Seccion 3.1 Transformada Z bilateral

Sección 3.1 "Transformada Z bilateral" de la unidad Transformada Z y sus aplicaciones del curso de Procesamiento Digital de Señales de la Universidad Autónoma de Nayarit

1. UNIDAD 3 Transformada y sus aplicaciones   A veces un poco de intuición e ingenio conduce a una reducción considerable en la complejidad, y a veces también a mejoras en su velocidad. – Roger Penrose, La mente nueva del emperador , 1996, México.

2. Sistemas en tiempo discreto 3.1 Transformada bilateral  

3. La transformada de señales en tiempo discreto es el equivalente de la transformada de Laplace para señales en tiempo continuo, y cada una de ellas está relacionada con la correspondiente transformada de Fourier. La transformada simplifica el cálculo de la convolución en el análisis de sistemas con varias señales. Además es una herramienta para caracterizar los sistemas LTI y su respuesta mediante las posiciones de sus polos y ceros.   Transformada y sus aplicaciones   3.1 Transformada bilateral Rev. Mayo/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 3 Definición

4. Definición: La definición de la transformada es una serie de potencias (serie de Laurent) en , donde el término para cada índice es el producto del valor de la muestra y . La relación anterior se denomina Transformada bilateral o Transformada directa . El procedimiento inverso se denomina Transformada inversa   Transformada y sus aplicaciones   3.1 Transformada bilateral Rev. Mayo/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 4 Definición

5. Dado que la transformada es una serie infinita de potencias, ésta existe sólo para aquellos valores de para los que la serie converge . La región de convergencia ( ROC , region of convergence ) de es el conjunto de todos los valores de para los que es finita. Por lo tanto, siempre que hablemos de una transformada z debemos indicar también su ROC .   Transformada y sus aplicaciones   3.1 Transformada bilateral Rev. Mayo/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 5 Definición Serie Geométrica : Una serie geométrica es la suma de los términos de una progresión geométrica

6. Desde un punto de vista matemático, la transformada z es simplemente una forma alternativa de representar una señal. El coeficiente de z – n , para una transformada determinada, es el valor de la señal en el instante n . En otras palabras, el exponente de z contiene la información que necesitamos. Transformada y sus aplicaciones   3.1 Transformada bilateral Rev. Mayo/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 6 Definición

7. Ejemplo 3.1 Calcula la T de las siguientes secuencias , ROC: plano completo excepto en , ROC: plano completo excepto en y , ROC: plano completo , ROC: plano completo excepto en   Transformada y sus aplicaciones   Correlación de señales discretas en el tiempo Rev. Mayo/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 7

8. Ejemplo 3.2: Determine la de la señal Solución: Donde la es   Transformada y sus aplicaciones   3.1 Transformada bilateral Rev. Mayo/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 8

9. Ejemplo 3.2: La serie geométrica infinita es: Por lo tanto, por inspección se obtiene que para , o , la converge a , ROC: Se dice entonces que la existe solo para valores de mayores a .   Transformada y sus aplicaciones   3.1 Transformada bilateral Rev. Mayo/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 9

10. Expresemos la variable compleja z en su forma polar Donde y , entonces puede expresarse En la ROC de , . Pero Entonces, es finito si es absolutamente sumable.   Transformada y sus aplicaciones   3.1 Transformada bilateral Rev. Mayo/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 10 Región de convergencia, ROC

11. De forma gráfica, la ROC se describe Transformada y sus aplicaciones   3.1 Transformada bilateral Rev. Mayo/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 11 Región de convergencia, ROC r 1 ROC Re( z) ‏ Plano- z Im ( z ) ‏     Im ( z ) ‏ r 2 ROC Re( z) ‏ Im ( z ) ‏ Plano- z

12. Y en un caso mas general Transformada y sus aplicaciones   3.1 Transformada bilateral Rev. Mayo/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 12 Región de convergencia, ROC   Im ( z ) ‏ Im ( z ) ‏ r 2 ROC Re( z) ‏ Plano- z r 1

13. Ejemplo 3.3 : Determine la transformada z de la señal Solución: Si o lo que es lo mismo , la serie converge a . Se obtiene de aquí el par de transformadas   Transformada y sus aplicaciones   3.1 Transformada bilateral Rev. Mayo/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 13

14. Ejemplo 3.3 : La ROC es el exterior de un círculo de radio   Transformada y sus aplicaciones   3.1 Transformada bilateral Rev. Mayo/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 14 n x( n ) ‏ ROC Im ( z ) ‏ Re( z) ‏    

15. Ejemplo 3.4 : Determine la transformada z de la señal Solución : A partir de la definición de la TZ se tiene haciendo . Utilizando la serie Entonces   Transformada y sus aplicaciones   3.1 Transformada bilateral Rev. Mayo/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 15

16. Ejemplo 3.4 : Entonces tenemos el par de transformadas , ROC:   Transformada y sus aplicaciones   3.1 Transformada bilateral Rev. Mayo/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 16 x( n ) ‏ n |r| ROC Re( z) ‏  

17. De los ejercicios anteriores, se observa que la expresiones compactas de TZ no especifica de forma unívoca la señal en el dominio del tiempo.. Una señal discreta en el tiempo queda determinada de forma unívoca por su transformada y por la región de convergencia de , ROC.   Transformada y sus aplicaciones   3.1 Transformada bilateral Rev. Mayo/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 17 Región de convergencia, ROC

18. La ROC de una señal anticausal es el interior de una circunferencia de radio mientras que la ROC de una señal causal es el exterior de un círculo de radio .   Transformada y sus aplicaciones   3.1 Transformada bilateral Rev. Mayo/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 18 Región de convergencia, ROC n x( n ) ‏ ROC Im ( z ) ‏ Re( z) ‏       ROC Re( z) ‏   Señal Causal Señal Anticausal ROC:   n x( n ) ‏ ROC:  

19. Ejemplo 3.5 : Determine la transformada de la señal Solución : a partir de la definición de la TZ tenemos La primera serie converge para y la segunda para , por lo que tenemos dos casos: , las ROC no se superponen y la TZ no existe, las ROC conforma un anillo, por lo que la TZ existe.   Transformada y sus aplicaciones   3.1 Transformada bilateral Rev. Mayo/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 19

20. Ejemplo 3.5 : la ROC de es:   Transformada y sus aplicaciones   3.1 Transformada bilateral Rev. Mayo/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 20 Im ( z ) ‏ Im ( z ) ‏ r 2 ROC Re( z) ‏ Plano- z r 1

21. Transformada y sus aplicaciones   3.1 Transformada bilateral Rev. Mayo/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 21 Familias de señales características con sus correspondientes ROC Señales de duración finita Señal ROC

22. Transformada y sus aplicaciones   3.1 Transformada bilateral Rev. Mayo/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 22 Familias de señales características con sus correspondientes ROC Señales de duración infinita Señal ROC