro llaves abiertas llenan en2,5horas una pis-
cina de 100 m3.
¿Cuántas
llaves deben estar abier-
tas para llenar en 1,5 horas una piscina de 324m3?
0
to sastres confeccionan 40 vestidos en 8 días.
¿Cuántos
días emplearía la mitad de Ios sastres en
elaborar el triple de vestidos?
La ley de gases relaciona la presión P con Ia tem-
peratura Tyelvolumen % así:
La presión P de una muestra de gas es directa-
mente proporcional a la temperatura T e inversa-
mente proporcional al volumen V.
Si un gas está sometido a una presión de 4 atmós-
feras ocupa un volumen de 3 litros a una tempera-
tura de 300 grados Kelvin,
¿a
qué presión se debe
someter un gas para ocupar un volumen de 4litros
a una temperatura de 350 grados Kelvin?
{i ¿
IrE
lB I osant¡ttana
10 cm
75 25 3
120 X 5

119. Está ndar: pen sa m t ento va ri a cion a I
Repo rtos proporciono les
En algunas situaciones se plantean problemas acerca de cómo distribuir de manera
p.opá.ional una magnituá con respecto a otra. Por ejemplo, al repartir una herencia
á. ucrr.rdo con la edaá de los herederos o una a¡rda humanitaria respecto al número
de afectados. Para resolver problemas relacionados con este tipo de situaciones se
utilizan los repartos proporcionales'
Un reparto proporcional es el proceso por el cual se reparte una cantidad en forma
directa o inversamente proporcional a ciertas cantidades previamente acordadas'
Repo rto directomente proporciono I
Repartir una cantidad s, donde s :
P
+ q I r, enpartes directamente proporcionales
a los númer os m, n y f, es hallar las cantidades P,
q y r, tales que:
m*n*t
p
:q:r_
mnt
x Ejempto
EI señor Guzmán dejó al morir una herencia de $ 45.000.000 para repartir entre
sus tres hijos en partes directamente proporcionales a sus edades' Si el menor de
ellos tiene 3 añoi, el otro tiene 5 años y el mayor tiene 8 años, ¿cuánto
dinero le
corresponderá a cada hijo?
Como la repartición es directamente proporcional, se realiza lo siguiente:
Si p, qy r son las cantidades que le corresponden respectivamente a cada hijo y el
dinero para repartir es $ 45'000.000.
Se tiene que:
p+q+r:45.000.000
P :q -t
3 5 8 5e Plantean
las ProPoraone¡
p*q-tr _
3+5+8
45,000.000
_
t6
P:
p'tq*r _
3+5+8
45.000.000
_
16
q: L4'062'500
p1-q-lr _r
3+5+8 8
45.000.000
_
r
168
r: 22.500.000
Por lo tanto, al hijo menor le corresponderá $ 8.347.500, al siguiente, $ 1a.062.500 y
almayor, $ 22.500.000.
t
J
8.437 500
!
5
!
5
:
Se aplica reparto Pro4orcional.
Se remplaza el valor de P + q + r.
5e despeia p y se simPlifica.
5e aplica reparto ProPorcional.
5e remplaza el valor de P + q + r.
Se despeia q
Y
se simPlifica.
Se aplica reparto Pro7arcioinal
5e remplaza el valor de P * q -l
r.
Se despeja r y se simPlifica.
tll ,.
rr'"antill¡na i ll
('

120. Reporto inversomente prCIporcionsl
Repartir una cantidad s, donde s : p * q I r, en partes inversamente proporcionales
a los números m, n y f, es hallar las cantidades p, q y r, tales que:
P _q _r
x Ejempl,o
El dueño de una fábrica de artículos deportivos decidió premiar a tres de los
arqueros de fútbol que patrocina. Él ofreció $ 15.000.000 para repartir entre los
arqueros de manera inversamente proporcional al número de goles que reciban
durante el campeonato. Al finalizar el campeonato los resultados de los tres ar-
queros fueron: Daniel20 goles, lúio 24 goles y Rodrigo 30 goles.
¿Cuánto
dinero
le dará el dueño de la fábrica a cada uno?
Como la repartición es inversamente proporcional, es decir, a mayor cantidad de
goles recibidos menor es la cantidad de dinero que gana, y el dinero para repartir es
$ 15.000.000, si d, jy r son las cantidades de dinero que le corresponden a Daniel,
Julio y Rodrigo, respectivamente, se tiene que:
d+j+r:15.000.000
d+j+r
5e aplica el reparto
i nve rsa me nte proporci o n a l.
15.000.000
I
8
1s.000.000
I
8
Se remplazan los valores.
1ll
mnt
111
++
mnt
1
20
d
1
20
d
1
20
111
++
20 24 30
_
j
_,
11
24 30
ir
J
- 1-T
24 30
_d
1
24
1
30
1
8
I
8
120.000.000 :20
d
d: 6.000.000
1s.000.000 _ j
120.000.000 :
24 j
/
:
5'000'000
15.000.000
_
r
120.000:000 : 30 r
r :
4.000.000
Se plantea la proporctón pora d.
5e resuelven las operacrones
5e despeja d.
P plant€o lo p,oao,, ion ooro j
5e resuelven las operaciones.
Se despejo j
5e plantea la proporción para r.
Se resuelven los operactones
Se despeja r.
. tzo
! ii'Ú
i ,e, S.rn¡illana
El premio se repartirá así: Daniel $6.000.000, fulio $5.000.000 y Rodrigo $4.000.000.

121. Está ndar: pe n sa m i e r¡to va ri acio n al
: Realiza la repartición de cada número en partes
directamente proporcionales.
a. 600 entre2,4,6.
b. 1.800 entre 3, 5,7 .
c. 3.000 entre 4, 5,6.
d. 7.500 entre 6, 8, 1 1.
e. 6.000 entre 1,2,3
f. 10.000 entre 1,4 y 8
t25
s.. 204 entre -, -, -." 236
25
h. 336 entre -, -
y 0,25.
3 6'.
Realiza la repartición de cada número en partes
inversamente proporcionales.
a. 165 entre 3, 5, 11.
b. 600 entre 2,4, 8.
c. 1.500 entre 5, 15,20.
111
d. 80 entre
248
111
e. 240 entre -, -, -.
326
Soluciono problemos
Para pintar el frente de sus casas tres familias
alquilan por 9 días un andamio. Si la primera
familia emplea 4 días en pintar, la segunda 3 días,
la tercera solo 2 y el alquiler del andamio tiene un
costo de $ 45.000,
¿cuánto dinero Ie toca pagar a
cada familia?
En un campeonato de baloncesto, en honor al
juego limpio, se tienen $ 10.200.000 para pre-
miar a los cuatro primeros equipos de manera
inversamente proporcional al número de faltas
cometidas en el desarrollo del campeonato. Si el
primer equipo cometió 25 faltas, el segundo, 15;
el tercero, 30 y el cuarto, 5,
¿cuánto dinero recibió
cada equipo?
En una competencia de natación se dispone de
$ 8.580.000 para premiar a los tres primeros na-
dadores que lleguen a la meta. Si el premio es
inversamente proporcional al puesto de llegada,
¿cuánto dinero recibe cada nadador?
Un padre deja de herencia a sus hijos un terreno
'
de 8.000 mz para repartirlo inversamente propor-
cional a sus edades que son 12,15y 20 años.
¿Qué
cantidad de terreno Ie corresponde a cada uno?
De acuerdo con el testamento del dueño de una
fábrica, se reparten $ 359.580.000 entre tres
personas en partes inversamente proporcio-
nales a su sueldo mensual. Determina lo que
le corresponde a cada persona si el sueldo del
)
menor es a del sueldo intermedio y este es
I
del mayor.
4
Una empresa ofrece un premio de $5.500.000 para
los cinco empleados de mejor cumplimiento labo-
ral. Al final del año reúnen los datos y observan
que Andrés faltó 1 vez, Mariana faltó 2 veces, |osé
faltó 4 veces, Lina faltó 4 veces y Martha faltó 5
En un colegio se tienen destinados $ 6.165.000
para salidas pedagógicas. El dinero se reparte de
acuerdo con el nivel y directamente proporcional
al número de estudiantes. La tabla muestra el
número de estudiantes en cada nivel. Determina
cuánto dinero Ie corresponde a cada nivel.
Para crear una empresa tres socios hicieron un
aporte al capital, así: uno de $ 3.000.000, otro de
$ 1.500.000 y el otro de $ 4.500.000. Después de un
año,las ganancias son de $ 18.000.000.
¿Cuánto
le
corresponde a cada socio si Ia repartición se hace
directamente proporcional al aporte?
Preesco ar 60
Básica primaria s60
Básica secundaria 600
Media vocacional 150
lz'
_-.rrti1i.r-.
¡
lC.
No. de estudiantes

122. I
¡
I
a
:
I
I
t
I
!
I
Porcentoies
Los porcentajes tienen diversos usos. Por ejemplo, en economía se relaciona con
impuestos (IVA), préstamos bancarios, descuentos en productos y alimentos, costo
de vida y estudios estadísticos, entre otros.
Se denomina porcentaje o tanto por ciento a todas aquellas razones en las que el
consecuente es el número 100. Se representa con el signo % que significa "por cada cien'l
Por ejemplo,
. 2o/ose lee 2.por ciento y es equivalente a la ,uró, L,que
significa "2 de cada 100".
. 4lo/ose lee 40 por ciento y es equivalente a la ,uró, 9,
que significa "40 de cada
100':
100
Un porcentaje o tanto por ciento equivale a una fracción cuyo denominador es 100,
por tal razón, un porcentaje se puede expresar como un número decimal
)¿,
a su vez,
todo número decimal se puede expresar como un porcentaje. Por ejemplo,
13%:
13
:
0,13
I
r00
ü+
Por ciento Fracción decimal Decimal
Para calcula r el f/o de un núme ro n, se multiplica el número n po, L,
es decir,
t-100
nx_.
100
Por ejemplo, para calcular el30Vo de 80 se procede así:
30 80 x 30 2.400
80x_:_-_-24
100 100 100
Por lo tanto, el 3oo/o de 80 es 24.
Támbién es posible determinar el tanto por ciento por medio de una regla de tres sim-
ple directa. Por ejemplo, se encuestó a 300 jóvenes y resultó que tan solo 120 estudian.
Para hallar el porcentaje de los jóvenes que estudian se procede de la siguiente manera.
Como el 100% es el total de estudiantes, es decir, 300, entonces, para determinar el
porcentaje de los jóvenes que estudian se organiza la información en una tabla así:
Laproporción correspondiente
"r-
-
100
.
I20 n
Luego n: 40.
Por lo tanto,40o/o de los 300 jóvenes encuestados estudia.
En general, para determinar qué porcentaje es la cantidad n de a cantidad m, se multiplica
por 1OO la razón 1,
es decir, a x loo
mm
ILL
),)
I i-:rn:rii;n¿:--i
300 r00
1)0 n

123. @
r, siguiente diagrama muestra el resultado de
las elecciones para la personería en un colegio.
Calcular la cantidad de votos obtenidos por cada
candidato, si hubo 1.000 votos.
tr |uan
tr Lina tr Miguel ! Carlos
La cantidad de votos obtenidos por |uan es:
12,5% de 1.000.
t2.5'
x 1.000 :
100
12,5 X 1.000
100
:
125
La cantidad de votos obtenidos por Lina es:
12,570 de 1.000.
t2.5
x 1.000 :
100
12,5 X 1.000
100
:
125
La cantidad de votos obtenidos por Miguel es:
25% de 1.000.
x Ejemptos
25
_ x 1.000 :
100
25 x 1.000
100
:250
,*o1
I.
I.
:l
Se calcula el
12,50,ó de 1.000
5e calcula el
12,50,ó de 1.000.
Se calcula el
250/o de 1.000.
Se calcula el
5ao/o de L00a.
La cantidad de votos obtenidos por Carlos es:
507o de 1.000.
50
_ x 1.000 :
100
50 x 1.000
i00
:
500
Por Io tanto, los votos obtenidos por fuan son 125;
por Lina, 125;por Miguel, 250,y por Carlos, 500.
Está ndar: pe n sa m i e ntc v a r i aci o nc I
@
4" el grado séptimo de un colegio hay 30 estu-
diantes, que corresponden al 5% del total de los
alumnos del colegio. ¿Cuántos alumnos hay en
el colegio?
Si r es el total de alumnos del colegio, se tiene que:
5o/o de n es 30, es decir,
5
-
X n:30
100
5Xn
:30
100
30 x 100
n:-
5
n: 600
Por lo tanto, el colegio tiene 600 alumnos.
30 x 1.200.000
100
@
r" televisor LCD de 32 pulgadas que cuesta
$ f .200.000 está en rebaja de un 3Üo/o; il pagar
en la caja se añade el 16% por concepto de IVA.
¿Cuál
es el precio final del televisor?
El descuento por la rebaja del 3070 se obtiene
como:
30o/o de 1.200.000.
3o
, r.2oo.ooo :
100
: 360.000
Luego, el precio del televisor rebajado en un 30%
ES:
1.200.000 -
360.000 :
840,000
Ahora, del precio del televisor rebajado en un 30%
se obtiene la cantidad de dinero que se debe pagar
por el concepto de IVA:
160/o de 840.000.
16 16 x 840,000
_x840.000:_
100 100
:
134.400
Así, el dinero que se debe pagar por IVA es:
$ 134.400.
Finalmente, el precio del televisor es:
840.000 + t34.400 :
974.400
Por lo tanto, el precio final del televisor es:
$ 974.400.
Aumentar ttn no/o equivale a calcular el ( tOO I n)o/o
de esa cantidad.
Disminuir unno/o equivale a calcular el (100 -
n)o/o
de esa cantidad.
,23
i
osantillana
ll¿:+l

124. Recupero informoción: 1
Responde:
¿Qué
razones reciben el nombre de
porcentajes?
Soluciono problemos
@
u"" cada porcentaje de la primera columna con@
U"u parejade recién casados quiere comprar para
70
r00
45o/o
a.
b.
4
5.
6
d.
e.
sus expresiones equivalentes en Ia segunda y ter-
cera columnas.
30% 1.0,2s 7.
0,7 2. L8o/o 8.
18
100
0,45
25
100
l00o/o
ofrece las siguientes promociones:
i Valor en pesos Descuento
i ____
Si compra 5 camisas de $ 35.000 cada una,3 pan-
talones de $ 65.000 cada uno y 2 chaquetas de
$ 140.000 cada una,
¿cuánto
pagó en total Luis?
d
O
t" términos de la anatomía humana se afirma que
el cerebro representa eI 2,5o/o de Ia masa total del
cuerpo y que el 600/o del cuerpo está conformado
por agua. De acuerdo con esta información:
¿Cuánta
masa de agua tiene una persona que
pesa 75 kg?
¿Cuánto
pesa una persona cuyo cerebro tiene
una masa de 1,25 kg?
su casa una nevera, una lavadora, un equipo de
sonido y un televisor, Si los precios de estos artícu-
los, sin incluir el IVA son $ 875.000, $ 1.050.000,
$ 920.000 y $ 680.000, respectivamente,
¿cuánto
dinero debe tener la pareja para Ia compra de los
electrodomésticos mencionados?
@
f"i. va de compras y entra en un almacén que
b.
3. 1 9.25o/o
100
10, _
100
I 1. 0,18
30
t2. _
100
0,3
45
100
70o/o
€)
t" un supermercado, se anuncia que los siguientes
productos traen más cantidad por el mismo pre-
cio.
¿Qué cantidad traía cada producto antes de la
promoción?
b. c.
Una familia tiene un ingreso mensual de $ 650.000
que reparte como muestra la figura:
ffi$
4" atmósfera es una capa de gas que envuelve la
Tierra, que llega hasta más o menos 600 km de la
superficie terrestre y que está dividida en cuatro
grandes capas:
La troposfera que va de 0 a 10 km.
La estratosfera que va de 10 km a 50 km.
La mesosfera que va de 50 km a 80 km.
La ionosfera que va de 80 km a 600 km.
a.
¿Qué porcentaje de la atmósfera representa
cada una de sus capas?
b.
¿Qué
porcentaje representa la estratosfera con
respecto a la ionosfera?
üB
U" un salón de clase el25o/ode los estudiantes van
Entretenimiento
$ 45.500
Ropa
$ 45.s00
1 *__l
I
Transporte
$ 97.s00
Alirnentación
$ 260.000
Servicios
$ 71.s00
Vivienda
$ 130.000
Prendas de más de 100 mii

125. lnterés simple
El estudio del interés simple está relacionado con la economía, en situaciones de
préstamos de dinero, rendimientos de capital. EI interés simple es la cantidad de
dinero que se obtiene como beneficio al invertir dinero, o también es la cantidad
de dinero que se debe pagar por pedir prestado dinero.
EI interés simple calcula los intereses de cada período sobre el capital original sin
tener en cuenta los intereses generados en el período anterior. Es decir, los intereses
de un período no se acumulan sobre el capital para calcular los siguientes intereses.
Para calcular el interés se deben tener en cuenta los siguientes elementos:
. Capital: cantidad de dinero que se presta o se invierte. Se simboliza con la letra c.
. Rata o tasa de interés: razón que representa el interés que se pagará por cada
$ 100 de capital en la unidad de tiempo. Se simboliza como /.
. Tiempo: duración de la inversión o préstamo, se representa con laletra t.
Cuando se resuelve un problema de interés se aplica Ia regla de tres compuesta, en la
cual, el interés resulta ser directamente proporcional al capital y al tiempo.
Por ejemplo, para determinar el interés producido por $ 400.000 al L5o/o anual, du-
rante 3 años, se tiene en cuenta que i es el interés producido por $ 400.000 al l5o/o
anual. La tabla que relaciona las magnitudes dadas es:
I lnterés Capital Tiempo (años)
Como el interés es directamente proporcional al capital y al tiempo, se tiene la si-
guiente proporción:
15 100
\/
i 400.000
I
3
e
rl
o
Ia
Ia
:o
10015
-:i
5e aplica la propiedad fundamental
de la proporciqnd!¡dad compuesta.
Se resuelven las operaciones indicadas.
Se despeja iy se simplifica.
: 180.000
1.200.000
15 x 1.200.000
100
Por lo tanto, el interés producido por $ 400.000 al l5o/o anual es $ 180.000.
l+ Ejempl,os
ffi
Cd..rtar el capital invertido, sabiendo que en 4
años produce unos intereses de $ 240.000, a un
interés simple del6o/o anual.
Si c es el capital invertido en 4 años, la tabla que
relaciona las magnitudes dadas es:
Capital lnterés Tiempo (años)
Como el capital es directamente proporcional al
interés e inversamente proporcional al tiempo, se
tiene la siguiente proporción:
c 240.000
100 6
c 240.000
Se resuelven las operaciones
indicadas.
Se despeja c y se simplifica.
100
-
c :
1.000.000
an
3S,
tzs
I
o Santillana
I
lZ ;if
C 180.000 4
100 6 l
El capital invertido es $ 1.000.000.
t
15 100 I
400 000 3
)n

126. x Ejemptos
G
r" agricultor ha decidido invertir los beneficios de su cosecha que son de
S 8.500.000, en un fondo de ahorros al3% anual. Hallar el tiempo que el agri-
cultor debe dejar su dinero en el fondo si desea recibir $ f .275.000.
Si / es el tiempo que se debe dejar en el fondo de ahorros, la tabla que relaciona
Ias magnitudes dadas es:
1 100 3
r 8.500 000 1.275000
Al comparar los datos de la tabla se tiene:
Como el tiempo es directamente proporcional a los intereses e inversamente
proporcional al capital, se plantea lo siguiente:
I 3 8.500.000
t 1.275.000 100
de la proporcionalidad compuesta.
1 25.500.000
Se resuelven las operaciones indicadas.
Se despeja t.
' Se simplifica.
t:5
Por lo tanto, el tiempo que debe dejar el agricultor en el fondo es de 5 años.
t 127.500.000
r x 127.500.000
t-
25.500.000
Por lo tanto, la tasa de interés debe ser
1o/o
, upro*i^adamente del l,7o/o.
J
l?6
r?6
losantillana
@
O.t".*inar la tasa de interés simple mensual a la cual se deben prestar
$ 4.500.000 para que en un año produzcan $ 900.000 de intereses.
Si r es la tasa de interés mensual, la tabla que relaciona las magnitudes dadas es:
900.000 4.500 000 12
r00 1
Como el interés es directamente proporcional al capital y al tiempo, se tiene la
siguiente proporción:
900.000 _
4.500.000
,.
12
Se apl¡a ta propiedad ndamental de
r 100
^
T
la proporcionalidad co puesta.
900.000
_
54.000.000
r 100
Se resuelven las operaciones tndtcadas.
900.000 x 100
r:
54.000,000
90.000.000
r:
s4.000.000
5
r:-
3

127. Estándar: pen sa miento vari acion a I
Recupero inf.: 1 Reflexiono yvoloio: z
| @)
@
Respo,d".
@
Analiza la situación planteada y responde.
Pedro presta dinero a terceras personas a un inte-
rés simple mensual del2o/o, 3o/o y 4o/o.
Si prestó al2o/o $ 2.500.000 y recibe $ 100.000
de interés,
¿a
cuántos meses prestó el dinero?
¿Cuánto dinero prestó, si en 6 meses cobrando
al4o/o recibió $ 180.000 de intereses?
¿Qué
cuota mensual recibe de un cliente al que
accedió a prestarle al 1,8'/o de interés simple
mensual $ I5.000.000, con el compromiso de
pagarlos en l2 cuotas mensuales iguales?
a.
b.
c
Tiempo
(meses)
lnterés
generado
a.
¿Cuáles
son los elementos que definen el interés?
b.
¿En
qué situaciones se utiliza el interés simple?
G)
t, en el ejemplo 3 de la página 126 el capital es de
$9.000.000, ¿qué
tasa de interés se debe prestar
para obtener los mismos intereses?
@
Co-pt"ta la siguiente tabla.
I Tasa
Caoital de interés
simple anual
L-
2.000.000 110/o 9
15o/o 24 300.000
850.000 10o/o 12
9 Ba/o t8 412.000
I 600 000 12,54/o 250 000
3 100000 10 )79 040
@
O.t"r-ina el capital que se tendrá al invertir en el
tiempo y al interés simple dado.
a. $ 100.000 a 3 años al 870 anual.
b. $ 1.200.000 a 2 años al l0o/o anual.
c. $ 500.000 a 3 años al 9% anual.
d. $ 2.400.000 a 4 años al l0o/o anual.
e. $ 950.000 a 2 años al8,5o/o anual.
f. $5.000.000 a 3 años al 4,5o/o anual.
@
Escribe V si la afirmación es verdadera o F, si es
falsa. fustifica tu respuesta.
Sandra, por un préstamo de $ 6.000.000 al 1070
de interés simple anual, paga mensualmente de
intereses $ 60.000.
Camilo paga $ 54.000 de intereses semestrales
por un préstamo de $ 900.000 que hizo a una
tasa de interés simple del 12% anual.
Nicolás hace, a nombre de su empresa, un
préstamo al banco por $ 45.000.000 a un interés
simple mensual del I,1%, y paga trimestral-
mente $ 1.485.000 de intereses.
|uan hizo un préstamo parala universidad de
$ 2.100.000, a un interés simple anual de 11,5%
y debe pagar en 6 cuotas fijas de $ 470.750.
Mateo prestó a |avier $ 6.300.000 a un interés
simple anual de 13,2o/o.
¿Cuánto
debe pagar
favier a Mateo?
Soluciono problemos
@
U"u entidad financiera realiza préstamos a sus
afiliados con diferentes tasas de interés simple
mensual de acuerdo con el tiempo de duración
del crédito, e invierte en certifi.cados a término
fijo CDI cuyo rendimiento mensual depende del
tiempo establecido. Sus préstamos e inversiones
son las siguientes.
Préstamos
Tiempo Capital lnterés anual
-3 añosI
3.500.000
100k
1.200.000
4 000.000
2.300.000
5 años
12.000.000
10,60/o9.000.000
2r.000.000
¿Cuánto
dinero ingresa mensualmente a la entidad
por concepto de intereses?
EA
osantillana
I
IZ7
a
b.
c.
d.
Tiempo Capital I lnterés anual
3 meses
2.500.000
5.000.000
3.600.000
5.000.000
8,630/o
6 meses
4.500.000
2.900.000
10.000 000
9,160/o
i I2 meses 9,584/o
e.

128. Rozón y proporción
La habitación de Isabel tiene las siguientes me-
didas: 6 m de largo, 3 m de ancho y 2 mde alto.
Responde:
a.
¿Cuál
es la razón entre el largo y el ancho?
b. ¿Cuál
es la razón entre el largo y el alto?
Encuentra dos números si la razón entre ellos es 7
a 9 y su diferencia es 6.
Halla el valor desconocido en cada proporción.
a.
. 0,16
d.
x
0,2
e.
5
x
c.
En una práctica de física, a una masa de 2,5 kg se
le aplicaron varias fuerzas en Ia misma dirección y
se calculó la aceleración en cada caso; así se obtu-
vieron los siguientes datos.
'
Fuerza 2 4 9 15 19 I
,--- ------
Aceleración I 0,8 16 3,ó 6 76
l
-- --
--l
: -- ---t-- - ---
Representa gráficamente las dos magnitudes.
Determina la relación entre las dos magnitudes.
Halla el valor de la constante de proporcionali-
dad.
d. Encuentra la expresión matemática que rela-
ciona las dos magnitudes.
e. Halla el valor de la aceleración del cuerpo
cuando se le aplican fuerzas de 5 N, 12 N y 20 N.
Mog n itudes i nversc mente
proporcionoles
Para dos magnitudes A y B de acuerdo con las con-
diciones dadas, escribe una situación, construye
una tabla y realiza la representación gráfica.
A yB son magnitudes inversamente proporcio-
nales con constante de proporcionalidad 45.
A y B son inversamente proporcionales y la
constante de proporcionalidad es 2,5.
a.
b.
C.
t2
:28
x
r20
324
9
b.
x-2
318
Ix
0,25
81
Completa.
--
I
::::=
0,710535
a.
b.
Reglo de tres simple
Un campesino vende 18 de sus marranos para que
la comida que tiene para alimentarlos alcance 30
días, tiempo en que llega la nueva provisión. Si
alimentando a todos los marranos que tenía, la co-
mida le alcanzabapara24 dias, ¿cuántos
marranos
tenía el campesino inicialmente?
Mog n itudes d i recto mente
En un partido de fútbol la taquilla total fue de
$ 1§,000.000, de los cuales las dos terceras partes
corrésponden a entradas de adultos con un costo
de $ 12.500 cada una, y la otra tercera parte corres-
ponde a entradas de niños menores de 14 años con
un costo de $ 8.000 cada una.
Responde.
a.
¿Cuántos
adultos y cuántos niños fueron a ver
el partido?
b. Si la entrada hubiera sido cuatro quintas partes
de adultos y una quinta parte de niños,
¿curín-
tos adultos y cuántos niños hubieran asistido al
partido?
proporcionoles
Determina cuáles de las siguientes gráficas repre-
sentan magnitudes directamente correlacionadas
y cuiíles directamente proporcionales. |ustifica tu
respuesta.
T
En la figura se muestra un mapa donde la escala es
1:320.000. Halla la distancia entre las ciudades A y
B, si en el mapa su distancia es de 2,8 cm.
i,l
70
iPB
l,e,§antillana
\

129. Reglo de tres compuesto
@
p.¡.r-ina
cuáles de las afirmaciones son verda-
deras y cuáles son falsas. fustifica tu respuesta.
Una rueda de I m de diámetro realiza 60 vueltas
para recorrer una distancia de 188,4 m.
¿Qué dis-
tancia recorre una rueda de 1,5 m de diámetro si
realiza 85 vueltas?
a. El diámetro de la rueda es directamente pro-
porcional a la distancia recorrida.
b. El número de r,rreltas es inversamente propor-
cional a la distancia recorrida.
c. El diámetro es inversamente proporcional al
número de vueltas.
La distancia recorrida por una rueda de 1,5 m
de diámetro al realizar 85 vueltas es de 400,35
m.
El diámetro que debe tener una rueda, tal que
al dar 80 vueltas recorre 552,64 m es 1,9 m.
a. Si lorge hace un préstamo para estudio por
$ 3.000.000, a 6 meses yparapagar por nómina
en cuotas fijas,
¿cuál
es el valor de cada cuota
mensual?
b. María paga $ 226.000 mensuales de intereses
por un préstamo de $ 24.000.000 paravivienda.
¿Cuál
es su forma de pago?
c. Si Abelardo pagó $ 975.000 por seis meses de
intereses por un préstamo de $ 15.000.000,
¿cuál
es el interés mensual que paga Abelardo
por el préstamo?
Porcentoies
La superficie de la Tierra está dir.idida en superfi-
cie continental y oceánica, como se muestra en la
figura.
Superficie de continentes y océanos
(En millones de kilómetros cuadrados)
Hemisferio
48,6 km'
Los continentes y los océanos están repartidos así:
ContinenteÁrea Océano Área
Determina.
El porcentaje del hemisferio norte represen-
tado por los océanos.
EI porcentaje de la superficie terrestre que co-
rresponde a los continentes.
América y Europa, qué porcentaje de Ia super-
ficie continental representan.
El océano Atlántico y el Pacíflco, qué porcen-
taje de la superficie terrestre ocupan.
El porcentaje del hemisferio sur que corres-
ponde a los continentes.
d.
e.
Reportos proporcionoles
@
Reparte z.2OO.O}Oen partes directamente propor-
cionales al,2y5.
@
u" una carrera d.e meseros, cada uno debe llevar,
corriendo, una copa de vino una determinada dis-
tancia. El ganador recibe $ 3.000.000. Se premian
los tres primeros lugares y el ganador es quien
riegue Ia menor cantidad de vino posible. Si los
tres concursantes que llegan primero riegan 5 cm3,
2 cm3 y 3 cm3, respectivamente, responde:
a.
¿Cuánto dinero se premia en total?
b.
¿Cuánto
dinero le corresponde al segundo me-
sero?
c.
¿Cuánto dinero le corresponde al tercer me-
sero?
lnterés simple
@
t" una cooperativa de trabajadores ofrecen prés-
tamos a sus afiliados dependiendo de para qué ne-
cesiten el dinero y si el préstamo será pagado por
ventanilla o descontado directamente de nómina.
Los intereses anuales en cada situación son:
Objetivo
o
Forma
de
.
Libre.
vivienda Estudio
rnverston
a.
b.
d.
206,4 km:
Asia | +:,4 kmz
Antá rtida13,8 km2
42km2
30,2 km2
I0,6 km2
r65,',r km2
80,1 km2Atlá ntico
Antá rtico
70,'l km2
I
------.-----
31,1 km2
I
Área en millones de km2
Nómina 13o/o 10,8a/o 9,80/o
Ventanilla 13,60/o 11 ,30/o 10,24/o
e.
sant¡llana I lZ9
154,3 km2
América
África
Europa
, Oceanía 8.9 km2
Pacifico
ndico

130. Una razón es el cociente entre dos cantidades
de tal forma or" I
con b * O.
'b
Una proporción es la igualdad entre dos razo-
AC
nesdemodoque ,: , conb+0vd+0,
'bd
donde ay d se denominan extremos y by c se
denominan medios.
Dos magnitudes son directamente
proporcionales si la razón entre dos
medidas correspondientes a cada una
de ellas es srempre la misma.
Así, si m es una medida que corres-
ponde a la magnitud Ay n es una me-
dida que corresponde a la magnitud
B, se cumple que:
m:k
n
Donde k es la constante de propor-
cionalidad.
Son todas las razones en las cuales se re-
lacionan las cantidades de una magnitud
con 100 unrdades de la otra. Así, sl m es
una cantidad, el porcentaje
m
se ex-
presa como mo/o.Para calcular el porcentaje
se establece una proporción de la forma:
a 104
b
:
;,
donde n es el porcentaje que se
quiere calcular.
AC
t,
A
:
7
es una proporción,donde b *0y d *0,se
cumplen las siguientes propredades:
a-b
^t-
U-fL
b+d
L-U
a a-c a
:-
\/
-:-
b'b-d b
a-b
v
b: d
-L^ -L)
UIULIU
Dos magnitudes son inversamente pro-
porcionales cuando el producto de cada
medida de cada magnitud por la respec-
trva medida de otra magnrtud es igual a
una constante.
Asi, si m, y m2son medidas de la magnitud
A,y nry n2 son medidas de magnitud B, se
cumple que:
ffi1fi1: mrnr: k
Donde k es la constante de proporciona-
lidad.
Para repartrr una cantidad s en partes direc-
tamente proporcionales a m, n y t, se ob-
tiene cada parte multiplicando a m, n y t eor
5
m-ln-lt
5r s se reparte en partes inversamente pro-
porcionales a m, n y t, se multlplica a m, n y
f por
!i'r
¡1¡ i rc, lantitiana

131. Los porcentoles
en el oguo
El agua constituye el recurso natural más abundan-
te en la Tierra ¡
a la yez, el más importante pues es
fundamental para la existencia de la vida. Sin embar-
go, el agua para el consumo humano es cada vez más
escasa. Los estudios muestran que, para el año 2025,
las extracciones de agua se incrementarán en un 50%
en los países en vías de desarrollo y en un l87o en los
países desarrollados, debido a que el desarrollo y el
crecimiento demográfico conllevan un aumento de la
demanda de agua.
Se estima que el volumen total de agua del planeta
Tierra es de 1.400.000.000 km3 aproximadamente.
De este volumen total, aproximadamente el 97,2o/o es
agua salada, y el porcentaje restante, que corresponde
al agua dulce, el 77o/o está congelada en los casquetes
polares y glaciares.
¿Cuál
es la importancia del agua para la Tierra?
¿Cuál es el volumen total del agua del planeta
¿Por
qué se cree que para el2025la demanda de
agua aumentará en el mundo?
¿Qué
porcentaje del total del agua de la Tierra es
agua dulce?
Así que menos del lo/o del agua de la Tierra es utiliza-
ble en forma directa para el consumo humano.
La siguiente tabla muestra la distribución en porcenta-
jes del total del agua de la Tierra.
Localización Porcentaje deltotal
Casquetes polares
y glaciares
Atmósfera
Océanos
€D
t, el agua dulce utilizable en forma directa para el
consumo humano se localiza en las aguas superfi-
ciales y subterráneas,
¿a
qué porcentaje correspon-
den estas aguas?
f)
O.t"r-ina el volumen de agua aproximado, en ki-
lómetros cúbicos, que se encuentra en los océanos.
fl
Clcuta el volumen aproximad.o de agua, en kiló-
metros cúbicos, que se encuentra en los casquetes
polares y glaciares.
Aguas superficiales
Aguas subterráneas
osantillana ll:l itll

132. Introduccién
ol ólgebrc
'Temos de lo unidod
Expresiones algebraicas
Adición y sustracción
Multiplicación

133. l-,
de ormos
Por el camino que ascendia a la fortaleza avanzaba un
soberbio caballo y, sobre é1, un caballero cubierto por
su armadura.
El guardia se dispuso a darle el alto para que se identifi-
cara, pero antes de que lo pudiera hacer el sargento de
la guardia lo detuvo y, haciendo una reverencia, dejó
pasar al desconocido.
-¿Qué
haces, necio?
-dijo
el sargento encarándose
con el guardia-. Puede que no sepas qurén es, pero
los símbolos de su escudo denotan su condición: el
bezante y el aspa nos dicen que ha combatido en las
cruzadas y nunca ha sido derrotado, y el cetro asegura
que es de sangre real, asique en adelante f¡ate más.
-Me
frjaré más la próxima vez. La heráldica es una
ciencia de simbolos
-respondió
el soldado, aliviado
después de haber pasado el trance.
-No
hace mucho tiempo hablé con un médico judío
que había leÍdo un manuscrito que explica cómo resol-
ver situaciones con la ayuda de las matemáticas y los
simbolos
-explicó
el sargento-. Creo que lo llamó
Álgebra y se trata, según me dijo, de sustituir canti-
dades desconocidas por símbolos o letras y operar,
después, con los números.
En ese momento sonó Ia voz de alarma y un tropel de
gente entró en el castillo. El jefe de la partida dio las
novedades.
-Hemos
capturado a tres exploradores enemigos;
dicen que la mitad de su partida es infantería y el resto
son exploradores y caballeria; ellos son la cuarta parte
de los exploradores y hay ochenta caballeros.
Tomado de Matemáticas / ESO, España, Editorial Santillana, 2007.
i .
Consultaquésignificaálgebra.Luego,comparadicho
i
significado con la explicación que se da en el texto.
I . (on
base en el texto, establece cuántos hombres j
i reportócomocapturadoseljefedelapartida.
I
El escudo
I
I
b
¿Cuál número entero debe remplazar ala x para
que la igualdad sea verdadera?
-x-3 -
x-f 3
22
Determina tod de las figu-
',A
rasl .yA,si
spositivos,
que
,--,
vale 5 fila y cada
columna suma 12 unidades.

134. Expresiones o lgebro icos
Habitualmente, se encuentran tanto en enunciados matemáticos como en enunciados
científicos, expresiones que se representan con letras, números, signos de relación
y de operación. Estas expresiones suelen tener diversos significados: pueden servir
para expresar el recorrido de un móvil, las variaciones de temperatura o problemas
comerciales y financieros. En general, el uso de letras, coeficientes y operaciones le
permite al álgebra expresar de un modo universal las magnitudes representativas de
diversas situaciones de la vida diaria; así, el lenguaje algebraico es una generalización
del lenguaje aritmético.
Una expresión algebraica es una combinación de números, letras y signos por medio
de una o varias operaciones.
Matemático y af rónomo árabe. Fue
miembro dela osa de lo sabidu-
ria en la que trabajaron diferentes
sabios procedentes de 5iria, lrán y
Mesopotamia. Varias de sus obras
fueron traducidas al latin y una de
ellas introdujo los principios funda-
mentales de1álgebra.
Por ejemplo, la expresión algebraica que representa el área de un rectángulo de base
x y altara y es x X y. Por otra parte, si queremos representar el área de Ia superficie
de un prisma recto de base cuadrada, con aristas de longitud x y y, podemos utilizar
la expresión algebraica 4 X x X y -f 2 X x2.
En la representación de expresiones algebraicas no se escribe el signo de la mul-
tiplicación entre números y letras, ni entre letras. Por ejemplo, la expresión x X y
se escribe xy y la expresión que representa el área de Ia superficie del prisma recto,
4 X x X y -f 2 x 12, se escribe 4xy -l
2x2.
Una expresión algebraica está formada por términos, así la expresión 4xy -f 2* la
conforman los términos 4xy y 2x2. Un término está compuesto por los siguientes
elementos:
. Signo: puede ser * o -.
. Coeficiente: corresponde a Ia parte numérica que aparece antes de las letras.
. Parte literal: corresponde a la letra o grupo de letras con sus respectivos expo-
nentes.
Por ejemplo, en el término
-5x3y2
el signo es -,
el coeficiente -5, la parte literal es
xty2.
l+ Ejempto
Hallar la expresión algebraica que representa el volumen de la caja.
El volumen de la caja es el producto de la altura, cuya
medida es 2, por el área de la base que es un cuadrado
z delado y. Por tanto, el volumen es:
f
xyxyxyxy
x2
'|34
l.oSantillana
v:2y2
PENSAMIENTO NUMERICO
Y PENSAM IENTO VARIACIONAL
{>
Muhamad ibn lVlusa
Al-Khwarizmi
780-850

135. Estándar: pen sa m i ento n u né rico y pe n s a mi e nto vartaci o n a I
Closificoción de expres¡ones olgebroicos
Las expresiones algebraicas se clasifi.can en:
Monomio: es la expresión algebraica que consta de un solo término.
Por ejemplo, 3x2y; 2xm3; -4xyz: -
323; -1 *' y'rls't son monomios.
72
Binomio: es una expresión algebraica que consta de dos términos (dos monomios).
Por ejemplo,5a I 3b: -9xz
+ f;-!a+
lr;
(*
t^r)'
-
8 son binomios.
'233
Trinomio: es una expresión algebraica que consta de tres términos (tres monomios).
Por ejemplo, a3 -
a2 + ob;!o' + 4a' - lrty! I 2xr t3 son trinomios.'3
3 4 7
Polinomio: es una expresión algebraica que consta de más de un término.
Porejemplo, -bz
-l c;1*' -
5x -f 6;Zo' + 8b2 -
c -
@
^b)'
sonpolinomios.
272
Términos semeiontes
Dos o más términos son semejantes cuando su parte literal con sus correspondientes
exponentes son iguales.
Por ejemplo, los término s 3x2y3 y 9*'y'son semejantes porque la parte literal con sus
respectivos exponentes son iguales, es decir, x'y3 :
x2y3. Por el contrario, los térmi-
nos 3am y 5a3m no son semejantes porque, aunque tienen las mismas letras, estas no
tienen los mismos exponentes, ya que la a tiene exponente 1 en el primer término,
pero en el segundo término tiene exponente 3.
Ejemptos
Indicar los elementos del siguiente término
12,
3
El signo es positivo (t).
1
El coeficiente es
-.
3
La parte literal es a2b.
EI exponente de a es 2.
El exponente de b es 1.
It
o
@
Chsincar las siguientes expresiones algebraicas
según eI número de términos.
u.a*-22*5wz
45
La expresión algebraica es un trinomio porque
tiene exactamente tres términos.
b. abc'-
2a
5
La expresión algebraica es un polinomio, ya que
tiene más de un término. Sin embargo, se le de-
nomina binomio porque tiene exactamente dos
términos.
@
O"t"r-inar si los término s 3abs, -9a5b
y 6absc
son o no son semejantes. Iustificar la respuesta.
Los términos no son semejantes entre sí, puesto
que no tienen Ia misma parte literal.
Así, por ejemplo, 3abs y -
gasb
no son semejantes
porque los exponentes de las respectivas letras no
coinciden; el exponente de b es 1, en el segundo
término, pero en el primero es 5. De igual manera
3ab5 y 6absc tampoco son términos semejantes
puesto que no tienen la misma parte literal.
Escribir un término que sea semejante al tér-
mino dado.
a.mn
El término puede ser -2mn,
se debe dejar la
misma parte literal; en este caso se cambia sola-
mente el coeficiente.
b.5x2y
Un término semejante puede ser -29x2y,
se deja
la misma parte literal y se cambia el coeficiente.
t35
osantillana I IJ!
V
I
S

136. Éxpresiorl*s a I g*bri: ir:=:
[ -¡
XR¿
v.(l-r
/\o-) I L
/:
I.L
.))
x,, +xLxtx-
t36
3ñ l¡.rS¡ntili¡na
:
-3a - l2,t)
:
-30-2a
Reduee¡üa= de ?*rmáre*= s* *!trm?es
La reducción de términos semejantes consiste en expresar, mediante un solo tér-
mino, dos o más términos semejantes. Para reducir térninos semejantes se deben
tener en cuenta los siguientes casos:
Caso l. Reducción de dos o más términos semejantes del mismo signo
Se suman los valores absolutos de los coeficientes. Luego, se escribe la suma con
el signo común de 1os términos. Por ejemplo:
-3a -
5a - I\a: -18a ),2*ry,
_]_
5.rry2 :7*ry,
Caso 2. Reducción de dos términos semejantes de diferente signo
Se restan como números naturales los r.alores absolutos de los coeficientes. Luego,
se escribe el resultado anteponiéndole el signo del coeficiente que tiene mayor
valor absoluto. Finalmente, se escribe la parte literal. Por ejemplo:
6a2b 2a2b: 4a2by -t5xy i 9xy : 6xy
Caso 3. Reducción de términos semejantes con signos de agrupación
Se suprimen los signos de agrupación y se efectúan las operaciones indicadas
teniendo en cuenta 1as siguientes reglas:
. Cuando un signo de agrupación está precedido por el signo t, se suprime
dejando los términos que están en su interior con el mismo signo, así:
a+(b+c) :a-tb-tc
. Cuando un signo de agrupación r.a precedido por el signo -,
se suprime cam-
biando de signo los términos que se encuentran en su interior, así:
5Y-(z+x):5Y-z-x
. Cuando los signos de agrupación están dentro de otros, se suprimen en cada
paso empezando de adentro hacia fuera, así:
6a - l9a -
(3a + 9a)): 6a - [9a -
3a - 9a) Sesuprtmeelparéntests
:60-9a-l 3q-19c-
_ o-
Se suprrme el corchete.
-
/u
se
,ea,,zan
o) opetac¡onP)
M je p&ü
Suprimir los signos de agrupación en la expresión:
-3q-l(+, -
+,)-(+,, +,)]
Luego, reducir términos semejantes.
Se realiza el siguiente procedimiento:
-3a -[(+, *
+,)*(+,. +,))
- -1.n -l
I +
" - I ,
"
\p surro. to< [r6¡¡:6,1p5_
-ru -l
4,)- \_z"l)
:
-3a - l@) + (l,ü) 5e srmplifican las fracciones.
5e suprimen los paréntesrs y se sumo
Se suprlmen los corchetes
-
5e reducen términos semeiantes.
:
-54
por
tanro,
_3a
-l( U -
ao)
-
f -:-, rr)l :
-5q.
L\4 4 t \2 2ll

137. Determina cuáles de las siguientes afirmaciones
son verdaderas y cuáles son falsas, según el texto
explicativo de la página 134 a 136.
a. Todo binomio es polinomio.
b. Todo polinomio es trinomio.
c. Dos términos son semejantes si tienen el mismo
coeficiente.
d. Dos términos son semejantes si tienen la
misma parte literal.
Determina cuál es el coeficiente, el signo, la parte
literal y los exponentes en cada uno de los siguien-
tes monomios.
a.
-2fu-r d. -8x2y
_vs
s
-!-
b'
5
h. -
3
x'y'
4'
. -x'v'
t.'
2
pscribe una expresión algebraica para cada enun-
ciado.
a. Un número aumentado en 1.
b. El doble de un número.
c. El triple de un número aumentado en 2.
d. El cuadrado de un número.
e. El doble del cubo de un número.
f. Cinco veces el cubo de un número más tres veces
el cuadrado del mismo.
b. 3xa e. 4xs
c. !*y' {. *y'
5
Relaciona cada monomio de la izquierda con su
correspondiente término semejante de la derecha.
L-
a. --Lyyt
3'
D. 5x'y
E)l
c. - /x'y'
d. -I *zrzr:
8
1
2.
J.
_
5x.y.
!*'v
_ Lxy,
I
-)))
- /x'y'z'
Clasifrca las siguientes expresiones algebraicas en
monomios, binomios, trinomios o polinomios.
a. 5x'
b. 4x2 -l y
c. xy-l 5
d. x2-x-1 6
e. 4x3+2x2-fx-5
2l
¡. -
/xv'z'
g. SxYz'rz -
3x2yz2
h. -9xyz - xy - I
o santillana
I
l3;,
Rozono:2-3-4-5
Reduce los términos semejantes en cada expresión
algebraica.
a.5xl7x-x-l 3x-2lx
b. -2xy
-t xl -
7xy f 9xy
c. x2y3 -f l5x2y3 - 8*'y'I l3x2y3
d. -9m2n3 * 8m2n2 -
n3m2 I r5n2m2
e. 4 *' y'r' - I
y'*n r' i 3 y3 x2 za -
lOz2 xa y3
5 2',
Suprime los signos de agrupación. Luego, reduce
términos semejantes.
a. 2xy3 -
(sxy3)
b. 3a2b3c-f (-5a2b3c)
c
tr,,*(-+,^)
- (-+r..)
d
lo*,-l-(+"-,- ],*,))
Soluciono problemos
Calcula el área de cada una de las siguientes figuras.
x
b
Plantea una expresión algebraica que exprese el
volumen del siguiente arreglo de cubos. Luego,
reduce la expresión hasta obtener un monomio.
/
l5?
Estándar: pe nsant i e nto n u m éri co y pe n sam ie nto va ri aci o nal
llllllürl

138. Adición y sustrocción
Para sumar dos monomios semejantes, se suman sus coeficientes y la parte literal se
deja igual. Por ejemplo, para sumar los monomios llmn y 2mn se procede así:
llmn * 2mn: (Il -l 2)mn: l3mn Se suman los coeficientes de los sumandos.
La suma de dos monomios semejantes es otro monomio seme.jante
cuyo coeñciente es la suma de los coeficientes de los sumandos.
Para restar dos monomios semejantes, se suma el coefrciente del primer monomio
con el coeficiente opuesto del segundo monomio, y se deja la parte literal igual. Por
ejemplo, para restar 5m2n3 y -2m2n3
se realizan los siguientes pasos:
5m2n3 -
(-2mznz¡
:
5m2n3 -l (2m2n3) - 7m2n3
Se reescribe la resta como la suma con
el opuesto de -
2m2n3 y se suma.
La resta de monomios semejantes se realiza sumando el primer
monomio con el opuesto del segundo.
Para sumar dos o más binomios se realiza el siguiente procedimiento:
. Primero, se ordenan los términos de los binomios con respecto a una letra, de tal
manera que los exponentes de la letra aparezcan ordenados en forma ascendente
(de menor a mayor) o descendente (de mayor a menor). Por ejemplo, el binomio
xsy - 3*y2 está ordenado en forma descendente respecto a la letra x y et forma
ascendente respecto alaletra y.
. Luego, se escriben uno tras otro los términos semejantes. Luego, se reducen.
Por ejemplo, para sumar (3a2 + 2a2b) y (2a -
4a2b) se procede así:
Se ordena cada binomio en forma
descendente con respecto a la variable a.
5e su pri men pa réntesi s,
Se escriben uno tras otro los términos semejantes.
5e reducen términos semejantes.
Para restar dos o más binomios se realizan pasos similares:
. Primero, se ordenan los binomios.
. Luego, se suprimen signos de agrupación, si los hay.
. Finalmente, se escriben seguidos los términos semejantes y se reducen. Por ejem-
plo, para restar (5x2
-
Zx) y $x -
8x2) se realizan los siguientes pasos:
(2a2b + 3a2) + (-+a2b + za)
:
2a2b -l
3a2 -
4a2b + 2a
:
2a2b -
4a2b * 3a2 -f 2a
:
-2a2b I 3a2 * 2a
(sxz-3x)-(-8xz+sx)
:5x2-3xl8x2-5x
:5x2+8x2-3x-5x
: l3x2 -
8x
Se establece la resta ordenando cada binomio.
Se supri men pa réntesi s.
Se escilben uno tras otro los términos semejantes.
5e reducen térmtnos semejantes.
t?8
l8
|
o5antillana
Por lo tanto, la diferencia entre (5x'
-
3x) y (5x -
8x2) es 13x2 - 8¡.

139. Recupero informoción: 1
a. xz
b. -2y'
c. 4yz
d. -qb2'
a. l2xyzy5xyz
-Lab v
5
3a2m'y
11
^-:-
-I
a
10
Halla el perímetro de los siguientes polígonos.
{l
,urr" la suma de los siguientes monomios.
e. Lm'n
v
2
-323y
4d
-2*'y'y -llx3y2
f.
c.
d. l5a3b3cy l9a3b3c h.
fl)
R.rr.lre las siguientes operaciones entre bino-
mios.
a. (3x -
2y) + (sx -
y)
b. (5x2 + y) + (-y + 2x2)
c. (-23 + 2x) -
(423 + x)
d. (x3y3z+ *) -
(-5x3y3z+ 9l)
e. (-3ab2 - 2c) - (5c't 7ab2)
Estánd ar: pen s a m iento nu mér i co y pe ns am ¡ e nto va ri acion a I
Escribe en el cuadro un término semejante para i
que la igualdad se cumpla.
a. 7ab2 -Ü:
5ab2
b. -2x *A: nx
.. E i2xy- -9xy
d. z3 -l]+ +*: r5i
e. -5o3[3r3- -3a3b3c3
Soluciono problemos
fu
O.t..-ina el monomio que representa el siguiente
enunciado: "Tres veces el triple del cuadrado de
un número, menos la quinta parte del número al
cuadrado'1
I Consulta cómo se llama la propiedad que permite Plantea cada operación. Luego, resuélvela.
afirmar que:
x2(s+2):5x212x2:7x2
Según el texto explicativo de la página 138, deter-
mina si cada uno de los siguientes enunciados es
verdadero o falso. Iustifica tu respuesta.
a. La suma de dos monomios semejantes puede
ser un binomio.
c.
La diferencia entre dos binomios que tienen
solo un par de términos semejantes, es un bi-
nomro.
La diferencia entre dos monomios que no son
semejantes es un binomio.
a. A x3y2 restar 8x3y2
,.
b. A la suma de 9xz3 con7xz3, restar 5xz3 l;
d. Restar 6x2yzz2 de la suma de -4x2y2*
con.-
I5x'y'z'
fl
Escribe dos monomios que sean semejantes a los :,
*
-oro-ios
dados. Luego, establece su suma. ll
e.
"E*y
f. Lx'
3
Completa el cuadrado mágico de tal forma que
cada fila, columna y diagonal de cuatro casillas
sumen lo mismo.
Simplifica las siguientes expresiones.
a. -xy+32-5xy-lz
b. 5xy3 -
2x2 + 4xy3 -t 5P + P
c.2ab*3c-4ab+ab-c
d. Bxzy -
2xy + 7y -
5y -f x2y * 6xy
e. 4?'f 2x3y -
3xy3 + 7?
f. a3 + Tazb + Zb2 -
5ab2 + b2
s. -for' +
!n'a- lor'
+
f, ft
h. -Lm¡
o -
L*rno
-
Lorr*
-
L
orm,
2 ' 3 ' 4' 5'
-Lm'n
J
2ab
5.
-:AzmL
J
v -L*',,9
l}xz I x2 4x2
3x2 8x2
5x'8x2
4x2 x2
f
b
b.
)
I
E,rseestl @ I

140. Mult¡p¡¡coción
E producto de dos monomlos es otro monomio cuyo coeficiente es e producto de los
coeficientes y su parte literal es e producto de las partes iterales de os factores.
. Para multiplicar un monomio por otro monomio se deben multiplicar los coefi-
cientes entre sí y la parte literal teniendo en cuenta las propiedades de potencia-
ción. Por ejemplo, para multiplicar los monomios - 4y'y 3y3 se realiza el siguiente
procedimiento:
( ay) e y3) :
G a) e) u2) (y3)
?:," :i,2? :;;,,:,T! :il;:: ;:,Í!,,,,Í",,,,
Se puede observar que al rnultiplicar las partes literales de ambos monomios fue nece-
sario utilizar una de las propiedades de la potenciación. Esta propiedad menciona que
al multiplicar potencias de la misma base, e1 producto es una potencia con Ia misma
base y con un exponente que corresponde a la suma de los exponentes de los factores.
Por tanto, se tiene que:
(y2)(y3): y2*': yt
. Para multiplicar un monomio por un binomio se debe aplicar la propiedad dis-
tributiva. En este caso se multiplica el monomio por cada uno de los términos del
binomio.
Por ejemplo, para realizar la multiplicación 5a(2a )- 3b) se reahza el siguiente
procedimiento:
5a(2a -t 3b) : (5a)(2a) + (5a)(3b) 5. aplica la propiedad distriburiva.
:
l0a2 * l5ab
Se multiplican los monomios.
. Para multiplicar dos binomios se debe multiplicar todos los términos de uno de
los binomios por todos los términos del otro binomio y luego, se reducen términos
semejantes.
Por ejemplo, para multiplicar
siguientes pasos:
(+*'+ 3m)(t* - n*')
:
-12(yz)(y3)
- -l2Ysz
:(t*'*
-!*^ *
#*'-
r2m3 *
i*'
-[*'- #-^'* **'
(+*'+
3m) r* (i* -
4m2) se realizan tos
Se multiplican los coeficientes teniendo
en cuenLa lo ley de s,gn65
Se multiplican las partes literales aplicando
las propiedades de la potenciación.
Se plantea la multiplicación
Se ordenan los binomios en forma
descendente con respecto a la m.
Se multiplica cada término de un
factor por los términos del otro.
Se reducen términos semejantes.
z*)(-+*'*
**)
Ir{o
4Ü ir,5antillana

141. Responde las siguientes preguntas según el texto
explicativo de la página 140.
a.
¿Cómo
se multiplican dos monomios?
b.
¿Cómo
se multiplican dos binomios?
c.
¿Cuál
es el producto de las expresiones y2 por
73? Justifica tu respuesta.
d.
¿Cuál
es el signo que corresponde al producto
de -5x2
por
-4y2? fustifica tu respuesta.
Completa la tabla.
Resuelve las multiplicaciones entre un monomio y
un binomio.
a. 2x(3x 1- 5)
b. 4xy(2x -
5y)
-52(-x
+ y)
-3xyz(x2 * 4)
c.
d.
v"'
x'y2
-3*'y -5X'
rut*
-6xyz2
- *'yn 5a
- /m'n -l4nm2
8a3b2 -
I5a2b3
Efectúa la multiplicación entre los binomios indi-
cados.
a. (a - b)(a + b) c. (m2 * nz)(mz -
nz)
b. (2x + s)(* + x) d. (3f/-¿)(zxy*-sÉf)
Resuelve las operaciones indicadas.
a. -2x - [3x(sx + 2))
b. -sy - K7y -
L)(6y -
+))
c. f(m + n)(m + n)l - lm2
-t Zmn * n2)
d. m2 - 131@ - n)(n + m)) -
nz
e. f(mx2n -
n)(mxn + m)) -
(m2x3n2 * m2x2n)
Estándo r: pe rt sa n't i e ntc n u m él co y pe n sa m iento v ariaci o n cl
Recupero informoción: 1
Escribe cada multiplicación y su producto según
las representaciones gráficas, tal como se muestra
en el ejemplo.
Ejemplo:
a
Producto
a
Multiplicación
a(a-lb):a2lab
J>a
b
[l
L__l
E
b
E
tI
d
¡
L]
E
ra.___-
b.
Soluciono problemos
Escribe una expresión algebraica que represente el
volumen de agua del acuario.
L
I
Calcula el área de la
región sombreada. Ten
en cuenta que el área
del círculo es A: ¡rr2,
donde rr es aproxima-
damente 3,1416 y r es el
radio.
T
5x
co Santillana
I I4
HI

142. Escribe un monomio, un binomio y un trinomio
í
con las variables x, /
y z.
Expresiones o lgebro icos ! R.l"ciona cada enunciado de la izquierda con la
expresión algebraica correspondiente.
a. La mitad de un número. 1.
b. El triple de un número 2.
más l.
5
Completa la tabla.
3xif-
5
l*
2
Monomio Coeficiente Variables
Escribe dos polinomios que cumplan las caracte-
rísticas dadas.
a. Binomio con coeficientes 3 y -2 y variable x.
b. Monomio con coeficiente 15 y variables a y b.
c. Trinomio con coeficientes 2, 5 y 7 y variables
X, /,
Z.
d. Polinomio con coefi.cientes 3,2, -I,6yvaria-
ble x.
4
c.
d
e
d
e.
f.
La tercera parte
de un número menos 8.
Un quinto de un número
disminuido en 3.
Cinco veces un número
aumentad.o
"r'l
.
3
3.Lx_
z
5
!x-s
3
5.5xf!
J
Términos seme¡ontes
Escribe dos monomios semejantes a cada mono-
mio dado.
a.
Pq2
b.
-2uxy
c. 3x2zz
-l5ab2x
l2Psz
- *'yz'
Suprime signos de agrupación. Luego, reduce tér-
minos semejantes.
a. {2x - lzx + (2x - x)l}
b.
-{@x - 3x) + 6x}
c. Í-(zy * sy) - eyl + r2y
d. 3m - {[am + Qm -
m)) * 2m]
e. (-sz + 2z) + [32 -'(z + az)]
Halla el perímetro de los siguientes polígonos.
a'
5x
Escribe expresiones algebraicas que representan el
i
volumen de los siguientes paralelepípedos.
+)t/+
T
1
t{?-
-l0m-
+3x_
'"+Z
losaniillan¿
3x
5*'y
-L8abc
-,7,
/
Pqr"
9,.
5
--,r+
7y
2y

143. Adición y sustrocción
1
3y
I
b
Halla el área total de las siguientes figuras.
a.
b
T
2x
1
Resuelve las siguientes multiplicaciones.
a. (2xy)(3x)
b. (-5xyz3)(4xy2)
c. (-fy2l¡1-zx2y3)
d. 4(a3b)(-asb3c)
e. -3(223)(3*ys)
Escribe una expresión para el perímetro y otra
expresión para el área del triángulo.
Resuelve las siguientes operaciones.
a. xl3y-5x+2y
b.4é+8*-*-223
c. -5m
-f 2mn -
9mn
d. 4ab -
2acz -
7ac2 -
8ac2 + ab
e. -*+f+zy'-rt+f
Halla la suma de los binomios indicados.
a. (2a-b)y(3b+a)
b. (sxy + 3) y (-5xy + z)
c. (-3xyz + 4) y (-8 + 2xyz)
d. (-8 + 3x2y)y (-2 - sfy)
e. (I5x3y2* i 2xz) y @z - *ty'l)
Plantea cada sustracción que se indica. Luego,
halla la diferencia.
a. Minuendo: -3x2
Sustraendo: 5x2
b. Minuendo:8ÉY
Sustraendo:2x3l
c. Minuendo: x -f y3
Sustraendo: 3x * 2y3
d. Minuendo: z2 + *
Sustraendo: -41
#
Escribe la expresión que corresponde a la altura y
el ancho de la figura.
-2/-
Escribe una expresión para el perímetro de la es-
Multiplicoción
Escribe una expresión algebraica que represente el
área de la región sombreada.
+5x
a+
-b
tq3
3x+3y
calera del punto anterior.
ro Santiltana
I
I4 ilir
x+2y

144. Una expresión algebraica es una combina-
ción de números, letras y signos por medio de
una o vanas operacrones.
Las expresiones algebraicas están conforma-
das por términos. Cada término tiene los sr-
guientes elementos: signo, coeficiente, parte
llteral y exponentes de la parte literal.
Signo +--', r r-+
Exponentes
-5
xtYz
Coeficiente Parte iteral
Para sumar dos monomios semejantes,
se suman sus coeficientes y la parte literal
se deja igual.
Para restar dos monomios semejantes, se
suma el coeficiente del primer monomio
con el coeficiente opuesto del segundo
monomio y se de;a la parte literal igual.
Para sumar o restar dos o más binomios
se lleva a cabo elsiguiente procedimiento:
. Se ordenan los términos de los binomios
con respecto a una letra, puede ser de
forma ascendente o descendente.
.
Se suprrmen signos de agrupación.
. Se reducen términos semejantes.
Las expresiones algebraicas se clasifican en
monomios, binomios, trinomios y polinomios.
. Monomio: consta de un solo térmrno.
. Binomio:consta de dos términos.
. Trinomio: consta de tres términos.
. Polinomio:consta de más de un término.
Dos términos son semejantes cuando sus partes
literales con sus respectivos exponentes son iguales.
Por ejemplo, el término -5x2y3
es semejante con el
término -
1 *trt
7',
Para reducir términos semejantes es necesario tener
en cuenta los sigurentes aspectos:
.
Se deben suprimir signos de agrupación, si los hay.
. Cuando los términos tienen el mismo signo, se
suman los valores absolutos de los coeficientes.
Luego, se escribe la suma con el signo común y se
deja la misma parte literal.
. Cuando los términos t¡enen diferente signo, se res-
tan los valores absolutos de los coeficientes como
números naturales. Luego, se escribe la diferencia
con el signo del coeficrente que tiene mayor valor
absoluto y se deja la mlsma parte literal.
Para multiplicar dos monomios, se multrplican los coefic¡entes.
Luego, se multiplican las partes Iiterales.
Para multiplicar dos binomios, se realizan los siguientes pasos:
.
Se ordenan los térmrnos de cada binomio en forma descendente
o ascendente con respecto a una letra.
.
Se multiplrca cada término de un factor por los términos del otro.
.
Se reducen términos semejantes.
\qr{
4 |
c Santillana
Ef'{
=IHTE;II5...
iri
lérÉno§
l,nrilflili

145. 5Q-(o¿o
g:Jt.b A tv (- rt >t
6-zz
LOét-zs
tt-
El ólgebro en lo
pisto de potinoieI
Una de las modalidades del patinaje de velocidad son las carreras en pista. Estas pueden
ser: carrera contra reloj, carrera en línea, carrera a tiempo, carrera de relevos, carrera de
persecución y carrera de puntos con eliminación.
Se llama pista a la instalación al aire libre o cubierta que presenta dos segmentos de igual
medida, en conexión con dos curvas simétricas que tienen el mismo diámetro, cuya línea
se encuentra sobre una horizontal. El suelo de la pista debe ser de material lo suficiente-
mente liso como para Ia práctica del patinaje sobre ruedas; de tal forma que no puede ser
resbaloso, para no comprometer la estabilidad de los deportistas. Las pistas pueden ser
planas o tener curvas con peralte. Estas últimas deben estar bordeadas por una barrera o
valla exterior hecha en materiales aptos para limitar su peligro.
Si se considera que la pista de patinaje está compuesta por una superficie rectangular
y dos semicírculos a los lados, se puede determinar el área total de la pista así:
Ao: área del semicírculo -|
área del rectángulo -|
área del semicírculo
A, : A=ü_+ (lso - r)(r *, * !+L
Responde:
¿Cuáles son los tipos de carreras deipatinaje en el área total de la pista.
Simplifica la suma de polinomios que determina
Determina una expresión algebraica que permita
determinar el perímetro externo de la pista.
Responde:
¿es posible que el área total de la pista
de patinaje sea un número entero? ¿En
caso afir-
mativo explica qué condiciones debería tener para
obtener dicho valor?
pista?
¿En
cuáles figuras se puede descomponer la pista
de patinaje para hallar su área?
¿Qué
expresiones algebraicas determinan la base
y la altura del rectángulo que conforman la parte
central de una pista de patinaje?
It5
ir

146. MATEMATICAS TECNOTOGÍA
Las máquinas simples son dispositivos
que permiten aplicar una fuerza mayor
que la que una persona podría aplicar
utillzando soiamente los músculos, o
aplicarla de form¿ mas eficaz.
Palanca
Es una máquina simple di-
señada sobre un punto de
apoyo que permite multipli
car la fuerza ejercida en un
lugar determinado para su
perar cierta resistencia. Para
consegurrlo, se aumenta el
recorrido que exrste entre el
sitio en donde se reallza la
fuerza y el punto de apoyo.
Palanca de tercer grado
La fuerza está entre el pun-
to de apoyo y la resistencia,
como en las prnzas y eL ante-
brazo humano.
Palanca de primer grado
El punto de apoyo está entre
la fuerza y la resrstencia, como
en el caso de las tijeras, la ba-
lanzay elcolumpro.
Apoyo
Palanca de segundo grado
La resistencia está entre el
punto de apoyo y la fuerza,
como en la carretilia, el casca-
nueces o el abrelatas.
Apoyo
Fuerza

147. §§ §§ §§
Es una máquina simple formada
por una rueda que gira alrededor
de un eje y una canal que rodea
su circunferencia. A través de ella
se hace pasar una correa o cuer-
da con el frn de elevar objetos con
mayor facilidad.
Existen tres tipos de Poleas:
fija,
móvil y polipastos.
Polipasto
Un polipasto es un slstema
de poleas combinadas de tal
forma que permiten elevar
grandes cargas con el menor
esfuerzo posible.
Polea fija
Esta polea se encuentra sos-
tenrda e n un punTo frjo y Por
tanto, gira sin moverse de su
sitio. Para elevar la carga, la
fuerza aplicada debe ser ma-
yor o igual que la resistencia.
7 Hl r
er santiliana I i4h
l

148. MATEMATICAS' TECNOTOGIA
Plono inclinodo
El plano inclinado es una superficie plana que
forma un ángulo (no recto) con la horizontal.
Es una máquina simple que se emplea para
elevar cuerpos muy pesados realizando menos
esfuerzo.
Cuanto menos inclinado es el plano, menor
será la fuerza que se tendrá que hacer sobre
la carga, pero mayor será la distancia recorrida
para subir la misma altura.
Cuño
La cuña es un plano in-
clinado doble, donde
la fuerza que se aplica
perpendicularmente a
la base se transmite
multiplicada a las ca-
ras de la cuña.
La fuerza aumenta más cuanto mayor longitud
t¡enen las caras y menor longitud tiene la base.
Tornillo
Eltornillo es un plano inclinado, pero enrolla-
do sobre un cilindro. Cuando se aplica presión
y se enrosca, se multiplica la fuerza aplicada.
Cada ñlete de la rosca hace de cuña, introdu-
ciéndose en el materialcon poco esfuerzo.
Componente
APROPIACIÓN Y U50 DE tA TE(NOLOGÍA
1. Arquímedes dedicó su vida al estudio de diversos campos de la cien-
cia (geometría, mecánica, física e ingeniería), por tal razón es consi-
derado, para algunos, como el ingeniero de la hurhanidad. Consulta:
a.
¿En
qué época vivió?
b.
¿Qué inventos desarrolló?
c.
¿Cuál fue su influencia en el desarrollo de las máquinas simples?
2. Leonardo da Vinci inventó este aparato, denominado odómetro.
Consulta:
a.
¿Para
qué sirve?
b.
¿Cómo funciona?
Actividod
ruux

149. (omponente
TE(NOI.OGíA Y SO(IEDAD
Los polancos y el cuerpo humono
El cuerpo humano es una de las máquinas más perfectas y complejas, Dentro de su estudio biomecánico se
ha podido identiñcar que los huesos, los músculos y las articulaciones actúan en varias partes como palancas.
Palaca de primer grado:
articulación occipitoatloidea.
Palanca de segundo grado:
articulación tibiotarsiana.
Construye unc poleo fiio
Materiales:
. ljn gancho de alambre.
. Alicates.
. Un carrete de hilo grande, vacío.
. lJna bolsa plástica pequeña con manijas.
. Objetos pequeños, como canicas o pelotas de goma.
. Tres metros de cuerda.
Procedimiento:
1. Corta 20 cm a cada lado del gancho.
2. Dobla, en ángulo recto, los extremos y pásalos a través del
carrete.
/
Toma los extremos que atravesaron el gancho y dóblalos ha-
cia abajo. Verifica que el carrete puede girar libremente.
Cuelga la polea de algún lugar saliente y seguro.
Ata la bolsa a un extremo de la cuerda e introduce algunos
objetos dentro de ella.
Deja la bolsa en el suelo. Luego, pasa la cuerda por Ia polea y
tira de ella para levantar la bolsa directamente hacia arriba.
Realiza la práctica con diferentes pesos y describe lo que su-
cede en cada caso.
4.
5.
6.
7.
. ,!'
Palanca de tercer grado:
articulación del codo.
(omponente
sOLUCIÓN DE PROBLEMA5 CON TECNOLOGÍA
ru

150. Geometrio
, Temos de lo unidod
# Polígonos
ffi Circunferencia y círcu o
ffi Sólidos

151. a. Determina cuáles de las siguientes figuras son
polígonos.
Establece cuántos triángulos, cuadriláteros y
pentágonos hay en el siguiente cuadrado.
c. Determina cuáles de los siguientes sólidos tie-
nen más de una caray cuáles no.
El cíclope motemótico
La tensión se apreciaba en el rostro de los presentes. La
operación de cataratas parecia un éxito, pero la luz se
fue apagando y Euler se quedó ciego.
Euler, que a sus 59 años derrochaba vitalidad, era el
menos afectado de todos y bromeaba contando anéc-
dotas de su vrda.
-Si
Federico el Grande de Prusia me viera ahora no sa-
brÍa cómo llamarme
-decía
Euler, puds el monarca lo
llamaba el cíclope motemót¡co, porque había perdido
un ojo en su juventud.
Euler continuaba con sus bromas y afirmaba:
-¡Ahora
me llamaría Polifemo!
-pero
solo él rió un
chrste que a los demás les pareció inoportuno.
Recuperando la seriedad, Euler se dirigió a su familia:
-No
os preocupérs, la vista no lo es todo; de hecho
ahora evitaré distracciones y me concentraré más. Lo
que si lamento es no.poder escribir o dibujar.
-No
te preocupes por eso
-le
dilo su hijo-.Tú solo
piensa y dicta, que yo estaré aquipara escribiry dibujar
lo que tú imaginas.
Esto ocurria en 1766 en San Petersburgo. Varios años
antes, durante su estancia en Prusia, Euler publicó uno
de sus trabajos más conocidos: La relación de Euler,
que afirma que, en todo poliedro simple, el número de
caras más el de vértlces es igual al número de aristas
más 2.
Tomado de l,latemáttcas / Eso, España, Editorial Santillana,2007
Consulta la bioqrafia de Leonhard Euler y resume
gor escrito sus aportes a Ia qeometría
Dlbuja un cubo en tu cuaderno. Luego, comprueba
la relación de Euler enunciada en el texto anterior.
Htrtrilull

152. Poligonos
Un polígono es una figura plana limitada por segmentos, tales que cada segmento
se interseca con otro solo en sus puntos extremos, y ningún par de segmentos son
colineales.
Los elementos de un polígono son: lados, vértices, ángulos interiores, ángulos ex-
teriores y diagonales. Por ejemplo, el polígono PQRST lo conforman los siguientes
elementos:
. Los lados son los segmentos que conforman el polígono:
PQ, QR, RS, ST y 7P.
Los vértices son los puntos donde se interseca cada par de
segmentos: P, Q, R, S y T.
Los ángulos interiores son los ángulos formados por los
Iados del polígono: {P, {Q, {R, {S y {I
Los ángulos exteriores son los ángulos formados por
un lado y la prolongación de otro, Por cada vértice, un
polígono tiene dos ángulos exteriores. Así, los ángulos
exteriores correspondientes al vértice R son {MRS y
{NRQ.
Las diagonales son los segmentos cuyos puntos extremos
consecutivos del polígono: PR, PS, QT, QS y RT .
Se puede calcular el número de diagonales y la suma de sus ángulos interiores me-
diante las siguientes expresiones donde n es el número de lados.
Número de diagonales Suma de los ángulos interiores
2
son dos vértices
.T
no
Los polígonos se clasifican según la forma, según el número de lados y según la me-
dida de sus lados y ángulos interiores.
Según la forma Según el número de lados
Closificoción de poligonos
Se claslfican en convexos y cóncavos
Un polígono es convexo cuando ninguno
de sus ángulos interiores mide más de I80'
Un polígono es cóncavo cuando alguno
de sus ángulos interiores mide más de I80"
Se clasifican como triángulo, cuadri átero,
pentágono, hexágono, heptágono
y asÍ suceslvamente. Por ejemplo
el pentágono tiene cinco lados
y el hexágono tiene seis.
Í2L
Z
I
o Santillana
Pentágono Hexágono
I
ullil

153. Estándar:pensamienroespaciaiypensamiet..¡tométr¡co
Se claslfican en regulares e irregulares
Un polÍgono es regular cuando es convexo y
todos sus lados y sus ángulos tienen la misma
medida. En cambio, es irregular cuando sus
lados y sus ánqulos t¡enen diferente medida. Polígonoregular PolÍgonoirregular
x Ejempto
Determinar el número de diagonales y la suma de los ángulos interiores del si-
guiente polígono.
F u
Para calcular el número de diagonales .ly' se tiene que:
6(6 - 3) (6x3) 18
,":
,.
:
2
:r:,
Para calcular la suma de los ángulos interiores se tiene:
S : (6 -
2) X 180o : 4 X 180' :
72Oo
Por tanto, el polígono tiene nueve diagonales y sus ángulos interiores suman 720o.
Recupero informoción: 1
Contesta las siguientes preguntas.
a.
¿Qué
es un polígono?
b.
¿Cuáles
elementos conforman un polígono?
c.
¿Cómo
se clasifi.can los polígonos?
@
o.t"r.nina cuáles de las siguientes figuras son
polígonos. Justifica tu respuesta.
Clasifica los siguientes polígonos según su forma,
su número de lados y Ia medida de sus lados y de
sus ángulos.
a. b. c.
@
Cut.rrtu el número de diagonales y la suma de los
ángulos interiores de cada polígono.
lllil

154. Dos ángulos o dos lados son
rongruentes cuando tienen l¿
misrn¿ medid¿
Éq
Trióngulos
Untriánguloesunaregiónde pano imitadaportresrectasqueseintersecandosados
Para nombrar un triángulo se escribe el símbolo A
seguido de las tres letras que indican sus vértices. Así,
el triángulo mostrado se nombra LABC, donde A, B y
C son los vértices, AB, BC y AC son los lados, y {^A,
{B y {C son los ángulos interiores.
Para nombrar los lados de un triángulo, también se
puede escribir la letra que indica el vértice del lado
opuesto, en minúscula. Por ejemplo, en el APQR, el
lado PQ se nombra r, el lado QR se nombra p y eI
lado PR se nombra q.
Cuando dos lados o dos ángulos son congruentes, se
utilizan las mismas marcas para indicar dicha con-
gruencia. Así, en ASTU se tiene que {SIU =
{SUT
y ST
=
SU.
F€ je pLG
Determinar cuántos triángulos hay en la siguiente figura. Luego, nombrarlos.
En la figura hay 13 triángulos. Para nombrarlos se deben indicar los vértices así:
Luego, se escriben los tres vértices de cada triángulo anteponiéndole el símbolo A.
De donde se concluye que en la figura están los siguientes triángulos: ACDE, LBC],
AIEF, LECI, LABI, LAH, LHFG, AJBI, LFJH, LBDF, AACH, LIEGy LADG.
Además, se pueden establecer algunas congruencias entre los lados de algunos trián-
gulos, tales como: CD
=
DE, CH :-
EG y AD
=
GD .
{, I
rl:: 5antiliana
RE
.:#

155. Estándor: pensamiento espacial y pensamiento méirico
Closificoción de lrióngulos
Los triángulos se clasifican según la medida de sus lados y según la medida de sus
ángulos.
Según la medida de sus lados los triángulos se clasifican en:
Equilátero Isósceles Escaleno
Según Ia medida de sus ángulos los triángulos se clasifican en:
Acutángulo Rectángulo Obtusángulo
x Ejemptos
Q
U"ai.los lados y los ángulos interiores del siguiente triángulo. Luego, clasi-
ficarlo según la medida de sus lados y según la medida de sus ángulos.
Los lados del triángulo MNO miden: MN :
3,4 cm, ON : 2 cmy OM: 3 cm.
Además, las medidas de los ángulos interiores son:
m{MNO :
60o, m{NMO : 35'y m{MON : 85'.
De acuerdo con lo anterior, el triángulo es escaleno porque las medidas de sus
Iados son diferentes. También, se puede deducir que el triángulo es acutángulo
porque las medidas de sus ángulos interiores son menores que 90".
@
OiUo¡nr un triángulo obtusángulo e isósceles.
Para dibujar este triángulo es necesario que el triángulo
tenga dos lados de igual tamaño, y esos dos lados deben
formar un ángulo obtuso, el lado diferente debe formar
ángulos agudos con cada lado. Así el triángulo obtusán-
gulo e isósceles se observa en la figura del lado.
\.
)J,
t55
(cr Santillana I I 5't]:f
Para indicar la medida de un
ángulo se escribe m{/BC
Los ángulos se miden usual-
mente en grados.
Los tres lados son
congruentes entre si
Solo dos lados son
cong ruentes,
Ningún par de lados
son congruentes,
Los tres ángulos son agudos,
es decir, miden menos de 90".
Un ángulo es recto, es decir,
mide exactamente 90".
Un ángulo es obtuso,
es decir, mide más de 90"

156. Construcción de trióngulos
Los triángulos se pueden construir con regla y compás si se conocen las medidas de
sus lados.
Construcción de un triángulo equilátero
I . 5e traza un segmento,4B ron l¿
medida dada. Luego, se toma
su medida con el compás
I
2.
(on
esta abertura, se traz¿ un arco
con centro en,4. Luego, se repite el
mismo procedimiento con (entro
en B.
kt
//
/
B
Construcción de un triángulo isósceles
Construcción de un triángulo escaleno
Dadas las medidas a, b y c de un triángulo escaleno:
i. Se traza un segmento,4/A/de medida a.
i ¡. ie nomnr. ,l ,rr.,.r r¿,,',, A.l
i triángulo (,?). Luego, se trazan PR
i
von
traza tln ar(o haciendo centro en ,A/
,r
I
l/t N
2. 5obre una reqla, se t0ma c0n el compás la medid¿
de b. Luego, se traz¿ un ¿rco haciendo centro en M
4. 5e nombr¿ el punto de intersección de los arcos (0)
Luego, se trazan 0My 0N.
3. 5e nombra el punto de in-
tersección de los arcos (0.
Luego, se traza /[y B[.
?, 5e tr¿z¿ un seqmento
P0 con l¿ medida de
los dos lados con
gruentes, Luego, se
toma su medida con el
compás.
¡. solre L,nu r.qlu, r.ior,'1, ..oii, I Lrrér, t. ;
:r
JI
iJ
;l
¡:
J!
il
:E
:í
t:
ll
Ei
:¡
ii
EÉ
j:
Iy1l
56
§lrsant ana
2. ton efa abertur¿, se traza un i
ar(o (on (entro en 0 Lueqo, se
ubrca en efe el tercer vértice del
triáng(] o.
PO
MN

157. Estándor: pensamiento esoacial y pensamtento métrico
Recupero informoción: 1
@
O.t".-ina la cantidad de triángulos isósceles que
se pueden formar con los siguientes puntos. Ten
en cuenta que la distancia entre punto y punto es la
misma, en forma vertical y horizontal, y que cada
punto es un posible vértice.
pás, de tal forma que AB : 7 cm, BC : 5 cm y
m{ABC: 30".
{i
t" el triángulo MNO se trazan dos segmentos
desde los vértices O y M hasta al lado opuesto a
estos, con lo cual se forman 8 triángulos. Si trazan
otros dos segmentos de la misma forma se forman
27 triánguJos tal como se puede observar en las
siguientes figuras.
ON
b.
Determina cuántos triángulos se forman
repetir el mismo procedimiento.
Establece cuántos triángulos se forman si
repite el mismo procedimiento n veces.
;,
R.rponde las siguientes preguntas d.e acuerdo con
. O
Observa el siguiente dibujo. Luego, determina
ll
.1 texto explicativo de las páginas 154 a 156. '.
-
cómo son los triángulos de acuerdo con la medida
. . de sus lados. Justifica tu respuesta.
a.
¿Luales son los elementos que contorman un
triángulo?
b. ¿Cómo se clasifican los triángulos según la
medida de sus lados?
c. ¿Cómo se clasifican los triángulos según la
medida de sus ángulos?
d.
¿Cómo
se construye un triángulo equilátero
utilizando regla y compás?
Nombra cada uno de los siguientes triángulos.
Luego, determina cuáles son los vértices, los lados
y los ángulos interiores.
Soluciono problemos
Q
Vfia" los lados y los ángulos interiores de cada
$
Construye un triángulo ABC, con regla y com-
d.
a.
uno de los siguientes triángulos. Luego, clasifícalos
según Ia medida de sus lados y según la medida de
sus ángulos.
c.
a. Un triángulo equilátero cuyos lados midan 5 cm.
b. Un triángulo escaleno cuyos lados midan 8 cm,
10cmy6cm.
c. Un triángulo isósceles cuyos lados congruentes
midan 7 cm.
ala.
b.

158. Propiedodes de los lrióngulos
En todo triángulo se verifican cuatro propiedades:
Propiedad l. La suma de los ángulos interiores es 180o.
Propiedad 2. Al lado de mayor longitud se opone el ángulo de mayor medida y al
lado de menor longitud se opone el ángulo de menor medida.
Propiedad 3 (Desigualdad triangular). La medida de uno de los lados de un trián-
gulo es menor que la suma de las medidas de los otros lados.
Propiedad 4. La medida de un ángulo exterior es igual a la suma de las medidas de
los ángulos interiores que no le son adyacentes.
+t EiemBtos
Calcular la medida del ángulo que falta en el siguiente triángulo.
K
Por la propiedad 1 se tiene que:
m{lKL + m{lLK + m{KlL: 180o.
Luego, se realiza el siguiente procedimiento.
43"+29" +m{K[:180o
72" -l m{KlL: 180o
m{.KlL: 108'
Por lo tanto,la medida del {K/I es
Se remplazan las medidas del {)Kl,y del *JLK.
Se suma
5e resta 72" en ambos mtembros de la igualdad.
108'.
ffi
Er,"Ut"cer cuál es la medida que corresponde a cada lado del AABC, si
4 cm, 5 cmy 7 cm son las medidas de los lados y m{A : 35', m{B :
45" y
m{C: 100o.
Por la propi edad 2 se tiene que al lado de mayor medida se opone el ángulo de
mayor medida, y al lado de menor medida se le opone el ángulo de menor me-
dida. Por 1o tanto, se deduce que AB : 7 cm, BC : 4 cmy AC: 5 cm, como se
muestra en la figura.
B
rsB
l'58 i.,santiiiana

159. Estándar:
¡:e
i: sa rn i ento espacial
t¡ pen sr;rriento ri ¡étri c,¿
Verificar si 12 cm, 6 cm y 20 cm corresponden a las medidas de un triángulo.
Se utiliza la propiedad 3, es decir, la desigualdad triangular. Luego, se compara la
suma de las medidas de dos lados con la medida del otro lado así:
20cm*6cm)12cm 20cm* 12cm)6cm 12cm*6cm(20cm
26 cm) 12 cm 32cm)6cm 18cm(20cm
De donde se deduce que las medidas dadas no corresponden a las medidas de los
lados de un triángulo, puesto que 20 cm es mayor que la suma de las otras dos
medidas. Por lo tanto, no se cumple la desigualdad triangular.
Calcular la medida de los ángulos indicados, teniendo en cuenta las medidas
de los ángulos dados.
Se realiza el siguiente procedimiento:
55"*m{3:140"
m{3
--
85'
55" + 85'+ m{1 : 180"
140'+ m{l :
180'
m{1 :
40o
Por lo tanto, se tiene que m{1 : 40', m{3 :
85o, m{4 :
125" y m{5 :
95"
Se aplica la propiedad 4
Se resto 55" en ambos
miembros de la igualdad.
Se aplica la propiedad I
Se suma.
Se resto 140' en ambos
miembros de la igualdad.
Se aplica la propiedad 4.
Se suma
si
,y
de
SC
Calcular la medida de los ángulos exteriores del AHIL si m{-EI :
60",
m{f:80"ym{/:40".
Se aplica la propiedad 4, es decir, se
suman las medidas de los ángulos inte-
riores no adyacentes al ángulo exterior,
con lo cual se calcula su medida.
Por lo tanto se tiene que:
m{HIN: 40o + 60o :
I00o
milHM: 40o * 80o :
120o
m{OII: 60" * 80" :
140"

160. Propiedades de los triángulos
Según el texto explicativo de las páginas 158 y 159,
@
Cutcuta la medida de los ángulos en cada figura.
determina cuáles de Ias siguientes afirmaciones
son verdaderas y cuáles son falsas,
a. En un triángulo rectángulo la suma de las me-
didas de los ángulos agudos es 90'.
En un triángulo, al lado de mayor longitud, se
opone el ángulo de menor medida.
En un triángulo Ia suma de las medidas de dos
lados puede ser igual a la medida del otro lado.
En un triángulo equilátero cada ángulo exte-
rior mide 120'.
c.
d.
Escribe ) o (
de acuerdo con cada figura.
c.
1
2,5 cm
I
m{A .
-
m{B
m{B
-
m{C
m{C
-
m{A
b.M
m4M m{N
m{O -m{N
m{M
-
m{O
Q,-3cm+
m{Q
-m{Rm{R
-
m{S
m{S
-
m{I
m4l
-*
m{K
m{I --m{/
m{K
-
m{I
ip Soluciono problemos
Los ángulos de la base de un triángulo isósceles
miden 70', ¿cuánto mide el ángulo opuesto a Ia
base?
Dos de los ángulos interiores de un triángulo
miden 45" y 35o,
¿cuánto mide cada uno de los
ángulos exteriores?
Si las medidas de los lados de un triángulo son:
FG :
8 cm, GH: 10 cm, FH: 5 cm,
¿cuál
de los
ángulos interiores tiene mayor medida y cuál tiene
menor medida?
Felipe quiere armar una estructura triangular y
cuenta con dos trozos de madera, uno mide 6 m y
el otro 8 m. Si Ia medida del tercer trazo de madera
debe ser un número entero:
¿Cuál
es la mayor medida que puede tener?
¿Cuál
es la menor medida que puede?
d
Calcula la medida del ángulo que falta en cada
triángulo.
a.
E
a.
b.
Natalia quiere diseñar su propio jardín con forma
de triángulo isósceles, de tal forma que las me-
didas de los lados sean números enteros. Si el
perímetro del jardín es de 18 m,
¿cuáles
son las
posibles medidas de los lados?
b.a
.:i¡it
ruil

161. Estándar: penscmtenia esoacrci y pensctTnier,to métnco
Cuodrilóteros
Un cuadrilátero es un po ígono de cuatro ados, cuatro vértices y cuatro ángu os lnteriores
Los cuadriláteros tienen las siguientes propiedades:
. La suma de sus ángulos internos es 360'.
. Los lados opuestos son aquellos que no tienen nin-
gún vértice común, por ejemplo, AB y CD.
. Los lados consecutivos son aquellos que tienen un
vértice en común, por ejemplo, AC y CD.
. Los ángulos opuestos son aquellos que no
ningún lado común, por ejemplo, {Cy {8.
. Los ángulos consecutivos son aquellos que
un lado común, por ejemplo,4Ay {.8.
Los cuadriláteros convexos se clasifican en paralelogramos, trapecios o trapezoides,
dependiendo de si sus lados son o no son paralelos.
Porolelogr0mo§
Los paralelogramos son cuadriláteros que tienen sus dos pares de lados opuestos
paralelos. Se clasifican en: rectángulos, cuadrados, rombos y romboides.
i Paralelogramos l
:--
- --- -
Rectángulo
Tiene cuatro
ángulos rectos.
Cuadrado
Tiene cuatro lados
de igual medida
y cuatro ángulos
rectos
tienen
tienen
C
Rombo
Tiene cuatro iados
de igual medida y
os ángulos conse
cutivos diferentes
Romboide
Tiene os lados
¡r los ángu os
conSecutivos d.o
diferente medida
S
a
Algunas propiedades de los paralelogramos son:
. Cada diagonal lo descompone en dos triángulos congruentes.
. Las diagonales se intersecan en sus puntos medios.
. Los lados opuestos son congruentes.
. Los ángulos opuestos son congruentes.
. Las medidas de dos ángulos consecutivos suman 180o.
Por ejemplo, para determinar las medidas de todos los ángulos del paralelogramo
MNOP (figura l) se realiza lo siguiente:
?
Como los ángulos opuestos son congruentes {M =
4P entonces m{P :
40o.
Como dos ángulos consecutivos suman 180o, entonces m{M * m{N
=
180o, se
tiene que m{N :
180o -
40' :
140'.
Como los ángulos opuestos son congruentes, entonces {N = {O, así m{O :
140o.
Luego, las medidas son: m{M :
40o, m{P :
40", m{O :
140o y m{N :
140o.
IA
3-
el
AS
OP
Figura 1
..it Santiilana I I6l
ii
11
;:
::
:¡
:i

162. ü
F
;r
ii
I
I
¡
!
i
Ir
!l
Dos ángulos son suplemen
t¿rios si sus medid¿s suman
1 80".
En un trapecio los lados opuestos paralelos se denomi-
nan bases. La base de mayor longitud se conoce como
base mayor y la de menor longitud como base menor.
La altura del trapecio es la medida del segmento per-
pendicular, trazado desde un punto de una base hasta
la otra.
El segmento que une los puntos medios de los Iados no
paralelos de un trapecio, se llama base media.
Los trapecios se clasifican en:
Tropecios
Un trapecio es un cuadrilátero que tiene so o un par de ados opuestos paralelos
Tiene os cuatro lados
de diferente medida
Tiene los lados no paralelos
de igual medida
Tiene dos ánou os rectos
En un trapecio isósceles se cumplen las siguientes propiedades:
Las diagonales son conqrttentes. 2. Los ángulos correspondientes a c¿da base tienen
la misma medid¿
Calcular los ángulos indicados si ABCD es un trapecio isósceles.
BCG
Se tiene que m{2 :
45o por las propiedades de los trapecios isósceles.
Luego, m{4 :
135" porque el44y el{DCG son suplementarios.
Finalmente, se tiene que m{1 :
135o porque el {1 y el {4 son ángulos correspon-
dientes a Ia misma base de un trapecio isósceles y por tanto son congruentes.
l6E l.-r,lantillan¿
RECUERDA OUE...
Base menor
Base mayor

163. Estándar: pensamiento espaciai y pensamtento nétr¡co
Tropezoides
Un trapezoide es un cuadrilátero en el cual ningún par de lados opuestos son paralelos.
Por ejemplo, los cuadriláteros ABCD, HIK y FGHI son trapezoides.
BruF
Los trapezoides se clasifican en:
Trapezoide simétrico Trapezoide asimétrico
r--\
\____\
Tiene exactamente dos pares de lados con-
secutivos congruentes.
No tiene ados congruentes
El trapezoide simétrico también es conocido con el nombre
de cometa. En una cometa la diagonal cuyos puntos extre-
mos son los vértices donde concurren los pares de lados
congruentes se conoce como diagonal principal.
En una cometa la diagonal principal es bisectriz de los ángu-
los cuyos vértices une, y es perpendicular a la otra diagonal
en su punto medio.
Construcción de un trapezoide simétrico
Para construir un trapezoide simétrico ABCD, conociendo las medidas de una dia-
gonal (AC) y de sus lados AB y AD se procede así:
Diagonal
principal
1.Se traza el segmento /C 3. 5e toma la medida /D con
el compás y se trazan arcos
al Iado opuefo del punto B,
(on centro en / y con centro
en (.
Luego, se nombra el
punto de inte6eccrón de los
arcos (D)
>k >k
I CA C
th
2. 5e toma la medid¿ /B
con el compás y se tr¿-
zan arcos con centro en,4
y con centro en C Luego,
se nombra el punto de
interseccrón de los arcos
(B).
A(
5e trazan AB, BC, CD y AD
o
AC
;+,
ro santillana
I
I 63ilftl
Uüu
n-

164. Construcción de cuodrilóteros
Para construir un paralelogramo ABCD, conociendo la medida de sus lados conse-
cutivos AB y AD, y el ángulo A que hay entre ellos, se procede así:
1.5etraza/B
AB
3. 5e toma l¿ medid¿ /D con e
compás. Luego, se traza un ¿r(o
con centro en /.
5e tom¿ la medid¿ de /D .
Lueqo, se traza un alco con (en
tro en B
5e nombra e punto de rnter
secc ón de los arcos (Q. Luego
setrazan D( y (B
Filósofo grieqo. Fundó la Ac¿demia,
una especie de univenidad donde
se estudrab¿n diferentes ciencias,
como matemáticas, astronomía y
física. Generalizó algunas reglas
metodológicas en la geometría y
solo aceptaba el uso del compás y
de la regla en esta ciencia.
i 2. 5e utiliza el transportador para 4, Setraz¿ l¿ medid¿ de /B con
e compás Luego, se traza un
¿rco con centro en D.
6.
trazare ángulo/
Para construir un romboide PQRS, conociendo las medidas de sus lados consecuti-
vos PQ y PS, y de una de sus diagonales PR , se procede así:
x
1. 5e trazan
PR, PQ y P5
4. Se toma a medida
de PJ con e com
pás Luego, se traz¿
un ¿rco ton centro
enP
2. 5e traza una recta y se
ubica un punto P en
ef¿. Luego, se tr¿s ad¿
l¿ medida de PR con
elcompás. p
5. 5e repite e paso an
terior, esta \/ez, (on
(entro
en R, Luego, se
nombr¿n los puntos
de intersección de os
arcoscomo0y5
3. Se toma l¿ me-
dida de P0 con el
compás. Lueqo, se
tr¿ra un arco con
centro en P, arrib¿
de PR y otro con
centro en R, de-
bajo de pfl
164 ioSantiilana
PQ,QR, RS
Y
SP
Platón
428a.L-347 a.C.
t/:
't
:/ c i
i".."". .. .",.,."..."..., ...".,..."...."."."....:

165. Estándar: pensamiento esoactal y pensamiento rnétrtco
Determina cuáles de las siguientes afirmaciones
son verdaderas y cuáles son falsas.
a. Algunos rectángulos con cuadrados.
b. Todos los paralelogramos son rectángulos.
c. Algunos trapecios son trapezoides.
d. Todos los rombos son cuadrados.
e. Algunos romboides son rectángulos.
f. Todos los trapezoides son cometas.
Clasifica cada uno de los siguientes cuadriláteros
en paralelogramos, trapecios y trapezoides.
a. c. e.
Determina cuáles cuadriláteros
cuáles son trapezoides.
Completa cada figura para formar un trapezoide
simétrico.
a
db
c.
d.
c
d.
a.
b. a.
b
Responde:
a.
¿Qué
es un cuadrilátero?
b.
¿Cuáles
son las propiedades de los cuadriláte-
ros?
c.
¿Cómo
se clasifican los cuadriláteros convexos?
d.
¿Qué diferencias hay entre un paralelogramo,
un trapecio y un trapezoide?
son trapecios y
Recupero informoción: 1
Realiza las siguientes construcciones con regla y
compás teniendo en cuenta los pasos menciona-
dos en la página 164.
b.
Un paralelogramo FGHI, en el cual FG :
5 cm,
FI:4cmym{F:65o.
Un romboide STUX, en el cual ST :
4,5 cm,
SX :
3,3 cm y la diagonal SU :
7 cm.
Soluciono problemos
Si AB y CD son perpendiculares en sus puntos
medios y AB: CD
¿qtté
clase de cuadrilátero es
ABCD?
Si AB y CD son perpendiculares en sus puntos.
medios y AB y CD tienen diferentes medidas,
¿qué
clase de cuadrilátero es ABCD?
¿Cuántos
y cuáles trape-
zoides asimétricos hay
en la siguiente figura?
EI siguiente esquema muestra la posición de las
casas de cuatro amigos: Ana, Felipe, Rocío y Luis.
Metros
(m)
(0,6)
¿Cuál
es la distancia entre la casa de Ana y la
casa de Luis?
¿Por
qué Ia distancia entre la casa de Felipe y la
casa de Rocío es Ia misma que Ia distancia entre
la casa de Ana y la casa de Luis?
(r,2)
$,2)
il

166. en uno de los extremos al segmento AB. Luego, activa la herramienta texto y simbolos y nombra a ese
punto C.
Activa la herramienta construcciones y traza una recta paralela a Ia recta AC que pase por el punto B.
Luego, activa nuevamente la herramienta construcciones y traza una recta que sea paralela a AB que
pase por C.
:
l6 6 I
€) sanrillana
AB
qi
5i

167. Activa la herramienta punto sobre objeto y marca Ia intersección de las dos rectas paralelas. Luego, activa
la herramienta texto y símbolos, y nombra a ese punto D.
'o
sant¡llana
| 157:hr'ffi
-

168. Polígonos congruentes
Dos polÍgonos son congruentes cuando tienen exactamente la misma forma y e mismo
ta ma no.
Por ejemplo, el polígono ABCD es congruente con el
polígono EFGH porque al sobreponerlos coinciden
exactamente, y en consecuencia, sus vértices, sus
lados y sus ángulos se corresponden. Así, al vértice
A le corresponde el vértice E, al lado BC le corres-
ponde FG y al {D, le corresponde el {H. Estas co-
rrespondencias se escriben como A
<-+ E, BC <+ FG
y {D
++ {H.
Es importante tener en cuenta que dos polígonos
son congruentes si y sólo si los lados y los ángulos
correspondientes son congruentes.
Criterios de congruenc¡o de triéngulos
Para determinar si dos triángulos son congruentes se deben tener en cuenta los si-
guientes criterios:
Criterio lodo, lodo, lodo (LLL)
BF
CE
Si los tres lados de un triángulo son respectivamente
congruentes con los tres lados de otro triángulo,
los triángulos son congruentes. Por ejemplo, el
APQR: ASTU, puesto que PQ =
SI, QR =
7U
yPR=SU.
Criterio lodo, óngulo, lodo (LAL)
Si los dos lados de un triángulo y el ángulo formado
por estos son congruentes con dos lados de otro
triángulo y el ángulo formado por estos respec-
tivamente, los triángulos son congruentes. Así el
LABC =
LDEF porque AB =
DE, BC :
EF y
{B = {E.
Criterio óngulo, lodo, óngulo
(ALA)
Si dos ángulos de un triángulo y el lado compren-
dido entre ellos, son congruentes con dos ángu-
los de otro triángulo y el lado comprendido entre
ellos, los triángulos son congruentes. Por ejemplo,
eILHU
=
AMNOpuesel 4H= <M,<I: {Ny
r6A
6B l.oSantillana
HI =
MN.
A
D
I

169. Estándares: pensantento espacral y pensamtento nétrtco
Poligonos semeiontes
Dos polígonos son semejantes cuando tienen exactamente la misma forma, pero no
necesariamente el mismo tamano.
Cuando dos polígonos son semejantes hay una relación
entre sus vértices de tal manera que los ángulos corres-
pondientes son congruentes y las medidas de los lados co-
rrespondientes son proporcionales. Así, si Ios pentágonos
ABCDE y FGHII son semejantes se tiene que:
4A
=
{F, {B
=
{G, {C
=
<H, <D: {Iy 4E =
41.
Además, las medidas de los lados correspondientes son
proporcionales, con lo cual PC :
! lB.
2
Como los polígonos son semejantes se puede simbolizar
esta relación como ABCDE -
FGHIL teniendo en cuenta
la correspondencia entre los vértices.
\
U
A-7cm-
1
I
10 cm
I
rl
'B
* Ejemptos
0
O"t"r-inar cuáles son los lados correspondientes en los siguientes polígonos
congruentes.
T
o
Si se sobreponen los polígonos se tienen las siguientes correspondencias: I * W,
P *
Y, M
<-+ Z, O * TyN ++ X. Por tanto, se escribe LMPNO
=
WZYXT, con
lo cual LM <- WZ, MP *> ZY, PN * i1( y NO e XT .
Es importante tener en cuenta que notaciones tales como ONIMP
=
ZXTWY
son incorrectas porque no indican la correspondencia entre los vértices.
Si AABC -
LDEF y AB : 7 ctn, BC :
f 0 cm, AC :
L2 cmy DF :
9 cm, calcu-
lar las medidas de DE y de EF.
Como los triángulos son semejantes,
Ios lados son proporcionales, y en
consecuencia, setiene qu
"+
:
+
9
-EFY12- ro'
De donde DE:
2.L :
5,25 cmy
4
¿¡:
39 : 7.5 cm.
4
D
161
osantillana
I l6:lf'

170. Polígonos congruentes
q
i
ii
i¡ @
t"*U"eltextoexplicativodelaspáginas168y169,
@
Ertutt"ce las medidas de los lados que faltan te-
determina cuáles de las siguientes afi.rmaciones
son verdaderas y cuáles son falsas.
a. Dos polígonos son congruentes solo si tienen
la misma forma.
niendo en cuenta que AABC -
LDEF.
b.Dos polígonos son semejantes si tienen exac-
tamente la misma forma, pero no necesaria-
mente el mismo tamaño.
Dos polígonos semejantes siempre son con-
gruentes.
Dos polígonos congruentes siempre son seme-
jantes.
A+B+B D
A. ,C
Soluciono oroblemos
c
d
@
Oirria" cada una de las siguientes figuras en polí-
gonos congruentes.
Santiago necesita reducir proporcionalmente una
foto que mide 18 cm de ancho y 15 cm de largo
para acomodarla en un portarretrato que tiene
5 cm de ancho.
¿Cuáles
son las dimensiones de la
foto reducida?
@
Carolina tiene que aumentar proporcionalmente
una maqueta que tiene 20 cm de largo y 30 cm de
ancho, a una maqueta que tenga el triple de largo
de la maqueta anterior.
¿Cuáles
son las dimensio-
nes de la nueva maqueta?
Gk P^r^ medir la altura
@
Cd.rlu la altura x de una montaña si desde el
i
extremo de su sombra se puede medir la distancia
a la cima, y esta es de 2.325 m, y, en ese momento,
un bastón de 1 m produce una sombra de 1,1 m.
"-.- ,,, -
1 m '.-_..
b.
b
Ec.
de un edificio, una
persona de 1,75 m de
estatura, cuenta solo
con una escuadra en
forma de triángulo
rectángulo cuyos ca-
tetos miden 8 cm.
Si la distancia de la base del edificio a la persona es
de I m,
¿cuál
es la altura del edificio?
ll Q
mat.u, para cada par de triángulos, si se tiene la
información necesaria y suficiente para determi-
nar si son congruentes. Si Ia información es sufi-
ciente, establece el criterio que permite demostrar
la congruencia.
a.A

1r,,,
,
t-+o
TOla
U
N

171. Estandares: pensamtento espacral y pensamiento métrico
Circunferencio ycírculo
La circunferencia es el conjunto de todos los puntos del plano que están a la misma
distancia de otro punto llamado centro.
El círculo es el conjunto de todos los puntos que están en el interior de la circunferencia
Los elementos de la circunferencia son:
Centro: es el punto del cual equidistan todos los
puntos de la circunferencia.
Radio: es un segmento cuyos puntos extremos
son el centro y un punto de la circunferencia.
Cuerda: es un segmento cuyos puntos extremos
son dos puntos de la circunferencia.
Diámetro: es una cuerda que pasa por el centro
de la circunferencia.
Arco: es una parte de Ia circunferencia compren-
dida entre dos puntos de esta.
En un mismo plano, una recta y una circunferencia pueden tener dos puntos comu-
nes, tener un solo punto común o no tener puntos comunes, de tal forma que:
. Si la rectay la circunferencia tienen dos puntos comunes, la recta es secante a la
circunferencia.
. Si la recta y la circunferencia solo tienen un punto común, la recta es tangente a
la circunferencia.
. Si la recta y la circunferencia no tienen ningún punto común, la recta es exterior
a la circunferencia.
lñ #jempta
Determinar cuáles rectas son secantes, cuáles son tangentes y cuáles son exteriores
a la siguiente circunferencia.
Las rectas s y a tienen un punto en común con la circunferencia, por esto son tan-
gentes.
Las rectas r y w tienen dos puntos comunes con la circunferencia, y en consecuencia,
son secantes.
Las rectas v y t no tienen puntos comunés con la circunferencia, por tanto son exte-
riores.
Matemático, físico e ingeniero
griego. Postuló el principio de
Arquímedes, que habla de la fuerza
ascendente que ejerce un fluido
sobre un cuerpo sumergido en é1.
Fue el primer matemátrco que in-
tentó calcul¿r pi (rr,,), dándole un
valor de 3(10/71).
,1
a
))
Diámetro
osantiltana
I I7l![rI
Arquímedes
287 a.C-212a.C.

172. Circunferencia y círculo
Recupero inf:1
Responde las siguientes preguntas.
a.
¿Qué
es una circunferencia?
b.
¿Qué
es un círculo?
c.
¿Cuáles
son los elementos de una circunferen-
cia?
d.
¿Cuáles son las posiciones relativas de una
recta con respecto a una circunferencia?
Escribe el nombre de cada uno de los elementos
que se muestran en la siguiente circunferencia.
secantes y cuáles son
circunferencia.
exteriores en la siguiente
Determina la posición relativa de cada recta con
respecto a cada circunferencia de radio r. Ten en
cuenta que d es la distancia de la recta al centro de
la circunferencia.
Si la distancia del punto Q a la recta m es de 4 cm,
establece una forma de trazat una circunferencia
con centro en Q y tangente a m. Luego, determina
la medida del radio de la circunferencia trazada.
Si 7E es tangente a una circunferencia con centro
C, en el punto A, determina qué tipo de triángulo
es el AABC.
Determina cuáles de las siguientes afirmaciones
son verdaderas y cuáles son falsas.
a. Si una recta es tangente a una circunferencia
entonces es erpendicular a su radio, en el
punto de tangencia.
b. Si una recta es secante a una circunferencia
entonces es paralela a su radio.
c. Dos cuerdas congruentes equidistan del centro
de la circunferencia.
d. Dos cuerdas perpendiculares se intersecan en
el centro de la circunferencia.
R.ozono: 5-6-7-8-9
Dibuja una circunferencia de radio 5 cm,trazaun
radio, un arco, un diámetro y una cuerda. Luego,
determina la medida del diámetro.
t: ;
ii Determina cuáles rectas son tangentes, cuáles son
:
,o
Soluciono problemos
Realiza Ia siguiente construcción:
p . Traza una circunferencia de radio 7 cm.
. Traza dos cuerdas distintas.
. Ubica los puntos medios de cada cuerda.
. Trazalas rectas perpendiculares a cada cuerda
en sus puntos medios.
. Ubica el punto de intersección de ambas rectas.
¿Qué
representa el punto de intersección de ambas
rectas? |ustifica tu respuesta.
Se necesita instalar una torre eléctrica que abas-
tezca a los tres pueblos que se muestran en la
flgura.
a.
b.
c.
d.
6cm,d:4cm
6cm,d:6cm
5cm,d:8cm
5cm,d:1cm
Si M es un punto exterior a
@F-ry:s?A
t¡ull

173. Estondares: pensamiento espacial y pensamiento métrico
Sól¡dos
Un sólido es un cuerpo geométrico limitado por superficies planas o curvas. En par-
ticular, los sólidos conformados por regiones poligonales se denominan poliedros.
Un poliedro es un sólido limitado por superficies planas denominadas caras,
Los elementos de un poliedro son:
Caras: son los polígonos que limitan al poliedro.
Así, en el poliedro de la figura A BF, ECD, ABCE,
AFDEy BFDC son las caras.
Aristas: son los lados qe conforman cada cara. Por
ejemplo, AB, BC y ED son aristas del poliedro.
Vértices: son los puntos donde concurren varias
aristas, tales como A, B, Cy D.
El desarrollo de un poliedro consiste en determinar
la unión de las superflcies de sus caras. Así, el desa-
rrollo del anterior poliedro es:
Porolelepipedo
Un paralelepípedo es un poliedro de seis caras, en el cual las caras opuestas son
paralelas y congruentes. Cada cara de un paralelepípedo es un paralelogramo. Así,
si las caras de un paralelepípedo son rectángulos, se le denomina paralelepípedo
rectangular, y más específicamente, si las caras son cuadrados se le denomina cubo.
Paralelepipedo
rectangular
x Ejempto
Determinar el número de vértices y aristas de un cubo. Luego, establecer su de-
sarrollo.
El cubo tiene 12 aristas y 8 vértices. Debido a que las caras del cubo son cuadrados
congruentes, las aristas también son congruentes entre sí. El desarrollo de un cubo
cuyos vértices son P, Q, R, S, 7, U, V y W es el siguiente:
i1
a
M¿temático y fÍsico estadouni-
dense. Realizó trabajos sobre la
intervención de las m¿temáticas
en el arte, describiendo fórmulas
para su interpret¿crón. Demostró
un teorema geométrico que re-
solvía el problema de tres cuerpos
(uyos campos gravrtacionales se
interferen.
l+3
,o 5antillana I l7If
-
George David Birkhoff
1884-1944
¡i
i¡
li
at
:!
l;
:i
t:
L i¡
i1
:"i
v
e
a

174. Además, los prismas se clasifican en rectos y oblicuos como se muestra a continuación:
h
l
I
I
I
I
I
I
Prismo
Un prisma es un poliedro llmitado por dos poligonos congruentes y paralelos llamados
bases y varios paraleiogramos llamados caras laterales
Así, al prisma cuyos vértices son A, B, c, D, E y F lo conforman los siguientes ele-
mentos:
Bases: son los polígonos congruentes y paralelos del
prisma. En este caso el LABCy el ADEF son las
bases. Además, se cumple que AABC =
ADEF.
Caras laterales; son los paralelogramos que limitan
el prisma. AsíADFC, BEFCy BEDA son las caras
laterales. Un prisma tiene tantas caras laterales
como lados tienen sus bases, como en este caso
cada base es un triiíngulo, el prisma tiene tres
caras laterales.
Altura: es la medida (h) del segmento perpendicu-
lar,trazado desde un vértice de una base hasta el
plano que contiene la otra base.
Según la clasificación del polígono que corresponde a
ser:
sus bases, los prismas pueden
l1¿l
l+ lr,'5¿nr,¡i-.,,o
Un prisma es recto cuando todas las caras
aterales son perpendiculares a las bases
En un prlsma recto las caras laterales son
rectáng u los
Un prisma es oblicuo cuando las caras
atera es no son perpendiculares a las bases
En un prisma oblicuo as caras laterales son
romboides
uu

175. Estándores: penscmiento espaciol y pensamiento métrico
n:
-]
.l
).
Pirómide
Una pirámide es un poliedro en el cual una de sus caras, llamada base, es un poligono
y las otras caras, llamadas laterales, siempre son triángulos que concurren en un vértice
común.
Los elementos de una pirámide con vértices A, B, C, D, E, F y G son:
Caras laterales: son triángulos que concurren en
un mismo punto denominado vértice de la
pirámide. Así el AABC y el LACD son caras
laterales donde A es el vértice.
Base: es un polígono cualquiera. Es la única cara
de la pirámide que no contiene al vértice. Así
la base de la pirámide es BCDEFG.
Aristas básicas: son los lados de la base. Por
ejemplo, BC y DE son aristas básicas.
Altura: es la medida (h) del segmento perpendi-
B
cttlar trazado desde el vértice hasta el plano
que contiene la base.
Al igual que los prismas las pirámides se clasifican según su base en pirámide trian-
gular, pentagonal, hexagonal, y así sucesivamente. Además, también se clasifican en
rectas u oblicuas así:
Una pirámide es recta sl todas sus caras
laterales son triángulos isósceles.
Una pirámide es oblicua si alguna de sus
caras es un triángulo escaleno
Una pirámide es regular si su base es un polígono regular y es recta. Si no cumple
con alguna de estas condiciones, la pirámide es irregular.
En una pirámide regular se le denomina apotema a la altura correspondiente a una
de sus caras laterales.
f+5
Wil,*u
o santillana
I l7

176. Poliedros regulores e irregulores
Los poliedros pueden ser convexos o cóncavos. Un po-
liedro es convexo cuando todas sus caras son polígonos
convexos. En cambio, un poliedro es cóncavo si alguna
de sus caras es un polígono cóncavo.
Los poliedros convexos se clasifican en poliedros regu-
lares y poliedros irregulares. Los poliedros regulares
son aquellos cuyas caras son polígonos regulares con-
gruentes y en cada vértice concurre el mismo número
de caras. Los poliedros irregulares son aquellos cuyas
caras no son todas congruentes o en los cuales no con-
curre el mismo número de caras por vértice.
Los cinco poliedros regulares son:
Tetraedro regu ar Triángulo equilátero
4
Hexaedro regular Cuadrado
6
Octaedro regular Triángulo equilátero
8
Dodecaedro regular Pentágono regular
12
lcosaedro regular Triángulo equi átero
20
It6
E I . S¿nriilana
Poliedro cóncavo
4
rux

177. Estándares: pensamiento espaciai y pensomiento méirico
l
x Ejemptos
e
»"t"r-inar el polígono que forma la base de cada poliedro teniendo en
cuenta la condición dada.
a. El número de vértices de una pirámide es 10.
En una pirámide el número total de vértices corresponde a la cantidad de vértices
de la base más el vértice de la pirámide. En consecuencia, la base tiene t0 - | :
9
vértices.
Por tanto, el polígono que forma la base de la pirámide es un nonágono.
b. El número de caras de un prisma es 9.
En un prisma el número total de caras corresponde a la cantidad de caras latera-
Ies más las dos bases. Así, el prisma tiene 9 -
2 : 7 caras laterales.
Como el número de caras laterales es igual al número de lados de la base, el
polígono que forma es un heptágono.
@
E.tuUt"cer qué poliedro se puede construir teniendo en cuenta su desarrollo.
Para determinar el poliedro que corresponde al
desarrollo, se unen los lados de las caras latera-
les con los lados correspondientes a las bases.
Así, se obtiene el poliedro de la figura. Este
poliedro no es un prisma porque sus bases no
son congruentes. Además, no es una pirámide
porque sus caras laterales no son triangulares.
Por tanto, el poliedro se conoce como pirámide
truncada. Una pirámide truncada es un polie-
dro que resulta al cortar una pirámide con un
plano paralelo a su base.
(3) O"t"r-inar si la siguiente afirmación es verdadera o falsa. "Toda pirátnide
triangular es un tetraedro".
tetraedro. Sin embargo, todo tetraedro es una
pirámide triangular.
Pirámide
triangular
Itt i
,n, I IThYfi
Pirámide truncada

178. @
li @
,.t..mina cuáles de las siguientes afirmaciones . O
Si el número de aristas de un prisma es 15,
¿qué
son verdaderas y cuáles son falsas.
a. Un paralelepípedo es un prisma,
b. Las caras laterales de un prisma nunca son
paralelas.
c. Un hexaedro regular es un cubo.
d. Las caras de un dodecaedro son hexágonos
regulares.
Nombra los elementos que conforman cada polie-
dro.
polígonos forman las bases?
Soluciono problemos
@
Uu..u con un / silaafirmación es verdadera.
Determina cuál de los siguientes sólidos es prisma
y cuál es pirámide.
b,
@
O.t.r-ina qué poliedro se puede construir te-
niendo en cuenta su desarrollo.
b.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
-
Todo poliedro regular es convexo.
-
Algunos poliedros tienen tres caras.
-
Todo polígono cóncavo puede tener un
polígono convexo como una de sus caras.
-
El número de aristas de un poliedro que
concurren en un vértice es, como mínimo, 4.
-
En cada vértice de un poliedro concurre
siempre el mismo número de aristas.
-
El número mínimo de caras que concurre
en un vértice es 3.
Traza cada poliedro según las condiciones dadas.
a. Un cubo cuya arista mida 3 cm.
b. Un prisma recto de base rectangular cuya al-
tura mida 7 cm.
c. Una pirámide regular de base cuadrada cuya
apotema mida 5 cm.
d. Un octaedro cuya arista mida 8 cm.
O
a, matemático suizo Leonhard Euler (1707-1783)
estableció la fórmula C + V - A :
2, en la cual
C es el número de caras de un poliedro, V es el
número de vértices y A es el número de aristas.
a. Completa la siguiente tabla que muestra algu-
nos datos de poliedros convexos, teniendo en
cuenta la fórmula de Euler.
Nombre
.
'. -":. 'l
Caras Vértices Aristas
oel polreoro
b. Verifica la fórmula de Euler para los siguientes
poliedros.
II
trl".
il
O
t, en un cubo, el plano tra-
zado contiene dos aristas
opuestas,
¿qué cuadrilátero
se obtiene?
4 6
o
() 12
5 6
6 12

179. Estándares: pensamtento espacial y pensomiento nétrico
Cuerpos redondos
Un cuerpo redondo es un sólido limitado por superfi'cies curvas o por superficies
planas y .,r.rur. Los principales cuerpos redondos son: el cilindro, el cono y la esfera'
Cilindro
Un cilindro es un cuerpo redondo limitado por una superficie curva y dos caras planas
circu la res.
Los cilindros al igual que los prismas pueden ser rectos u oblicuos. Un cilindro recto
se puede considárar á*o ,r, cuerpo de revolución ya que se obtiene al girar un
reciá.rgulo alrededor de uno de sus lados, este lado se denomina eje de revolución'
Otros elementos del cilindro son: Eje de revolución
Bases: son las caras planas circulares que conforman
el cilindro.
Altura: es la medida del segmento perpendicular
trazado desde una base hasta el plano que con-
tiene la otra. Se simboliza con la letrah.
Radio: es la medida del radio que corresponde a
cada base. Se simboliza con la letra r. Base
El desarrollo de un cilindro es un rectángulo y dos círculos que constituyen las bases.
Las dimensiones del rectángulo corresponden a la longitud de la circunferencia aso-
ciada a las bases y a la altura del cilindro.
Cono
Los conos al igual que las pirámides se clasifican en rectos u oblicuos. Un cono recto
se puede .orrrid.tui como un cuerPo de revolución porque se obtiene al girar un
triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos. Dicho cateto es el eje de revo-
lución y la medida de la hipotenusa del triángulo se conoce como generatriz.
Otros elementos del cono son:
Base: es la cara plana circular que conforma el cono'
Vértice: es el punto extremo del eje de revolución
que no está en la base del cono.
Altura: es la medida del segmento perpendicular
trazado desde el vértice hasta el plano que con-
tiene la base.
Radio: es la medida del radio
cada base.
El desarrollo de un cono es un sector circular y un círculo, de modo que la longitud
del arco del sector circular corresponde a la longitud de la circunferencia asociada
a la base.
Altura
I
1
Radio
Vértice
Eje de
revolución
que corresponde a
Base
Generatriz
Radio
l+'t
En un triángulo rectángulo los
lados que forman el ángulo
recto se denomin¿n catetos
y el lado opuesto a este se co-
no(e como hipotenusa.
li .:r
---t\
Un cono es un cuerpo redondo limitado por una superficie curva y una cara plana circular
i,,r t¡:¡tilla¡a i I7['

180. La longitud de una circunfe-
renci¿ se determlna mediante
la expresión f :
2nr, donde
r es el radio.
Esfero
Una esfera es un cuerpo redondo limitado por una sola superficie curva
La esfera también es un cuerpo de revolución que se
obtiene al hacer girar un semicírculo alrededor de su
diámetro. Dicho diámetro es el eje de revolución.
Los elementos de una esfera son:
Centro: es el punto que se encuentra a igual distancia
de todos los puntos que conforman la superficie
de la esfera. Se simboliza con la letra C.
Radio: es la distancia del centro a cualquier punto de
Ia superficie de la esfera. Se simboliza con la letra r.
A diferencia del cilindro y del cono, la esfera no tiene desarrollo plano.
x Ejemptos
O
Trurur el cuerpo de revolución que se genera al girar la siguiente figura en
torno al eje indicado.
La superficie de la flgura es igual a la superficie del semicírculo cuyo diámetro es
AB, menos la superficie del semicírculo cuyo diámetro es CD.
Luego, si se gira cada semicírculo sobre el eje se obtendrá una semiesfera, así, el
cuerpo de revolución que se genera es el siguiente:
O
D"a".-inar si el siguiente sólido es un cuerpo de revolución.
El sólido está compuesto por un prisma de base rectangular o pa-
ralelepípedo y por un cilindro recto, es decir, está conformado por
un poliedro y un cuerpo redondo.
Si bien el cilindro es un cuerpo de revolución generado por el giro
de un rectángulo el prisma no es un cuerpo de revolución. Por
tanto, el sólido no es un cuerpo de revolución.
tp
iI l o 5aniillana
zit
Uitrrr
Eje de

181. Estándares: pensamiento espacial y pensam¡enio métrico
@
O"t.r-ina cuáles de las siguientes afirmaciones
son verdaderas y cuáles son falsas.
a. Al girar cualquier triángulo sobre uno de sus
lados se obtiene un cono recto.
Al girar un rectángulo sobre uno de sus lados
se obtiene un cilindro recto.
El desarrollo de un cilindro corresponde a un
rectángulo y a dos círculos que constituyen sus
bases.
La esfera no tiene desarrollo plano.
@
O","r-ina cuáles de los siguientes sólidos son
cuerpos de revolución.
@
t
"r"
los cuerpos de revolución que se generan
al girar las siguientes figuras en torno a los ejes
indicados.
¡
Considera el desarrollo de un cilindro de radio r y
altara h.
¿Qué
relación hay entre la longitud de la cir-
cunferencia de la base y el lado mayor del
rectángulo?
Si el radio r : 5 cm,
¿cuánto mide el lado
mayor del rectángulo?
Si el radio r :
7 cm y la altura es igual a la lon-
gitud de la circunferencia de Ia base,
¿cuánto
mide la altwah?.
b
d.
a.
b
La relación c2 :
a2 -t
b2 se conoce como teorema
de Pitágoras y se uliliza solo en los triángulos
rectángulos, de modo que c es la medida de la
hipotenusa y a, b son las medidas de los catetos.
Si las medidas de los catetos de
un triángulo rectángulo son
3 cm y 4 cm, respectivamente.
a
Calcula la medida de la hipo-
tenusa.
Se tiene una esfera incrustada en un cono como se
muestra en la figura. Si Ia generatriz del cono mide
25 cm y su altura es 24 cm, determina cuál es la
longitud de Ia circunferencia máxima de la esfera.
Ten en cuenta que Ia circunferencia máxima es
aquella cuyo diámetro coincide con el de la esfera.
Traza eldesarrollo de un cilindro recto cuya altura
mida 10 cm y cuyo radio sea 6 cm.
Traza el desarrollo de un cono cuyo radio mida 3 .
cm y cuya generatriz mida 7 cm.
Considera el desarrollo de un cono como se mues-
tra a continuación.
Si el radio mide 10 cm,
¿cuál
es la medida del
arco del sector circular que aparece en el desa-
rrollo del cono?
Si el radio mide 15 cm y se duplica la medida
de Ia generatriz (g),
¿cuál
es la medida del arco
del sector circular?
Soluciono problemos
¿.
t8t i
'1,,Santillana I I8[l

182. Polígonos
@
O.,".-ina cuáles de las siguientes figuras son
ángulos.
@
CUsifica cada triángulo según la medida de sus
pol
a.
b.
@
Chsifica según el número de lados los polígonos
que aparecen en cada diseño.
c.
@
O",..-ina cuáles de los siguientes polígonos son
cóncavos y cuáles son convexos.
Cuodrilóteros
Q
Clasifica los siguientes cuadriláteros en paralelo-
/ , gramos,trapeciosotrapezoides.
Trióngulos
@
O"t"r-ina cuáles de los siguientes triángulos son
equiláteros, cuáles isósceles y cuáles escalenos.
iZ I
oSanttilana
c.
d. t2,2,9
e. L3,9,4
f. 12,21, ll
fi)
lr,ubt"ce si las medidas dadas en centímetros
corresponden a las medidas de los lados de un
triángulo.
a. 12,12,30
b. 40,30,60
c. 10, 10, 10
@
No-Ura de mayor a menor medida los segmentos
de la siguiente figura.
B

183. J
Determina cuáles de las siguientes afirmaciones CifCUnfefenC¡A y CífCUlO
Construye con regla y compás un paralelogramo
PQRS, si Pq : 7 cmy PS :
4 cm.
Construye con regla y compás un trapezoide simé-
trico ABCD, si se sabe que AB :
5 cm, AD :
6 cm
y la diagonal AC :
4,7 cm.
Polígonos congruentes
Divide cada figura en polígonos congruentes.
Determina si la información dada es suficiente
para establecer la congruencia entre cada par de
triángulos. Si la información es suficiente, escribe
el criterio que permite demostrar la congruencia.
b.
Establece las medidas que hacen falta teniendo en base es 5 cm y su altura es de 7 cm.
son verdaderas y cuáles son falsas.
a, Todo paralelogramo es cuadrilátero.
b. Algunos trapecios son paralelogramos.
c. Todo cometa es trapezoide.
d. Algunos trapezoides son trapecios.
Determina cuáles rectas son tangentes, cuáles
secantes y cuáles exteriores a la siguiente circun-
ferencia.
Calca en tu cuaderno la siguiente circunferencia
con sus respectivas cuerdas. Luego, determina
exactamente Ia medida de su radio.
d
Un cubo truncado es un
poliedro que resulta de
cortar las esquinas de un
cubo en igual proporción.
Determina cuántas caras,
aristas y vértices tiene un
cubo truncado.
PolÍgonos semeiontes
cuenta cada semejanza.
a.
a
Cuerpos redondos
Traza el desarrollo de un cilindro cuyo radio de
Determina el cuerpo de revolución que se genera
indi-
Poliedros
Una hormiga se encuentra en un vértice de un oc-
taedro y decide recorrer todas sus aristas sin pasar
dos veces por Ia misma arista. Indica un camino
posible.
APQR -
AS?R
LABC- LDCF
l
18[üJ
I
T
27
1
,)o
1/_

184. Un polígono es una figura plana limitada
por segmentos, tales que:
. Cada segmento se interseca con otro solo
en sus puntos extremos.
. Ningún parde segmentos son colineales.
Dos polígonos son congruentes cuando
tienen exactamente la misma forma y el
mismo tamaño.
Dos poligonos son semejantes cuando tie-
nen exactamente la misma forma pero no
necesariamente el mismo tamaño.
Un poliedro es un sólido limitado por super-
ficies planas denominadas caras.
Los poliedros se clasifican en:
. Regulares: sus caras son poligonos re-
gulares congruentes y en cada vértice
concurre el mismo número de caras.
Los poliedros regulares son:
fl
Hexaedro Octaedro
p' ñA\
k)] ¿ry
\Y_/ )41'
Dodecaedro cosaedro
lrregulares: sus caras no son todas con-
gruentes o no concurre el mismo número
de caras por vértice.
Los principales poliedros irregulares son el
prisma y la pirámide.
Un triángulo es una regiÓn del
plano limitada por tres rectas que
se intersecan dos a dos.
Los triángulos se clasifican en
equiláteros, isósceles y escale-
nos, según la medida de los lados.
Tamblén se clasifican en obtusán-
gulo, acutángulo y rectángulo,
según la medida de los ángulos.
Un cuadrilátero es un polígono de
cuatro lados, cuatro vértices y cuatro
ángulos rnterores.
Los cuadriláteros se clasifican en:
. Paralelogramos: tlenen sus dos
pares de lados opuestos paralelos.
. Trapecios:tlenen solamente un par
de lados opuestos paralelos.
. Trapezoides: no t¡enen ningÚn par
de lados paralelos.
La circunferencia es el conjunto de todos los
puntos del plano que están a la misma distancla
de otro punto llamado centro.
El círculo es el conjunto de todos los puntos que
están en el interior de la circunferencia.
Un cuerpo redondo es un sólido limitado por su-
perficies curvas o por superficies planas y curvas. Los
prrncipales cuerpos redondos son:
. Cilindro: está limitado por una superficie curva y
dos caras planas circulares.
. Cono: está limitado por una superficie curva y una
cara plana circular.
. Esfera: está limitado por una sola superficie curva.Prisma
ls{
] l¡
|
co Santillana
t
ET.{ EIHTEEI5...
Cuodrffctero
Cuerpgq red s
Triongulo

185. GeometrTo
en los cometos
Una cometa es una máquina voladora formada por
una estructura plana o tridimensional elaborada en
un material muy ligero y recubierta de una vela. El
conjunto se amarra a uno o varios hilos.
AI ser soltada se mantiene en el aire por la acción del
viento. La cometa es uno de los aparatos voladores más
simples que existen, se considera un aerodino por ser
una máquina voladora más pesada que el aire.
Al parecer, las cometas surgieron hace más de 2.500
años en China, donde volar cometas era una especie
de ejercicio de meditación. También fueron usadas
con fines militares ¡
en la Polinesia, como arte de
pesca, atando un anzuelo con un cebo a la cometa,
para después soltarla desde una barca. Sin embargo,
su principal uso desde tiempos lejanos ha sido como
entretenimiento.
En una cometa se pueden diferenciar las siguientes
partes: armazón o estructura, vela o revestimiento,
amarre (hilo y brida) y elementos estabilizadores o
cola.
Existen dos tipos de cometas: cometas de un hilo o
cometas estáticas y cometas deportivas (acrobáticas y
de atracción) que poseen más de un hilo.
¿A
qué partes de un trapezoide simétrico corres-
ponden la varilla transversal y la varilla longitudi-
nal de Ia cometa de la figura?
I
Entre las estáticas se encuentran las cometas planas,
formadas por un armazón precisamente plano, re-
cubierto con Ia vela y terminado en una cola que le
permite estabilizarse.
Una de las cometas más tradicionales tiene forma de
cuadrilátero, específrcamente de trapezoíde simétrico,
ya que cada par de lados adyacentes tiene la misma
longitud.
¿Qué
es una cometa y qué clases de cometas hay?
¿Qué
ángulo forman la varilla transversal y la va-
rilla longitudinal de la cometa de la figura?
Varilla longitudinal
Diseña una cometa con forma de trapezoide simé-
trico y señala sus características de acuerdo con
sus diagonales, sus ángulos internos y sus lados.
,8r I
,s) Santillana I IS ltÉ

186. Medición
Ulr

187. Si en una hilera de hormigas, la longitud
promedio de las hormigas es 0,7 cm yla sepa-
ración media entre cada dos hormigas es de
3 mm,
¿cuál
será el largo de una hilera de 24
hormigas?
b. Las figuras A, B y C son
cuadrados. Si el perí-
metro de la figura B es
40 cm y el área de la fi-
gtsra A es 36 cm2,
¿cuál
es el área de la figura C?
c. Si la arista de cada uno
de los cubos mide I
unidad, ¿cuántos
cubos
faltan para completar
un cubo cuya arista
mida 4 unidades?
Lo visión del ciego
El soldado miraba con lástrma al anciano ciego que,
apoyado en su bastón, tomaba el sol m entras sus ojos
extintos intuian la posición del astro en el horizonte.
Ahmés, su compañero de guardia a la entrada de la
biblioteca de Alejandria, interrumpió sus pensamientos
diciéndole:
-Es
Eratóstenes, el cual no hace mucho tiempo dirigia
la biblioteca.
-¡Es
una pena que sea ciegol
-No
siempre fue asi, y lo único que ahora lamenta es
no poder ieer el pensamiento del mundo encerrado en
estas paredes dijo Ahmés, y continuó con su explr-
cación-: Pero el maestro todavía es capaz de ver más
lejos que tú, que tienes tus ojos sanos.
-¡Eso
es impoSiblel
u y ya, con nuestros ojos, vemos la Tierra plana
como la palma de nuestra mano, sin embargo éi, que
ahora está ciego, la ve con forma de bola y dicen que
rncluso ha calculado su tamaño.
Eratóstenes, utilizando ángulos y proporcionalidad,
cifró la circunferencia polar de la Tierra en 252.000 es-
tadios egipcios (l estadio :
157,2 m).
Tomado de Matemáttcas I ESO, España,
Editoria Santillana, 2007.
En a época en que Eratóstenes vivió, l¿ gente creía que la Tierra
era plana,
¿Cómo
crees que Eratófenes llegó a concluir que era
redonda? [onsúltalo en su biografía.
[on b¿se en el texto, determina cuá es l¿ medid¿ de ¿ circunferen
ci¿ de l¿ Tierra en metros
Ahmés, con una sonrisa, intentó explicárselo:

188. M¿temáti,:0, físico y astrónomo ita
iano quien dirigió a comisión que es-
tudió l¿ cre¿ción de un nuevo sistema
de pesos y medidas, de cual surgió e
sistema métrico declm¿
)s8
Longitud
A lo largo de la historia han existido diferentes patrones de medida dependiendo de
los lugares donde se utilice. Sin embargo, para unificar medidas en todos los países se
hace necesario tener un único sistema de medidas, es por ello que, en la actualidad,
se utiliza el Sistema Internacional (SI), cuya base corresponde al Sistema Métrico
Decimal (SMD), que es un conjunto de unidades de medida que aumentan o dismi-
nuyen en potencias de 10. En el sistema métrico decimal se define, entre otras, como
unidad básica de medida paralalongitud, el metro.
En 1795, el metro se definió como la diezmillonésima parte de un cuadrante del
meridiano terrestre. Sin embargo, en 1983 fue cambiada la definición de metro a "la
longitud recorrida por un rayo de luz que viaja en el vacío en un lapso de tiempo igual
299.729.4s8
de segundo'.
Unidodes métricos de longitud
Las unidades superiores al metro se denominan múltiplos, las cuales se nombran
anteponiendo los prefijos: kilo,hecto y deca alapalabra metro. Por tanto, los múltiplos
del metro son:
¡_
Múltiplos Abreviatura Equivalencia
i
km
Decámetro dam l0m
Así mismo, existen unidades inferiores al metro denominadas submúltiplos, las
cuales se nombran anteponiendo los prefijos: deci, centiy mili alapalabra metro. Por
tanto, los submúltiplos del metro son:
El uso de una determinada unidad de medida depende de la longitud del objeto que
se mida. Así, las dimensiones de una hoja tamaño carta suelen expresarse en centí-
metros, tales como 21,5 cm X 27,8 cm. En cambio, la distancia de una ciudad a otra
suele expresarse en kilómetros, por ejemplo, la distancia entre Bogotá y Santa Marta
es de 918 km.
Los múltiplos y los submúltiplos del metro relacionados en las tablas anteriores no
son los únicos que se utilizan. Por ejemplo, en astronomía también se utilizan unida-
des de medida tales como el gigámetro, que corresponde a mil millones de metros. Así
mismo, en química se utiliza el picómetro, para medir distancias en escala atómica,
que corresponde a la billonésima parte del metro.
La unidad básica de medida de a ongitud es e metro que se simboliza m
56 loSantrliana
Ki ómetro
Hectómetro hm 100 m
decímetro dm 0,1 m
centímetro crn 0,0'r m
milÍmetro mm 0,00r m

189. Estándar: pensamiento espacial y pensam¡ento métrico
Convers¡ones
Tanto los múltiplos como los submúltiplos del metro se pueden expresar como po-
tencias de 10, para realizarlaconversión de una unidad de medida a otra. Así, se debe
tener en cuenta la siguiente tabla:
km hm dam m dm CM mm
10j 102 10r 100 1 0-r l0
2
1 0-3
1.000 m
'r00
m 10m lm 0,1 m 0,0r m 0,001 m-
Cada unidad de medida es 10 veces mayor que la inmediatamente inferior y 10 veces
menor que la inmediatamente superior. Por tanto.
. Para hallar la equivalencia de una unidad de orden superior a una unidad de orden
inferior, se multiplica por 10, por 100, por 1.000, etc.
x10
a_\
. Para hallar la equivalencia de una unidad de orden inferior a una unidad de orden
superior, se divide entre 10, entre 100, entre 1.000, etc.
km
km hm dam m dm cm mm
)L _)^_ ) L ) \_ )
+10 +10 +10 +10 +10 +10
Convertir a m las medidas de la siguiente figura.
Se divide entre l0
y se resuelve.
10.000
m
I
x Ejemptos
O
Reatizar la conversión indicada.
a. 30kmam
Para realizar la conversión de Ia unidad de orden
superior km a Ia unidad de orden inferior m, se
debe multiplicar por 1.000, ya que hay tres lugares
entre km y m.
Luego, la equivalencia de 30 km a m es:
x r.000
30X1.000:30.000
Por tanto, 30 km : 30.000 m.
b. 349 cm a hm
Para realizar la conversión de la unidad de orden
inferior cm a la unidad de orden superior hm, se
debe dividir entre 10.000, pues hay cuatro lugares
entre cm y hm.
Luego, la equivalencia de 349 cm a hm es:
349+10.000:0,0349
Por tanto, 349 cm : 0,0349 hm.
14hmam
14x100:1.400
Luego, 14 hm son
I/5dmam
I75+I0:17,5
Luego, 175 dm son 17,5 m.
thmam
9 X i00:900
Se plantea la
y se resuelve.
1.400 m
tg9
, ..irrl¡na
I I8 $'"
Luego, 1,2 dam son 12 m.
-
son 900 m.Luego,9 hm
1,2 dam a m
1,2X10:12m
lllllMulu

190. Recupero informoción: 1 -2-3
@ t" desea enmallar una pista de atletismo cuyo
borde mide 1,5 km, 1,8 hm y 3,2 dam. Si el costo
de la malla es de $ 2.054.400,
¿cuánto
cuestan 650
cm de malla?
@
ot girar un tornillo, este avanza 0,5 mm.
¿Cuántos
dm avanza en 75 lueltas?
¿Cuántas
vueltas debe dar paraavarvar 1,2 cm?
@
tdentiflca las equivalencias incorrectas y corríge-
@
t" siguiente tabla muestra algunos de los ríos más
a.
b.
I. 32dmamm
m. 0,78 dam a cm
n. 2,59 hm a dm
o. 7,38mamm
p. 9,81 dam a mm
q. 82mmam
r. 591 dm ahm
s. 197 cmam
t.296dmakm
u. 3,91 mm a dam
v. 5,259 hm a m
e. 1,54mm:0,0154dm
f. 2,59 hm :
259 km
g. 5,92dNn:0,0592dm
h. 0,96 m :
960 cm
@
O.a"rru las siguientes longitudes de menor a
largos del mundo, su ubicación y longitud aproxi-
mada expresada en dos unidades de medida.
Nombre Ubicación
sisip -
suri
Norteamérica 50 000 hm y 97.000 dam
Amazonas Su ra mérica 6.000 km y 750.000 m
Nilo África 600.000 dam y 650 km
Volqa Europa 30.000 hm v 64.500 dam
Yanqtsé Aiia 6.000.000my30.000dam
Congo Africa 370 km y 400.000 dam
¿Cúal
es el orden de los ríos de menor a mayor
longitud?
¿Cuál
es la longitud en dam del río de menor
extensión?
¿Cuál
es la longitud en km del río de mayor
longitud?
¿Qué
diferencia en m hay entre el río de mayor
longitud y el de menor longitud?
a.
@
U"u ciudad A está separada de una ciudad B
O ¿Có-o
se definió el metro enl795?
¿Quién trabajó en la creación del Sistema Métrico
Decimal?
@ ¿Coro.es
otras medidas diferentes a los múltiplos
GF
," atleta entrena cuatro días de la semana. El
y submúltiplos del metro que sirvan para medir Ia
longitud?
@
R"utir" cada una de las siguientes conversiones.
a.25macm
b. /,5 km a dm
c. 180 cm a mm
d. 6,25 km a cm
e. 0,028 dm a cm
f.675cmadam
g. 12,7 makm
h. 3,7 dam a km
i. 58,9mahm
j. 16,4 cm a hm
k. 0,29 madam
1as.
a. 650 cm : 0,65 dam
b.0,003m:3mm
c. 0,76 dm : 760 hm
d. 0,79 km:7.900m
mayor.
a. 0,25 hm,8 m,7.500 cm,25 dm, 1.000 mm
b. 940 dm, 6 dam, 32 m,4.200 cm, 55 mm
c. 0,28 m,310 dm, 720 cm,4 dam,0,65 hm
d. 0,98 dam,5.200 mm,680 cm,0,05 km,2 hm
e. 1,8 km,63.500 cm,2.510 dm,2,6 hm,8.900 mm
f. 5 m, 6,2 dm,8,75 hm,0,25 km
g. 0,25 m, 17,2 cm, 129,1 dm, 14 cm, 0,29 hm
p Soluciono problemos
G) I,run está cambiando las instalaciones eléctricas de
primer día recorre 15 km, el segundo 157 hm, el
tercero L5.712 m y el cuarto 1.572 dam. ¿Cuál
día
recorrió la mayor distancia?
@
»or automóviles parten de una misma ciudad,
si después de un tiempo el primero ha recorrido
75 km, 95 hm y 120 dam y el segundo 62km,410
hm y 510 dam:
a.
¿Qué
distancia en metros los separa si uno viaja
al norte y el otro al sur?
b.
¿Qué
distancia en dm los separa si los dos via-
jan al norte?
Longitud

191. Estándar: pensamtentc esoacia|
;,
pensartiento rnérrico
Otros unidodes de longitud
Existe otro sistema de unidades de medida que se ttiliza usualmente en la navega-
ción, en la aviación y en el comercio de herramienta y partes de maquinaria. Dicho
sistema se conoce como sistema anglosajón de unidades porque se utiliza en países
tales como Estados Unidos, Inglaterra, |amaica, Puerto Rico, Panamá, entre otros.
En el sistema anglosajón, las unidades básicas de medida son: la pulgada, el pie, la
yardaylamilla. A continuación se presenta la equivalencia de cada una en el sistema
métrico decimal:
Pu lgada pu 2,54 cm
Pe p 30,48 cm
Ya rda yd 91,44 cm
Milia ml 1.609,347 m
Milla náutica nm 1852m
Con estas equivalencias es posible realizar conversiones entre cantidades expresadas
en el sistema métrico decimal y el sistema anglosajón. Para ello, resulta útil plantear
regla de tres simple directa entre las magnitudes que se debe realizar la conversión.
Segundo, se plantean las reglas de tres para deter-
minar a cuántos centímetros equivalen 6 p y 9 pul.
1p
6p
De donde, x :
1 pol
9 pul
De donde, 16 :
30,48 cm
x
6p X 30,48cm
1p
: 182,88 cm
2,54cm
x
9 pul X 2,54cm
1 pul
:22,86 cm
@
r" una revista deportiva se lee que un jugador
de baloncesto mide 6 pies y 5 pulgadas,
¿cuántos
metros mide el jugador?
Para reaLizar la conversión de unidades se siguen
estos pasos:
Primero, se escribe la equivalencia de cada unidad
del sistema anglosajón, en unidades del sistema
métrico así:
1p :
30,48 cm
1 pul : 2,54 cm
Tercero, se realizan la conversiones respectivas de
centímetros a metros así.
. 182,88 cm a m
182,88 + 100 : 1,8288 m
. 22,86 cm a m
22,86 + 100 :
0,2286 m
lFinalmente, se suman las medidas en metros.
1,8288 m f- 0,2286 m :
2,0574 m
Por tanto, el jugador de baloncesto mide 2,0574m.
+t Ejernptos
ffi
Corro"rtir a pulgadas 4,58 metros.
Pararealizar a conversión se procede así:
4,58 X 100 :
458 cm.
Luego, se plantea una regla de tres así:
2,54cm ' l pul
458 cm x
458cmXloul
x:
r
2,54 cm
458
x: _:l80,3l5pul
2,54

192. üt¡";¡: u¡:idader de 1++:qiit:ei
--_l
t: I
I
Nombra tres unidades de longitud que no perte- La Tierra ejerce sobre todos 1os cuerpos una fuerza
rrezcar al sistema métrico. Luego, escribe a cuánto
equivale cada una en metros.
62,5 pul a dm
1,9 nmi a hm
12ydadm
1.080 mm a pul
17pamm
3,15 cm a yd
2,5 miam
35 km a nmi
Escribe en kilómetros cada una de las siguientes
unidades de medida.
a. Pulgada
b. Pie
c. Yarda
d. Milla náutica
En la navegación se utilizan las siguientes unida-
des de medida.
Barco
,,.'".'u-
.,' 0,8
Leguas
náuticas
Isla
De acuerdo con la ilustración determina en kiló-
metros:
a. La distancia del faro al barco.
b. La distancia del faro a la isla.
c. La distancia del faro al buque.
María necesita comprar 2,8 yd de tela para elaborar
la pancarta que su curso llevará en la inauguración
de los juegos del colegio. Si va a dos almacenes en
los que lé cobran en uno $ 1.500 por m y en el otro
$ 1.280 por 80 cm,
¿er
cuáI de los dos almacenes
es más barata la tela?
d.
Realiza cada una de las siguientes conversiones
a. 5pulacm
b. 180ydam
c. 75pacm
d. 60padm
e. 120 yd a mm
f. 210 p adam
g. 21,2p am
h. 3,2 mi ahm
@
O"t"r-ina cuáles de las siguientes afirmaciones
son verdaderas y cuáles son falsas.
a. Un edificio tiene 80 p de altura, es decir,
28,4 cm.
b. Una puntilla de 2,5 pul tiene 0,984 cm de lon-
gitud.
c. Un sapo cuando salta a una distancia de 3 p,
recorre 0,9144m.
e.
El radio de la Tierra es 6.371.000 m, es decir,
aproximadamente 3.9 58,7 4 ml
El largo de una cancha de fútbol es 120 m
aproximadamente, lo que equivale a 168,528
yardas.
Un avión vuela a 500 yardas de altura, es decir,
rrrela a 457,2 m.
:t
"!Soluciono problemos
de atracción que genera en ellos una aceleración
que es la misma para todos y recibe el nombre de
aceleración de la gravedad, la cual tiene un valor
promedio de 9,8 m/s2. Determina el valor de la
aceleración de la gravedad en:
a. pls2 b. yd/s2 c. y pul/s2
En el costado de una avenida hay un letrero que
dice Vm¡íx 50 mi/h. Si las velocidades de tres auto-
móviles son: 75 kmih, 82.000 m/h y 6.000 dam/h.
a.
¿Cuáles
automóviles exceden el límite de velo-
cidad?
b. ¿Cuál automóvil tiene la menor velocidad?
Pedro fue a la ferretería a comprar tornillos de
I
pul para instalar una bisagra, pero el vendedor
4'
se equivocó y le dio de ! pul
¿Cuántos centíme-
8'
tros de diferencia hay entre el diámetro de ambos
tipos de tornillos?
| ¡qz
9dlcsanritl¿na
Lequa náuticaMiila náuticaCableBraza
5 556 1 852 r82,88183
Buque

193. Estándar: pensamiento espacial y pensamiento n¡étrico
Perimetro
El perímetro de un poligono es a suma de as medidas de todos los ados que o
conforman El perímetro se simboliza con a letra P
Por ejemplo, el perímetro del cuadrilátero RCN/ es
igual a Ia suma de las medidas de los cuatro lados que
lo conforman, es decir:
P:lR+RC+CN+N/
Para calcular el perímetro es necesario que todas las
medidas se encuentren dadas en las mismas unidades.
De no ser así, se deben convertir todas las medidas
a una misma unidad, antes de calcular el perímetro.
x Ejemptos
#
Cl.rlur el perímetro de la figura, si se sabe que
lR:35 cm, RA : 30 cm, AC: CG:2O cm,
NG :
55 cm y,IN: 50 cm.
El perímetro de la figura es igual a la suma de los
lados que la conforman, es decir:
P:lR+RA+AC+CG+NG+/N
P:35cm-|30cm*20cmf
20cmt55cmf50cm
Luego, el perímetro de la figura es P :
210 cm.
=
Si el perímetro de un cuadrado es 325 yd.,¿cuán-
tos centímetros mide cada uno de sus lados?
Se convierte la medida del perímetro a centíme-
tros, de donde se obtiene que:
P :
325 x 9r,44 - 29.718 cm.
Como en un cuadrado todos los lados son con-
gruentes, se tiene I + I + I 1- I : 4l : 29.718 cm,
donde I es la medida del lado del cuadrado. Por
tanto, se tiene que la medida de cada uno de sus
lados es:
I-
29.718 cm :7.429,5
cm
4
@
u"Uur el perímetro del paralelogramo.
Como los lados opuestos de un paralelogramo son
congruentes se tiene qu.e LE: US :
300 dam y
SE: UL: 5 km.
Luego, se hallan las equivalencias de Ias medidas
en metros.
300 dam :
3.000 m 5 km :
5.000 m
El perímetro de la figura es entonces:
P :
3.000m f 3.000m -l 5.000 m * 5.000 m
:
16.000 m
.=5' at administrador de un conjunto cerrado com-
pró 327,5 m de cable para instalar el alumbrado
público alrededor del conjunto.
¿Le alcanza el
cable que compró?
Primero, se convierten a m las medidas.
7.500 cm + 100 :75
m
87,5ydX 0,9144: 80,01m
iSegundo, se halla el perímetro de la figura, así
2X75+2X80,01 :310,02m
Luego, como 310,02 m es menor que327,5 m, en-
tonces, sí alcanzó el cable que compró.
t13
S¿ntil¿-¿ I ig:i,'J-'
-7,25
m-
+5km-

194. [/atemátiro, ¿strónomo y qeógclo
qriego [reó l¿ crib¿ de Erastófenes,
Ln¿'0rTrü a pa'a l-alla'1¡¡e¡s. p'i
mos. Su logro más mpo antefueca -
cular a longitud de la circunferencia de
laTierr¿, ¿ cuá efimó en 40 000 km,
con un error de 90 ki ómetros respecto
a1 cálcu o aou¿l
Para ca cular el perimetro de un poligono regular (P) se multip ica la medida de uno de
sus iados por a cantidad de ados AsÍ:
P:nx,t
Donde, n es e número de ados y /es la medida del lado
Por ejemplo, para calcular el perímetro del AABC equilátero, se efectúa
P : 3 X 24: 72 cm, puesto que el polígono tiene 3 lados y cadalado mide 24 cm.
Longitud de uno circunferenc¡o
Para ca cular e perimetro de una clrcunferencia se util za a expresión C:2¡r, donde C
es e perimetro, f es el radio y n es una constante cuyo va or aproximado es 3,,l41 6.
ffi
Catcutar el perímetro de las siguientes figuras.
La figura no es un polígono regular, sin embargo,
todos sus lados son congruentes entre sí.
Por tanto, se utiliza la expresión P : n X /, donde
n : l0 y I :
1,5 cm. De donde se deduce que
P:10X1,5:15cm.
La figura corresponde a una circunferencia cuyo
diámetro mide 20 cm. Luego, se aplica la expresión
C:2rr.
Como el diámetro es dos veces el radio (2r), se
tiene que:
C:20 cm X tr :
62,83 cm
Por tanto, el perímetro de la circunferencia.es
62\83 cm.
Calcular la medida del radio en metros, de una
circunferencia cuya longitud es de C :
65 mm.
Se tiene que C : 2Írr: 65 mm, de donde la me-
dida del radio r se halla dMdiendo el valor de C
entre 2r, así:
, -
65-mm :10,34 mm
zft
Luego, se conüerte 10,34 mm a m.
10,34 mm + 1.000 :
0,01034 m
Por tanto,la medida del radio de la circunferencia
es 0,01034 m.
¿Qué
es mayor el perímetro de un hexágono
regular de lado 15 cm o la longitud de una cir-
cunferencia cuyo radio es l0 cm?
El perímetro del hexágono es:
P:15X6:90cm.
La longitud de la circunferencia es:
C:2t(lo):2x3,14x10
1 :
6,28 X 10 :
62,8 cm
Luego, es mayor el perímetro del hexágono que la
longitud de la circunferencia.
l1{
§4 I esant ana
+24CÍr+
:i
ii
¡:
5i
É:
!E
É5
:E
ff
tl
EE
¡t
i5
tÉ
::
!i
11
É:
i:
Éi
it
ri
il
i!
11
.13
t:
ii
ll
iÉ
EE
1t
ll
!:
iE
*
¡:
fi
1.!
_d
Perímetro de un polígono regulor
Eratóstenes
(276a.L- 194a. C.)
b.
illüury

195. =:
qRecuperc informcción: 1-2 Ejercitc: 3-4-5-6
8dm
l
j Calcula el perímetro en metros de un cuadrado
cuvo lado mide 7 cm.
É
i Calcula el perímetro de un rectángulo si sus lados
miden 17 my 15 cm.
Trazatna flgura geométrica de acuerdo con cada
enunciado.
a. Cuadrado de perímetro 2,8 dm.
b. Triángulo de perímetro 15 cm.
c. Hexágono de perímetro 240 mm.
d. Octágono de perímetro 0,24 m.
e. Circunferencia de longitud 9,42 cm.
f. Rectángulo de perímetro 15,30 cm.
En una carrera de bicicrós los participantes deben
dar 8 vueltas a una pista circular cuyo diámetro es
28,2 dazm.
a. ¿Cuál
es la longitud del recorrido completo
expresado en metros?
b.
¿Cuáles
la longitud en kilómetros?
Si el lado del triángulo equilátero delapágina 194
se aumenta en2,5 cm,
¿cuál
es su perímetro?
!
I ¿Cómo
se calcula el perímetro de un polígono?
:l
ii
Oetermina el perímetro de cada figura.
a.
65 dam
300 dm
Determina el perímetro de cada polígono.
a. Un triángulo equilátero cuyo lado mide 9 cm.
b. Un cuadrado cuyo lado mide 15 cm.
c. Un rombo cuyo lado mide 10 cm.
d. Un trap'ecio isósceles con bases de 4 y 8 cm y
los otros lados de 5 cm.
Halla el perímetro de un paralelogramo cuyos
lados paralelos son 12 cmy 16 cm.
:¡p Soluciono problemos
La diagonal de un cuadrado ins-
crito en una circunferencia mide
4 cm. Calcula el perímetro de la
circunferencia.
P = 1.000 mm
e. 21 A.^
520 m
P=270cm
P = 0,46 dam
200 mm
P = 6,28 cm
P-110hm
1500 mm
Dado un cuadrado de 10 cm de
lado, calcula:
a. El perímetro de la circunfe-
rencia inscrita en el cuadrado.
b. El perímetro de la circunfe-
rencia circunscrita en el cua-
drado.
Determina la diferencia
entre la distancia que recorre
la rueda más grande y la dis-
tancia que recorre Ia rueda
más pequeña. Ten en cuenta
que d representa el diáme-
tro y r representa el radio.
teniendo en cuenta su perímetro.
1km
d

196. reo
Desde la Antigüedad, la idea de determinar el área de cierta superficie ha tenido
sentido e importancia. En el antiguo Egipto, debido a los frecuentes desbordamientos
del río Nilo, los pobladores de las riberas se vieron en la necesidad de inventar un
sistema rudimentario para medir sus territorios> ya que con cada crecida del río los
límites territoriales eran borrados por completo. Así, surge la necesidad de calcular
el área de una región o superficie.
E área de una figura es a medida de a superfice que ocupa dlcha figura Se simbollza
con la etra A
Para calcular el área de una figura se elige una unidad cuadrada (u2) y después se
cuenta la cantidad de dichas unidades que recubre totalmente la figura. Por ejemplo,
si E se considera como la unidad cuadrada, se tiene que:
A-28 -28t1)
Sin embargo, en ocasiones es necesario elegir unidades distintas que sean adecuadas
para calcular el área de una superficie. Por ejemplo, para las siguientes figuras es
adecuado considerar f como una unidad de medida, así:
A =32 A=44
No obstante, dos unidades triangulares f, forman una unidad cuadrada [.
Por
tanto, el área de dichas figuras se puede expresar como:
Enconcusión,reaizare conteodirectode asunidadescuadradasquehayenunafigura
significa hallar e área de a figura por recubrimientos.
196
ioSantiliana
A: 32 l: t6l-,t: t6 uz
..' i
al
u
fitrlntt
tlil

197. Estándar: pensam¡ento espacial y pensarniento métrico
Propiedodes del óreo
Al determinar el área de una figura se deben tener en cuenta las siguientes propie-
dades:
. EI área de una figura es un único número positivo que corresponde a una deter-
minada unidad de medida.
. Si dos polígonos son congruentes, entonces sus áreas son iguales. Por ejemplo,
A/RC =
ADMA, por tanto,
A¿,rnc= Aooro
Si la superficie de un polígono está conformada por la unión de varias regiones
de otros polígonos que se intersecan a Io sumo en un segmento, su área es igual a
Ia suma de las áreas de dichas regiones. Por ejemplo,
El área de ABCD es la suma de las áreas de las regiones
que lo conforman, de modo que:
A: Ar+ A2+ A3+ A4
m Ejemplos
Calcular el área de la superficie sombreada en cada
una de las siguientes figuras.
b.
Para calcular el área de la superficie sombreada se
utiliza la unidad Á. De esta forma se tiene que:
At¡Jp: 16 Ay Atocp: 9 Z
Luego, se convierte cada área a unidades cuadradas,
con lo cual el área del triángulo AIF es 8 u2 y la del
triángulo ADF es 4,5 u2. Finalmente, se suman las
áreas, con lo'cual, A : 8 I 4,5 :
12,5 u2.
Para calcular el área de la superficie sombreada, se
calcula el área del rectángulo QRST que es de 6 u2.
Luego, se calcula el área del AOXP y del ANZM.Para
esto se unen ambos triángulos de modo que formen el
rectángulo cuyo ángulo mide 3u y cuyo largo mide 6u.
Así, se tiene que la suma de las áreas del AOXP y del
LNZM es 18 u2.
Finalmente, el área total de la superficie sombreada es
A:6 I 18:24u2.
t9?
I 2
., 4
t+

198. Q
R"rporde las siguientes preguntas.
¿Cuál
es la diferencia entre superficiey área?
¿Cuáles son las propiedades del área?
@
S"" flarnidad,de medida, calcula el área de los
h-
Recupero informoción: 1
@
Co.rst.uye las figuras que tengan el área dada. Ten
en cuenta qr"Ies Ia unidad ctadradau2.
a. Un rectángulo de I u2 de área.
b. Un cuadrado de área de 16 u2.
El área del cuadrado sombreado es u2. Dibuja, en
un tablero como este, triángulos de las siguientes
áreas:
1
a. -Lv:
2
b. 2u2
c.9u2
d. Iu2
e. n!u'
f. 4u2
g.8u2
h.3u2
i.4Lu'
2
área.
e. Un triángulo de 6 u2 de área.
f. Una figura de 14,5 uz de área.
Determina en términos de Ia unidad cuadrada
definida u2, el área de la figura sombreada.
Zu'b.
a.
c.
d.
e.

199. Estándar: pensamiento espacial y pensam¡entc métrico
Unidodes métricos de Óreo
La unidad básica de medida del área, en el sistema métrico decimal es el metro
CUadrado, que se simboliza m2 y que corresponde a la medida de la superficie de un
cuadrado cuyo lado mide un metro.
1.1 11, 4:tr
Al igual que el metro, el metro cuadrado tiene unidades de orden superior llamadas
múltiplos y unidades de orden inferior denominadas submúltiplos.
Los múltiplos del metro cuadrado son: el kilómetro cuadrado, el hectómetro cua-
drado y el decámetro cuadrado.
Kilómetro
cuadrado
km2 1.000.000 m2
Hectómetro
cuadrado
hm2 10.000 m2
Decámetro
cu ad rad o
dam2 100 m2
Los submúltiplos del metro cuadrado son: el decímetro cuadrado, el centímetro cua-
drado y el milímetro cuadrado.
I
I
decÍmetro
cuadrado
dm2
00rm2
centímetro
cuadrado
cm2 0,0001 m2
milímetro
cuadrado
mm2 0,000001 m2
La equivalencia de cada múltiplo y submúl-
tiplo en metros cuadrados se puede deducir
calculando el área de un cuadrado cuyo lado
se exprese en la unidad de medida que se
considere.
Así, si se tiene un cuadrado cuyo lado mide I
dam, su área es A: I dam2.
Como i dam :
10 m, al calcular el área en
metros se tiene que A :
100 m2.
De donde se deduce queA :
1 dam2 :
100 m2,
Así mismo, se puede utilizar este método
para hallar la equivalencia de cualquier otro
múltiplo y submúltiplo en metros cuadrados.
m2
ldam
,
tfl
llso Santillana
li

200. Conversiomes
Los múltiplos y 1os submúltiplos de1 metro cuadrado pueden expresarse como po-
tencias de 10, con Io cual es posible realizar la conversión de una unidad de medida
de área a otra.
Múltiplos
dam' m2
100
.I
dm2
|...,--i-:rr¡ I
102
Cada potencia de 10 se expresa en metros cuadrados y cada unidad de área es 100
veces mayor que la inmediatamente inferior y 100 veces menor que la inmediata-
mente superior, Así, para determinar la equivalencia de una unidad de orden superior
a una unidad de orden inferior, se multiplica por 100, por 10.000, por 1.000.000, etc.
x 100 x 100 x 100 x 100 x 100 x 100
Para hallar la equivalencia de una unidad de orden inferior a una unidad de orden
superior, se divide entre 100, entre 10.000, entre 1.000.000, etc.
H §*
[me
Unidad
básica
Submúltiplos
hm2
104
km2
cm2 mm2
)
100 + 100
Realizar las siguientes conversiones a la unidad de medida indicada.
a. 56 km2 a hm2
Al realizar la conversión de la unidad de orden superior km2 a la unidad de orden
inferior hm2, se debe multiplicar por 100, pues hav un lugar entre km2 y hm2.
Por tanto, la equivalencia de 56 km2 a hmz es:
x 100
km2 hm2
56x100:5.600
Con lo cual56 km2 :
5.600 hm2.
b. 0,612 cm2 a dam2
Para realizar la conversión de Ia unidad de orden inferior cm2 a la unidad de
orden superior dam2, se debe dir.idir entre 1.000.000, pues hay tres lugares entre
cm2 y dam2.
+ 1.000.000
dam2 m2 dm2 cm2
+ I00 + 100 + I00
Luego, la equivalencia de 0,612 cm2 a dam2 es:
0,612 + 1.000.000 :
0,000000612
Por tanto, 0,612 cm2 :
0,000000612 damz.
1P
00 l,i,Santril¿na
,ury

201. ffi
Unu nnca de 6 km2 tiene cultivada L
desu área con caña de azúcar y el resto
con arroz. ¿Cuántos
m2 corresponden al cultivo de arroz?
Primero, se calculan 1o, -5 del área total de la finca así:
t2
5e multiplica, se simplifica y se
convierte a número dectmal
ffi
," terreno de 95 hm2 fue dividido en cinco partes, como muestra la figura.
a. Calcular el área de las regiones A, B, Cy D en dm2.
Se convierte el área de cada región a dm2, multiplicando cada valor por la poten-
cia de diez correspondiente, así:
A :
185.000 X 100 :
18.500.000
B: 15,20 X 1.000.000 : 15.200.000
C: 17,5 X 1.000.000 :
17.500.000
D : 0,185 X 100.000.000 :
18.500.000
Por tanto, Ias áreas de las regiones A, B, C y D son i8.500.000 dm2,
15.200.000 dm2, 17.500.000 dm2 y 18.500.000 dm2, respectivamente.
b. Determinar el área de la región.8.
Se halla la diferenciarentre el área total del terreno en dm2, y la suma de los va-
lores anteriormente calculados. Como 95 hm2 = 95.000.000 dm2, se tiene que:
E : 95.000.000 -
(18.500.000 + 15.200.000 + 17.500.000 + 18.500.000)
E :
95.000.000 -
69.700.000 : 25.300.000
Por tanto, el área de la región E es 25.300.000 dm2.
s,.. 30 5
i"6: L2:;-''t
Con lo cual el área correspondiente al cultivo de caña de azttcar es 2,5 km2.
Luego, se halla la diferencia entre el área total de la finca y el átea cultivada con
caña de azicar para determinar el área cultivada con arroz.
6 km2 -
2,5km2 :
3,5 km2 Se resta 6,0 -
2,5
Por tanto, el área cultivada con arroz es 3,5 km2.
Finalmente, se convierten 3,5 km2 a m2 así:
3,s x 1.000.000 :
3.500.000
Se multiplica por 1.000.000.
Entonces, el área que corresponde al cultivo de arroz es 3.500.000 m2

202. Unidades métrieas de área
Recupero informoción: 1
Soluciona problemos
d.
Un padre deja a sus 5 hijos una finca cuya área es
7,2hm2. Si las áreas de los terrenos correspondien-
tes a 4 de ellos son 1.150 m2,1,68hm2,1,94 darrrz
y 0,0105 km2,
¿cuál
es el área del terreno en hm2
que le corresponde al quinto hijo?
El área de un conjunto cerrado es 5.160 m2 distri-
buidos enlazona residencial ylazona de recrea-
ción y esparcimiento.
a.
¿Cuánto mide el área dela zona residencial?
b. Si de la zona de recreación y esparcimiento
la tercera parte es para piscinas,
¿cuántos
m2
corresponden a las piscinas?
c.
d.
Si en el área residencial por cada 120 m2 se
construyó un edificio,
¿cuántos
edificios hayen
el conjunto?
¿Cuiíntos
dam2 son de zonas verdes, si se les
asigna la quinta parte del área residencial?
Teniendo en cuenta que la zona residencial es
para los edificios y las zonas verdes, ¿cuántos-
m2 tiene cada edificio?
La superficie del territorio colombiano es de
4.140.852 km2 distribuidos así: el 50o/o en área
marina, eI27 ,60/o en área continental o insular y el
22,4o/o en espacio aéreo.
a.
¿Cuántos
dam2 representa la superfi.cie insular
colombiana? ,
b.
¿Cuántos
hm2 representa el área marina de
Colombia?
c.
¿Cuántos m2 tiene el espacio aéreo colom-
biano?
d.
¿Curíntos
km2 hay de diferencia entre el área
marina y el espacio aéreo colombiano?
m. 0,021 cm2 amm2
n. 95 cm2 a dam2
o. 825 m2 akrrr2
p. 10 dam2 a mm2
q. 2,5hm2 acmz
r 3,8 mm2 am2
s. 4,65 crn2 a hm2
t. 78hlr,2 a dlr,2
a. 793 dm2 a km2
v. 35,2 dam2 a cm2
w. 2,05 mz admz
x. 6,21 cm2 amz
d.
Responde las siguientes preguntas.
a.
¿Cuál
es la unidad básica de medida del área?
b.
¿Cuáles
son los múltiplos y los submúltiplos del
c.
metro cuadrado?
¿Cómo
se halla la equivalencia de una unidad
de medida de área de orden superior a una de
orden inferior?
¿Cómo
se halla la equivalencia de una unidad
de medida de área de orden inferior a una de
orden superior?
Realiza cada una de las siguientes conversiones.
a.2m2acm2
b. 5dam2adm2
c. 1,8 dm2 a mm2
d. 0,75 km2 a dam2
e. l2l mmz a cmz
f. 937 m2 a hm2
g. 36,9 dmz adam2
h. 6hm2akm2
i. 24km2 am2
j. 205 m2 a cm2
k. 0,025 hm2 a m2
l. 0,95 km2á m2
Determina cuáles de las siguientes afirmaciones
son verdaderas y cuáles son falsas.
a. Una piscina de 8 m por 4,5 m tiene un área de
36.000 cm2.
b. Pedro compró un terreno de 12 dam2 a un
costo de $ 750.000 el m2 y pagó en total
$ 9Ó0.000.000.
c.El área del antejardín de una casa es de 560 dm2
lo que corresponde al 5% del terreno total que
es de 0,0112 hm2.
Sebastián y Santiago emplearon 708 baldosas
de 40 cm X 30 cm para cambiar los pisos de
toda su casa que tiene un ávea de 108 m2.
El área de una casa es 144 m2, de los cualese.
I
.or."rponde al área de las habitaciones, es
4'
decit 0,0036 hm2.
f. El área de una cenefa que tiene 10 m de largo
por 0,05 cm de ancho es 50 m2.

203. Unidodes ogrorios
Para medir las extensiones de los campos se emplean otras unidades de superficie,
denominadas unidades agrarias. Las unidades agrarias son: el área,la hectárea y la
centiárea.
Sus equivalencias son:
Hectárea ha I hm2 :
1O 000 m2
Área a I dam2 :
100 m2
Centiá rea CA lmz
Otra unidad usada con frecuencia para medir superficies agrarias es la fanegada,
que corresponde a 6.400 m2, es decir, al área de un cuadrado cuyo lado mide 80 m.
Pararealizar conyersiones entre este tipo de unidades se tienen en cuenta estas nuevas
equivalencias y se procede como con las otras unidades de superficie.
x Ejemptos
Se multiplica por l0 000
Se divide entre 6.400 ya que I
fanegada :
6.400 m2.
O
Cor,r"rtir a m2 cada una de las siguientes áreas.
a. 26ha
Como t ha equivale a I hm2, se tiene qurc26ha: 26hm2
Luego, se convierte 26hm2 a m2, así,
A: 26 X 10.000 : 260.000 m2.
Por tanto, 26ha : 260.000 m2.
b. 284,7 ca
Como 1 ca :
1 m2, la conversión es inmediata, puesto que 284,7 ca :
284,7 m2.
ffi
Corr"rtir a ca 43,028hm2.
Se convierten 43,028 hm2 a m2, multiplicando por la potencia de 10 que corres-
ponde, de donde
A: 43,028 X 10.000 :
430.280 m2.
Como 1 ca :
1 m2, se tiene que 43,028 hm2 :
430.280 mz : 430.280 ca.
@
O"t"r-inar si la expresión 584,3 dam2 :
58,43 ha, es verdadera o falsa.
Para determinar si la expresión es verdadera o falsa se debe realizar Ia conversión
de dam2 a ha.
Para esto, se convierte dam2 ahm2 dividiendo entre la potencia de 10 que corres-
ponde, de modo que A :
584,3 + 100 :
5,843.
Por tanto, se tiene que 584,3 dam2 = 5,843 ha.
En consecuencia, Ia expresión es falsa.
O
E.a"Ut.cer cuántas fanegadas hay en 27.487 ha.
Como 27.487 ha :
27.487 hm2, se multiplica por 10.000, con lo cual
A :
27.487 X 10.000 : 274.870.000 m2.
A: 274.870.000 + 6.400 :
42.948,4375
Por (anto, 27.487 ha : 42.948,4375 fanegadas.
Estándar: pensamiento espacial y pensamiento ntétnco
za3
,- 1¡
Santill¿na l/li
il

204. lt EjempLos
fl
U"u finca A tiene una superficie de 2ha,l5 a y 35 ca; una finca B tiene una
superficie de 5 hm2, 13 ay 12 m2, una finca C tiene una superficie de 8 ha, 3
dam2 y l8 ca, y una finca D tiene una superficieT ha,48 m2 y 25 ca. Calcular
el área en metros cuadrados de cada finca.
Para calcular el área de cada finca en metros cuadrados se convierten las unida-
des agrarias a unidades propias del sistema métrico decimal.
Luego, se convierten las unidades de área a metros cuadrados, multiplicando por
Ia potencia de 10 correspondiente como se muestra a continuación:
FincaA 2Ha: 2hm2 : 2 X 10.000m2 :
20.000m2.
15 a :
15 dam2 : 15 X 100 m2 :
1.500 m2.
35 ca :
35 m2.
Entonces, la finca A tiene 2I.535 m2.
FincaB 5 hm2 : 5 X 10.000 m2 :
50.000m2.
13 a :
13 dam2 : 13 X 100 m2 :
1.300 m2.
12m2.
Luego, la finca B tiene 51.372 m2.
FincaC 8ha: 8hm2 :
8 X 10.000m2 :
80.000m2.
3 dam2 : 3 X 100 m2 :
300 m2,
18 ca :
18 m2.
Entonces, la finca C tiene 80.318 m2.
FincaD 7ha: 7hm2 : 7 X 10.000m2 :
70.000m2.
48 m2.
25 ca: 25 m2.
Por tanto, la finca D tiene 70.073 m2.
'?e1
14 I
,t¡ Sant¡iiana
Una finca tiene una superficie de
1,62 ha, disponible para cultivo. Un
tractor ara cada hora una superficie
de 5 dam2 y 16 ca. ¿Cuántas horas
tardará el tractor en arar la superficie?
Es necesario convertir todas las uni-
dades a una misma unidad de medida.
Luego, se convierten las unidades de
medida a m2 así:
, l,62ha: L,62 hm2 :
1,62 X 10.000 m2 :
16.200 m2.
. 5dam2 :
5 X 100m2 : 500m2.
. 16 ca: 16 m2
La finca tiene 16.200 m2 y el tractor ara 516 m2 por hora, de donde se tiene que
16.200 + 516:31,39.
Se divide la superficie de la finca entre
la superficie que ara en una hora.
Por tanto, el tractor tardará 31,39 horas en arar toda la superficie de la finca

205. Estándar: pensam¡ento espacial y pensamiento métrico
Recupero informociónr 1
Responde las siguientes preguntas.
¿Cuáles
son las unidades agrarias?
¿A
qué equivale cada unidad agraria en el sis-
tema métrico decimal?
Completa la siguiente tabla.
a.
b.
¿Cuál
es el costo del terreno si cada área vale
$ 9.000.000?
¿Cuánto dinero aportó cada amigo?
¿Cuál
es la diferencia en m2 entre las áreas de
Ios terrenos del amigo I y del amigo 3?
c.
e.
/l
{[} fu tabla muestra las áreas de las superficies de cada li
continente expresadas en ha.
Continente Área
África 3 036 500 000 ha
América 4.226.214.200 ha
Antártida I 239 300 000 ha
Asia 4.461.400.0A0 ha
Eu ropa 1.053.074.000 ha
Ocea n ia 855.070.000 ha
Ordena los continentes de mayor a menor área.
¿Cuántos
dam2 tiene Ia superficie de cada con-
tinente?
¿Cuántos km2 más tiene la superficie de
América comparada con la de Antártida?
¿Cuántos
hm2 hay de diferencia entre las áreas
de las superficies de Europa y América?
a.
b.
d
Una constructora está haciendo un edificio de tres
clases diferentes de apartamentos de acuerdo con
el área, el sencillo con 0,95 a, el dúplex con 180 ca
y el penthouse con 0,025 ha. Si se construyen 8
apartamentos sencillos, 6 dúplex y 2 penthouse:
a.
¿Cuál
es el área total construida en ha?
b. Si cada m2 se vende a $ 750.000,
¿cuánto dinero se
recauda por la venta de todos los apartamentos?
En el primer semestre de 2006 se sembraron en
Colombia 99.129 ha de maíz amarillo, un l87o
menos que la meta esperada.
¿Cuántos
dam2 fal-
taron para alcanzar la meta?
&
p"ru
enchapar una piscina de un hotel s" .rcogiO li
una baldosa especial de 0,16 ca.
$
Cuat.o amigos compran el siguiente terreno.
i m2 dam2
Responde las siguientes preguntas y justifica tu
a.
b.
c.
d.
respuesta.
¿Cuántos
m2 de papel de colgadura, se requie-
ren para cubrir las paredes de una habitación
de 0,45 a?
¿De
cuántas ha debe comprarse un terreno para
construir un centro comercial de 42 damz?
Un parque natural tiene un área de 24.500 ha,
¿cuántos
km2 tiene el parque?
¿Cuánto
debe pagar una persona por un te-
rreno que mide 5 a, si cada m2 tiene un costo
de $ 620.000?
Se desea construir una yivienda en Ia que la
casa sea de 15 m X 12 m, las medidas de la
piscina sean 6 m X 3,5 m y las zonas verdes de
4 m X 3 m.
¿Cuántas
ha debe tener el terreno?
c.
Soluciono problemos
.
¿Cuántas baldosas se requieren para Ia obra?
l
b.
30
154
zaó
145,5
394,8
494,3

206. Áreo de polígonos
El área de un polígono se puede calcular sin necesidad de utilizar recubrimiento.
Para esto se utilizan determinadas expresiones en las cuales es necesario conocer las
medidas de algunos elementos del polígono. Dichas expresiones se presentan en esta
sección.
Áreo de cuodrilóteros
Para calcular el área de un cuadrilátero se aplica alguna de las siguientes expresiones,
según el tipo de cuadrilátero.
El área de un rectángulo es igual al producto de la medida de la longitud de su base
por la medida de la longitud de su altura. Es decir,
Área:baseXaltura
h
A:bxh
Por ejemplo, el área de un rectángulo cuya base es 7 cm y cuya altura es 3 cm, se
calcula así:
Área :
base X altura : b X h :
7 cm X 3 cm : 2l cm2
El área de un cuadrado es igual al cuadrado de la medida de su lado, es decir,
Área:ladoXlado
A:lXl
A: 12
Por ejemplo, el área de un cuadrado cuyo lado mide 9 cm se halla así:
Área: lado X lado: lXl: 12: (9 cm)2:
g1
cm2
El área de un rombo es igual al semiproducto de la medida de la diagonal mayor (D)
por la medida de la diagonal menor (d).
Área :
I ldiugorrul mayor X diagonal menor)
2
^
Dxd
2
Por ejemplo, el área de un rombo cuyas diagonales miden 6 cm y 9 cm, respectiva-
mente, es:
Área : !
¡diugo.,ul mayor X diagonal menor)
20/
n
-
D>.d _ 9cmX6cm
-
54cm2 _aa
-_--)
La6
I F, | ái (.-+ir.--
A=bxh
b
I
iluüuu

207. Estóndar: pensamiento espacial y pensamiento métrico
.
El área de un romboide es igual al producto de la medida de la base por la medida
de la altura.
Area: base X altura
A:bxh
Por ejemplo, el área de un romboide cuya altura es 7 dmy su base es 10 dm, se calcula
así:
Área :
base X altura : b X h :
10 dm X 7 dm :
70 dm2
El área de un trapecio es igual al semiproducto de la suma de las bases por la altura'
Por ejemplo, para calcular el área del trapecio de la figura se tiene que:
El área de un trapezoide simétrico es igual al semiproducto de la diagonal mayor
(D) por la diagonal menor (d)'
Área :
|
{aiulo"ul mayor X diagonal menor)
^
_ Dxd
2
por
ejemplo, para calcular el área de un trapezoide simétrico cuya diagonal mayor
mide D :
15 crn y clJyadiagonal menor mlde d : 7 cm, se tiene que:
^ DXd _ 15X7
-
105
-<.)(
^:-
222
Por tanto, el área del trapezoide es 52,5 cm2.
-
ilil1
h

208. Responde:
b.
¿Cómo
se calcula el área de un cuadrilátero
cuyas diagonales son congruentes y perpendi-
culares?
¿Cómo
se calcula el área de un cuadrilátero
que tiene solo dos pares de lados consecutivos
congruentes?
Calcula el área de cada cuadrilátero en m2.
60 dnr
Determina cuáles de las siguientes afirmaciones
son verdaderas y cuáles son falsas.
a. Para calcular el área de un cuadrado solo es ne-
cesario conocer 1a medida de uno de sus lados.
b. El área de un trapecio se calcula mediante Ia
expresión I : D

d,
donde D y d son las
2
diagonales.
c. Para calcular el área de un trapezoide simétrico
se divide el producto de las diagonales entre 2.
d. El área de cualquier paralelogramo es el pro-
ducto de Ia medida de la base por Ia medida de
la altura.
El área de un rombo es el producto de la me-
dida de la base por la medida de la altura.
Se puede hallar el área de un cuadrado con la
fórmula para hallar el área de un rectángulo.
El área de un rectángulo de base a es igual al
área de un paraldlogramo de altura h.
2et
B I 'e Sant¡i;ana
Responde las siguientes preguntas justificando tu
respuesta.
¿Cuál
es el área de un paralelogramo cuya base
mide 30 cm y su altura es 9 a. la base?
6
El área de un rombo es 48 m2.
¿Cuál
es la me-
dida de su diagonal mayor si la diagonal menor
mide 800 cm?
Una hoja de papel de forma cuadrada se dobla
por la mitad, formando dos rectángulos de
72 cm de perímetro cada uno.
¿Cuál
es el área
del cuadrado?
Soluciono problemos
b.
Los vecinos de un barrio piensan pavimentar los
andenes de una de sus manzanas. Para esto se
plantean las siguientes condiciones.
. La manzana tiene un área de 952 m2.
. Hay 10 casas cada una de 12 m X 6 m.
. Pavimentar un m2 tiene un costo de $ 15.000.
¿Cuánto
dinero debe aportar el dueño de cada casa
para llevar a cabo la obra?
Dos hermanos com-
pran un lote de forma
cuadrada para cons-
truir en él Ia casa de
cada uno y un restau-
rante. Si el lote se distri-
buye como se muestra
en la figura y el terreno
de cada casa también
tiene forma cuadrada,
¿cuál
es el área en m2 del-
terreno que corresponde al restaurante?
Se tiene un techo rectangular sobre el que se va a
aplicar un decorado en la superficie sombreada
que se muestra en Ia figura. Si el decorado de cada
m2 cuesta $ 28.500,
¿cuánto cuesta el decorado del
techo?
Área de cuadriláceros
c.
60 cm
500 mm
ililll

209. Estándar: pensamiento espacial y pensamiento métrico
Áreo del triéngulo
Para determinar el área de un triángulo se puede trazar junto a él otro triángulo
congruente, de manera que los dos triángulos formen un paralelogramo así:
JD
El paralelogramo DHR/ tiene igual base y altura que el triángulo DHl, además, el
triángulo R/H es congruente con el triángulo DHL y por esto tiene la misma base.
En consecuencia, el área del triángulo DHI es la mitad del área del paralelogramo de
igual base y altura que é1.
E área de un triángulo es igual a la mitad del producto de la medida de la base por la
medida de la altura
En el caso del triángulo rectángulo, el área equivale a Ia mitad del área de la superficie
de un rectángulo con igual base y altura. Por tanto, el área se determina al calcular la
mitad del producto de Ia base por la altura.
El área de un triángulo rectángulo es la mitad del producto de sus catetos, es decir,
la mitad del producto de a base por la a tura.
b
Donde b y h son los catetos del trlángulo ABC
Por ejemplo, el área del triángulo DFC se calcula así:
^-bxh -
gcmX16cm
-l44cm2
_ -1 ^^)
^- 2
-
2
-
2
-tLLttt
Por tanto,-el área del triángulo DFC es 72 cm|.

210. Fórmulo de Herón
En algunos casos, puede ocurrir que los tres lados del triángulo se conocen, pero no
la altura. En dichos casos es útil emplear la fórmula de Herón.
La fórmula de Herón: si las medidas de los lados dei AABC son a, b y c, se cumple que:
Donde, s :
1
2
(a+b+c¡
Por ejemplo, para calcular el área del AABC, teniendo en cuenta las medidas dadas,
se realiza el siguiente procedimiento:
Primero se calcula s:
I
s:ib+b+c)
,: *(7cm-l5cm-l6cm):9cm
2
Luego, se calcula s -
a,s -
by s -
c:
s-a:9cm-7cm:2cm
s-b:9cm-5cm:4cm
s-c:9cm-6cm:3cm
Finalmente, se aplica la fórmula de Herón.
A: JleX4)(,
: .,1116 : r4,7 cm2
Por tanto el área del AABC es 14/ cm2.
x Ejempto
Calcular el área de un triángulo equilátero cuyo perímetro es 18 cm.
Sea el AMNO equilátero en el cual se cumple que los tres
lados son congruentes y en consecuencia m : n :
o.
Luego, se divide el perímetro entre 3 para hallar
la medida de cada lado, de donde se obtiene que
m:n:O:6Cm.
Como solo se conocen las medidas de los lados se
aplica la fórmula de Herón para calcular s. Así:
Luego, setieneques - a: s - b: s - c:3 cmyseremplazaenlafórmulade
Herón:
¿ :
,/91:¡1:¡()
: J2$: 15,58 cm2
Por tanto, el área del AMNO es 15,58 cm2.
:9
cm
?lo
'ln
l,.c--+;r^--
a=7 cm
Z

211. Estándor: pensamtento espacial y pensamiento métrico .:;''
ii @
delasPáginas2oeY2ro,
!i
siguientes afirmaciones
1t
tl on falsas.
Soluciono problemos
a. Para calcular el área de un triángulo basta con
conocer la medida de su altura.
b. Paracalcular eláreade untriángulo rectángulo
basta con conocer las medidas de los catetos.
c. Es posible calcular el área de cualquier triiín-
gulo conociendo solo su perímetro.
d. Es posible calcular el área de cualquier trián-
gulo conociendo las medidas de sus tres lados.
¿Cuál
es el iírea de la siguiente figura?
26m
Un triángulo isósceles tiene perímetro 32 cm y la
medida de su lado no congruente es 12 cm.
a. ¿Cuál
es su área?
b. ¿Cuánto
mide su altura?
Calcula el área de LACB, LADB y LAEB. ¿a"é
ii
¡l
ii Cut.rrla el área de los siguientes triángulos en cm2.
li
i1
d.
Determina la medida indicada, teniendo en cuenta
los datos dados.
a. La base de un triángulo de área26 cm2 y altura
c.
0,8 dm.
La altura de un triángulo de área 18,5 m2 y base
0,3 dam.
El área de un triángulo rectángulo en el cual
uno de los catetos mide 0,12 m y la hipotenusa
mide 1,6 dm.
El área d9 un triángulo equilátero cuyo lado
mide 0,1 m.
e. El perímetro de un triángulo isósceles cuyo
lado no congruente mide 12 dm y el área es
0,48 m2.
f. El área de un triángulo equilátero cuyo lado
mide 1cm.
: @
El antejardín de una casa tiene la forma q". -""t-
§i
tra la figura. Si se le va a colocar pasto artificial,
¿cuiíntos
m2 de pasto se deben comprar?
En el piso de un salón de forma cuadrada se va a
realizar un diseño como muestra la figura,
¿cuán-
tas tabletas blancas y cuántas negras se necesitan
si cada una mide 40 X 40 cm?
T
5m
1
T
12m
I
d.
b.
observas?
Ti
'i*
r-3 m---
zrl

212. Áreo de polígonos regulores
Para calcular el área de un polígono regular se debe tener en cuenta que cualquier
polígono regular está conformado por tantos triángulos isósceles congruentes como
número de lados tiene el polígono.
Por ejemplo, el pentágono se puede dividir en cinco triángulos congruentes y el oc-
tágono en ocho, como se muestra en las siguientes figuras:
La medida de la base de cada triángulo corresponde a la medida del lado del polí-
gono (l). Además, la medida de la altura de cada triángulo se denomina apotema y
se simboliza con la letra a.
Como las bases de los triángulos son iguales al lado I y las alturas son iguales a Ia
apotema a, el área de cada triángulo es:
. Iado X aDotema
A É^ó
-
________________
-
¿
Por tanto, el área del polígono se calcula sumando las áreas de los triángulos que lo
conforman. Si el polígono tiene z lados, se tiene que:
Area :
De donde se deduce que:
+
Área :
'"f",
donde n X / es el perímetro del polígono.
El área de un polígono regular es igual a la mitad del producto de su perimetro por la
apotema, es declr:
Á.^__
perímetroxapotema _ pxo
-l-t
Donde p es el perímefroy a es la apotema.
lXa , lxa , lxa
222
rr-veces
zlL
l2 i a,<-^*;rl-^-
.:iiit

213. x Ejerrepto
Calcular el área de un hexágono regular de 8 dm de lado y 6 dm de apotema.
Como un hexágono tiene 6 lados y / :
8 dm, se tiene que el perímetro del hexágono es:
P:nxl:6X8dm:48dm
Luego, se utiliza la expresión para calcular el área de un polígono regular así:
A:
P\o
-
48dmx6dm
-
288dm2 :t44dm)
222
Por tanto, el área del hexágono regular es 144 dm2.
Explica con tus propias palabras cómo se calcula
el área de un polígono regular. Luego, escribe un
ejemplo.
Calcula el área delos siguientes polígonos regulares.
Responde las siguientes preguntas.
Soluciono problemos
a.
¿Cuál
es el área de un hexágono regular de
12 m de lado y 80 cm de apotema?
¿Cuáles
la medida del apotema de un decágono
regular de 5 cm de lado y 1,75 dmz de área?
¿Cuánto
mide el lado de un nonágono regular
cuyo apotema mide 5,5 mm y cuya área es
).52,1 cm2?
¿Cuánto
mide el área de un heptágono, si cada
triángulo isósceles que lo conforma tiene de
base 12 cm y sus lados congruentes miden 9
cm?
Halla el área de un pentágono regular cuyo
apotema mide 5 cm y su lado mide 6 cm.
c.
d.b.
b.
d.
Determina las áreas de las siguientes figuras des-
componiendo los polígonos.
Se quiere cercar el borde de un jardín que tiene
forma de pentágono regular, como se muestra en
la figura. ¿Cuántos
metros de longitud debe tener
la cerca?
,'I
Estándar: pensamiento espacial y pensamiento métrico
b.
lr^
T
I
20n:,
;)

214. La circunferencia es el lugar
geométrico de los puntos que
están a iqual distancia del
centro.
El circulo es la superficie que
efá en el interior de la circun-
ferencia.
Areo del círculo
E área de un círculo es igual al producto de r porel cuadrado de a medida de radio r.
A: ¡P
Por ejemplo, para determinar el área de un círculo cuyo radio mide 6 cm, se tiene que:
A: ¡ x P : (3,141) X (6 cm)2 : (3,141) x (36 cm2) : ll3,O4cm2
Por tanto, el área del círculo es 113,04 cm2.
cm.
Calcula el área de un círculo cuya circunferencia
tiene perímetro 3,77 dm.
Soluciono problemos
i
j E" la plazoleta circular de 6 m de radio de un cen-
iÉ
tro comercial, se va a instalar una fuente circular
il
de 3 m de diámetro. i;
a.
¿Qué área cubre la
fuente?
b.
¿Qué
área de la pla-
zoleta queda libre
para la realización
de eventos?
l1
Éi
{S O"trrnde las siguientes preguntas. }ustifica tu Calcula el áreade un círculo cuyo diámetro
"r
54
;i
fi!
Cutcrrtu el área de cada círculo.
§p
cut.rtu el área de cada figura en m2
respuesta.
a.
¿Se
puede calcular el área de una circunferen-
cia?
b.
¿Se
puede calcular el perímetro de un círculo?
:
I Hace mucho tiempo un rev ouiso construir un.t¿t
jardín rectangular de radio 10 m. Convocó un
concurso y les dio a los participantes el plano que
aparece en la figura adjunta. Pero ninguno logró
calcular el área del jardín.
¿Lo
lograrás tú?
a.
¿Cuál
es el períme-
tro del jardín?
b.
¿Cuál
es el área del
jardín?
c.
¿Curíl
es el área de
la parte del estan-
que que no está
ocupada por el jar-
dín?

215. Estándor: pensamiento espacial y pensamiento métilco
Áreo de lo superficie de un poliedro
En un poliedro se pueden determinar dos tipos de área: el área lateral y el área total.
El área lateral es la suma de las áreas de las caras laterales. El área total es la suma
del área lateral y las áreas de las bases del poliedro.
Para calcular el área lateral o total de un poliedro, resulta conveniente recurrir al
desarrollo del poliedro en el plano, tal como se observa a continuación:
De acuerdo con lo anterior, el árealateral(A) de un prisma se calcula multiplicando
el perímetro de una de las bases del prisma (P), por la altura del prisma (h), es decir:
AL:Pxh
Para calcular eláreatotal (,4.7) de un prisma se suma el área lateral y el doble del área
de una de las bases (B), es decir:
Ar: Ar-f 28
Con el fin de facilitar el proceso para calcular el área de otros prismas, en Ia siguiente
tabla se presenta su desarrollo.
Paralelepípedo Prisma triangular
Prisma pentagonal Prisma hexagonal
^
."-.,,,.^ll?,
,1,¡¡:

216. Áreo de uno pirómide
En una pirámide regular tarnbién se puede calcular el área lateral y el área total,
teniendo en cuenta que:
. El área lateral (,4.) de una pirámide regular es igual al producto del área de una
de sus caras laterales por la cantidad de caras laterales.
. El área total (,47) de una pirámide regular es igual al árealateral más el área de la
base de la pirámide.
Para calcular el área de una pirámide resulta util realizar su desarrollo, tal como se
muestra a continuación.
El área de un poliedro regular es igual al producto del área de una de sus caras por
la cantidad de caras que tiene el poliedro.
De manera similar a los otros poliedros, en este caso también es útil conocer su de-
sarrollo para determinar la cantidad de caras que tiene el poliedro.
Areo de un poliedro regulor
Tetraedro
Pirámide de base cuadrada
Dodecaedro
Pirámide de base octogonal
Icosaedro
,,
;:
::
til
Octaedro

217. I
a
Responde las siguientes preguntas.
¿Qué
es el área lateral y el área total de un po-
liedro?
¿Cómo
se calcula el área total de un poliedro?
Calcula el área lateral y el área total de cada polie-
-24
cm+
dro.
JCm
@
ffect,i" el desarrollo del siguiente cuerpo. Luego,
calcula el área total.
J._
1
o
b'
8
,t_
L
12 cm
30 cm
\,
/8 im
1
/rr(^
1
La pirámide de lafra es la segunda más grande
de Egipto y fue construida aproximadamente en
2523 a.C. Su base cuadrada tiene dimensiones
215,25 m X 215,25 m. Su apotema mide 179,4 m
aproximadamente.
Determina el área de cada arreglo.
a.
b.
c.
a
b
Construye el sólido que corresponde al siguiente
desarrollo.
a.
¿Qué
puedes concluir con respecto al área total
de esta figura?
fip Soluciono problemos
¿Cuántos dm2 de papel regalo debe comprar Luis
para envolver la siguiente caja de chocolates?
¿Cuál
es el área lateral de Ia pirámide de Jafra?
¿Cuál
es el área total de la pirámide deJafra?
Si la punta de la pirámide se erosiona, es
decir, si queda
con forma de un
tronco de pirá-
mide cuyo Iado
de la base menor
mide 2 m,
¿cuál
es
el área total?
-16
cm--
zr?
|
osantiilana I¿ll]lrn:
Estándor: pensamiento espacial y pensamiento métrico.:#
c

218. Volumen
El volumen es la medida del espacio que ocupa un cuerpo, el cual se simboliza con
la letra V. Para determinar el volumen de un cuerpo se utiliza como unidad básica
de medida el metro cúbico.
El metro cúbico es la unidad básica de medida del vo umen, se simboliza m3 y
corresponde al volumen de un cubo de un metro de arista
V:1m3
Al igual que el metro y el metro cuadrado, el metro cúbico también tiene unidades de
orden superior, múltiplos, y unidades de orden inferior, submúltiplos.
Los múltiplos del metro cúbico son: el kilómetro cúbico, el hectómetro cúbico y el
decámetro cúbico.
Abreviatura
kilómetro cúbico KM' 1 000 000 000 m3
hectómetro cúbico hm3 1.000.000 m3
decámetro cúbico dam3 1.000 m3
Los submúltipos del metro cúbico son: el decímetro cúbico, el centímetro cúbico y
el milímetro cúbico.
Abreviatura Equivalencia
decímetro cúbico dm3 0,001 m3
centímetro cúbico cm3 0,000001 m3
milímetro cúbico mm3 0,000000001 m3
Cada unidad de volumen es 1.000 veces mayor que la inmediatamente inferior y 1 .000
veces menor que la inmediatamente superior. Por tanto:
. Para determinar la equivalencia de una unidad de orden superior a una unidad
de orden inferior, se multiplica por 1.000, por 1.000.000, por 1.000.000.000, etc.
. Para hallar la equivalencia de una unidad de orden inferior a una unidad de orden
superior, se divide entre 1.000, entre 1.000.000, entre 1.000.000.000, etc.
Por ejemplo, para convertir 54 m3 a cm3, se multiplica por 1.000.000, puesto que m3
es la unidad de orden superior y cm3 es la unidad de orden inferior. Por tanto, se tiene
que 54 X 1.000.000 :
54.000.000, es decir,54.000.000 cm3 :
54m3.
Para convertir 13 cm3 a dm3 se divide entre 1.000 puesto que cm3 es una unidad de
orden inferior a dm3. Entonces, 13 + 1.000 : 0,013, es decir, 13 cm3 :
0,013 dm3.
Para convertir 25 dm3 a mm3 se
unidad de orden superior a mm3.
25 dm3: 25.000.000 mm3.
multiplica por 1.000.000 puesto que dm3 es una
Entonces, 25 X 1.000.000 :
25.000.000, es decir,
at8
ll8
lr,,Santillana
.:iüt
'r/
m

219. Estándar: pensamiento espacial y pensamtenio metr¡co
Algunos volúmenes
En la siguiente tabla se presentan las expresiones que permiten calcular el volumen
de algunos cuerpos geométricos.
Por ejemplo, para determinar el volumen de un octaedro regular cuyo lado mide
3 cm se tiene que:
V:
Por tanto, el volumen del octaedro regular es 9J2 cm3
re santirana
I
Z I
g,l[,;1,
Cubo
\/
-
l1
v
-l
/: lado
Plrámide
,,_ 1t.a
v
-
a
/tl) tt
-)
Ao:área de la base
h: altura
Prisma y
cilind ro
Ao:área de la base
h: altura
Paralelepipedo
\/-l.n.h
/: largo
d: ancho
h: alto
Cono v:!m,.h
r: radio
h: altura
Esfera
,, 4
\/
-
t
ñr
v
-
1
¡¡¡
J
r: radio
Tetraedro
regular
t; [l
tt t\JL
' l)
L
/: ado
Octaedro
regular
tz ll
tt I 1Z
v
-
-----;-
J
/: ado
Tronco
de la
pirámide
1-
v:+h(AE+A+JAB.A)
7
Au.área de la base
rnayor
Ao área de a base
menor
h: altura

220. re €j*mnpt*s
Calcular el volumen de un tronco de pirámide, teniendo en cuenta las medi-
das que se muestran en la figura y que las bases son cuadradas.
Se debe utilizar la expresión:
v :
lttlA.-
A, + ./+
.
.e, I
J
Luego, se debe calcular el área de la base mayor (A¡) y ei área de la base menor
(46). Como ambas bases son cuadradas As: 6 cm X 6 cm :
36 cm2 y Ao: 4 cm
X 4 cm :
16 cm2. Además, Ia altura (h) es igual a 5 cm, con lo cual se tiene que:
y:
ltslt36 + 16 +.[36X16) )
5e remplazonlaalturayelóreadelasbases
J
Calcular el volumen de una esfera cuyo radio mide 7 cm.
Se aplica Ia expresión V : L¡rr'
.
J
Como r :
7 cm se tiene que:
V : !r(7 cm)'
J
:
{a'(3a3 cm')- 457,33.r cm'
3
tt9
iZÜ
i.''rsantiiian¿
Realizar las siguientes conversiones.
a. 6,75 hm3 a dm3
Para convertir de hm3 a dm3 se multiplica por 1.000.000.000.
x 1.000 x 1.000 x 1.000
hmr damr r¡l dnl3
x 1.000.000.000
Así, Ia equivalencia de 6,75 hm3 a dm3 es:
6,7 5 x 1.000.000.000 :
6.750.000.000
Por tanto,6,75 hm3 :
6.750.000.000 dm3.
b. 0,0318 m3 a km3
Para convertir m3 a km3 se debe dividir entre 1.000.000.000.
+ 1.000.000.000
km3 hm3 duTt m3
+ 1.000 + 1.000 + 1.000
Luego, la equivalencia de 0,0318 m3 a km3 es:
0,0318 + 1.000.000.000 :
0,0000000000318
Por tanto,0,0318 mr :
0,0000000000318 km3.
:
]tslr:o
+ 16 + (6x4))
:
|tru
+ 16 + 24) :
t26,66
5e obtiene la raiz cuadrada
Se rea I iza n operactones
Por tanto, el volumen del tronco de pirámide es 126,66 cm3
5e remplaza el rodio en la expresrón
del volumen de lo esfero
Por tanto, el volumen de la esfera es 457,33¡ crrr3

221. @
R"rporde las siguientes preguntas.
a.
¿Cómo
se realiza la conversión de unidades de
medida de volumen?
b. ¿Cómo
se calcula el volumen de un prisma?
@
Realiza las siguientes conversiones.
8,5 dm3 a mm3
9,2 m3 a cm3
0,018 hm3 a m3
4km3am3
59 mm3 a dm3
6,97 hm3 a km3
384 cm3 a m3
10 cm3 a hm3
0,75 m3 a dam3
0,0005 dam3 a dm3
26,1 cm3 a mm3
492 m3 a mm3
32,5 m3 a km3
0,2 dam3 a km3
975 dm3 a dam3
43,8 dam3 a hm3
i.
j
k.
l.
m.
n.
o.
p.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
o
b'
h.
@
Cul.rrlu el volumen de los siguientes poliedros.
1
30 cm
I
k
-15
dm------
Estándor: pensamiento espacial y pensam¡enta métr¡co
Recupero informoción: 1
Calcula el volumen de los siguientes cuerpos
Soluciono problemos
Una represa almacena 8 km3, 15 hm3, 9 dam3 y 95
m3 de agua, para la producción de energía eléc-
trica. Si en época de lluvias el nivel aumenta en un
2Oo/o,
¿cuántos
dam3 de agua almacena la represa
después de las lluvias?
Se están llenando dos tanques de agua uno de 3 m
X 2 m X 1,5 m yotro de 2,5 m X 2 m X 2 m, cada
uno con una llave cuyarazón de salida es de 300
dm3 por minuto y 340 dm3 por minuto, respecti-
vamente.
a.
¿Cuánto tiempo emplea cada llave en llenar el
tanque que le corresponde?
b.
¿Cuál
tanque se llena primero?
Una puerta de ma-
dera de 75 cm X 3 cm
X 180 cm tiene un
espacio para un vitral
en forma de hexá-
gono de 50 cm de
lado.
¿Cuál
es el volu-
men de la puerta?
¿Cuál
es el volu-
men del vitral si
su espesor es de
5 mm?
a.
'13
c^
120 mm
zul
, santiti¿na
lZ¿if,;D!
geométricos.
a. T---
b

222. Longitud
@
Convertir:
5 m a cm c. 65,8 mm a m e. 0,47 damam
l,3damam d. 120madm f.5,6kmacm
Los diámetros ecuatoriales de cada uno de los
planetas que conforman el sistema solar están
expresados en la siguiente tabla.
Planeta Diámetroecuatorial
Mercurio 4.787.400 m
Ven us 12.104 km
Tierra 1 275 000 dam
Marte 67.940 hm
Júpiter 142.800 km
Saturno 12.000.000 dam
Urano 520 000 hm
Neptuno 48 000 km
Plutón 2 302.000 m
c.
¿Cuál
es el planeta con mayor diámetro?
¿Cuál
es el orden de los planetas de mayor a
menor diámetro?
¿Cuántos
km más tiene de diámetro |úpiter con
respecto a la Tierra?
¿Cuántos
km menos tiene de diámetro Plutón
con respecto a Marte?
: Perímetro
a.
b.
7 pul
a.
¿Curíl
cenefa le genera menor desperdicio de
material?
b. Con esa cenefa, ¿cuántas
piezas necesitaría y
cuántos metros de material le sobrarían?
Pedro tiene en la frnca un corral para sus ovejas,
que desea cercar con tres r,'ueltas de alambre. Si
cada chipa de alambre tiene 12 m de longitud,
¿cuiintas
chipas de alambre debe comprar?
Áreo
De las siguientes figuras determina cuáles tienen la
misma área, con respecto ala unidad cradrada(u2).
c.
Océano Área
Responde:
a.
¿Cuál
es el océano de mayor área?
b.
¿Cuál
es el orden de los océanos de mayor a
menor área?
c.
¿Cuántos
dam2 de más tiene de área el océano
Atlántico con respecto al Ártico?
d.
¿Cuántos m2 menos tiene de área el océano
Índico con respecto al Pacífico?
a.
b.
d.
Olros unidodes de longitud
§
Nicolas va a colocar una cenefa en la cocina de su
Unidodes méiricos de óreo
casa. Si necesita 9,6 yd y tiene las siguientes opcio-
nes:
Observa la tabla que muestra las áreas de las su-
perficies de los océanos.
5 pul
ZLZ
7.000 mm
9 km2 500 hm2 I 000 000 m2
290 000 dam2 2 000 000 m2
Atlá ntico 550.000 damz 2.500.000.000 dm2
9!qq!d 19o-9qq !qnt-
-
r
10.000 hm2 65 000.000 m'
ZZ
i,'.,Santillana
6 pul
4 pul
Ártico
Antá rtico
ind ico
. PacÍfico

223. Unidodes ogrorios
§) r" complejo vacacional tiene una extensión de
2,4 ha repartidas en una cuarta parte para hote-
Ies, alojamientos y zona de camping, dos terceras
partes para zonas deportivas, parques, piscinas y
esparcimiento y una doceava parte para zona de
comidas.
a.
¿Cuántos m2 tiene cada zona en Ia que está
dividido el complejo?
c.
¿Cuántas
centiáreas más tiene de extensión la
zona de diversión que la zona de alojamientos?
¿Cuántos
dam2 de diferencia hay entre la ex-
tensión de la zona de hoteles y alojamientos y
la de comidas?
Determina el área de la región sombreada.
Volumen y metro cúbico
,rr
a.
¿Cuál
es el equipo que tiene la mayor lL" a"t
parque a su cuidado?
b.
¿Cuál
equipo tiene a cargo la menor extensión?
c. Si por cada hm2 que se mantiene y cuida a la
semana se reciben $ 750.000,
¿cuánto
recibe
semanalmente cada equipo?
Áreo de polígonos regulores
En Washington, un edificio de gobierno tiene
forma de pentágono regular de aproximadamente
300 m de lado y 206,5 m de apotema.
¿Cuántos
km recorre un turista que le da una
l'uelta completa?
Si en el interior tiene unos jardines también
en forma de pentágono, cuyas medidas corres-
ponden a la tercera parte de las medidas de
todo el terreno,
¿qué
área en hm2 ocupan las
edificaciones?
Areo de cuodrilóteros
La figura muestra un puente peatonal construido
sobre una avenida. Si la zona sombreada debe pin-
tarse de blanco, y Ia pintura tiene un cubrimiento
de 100 m2 por galón,
¿cuiintos
galones se necesitan
para darle tres capas de pintura?
a.
Áreo de un circulo
Areo del trióngulo
En un parque natural se han definido tres zonas:
lazonaA, animales salvajes; la B, aves, y la C ani-
males acuáticos y reptiles. Para su mantenimiento
y cuidado se han contratado tres equipos de per-
sonas.
Debido a un daño en el tubo que lleva el agua a un
edificio de apartamentos, eI servicio será suspen-
dido por tres días. Si se cuenta con tres tanques
de almacenamiento de agua, cada uno tiene como
medidas 0,3 dam X 25 dm X 200 cm y el con-
sumo diario promedio de agua del edificio es de
14.500.000 cm3:
a.
¿.Llcanza
el agua almacenada para los tres días?
b.
¿Cuántos
dm3 de agua sobran o faltan al cabo
de los tres días?
10m
10 cm-{
1,3 hm
18 dam
í0 Santillana
,ül
IZZ]¡',li!
t

224. Es la medida de la superficie que ocupa
una figura. Su unidad básica de medida es
el metro cuadrado. Sus múltiplos son: km2,
hm2, dam2. Sus submúltiplos son: dm2,
cm2 y mm2.
La unidad básica de medida de la longitud es
el metro (m). Sus múltiplos son: km, cm y mm.
Sus submúltiplos son:dm, cm y mm.
Otras unidades de medidas de longitud son:
Es la medida del espacio que
ocupa un cuerpo. Su unidad bá-
sica de medida es el metro cúbico.
El perímetro de un polígono es la suma de las medidas
de sus lados.
EI perímetro de una circunferencia se calcula mediante la
expresión C : 2Tr, donde C es el perímetro y r es el radio.
Pulgada: 2,54 cm
Yarda: 9l ,44 cm
Milla náutica: 1.852 m
Pie:30,48 cm
Milla: 1 ,609,347 m
Figura
Triángulo
Rombo y trapezoide
simétrico
Trapecio
-b-
Expresión
¡:
b'_h b:base
z
h: altura
Cuerpo
Paralelepípedo
Expresión
V-l.a.h
/: largo
d: ancho
h: altura
v - Ab.h
Ao:área de la base
h: altura
1
v: *a" n
J
Ao:área de la base
h: altura
t/ 4
-"tv--|l
3
r: radio
V-
/: lado
Fórmula de Herón
A_
5: semrperÍmetro
A-hvn
/\-u/\11
b: base
h: altura
^_
Dxd
t1
--
)
D: diagonal mayor
d: diagonal menor
^
(B+b)xh
A:-
2
B: base mayor b: base menor
h: altura
A-¡r)
r: radio
^
PXa
)
P: PerÍmetro
d: apotema
Tetraedro regular
Poligono regular
Prisma
Pirámide
Esfera
azq
,¿4loSantilrana
EH IJIHTE=IE...

225. Los medidos
en uno piscino
olímpico
Aunque la natación ha sido una
actividad de relajamiento y di-
versión, acl.ualmente es consi-
derada como un deporte de alto :.-
nivel competitivo. Para fomentar
este deporte profesionalmente se
crearon las piscinas olímpicas y
semiolímpicas.
La piscina olímpica se originó en Gran Bretaña a finales del siglo XVIII y fue la National Swimming So-
ciet¡ fundada en Londres en 1837, la primera en organizar competencias en ella. Las piscinas olímpicas
pueden ser cubiertas o al aire libre y deben tener las siguientes dimensiones: 50 m de largo, 25 m de ancho
y 2 m, como mínimo, de profundidad.
Las partes de una piscina olímpica son:
. El
Poyete:
es el soporte donde se apoya el nadador. Tiene una altura entre 0,50 m y 0,75 m por encima
de la superficie del agua y está construido con material antideslizante.
. El carril: es Ia franja de la piscina por donde puede nadar cada competidor. Tiene 2,5 m de ancho.
. Las bandas: son los elementos que separan cada carril. Cada una tiene 0,48 m de largo y 0,3 m de ancho.
. La cuerda de salida
falsa:
es aquella que bordea a la piscina y sirve como medida de seguridad. Se
encuentra a 15 m de la salida y posee una altura de 1,20 m.
. Los banderines: son señales que se ubican al extremo de cada punta de la piscina a una altura de 1,80
m y se utilizan para indicar los virajes de espalda.
@ ¿lu.u
qué se crearon las piscinas olímpicas? Determina cuántos metros cuadrados de plástico
@ ¿a"¿
dimensiones debe tener una piscina olím-
pica?
Representación gráfica de una piscina olímpica e
indica sus dimensiones y las de sus partes.
se requieren para elaborar la cubierta para una
piscina olímpica.
Calcula el perímetro de una piscina olímpica.
Calcula el volumen mínimo que debe albergar una
piscina olímpica.
I
?25
|
:.'5¿ntilta¡a
i¿¿!l,[)

226. Estodístico
y probob¡lidod
Temos de Io unidod

227. El motemótico
y el emperodor
El azar, o quizás la Providencia, fue quien en 1785
puso ante Pierre Simon Laplace, srendo profesor en la
Escuela Militar de Paris, a un jorren de I 6 años que des
tacaba en matemátrcas y que, en el futuro, se conve[-
tiria en el hombre más poderoso de Europa, Napoleón
Bonaparte.
Ahora las tornas habian cambiado, era Laplace quien
presentaba un trabajo sobre mecánica celeste al em
perador de Francia.
Monsieur Laplace, ha escrito este iibro sobre las leyes
del universo srn haber mencionado ni una sola vez a
su creador.
-Sire,
es que no he necesitado esa hipótesis
-repuso
el matemático.
La respuesta hizo que el emperador mostrase una
de sus escasas sonrisas y, después, continuó con la
audiencia.
Diez años después de este suceso Laplace publicó la
obra Teoría analítica de las probabilidades, que él lla-
maba La geometría del azar.
Al recibir el libro, Laplace se paró a pensar precisamente
en el azar, esa cua idad que tienen los experimentos de
no ser predeterminados, y cómo él los había atado a
leyes matemáticas.
Tomado de l¡,4atemáttcas / F5O España,
Editorial Santi ana, 2008
Da un ejemplo de experimento en e que no se pueda
I
predecir el resultado y en 0tr0 en que si
l
Explica a mportancia de predecir eventos.
l
22+
il

228. rr
Coraeterización
de uno vorloble cuolitotivo
Cuando se ha obtenido la información de Ia muestra en cada una de las variables, es
necesario organizar los datos y procesarlos para obtener conclusiones que permitan
identificar las características de la población. A este proceso se le denomina carac-
terización.
Para caracterizar una variable de cualidad se tienen en cuenta tres aspectos funda-
mentales: las tablas de frecuencias, la representación gráfica y la moda.
Toblos de frecuenc¡os
Una tabla de frecuencias es un resumen de los datos en la cual se agrupan las res-
puestas a la variable teniendo en cuenta las respuestas.
Por ejemplo, el director de la emisora del colegio preguntó a 20 estudiantes del grado
séptimo acerca del tipo de servicio de televisión que tienen en su casa. Las respuestas
que se obtuvieron son:
Donde, N: nacional, C: cable y S: satelital.
En Ia tabla de frecuencias que se muestra al lado se observa que:
La frecuencia,J corresponde a la cantidad de datos que hay en
cada uno de los rangos de respuesta a la pregunta.
La frecuenciarelativa,fr, corresponde al cociente de la frecuencia
absoluta de cada dato entre la cantidad total de datos.
La última columna de la tabla corresponde al porcentaje de res-
puesta de la muestra en cada uno de los rangos.
L I'fg{lfi_"y¡:f I
Representocién g róficc
Una vez se ha elaborado la tabla de frecuencias es necesario utilizar diferentes re-
presentaciones que permitan visualizar la tendencia de las respuestas a la pregunta.
Las principales representaciones gráficas de una variable cualitativa son: el diagrama
circular y el diagrama de barras. Para el caso del ejemplo anterior, las representacio-
nes gráficas correspondientes se pueden observar en la figura Lylafigrra2.
Para elaborar el diagrama circular, se divide 360' en partes proporcionales a los va-
lores de las frecuencias dadas. En este caso es:
Para Nacional, cuya frecuencia es 4, se tiene: 4
-
360"
, por tanto, x:72".
4x
Nacional 4 02 20
Cable 9 0,45 45
Suscripción 7 0,35 35
Total 20 i1 100
Diagrama circular
para tipo de televisión
Suscripción
35o/o
45o/o
Cable
Figua 1
Diagrama de barras para
tipo de televisiónPara Cable, cuya frecuencia es 9, se tiene: -L :
9
Para Suscripción, cuya frecuencia es 7, se tiene:
360o
, por tanto, x: 162o.
x
20 : 360o,portanto,
x = 126"
/x
Para representar datos en un diagrama de barras, se ubican los datos de la variable
en el eje horizontal y las frecuencias o los porcentajes en el eje vertical como en este
caso. De las gráficas se puede concluir que la mayoría de los estudiantes, el 45o/o,
tiene afiliación a televisión por cable, mientras que un bajo porcentaje, el20o/o,fiene
televisión nacional.
50
40
30
20
10
0
Nacional Cable Suscripción
Fiqura 2
?21
5¿ illana I e¿l"tt:
f
N N C C S C S C 5 S
C C 5 C N S C S N C

229. Lo modo
La moda es una medida de tendencia central que se puede calcular e interpretar
cuando se caracteriza una variable cualitativa.
La moda corresponde al rango de respuesta con mayor frecuencia. En un conjunto de
datos se puede determinar una moda, dos modas, varias modas o ninguna
La moda se interpreta como la respuesta esperada para un nuevo individuo de la po-
blación. Para el caso del ejemplo anterior, la moda corresponde a televisión por cable.
mina la población, la muestra y las variables rela-
cionadas al estudio.
a. Mario quiere indagar acerca de la cantidad de
tiempo que debe estudiar un alumno del cole-
gio en casa. Para ello pregunta a 10 compañeros
del curso cuánto tiempo dedica cada uno a
estudiar en su casa.
b. El dueño de la papelería del barrio quiere saber
si es lucrativo implementar el servicio de foto-
copiadora. Para ello preguntó a 57 clientes que
ingresaron a la papelería si usarían el servicio
y cuántas copias sacarían en una semana.
ll
!i @
t" secretaria del gerente del Banco Central de la
:l ciudad toma una muestra de 42hipotecas de cré-
ii aito al que pertenecen:
;i
,, de tasa fija V de tasa variable
B: con beneficios del gobierno
ii ros resultados que obtiene son:
it
;,
ji t" cada una de las siguientes situaciones deter-
FVFVFBF
VBBFFBV
a. Construye una tabla de frecuencias de los datos
recolectados.
El director de una programadora de televisión na-
cional realizó una convocatoria de nuevos actores
para la última temporada de una serie. Para cada
actor tomó la información del género: hombre o
muje¡ y de la contextura física: delgado, normal u
obeso. Los resultados de los actores que se presen-
taron el primer día son:
I H D 9 N4 D 17 M N
2 Ho 0 H D 18 A/o
3 H N I \4 D 19 H D
4 M N 2 Ho 20 H D
5 Ho 3 Ho )1 M D
6 M D 4 ]\/ N 22 Ho
7 H D
a
J N/o 23 l\/ B
8 H D 6 l\4 N 24 Ho
a. Caracteriza las variables género y contextura
b.
C.
física.
Caracteriza la variable contextura para los
hombres y para mujeres.
Elabora al menos dos conclusiones.
En el periódico escolar apareció la siguiente infor-
mación en uno de sus artículos.
Causas de muerte de jóvenes de la ciudad
Enfermedad Natural
b. Representa gráficamente el conjunto de datos,
en diagrama circular y diagrama de barras.
c. Encuentra la moda.
d. Si la secretaria debe elaborar un informe para
el gerente,
¿qué
conclusiones debe incluir?
Violenta
¿Es posible afirmar que más del doble de jóvenes
mueren por causas violentas? |ustifica tu respuesta.

230. 23t
,¡santittana
lZJi,,P:
r
t
Están dar: pen s G m¡ e nto a I eator¡o
Corocterizoción
de dos voriobles cuolitotivos
En la mayoría de estudios estadísticos se relaciona más de una variable cualitativa.
Por esta razón se hace necesario determinar algunos criterios que permiten relacionar
dos variables cualitativas, para ello se tienen en cuenta dos herramientas de análisis:
tablas de doble entrada o tablas de contingencia y representaciones gráficas.
Toblos de contingenc¡o
Una tabla de contingencia o tabla de doble entrada está conformada por filas y
columnas. Las filas están formadas por los rangos de respuesta de una variable y las
columnas, por los rangos de respuesta de la otra variable. En cada una de las casillas
formadas se ubica la cantidad de datos que tienen ambas características simultánea-
mente.
Por ejemplo, el presidente del comité estudiantil de un colegio de la ciudad ha con-
formado un equipo de trabajo con varios miembros de diferentes grados. La siguiente
lista relaciona el género del estudiante: masculino M o femenino F, con la sección
escolar a la cual pertenece: preescolar, primaria o bachillerato.
G.Est. Est. G SEst. G 5
En este ejemplo, se tienen dos variables cualitativas: el género y la sección escolar a
la cual pertenece cada estudiante.
La tabla de frecuencias está formada en las fllas por los rangos de una de las dos varia-
bles. Para este caso se utiliza la variable género. Por tanto, en las columnas se ubican
los rangos de respuesta de la variable sección a la que pertenece.
En cada una de las casillas se ubica el número de estudiantes que tienen ambas ca-
racterísticas simultáneamente.
La tabla de frecuencias final es:
Preescolar (E) Primaria (P) Bachillerato (B) Total
Masculino (M) 2 4 7 13
Femenino (F)
3 7 7 17
Jotal 5 11 14 30
A partir de la tabla anterior se tiene qle.2 estudiantes de la sección de preescolar
son de género masculino; 3 estudiantes de la sección de preescolar son de género
femenino.
Por otra parte, se tienen también las tablas de frecuencias de cada una de las variables,
Por ejemplo, se puede ver que hay 13 estudiantes de género masculino y 17 estudian-
tes de género femenino.
t1 F P
12 F P
t3 M B
14 M P
t5 F B
16 M P
17 F B
1B M B
19 F B
)o F P
l M E
2 M P
3 F E
4 M B
5 F P
6 M B
7 F P
8 F B
9 M B
10 F E
21 F B
22 F P
23 M B
24 M
25 F B
26 M B
27 F P
28 F B
fo
M P
.30 F E
F

231. Toblc de cer¡tingenelc d* fr*eu*r:ei*= r=i*?c:.,*=
Una tabla de doble entrada o de contingencia también puede representar las frecuen-
cias relativas o porcentajes.
Para el caso de la tabla de frecuencias relatir.as basta con dir.idir cada frecuencia
entre el total de los datos. La tabla de frecuencias relativas para el ejemplo de género
y sección escolar correspondiente es:
l
Preescolar (E) Primaria (P) Bachillerato (B)
0,07 0,r3 0,43
0,'r0 0,23 0,57
iTotal 0,36 1,00
La tabla correspondiente a los porcentajes se obtiene de multiplicar cada frecuencia
relativa por cien. Para el caso del ejemplo, la tabla correspondiente es:
i Preescolar (E) Primaria (P) Bachillerato (B)
En la tabla se puede ver que: solamente el 6,670/o de la población es masculina y per-
tenece a la sección de preescolar, mientras que el 23,33o/o de los estudiantes encues-
tados es de género masculino de la sección de bachillerato, al igual que la población
femenina de la misma sección.
De igual forma, el 43,33o/o de los estudiantes son varones y el 56,670/o son niñas.
En cuanto a las secciones se tiene que: el L6,67o/o de los estudiantes pertenecen a Ia
sección preescolar, el 36,66Vo a la sección de primaria y el 46,660/o a la sección de
bachillerato.
Una tabla cruzada o de contingencia debe contener el cruce de los rangos de
respuesta de las dos variables. Sin embargo, no se recomienda construir una tabla
cuando existen demasiados rangos en cada variable.
Representoción g rófico
La representación gráfica puede ser elaborada con diversos propósitos. Uno de ellos
es comparar los rangos de respuesta de una variable con respecto a la otra o viceversa.
Para el caso del ejemplo, se tiene la gráfrca de la figura 3:
M F Total M! F Total
0,23
0,23
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
200
150
50
0
E P B Total
Fiqura 3
En este caso, la gráfrca compara las
estudiantes con respecto a su género.
E P B ?rtal
'I
o'
secciones escolares a las cuales pertenecen los
De la misma manera se puede obtener la gráfrca de la figura 4, enla cual se comparan
las variables sección escolar y género, con respecto al total de estudiantes por sección
escolar.
.?32
J/
j.r,S¡¡irli:rn¿
Femenino (F)
Masculino (M)
Femenino (F) i,
IOV,
13,33o/o
417

232. r-
l
I
La funta Administradora Local de una zona de la
ciudad ha realizado un estudio en los barrios pe-
riféricos para determinar las políticas sociales que
se deben serguir en los siguientes años. Para ello
visitó 50 familias de dichos barrios y tomó infor-
mación del estrato económico al cual pertenecen y
de si cuentan o no con todos los servicios públicos,
Los resultados fueron los siguientes:
t r_=:_E__j_ l t-_"F'-__E--_Ll
0 | N,,
Donde E: estrato y puede ser: 1, 2, 3 y 4; la varia-
ble S: servicios públicos completos y la variable
-lú: servicios públicos incompletos.
a. Elabora una tabla de doble entrada para esta
situación.
b. Construye la correspondiente tabla de doble en-
trada de porcentajes. Escribe tus conclusiones.
c. Elabora una representación gráfi,ca de esta si-
tuación.
d. Responde: Si la Iunta Administradora Local
quiere mostrar que la mayoría de familias
cuentan con los servicios,
¿qué valor debe usar
y por qué?
¿Se
puede afirmar que la mayoría de las fami-
lias de estrato uno no tiene los servicios públi-
cos completos?
Est. G Est. Nota G
La nota reportada para cada estudiante puede
ser E: excelente, B: bueno, A: aceptable e I: insu- '
ficiente.
EI género de cada estudiante puede ser M: mascu-
lino o F: femenino.
a. Elabora una tabla crtzada para esta informa-
ción.
b.
c.
Determina si se puede afirmar que Ia mayoria
de estudiantes que perdieron la asignatura son
muleres.
Construye una gráfica que represente la infor-
mación anterior.
Total
Negros
Oscuras
Claros
@
C"rlos, en su función de monitor de matemáticas
del grado séptimo, debe hacer un informe para su
r
profesor en el cual incluya las notas alcanzadas
l
por los estudiantes del curso junto con el género
de cada uno. Para ello, Carlos tomó la siguiente
i
información de sus 30 compañeros:
r'
La siguiente gráficaapareció en la sección deDatos
i
curiosos, en el periódico de un colegio:
M F Tota1
1l
12
13
14
32 N
5,
S
33
34
35 N
S
37
3
39
1 E M 16 I M
2 E M 17 E M
3 B F 18 B M
4 E M 19 E F
B5 F 20 I M
6 A M 21 A M
7 I F 22 A F
8 A F 23 I M
9 B F 24 I F
t0 E 25 A F
1 A F 26 E M
2 I F 27 B F
3 I 28 I M
4 A M 29 I F
5 B F 30 A F
42
43
3lNi
4-T-r-l
-..."._
3lsl
l--T-N
_l
) s
) 3 s
3 S
4 2 N
5 3 S
6 0 N
7 3 N
B ) s
9 I S
't0
3 N
0 S
) N
)
s
I S
t5 0 N
16 3 N
17 ) S
1B 1 N
19 4 5
2A 0 S
)1 4 S
)) 3 N
)3 s
24 2 S
-25
)6 3 s
)7 3 S
)B 3 S
29 2 S
30 2 N
31 S
2
3
2
16
3 s
3 S
2 N
4A 4 N
41 ) S
44
45 I N
46 ) S
47
/a
49 2 N
.50 2 5

233. de uno vorioble
330
348
Tallo
29
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
Hoja
8
1
9
0348
0 4 6 88
048
34688
6
1
3567
005
Fioura 5
?34
'341u.santillana
Corocterizoción
cuontitotivo
La caracterización de variables cuantitativas se debe realizar aplicando dos criterios:
para datos agrupados y paradatos no agrupados.
Dotos ogrupodos
El criterio de agrupación de datos corresponde a un análisis semejante al elaborado
para variables cualitativas. Consiste en elaborar una tabla de frecuencias y construir
algunas gráficas que representen eI comportamiento de la variable.
Para agrupar datos se utilizan fundamentalmente: el diagrama de tallo y hojas, las
tablas de frecuencias, los histogramas y los polígonos de frecuencias.
Diogromo de tollo y hoios
Un diagrama de tallo y hojas es una representación gráfica de los datos que se clasifican
de acuerdo con la expresión decimal de cada uno de ellos
El diagrama consta de dos columnas: una el tallo y Ia otra las hojas. Para Ia cons-
trucción de este tipo de diagrama se ordenan los datos y luego se divide cada dato
en tallo y hoja.
En la mayoría de los casos, la hoja corresponde a la última cifra del dato y el tallo, a
las demás cifras.
Por ejemplo, Ia oficina de la Secretaría de Tránsito de una ciudad ha recibido la can-
tidad de comparendos diarios por pico y placa impuestos durante el último mes. La
lista correspondiente es:
400 340 348 338 376 344
366 363 358 396 350 298
311 368 369 393 346 354
333 329 395 334 381
364 400 405 368 397
Para el caso de 395,\ahoja corresponde al valor 5 y el tallo al valor 39; de igual forma
para el dato de 400, la hoja corresponde a 0 y el tallo al valor 40.
Tallo li
Hoja
ri
39r: 5
40 ll o
. Se ordenan los datos, puede ser de menor a mayor, así:
298,3L1,329,330,333,334,338, 340, 344,346,349,349, 350,354,359,363,364,
366, 368, 368, 369, 376, 3gI, 393, 395, 396, 397, 400, 400, 405.
. Al considerar todos los datos, el diagrama de tallo y hojas correspondiente al
número de comparehdos por día se puede observar en la figura 5.
En el diagrama se puede ver
!lue,
en la mayoría de días, se impusieron entre 363 y 369
comparendos, seguidos por entre 340 y 348 comparendos.

234. Estándor: pensamiento aleatorio
' ,;,:f
Toblos de frecuencio
Las tablas de frecuencia, para el caso de las variables cuantitativas, no son únicas y
dependen de los grupos que se conformen. Para un grupo de datos se pueden cons-
truir varias tablas distintas. En la mayoría de los casos, la persona encargada de ana-
Iizar los datos determina el número de grupos que desea conformar. El único criterio
es el de garantizar que los datos queden bien resumidos cuidando de no construir
pocos intervalos con frecuencias muy altas o, al contrario, muchos intervalos con
frecuencias muy pequeñas.
Los pasos que se siguen para construir una tabla de frecuencias de un conjunto de
datos son:
. Primero, se determina el número de grupos que se debe construir. Para este fin se
recurre a algunas aproximaciones cuando no se tiene conocimiento previo de las
variables y no se tiene un criterio adicional para determinarlo.
Una de las aproximaciones más usadas y generalmente más confiable es:
Número de intervalo t : Ji
Donde n esla cantidad de datos. Generalmente se recomienda que la aproxima-
ción se haga al entero menor del resultado delaraí2.
Para el caso número de comparendos por día, el número de intervalos que se debe
construir es:
Número de intervalo, : Jl : ú0 :
5,477
=
5
. Segundo, se determina el tamaño de cada intervalo. Para hallar este valor se utiliza
la siguiente fórmula:
Tamaño de cada intervalo -
Dato mayot -
Dato menor
Número de intervalos
Para el ejemplo, el tamaño de cada uno de los cinco intervalos es:
Tamaño de cada intervalo
_
Dato mayor -
Dato menor _ 405 -
299
Número de intervalos 5
En este caso se recomienda aproximar el tamaño del intervalo a la cantidad de
decimales que tienen los datos. Para este caso, la cantidad de comparendos por día
es una cantidad entera es decir, no se tienen decimales, entonces, la aproximación
correspondiente es 21.
Tercero, se construyen los intervalos. El primer intervalo se construye desde el
dato menor hasta el dato menor más el tamaño del intervalo. Es decir, el primer
intervalo va desde 298, que es el dato menor, hasta 298 * 2l :
319, así el intervalo
es 298-319.
Para el segundo intervalo se considera como límite inferior una unidad más del
límite superior del primer intervalo. El límite superior se obtiene sumando al
límite inferior el tamaño del intervalo y, así sucesivamente, hasta llegar al último
intervalo que contiene el dato mayor.
Es decir, el segundo intervalo va desde 319 + | :
320 hasta 320 -f 2l :
341.
Por tanto, los cinco intervalos son:
298-319, 320-341, 342-363, 364-385, 386-407
En algunos casos el último dato no está incluido en el último intervalo, por lo
tanto es necesario construir un intervalo más o aumentar el tamaño del último
intervalo. Para este caso, se usará la primera opción ya que bastará con los inter-
valos creados..
Una vez determinados los intervalos es necesario contar el número de datos que
hay en cada intervalo. Para ello se puede hacer uso del diagrama de tallo y hojas
o simplemente del conteo.
lvlatemático y astrónomo belga Es-
tutlo a (argo de l¿ construcción del
observ¿torio real de Bruseias, del que
luego fue su directol Fue el primero
en aplicar la estadGtic¿ al comporta-
miento de los seres humanos, por eso
es considerado el padre de la cienci¿
social cuantitativa moderna,
: 21,4
?35
Santillaca I 2:;D I
lambert Adolphe
Jacques Quételet
1796-'.t874
illlllLi

235. Toblo de frecuencios
Para el ejemplo que venimos analizando la tabla de frecuencias correspondiente es:
lntervalosffrFFr
298 - 319 2 a 467 2 a 067
320 - 341 6 02 B 0,267
342- 363 8 0,267 16 0,533
364 - 385 7 0,233 23 0,767
386 - 407 7
n 122
30 1
Total 30 I
Donde:
.
.,¡[es
la frecuencia del intervalo y corresponde al número de datos que están en este
rango.
.
fr
es la frecuencia relativa o proporción y corresponde a la frecuencia comparada
con el total.
. F es la frecuencia acumulada y corresponde a la sumatoria de las frecuencias de
los intervalos anteriores incluyendo su frecuencia. Es por esto que el valor de F en
el tercer intervalo corresponde a la suma de2 -t 6 * 8 :
16.
. Fr es la frecuencia acumulada relativa y corresponde a la frecuencia acumulada
comparada con el total.
En la tabla se puede ver que el 23,3o/o de los días fueron impuestos entre 364 y 385
comparendos, mientras que el 6,70/o de los días se impusieron entre 298 y 319 com-
parendos.
Según la columna de frecuencias acumuladas se puede decir que el76,70/o de los días
se impusieron 385 o menos comparendos.
Histogramos
Un histograma corresponde al diagrama de barras de la tabla de frecuencia. En este
diagrama, las barras deben construirse pegadas ya que se trata de variables cuanti-
tativas.
En el ejemplo, los histogramas correspondientes a la frecuencia y la frecuencia acu-
mulada son:
Histograma de frecuencias
para el número de comparendos
B
7
6
5
4
J
2
1
0
Comparendos
En el histograma de frecuencias se puede ver que las frecuencias entre los intervalos
dos, tres, cuatro y cinco son parecidas y que las de los intervalos tres y cinco son
iguales.
Histograma de frecuencias acumuladas
para el número de comparendós
Comparendos

236. Polígonc de frecuencios
El polígono de frecuencias corresponde al diagrama de líneas elaborado con los
puntos medios de cada intervalo.
En el ejemplo anterior, Ios polígonos de frecuencias y de frecuencias acumuladas son:
l0
9
Para pertenecer al grupo de rock de Ia ciudad se@ J,r"r, ha hecho un estudio acerca del ,úmero de
,i
convocó a 40 cantantes. Sus edades son: películas que han visto sus compañeros de curso
en el último mes. Juan presentó los resultados en
el siguiente diagrama de tallo y hojas:
@
rl rulo, en miles de pesos que pagaron +S familias li
por concepto de servicios públicos se relaciona
con la siguiente tabla.
Realiza el diagrama de tallo y hojas de las eda-
des de los cantantes.
Elabora la tabla de frecuencias correspon-
diente.
Escribe las conclusiones que se pueden plan-
tear con los datos de la tabla.
Construye los histogramas y los polígonos de
frecuencias correspondientes.
Responde:
¿Se
puede afirmar que hay una ten-
dencia en las edades de los futuros cantantes
del grupo de la ciudad?
Elabora una tabla de frecuencias con base en
Ios siguientes intervalos.
t=i1qs1-
I lq-lr-;
16-20
7 il-Ts
' 26-j0
[-¿.¿il
'.-16-:1Q-,
Compara Ia tabla de frecuencias del literal b
con la tabla del literal f.
¿Existen
diferencias
significativas entre ellas? fustifica tu respuesta.
Estándar: pensamiento aleatorio ' i./
Tallo
0
i
2
3
a. Determina cuántos estudiantes hay en el curso
de fuan.
b. Elabora una tabla de frecuencias para este caso.
c. Realiza un diagrama de barras de acuerdo con
el diagrama de tallo y hojas.
d. Elabora un histograma de acuerdo con la tabla
de frecuencias del literal b.
e. Compara las gráficas. ¿Existen
diferencias en-
tre ellas? |ustifica tus respuestas.
17 22 26
15 24 21
)t 12
-)(
.)A LJ LJ
22 22 25
34 17 14
32 36 25
33 28 22
42 35 37
15 29
25 18
36 13
19 32
14 23
32 20
3t 14
17 24
Hojas
a.
c
d.
ej
a.
b.
163 69 55 158 152 156
r50 59 54 179 162r56
155 51 61r60 1 151
147 54 43 149 71 47
1ó0 64 49 153 57 64
160 55 58152 57 61
148 67 5t 162 50 62
147 58 52t5t 63 62

237. Dotos no ogrupodos
Para caracterizar tnavariable cuantitativa sin agrupar los datos es necesario recurrir
al cálculo de algunas medidas que permitan describir su comportamiento. Las me-
didas que se utilizan para caracterizar anavariable cuantitativa son: las medidas de
tendencia central y las medidas de posición.
Medidos de tendencio centrol
Las medidas de tendencia central son: la media o promedio aritmético, la mediana
y la moda.
. La media aritmética o promedio es un dato que no necesariamente está en el
conjunto de datos y que representa la característica predominante del grupo. La
media es el punto de equilibrio del conjunto de datos.
Para el caso en que se considere una muestra, la media aritmética se simboliza
como X y parael conjunto de datos xy x2, ..., xnsecalcula como:
X
xrl xrl ... I xn
n
Para el caso en el cual se considere una población, la media aritmética se simboliza
p y se calcula de la misma forma. La media es una medida que se ve afectada por
el cambio significativo de un dato. Si existe un dato muy grande o muy pequeño
con respecto a los demás, el valor de la media cambia significativamente. En otras
palabras, la media es una medida sensible al cambio de un dato.
. La mediana es el dato que divide en dos partes porcentualmente iguales el con-
junto de datos.
Para el caso en el cual se considere una muestra la mediana se simboliza ao-o Í
y se calcula ordenando el conjunto de datos y ubicando el que está en la posición
de Ia mitad.
Cuando se consideran un número impar de datos, la mediana es un dato que
pertenece al conjunto. Para el caso que se considere un número par de datos,
la mediana corresponde al promedio de los dos datos de la mitad. Este valor en
algunos casos no pertenece al conjunto. Para el caso en el cual se considere una
población, la mediana se simboliza É y se calcula de la misma forma.
. La moda de un conjunto de datos corresponde al dato que más se repite.
En aquellos casos en los cuales se analice una muestra la moda se simboliza ?, si
se trata de una población, la moda se simboliza ¡i
.
re f,jemptc
El número de minutos que usan cada uno de los l0 estudiantes de un colegio de
la ciudad para prepararse para una evaluación de matemáticas programada son:
30156045100Is3025
Hallar las medidas de tendencia central.
El valor de Ia media aritmética es: X :30+15+,..+20: 25 minutos
10
Al ordenar los datos: 0, 10, 1 5, L5,20,25, 30, 30, 45, 60.
El promedio del dato quinto, 20,y eldato sexto, 25, es22,5 minutos, el cual es el valor
de la mediana. Existen dos modas 15 y 30 minutos.
20
a3g
1E I r¡; §¡¡lrtil¡na

238. Estánda r: pe n sa m ¡ e nto a I eatori o
Medidos de posición
Las medidas de posición son medidas que dividen a los datos en partes porcentual-
mente iguales. Las medidas de posición son: cuartiles y deciles.
Los cuartiles son las medidas que dividen un conjunto de datos en cuatro partes, Cada
una represenlael 250/o del total de los datos Se simbolizan Q,,Qry Q.
Gráficamente los cuartiles se representan como sigue:
QI Q2 Q3
Se puede ver que el valor del cuartil dos corresponde al valor de Ia mediana. Atrás del
primer cuartil se encuentra e 25o/o de los datos, entre el primer y segundo cuartil se
encuentra el25o/o de los datos y así sucesivamente.
Para calcular el valor de los cuartiles se ordenan los datos de menor a mayor y se
calcula el valor de la mediana quien representa el cuartil dos.
Luego, se considera la primera mitad de los datos y se calcula la mediana, la cual
corresponderá al primer cuartil.
Igualmente, se considera la segunda mitad de los datos y se calcula la mediana, este
valor corresponde al tercer cuartil.
Los deciles son valores que divlden en 10 partes iguales el conjunto de datos Cada parte
representa el I00lo de los datos. Se simbolizan como D,, Dr,. . Dr.
. Dt Valor que deja por debajo el 10% de los datos ypor encimael9}o/o restante.
. Dz Valor que deja por debajo el20o/o de los datos y por encima el 80% restante.
Y así sucesivamente hasta el D, que deja por debajo el9lo/o de los datos y por encima
el l0o/o restante.
(B a, número de hermanos que tienen los 25 estu-
{§
fu, estaturas de nueve alumnos son 159, 168,173,
osuntiffiZ¡;Ú!

239. )El Bicentenorio
en dotos
f TN
pcRróorco
euE crncu ló EN LA EpocA
\-/ DE LA INDEPENDENCIA fueelDiario Político
de Santafé de Bogotti. Para la realizar la publicación
de este diario, los autores del movimiento indepen-
dentista de 1810 encomendaron a Francisco fosé de
Caldas, en colaboración de Joaquín Camacho, para
hacer su edición y ganar la opinión pública.
Francisco fosé de Caldas fue un científico, astró-
nomo y periodista colombiano que participó en el
movimiento independentista y |oaquín Camacho fue
abogado y periodista con estudios en jurisprudencia.
F.n el Diario Político de Santafé de Bogotá se contaba lo
que estaba sucediendo en el Nuevo Reino de Granada,
hablaba de las guerras de independencia, noticias eco-
nómicas y además registraba datos comerciales entre
las ciudades.
A continuación se citan, por fechas, algunos apartes de
información plasmada en el mencionado diario.
dgotnt0de, lB10
onntitns
El Teniente Coronel de la Villa de la Mesa D. D. Nicolas Bellen de Guzmán, en oficio de 8 de
agosto último da cuenta a la Suprema Junta de los donativos que han hecho varios Vecinos
de aquel Lugar en la forma siguiente: D. Domingo Pereyra dos rnil pesos para el vestuario
de las milicias Patrióticas de aquella Villa, o para el fin á que la Suprema |unta á bien des-
tinarlos, ofreciendo a más de esto su persotla y bienes. f). Gasl,ar Cantillo Administrador
Particular de Rentas estancadas en la misma Villa doscientos pesos en los mismos térmi-
nos. D. Benito S. fuan su persona y bienes, v cien pesos
Lrara
los rnisntos flnes. D. Antonio
Hernández cien pesos en iguales términos. D. Anastasio Velasco cien pesos para 1o que la
Suprema Junta quiera aplicarlos. D. Simón García quarenta pesos para las mayores urgen
cias. D. Clemente Alguacil dos mil pesos para los lines expresados por los anteriores. D.
Alberto Fernandez treinta pesos mensuales durante sú vida. D. Antonio Nlagno, sargento
retirado, quatro meses del pré que goza de once pesos clos reales, en el presente año y seis
meses del venidero. D. Francisco Fernandez veinte pesos mensuales por el tiempo de r.rn
ario. D. Manuel Rubiano vecino de Zipaquirá donó en efectivo los primeros clías de Ia re-
volución cinqüenta pesos que se aplicaron para gratificar a los soldados de Ia Guardia que
custodió las casas conisstoriales la noche del 20 de julio y días siguientes.
LW
0 I
u'' 5'n
uu

240. No. Xl,III, Martes 22 cle enero cle l8l1
Efectos internados en esta capital, en la semana
que termina hoy 19 Enero de 1811
I99 Resmas papel-870 libras de jabon-61 piezas
Platillas cruclas-120 piezas mahones azules-125
libras canela-36 arrobas pimienta gorda-48 bote-
llas cidra-48 botellas vino generoso-900 docenas
Ioza-13 cuñetes en curtido, y pescado-3 cajoa-
sitos lugos pasos-lS0barrilitos ciruelas-l quin-
tales corinos-50 quintales azero-l-50 palas-150
azadones-71 hierbas-20 cueros ingleses-45 bultos
estopilla algodón-25 piezas panchos-4 piezas naa-
qui-9 piezas guia-6 piezas Marcellas-24 córtes de
idear-100 tarrugiatos -36 sombreros-4 galapagos
para hombre- 161 botellas vino blanco-S2 vortijas
vino seco-29 vortijas vino tinto-3 barriles almen-
dras- 12 arrobas idem-24 arrobas lideos-200 r'orti-
juelas aceite-64 vortijuelas aceitunas-4 barriiltros
atun B o latas-16 cargas panelas-79 cerdos-466
cargas miel-40 cargas azucar-S cargas jabon-4
media cargas anis-31 cargas cacao-4 cargas con-
cerva-144 piezas lienzo-1 carga garbanzos-5 car-
gas efectos del Reyno paja-L7 docenas gorros-4
y media docenas calcetas-13 arrobas lentejas-l
media docena medias de lana-36 camizetas--3O
ruanas-y y med pinza friza-l media arroba que-
zos-10 frazadas.
Santafé 19 de Enero de 18 I I
Luis Sarmiento
Efectos extraidos para Medellín, Antioquia,
Chiquinquirá, La Mesa y Garagoa
en la semana que termina hoy
19 de Enero de 1811
Votijas vino-Barril aguardiente-Cabo bayeta-3 I piezas
maon-4 m. libsseda-11 sarazas-8 m. doz. navajas-28
medios listones- I docena pañuelos seda-31 arrobas fie-
rro-12 arrobas cera-6 Bretañas-1 carga Cacao-9 carga
de anis-24 varas pana-209 piezas lienzo-37 ruanas-4
m dozenas camisetas-l I dozenas frazadas-l I dozenas
cordabanes-14 dozenas pañuelos-12 vararas bodon-1
pieza platilla-5 arrobas 6 libras acero-1 m varas paño-
16 varas Bayeta-1 parcala-7 Sarazas librito-6 paños
aujas-1 listado algodón,
Santafé 19 de Enero 181 1
Luis Sarmiento
¿Cuál fue el promedio de los donativos de los que habla el p"liódi.o el 10 de Agosto de 1810?
Como se puede observar, la manera como se presentaba la información era muy difícil de leer, no solo por el
estilo del lenguaje, sino también por la manera como se presentaban los datos. Por ello, realiza Io siguiente:
a. Elabora una tabla en la que se de cuenta de la cantidad de camisetas, ruanas y pañuelos que fueron extraídos
hacia Medellín y Chiquinquirá el 19 de enero 1811
b. Elabora un diagrama de barras con base en la información de literal anterior.
Escribe algunas de las unidades en las que se hizo el conteo de objetos, alimentos y bebidas el 19 de enero de
zql
:iilana i 24i)
I
181 1.
T
llll¡l

241. La probabilidad es un término
qtle se usa en el lenguaje
cotidiano para referrrse gene-
ralmente a la rncertidumbre
0 certidumbre de que ocuna
alquna situación.
Probob¡lidod
Conceptos fu ndo mento les
Para definir probabilidad es necesario recurrir a tres definiciones previas: experi-
mento aleatorio, espacio muestral y eventos.
Un experimento aleatorio es aquel en e cual se conoce el procedimiento que se va
a seguir y los posibles resultados, pero no se puede predecir con certeza cuál de esos
resultados será el final antes de realizar el experimento
Por ejemplo, si dos selecciones de fútbol juegan la final de la Copa Mundial, se tienen
tres posibles resultados al finalizar el tiempo reglamentario: que gane un equipo, que
gane el equipo contrario o que queden empatados. El resultado final se tendrá solo
una vez finalice el partido.
El espacio muestral es el conjunto, 5, de todos los posibles resultados en que puede
terminar el experimento aleatorio.
En relación con la cantidad de elementos del espacio muestral, los experimentos
aleatorios pueden variar así:
. Si el espacio muestral es el conjunto vacío, entonces, es imposible que ocurra el
experimento aleatorio.
. Si el espacio muestral es un conjunto unitario es seguro que ocurra el experimento
aleatorio.
El espacio muestral debe ser construido de tal forma que indique claramente todas
las posibilidades de ocurrencia de un experimento aleatorio.
En todos los experimentos aleatorios existe una población y una muestra. La po-
blación está conformada por todos los elementos con los cuales se puede conformar
un posible resultado del espacio muestral. La muestra corresponde al número de
elementos necesarios para formar un evento del espacio muestral.
m ffijm flom
Determinar, en cada caso, sila situación corresponde
o no corresponde a un experimento aleatorio. Luego,
encontrar el espacio muestral.
a. Un niño tiene cuatro fichas, cada una con un nú-
mero: l, 2, 3 y 4. Se le pide que conforme un
número de dos cifras con estas fichas.
Ya que se sabe que el número debe tener dos cifras pero
existen cuatro disponibles, la situación corresponde a
un experimento aleatorio.
El espacio muestral es:
5 :
i12, 13, 14,21,23,24,3L,32,34, 41, 42, 43\
zqz
ll4¿
lrosantillana
b. EI colegio "Enrique Pozzo" desea enviar a dos
de sus estudiantes al Foro de |uventudes de las
Naciones Unidas. A la convocatoria se presentan
Hugo, Pablg y Luis.
Se trata de un experimento aleatorio ya que se conocen
los tres candidatos y se pueden conformar todas las
posibles parejas, pero no se tiene Ia certeza de quiénes
serán los elegidos.
La población está formada por los tres candidatos. La
muestra corresponde a los dos cupos que hay dispo-
nibles.
El espacio muestral correspondiente es:
S :
{Hugo - Pablo, Hugo - Luis, Pablo - Luis}

242. Un evento es un subconjunto del espacio muestral. Un evento está formado por uno o
más elementos del espacio muestral.
Los eventos se representan con las primeras
Ietras mayúsculas del alfabeto y pueden expre-
sarse como conjunto o mediante un enunciado
verbal.
Por ejemplo, una persona desea comprar tres
teléfonos celulares y el vendedor le ofrece dos
tipos de aparatos: genéricos y de marca. La po-
blación corresponde a los dos tipos de aparatos
celulares disponibles: Genérico (G) o de Marca
(M). La muestra estará formada por los tres
aparatos que compra la persona.
EI espacio muestral correspondiente será:
5 :
{GGG, GGM, GMG, MGG, GMM, MGM, MMG, MMM}
El evento A consiste en que al menos dos de los tres celulares que la persona compra
sean de marca. Entonces, el evento A será:
A :
{GMM, MGM, MMG, MMM}
El evento A está formado con los elementos del espacio muestral.
Si el evento B es B :
{GGG, MMM}, entonces, B consiste en que los tres teléfonos
celulares sean del mismo tipo.
@
O.t".-ina si cada una de las siguientes situaciones
corresponde o no corresponde a un experimento
I
aleatorio.
a. Lanzar dos dados al aire y observar el resultado
de los dos.
b. Lanzar un dado y dos monedas al aire.
Para ganar una rifa se les pide a dos person", qu.
i.
escriban cada una de ellas un número del 1 al 4
Ejercito: 2-3-4-5
(inclusive). Escribe el espacio muestral.
Una convivencia se organiza para tres días, para
tal fin el promotor desea conocer el estado del
tiempo. Determina el espacio muestral si la letra
I representa lluvia, la letra S, sol y la letra l/, nu-
blado.
Determina el espacio muestral en cada situación y ii
luego encuentra dos posibles eventos.
b. Sembrar tres semillas de fríjol y determinar si
,,
germina o no germina.
,:
c. Fabricar un producto para el cuidado de la :
piel y evaluar su calidad en cuatro tipos de piel :,
como: bueno, aceptable y deficiente.
l'
d. Evaluar los tres servicios públicos básicos de ,:
un pueblo, como bueno, regular o malo.
-A
c. Escoger entre María y Iuan los dos estudiantes
representantes para el comité estudiantil.
d. Escoger tres fichas de dominó que sumen 6.
e. Escoger dos cartas del naipe español.
f. Predecir la erupción de un volcán.
g. Demostrar la vida en otros planetas.
zq3
,¡Sant;llana l2il):
lr¡l¡i
lil

243. Técnicos de conteo
Para calcular la probabilidad de cualquier evento es necesario determinar el número
de elementos del espacio muestral y del evento. Por esta razón, se definen algunas
técnicas que permiten encontrar el número de elementos del espacio muestral a partir
de las características del experimento aleatorio.
Las técnicas de conteo son herramientas que se utilizan para encontrar el número de
elementos que tiene el espacio muestral, de acuerdo con dos criterios fundamentales
que se deben identificar en el experimento aleatorio: el orden y la repetición.
En un experimento aleatorio se considera que exlste el orden cuando al conformar la
muestra, el orden en que ubiquen los elementos de a pob ación hace que los resultados
sean diferentes.
Por ejemplo, si se desea conformar un número de tres cifras para elaborar las boletas
de una rifa, la población corresponde a los 10 dígitos y la muestra a las tres posiciones:
unidades, decenas y centenas, del número que se va a construir. En este caso existe el
orden, ya que no es lo mismo ubicar el número 3 en Ia posición de las unidades que
en la posición de las decenas; cada uno representa un número diferente.
Ahora, si se seleccionan tres personas de un grupo de cinco para representar al cole-
gio, el orden en que sean escogidos los tres representantes no es importante ya que si
es escogido de primero o de tercero, igual estará en el grupo seleccionado.
Por ejemplo, allanzar tres monedas al aire y observar en qué caen, en este caso hay
repetición ya que dos o más monedas pueden dar el mismo resultado.
Las técnicas de conteo son fundamentalmente tres: principio de multiplicación,
permutación y combinatoria.
Principio de multiplicoción
Esta técnica de conteo permite encontrar el número de elementos del espacio mues-
tral en aquellos experimentos aleatorios en los cuales existe el orden y la repetición.
Dado un experimento aleatorio con una población de Nelementos y una muestra de
n elementos, el número de formas distintas de resultar el experimento es Nn.
Por ejemplo, dos equipos de baloncesto llegan a la final nacional y deben jugar tres
partidos para determinar el ganador. Para conocer de cuántas formas distintas se
puede obtener el resultado de los tres partidos, se debe considerar, que los partidos
de baloncesto no contemplan empates.
La población es el resultado final de uno de los partidos, es decir, N :
2 y Ia muestra
está formada por los resultados de los tres partidos, entonces, es decir, n :
3. Existe
orden porque para un equipo no es igual ganar el primer partido que el segundo
y existe repetición, ya que un equipo debe ganar más de un partido para coronarse
campeón.
Por tanto, el espacio muestral debe tener la siguiente cantidad de elementos.
#S: M :23:8
I
Un experimento determinista
es ¿quel en el cual se puede
ronocer su resultado con an-
teriorida d
En un experimento aleatorio se considera que existe la repetición cuando un elemento
de la población se puede repetir en la muestra.
RECUERDA QUE...
l/lllllrl,

244. El principio de multiplicación también se aplica para aquellos casos en los cuales
se debe obtener una muestra considerando poblaciones diferentes. En este caso, si se
tienen N, Nr, .. ., Nr, poblaciones distintas y se debe tomar una muestra con elemen-
tos de cada una de ellas, el número de elementos del espacio muestral es:
#S:N,XNrX...XAf
Por ejemplo, Camilo va al centro comercial y desea comprar una chaqueta, un pan-
talón y un par de zapatos. Al llegar al almacén le ofrecen tres tipos de chaquetas,
cuatro estilos de pantalones y seis estilos de zapatos. Para conocer de cuántas formas
distintas puede Camilo combinar una chaqueta, un pantalón y un par de zapatos, se
lleva a cabo el siguiente proceso:
Para este caso, se tienen tres poblaciones distintas: chaquetas 3, pantalones 4 y zapatos
6. El número de formas distintas de comprar una chaqueta, un pantalón y un par de
zapatos es:
#S:N,xNrXNr:¡X4X6:72
Una forma gráfica de representar el principio de multiplicación es un diagrama de
árbol en el cual cada rama es considerada como una posibilidad de que ocurra el
experimento aleatorio.
Por ejemplo, un computador se programa para construir todos los posibles números
que se pueden formar con un número de cifras determinado. El programador desea
poner a prueba su programa introduciendo los números 5 y 9. Para saber cuántos
números de dos cifras debe producir el programa se realiza lo siguiente:
El diagrama de árbol correspondiente es:
El programa debe producir cuatro números que son
55, 59, 95,99.
puede combinar su cono de dos sabores, sabiendo
que la heladería ofrece: vainilla, chocolate, are-
quipe, fresa y limón.
nar alazar cinco clientesy anotar el tipo de tarjeta
de crédito que tienen. Se sabe que el banco emite
tres tipos de tarjetas de crédito: Gold, Clásica y
Premium.
¿De
cuántas formas puede el empleado
seleccionar los cinco clientes de acuerdo con el
tipo de tarjeta que tienen?
I
Recupero informoción: 1
En qué consiste el principio de multiplicación. Una ensambladora de computadores tiene dos
Determina las posibles formas en que Catalina
tipos de procesador, cuatro tarjetas board compa-
tibles y dos tipos de discos duros. La ensambladora
decide ofrecer a sus clientes tantos modelos de
computadores como le sea posible armar.
¿Cuántos
modelos distintos puede obtener la ensambladora
con lo que tiene?
15 Soluciono Droblemos
En un torneo de voleibol, compuesto por ocho
EI empleado del archivo del banco debe seleccio-
equipos, se tienen tres posibles instalaciones para
los partidos.
¿De
cuántas formas se pueden orga-
nizar los encuentros deportivos?
Un uniforme deportivo se fabrica en cinco estilos
diferentes y en cuatro colores distintos para cada
uno.
¿De
cuántas formas distintas se puede orga-
nizar el uniforme deportivo?
zt5
!¿nt ana I ?-Ali,i

245. Permutociones
Una permutación es una operación que se define para dos números naturales de tal
forma qle la permutación de n en N notada
,P,
se calcula:
'o'
:
(nn,l'r),
DondeN! : Nx (N- 1) x (N -
2) x... x 3 x2x lyademás0! :
1.
La permutación se utiliza cuando se quiere calcular el número de elementos del
espacio muestral de un experimento aleatorio en el cual se considera que existe el
orden en Ia muestra pero no es posible repetir ningún elemento de la población en
su conformación.
En el experimento aleatorio en el cual se consideren estos dos elementos es necesario
que la población sea mayor que la muestra.
Cornbinoc¡ones
Una combinatoria es una operación que se define para dos números naturales de tal
forma que Ia combinación de n en N, notada ,, Cl¡ , s€ calcula:
r \-N
-(N - n)lxnl
La combinatoria se utiliza cuando se quiere calcular el número de elementos del
espacio muestral de un experimento aleatorio en el cual no se considera que existe
el orden en la muestra y no es posible repetir ningún elemento de la población en su
conformación.
De la misma forma que para las permutaciones, es necesario que la población sea
mayor que la muestra.
N!
l+ Ejemptos
)orge, Camila, Sebastián, Luisa y Marcos están
esperando la ruta escolar en el mismo paradero.
¿En cuántos órdenes distintos pueden subir al
bus escolar?
La población está formada por los cinco estudian-
tes que esperan la ruta escolar. La muestra está
formada por aquellos que suben al bus, es decir,
los mismos cinco estudiantes. Por tanto ll :
5 y
n :
5. Se considera el orden en que se suben al
bus y no existe repetición ya que un estudiante no
puede subir dos veces. El número de elementos del
espacio muestral será:
ffi
Cru,ro equipos disputan un torneo que clasifica
a solo dos equipos. El primer clasificado irá al
mundial de la categoría y el segundo clasificado
irá a un torneo europeo.
¿De cuántas formas
distintas pueden dos de los cuatro equipos cla-
sificar al mundial y al torneo?
La población corresponde a los cuatro equipos
que participan en el torneo. La muestra estará
formada por los dos equipos que clasifiquen como
primero y segundo. Por tanto, N = 4 y n :
2.
Existe orden ya que el primer clasificado tiene un
premio distinto al segundo. No hay repetición ya
que un equipo de un mismo país no puede asistir
a ambos torneos. El número de elementos del es-
pacio muestral es:
D _ Nl 4l _ 4l _11
"'u- (N-rz)! -
U-T
-
2! -
tL
Existen 12 formas distintas de lograr que dos equi-
pos de cuatro asistan a Ios dos torneos.
D- N! 5!
"'- (Nl zr)! -
lBl 5)l
_ 5 X 4X3X2Xt _
I
_s!
0!
t20
Los cinco estudiantes pueden subir a Ia ruta esco-
lar en 120 órdenes distintos.
aq6
48 i o Santillan¿
¡V simboliza el número de ele-
mentos de la población.
n simboliza el número de ele-
mentos de la muefra.

246. T
@
U" una canasta hay doce postres distintos. )orge
decide sacar al azar tres de ellos para compar-
tirlos con sus compañeros. ¿De
cuántas formas
distintas puede forge escoger los tres postres de
los doce disponibles?
La población corresponde a los doce postres que
hay en la canasta. La muestra estará formada por
los tres postres seleccionados. Por tanto, N :
12
yn:3.
No existe orden ya que los postres seleccionados
tendrán el mismo destino. No hay repetición ya
que un postre no puede ser consumido dos veces.
EI número de elementos del espacio muestral es:
,c¡¿: tcn:
T;#, .l: ,l?T
: 12 x ll x l0 x9! : t.3zll1 :220
9! X3X2x1 6
Existen 220 formas de seleccionar tres postres de
un grupo de doce.
., S
for cinco finalistas de un
ii torneo internacional de golf
son España, Estados Unidos,
Portugal, Uruguay y ]apón.
Responde:
a.
¿De cuántas maneras es
posible que se otorgue en
este torneo un primer, se-
gundo y tercer lugar?
b. Suponiendo que el primer lugar lo gana
Portugal y el segundo lo gana Estados Unidos,
¿cuántas
maneras hay de otorgar el tercer lugar
entre los países restantes?
i @
cuau uno de los seis cuadros de la figura que apa-
rece a continuación puede llenarse con cualquiera
de diez colores posibles.
¿Cuántas
formas diferen-
tes hay de colorear la figura de tal forma que dos
cuadros no tengan el mismo color?
Tres matrimonios han comprado boletos para
una obra de teatro.
¿De
cuántas formas diferentes
se pueden sentar las seis personas si cada esposa
quiere sentarse junto a su respectivo marido?
Se le pide a una persona que seleccione alazar
dos cartas de una baraja de 52.
¿De cuántas for-
mas distintas se puede hacer esto?
La población corresponde a las 52 cartas de la
baraja. La muestra estará formada por las dos se-
leccionadas. Por tanto, N: 52 y n: 2.
No existe orden ya que las cartas representan lo
mismo sin importar cuál salió primero. No hay
repetición ya que no existen en la baraja dos cartas
iguales.
El número de elementos del espacio muestral es:
52 521
,\_N-2\_52-Gr_21x» -
50! Xz
_ 52 X 51 X 50! _ 2.652
50!x2x1 2
:1.326
Existen 1.326 formas de seleccionar dos cartas de
una baraja de 52.
Ejercito: 1-3-4-5-6-7
puede ir detrás de otro. Determina de cuántas
maneras puede el domador distribuir las fieras.
Encuentra de cuántas maneras Sandra puede en-
viar a un amigo ocho fotos distintas si dispone de
cinco sobres y en cada sobre debe ir al menos una
foto.
Los finalistas del torneo de fútbol interclases son
Once A, Décimo B y Noveno A. El primer lugar
ganará un trofeo y un día escolar libre. El segundo
lugar ganará un trofeo y medallas. Determina de
cuántás formas distintas se pueden repartir los
A los participantes de una convención se les ofre-
cen seis recorridos por día para visitar Iugares ii
de interés durante los tres días de duración del
:r
evento. ¿De
cuántas formas puede una persona
escoger los recorridos si solo puede elegir uno
diario?

247. Probobilidod
La probabilidad es un valor que se calcula sobre la ocurrencia de un evento. La
probabilidad es una medida que se obtiene al comparar el número de elementos del
evento con el número de elementos del espacio muestral.
Dado un experimento aleatorio, la probabilidad de que ocurra un evento A, cuya
notación es P(A) se calcula como:
P@):
#(A)
#(s)
Donde, #(A) corresponde al número de elementos del evento A y +(S) corresponde
al número de elementos del espacio muestral.
La probabilidad de que el evento vacío o imposible ocurra es 0 y la probabilidad de
que el evento seguro ocurra es 1.
La probabilidad de ocurrencia de un evento se puede considerar como una medida
de incertidumbre. A mayor probabilidad de ocurrencia se tiene mayor confianza en
el posible resultado.
lr EjempLos
tos planea realizar un ex-
perimento para comparar
su marca de té con la de los
competidores.
Con este fin contrata a una
persona para que pruebe
cada una de las tres marcas de té, las cuales tie-
nen como identificación las letras A, B y C. Si el
catador no tiene habilidad para diferenciar el
sabor entre las marcas de té, entonces determi-
nar la probabilidad de que clasifique el del tipo
A como el más deseable.
El espacio muestral del experimento aleatorio
que consiste en que la persona contratada ordene
las tres marcas de té del más deseable al menos
deseable, es:
5 :
{ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA}
Si el evento A consiste en que la marca A sea clasi-
ficada de primera es:
¿ :
{4eC, ACB}
Por lo tanto, P(A) :
#(A)
:
Z
#(s) 6
:0,333
:
33,33o/o
Luego, la probabilidad de que el tipo A clasifique
como el más deseable es del 33,33o/o.
G
t" bnzancuatro monedas al aire y se anotan los
@
Urru compañía de alimen-
resultados obtenidos.
a. Hallar la probabilidad de que dos monedas
caigan en cara.
Primero, se encuentra el espacio muestral del
experimento:
S :
{cccc, cccs, ccsc, cscc, sccc, ccss, cssc, sscc,
sccs, cscs, scsc, csss, scss, sscs, sssc, ssss]
Si el evento A consiste en que dos de las monedas
caigan en cara, entonces sus elementos son:
A :
{ccss, cssc, sscc, sccs, cscs, scsc}
dl'l I
P(A): + -
o :0,375:37,5o/o
#(s) 16
Luego, la probabilidad de que dos muestras caigan
en cara es,37,5o/o.
b. Hallar la probabilidad de que al menos dos
monedas caigan en cara.
Sea B el evento que consiste en que al menos dos
de las monedas caigan en cara.
B :
{cccc, cccs, ccsc, cscc, sccc, ccss, sccs, cscs,
scsc, sscc, cssc)
P(B) : !2 : -lI : 0,687s: 68,750/o
#(s) 16
Luego, la probabilidad de que al menos dos mone-
das caigan en cara es 68,75o/o.
2{8
{ff |
,i; Sar-,t,itana

248. -!I
Estúndar: pe
q 9¡sg:¡t¡
G
t. lanza un par de dados al aire y se
@
t, se lanzan tres monedas al aire,
¿cuál
es la proba-
observa la suma de los dos resultados. bilidad de que las tres tengan el mismo resultado,
Responde: es decir, las tres cara o las tres sello?
a.
¿Cuál
es la probabilidad de que la suma sea
mayor que 10?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que la suma sea
mayor queT?
c. Si una persona está jugando parqués y necesita
obtener un tres,
¿cuál
es la probabilidad de
obtener el resultado?
María, Luis, Tatiana y Lucas compiten en una
caffera de bicicletas por la ruta de Ia ciclovía en la
ciudad donde viven. Se premia a los dos primeros
puestos con un helado. Responde:
a. ¿Cuál
es Ia probabilidad de que María y Lucas
ganen el helado?
b.
¿Cuál
es la probabilidad de que Lucas no gane
alguno de los dos helados del premio?
c. ¿Cuál
es la probabilidad de que Tatiana gane
uno de los helados?
d. Si se decide que el primero en llegar tendrá un
helado con dos sabores y el segundo, un helado
con un sabor,
¿cuál
es la probabilidad de que
Luis gane el helado con un sabor?
sale un número par gana quien haya lanzado, si
sale un número primo impar se vuelve alanzar, de
1o contrario, pierde quien lance. Responde:
a.
¿Cuál
es la probabilidad de que un jugador
gane en el primer lanzamiento?
b.
¿Cuál
es la probabilidad de que un jugador
gane en el segundo lanzamiento?
c.
¿Cuál es la probabilidad de que un jugador
tenga que volver alanzar los dados?
d. ¿Cuál
es la probabilidad de que pierden el pri-
mer lanzamiento?
e. fuan dice que no entra al juego porque la pro-
babilidad de perder es más alta que la de ganar.
¿Es esto cierto? |ustifica tu respuesta.
Una caja contiene una docena de huevos de los
cuales hay cuatro rotos. Una persona selecciona
a azar tres huevos de la canasta. Indica cuál es Ia
probabilidad de que:
a. Los tres salgan rotos. c. Ningunosalgaroto.
b. Salga exactamente uno roto.
Dos amigos juegan a lanzar dos dados al aire. Si EI director de la biblioteca tiene cuatro cupos
Un vehículo al llegar a una esquina tiene tres
opciones para seguir: girar a la derecha, girar ala
izquierda o seguir de-
recho. Si dos vehículos
llegan al cruce, halla la
probabilidad de que los
dos vehículos giren a la
derecha.
z,n
Santillar.a i 7 !+Íi
¡-'
Se seleccionan cuatro cartas de una baraja de 52.
a. Una escalera se conforma cuando las cuatro
cartas son consecutivas. Halla la probabilidad
de que se obtenga una escalera sin importar el
palo.
b. Halla la probabilidad de que las cuatro cartas
sean del mismo palo.
c. Un par corresponde a cartas con el mismo nú-
mero. Halla la probabilidad de que se obtengan
dos pares.
A Camila se Ie han asignado cuatro tarjetas, con
cada una de las siguientes letras: r, o, m, a. Ella
debe formar arreglos corr las cuatro letras.
a. Halla la probabilidad de que uno de los arre-
glos comience con laletra a.
b. Halla la probabilidad de que se conforme una
palabra en el idioma español, que comience
con la letra r.
c. Halla la probabilidad de que la palabra confor-
mada sea mora.
para estudiantes que quieran prestar su servicio
social los fines de semana. Para ello abren una
convocatoria a Ia cual se presentaron seis estu-
diantes: Andrea, Carlos, Luis, EIías, Rocío y Paola.
Responde:
a.
¿De
cuántas formas puede el bibliotecario es-
coger los cuatro estudiantes para que presten
su servicio social?
b.
¿Cuál
es la probabilidad de que Andrea no sea
seleccionada en el grupo?
c. ¿Cuál
es Ia probabilidad de que Andrea sea
seleccionada?
f
Elercito: 1 -2-3-4
IIUM,

249. Estodístico
a.
b.
c.
d.
Determinar la población muestra y las variables
por las que se pregunta.
La Secretaría de Salud quiere determinar los sín-
tomas de una enfermedad nueva en la población.
Para ello decide escoger a 38 pacientes de diferen-
tes hospitales que tienen la enfermedad y verificar
si tienen los siguientes síntomas: fiebre, diarreay
debilidad muscular. De igual forma se les preguntó
el tiempo que han padecido dicha enfermedad.
En una sala de cine se preguntó a 20 personas,
entre mujeres y hombres, sobre el tipo de películas
preferido: comedia (C), drama (D) o acción (A).
Los resultados se presentan en la siguiente lista.
¿Cuáles variables interüenen en el estudio?
¿Qué tipo de variables estadísticas intervienen?
¿A
cuántas personas se les preguntó sobre el
tipo de película preferido?
Realiza una tabla de doble entrada para presen-
tar los datos del estudio.
Observa la tabla de contingencia para dos varia-
b.
c.
bles de una encuesta realizada a algunas personas
sobre su gusto acerca de una marca de cereal
nuevo.
Género
¿Cuántas personas fueron encuestadas?
¿A
cuántas personas les gustó el nuevo cereal?
¿Cuántas mujeres fueron encuestadas?
¿A
cuántas personas no les gustó el nuevo ce-
real?
Se realizó un estudio estadístico sobre la marca de
celulares preferidos: Nokia (N), Motorola (M) o
Sony Ericson (S), a 30 usuarios de telefonía celular
y la compañía celular a la cual pertenece: Movistar
(V), Comcel (C) o Tigo (T).
Los resultados fueron:
iu Ma cc
TPP
a.
H
Construir una tabla de contingencia para las
variables marca de celular preferida y compa-
ñía celular a la cual pertenece.
Representa de dos maneras diferentes la infor-
mación de la tabla.
Escribe dos conclusiones sobre cada variable.
a.
b.
c.
d.
Representa en un histograma de frecuencias, el
número de usuarios de una famosa red social en
España hasta el año anterior, según la edad.
r Intervalo Frecuencia i
i_____ __ ._ _=1
r6--5 8OOOO0
t_
I
i 26 - 35
',r.2OO.OOO
'19
it c rPl
l H D
2 H A
3 H D
4 H C
5 M C
6 M C
7 M C
8 H C
9 H D
t0 H A
5ú
jt!,¡niillan¿
1t M
12 H A
13 H A
14 H A
15 M D
16 \4 C
17 H A
18 N/ C
19 M D
2A H A
I S C 16 M T
2 S C 17 S
3 M t8 N
4 M T 19 N C
7
tl
15 N4
I
ilfliil!

250. I
Completa la tabla de frecuencias de la altura de los PfO bO bilidOd
árboles de un bosque en decímetros:
Encuentra el espacio muestral delanzar dos dados
y luego determina cada uno de los siguientes even-
tos.
a. Obtener un número par en Ia suma de las caras
de los dados.
Sacar un 6.
Obtener 1 como resultado de la suma de los
dados.
d. Obtener un número del 1 al 6, en cualquiera de
los dados.
e. Obtener un número primo, al sumar los dos
resultados.
@
4" una excursión fuan, David, Laura, |essica
y RaúI, tienen la posibilidad de hospedarse en
una habitación triple y una habitación doble.
Determina el posible espacio muestral y muestra
un evento.
b.
c.
Observa la lista sobre el tiempo en minutos que
20 estudiantes duraron una tarde, navegando en
Internet.
L25, 190, 160,240,65, 100, 215, 195,210,200,70,
90, 140, 185, 225, 230, 40, 190, 210, 230
a. Construye una tabla de frecuencias usando
los intervalos: (1 - 60), (61 - 120), (121 - 180),
(t8r - 240).
b. Elabora el histograma de frecuencias.
c. Construir el polígono de frecuencias y realiza
la ojiva para esta situación.
@
Obr"rra el diagrama de tallo y hojas de los pesos
corporales de algunos integrantes de una selección
de fútbol. Luego, responde.
s
ll
6788
6 ll 027
z ll 0446s
a.
¿Cuántos
jugadores tienen pesos entre 50 y 59 kg?
b.
¿Cuántos
jugadores pesan 70 kg o más?
Encuentra Ia media de la estatura de 24 estudiantes
a.
b.
c.
de séptimo, si se sabe que sus estaturas son:
&
4" una bolsa hay cinco bolas rojas y tres azules.
Se le pide a una persona que
Responde:
saque tres al azar.
¿De cuántas formas sé puede realizar el experi-
mento?
Si se seleccionan tres bolas al azar y lu.na es azul,
¿de cuántas formas se pueden escoger las otras
dos?
Si se sabe que las dos primeras son azules,
¿de
cuántas formas se puede escoger la tercera?
@
Construye un diagrama de árbol para Ia siguiente
situación.
En una fábrica se producen bebidas en caja y en
botella, De cada bebida hay tres sabores: cola, uva
y naranja.
¿Cuántos tipos de bebida produce la
fábrtcaz.
Un departamento debe elegir 2 de sus 8 ciudades
para realizar visitas de inspecciór,.
¿De
cuántas
maneras las pueden elegir?
Lee la siguiente situación. Luego, resuelve.
Daniel, |uan, Martín y José participan en una com-
petencia atlética.
¿Cuál
es la probabilidad de que
lleguen: Juan en primer lugar y Daniel en segundo
1,50 1,52 L,46
1,50 r,52 1,50
1,58 1,50 1,60
1,60 1,52 1,50
1,60 r,59 1,49 L,46
1,60 t,46 7,62 1,59
1,49 1,50 1,52 1,59
Los siguientes datos corresponden a la cantidad
de vasos de agua que consumen 12 mujeres y 12
hombres en un día.
Mujeres: 6, 7, 7, 8, 7, 5, 7, 8, 6, 5, 8, 7.
Hombres: 4, 6, 4, 5, 7, 3, 2, 8, 3, 4, 5, 5.
Halla la media y la mediana del número de
vasos de agua consumidos por mujeres.
Calcula la media y la mediana paru el caso de
los hombres.
Compara las medidas de tendencia central de
mujeres y hombres y saca una conclusión.
a.
b.
zsl
110-119
120-129 I 13
c.
lugar?
osantillana
| ¿5l,:
100-109 15
17
130- 139 9
Total
ruil

251. Es la ciencia que se encarga de recoger, organi
zar, representar, analizar y obtener conclusiones
a partir de datos obtenidos en diferentes estu-
dios estadísticos.
La población es el conjunto de todos los indivi-
duos de los cuales se obtiene información sobre
el fenómeno que se estudia.
Una muestra es un subconjunto representatlvo
de una población sobre el cual se recogen los
datos.
Una variable estadística es cada una de las
caracteristicas o propiedades que se pueden
estudiar en una población o muestra. Las varia-
bles se clasifican en cualitativas y cuantitativas.
Media: es el promedio aritmético de todos los datos.
Moda: indica el valor que más se repite, o el intervalo
con mayor frecuencia
Mediana: es el punto central de los valores de un
conjunto de datos después de haber sido ordenados
Las técnicas de conteo son tres:
Principio de multiplicación: importa
el orden y puede haber repetición. Se
calcula como:
#5 : n, X nrX n.,...
Permutación: importa el orden pero
no hay repetición. Se calcula como:
D-
(N -
n)l
Combinación: no importa el orden y
no hay repetición. Se calcula como:
Las variables cualitativas se caracterizan
mediante: tab a de frecuencias, diagrama de
barras, diagrama circular, moda y en algunos
casos la mediana,
Las variables cuant¡tativas se caracterizan me-
drante: dlstribuclón de frecuencias, diagrama de
ta lo y hojas, diagrama de barras, hJstogramas,
polÍgono de frecuencias, ojrvas, medidas de ten-
dencra central y de posición
Cuartiles: son los valores que dividen el conjunto
de datos en cuatro partes iguales.
Deciles: son los valores que dividen el conjunto de
datos en diez partes iguales.
La probabilidad es la rama de la matemática que estudia
aquellos experimentes cuyos resultados pueden variar entre
una ejecución y otra. Este tipo de experrmentos se denomina
aleatorios
Espacio muestral:es el conjunto de todos los posibles resulta-
dos de un experimento aleatorio. Se simboliza 5.
Evento es cualquier subconjunto de espacio muestral, cuyos
elementos tienen una característica en común. Se simboliza
con letras mayúsculas.
Cálculo de probabilidades
La probabilidad con la que puede suceder es asignarie u-n nú-
mero real entre O y 1. Se ca cula asi. P(F)= + ,donoe rE es la
#S
cantidad de elementos del evento E y #5 es la cantidad de ele-
mentos en el espacio muestralS
-
A/l
( .,:
tY'
rL
N- n)lxnl
a5z
wnnilfrlm
t
EH SIHTE:-iIE...
il 5Z losaniiiiana

252. Estadística
en el medallero
de Beiiing 2008
Los XXIX Juegos Olímpicos tuvieron lugar en Pekín,
la capital de la República Popular China, del8 al24 de
agosto de 2008. Este evento comprendía 302 pruebas
en 28 deportes, en las cuales participaron 204 comités
olímpicos nacionales.
En estas olimpíadas conocidas como Beijing 2008, se
entregaron 958 medallas en total: 302 de oro, 303 de
plata y 353 de bronce.
En la siguiente tabla se presenta la clasificación fi-
nal del medallero olímpico destacando los 10 países
que obtuvieron más medallas, empezando por las
medallas de oro, seguidas por las medallas de plata
y finalmente, las medallas de bronce.
1 China 5',] 21 28 100
2 Estados Unidos de América 36 38 36 110
3 Rusia 23 21 )8 72
4 Gran Bretaña 19 13 r5 47
5 A emania 16 10 15 41
6 Austra ia 14 15 17 46
7 Corea de Sur r3 t0 8 31
o
O -Ja pó n 9 6 t0 25
9 Ita ia 8 8 1C 26
'10
Francia 7 16 17 40
¿En
qué país se realizaron los XXIX fuegos Olím-
picos?
¿Cuántos
Comités Olímpicos participaron?
¿Cuántas
medallas de cada tipo se repartieron en
total en las Olimpíadas Beijing 2008?
¿Cuáles variables estadísticas intervienen en la
tabla de medallería de las Olimpíadas Beijing
2008?
¿De
qué tipo son las variables?
¿Cuálpaís obtuvo la mayor cantidad de medallas
de plata?
¿Cuálpaís obtuvo la mayor cantidad de medallas
de bronce?
¿Cuál tipo de medalla obtuvo China en mayor
cantidad?
¿Cuálpaís
obtuvo mayor cantidad de medallas?
Construye un gráfico de barras que represente la
variable "Tipos de medallas ganadas por Chindi
253
.' .i":rtili;r,:
t
Z=;:
Y esto que oprendí,
¿PARA OUE ME SIRVE?
Para realizar el estudio estodístico en un evento.
liU!!il

253. =.?
Á
Ángulos adyacentes: son ángulos suplementarios que
poseen un lado común.
Ángulos complementarios: son dos ángulos para los
cuales la suma de sus medidas es igual a 90'.
Ángulos suplementarios: son dos ángulos para los cuales
la suma de sus medidas es igual a 180',
D
Datos: son cantidades o medldas obtenidas de
observacrones, comparaciones y ap icación de
encuesta5
Demostración: razonamiento ógico que
se lleva a cabo para conc ulr a tesis de un
teore ma
Descomposición factorial: es toda expresión
de un número como e producto de sus
tactores primos
Desigualdad numérica: es toda expresión que
re aciona números por medio de os símbo os
Diferencia: a diferencia entre dos conjuntos,4
y B es e conlunto formado por los e ernentos
que pertenecen a A y que no pertenecen a B
Se escribe,4 -
B
Diferencia simétrica: conjunto de eiementos
que pertenecen a,4 U B y no pertenecen A t'l B
5e representa por,4 A B
Disyunción: la d syuncrón de dos
proposrciones py q es otra proposición que
enlaza os enunciados s mp es p y q por medio
del conectivo lógico "O" (y)
Divisores: un número c es divisor b, cuando la
división de b entre , es exacia
Base numérica: es e número de e ementos que conforman
cada orden o nive en un sistema de numeración posicional
Bicondicional: el bicondiciona , o doble imp icación, es
a proposición compuesta por dos enunciados simp es
en azados por e conectivo lógico "si y sólo si'1
Bisectriz de un ángulo: recta que parte del vértice y divide
un ángu o en dos ángulos de igual medida
Complemento de un conjunto: el complemento de un
conjunto A es otro conjunto formado por los elementos del
conjunto universal U que no pertenecen al conjunto A. Se
simboliza lJ-AoAc.
Conectivo lógico: es una expresión verbal que sirve para
unir o enlazar dos proposiciones simples.
Conjunción: operación lógica que enlaza dos enunciados
simples por medio del conectivo A.
Conjuntos disyuntos: dos conju ntos A y B son d¡syu ntos si
no tlenen elementos comunes, es decir, si A n B: A.
Conjuntos intersecantes: dos conjuntos A y B son
intersecantes si tienen elementos comunes.
Cuantificadores: son los simbolos matemáticos utilizados
para indicar el número de elementos de un conjunto que
cumple una determinada condición.
Ecuación: igualdad entre dos expresiones algebraicas, que
es vá ida so o para ciertos va ores de las variab es.
Eje de simetría de una figura: es 1a recta que a divide en
dos partes que coinciden exactamente
Estadística: es a ciencia encargada de reco ección,
organización, análisis, representación e interpretación de
datos a partir de lo cua , saca conclusiones y establece
prevrS ones
Generatriz: curva cuya rotación alrededor de una recta fija
genera una superficie
Figuras simétricas: dos lrguras son simétricas
respecto a un ele L, si todas as parejas de puntos
correspondientes en dlchas figuras equidistan de eje L
Fracción decimal: es toda fracclón cuyo denominador
es una potencia de 1 0
Fracción decimal básica: es aquelia cuyo nurnerado'
es 1 y cuyo denominador es una potencra de 10
Fracción impropia: es aque a fracción en la que e
numerador es mayor que e denominador
Fracción propia: es aquel a fracción en a que el
numerador es menor que el denominador
Fracciones equivalentes: so¡ ¿que as fracciones que
expresan a mlsma cantidad En el as e producto de sus
términos en diagona es ig;ual
Frecuencia absoluta: es el número de veces que se
repite un determinado va or de a varlab e estadistica
que se estudia
Frecuencia acumulada: es el número de eventos
ocurrldos o individuos que presentan una c¿racterÍstica
de la variable hasta un momento considerado
Frecuencia relativa: es e cociente entre la frecuencia
absoluta y e número de individuos de la población en
un estudlo estadístico
lmplicación o condicional: es la proposición
compuesta por dos proposiclones s mp es enlazadas
porer co'ecLitologi(o e l9'16cc ¡-
lnformación: es el resultado del procesamiento de
datos
lntersección: la lntersección entre dos conluntos A y
B es e conjunto formado por os e ementos comunes
a los dos conjuntos Se escrbe.4 ñ B

254. Línea poligonal: es la unión de segmentos
contiguos:/, B,C,D,E.
Máximo común divisor: el mcd
de dos o más números es igual al
producto de sus factores primos
comunes con su menor exponente.
Mediatriz de un segmento: es la recta
perpendicular que pasa por el punto
medio de un segmento.
Mínimo común múltiplo: el mcm de
dos o más números es el producto de
todos los factores primos comunes con
su máximo exponente.
Múltiplos de un número o: es el
conjunto formado por todos aquellos
números de la forma a. n
Numeral: es el símbolo que representa
una cantidad fija
Número: es a idea asociada uno a uno
a cada numera
Número decimal: es una expresión
numérica formada por una parte
entera y una parte decimal separadas
por medio de una coma o rlunto
decim¿
Números compuestos: son aque os
que puede n expresarse como
el prodrcto j' -
rTeroq p'ino)
dlferentes a a unldad
Números primos: son aque os
números que trenen so o dos divisores:
e uno y e mismo número
D
Raíz enésima: se lama raiz enésima de un número p a
número b que ai e evar o a exponente n es igual a p. Se escribe
d{ stb':p.
Segmentos adyacentes: dos segmentos que
están en semirrectas opuestas y tienen origen
común sobre la misma.
Segmentos contiguos: son dos segmentos
que tienen un extremo común pero que no
están contenidos en la misma recta.
Sistema de numeración: es un conjunto
de sÍmbolos con reglas bien definldas de
combinación. Estos símbolos son usados para
representa r ca ntidades y r ealizar ope raclo nes
con ellas.
Subconjunto: un conjunto A es subconjunto
de B si todos los elementos de,4 están en B
Tanto por ciento: una parte o varias partes
de cada 1 00 partes gua es
Unión: la unión entre
dos co¡juntos.4 y B es el
conjunto formado por os
e ementos que pertenecen
a uno u otro conjunto
cont¿dos solo una vez, se
escrlbe A U B
Valor absoluto de una cifra:
es el valor del número que esta
representa
Valor relativo de una cifra: es
el valor del número que esta
representa pero dependiendo de
la posición que ocupa
Variable estadística: es la
característica que se estudia en
cada elemento de la población o
muestra
Pareja ordenada: es una dup a formada por dos
elementos en os que e orden es determinante
Planos coincidentes: dos p anos que tlenen
puntos comunes no co lnea es.
Planos paralelos: dos p anos que no poseen
n ngún punto en común
Planos secantes: son dos p anos que se cortan
determinando una recta en común
Población: es el conjunto de indlviduos, objetos
o fenómenos de os cua es se desea estrdl¿r una
o,",arlas características
Polígono: inea po gonal cerrada y su :-.:':'
Polígono cóncavo: po igono que tiene un
ángu o ;-t:'ol m¿yor de 180'
Polígono convexo: po igono que tiene todos sus
ángu os ma.a :: :: -.. l80'
Polígono regular: :c igoro en e cual Ia medida
de todos sus iadc,r :: i
-- :.-a y a abertura de
sus ángu os lnterior¿s :s :
-- :ma
Polinomio aritmético: :. ::. s,ma de
números; cada sumandc s: .
-- j :'^'ri¡o del
po inom o
Porcentaje: es e resu tado de a! -j : .:
-
-t co'
clento a una cantldad dada
Potencia: es una expres ón usada e¿'a ' . -.
la rnu tiplicación de un factor por él mls^-: -
-
determinado número de veces,
Primos relativos: son aquellos números cu¡ c
único divlsor común es el I
Proposición: es un enunciado verdadero o fa so,
pero no as dor.o'¿'d 'r'-mo I e'rpo
255
rr-,5¿:tiii¡n¿ i 35!

255. MINISTERIO DE EDUCAC ÓN NRCION Al. Decreto /860 de cgcsro 3 de /991.
i\4lNlSTERlO DE EDUCAC]CN NAC uNAL Maten:áttcas Lineamtentc:s curriculares. Boglotá, 1998
l/INISTERIO DE EDUCACIÓN \lAC ONAt P,esoluctón número 2s43 de iunio 5 de 1996
,AA.VV. Currículo y aprendtzale. Bogotá, Santillana, 1 99ó.
AA.VV. Trabajemos soluclón de problemas con 5ar¡tlllano Boqol-á, Santil ana, 1997
AA.VV. Matemáttcas / Eso Esparia, Editorial Santillana,2007, pp. 111 )09, )29,263
AA.VV Matemáticas 3 Eso. España, Editorial Santil ana, 2C07, pp 17 113.
AA.VV. Matemóticas 4 Eso, opción A. España, Edrtorial Santil ana, 2007, p. 1 I
ABDÓN N/ONTEN EGRO, GNACIO . Evaluenlos camp€ten.¡as matemót¡cc-r, Cooperativa Editorial Azlagisterio, 1 999
ALVARENG,\, B. Y \4ÁXlNi O, A. Física qenerol con experimentos senctllos. México, Harla, S A ,
'l
983
BALDOR. Gecmetría plona y del espaclo y tr¡qanometrío. México, Pub icaciones cu tura , 1 998.
BARN ETT, RICH. 5erie de cornpendios Schoum Teoría y problemos de geontetio plana con coordenodas, México,
McGraw Hill, 1970
BOL, BRIAN. l\|atemóquinas, la natemát¡ca que hoy en la tecnalaqía, Labor
BUECHE, I Fundamentos de físlca / Colombia, McGraw Fli atinoamerica¡a S.A, I 988
CASTRO, ENCARNACIÓN; nlCO, LUIS; CASTRO, ENR Qul. Mctemóttcas'cultura y aprendtzale2 España, Editoria
Sintesis, 1996.
CENTENO PaREL, )ll A Alatemóitcas:cultttray cprendtzaje 5 España, Ed toria Sintesis, 1997
CLEMENS, S R, ET Al.SerieAwli Geometría México, AddisonWes ey. Pearson educación, l99B
DEL OLIIO ROIV1ERO, N,IAR A ANGELES; MORENO CARREIERO, N4AR|A FRANC SCA;GIL CUADRA, FRANCISCO"
Nlctemóticas:crLltura y aprertdrzc¡e /9 España, Editorial Sintesis, I 993.
D|AZ RODINO, ]UAN B NERO; BERNABEI.-], MAR|A DEL CARMEN AÑ ZARES CASTETLANOS, lVlARiA ]ESUS
l\,4aternat:icas: cultura y aprendtzcle 27 fspaña Editoria Sintesis I 996.
FIOL MORA, lvlARlA iU 5A; FORTU\lA AYMEM ,lOSEPrl I\4ARlA. Alatenóticos:cctlturay aprendlzctje 2A.España
Editoria :intesis,'1990
GONZAT FZ, )ASÉ tUIS; IRIART=, MARÍA; JIMENO, MANUELA; ORIIZ, ALFONSO; SANZ, ESTEBAN;VARGAS
MA(-HUC,A, Nll\4ACULADA.I¡latemáticasculturayaprendrzaje 6. España, EciitorialSintesis, 1990
GUILLÉN SOtER, GREGORIA Nlatemóticas:cultura y aprendizaje l5 España, Eciitorlal Sintesis,
,1997
HE\,^/ TT, PAUt G tísica conceptual.Tercera edición, Pearson Educación 1999
LINDENMAYER, ASISTID. Arreqlos Geométrtcos de la naturaleza. Aróoi pitagórico
MASON, -].; BURTON, L;SIACEY K. Pensar matenóticamente. Madrid, N4EC/Labor 1992.
l/OlSE,EYDOWNS,i.GeontetrioModerna.Estados.Unldos,AddisonWesleyoublishingccmpany', 1966
PASTOR, GUiLLERMO. Nlatemóucas financieras. Madrid, Limusa, 1998
PAPPAS, THEONI El encanto de las matemáncas, Los seoetos ccultos del csrte.lugarto eciiciones, I 997.
PAPPAS,THEONI. Lamagtarlelcsmatemot¡cas Elordenocultctraslanaturalezcyelorte.Tagarlo ediciones, 1996.
PEÑA, JOSE ANiION lO. Álgebra en todos p,rries lr/éxico, SEDICE, 1 999.
POLtA, G. Cómo plantear y resclver problemas. México, Tril as I 989
SESTIER, ANDRÉS. Htstorta de ias motemóttcas. México, Lrmusa, l9B3
iIEPHEN, t.M riistoria
Ce la cter¡cia Macrio, Alianza EoLtorial.
VÁSQr-lEZ, C. Geon-tetr[a planc v del espacto. Mladrid, Biblioteca Santi lana tie consul]ta
N4iaROSOFI CORPORAT|ON Biblioreca de consulta Nlicrosoft Encarto 2005 1993 2004.
L56
LL I ;: --
.?51 iÜ ;
rr '!
''¡
i4 i
osantillana
ffi

256. IPERHffi
Conéctate con los Hipertéxtos Santillana de tu libro en:
ww w.s a nt i I I a n a.co m.co/ h i pe rtexto s
Otros Hipertextos Santillana para ti: