Segura 2013 -- juegos de suma cero - v1
jcsegura1
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Feb 12, 2013
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Teoría de los Juegos // @JackFlash
Teoría de los Juegos: Juegos de Suma Cero
Una Introducción
J.C.Segura Ms.Sc.
Universidad de La Salle
Facultad de Ciencias Económicas y Sociales
Escuela Colombiana de Ingeniería
Facultad de Economía
Bogotá, D.C., Enero de 2013
Teoría de los Juegos: Juegos de Suma Cero
Una Introducción
J.C.Segura Ms.Sc.
Universidad de La Salle
Facultad de Ciencias Económicas y Sociales
Escuela Colombiana de Ingeniería
Facultad de Economía
Bogotá, D.C., Enero de 2013
Teoría de los Juegos // @JackFlash
Una Escena de “A Beautiful Mind” (2001)
¿Adoptamos solución de Mano Invisible, i.e., cada uno
va a la suya por la rubia, —enfrentando una más que
probable derrota—, o cooperamos, la ignoramos y
vamos por sus amigas, con una ganancia no negativa
para cada uno de nosotros?
Vea esta escena en:
http://www.youtube.com/watch?v=IcTHiS7hQnI
Una Escena de “A Beautiful Mind” (2001)
¿Adoptamos solución de Mano Invisible, i.e., cada uno
va a la suya por la rubia, —enfrentando una más que
probable derrota—, o cooperamos, la ignoramos y
vamos por sus amigas, con una ganancia no negativa
para cada uno de nosotros?
Vea esta escena en:
http://www.youtube.com/watch?v=IcTHiS7hQnI
Teoría de los Juegos // @JackFlash
Motivación
En los primeros cursos de microeconomía se han tratado problemas
concernientes a una única unidad de decisión: consu midor y productor eligen
planes de consumo y de producción de entre sus conj untos factibles para
optimizar una cierta función objetivo.
En dichos modelos, el individuo reacciona ante camb ios en los parámetros que
delimitan su ambiente pero (y mucho menos en forma estratégica) no ante otros
individuos. El Supuesto céteris páribus del análisi s Marshalliano supone
demasiado
acerca del mundo real.
En la práctica agentes, -consumidores, productores, gobiernos- interactúan
entre si y adoptan conductas estratégicas unos resp ecto de la conducta de otros.
Motivación
En los primeros cursos de microeconomía se han tratado problemas
concernientes a una única unidad de decisión: consu midor y productor eligen
planes de consumo y de producción de entre sus conj untos factibles para
optimizar una cierta función objetivo.
En dichos modelos, el individuo reacciona ante camb ios en los parámetros que
delimitan su ambiente pero (y mucho menos en forma estratégica) no ante otros
individuos. El Supuesto céteris páribus del análisi s Marshalliano supone
demasiado
acerca del mundo real.
En la práctica agentes, -consumidores, productores, gobiernos- interactúan
entre si y adoptan conductas estratégicas unos resp ecto de la conducta de otros.
Teoría de los Juegos // @JackFlash
Motivación
En algunos casos es razonable asumir que el individ uo no
reacciona dada su estimación de lo que otros indivi duos van a
hacer, sino que decide actuar dado el valor de algu na estadística
agregada que varía en menor proporción con la elecc ión de un
individuo. En estos casos constituye una razonable estrategia de
modelamiento representar a los agentes decisores co mo unos
individuos que toman como dado el valor de una cier ta variable
agregada. La principal aproximación de este enfoque es la Teoría
del Equilibrio General
Motivación
En algunos casos es razonable asumir que el individ uo no
reacciona dada su estimación de lo que otros indivi duos van a
hacer, sino que decide actuar dado el valor de algu na estadística
agregada que varía en menor proporción con la elecc ión de un
individuo. En estos casos constituye una razonable estrategia de
modelamiento representar a los agentes decisores co mo unos
individuos que toman como dado el valor de una cier ta variable
agregada. La principal aproximación de este enfoque es la Teoría
del Equilibrio General
Teoría de los Juegos // @JackFlash
Motivación
En la Teoría de las Interacciones o teoría de los J uegos, por
el contrario, introduciremos el estudio de las inte racciones
racionales entre individuos que quieren mejorar sus
condiciones, a través de la aplicación de decisione s
estratégicas.
Motivación
En la Teoría de las Interacciones o teoría de los J uegos, por
el contrario, introduciremos el estudio de las inte racciones
racionales entre individuos que quieren mejorar sus
condiciones, a través de la aplicación de decisione s
estratégicas.
Motivación
Aún cuando los antecedentes de la Teoría Clásica de las Decisiones Estratégicas, o Teoría Clásica de los Juegos se rem ontan a A.A.Cournot (1838) y a F.Y.Edgeworth logra una primera formalización de la materia
1
En Hillas et. al. se ofrece la crónica del desarrol lo de la Teoría de los Juegos de Paul Walker:
Teoría de los Juegos // @JackFlash
Aún cuando los antecedentes de la Teoría Clásica de las Decisiones Estratégicas, o Teoría Clásica de los Juegos se rem ontan a A.A.Cournot (1838) y a F.Y.Edgeworth
(1881), no es
sino hasta 1944 cuando se
logra una primera formalización de la materia
1
.
En Hillas et. al. se ofrece la crónica del desarrol lo de la Teoría de los Juegos de Paul Walker:
http://www.econ.canterbury.ac.nz/personal_pa
Teoría de los Juegos // @JackFlash
Aún cuando los antecedentes de la Teoría Clásica de las Decisiones Estratégicas, o Teoría Clásica de los Juegos se rem ontan a A.A.Cournot
sino hasta 1944 cuando se
http://www.econ.canterbury.ac.nz/personal_pa
ges/paul_walker/gt/hist.htm
Aún cuando los antecedentes de la Teoría Clásica de las Decisiones Estratégicas, o Teoría Clásica de los Juegos se rem ontan a A.A.Cournot (1838) y a F.Y.Edgeworth logra una primera formalización de la materia
1
En Hillas et. al. se ofrece la crónica del desarrol lo de la Teoría de los Juegos de Paul Walker:
Teoría de los Juegos // @JackFlash
Aún cuando los antecedentes de la Teoría Clásica de las Decisiones Estratégicas, o Teoría Clásica de los Juegos se rem ontan a A.A.Cournot (1838) y a F.Y.Edgeworth
(1881), no es
sino hasta 1944 cuando se
logra una primera formalización de la materia
1
.
En Hillas et. al. se ofrece la crónica del desarrol lo de la Teoría de los Juegos de Paul Walker:
http://www.econ.canterbury.ac.nz/personal_pa
Teoría de los Juegos // @JackFlash
Aún cuando los antecedentes de la Teoría Clásica de las Decisiones Estratégicas, o Teoría Clásica de los Juegos se rem ontan a A.A.Cournot
sino hasta 1944 cuando se
http://www.econ.canterbury.ac.nz/personal_pa
ges/paul_walker/gt/hist.htm
Motivación La Teoría de los Juegos solo llegó a conformarse co mo un cuerpo disciplinario y científico coherente tras la public ación, en 1944 Theory of Games and Economic Behavior Neumann y del economista austriaco Oskar Morgenster n.
Teoría de los Juegos // @JackFlash
La Teoría de los Juegos solo llegó a conformarse co mo un cuerpo disciplinario y científico coherente tras la public ación, en 1944 Theory of Games and Economic Behavior
del matemático húngaro John von
Neumann y del economista austriaco Oskar Morgenster n.
Teoría de los Juegos // @JackFlash
La Teoría de los Juegos solo llegó a conformarse co mo un cuerpo disciplinario y científico coherente tras la public ación, en 1944
de la
del matemático húngaro John von
Neumann y del economista austriaco Oskar Morgenster n.
Teoría de los Juegos // @JackFlash
La Teoría de los Juegos solo llegó a conformarse co mo un cuerpo disciplinario y científico coherente tras la public ación, en 1944 Theory of Games and Economic Behavior
del matemático húngaro John von
Neumann y del economista austriaco Oskar Morgenster n.
Teoría de los Juegos // @JackFlash
La Teoría de los Juegos solo llegó a conformarse co mo un cuerpo disciplinario y científico coherente tras la public ación, en 1944
de la
del matemático húngaro John von
Neumann y del economista austriaco Oskar Morgenster n.
Teoría de los Juegos // @JackFlash
Motivación
En 1928 Von Neumann reportó ante la Sociedad Matemá tica de Göttingen el
hallazgo de una estrategia racional para elegir en el lanzamiento de una
moneda al aire. La prueba de Von Neumann se podía e xtender a otros juegos
como el ajedrez y algunos juegos de cartas y mostra ba que, para cada caso,
existía un mejor método posible de juego que se podía determinar
matemáticamente
.
La “mejor estrategia posible” es aquella que garant iza al jugador la máxima
ventaja sin importar las respuestas de los competid ores. Morgenstern
entendió con claridad que los agentes debían compre nder la naturaleza
interactiva de la economía y que sus decisiones deb en estar contextualizadas
en el ambiente prevalente. En 1930 Morgenstern y Vo n Neumann inician
una colaboración que hizo de la Teoría de los Juego s una verdadera disciplina
científica.
Motivación
En 1928 Von Neumann reportó ante la Sociedad Matemá tica de Göttingen el
hallazgo de una estrategia racional para elegir en el lanzamiento de una
moneda al aire. La prueba de Von Neumann se podía e xtender a otros juegos
como el ajedrez y algunos juegos de cartas y mostra ba que, para cada caso,
existía un mejor método posible de juego que se podía determinar
matemáticamente
.
La “mejor estrategia posible” es aquella que garant iza al jugador la máxima
ventaja sin importar las respuestas de los competid ores. Morgenstern
entendió con claridad que los agentes debían compre nder la naturaleza
interactiva de la economía y que sus decisiones deb en estar contextualizadas
en el ambiente prevalente. En 1930 Morgenstern y Vo n Neumann inician
una colaboración que hizo de la Teoría de los Juego s una verdadera disciplina
científica.
Teoría de los Juegos // @JackFlash
Juegos No Cooperativos con Información
Simétrica
Los juegos de Von Neumann y Morgenstern presentan v arios elementos comunes:
Hay un número finito,
N
de jugadores y cada uno tiene un conjunto finito
S
de
estrategias para jugar;
El juego comprende un número finito de etapas o mov idas;
Al terminar el juego se asigna un pago numérico a c ada jugador que es a su
turno la suma ponderada de los pagos recibidos en c ada una de las etapas
precedentes;
La naturaleza puede mutar: las decisiones de los ju gadores pueden ser aleatorias;
La información sobre las opciones de juego, estrate gias, reglas y pagos es pública:
cada jugador tiene conocimiento completo y simétric o de las reglas del juego.
Juegos No Cooperativos con Información
Simétrica
Los juegos de Von Neumann y Morgenstern presentan v arios elementos comunes:
Hay un número finito,
N
de jugadores y cada uno tiene un conjunto finito
S
de
estrategias para jugar;
El juego comprende un número finito de etapas o mov idas;
Al terminar el juego se asigna un pago numérico a c ada jugador que es a su
turno la suma ponderada de los pagos recibidos en c ada una de las etapas
precedentes;
La naturaleza puede mutar: las decisiones de los ju gadores pueden ser aleatorias;
La información sobre las opciones de juego, estrate gias, reglas y pagos es pública:
cada jugador tiene conocimiento completo y simétric o de las reglas del juego.
Teoría de los Juegos // @JackFlash
Representación de un Juego
Hay varias formas de describir un juego. La forma extensiva
presenta una descripción “extensa” de un juego. En contraste, la
forma estratégica presenta un resumen reducido de las
dimensiones de un juego particular.
Definición 1. Un juego finito en forma estratégica es una tupla
Manon I en la cual:
M a visnbnlnenlna es el conjunto de jugadores;
M o vo
h
ro
y
rlro
f
rlro
G
es el conjunto de perfiles de
estrategias puras, y
M m v
h
nln
f
nln
G
siendo
f
do Ec la función de beneficio
o utilidad del n-ésimo individuo.
Representación de un Juego
Hay varias formas de describir un juego. La forma extensiva
presenta una descripción “extensa” de un juego. En contraste, la
forma estratégica presenta un resumen reducido de las
dimensiones de un juego particular.
Definición 1. Un juego finito en forma estratégica es una tupla
Manon I en la cual:
M a visnbnlnenlna es el conjunto de jugadores;
M o vo
h
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y
rlro
f
rlro
G
es el conjunto de perfiles de
estrategias puras, y
M m v
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f
nln
G
siendo
f
do Ec la función de beneficio
o utilidad del n-ésimo individuo.
Teoría de los Juegos // @JackFlash
Juegos en Forma Estratégica (Normal)
La anterior especificación implica entonces la defi nición de un conjunto de
jugadores numerados de 1 hasta N.
Para cada uno de los N jugadores se ha especificado a su vez un número finito de
acciones o estrategias que éste puede adoptar, y se ha notado cono
k
. El producto
cartesiano de estos conjuntos se ha notado a su vez con o.
Como consecuencia, un elemento típico del conjunto S es H adH
/
eH
c
eJeH
F
en el
que cada sn es una estrategia pura del jugador , esto es, un elemento de Sn. El
conjunto s es un perfil de estrategias puras.
Para cada jugador también se ha definido una funció n r
k
1o E n que representa el
pago correspondiente a un perfil de estrategia defi nido.
Juegos en Forma Estratégica (Normal)
La anterior especificación implica entonces la defi nición de un conjunto de
jugadores numerados de 1 hasta N.
Para cada uno de los N jugadores se ha especificado a su vez un número finito de
acciones o estrategias que éste puede adoptar, y se ha notado cono
k
. El producto
cartesiano de estos conjuntos se ha notado a su vez con o.
Como consecuencia, un elemento típico del conjunto S es H adH
/
eH
c
eJeH
F
en el
que cada sn es una estrategia pura del jugador , esto es, un elemento de Sn. El
conjunto s es un perfil de estrategias puras.
Para cada jugador también se ha definido una funció n r
k
1o E n que representa el
pago correspondiente a un perfil de estrategia defi nido.
Teoría de los Juegos // @JackFlash
Para N = 2 jugadores, S = (s
1
, s
2
) estrategias disponibles con funciones de pago u
1
, u
2
que dependen tanto de sus acciones individuales com o de las acciones de su
contendor, es posible resumir un juego mediante una bimatriz como la siguiente:
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 11 11 12 12 13 13 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 21 21 22 22 23 23 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 31 31 32 32 33 33 3 3 3 3 1 2 1 2 1 2 1 2 1
1 1 2 2 3 3
1 2 3
1 , , , , , 2 , , , , , 3 , , , , ,
, , , ,
j j n n j j n n j j n n
i i i i i i ij ij in
j n
u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u
i u u u u u u u u u
L L
L L
L L
L L
M M M M O M O M
2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1 1 2 2 3 3
,
, , , , ,
in
m m m m m m mj mj mn mn
u
m u u u u u u u u u u M M M M M M M M
L L
Jugador 1
Para N = 2 jugadores, S = (s
1
, s
2
) estrategias disponibles con funciones de pago u
1
, u
2
que dependen tanto de sus acciones individuales com o de las acciones de su
contendor, es posible resumir un juego mediante una bimatriz como la siguiente:
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 11 11 12 12 13 13 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 21 21 22 22 23 23 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 31 31 32 32 33 33 3 3 3 3 1 2 1 2 1 2 1 2 1
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L L
Jugador 1
Teoría de los Juegos // @JackFlash
Donde o
h
=isnbnlnp y o
y
vi1,2,, son estretégias puras para los
jugadores 1 y 2 respectivamente, y
ú-
f
son los pagos del jugador cuando juega é y
cuando el otro jugador juega N.
Si dichos pagos son tales que
ú-
h
v
ú-
y
, es decir, si
ú-
h
S
ú-
y
v 1 se dice que se
trata de un juego de suma cero. La Matriz de pagos se pueden entonces resumir
registrando la ganancia del jugador 1, por ejemplo :
11 12 13 1 1 21 22 23 2 2 31 32 33 3 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1
2
3
j n j n j n
i i i ij in m m m mj mn
j n
u u u u u u u u u u u u u u u
i u u u u u m u u u u u
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M M M M O M O M M M M M M M M M
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Jugador 1
Jugador 2
Donde o
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y
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jugadores 1 y 2 respectivamente, y
ú-
f
son los pagos del jugador cuando juega é y
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Si dichos pagos son tales que
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y
, es decir, si
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S
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y
v 1 se dice que se
trata de un juego de suma cero. La Matriz de pagos se pueden entonces resumir
registrando la ganancia del jugador 1, por ejemplo :
11 12 13 1 1 21 22 23 2 2 31 32 33 3 3
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j n j n j n
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L L
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M M M M O M O M M M M M M M M M
L L
Jugador 1
Jugador 2
Teoría de los Juegos // @JackFlash
El juego así definido consiste en que el jugador 1 escoge “filas” en tanto que el
jugador 2 escoge “columnas” buscando hacer máximos sus pagos. Con Von
Neumann y Morgenstern, los jugadores elegirán de acuerdo con una regla
específica:
El Jugador 1 escogerá la estrategia i que le maximiza el mínimo pago posible que le
permite adquirir el jugador 2, es decir, resuelve e l siguiente problema:
max
ú
min
-
ú-
El Jugador 2 sabiendo que su oponente seleccionará la fila con el mayor pago, tratará
de minimizar este resultado escogiendo aquella colu mna que hará mínimas sus
pérdidas resolviendo el siguiente problema:
min
-
max
ú
ú-
Encontrando de este modo una estrategia minimax que le genera un pago $
y
que es, a
su turno, la ventaja que el jugador 2 obtiene por j ugar el juego
El juego así definido consiste en que el jugador 1 escoge “filas” en tanto que el
jugador 2 escoge “columnas” buscando hacer máximos sus pagos. Con Von
Neumann y Morgenstern, los jugadores elegirán de acuerdo con una regla
específica:
El Jugador 1 escogerá la estrategia i que le maximiza el mínimo pago posible que le
permite adquirir el jugador 2, es decir, resuelve e l siguiente problema:
max
ú
min
-
ú-
El Jugador 2 sabiendo que su oponente seleccionará la fila con el mayor pago, tratará
de minimizar este resultado escogiendo aquella colu mna que hará mínimas sus
pérdidas resolviendo el siguiente problema:
min
-
max
ú
ú-
Encontrando de este modo una estrategia minimax que le genera un pago $
y
que es, a
su turno, la ventaja que el jugador 2 obtiene por j ugar el juego
Teoría de los Juegos // @JackFlash
Una posible solución consistente para el juego es aquella estrategia ( i,j) que satisfaga la
condición de maximización de ganancia igual a minim ización de pérdidas, o sea:
$
h
=max
ú
min
-
ú-
v ,uj
-
max
ú
ú-
v g
y
Este valor de equilibrio se denominó punto de silla o valor del juego :
-1
-0.5
0
0.5
1
-1
-0.5
0
0.5
1
-1
-0.5
0
0.5
1
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-0.5
0
0.5
1
Una posible solución consistente para el juego es aquella estrategia ( i,j) que satisfaga la
condición de maximización de ganancia igual a minim ización de pérdidas, o sea:
$
h
=max
ú
min
-
ú-
v ,uj
-
max
ú
ú-
v g
y
Este valor de equilibrio se denominó punto de silla o valor del juego :
-1
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-1
-0.5
0
0.5
1
-1
-0.5
0
0.5
1
Teoría de los Juegos // @JackFlash
Ejemplo: Elecciones (Monsalve & Arévalo, 2005):
Dos candidatos se enfrentan en debate electoral en torno a la promesa de construir
Para una de dos ciudades A, B un sistema de transpo rte masivo (STM). Cada uno de
ellos debe anunciar, no sin costo político, su inic iativa al respecto, buscando el
mayor número de votos posible.
Podemos modelar esta situación como un juego en el que N = {1,2} son los
jugadores (candidato 1 y candidato 2), S1 = S2 = {A , B, O} (Construir el STM en la
ciudad A, construirlo en la ciudad B u omitir el te ma), y la matriz de pagos es:
.45 .50 .40 .60 .55 .50 .45 .55 .40A B O
A
B
O
Candidato 2
Candidato 1
Ejemplo: Elecciones (Monsalve & Arévalo, 2005):
Dos candidatos se enfrentan en debate electoral en torno a la promesa de construir
Para una de dos ciudades A, B un sistema de transpo rte masivo (STM). Cada uno de
ellos debe anunciar, no sin costo político, su inic iativa al respecto, buscando el
mayor número de votos posible.
Podemos modelar esta situación como un juego en el que N = {1,2} son los
jugadores (candidato 1 y candidato 2), S1 = S2 = {A , B, O} (Construir el STM en la
ciudad A, construirlo en la ciudad B u omitir el te ma), y la matriz de pagos es:
.45 .50 .40 .60 .55 .50 .45 .55 .40A B O
A
B
O
Candidato 2
Candidato 1
Teoría de los Juegos // @JackFlash
Si el candidato 1 dice construir el STM en la ciudad A y el candidato 2 promete
construirlo para la ciudad B, cada uno obtendría un 50% de los votos.
Para determinar el valor maximin de este juego suponga inicialmente dada la elecció n
del candidato 1 y búsquese la estrategia del candid ato 2 que minimiza el pago del
candidato 1. Como consecuencia de esta política, el candidato 2,
independientemente de la elección del candidato 1, deberá omitir el tema [que tiene
los pagos más bajos para el candidato 1: (A,O)=.40 , (B,O)=.50 y (O,O)=.40 ]
Como el candidato 1 debe ahora maximizar su mínimo pago, deberá elegir Construir el
STM a la ciudad B. El valor maxmin del juego, v
1
= .50.
.45 .50 .40 .60 .55 .50 .45 .55 .40A B O
A
B
O
Candidato 2
Candidato 1
2 1
maxmin
ij
u
Si el candidato 1 dice construir el STM en la ciudad A y el candidato 2 promete
construirlo para la ciudad B, cada uno obtendría un 50% de los votos.
Para determinar el valor maximin de este juego suponga inicialmente dada la elecció n
del candidato 1 y búsquese la estrategia del candid ato 2 que minimiza el pago del
candidato 1. Como consecuencia de esta política, el candidato 2,
independientemente de la elección del candidato 1, deberá omitir el tema [que tiene
los pagos más bajos para el candidato 1: (A,O)=.40 , (B,O)=.50 y (O,O)=.40 ]
Como el candidato 1 debe ahora maximizar su mínimo pago, deberá elegir Construir el
STM a la ciudad B. El valor maxmin del juego, v
1
= .50.
.45 .50 .40 .60 .55 .50 .45 .55 .40A B O
A
B
O
Candidato 2
Candidato 1
2 1
maxmin
ij
u
Teoría de los Juegos // @JackFlash
En el otro extremo, la definición del valor minimax del juego, empieza por
encontrar los máximos valores de pago para el candi dato 1: (B,A)=.60, (B,B)=.55, y
(B,O)=.55:
El candidato 2 debe minimizar estos pagos por lo qu e su elección debería ser “Omitir
el tema” que, a la luz de la elección del candidato 1 da ( B,O)=.50. El valor minmax
del juegos es, por tanto v
2
= 0.5 = v
1
.
.45 .50 .40 .60 .55 .50 .45 .55 .40A B O
A
B
O
Candidato 2
Candidato 1
21
minmax
ij
u
En el otro extremo, la definición del valor minimax del juego, empieza por
encontrar los máximos valores de pago para el candi dato 1: (B,A)=.60, (B,B)=.55, y
(B,O)=.55:
El candidato 2 debe minimizar estos pagos por lo qu e su elección debería ser “Omitir
el tema” que, a la luz de la elección del candidato 1 da ( B,O)=.50. El valor minmax
del juegos es, por tanto v
2
= 0.5 = v
1
.
.45 .50 .40 .60 .55 .50 .45 .55 .40A B O
A
B
O
Candidato 2
Candidato 1
21
minmax
ij
u
Teoría de los Juegos // @JackFlash
Ejemplo: Un modo de saber si el juego tiene un saddle point consiste en computar
los mínimos de cada fila y los máximos de cada colu mna para encontrar el número
de la matriz que sea el menor de su fila y el máximo de su columna. Considere la
siguiente matriz de juego (Fidalgo, 2005: 3):
Movistar
Entphone
Underhill
Windtel
Min
Movistar
10
-
20
-
5
-
10
-
20
Entphone
15
10
-
5
-
5
-
5
Underhill
30
40
-
10
-
5
-
10
Windtel
25
25
-
30
-
20
-
30
PhoneCasie
10
-
20
15
-
5
-
20
Max
30
40
15
-
5
En -5 hay un punto de silla y corresponde a la elec ción (EntPhone,Windtel) y
ninguno de los jugadores puede beneficiarse de un c ambio unilateral. Fila pierde $5
como mal menor y columna gana $5 seguros
Ejemplo: Un modo de saber si el juego tiene un saddle point consiste en computar
los mínimos de cada fila y los máximos de cada colu mna para encontrar el número
de la matriz que sea el menor de su fila y el máximo de su columna. Considere la
siguiente matriz de juego (Fidalgo, 2005: 3):
Movistar
Entphone
Underhill
Windtel
Min
Movistar
10
-
20
-
5
-
10
-
20
Entphone
15
10
-
5
-
5
-
5
Underhill
30
40
-
10
-
5
-
10
Windtel
25
25
-
30
-
20
-
30
PhoneCasie
10
-
20
15
-
5
-
20
Max
30
40
15
-
5
En -5 hay un punto de silla y corresponde a la elec ción (EntPhone,Windtel) y
ninguno de los jugadores puede beneficiarse de un c ambio unilateral. Fila pierde $5
como mal menor y columna gana $5 seguros
Teoría de los Juegos // @JackFlash
En contraste, la siguiente matriz de juego, no tien e punto de silla (en estrategias
puras):
Movistar
Entphone
Underhill
Windtel
Min
Movistar
10
-
20
-
5
-
1
-
20
Entphone
15 10 -5 -10 -10
Underhill 30 40 -10 5 -10
Windtel
25
25
-
30
-
20
-
30
PhoneCasie
10 -20 15 -5 -20
Max 30 40 15 5
En contraste, la siguiente matriz de juego, no tien e punto de silla (en estrategias
puras):
Movistar
Entphone
Underhill
Windtel
Min
Movistar
10
-
20
-
5
-
1
-
20
Entphone
15 10 -5 -10 -10
Underhill 30 40 -10 5 -10
Windtel
25
25
-
30
-
20
-
30
PhoneCasie
10 -20 15 -5 -20
Max 30 40 15 5
Teoría de los Juegos // @JackFlash
Ejemplo.— Encontrando Soluciones MiniMax con GAMS. La Siguiente pieza de
código GAMS sugiere una forma de encontrar el valor de un juego usando las
funciones smin() y smax() de ese lenguaje de computación técnica:
set
i
Probabilidades
/1*3/
j
Probabilidades
/1*3/
;
alias
(i,k);
alias
(j,l);
table
A0(i,j)
Pagos
1 2 3
1 3 -1 -3
2 -3 3 1
3 -4 -3 3
;
parameter
minrow(i)
Valor Mínimo Fila
maxcol(j)
Valor Máximo Fila
minr
Mínimo de los Valores Fila
maxc
Máximo de los Valores Columna
;
minrow(i) = smin(j, a0(i,j));
maxcol(j) = smax(i, a0(i,j));
minr = smin(i, minrow(i));
maxc = smax(j, maxcol(j));
display
A0, minrow, maxcol, minr, maxc;
if
(
abs(
minr-maxc)>0,
display
'No Saddle Point Solution
Exist'
;
else
if
( minr=maxc,
display
'Existe una Solución MaxMin de
estrategias puras en:'
, minr;
)
);
Ejemplo.— Encontrando Soluciones MiniMax con GAMS. La Siguiente pieza de
código GAMS sugiere una forma de encontrar el valor de un juego usando las
funciones smin() y smax() de ese lenguaje de computación técnica:
set
i
Probabilidades
/1*3/
j
Probabilidades
/1*3/
;
alias
(i,k);
alias
(j,l);
table
A0(i,j)
Pagos
1 2 3
1 3 -1 -3
2 -3 3 1
3 -4 -3 3
;
parameter
minrow(i)
Valor Mínimo Fila
maxcol(j)
Valor Máximo Fila
minr
Mínimo de los Valores Fila
maxc
Máximo de los Valores Columna
;
minrow(i) = smin(j, a0(i,j));
maxcol(j) = smax(i, a0(i,j));
minr = smin(i, minrow(i));
maxc = smax(j, maxcol(j));
display
A0, minrow, maxcol, minr, maxc;
if
(
abs(
minr-maxc)>0,
display
'No Saddle Point Solution
Exist'
;
else
if
( minr=maxc,
display
'Existe una Solución MaxMin de
estrategias puras en:'
, minr;
)
);
Teoría de los Juegos // @JackFlash
Ejemplo: Matching Pennies (Monsalve & Arévalo, 2005):
Dos jugadores tiran dos monedas al áire para ver so bre qué costado caen. Si caen
con las dos caras o los dos sellos hacia arriba, el jugador 2 (jugador columna
entregará su moneda al jugador 1 (jugador fila). Si las monedas caen, una mostrando
la cara y la otra el sello ( o viceversa), será el jugador 1 quien deberá entregar su
moneda al jugador 2. En este caso se tendrá:
a vi1,2, o
h
v o
y
vi.:t:noxóóA
Y la representación del Juego es:
Jugador 2
Cara Sello
Jugador 1 Cara1, -1 -1, 1
Sello-1, 1 1,-1
Jugador 2
Cara Sello
Jugador 1 Cara1 -1
Sello-1 1
Ejemplo: Matching Pennies (Monsalve & Arévalo, 2005):
Dos jugadores tiran dos monedas al áire para ver so bre qué costado caen. Si caen
con las dos caras o los dos sellos hacia arriba, el jugador 2 (jugador columna
entregará su moneda al jugador 1 (jugador fila). Si las monedas caen, una mostrando
la cara y la otra el sello ( o viceversa), será el jugador 1 quien deberá entregar su
moneda al jugador 2. En este caso se tendrá:
a vi1,2, o
h
v o
y
vi.:t:noxóóA
Y la representación del Juego es:
Jugador 2
Cara Sello
Jugador 1 Cara1, -1 -1, 1
Sello-1, 1 1,-1
Jugador 2
Cara Sello
Jugador 1 Cara1 -1
Sello-1 1
Teoría de los Juegos // @JackFlash
Es decir, los pagos son: +
r
//
=l r
/c
a Pl
r
c/
a Pl r
cc
a l
,
Los valores del juego para los jugadores 1,2 se computan como sigue:
$
/
a :pw
t
min
.
a :pwdr
/c
a Pler
c/
a Pla Pl
$
c
a :by
.
max
t
a :bydr
//
a ler
cc
a la l
Donde, como es claro $
/
- $
c
y no hay valor minimax del juego.
Jugador 2
Cara Sello
Jugador 1
Cara1 -1
Sello-1 1
Es decir, los pagos son: +
r
//
=l r
/c
a Pl
r
c/
a Pl r
cc
a l
,
Los valores del juego para los jugadores 1,2 se computan como sigue:
$
/
a :pw
t
min
.
a :pwdr
/c
a Pler
c/
a Pla Pl
$
c
a :by
.
max
t
a :bydr
//
a ler
cc
a la l
Donde, como es claro $
/
- $
c
y no hay valor minimax del juego.
Jugador 2
Cara Sello
Jugador 1
Cara1 -1
Sello-1 1
Teoría de los Juegos // @JackFlash
Ejemplo: Piedra, Papel, Tijera (Monsalve & Arévalo, 2005): Dos niños juegan
monedas de $1 a la piedra, papel, tijera. Las regla s de este conocido juego son como
sigue (por si alguien no las recuerda):
Papel Envuelve Piedra;
Tijera Corta Papel;
Piedra Rompe Tijera.
La matriz de juego es:
Jugador 2
Piedra Papel Tijera
Jugador 2Piedra0 -1 1
Papel1 0 -1
Tijera-1 1 0
Ejemplo: Piedra, Papel, Tijera (Monsalve & Arévalo, 2005): Dos niños juegan
monedas de $1 a la piedra, papel, tijera. Las regla s de este conocido juego son como
sigue (por si alguien no las recuerda):
Papel Envuelve Piedra;
Tijera Corta Papel;
Piedra Rompe Tijera.
La matriz de juego es:
Jugador 2
Piedra Papel Tijera
Jugador 2Piedra0 -1 1
Papel1 0 -1
Tijera-1 1 0
Teoría de los Juegos // @JackFlash
El jugador 1 deberá hallar aquella(s) estrategia(s) que maximiz a(n) los pagos
(mínimos) que con su elección estratégica, le permi te el jugador 2:
$
h
= max
ú
min
-
ú-
= maxi
hy
v Ssn
y“
v Ssn
“h
= −1= −1
En tanto que en el caso del jugador 2,
$
y
= min
-
max
ú
ú-
= mini
yh
v sn
“y
v sn
hy
= 1= 1
De nuevo, en este caso, $
h
≠ $
y
y no hay valor minimax del juego.
El jugador 1 deberá hallar aquella(s) estrategia(s) que maximiz a(n) los pagos
(mínimos) que con su elección estratégica, le permi te el jugador 2:
$
h
= max
ú
min
-
ú-
= maxi
hy
v Ssn
y“
v Ssn
“h
= −1= −1
En tanto que en el caso del jugador 2,
$
y
= min
-
max
ú
ú-
= mini
yh
v sn
“y
v sn
hy
= 1= 1
De nuevo, en este caso, $
h
≠ $
y
y no hay valor minimax del juego.
Teoría de los Juegos // @JackFlash
El Principio de Solución sugerido por Von Neumann y Morgenstern presenta
entonces un difícil inconveniente por resolver porq ue el modelo no siempre tendrá
una solución. Sobre esta situación, Monsalve y Arév alo (2005) comentan:
Lo sucedido en los ejemplos clásicos de “Tirar la M oneda” y “Piedra-Papel-Tijera”
obligó a los autores del Theory of Games a tomar un a decisión: o aceptaban el hecho
de que los valores minimax no siempre existen (así que, en general, cierta
indeterminación estaría presente en el análisis de múltiples situaciones de interacción
entre agentes racionales) o se deshacían de la inde terminación mediante una
modificación ingeniosa del proceso que conduce a la elección de la estrategia
apropiada.
2
(Monsalve & Arévalo, 2005: 21)
Dicha modificación consiste en dejar de lado la ele cción sobre estrategias puras
,
asignando a cada una de ellas un grado de certidumb re/incertidumbre descrito por
una función de probabilidad específica. Solo por fo rmalizar, tengamos en cuenta la
siguiente definición:
2
Monsalve, S. y J. Arévalo (2005): Un Curso de teor ía de Juegos Clásica. Bogotá: universidad Externado de Colombia.
El Principio de Solución sugerido por Von Neumann y Morgenstern presenta
entonces un difícil inconveniente por resolver porq ue el modelo no siempre tendrá
una solución. Sobre esta situación, Monsalve y Arév alo (2005) comentan:
Lo sucedido en los ejemplos clásicos de “Tirar la M oneda” y “Piedra-Papel-Tijera”
obligó a los autores del Theory of Games a tomar un a decisión: o aceptaban el hecho
de que los valores minimax no siempre existen (así que, en general, cierta
indeterminación estaría presente en el análisis de múltiples situaciones de interacción
entre agentes racionales) o se deshacían de la inde terminación mediante una
modificación ingeniosa del proceso que conduce a la elección de la estrategia
apropiada.
2
(Monsalve & Arévalo, 2005: 21)
Dicha modificación consiste en dejar de lado la ele cción sobre estrategias puras
,
asignando a cada una de ellas un grado de certidumb re/incertidumbre descrito por
una función de probabilidad específica. Solo por fo rmalizar, tengamos en cuenta la
siguiente definición:
2
Monsalve, S. y J. Arévalo (2005): Un Curso de teor ía de Juegos Clásica. Bogotá: universidad Externado de Colombia.
Teoría de los Juegos // @JackFlash
Definición
: Estrategia Mixta .— Una estrategia mixta para el jugador 1 es un vec tor de
probabilidades / =M/
h
,⋯,/
ú
,…,/
1
I donde /
ú
ӎ v snLnp es la probabilidad de
que el jugador 1 juegue la estrategia é, con /
ú
≥ 0 y ∑/
ú
= 1
1
úíh
. En forma paralela,
una estrategia mixta para el jugador 2 es un vector 6 =76
h
,…,6
-
,…,6
f
8 de
probabilidades donde 6
-
es la probabilidad de que el jugador 2 juegue la j-ésima
estrategia a su disposición, ”N v snLnp, con 6
-
≥ 0 y ∑6
-
= 1
f
-íh
.
Definición
: Estrategia Mixta .— Una estrategia mixta para el jugador 1 es un vec tor de
probabilidades / =M/
h
,⋯,/
ú
,…,/
1
I donde /
ú
ӎ v snLnp es la probabilidad de
que el jugador 1 juegue la estrategia é, con /
ú
≥ 0 y ∑/
ú
= 1
1
úíh
. En forma paralela,
una estrategia mixta para el jugador 2 es un vector 6 =76
h
,…,6
-
,…,6
f
8 de
probabilidades donde 6
-
es la probabilidad de que el jugador 2 juegue la j-ésima
estrategia a su disposición, ”N v snLnp, con 6
-
≥ 0 y ∑6
-
= 1
f
-íh
.
Teoría de los Juegos // @JackFlash
M En Hillas (1998), el concepto de estrategia mixta, puede estar asociado a
la incertidumbre presente en la mente de los otros jugadores respecto de
lo que el jugador bajo examen hará realmente.
M Pero quizás, de nuevo con Hillas, lo más importante es la idea de
extender la función de utilidad de un jugador de aq uella definida por el
perfil de estrategias puras de un jugador a aquella s que se definen sobre
las estrategias mixtas disponibles para un jugador. Si u
n
representa la
utilidad esperada del jugador n como función de un perfil de estrategias
mixtas:
B vMB
h
nB
y
nLnB
f
I
M Entonces
f
MBI es el valor esperado de
f
MBI cuando B es una variable
aleatoria con distribución B.
M En Hillas (1998), el concepto de estrategia mixta, puede estar asociado a
la incertidumbre presente en la mente de los otros jugadores respecto de
lo que el jugador bajo examen hará realmente.
M Pero quizás, de nuevo con Hillas, lo más importante es la idea de
extender la función de utilidad de un jugador de aq uella definida por el
perfil de estrategias puras de un jugador a aquella s que se definen sobre
las estrategias mixtas disponibles para un jugador. Si u
n
representa la
utilidad esperada del jugador n como función de un perfil de estrategias
mixtas:
B vMB
h
nB
y
nLnB
f
I
M Entonces
f
MBI es el valor esperado de
f
MBI cuando B es una variable
aleatoria con distribución B.
Teoría de los Juegos // @JackFlash
Para dos jugadores 1 y 2 supongamos que existen distribuciones de
probabilidad / para el jugador 1, y 6 para el jugador 2. En particular
tomemos:
/
9
=M/
h
,/
y
,…,/
1
I,:/
ú
1
úíh
=1,/
ú
∈<0,1=HHH”éH
6
9
=M6
h
,6
y
,…,6
f
I,:6
-
f
-íh
=1,6
-
∈<0,1=HHH”NH
/
ú
es la probabilidad de elegir la estrategia i por parte del jugador 1mientras
que 6
-
es la probabilidad de elegir la estrategia j por parte del jugador 2.
El valor esperado de una estrategia mixta es una co mbinación lineal de los
pagos que para un jugador representan las estrategi as disponibles por las
probabilidades asociadas a cada una de ellas.
Para dos jugadores 1 y 2 supongamos que existen distribuciones de
probabilidad / para el jugador 1, y 6 para el jugador 2. En particular
tomemos:
/
9
=M/
h
,/
y
,…,/
1
I,:/
ú
1
úíh
=1,/
ú
∈<0,1=HHH”éH
6
9
=M6
h
,6
y
,…,6
f
I,:6
-
f
-íh
=1,6
-
∈<0,1=HHH”NH
/
ú
es la probabilidad de elegir la estrategia i por parte del jugador 1mientras
que 6
-
es la probabilidad de elegir la estrategia j por parte del jugador 2.
El valor esperado de una estrategia mixta es una co mbinación lineal de los
pagos que para un jugador representan las estrategi as disponibles por las
probabilidades asociadas a cada una de ellas.
Teoría de los Juegos // @JackFlash
Así, por ejemplo, para los jugadores 1 y 2 tendremos, respectivamente:
?MPnNI= /
h
h-
+/
y
y-
+,…+/
1
á-
?MVnéI= 6
h
úh
+6
y
úy
+,…+6
f
úf
Los jugadores deberán procurar elegir probabilidade s adecuadas para resolver:
max
A
min
-
?MPnNI
En el caso del jugador 1, y
min
B
max
ú
?MVnéI
Entonces / y 6 son una solución del juego (punto de silla del juego). El valor esperado
del juego, dadas las probabilidades / y 6 encontradas es, justamente, el valor minimax
del juego.
Así, por ejemplo, para los jugadores 1 y 2 tendremos, respectivamente:
?MPnNI= /
h
h-
+/
y
y-
+,…+/
1
á-
?MVnéI= 6
h
úh
+6
y
úy
+,…+6
f
úf
Los jugadores deberán procurar elegir probabilidade s adecuadas para resolver:
max
A
min
-
?MPnNI
En el caso del jugador 1, y
min
B
max
ú
?MVnéI
Entonces / y 6 son una solución del juego (punto de silla del juego). El valor esperado
del juego, dadas las probabilidades / y 6 encontradas es, justamente, el valor minimax
del juego.
Teoría de los Juegos // @JackFlash
Ejemplo: Matching Pennies Otra Vez . — Consideremos de nuevo el juego de las dos
monedas pero ahora tengamos en cuenta que los juga dores tienen distribuciones de
probabilidad p y q con elementos correspondientes a cada una de las es trategias
puras del juego:
Para el jugador 1 el valor esperado del juego se calcula como sigue:
?M/,%&'&Iv PM1I@MsSPIMSsIv PSsFP v bPFs
?MPnoxóóAIv PMSsI@MsSPIM1Iv SPFsSP v SbPFs
Gráficamente,
[q] [1-q]
Cara Sello
[p]Cara 1 -1
[1-q]Sello -1 1
J2
J1
Ejemplo: Matching Pennies Otra Vez . — Consideremos de nuevo el juego de las dos
monedas pero ahora tengamos en cuenta que los juga dores tienen distribuciones de
probabilidad p y q con elementos correspondientes a cada una de las es trategias
puras del juego:
Para el jugador 1 el valor esperado del juego se calcula como sigue:
?M/,%&'&Iv PM1I@MsSPIMSsIv PSsFP v bPFs
?MPnoxóóAIv PMSsI@MsSPIM1Iv SPFsSP v SbPFs
Gráficamente,
[q] [1-q]
Cara Sello
[p]Cara 1 -1
[1-q]Sello -1 1
J2
J1
Teoría de los Juegos // @JackFlash
En el eje x aparece el conjunto de salida que es la distribuci ón p; el conjunto de
salida es el valor esperado del juego. La función m in{ E(p, cara), E(p, sello) } es
justamente la línea gruesa resaltada.
-1.0
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
-
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0.000
0.125
0.250
0.375
0.500
0.625
0.750
0.875
1.000
E(p, cara) E(p, sello) min{ E(p,cara), E(p, sello)}
En el eje x aparece el conjunto de salida que es la distribuci ón p; el conjunto de
salida es el valor esperado del juego. La función m in{ E(p, cara), E(p, sello) } es
justamente la línea gruesa resaltada.
-1.0
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
-
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0.000
0.125
0.250
0.375
0.500
0.625
0.750
0.875
1.000
E(p, cara) E(p, sello) min{ E(p,cara), E(p, sello)}
Teoría de los Juegos // @JackFlash
En particular, para esta función tendremos:
?M/I=+
bPSsHHHBéHHP U sJb
SbPFsHHHHBéHP q sJb
,
Recuerde que el jugador 1 deberá elegir apropiadame nte valores de p que resuelvan:
max
A
min
-
?MPnNI
Esto es, debe encontrar p que haga a E(p) lo más grande posible. El examen de la
gráfica, y en especial, de la función de mínimo, pe rmite deducir que este valor es
cero (v
1
=0) y se obtiene cuando la probabilidad p es igual a ½.
En particular, para esta función tendremos:
?M/I=+
bPSsHHHBéHHP U sJb
SbPFsHHHHBéHP q sJb
,
Recuerde que el jugador 1 deberá elegir apropiadame nte valores de p que resuelvan:
max
A
min
-
?MPnNI
Esto es, debe encontrar p que haga a E(p) lo más grande posible. El examen de la
gráfica, y en especial, de la función de mínimo, pe rmite deducir que este valor es
cero (v
1
=0) y se obtiene cuando la probabilidad p es igual a ½.
Teoría de los Juegos // @JackFlash
En el caso del jugador 2, este deberá resolver el p roblema contrario: minimizar el
máximo pago para el jugador 2 eligiendo la probabil idad q adecuada
. En particular,
los valores esperados del juego, cuando el jugador 1 juega “cara” o “sello” son:
?M6,%&'&I= 6M1I+M1−6IM−1I= 6−1+6 = 26−1
?MVnoxóóAI= 6M−1I+M1−6IM+1I= −6+1−6 = −26+1
La solución para este jugador es la misma para el j ugador 1: v
2
=0 cuando q = ½.
Como conclusión el valor del juego v = v1 = v2 = 0, y se alcanza cuando p = q = ½.
En el caso del jugador 2, este deberá resolver el p roblema contrario: minimizar el
máximo pago para el jugador 2 eligiendo la probabil idad q adecuada
. En particular,
los valores esperados del juego, cuando el jugador 1 juega “cara” o “sello” son:
?M6,%&'&I= 6M1I+M1−6IM−1I= 6−1+6 = 26−1
?MVnoxóóAI= 6M−1I+M1−6IM+1I= −6+1−6 = −26+1
La solución para este jugador es la misma para el j ugador 1: v
2
=0 cuando q = ½.
Como conclusión el valor del juego v = v1 = v2 = 0, y se alcanza cuando p = q = ½.
Teoría de los Juegos // @JackFlash
Ejemplo: Piedra, Papel y Tijera, Otra Vez .— Asignemos las distribuciones de
probabilidad p y q a los jugadores 1 y 2, respectivamente de manera qu e la matriz de
juego, incluyendo estas probabilidades queda:
Los valores esperados para el Jugador 1, dadas las distintas posibles elecciones del
jugador 2 son:
?M/nwéxFt:IvM0I/
h
@M1I/
y
@MSsIMsSP
h
SP
y
Iv P
h
@2/
y
Ss
?M/,E&/()IvMSsI/
h
@M0I/
y
@M1IMsSP
h
SP
y
Iv SbP
h
SP
y
@1
?MPnGéNxt:IvM1I/
h
@MSsI/
y
@M0IMsSP
h
SP
y
Iv P
h
@/
y
Jugador 2 [q1] [q2] [1-q1-q2]
Piedra Papel Tijera
[p1]Piedra 0 -1 1
[p2]Papel 1 0 -1
[1-p1-p2]Tijera -1 1 0
Ejemplo: Piedra, Papel y Tijera, Otra Vez .— Asignemos las distribuciones de
probabilidad p y q a los jugadores 1 y 2, respectivamente de manera qu e la matriz de
juego, incluyendo estas probabilidades queda:
Los valores esperados para el Jugador 1, dadas las distintas posibles elecciones del
jugador 2 son:
?M/nwéxFt:IvM0I/
h
@M1I/
y
@MSsIMsSP
h
SP
y
Iv P
h
@2/
y
Ss
?M/,E&/()IvMSsI/
h
@M0I/
y
@M1IMsSP
h
SP
y
Iv SbP
h
SP
y
@1
?MPnGéNxt:IvM1I/
h
@MSsI/
y
@M0IMsSP
h
SP
y
Iv P
h
@/
y
Jugador 2 [q1] [q2] [1-q1-q2]
Piedra Papel Tijera
[p1]Piedra 0 -1 1
[p2]Papel 1 0 -1
[1-p1-p2]Tijera -1 1 0
Teoría de los Juegos // @JackFlash
Recuerde otra vez que el Jugador 1 deberá escoger p robabilidades p que le permitan
resolver:
max
A
min
-
?MPnNI
En este caso, la función de mínimo es, precisamente ,
mini?MPnwéxFt:I,?M/,E&/()I,?MPnGéNxt:IT
O sea,
péei4/
h
+2/
y
−1=,<−2/
h
−/
y
+1=,</
h
+/
y
=
Es fácil comprobar que:
péei4/
h
+ 2/
y
− 1=,<−2/
h
− /
y
+1=,</
h
+ /
y
==
HIJIK
/
h
+ 2/
y
−1 ↔ 0 ≤ /
h
,/
y
≤
h
.
−2/
h
−/
y
+1 ↔
h
.
≤ /
h
,
y
.
− /
h
≤ /
y
≤ 1
/
h
+ /
y
↔ /
h
∈ M0,
h
.
N,/
y
; M
h
.
,1=
,
Recuerde otra vez que el Jugador 1 deberá escoger p robabilidades p que le permitan
resolver:
max
A
min
-
?MPnNI
En este caso, la función de mínimo es, precisamente ,
mini?MPnwéxFt:I,?M/,E&/()I,?MPnGéNxt:IT
O sea,
péei4/
h
+2/
y
−1=,<−2/
h
−/
y
+1=,</
h
+/
y
=
Es fácil comprobar que:
péei4/
h
+ 2/
y
− 1=,<−2/
h
− /
y
+1=,</
h
+ /
y
==
HIJIK
/
h
+ 2/
y
−1 ↔ 0 ≤ /
h
,/
y
≤
h
.
−2/
h
−/
y
+1 ↔
h
.
≤ /
h
,
y
.
− /
h
≤ /
y
≤ 1
/
h
+ /
y
↔ /
h
∈ M0,
h
.
N,/
y
; M
h
.
,1=
,
Teoría de los Juegos // @JackFlash
Gráficamente,
-1
-0.5
0
0.5
1
-1
-0.5
0
0.5
1
-4-2
02
4
-1
-0.5
0
0.5
1
-1
-0.5
0
0.5
1
-1
-0.5
0
0.5
1
-4-2
024
-1
-0.5
0
0.5
1
-1
-0.5
0
0.5
1
-1
-0.5
0
0.5
1
-1
-0.5
0
0.5
1
-4
-202
4
-1
-0.5
0
0.5
1
-1
-0.5
0
0.5
1
Gráficamente,
-1
-0.5
0
0.5
1
-1
-0.5
0
0.5
1
-4-2
02
4
-1
-0.5
0
0.5
1
-1
-0.5
0
0.5
1
-1
-0.5
0
0.5
1
-4-2
024
-1
-0.5
0
0.5
1
-1
-0.5
0
0.5
1
-1
-0.5
0
0.5
1
-1
-0.5
0
0.5
1
-4
-202
4
-1
-0.5
0
0.5
1
-1
-0.5
0
0.5
1
Teoría de los Juegos // @JackFlash
Los valores mínimos de los valores esperados del ju ego son negativos en las
regiones especificadas y, consecuentemente, el máxi mo valor de esa función de
mínimo es cero: ¿Cómo se resuelve el problema?
La respuesta consiste en buscar donde se anula E(p) igualando las funciones
encontradas, esto es, donde:
</
h
+2/
y
−1==<−2/
h
− /
y
+1==</
h
+ /
y
=
Tomando las dos primeras ecuaciones
/
h
+2/
y
− 1 = −2/
h
−/
y
+ 1 ∴ /
y
=
h
.
Note que ?M/I= /
h
+ /
y
= 0 ↔ /
h
= /
y
→ /
h
=
P
Q
, por lo cual 1 − /
h
− /
y
=
P
Q
El estudiante deberá comprobar que esto sucede igua l para el jugador 2 y que, en efecto, v1
= v2 = 0, que es un valor que se alcanza cuando se juega piedra, papel o tijera con la misma
probabilidad (1/3).
Los valores mínimos de los valores esperados del ju ego son negativos en las
regiones especificadas y, consecuentemente, el máxi mo valor de esa función de
mínimo es cero: ¿Cómo se resuelve el problema?
La respuesta consiste en buscar donde se anula E(p) igualando las funciones
encontradas, esto es, donde:
</
h
+2/
y
−1==<−2/
h
− /
y
+1==</
h
+ /
y
=
Tomando las dos primeras ecuaciones
/
h
+2/
y
− 1 = −2/
h
−/
y
+ 1 ∴ /
y
=
h
.
Note que ?M/I= /
h
+ /
y
= 0 ↔ /
h
= /
y
→ /
h
=
P
Q
, por lo cual 1 − /
h
− /
y
=
P
Q
El estudiante deberá comprobar que esto sucede igua l para el jugador 2 y que, en efecto, v1
= v2 = 0, que es un valor que se alcanza cuando se juega piedra, papel o tijera con la misma
probabilidad (1/3).
Teoría de los Juegos // @JackFlash
Ejemplo (Monsalve & Arévalo, 2005): Dada la siguiente matri z de pagos, determine el valor
del juego:
Para el Jugador 1, se tendrá:
? /,&ía R0@s lP0ía 0@s
? /,Sía T0
? /,Uía 0@R lP0ía Ps0@R
Con la tabla y el gráfico a continuación, determina remos el valor de:
mind</@2=,<4/=,<Ps0@R=
Jugador 2[q
1
] [q
2]
] [1-q
1
-q
2
]
Jugador 1 a b c
[p]A 3 4 1
[1-p]B 2 0 3
Ejemplo (Monsalve & Arévalo, 2005): Dada la siguiente matri z de pagos, determine el valor
del juego:
Para el Jugador 1, se tendrá:
? /,&ía R0@s lP0ía 0@s
? /,Sía T0
? /,Uía 0@R lP0ía Ps0@R
Con la tabla y el gráfico a continuación, determina remos el valor de:
mind</@2=,<4/=,<Ps0@R=
Jugador 2[q
1
] [q
2]
] [1-q
1
-q
2
]
Jugador 1 a b c
[p]A 3 4 1
[1-p]B 2 0 3
Teoría de los Juegos // @JackFlash
Para así determinar $
/
=max
.
min
t
d? /,&íe? 0eS ae? 0eUí
E(p,a)E(p,b)E(p,c)
p+2 4p -2p + 3min { . }
0.125 2.125 0.500 2.750 0.500
0.250 2.250 1.000 2.500 1.000
0.375 2.375 1.500 2.250 1.500
0.500 2.500 2.000 2.000 2.000
0.625 2.625 2.500 1.750 1.750
0.750 2.750 3.000 1.500 1.500
0.875 2.875 3.500 1.250 1.250
1.000 3.000 4.000 1.000 1.000
p
0.500
1.000
1.500
2.000
2.500
3.000
3.500
4.000
4.500
12.5% 25.0% 37.5% 50.0% 62.5% 75.0% 87.5% 100.0%
p
E(p)
p+2
4p
-2p + 3
min { . }
Para así determinar $
/
=max
.
min
t
d? /,&íe? 0eS ae? 0eUí
E(p,a)E(p,b)E(p,c)
p+2 4p -2p + 3min { . }
0.125 2.125 0.500 2.750 0.500
0.250 2.250 1.000 2.500 1.000
0.375 2.375 1.500 2.250 1.500
0.500 2.500 2.000 2.000 2.000
0.625 2.625 2.500 1.750 1.750
0.750 2.750 3.000 1.500 1.500
0.875 2.875 3.500 1.250 1.250
1.000 3.000 4.000 1.000 1.000
p
0.500
1.000
1.500
2.000
2.500
3.000
3.500
4.000
4.500
12.5% 25.0% 37.5% 50.0% 62.5% 75.0% 87.5% 100.0%
p
E(p)
p+2
4p
-2p + 3
min { . }
Teoría de los Juegos // @JackFlash
Ejemplo: Paramilitares y Guerrilleros (Monsalve & Arévalo, 2005): Actores de un
conflicto armado, Paramilitares y Guerrilleros debe n decidir acerca del número de
comandos armados que deben enviar a dos frentes de batalla: X, Y. Las reglas son
fáciles: el ejercito que más comandos envíe a un fr ente, vence allí.
El ejército paramilitar tiene dos columnas armadas en tanto que el ejercito
guerrillero cuenta con cuatro de esos comandos. Los pagos del ejército paramilitar
dadas diferentes estrategias disponibles para cada ejercito en relación con el frente
de batalla X:
GuerrillaEstrategia j
Paras0 1 2 3 4
i0-1 -2 -1 0 0
10 -1 -2 -1 0
20 0 -1 -2 -1
Ejemplo: Paramilitares y Guerrilleros (Monsalve & Arévalo, 2005): Actores de un
conflicto armado, Paramilitares y Guerrilleros debe n decidir acerca del número de
comandos armados que deben enviar a dos frentes de batalla: X, Y. Las reglas son
fáciles: el ejercito que más comandos envíe a un fr ente, vence allí.
El ejército paramilitar tiene dos columnas armadas en tanto que el ejercito
guerrillero cuenta con cuatro de esos comandos. Los pagos del ejército paramilitar
dadas diferentes estrategias disponibles para cada ejercito en relación con el frente
de batalla X:
GuerrillaEstrategia j
Paras0 1 2 3 4
i0-1 -2 -1 0 0
10 -1 -2 -1 0
20 0 -1 -2 -1
Teoría de los Juegos // @JackFlash
Note que si los paramilitares envían una columna al frente X, y los guerrilleros no
envían ninguna allí, los paras evidentemente se ano tarán una victoria en ese frente;
pero al mismo tiempo los guerrilleros enviarán toda s sus columnas frente Y donde
ganarán: el pago es cero porque se observa un empat e.
Además, como Monsalve y Arévalo hacen notar, al eje rcito guerrillero le resultará
igualmente redituable enviar 0 o 1 columnas al fren te X; enviar un ejercito al frente X es
al menos tan bueno como no enviar ninguno. Al mismo tiempo, enviar 4 columnas al frente Y es
al menos tan bueno como enviar 3 .
Guerrilla
Estrategia j
Paras0 1 2 3 4
i0-1 -2 -1 0 0
10 -1 -2 -1 0
20 0 -1 -2 -1
Note que si los paramilitares envían una columna al frente X, y los guerrilleros no
envían ninguna allí, los paras evidentemente se ano tarán una victoria en ese frente;
pero al mismo tiempo los guerrilleros enviarán toda s sus columnas frente Y donde
ganarán: el pago es cero porque se observa un empat e.
Además, como Monsalve y Arévalo hacen notar, al eje rcito guerrillero le resultará
igualmente redituable enviar 0 o 1 columnas al fren te X; enviar un ejercito al frente X es
al menos tan bueno como no enviar ninguno. Al mismo tiempo, enviar 4 columnas al frente Y es
al menos tan bueno como enviar 3 .
Guerrilla
Estrategia j
Paras0 1 2 3 4
i0-1 -2 -1 0 0
10 -1 -2 -1 0
20 0 -1 -2 -1
Teoría de los Juegos // @JackFlash
Si p
i es la probabilidad de elegir la i-ésima estrategia por parte del jugador fila
(paramilitares) y q
j es la probabilidad de elegir la j-ésima estrategia por parte del
jugador columna (guerrilleros) , la matriz de pagos (reducida) es:
Guerrilla
j
q
1
q
2
1-q
1
-q
2
Paras1 2 3
i p
1
0-2 -1 0
p
2
1-1 -2 -1
1-p
1
-p
2
20 -1 -2
Si p
i es la probabilidad de elegir la i-ésima estrategia por parte del jugador fila
(paramilitares) y q
j es la probabilidad de elegir la j-ésima estrategia por parte del
jugador columna (guerrilleros) , la matriz de pagos (reducida) es:
Guerrilla
j
q
1
q
2
1-q
1
-q
2
Paras1 2 3
i p
1
0-2 -1 0
p
2
1-1 -2 -1
1-p
1
-p
2
20 -1 -2
Teoría de los Juegos // @JackFlash
Para el jugador fila, el valor del juego es aquel q ue:
$
/
= max
A
min
.
? 0eóí
En este caso concreto:
? /,1í= −2/
/
−/
c
? /,2í= −1−/
c
? /,3í= 2/
/
+/
c
−2
En el caso del jugador 2:
? 0,6í= −26
/
−6
c
? 1,6í= −1−6
c
? 2,6í= 26
/
+6
c
−2
En el caso del jugador 1, al comparar las funciones de valor esperado se se
encuentra fácilmente que, por ejemplo:
−2/
/
−/
c
= −1−/
c
→ −2/
/
= −1 ∴ /
/
=
/
c
,/
c
= 0,1−/
/
−/
c
=
/
c
Para el jugador fila, el valor del juego es aquel q ue:
$
/
= max
A
min
.
? 0eóí
En este caso concreto:
? /,1í= −2/
/
−/
c
? /,2í= −1−/
c
? /,3í= 2/
/
+/
c
−2
En el caso del jugador 2:
? 0,6í= −26
/
−6
c
? 1,6í= −1−6
c
? 2,6í= 26
/
+6
c
−2
En el caso del jugador 1, al comparar las funciones de valor esperado se se
encuentra fácilmente que, por ejemplo:
−2/
/
−/
c
= −1−/
c
→ −2/
/
= −1 ∴ /
/
=
/
c
,/
c
= 0,1−/
/
−/
c
=
/
c
Teoría de los Juegos // @JackFlash
Bajo estas consideraciones, el valor del juego es v 1 = -1, según se corrobora
observando el gráfico de la función,
mini4SbP
h
SP
y
=,<SsSP
y
=,<2/
h
@/
y
Sb=
En donde resulta claro que el máximo valor de dicha función es justamente
-1
cuando, según se ha encontrado, p
1
= 0.5 y p
2
= 0
0
0.25
0.5
0.75
1
p1
0
0.25
0.5
0.75
1
p2
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
EH
pL
0
0.25
0.5
0.75
1
p1
Bajo estas consideraciones, el valor del juego es v 1 = -1, según se corrobora
observando el gráfico de la función,
mini4SbP
h
SP
y
=,<SsSP
y
=,<2/
h
@/
y
Sb=
En donde resulta claro que el máximo valor de dicha función es justamente
-1
cuando, según se ha encontrado, p
1
= 0.5 y p
2
= 0
0
0.25
0.5
0.75
1
p1
0
0.25
0.5
0.75
1
p2
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
EH
pL
0
0.25
0.5
0.75
1
p1
Teoría de los Juegos // @JackFlash
En el caso del ejercito guerrillero, el problema a resolver es:
min
B
max
ú
?MénVI
Para la cual, en este caso,
?M0,6I= −26
h
−6
y
?M1,6I= −1−6
y
?M2,6I= 26
h
+6
y
−2
Y de donde q
1
= 0.5, q
2
= 0, 1 – q
1
- q
2
= 0.5. Para estos valores, v2 = -1 de manera
que:
−1 = $
h
= max
A
min
-
?MPnNI= min
B
max
ú
?MénVI= $
y
= −1
La solución (valor) de este juego de guerra dice se ncillamente que el valor esperado
del conflicto es perder. En particular el ejercito paramilitar debe lanzar u na moneda
para decidir si va con todas sus columnas al frente X o al frente Y, en tanto que el
ejercito guerrillero debe lanzar una moneda para de cidir a cual de los dos frentes
envía tres de sus comandos, enviando el cuarto al o tro.
En el caso del ejercito guerrillero, el problema a resolver es:
min
B
max
ú
?MénVI
Para la cual, en este caso,
?M0,6I= −26
h
−6
y
?M1,6I= −1−6
y
?M2,6I= 26
h
+6
y
−2
Y de donde q
1
= 0.5, q
2
= 0, 1 – q
1
- q
2
= 0.5. Para estos valores, v2 = -1 de manera
que:
−1 = $
h
= max
A
min
-
?MPnNI= min
B
max
ú
?MénVI= $
y
= −1
La solución (valor) de este juego de guerra dice se ncillamente que el valor esperado
del conflicto es perder. En particular el ejercito paramilitar debe lanzar u na moneda
para decidir si va con todas sus columnas al frente X o al frente Y, en tanto que el
ejercito guerrillero debe lanzar una moneda para de cidir a cual de los dos frentes
envía tres de sus comandos, enviando el cuarto al o tro.
Teoría de los Juegos // @JackFlash
El Teorema MinMax
Formalicemos los hallazgos obtenidos a través de lo s ejemplos provistos:
En un juego de suma cero, en el que los intereses d e los jugadores son opuestos y
hay a vi1,2jugadores, el primero con m estrategias y el segundo con n, la
representación del juego admite una representación matricial:
V = W
X
hh
⋯ X
hf
⋮ ⋱ ⋮
X áh
⋯ X
áf
[
Donde X
ú-
es el pago recibido por el jugador 1 cuando juega la estrategia i y el
jugador 2 juega la estrategia j.
El Teorema MinMax
Formalicemos los hallazgos obtenidos a través de lo s ejemplos provistos:
En un juego de suma cero, en el que los intereses d e los jugadores son opuestos y
hay a vi1,2jugadores, el primero con m estrategias y el segundo con n, la
representación del juego admite una representación matricial:
V = W
X
hh
⋯ X
hf
⋮ ⋱ ⋮
X áh
⋯ X
áf
[
Donde X
ú-
es el pago recibido por el jugador 1 cuando juega la estrategia i y el
jugador 2 juega la estrategia j.
Teoría de los Juegos // @JackFlash
Para las distribuciones de probabilidad /
9
=M/
h
,…,/
ú
,…/
1
Iy
6
9
= 76
h
,…,6
-
,…6
f
8
el pago esperado por el jugador 1 (fila) al decidi rse por la
estrategia i, cuando su oponente (jugador columna) decide jugar la estrategia j es:
X
ú-
/
ú
6
-
.
El pago total esperado es, ex ante:
: : X
ú-
/
ú
6
-
1
úíh
f
-íh
En términos matriciales,
6V/
9
Para las distribuciones de probabilidad /
9
=M/
h
,…,/
ú
,…/
1
Iy
6
9
= 76
h
,…,6
-
,…6
f
8
el pago esperado por el jugador 1 (fila) al decidi rse por la
estrategia i, cuando su oponente (jugador columna) decide jugar la estrategia j es:
X
ú-
/
ú
6
-
.
El pago total esperado es, ex ante:
: : X
ú-
/
ú
6
-
1
úíh
f
-íh
En términos matriciales,
6V/
9
Teoría de los Juegos // @JackFlash
Ejemplo: Considere la siguiente representación del juego de Matching Pennies :
V = M
−1 1
s Ss
N
Entonces
6V/
9
=M6nsSVIM
Ss s
s Ss
N\
/
sSP
]
6V/
9
vMsnsSVIMbPSsnsSbPIvM2@46IPSbV Fs
0
0.25
0.5
0.75
1
p
0
0.25
0.5
0.75
1
q
-1
-0.5
0
0.5
1
EH
p,q
L
0
0.25
0.5
0.75
1
p
Ejemplo: Considere la siguiente representación del juego de Matching Pennies :
V = M
−1 1
s Ss
N
Entonces
6V/
9
=M6nsSVIM
Ss s
s Ss
N\
/
sSP
]
6V/
9
vMsnsSVIMbPSsnsSbPIvM2@46IPSbV Fs
0
0.25
0.5
0.75
1
p
0
0.25
0.5
0.75
1
q
-1
-0.5
0
0.5
1
EH
p,q
L
0
0.25
0.5
0.75
1
p
Teoría de los Juegos // @JackFlash
En estas circunstancias, el Jugador 1 tendrá una ga nancia de por lo menos
:
$
/
≥ max
A
min
B
6V/
9
En tanto que el Jugador II tendrá una perdida de cu ando más
$
c
≤ min
A
max
B
6V/
9
Si se quiere asegurar que la cantidad que el Jugado r 1 busca ganar coincida con la
que el Jugador 2 está dispuesto a perder (y vicever sa), deberían encontrarse /
∗
y 6
∗
tales que:
max
A
min
B
6V/
9
= min
A
max
B
6V/
9
La existencia de los vectores /
∗
y 6
∗
constituye el contenido del teorema M inMax
que se presenta a continuación:
En estas circunstancias, el Jugador 1 tendrá una ga nancia de por lo menos
:
$
/
≥ max
A
min
B
6V/
9
En tanto que el Jugador II tendrá una perdida de cu ando más
$
c
≤ min
A
max
B
6V/
9
Si se quiere asegurar que la cantidad que el Jugado r 1 busca ganar coincida con la
que el Jugador 2 está dispuesto a perder (y vicever sa), deberían encontrarse /
∗
y 6
∗
tales que:
max
A
min
B
6V/
9
= min
A
max
B
6V/
9
La existencia de los vectores /
∗
y 6
∗
constituye el contenido del teorema M inMax
que se presenta a continuación:
Teoría de los Juegos // @JackFlash
Teorema MinMax (Von Neumann, 1928):
Sea V una matriz cualquiera de orden pre. Para esta matriz existen distribuciones
de probabilidad /
∗
∈ ℝ
_
f
y 6
∗
∈ ℝ
_
1
tales que:
max
A
min
B
6
∗
V/
∗9
= min
B
max
A
6
∗
V/
∗9
Es decir, el valor minmax sobre todas las estrategias mixtas iguala al valor maxmin. En
adición, si el máximo en el lado izquierdo se alcan za en /
∗
y el mínimo en el lado
derecho se alcanza en 6
∗
, entonces ningún jugador estará dispuesto a cambia r su
estrategia en forma unilateral, o sea:
6
∗
V/
9
≤ 6
∗
V/
∗9
≤ 6V/
∗9
Teorema MinMax (Von Neumann, 1928):
Sea V una matriz cualquiera de orden pre. Para esta matriz existen distribuciones
de probabilidad /
∗
∈ ℝ
_
f
y 6
∗
∈ ℝ
_
1
tales que:
max
A
min
B
6
∗
V/
∗9
= min
B
max
A
6
∗
V/
∗9
Es decir, el valor minmax sobre todas las estrategias mixtas iguala al valor maxmin. En
adición, si el máximo en el lado izquierdo se alcan za en /
∗
y el mínimo en el lado
derecho se alcanza en 6
∗
, entonces ningún jugador estará dispuesto a cambia r su
estrategia en forma unilateral, o sea:
6
∗
V/
9
≤ 6
∗
V/
∗9
≤ 6V/
∗9
Teoría de los Juegos // @JackFlash
Ejemplo: Se lanza al aire una moneda y muestra el resultado al jugador H que puede pasar o
apostar. Si pasa le paga $1 al jugador K. si sigue, el jugador K puede pasar o apostar. Si pasa y
había salido Cara debe pagar $2 al jugador H, pero si había salid sello, es H el que debe pagar
$2 a K. Si los dos jugadores siguen jugando K debe pagar $1 a H.
El perfil de estrategias de H es: {P, A, PA, AP} donde:
M
P: Pasar Siempre,
M
A: Apostar Siempre,
M
PA: Pasar si sale cara y apostar si sale sello,
M
AP: Apostar si sale Cara y pasar si sale sello
El perfil de estrategias para K contiene solamente P (pasar) o A (Apostar).
Ejemplo: Se lanza al aire una moneda y muestra el resultado al jugador H que puede pasar o
apostar. Si pasa le paga $1 al jugador K. si sigue, el jugador K puede pasar o apostar. Si pasa y
había salido Cara debe pagar $2 al jugador H, pero si había salid sello, es H el que debe pagar
$2 a K. Si los dos jugadores siguen jugando K debe pagar $1 a H.
El perfil de estrategias de H es: {P, A, PA, AP} donde:
M
P: Pasar Siempre,
M
A: Apostar Siempre,
M
PA: Pasar si sale cara y apostar si sale sello,
M
AP: Apostar si sale Cara y pasar si sale sello
El perfil de estrategias para K contiene solamente P (pasar) o A (Apostar).
Teoría de los Juegos // @JackFlash
Por lo tanto hay cuatro (4) consecuencias posibles para la ganancia de H:
i.
Ganancia de $1 si los dos deciden apostar,
ii.
Ganancia de -$1 si H pasa,
iii.
Ganancia de $2 si H apuesta, K apuesta y sale cara; y
iv.
Ganancia de -$2 si H apuesta, K pasa y sale sello.
Si la probabilidad de sacar cara es ½, la matriz de juego es:
Jugador H
Jugador K
Mínimos
P
A
P
-
1
-
1
-
1
PA
M
−
1
I
h
y
+
M
−
2
I
h
y
=
−
.
y
M
−
1
I
h
y
+
M
1
I
h
y
=
0
−
.
y
AP
2
h
y
+
M
−
1
I
h
y
=
h
y
1
h
y
+
M
−
1
I
h
y
=
0
0
A
2
h
y
+
M
−
2
I
h
y
=
0
1 0
Máximos
h
y
1
El juego no tiene punto de silla. Sin embargo, note que las estrategias P y PA del jugador H
producen la peores ganancias para el jugador H, sin importar qué juegue K y se dicen
Por lo tanto hay cuatro (4) consecuencias posibles para la ganancia de H:
i.
Ganancia de $1 si los dos deciden apostar,
ii.
Ganancia de -$1 si H pasa,
iii.
Ganancia de $2 si H apuesta, K apuesta y sale cara; y
iv.
Ganancia de -$2 si H apuesta, K pasa y sale sello.
Si la probabilidad de sacar cara es ½, la matriz de juego es:
Jugador H
Jugador K
Mínimos
P
A
P
-
1
-
1
-
1
PA
M
−
1
I
h
y
+
M
−
2
I
h
y
=
−
.
y
M
−
1
I
h
y
+
M
1
I
h
y
=
0
−
.
y
AP
2
h
y
+
M
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1
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h
y
=
h
y
1
h
y
+
M
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1
I
h
y
=
0
0
A
2
h
y
+
M
−
2
I
h
y
=
0
1 0
Máximos
h
y
1
El juego no tiene punto de silla. Sin embargo, note que las estrategias P y PA del jugador H
producen la peores ganancias para el jugador H, sin importar qué juegue K y se dicen
Teoría de los Juegos // @JackFlash
dominadas por las estrategias PA, y A. El jugador H no las va a jugar. Si se eliminan estas
estrategias, tendremos la siguiente matriz de juego
Jugador H
Ju
gador
K
Mínimos
P
A
AP
2
h
y
+
M
−
1
I
h
y
=
h
y
1
h
y
+
M
−
1
I
h
y
=
0
0
A
2
h
y
+
M
−
2
I
h
y
=
0
1 0
Máximos
h
y
1
Al tener solo dos estrategias por jugador es posibl e obtener una solución gráfica.
Suponiendo las estrategias mixtas M/,1−/I para el jugador H y M6,1−6I para el jugador
K, se tendrá:
dominadas por las estrategias PA, y A. El jugador H no las va a jugar. Si se eliminan estas
estrategias, tendremos la siguiente matriz de juego
Jugador H
Ju
gador
K
Mínimos
P
A
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2
h
y
+
M
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1
I
h
y
=
h
y
1
h
y
+
M
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1
I
h
y
=
0
0
A
2
h
y
+
M
−
2
I
h
y
=
0
1 0
Máximos
h
y
1
Al tener solo dos estrategias por jugador es posibl e obtener una solución gráfica.
Suponiendo las estrategias mixtas M/,1−/I para el jugador H y M6,1−6I para el jugador
K, se tendrá:
Teoría de los Juegos // @JackFlash
M Si K decide pasar:
P
`
/+MsSPIM0Iv
P
`
/
M Si K decide apostar: M0I/@M1IMsSPIv sSP
M Si H decide PA:
P
`
6 @M0IMsSVIv
h
y
6
M Si H se decide por A: M0I6@M1IMsSVIv sSV
Jugador
H
Jugador
K
M Si K decide pasar:
P
`
/+MsSPIM0Iv
P
`
/
M Si K decide apostar: M0I/@M1IMsSPIv sSP
M Si H decide PA:
P
`
6 @M0IMsSVIv
h
y
6
M Si H se decide por A: M0I6@M1IMsSVIv sSV
Jugador
H
Jugador
K
Teoría de los Juegos // @JackFlash
Juegos de Suma Constante con dos Jugadores
Aquí la suma de los pagos de los dos jugadores es c onstante como el caso de una
cantidad fija que hay que repartir entre los dos in dividuos (ejemplo de la votación):
Los juegos de suma cero son un caso especial.
Ejemplo (López Fidalgo, 2007: 3) dos empresas de catering o frecen servicios en un
evento de 3000 personas. Deben ofrecer menú y publi cidad. La firma 1 ofrece tres
modalidades distintas, en tanto que la firma 2, ofr ece dos combinaciones distintas.
La matriz de pagos es:
Firma 1
Firma 2
Modalidad 1
Modalidad 2
Mínimos
Modalidad 1
1500
2400
1500
Modalidad 2
1400
2600
1400
Modalidad 3
1500
1400
1400
Maximos
1500
2600
Juegos de Suma Constante con dos Jugadores
Aquí la suma de los pagos de los dos jugadores es c onstante como el caso de una
cantidad fija que hay que repartir entre los dos in dividuos (ejemplo de la votación):
Los juegos de suma cero son un caso especial.
Ejemplo (López Fidalgo, 2007: 3) dos empresas de catering o frecen servicios en un
evento de 3000 personas. Deben ofrecer menú y publi cidad. La firma 1 ofrece tres
modalidades distintas, en tanto que la firma 2, ofr ece dos combinaciones distintas.
La matriz de pagos es:
Firma 1
Firma 2
Modalidad 1
Modalidad 2
Mínimos
Modalidad 1
1500
2400
1500
Modalidad 2
1400
2600
1400
Modalidad 3
1500
1400
1400
Maximos
1500
2600
Teoría de los Juegos // @JackFlash
Algunos Métodos de Solución
Solución General
1. Verificar la Existencia de Saddle Points;
2. De no haber solución de saddle point inmediata, eli mine las estrategias
dominadas por jugador fila y por jugador columna ha sta que no haya
estrategias dominadas (eliminación iterada de estra tegias dominadas).
3. Si la matriz de juego es 2x2 resuelva gráficamente. En caso contrario
formule y resuelva un programa lineal que represent e el juego
Algunos Métodos de Solución
Solución General
1. Verificar la Existencia de Saddle Points;
2. De no haber solución de saddle point inmediata, eli mine las estrategias
dominadas por jugador fila y por jugador columna ha sta que no haya
estrategias dominadas (eliminación iterada de estra tegias dominadas).
3. Si la matriz de juego es 2x2 resuelva gráficamente. En caso contrario
formule y resuelva un programa lineal que represent e el juego
Teoría de los Juegos // @JackFlash
Solución vía Programación Lineal
Considere el caso del Jugador Fila.
:pwa a z>>>>>>>>Hbmb
HIJIK
$ ≤ &
//
/
/
+,…+&
)/
/
1
⋮
$ ≤ &
/k
/
/
+,…+&
)k
/
1
1 = : /
t
1
tB/
0 ≤ /
t
e>>>f a le5ei
,
En tanto que para el jugador columna, el programa e s:
:pwa a c>>>>>>>>Hbmb
HIJIK
c ≤ &
//
6
/
+,…+&
k/
6
k
⋮
c ≤ &
/k
/
/
+,…+ &
)k
1 = : 6
.
k
.B/
0 ≤ 6
.
e>>>ó a le5eu
,
Solución vía Programación Lineal
Considere el caso del Jugador Fila.
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1
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En tanto que para el jugador columna, el programa e s:
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HIJIK
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6
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+,…+&
k/
6
k
⋮
c ≤ &
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/
/
+,…+ &
)k
1 = : 6
.
k
.B/
0 ≤ 6
.
e>>>ó a le5eu
,
Teoría de los Juegos // @JackFlash
Ejemplo.— Considere dos firmas que compiten en una licitac ión pública.
Cada una de ellas ofrece tres tipos distintos de co nfiguraciones de proyecto,
i/
h
/
y
/
.
. La matriz A de pagos es la que sigue. (1 significa vencer, -1
perder la licitación y 0, declaración de desierto p ara la licitación):
Firma F
Firma C
Mínimos
Proyecto 1
Proyecto 2
Proyecto 3
Proyecto 1
0 -1 1 -1
Proyecto 2
1
0
-
1
-
1
Proyecto 3
-1 1 0 -1
Máximos
1
1
1
De la comparación de mínimos fila y máximos columna se observa que
max
úíhnLná
+ min
-íhnLnf
&
ú-
d ≠ min
-íhnbbnf
e max
úíhnLná
&
ú-
f
Ejemplo.— Considere dos firmas que compiten en una licitac ión pública.
Cada una de ellas ofrece tres tipos distintos de co nfiguraciones de proyecto,
i/
h
/
y
/
.
. La matriz A de pagos es la que sigue. (1 significa vencer, -1
perder la licitación y 0, declaración de desierto p ara la licitación):
Firma F
Firma C
Mínimos
Proyecto 1
Proyecto 2
Proyecto 3
Proyecto 1
0 -1 1 -1
Proyecto 2
1
0
-
1
-
1
Proyecto 3
-1 1 0 -1
Máximos
1
1
1
De la comparación de mínimos fila y máximos columna se observa que
max
úíhnLná
+ min
-íhnLnf
&
ú-
d ≠ min
-íhnbbnf
e max
úíhnLná
&
ú-
f
Teoría de los Juegos // @JackFlash
Formulando el problema como un programa lineal,
para el jugador Fila (Firma F) el
problema es
3
:
,2)a v gHHBb:bdH
HIJIK
$ ≤ /
y
−/
.
$ ≤ −/
h
+ /
.
$ ≤ /
h
− /
y
1 = /
h
+ /
y
+/
.
0 ≤ /
h
,/
y
,/
.
,
Igualando las dos primeras ecuaciones:
/
y
− /
.
= −/
h
+/
.
→ /
.
=
/
h
+/
y
2
Utilizando la Restricción
1 = /
h
+ /
y
+ /
.
,
/
h
+/
y
+
/
h
+ /
y
2
= 1 → /
h
+/
y
=
3
2
/
.
=
/
h
+/
y
2
=
3 2⁄
2
∴ /
.
=
1
3
Ahora, considerando
/
h
− /
y
= −/
h
+/
.
→ /
.
+3/
y
=
h
.
∴ /
y
=
h
.
Luego /
∗
=\
1
3
1
3
1
3
]
9
∎
3
La solución en el caso del jugador II se obtiene m ediante procedimientos análogos y se deja como ejer cicio.
Formulando el problema como un programa lineal,
para el jugador Fila (Firma F) el
problema es
3
:
,2)a v gHHBb:bdH
HIJIK
$ ≤ /
y
−/
.
$ ≤ −/
h
+ /
.
$ ≤ /
h
− /
y
1 = /
h
+ /
y
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.
0 ≤ /
h
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y
,/
.
,
Igualando las dos primeras ecuaciones:
/
y
− /
.
= −/
h
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.
→ /
.
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y
2
Utilizando la Restricción
1 = /
h
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y
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y
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h
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y
2
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h
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y
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3
2
/
.
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/
h
+/
y
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3 2⁄
2
∴ /
.
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1
3
Ahora, considerando
/
h
− /
y
= −/
h
+/
.
→ /
.
+3/
y
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h
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∴ /
y
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h
.
Luego /
∗
=\
1
3
1
3
1
3
]
9
∎
3
La solución en el caso del jugador II se obtiene m ediante procedimientos análogos y se deja como ejer cicio.
Teoría de los Juegos // @JackFlash
El Principio de Indiferencia
(Ferguson, 2011: 17)
Sea V
árf
una matriz de juego. Si el jugador I usa una estra tegia mixta /
9
=M/
h
,…,/
1
I
9
y
el jugador II opera sobre la j-ésima columna, entonces el pago promedio del Jugad or I es
∑/
ú
&
ú-
1
úíh
Si $ es el valor del juego, entonces una estrategia ópt ima / está caracterizada por el hecho de
que el pagor promedio del Jugador I es por lo menos igual a j sin importar lo que juegue el
Jugador II:
: /
ú
&
ú-
1
úíh
q gHHHH”N
En forma similar, para el Jugador II se esperaría q ue
: &
ú-
6
-
f
-íh
U gHHHHӎ
El Principio de Indiferencia
(Ferguson, 2011: 17)
Sea V
árf
una matriz de juego. Si el jugador I usa una estra tegia mixta /
9
=M/
h
,…,/
1
I
9
y
el jugador II opera sobre la j-ésima columna, entonces el pago promedio del Jugad or I es
∑/
ú
&
ú-
1
úíh
Si $ es el valor del juego, entonces una estrategia ópt ima / está caracterizada por el hecho de
que el pagor promedio del Jugador I es por lo menos igual a j sin importar lo que juegue el
Jugador II:
: /
ú
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ú-
1
úíh
q gHHHH”N
En forma similar, para el Jugador II se esperaría q ue
: &
ú-
6
-
f
-íh
U gHHHHӎ
Teoría de los Juegos // @JackFlash
Cuando los jugadores I y II usan estrategias óptima s el pago promedio es
exactamente igual al valor del juego, i.e.,
: : /
ú
&
ú-
6
-
= $
- ú
En efecto, usando la inecuación de Von Neumann-Morgenstern:
$ = : $6
-
f
-íh
≤ :k: /
ú
&
ú-
1
úíh
l=
f
-íh
: : /
ú
&
ú-
6
-
- ú
= : /
ú
m: &
ú-
6
-
f
-íh
n
1
úíh
≤ : /
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Cuando los jugadores I y II usan estrategias óptima s el pago promedio es
exactamente igual al valor del juego, i.e.,
: : /
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En efecto, usando la inecuación de Von Neumann-Morgenstern:
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f
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ú
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ú
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ú-
6
-
- ú
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ú
m: &
ú-
6
-
f
-íh
n
1
úíh
≤ : /
ú
$
1
úíh
= $
Teoría de los Juegos // @JackFlash
Teorema del Equilibrio
(Ferguson, 2007: II-17)
Considere un juego caracterizado por una matriz V de orden i@u y valor del
juego $. Sea / = /
/
,…,/
t
,…,/
1
í
9
una determinada estrategia óptima para el
Jugador I (digamos, el jugador fila), y 6 =76
/
,…,6
.
,…,6
k
8
9
una estrategia óptima
para el Jugador II (el jugador columna). Entonces:
: &
t.
6
.
k
.B/
= j ∀/
t
> 0
y
: /
t
&
t.
1
tB/
= j ∀6
.
= 0
Teorema del Equilibrio
(Ferguson, 2007: II-17)
Considere un juego caracterizado por una matriz V de orden i@u y valor del
juego $. Sea / = /
/
,…,/
t
,…,/
1
í
9
una determinada estrategia óptima para el
Jugador I (digamos, el jugador fila), y 6 =76
/
,…,6
.
,…,6
k
8
9
una estrategia óptima
para el Jugador II (el jugador columna). Entonces:
: &
t.
6
.
k
.B/
= j ∀/
t
> 0
y
: /
t
&
t.
1
tB/
= j ∀6
.
= 0
Teoría de los Juegos // @JackFlash
Demostración.— Suponga que no es cierto y que existe un /
p
> 0 y que ∑&
p-
6
-
f
-íh
≠ j.
Entonces, dado
: &
ú-
6
-
f
-íh
U jHHHHӎ
Necesariamente
: &
p-
6
-
f
-íh
q jHHHHӎ
Pero por la inecuación de Von Neumann-Morgenstern
j = : /
ú
m: &
ú-
6
-
f
-íh
n
1
úíh
< : /
ú
j
1
úíh
= j
Que implica una desigualdad estricta puesto que es estricta para el k-ésimo término en la
suma∎
Demostración.— Suponga que no es cierto y que existe un /
p
> 0 y que ∑&
p-
6
-
f
-íh
≠ j.
Entonces, dado
: &
ú-
6
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f
-íh
U jHHHHӎ
Necesariamente
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p-
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-íh
q jHHHHӎ
Pero por la inecuación de Von Neumann-Morgenstern
j = : /
ú
m: &
ú-
6
-
f
-íh
n
1
úíh
< : /
ú
j
1
úíh
= j
Que implica una desigualdad estricta puesto que es estricta para el k-ésimo término en la
suma∎
Teoría de los Juegos // @JackFlash
Intuitivamente, el significado del teorema propuest o es que si existe una estrategia óptima
para el Jugador I que otorga probabilidades estrict amente positivas a la i-ésima fila, entonces
toda estrategia óptima del Jugador II proporciona a l jugador I el valor del juego, si este usa la
fila i.
El teorema sugiere, —para el caso del Jugador I—, t ratar de encontrar una solución para el
sistema de ecuaciones
: /
ú
&
ú-
1
úíh
= j ∀6
-
= 0
Conformada por todas aquellas j para las cuales se cree que existen /
ú
> 0. “Una forma de
decir lo mismo es que el Jugador I busca una estrat egia que hace indiferente al Jugador II respecto de cuales
estrategias (de valor positivo) usar. En forma simi lar, el Jugador II debería jugar de manera tal que al
Jugador I le resulte indiferente cualquiera de las estrategias puras a su disposición. Esto es lo que se llama
Principio de Indiferencia
” (Ferguson: 2007: 18)
Intuitivamente, el significado del teorema propuest o es que si existe una estrategia óptima
para el Jugador I que otorga probabilidades estrict amente positivas a la i-ésima fila, entonces
toda estrategia óptima del Jugador II proporciona a l jugador I el valor del juego, si este usa la
fila i.
El teorema sugiere, —para el caso del Jugador I—, t ratar de encontrar una solución para el
sistema de ecuaciones
: /
ú
&
ú-
1
úíh
= j ∀6
-
= 0
Conformada por todas aquellas j para las cuales se cree que existen /
ú
> 0. “Una forma de
decir lo mismo es que el Jugador I busca una estrat egia que hace indiferente al Jugador II respecto de cuales
estrategias (de valor positivo) usar. En forma simi lar, el Jugador II debería jugar de manera tal que al
Jugador I le resulte indiferente cualquiera de las estrategias puras a su disposición. Esto es lo que se llama
Principio de Indiferencia
” (Ferguson: 2007: 18)
Teoría de los Juegos // @JackFlash
Ejemplo: Considere el siguiente juego (Pares y Nones):
r
0 1 −2
1 −2 3
−2 3 4
s
En este caso resulta difícil saber quien tiene la v entaja. Si se juega el juego en forma
repetida, parecería ser el caso de que el jugador c olumna dará probabilidades positivas a
todas las columnas. Si este supuesto es adecuado, e ntonces el Jugador I debería jugar a
hacer al Jugador II indiferente y por tanto la estr ategia óptima del Jugador I debería
satisfacer:
/
c
−2/
.
= j <1=
/
/
−2/
c
+3/
.
= j <2=
−2/
/
+2/
c
+4/
.
= j <3=
Para algún $, habida cuenta que se espera que /
/
+/
c
+/
.
= 1 <4=
Ejemplo: Considere el siguiente juego (Pares y Nones):
r
0 1 −2
1 −2 3
−2 3 4
s
En este caso resulta difícil saber quien tiene la v entaja. Si se juega el juego en forma
repetida, parecería ser el caso de que el jugador c olumna dará probabilidades positivas a
todas las columnas. Si este supuesto es adecuado, e ntonces el Jugador I debería jugar a
hacer al Jugador II indiferente y por tanto la estr ategia óptima del Jugador I debería
satisfacer:
/
c
−2/
.
= j <1=
/
/
−2/
c
+3/
.
= j <2=
−2/
/
+2/
c
+4/
.
= j <3=
Para algún $, habida cuenta que se espera que /
/
+/
c
+/
.
= 1 <4=
Teoría de los Juegos // @JackFlash
A partir de [1] y [2]:
/
c
−2/
.
= /
/
−2/
c
+3/
.
∴ /
/
−3/
c
+5/
.
= 0 <5=
Considerando en Forma Conjunta a [2] y [3]:
/
/
−2/
c
+3/
.
= −2/
/
+2/
c
+4/
.
∴ 3/
/
−5/
c
+7/
.
= 0 <6=
Junto con la identidad [4] se tiene el siguiente si stema de ecuaciones de la forma Vw = S
r
1 −3 5
3 −5 7
1 1 1
sr
/
/
/
c
/
.
s = r
0
0
1
s <7=
A partir de [1] y [2]:
/
c
−2/
.
= /
/
−2/
c
+3/
.
∴ /
/
−3/
c
+5/
.
= 0 <5=
Considerando en Forma Conjunta a [2] y [3]:
/
/
−2/
c
+3/
.
= −2/
/
+2/
c
+4/
.
∴ 3/
/
−5/
c
+7/
.
= 0 <6=
Junto con la identidad [4] se tiene el siguiente si stema de ecuaciones de la forma Vw = S
r
1 −3 5
3 −5 7
1 1 1
sr
/
/
/
c
/
.
s = r
0
0
1
s <7=
Teoría de los Juegos // @JackFlash
De donde, como es usual, una solución del tipo w = V
x/
S es, en este caso:
r
/
/
/
c
/
.
s = r
1 −3 5
3 −5 7
1 1 1
sr
0
0
1
s =
P
y
r
−3 2 1
1 −1 2
2 −1 1
sr
0
0
1
s
Esto es,
/
/
/
c
/
.
í
9
= \
/
h
c
h
/
h
]
9
∎
En consecuencia, el valor del juego es por lo menos
$ = 0 si el supuesto de acuerdo con el
cual la estrategia óptima del Jugador II otorga pon deraciones positivas a todas las columnas
es correcto.
De donde, como es usual, una solución del tipo w = V
x/
S es, en este caso:
r
/
/
/
c
/
.
s = r
1 −3 5
3 −5 7
1 1 1
sr
0
0
1
s =
P
y
r
−3 2 1
1 −1 2
2 −1 1
sr
0
0
1
s
Esto es,
/
/
/
c
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.
í
9
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/
h
c
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/
h
]
9
∎
En consecuencia, el valor del juego es por lo menos
$ = 0 si el supuesto de acuerdo con el
cual la estrategia óptima del Jugador II otorga pon deraciones positivas a todas las columnas
es correcto.
Teoría de los Juegos // @JackFlash
Un programa GAMS (General Algebraic Modeling System ) para resolver el sistema [1]~[4]
es el que aparece a continuación (fragmento):
variables p1
Probabilidad asociada a la Estrategia fila 1
p2
Probabilidad asociada a la Estrategia fila 2
p3
Probabilidad asociada a la Estrategia fila 3
V
Valor del Juego
;
equations eq1
Valor del Juego para I si II juega la estrategia 1
eq2
Valor del Juego para I si II juega la estrategia 2
eq3
Valor del Juego para I si II juega la estrategia 3
eq4
Identidad Probabilistica
;
eq1.. p2 - 2*p3 =e= V;
eq2.. p1 - 2*p2 + 3*p3 =e= V;
eq3.. -2*p1 +3*p2 - 4*p3 =e= V;
eq4.. p1 + p2 + p3 =e= 1;
model
oddeven
/all/
;
Un programa GAMS (General Algebraic Modeling System ) para resolver el sistema [1]~[4]
es el que aparece a continuación (fragmento):
variables p1
Probabilidad asociada a la Estrategia fila 1
p2
Probabilidad asociada a la Estrategia fila 2
p3
Probabilidad asociada a la Estrategia fila 3
V
Valor del Juego
;
equations eq1
Valor del Juego para I si II juega la estrategia 1
eq2
Valor del Juego para I si II juega la estrategia 2
eq3
Valor del Juego para I si II juega la estrategia 3
eq4
Identidad Probabilistica
;
eq1.. p2 - 2*p3 =e= V;
eq2.. p1 - 2*p2 + 3*p3 =e= V;
eq3.. -2*p1 +3*p2 - 4*p3 =e= V;
eq4.. p1 + p2 + p3 =e= 1;
model
oddeven
/all/
;
Teoría de los Juegos // @JackFlash
Los resultados del programa se muestran a continuac ión (SolEQU, SolVAR):
LOWER LEVEL UPPER
---- EQU eq1 . . .
---- EQU eq2 . . .
---- EQU eq3 . . .
---- EQU eq4 1.000 1.000 1.000
eq1 Valor del Juego para I si II juega la estrategia 1
eq2 Valor del Juego para I si II juega la estrategia 2
eq3 Valor del Juego para I si II juega la estrategia 3
eq4 Identidad Probabilistica
LOWER LEVEL UPPER
---- VAR p1 . 0.250 +INF
---- VAR p2 . 0.500 +INF
---- VAR p3 . 0.250 +INF
---- VAR V -INF -1.11E-16 +INF
p1 Probabilidad asociada a la Estrategia fila 1
p2 Probabilidad asociada a la Estrategia fila 2
p3 Probabilidad asociada a la Estrategia fila 3
V Valor del Juego
Los resultados del programa se muestran a continuac ión (SolEQU, SolVAR):
LOWER LEVEL UPPER
---- EQU eq1 . . .
---- EQU eq2 . . .
---- EQU eq3 . . .
---- EQU eq4 1.000 1.000 1.000
eq1 Valor del Juego para I si II juega la estrategia 1
eq2 Valor del Juego para I si II juega la estrategia 2
eq3 Valor del Juego para I si II juega la estrategia 3
eq4 Identidad Probabilistica
LOWER LEVEL UPPER
---- VAR p1 . 0.250 +INF
---- VAR p2 . 0.500 +INF
---- VAR p3 . 0.250 +INF
---- VAR V -INF -1.11E-16 +INF
p1 Probabilidad asociada a la Estrategia fila 1
p2 Probabilidad asociada a la Estrategia fila 2
p3 Probabilidad asociada a la Estrategia fila 3
V Valor del Juego
Teoría de los Juegos // @JackFlash
Ejemplo: (López Fidalgo, 2008: 11). Considere de nuevo el ju ego de las licitaciones ya
presentado. La matriz de juego es:
Firma F
Firma C
Mínimos
Proyecto 1
Proyecto 2
Proyecto 3
Proyecto 1
0
-
1
1
-
1
Proyecto 2
1 0 -1 -1
Proyecto 3
-
1
1
0
-
1
Máximos
1 1 1
Y supondremos con el principio de indiferencia que el Jugador I (La firma F) resuelve el
problema:
:pwa a z>>Hbmb1>
HIJIK
$ ≤ /
c
−/
.
$ ≤ −/
/
+/
.
$ ≤ /
/
−/
c
1 = /
/
+/
c
+/
.
0 ≤ /
/
,/
c
,/
.
,
Ejemplo: (López Fidalgo, 2008: 11). Considere de nuevo el ju ego de las licitaciones ya
presentado. La matriz de juego es:
Firma F
Firma C
Mínimos
Proyecto 1
Proyecto 2
Proyecto 3
Proyecto 1
0
-
1
1
-
1
Proyecto 2
1 0 -1 -1
Proyecto 3
-
1
1
0
-
1
Máximos
1 1 1
Y supondremos con el principio de indiferencia que el Jugador I (La firma F) resuelve el
problema:
:pwa a z>>Hbmb1>
HIJIK
$ ≤ /
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.
$ ≤ −/
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.
$ ≤ /
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/
+/
c
+/
.
0 ≤ /
/
,/
c
,/
.
,
Teoría de los Juegos // @JackFlash
Si suponemos que el Jugador Fila adoptará una estra tegia mixta que mantenga al jugador II
indiferente w.r.t. sus estrategias puras, el proble ma puede transformarse en el de encontrar la
solución del CNS:
/
/
+ /
c
−2/
.
= 0
−2/
/
+ /
c
+/
.
= 0
/
/
+ /
c
+/
.
= 1
En formato matricial,
r
1 1 −2
−2 1 1
1 1 1
sr
/
/
/
c
/
.
s = r
0
0
1
s
De modo que
r
/
/
/
c
/
.
s = r
1 1 −2
−2 1 1
1 1 1
s
x/
r
0
0
1
s =
/
.
r
0 −1 1
1 1 1
−1 0 1
sr
0
0
1
s = r
1/3
1/3
1/3
s
Si suponemos que el Jugador Fila adoptará una estra tegia mixta que mantenga al jugador II
indiferente w.r.t. sus estrategias puras, el proble ma puede transformarse en el de encontrar la
solución del CNS:
/
/
+ /
c
−2/
.
= 0
−2/
/
+ /
c
+/
.
= 0
/
/
+ /
c
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.
= 1
En formato matricial,
r
1 1 −2
−2 1 1
1 1 1
sr
/
/
/
c
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.
s = r
0
0
1
s
De modo que
r
/
/
/
c
/
.
s = r
1 1 −2
−2 1 1
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s
x/
r
0
0
1
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/
.
r
0 −1 1
1 1 1
−1 0 1
sr
0
0
1
s = r
1/3
1/3
1/3
s
Teoría de los Juegos // @JackFlash
Juegos No Singulares:
Considere un juego con matriz de pagos prp cuadrada V y suponga que esta matriz tiene
inversa. Asuma que I tiene una estrategia óptima con pondera dores positivos para todas y cada una de las
filas (es decir, se asume que todas las estrategias está n activas). Entonces, por el principio de
indiferencia, cada una de las estrategias óptimas 6 del Jugador II deberá satisfacer:
: &
ú-
6
-
= $
1
-íh
Que es un sistema de p ecuaciones en p variables. Si V es no singular, el sistema se podrá
resolver para 6
-
. En términos matriciales, si 6 es el vector de estrategias del individuo II, y
1 =M1,1,…,1I
9
representa un vector columna de unos, el sistema e s:
V6 = $1
Note que $ no puede ser cero pues en otro caso V sería singular. Como se supone lo
contrario, existe V
xh
Juegos No Singulares:
Considere un juego con matriz de pagos prp cuadrada V y suponga que esta matriz tiene
inversa. Asuma que I tiene una estrategia óptima con pondera dores positivos para todas y cada una de las
filas (es decir, se asume que todas las estrategias está n activas). Entonces, por el principio de
indiferencia, cada una de las estrategias óptimas 6 del Jugador II deberá satisfacer:
: &
ú-
6
-
= $
1
-íh
Que es un sistema de p ecuaciones en p variables. Si V es no singular, el sistema se podrá
resolver para 6
-
. En términos matriciales, si 6 es el vector de estrategias del individuo II, y
1 =M1,1,…,1I
9
representa un vector columna de unos, el sistema e s:
V6 = $1
Note que $ no puede ser cero pues en otro caso V sería singular. Como se supone lo
contrario, existe V
xh
Teoría de los Juegos // @JackFlash
Multiplicando por V
x/
los dos lados de
W
&
//
⋯ &
/)
⋮ ⋱ ⋮
& )/
⋯ &
11
[
1×1í
W
6
/⋮
6 1
[
)@/í
= $W
1
1
1
[
)@/í
Se tendrá: W
&
//
⋯ &
/)
⋮ ⋱ ⋮
& )/
⋯ &
11
[
1×1í
W
&
//
⋯ &
/)
⋮ ⋱ ⋮
& )/
⋯ &
11
[
1×1í
x/
W
6
/⋮
6 1
[
)@/í
= $W
&
//
⋯ &
/)
⋮ ⋱ ⋮
& )/
⋯ &
11
[
1×1í
x/
W
1
1
1
[
)@/í
Es decir:
6 = $V
x/
1
Si el valor del juego $ fuera conocido, se tendría la estrategia óptima ún ica para el Jugador II.
Para encontrar $ se puede partir del hecho de que ∑6
.
= 1
1
.B/
. En notación vectorial:
1,…,1í
9
r
6
/⋮
6 1
s = 1
9
6 = 1
Multiplicando por V
x/
los dos lados de
W
&
//
⋯ &
/)
⋮ ⋱ ⋮
& )/
⋯ &
11
[
1×1í
W
6
/⋮
6 1
[
)@/í
= $W
1
1
1
[
)@/í
Se tendrá: W
&
//
⋯ &
/)
⋮ ⋱ ⋮
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⋯ &
11
[
1×1í
W
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//
⋯ &
/)
⋮ ⋱ ⋮
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⋯ &
11
[
1×1í
x/
W
6
/⋮
6 1
[
)@/í
= $W
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//
⋯ &
/)
⋮ ⋱ ⋮
& )/
⋯ &
11
[
1×1í
x/
W
1
1
1
[
)@/í
Es decir:
6 = $V
x/
1
Si el valor del juego $ fuera conocido, se tendría la estrategia óptima ún ica para el Jugador II.
Para encontrar $ se puede partir del hecho de que ∑6
.
= 1
1
.B/
. En notación vectorial:
1,…,1í
9
r
6
/⋮
6 1
s = 1
9
6 = 1
Teoría de los Juegos // @JackFlash
Entonces, multiplicando a ambos lados de 6 = $V
x/
1 por 1
9
, se tendría, en consecuencia:
1 = 1
9
6 = $1
9
V
x/
1
$1
9
V
x/
1 = 1
Y por lo tanto, el valor estimado del juego es:
$ =
1
1
9
V
x/
1
Reuniendo todo a partir de 6 = $V
x/
1:
6
∗
=
V
x/
1
1
9
V
x/
1
Observación: Si algún componente 6
.
es negativo, el supuesto de acuerdo con el cual el
Jugador I tiene una estrategia con pesos todos posi tivos debe revisarse (y el problema
resolverse utilizando, por ejemplo, el método simpl ex)
Entonces, multiplicando a ambos lados de 6 = $V
x/
1 por 1
9
, se tendría, en consecuencia:
1 = 1
9
6 = $1
9
V
x/
1
$1
9
V
x/
1 = 1
Y por lo tanto, el valor estimado del juego es:
$ =
1
1
9
V
x/
1
Reuniendo todo a partir de 6 = $V
x/
1:
6
∗
=
V
x/
1
1
9
V
x/
1
Observación: Si algún componente 6
.
es negativo, el supuesto de acuerdo con el cual el
Jugador I tiene una estrategia con pesos todos posi tivos debe revisarse (y el problema
resolverse utilizando, por ejemplo, el método simpl ex)
Teoría de los Juegos // @JackFlash
En cualquier caso, si se encuentra que 6
.
C W>>Uó a le5ei>la estrategia óptima para el
Jugador I se puede encontrar aplicando el mismo con junto de hipótesis. En particular,
/
∗9
=
1
9
V
x/
1
9
V
x/
1
Si, finalmente, /
t
C W>Uf a le5ei entonces, / y 6 son estrategias óptimas pues ambas
garantizan un pago promedio igual a $ sin importar lo que el otro jugador haga.
En cualquier caso, si se encuentra que 6
.
C W>>Uó a le5ei>la estrategia óptima para el
Jugador I se puede encontrar aplicando el mismo con junto de hipótesis. En particular,
/
∗9
=
1
9
V
x/
1
9
V
x/
1
Si, finalmente, /
t
C W>Uf a le5ei entonces, / y 6 son estrategias óptimas pues ambas
garantizan un pago promedio igual a $ sin importar lo que el otro jugador haga.
Teoría de los Juegos // @JackFlash
Teorema.— Estrategias Óptimas en Juegos N o Singulares
Suponga que la matriz de juego V es no singular y que 1
9
V
x/
1 ≠ 0. Entonces, el valor del
juego con matriz de pagos V es:
$ =
1
1
9
V
x/
1
Mientras que las estrategias óptimas para los jugad ores involucrados son:
/
9
= $1
9
V
x/
6 = $V
x/
1
Siempre que / ≥ 0 y 6 ≥ 0
Teorema.— Estrategias Óptimas en Juegos N o Singulares
Suponga que la matriz de juego V es no singular y que 1
9
V
x/
1 ≠ 0. Entonces, el valor del
juego con matriz de pagos V es:
$ =
1
1
9
V
x/
1
Mientras que las estrategias óptimas para los jugad ores involucrados son:
/
9
= $1
9
V
x/
6 = $V
x/
1
Siempre que / ≥ 0 y 6 ≥ 0
Teoría de los Juegos // @JackFlash
Ejemplo: Suponga que un juego presenta la siguiente matriz:
V = r
1 2 −1
2 −1 4
−1 4 −3
s
En este caso,
V
x/
= r
0,8125 −0,1250 −0,4375
−0,1250 0,2500 0,3750
−0,4375 0,3750 0,3125
s
Note que
1
9
V
x/
1 = 1 1 1ír
0,8125 −0,1250 −0,4375
−0,1250 0,2500 0,3750
−0,4375 0,3750 0,3125
sr
1
1
1
s = 1
De modo que $ = 1
9
V
x/
1í
x/
= 1 1⁄= 1
Ejemplo: Suponga que un juego presenta la siguiente matriz:
V = r
1 2 −1
2 −1 4
−1 4 −3
s
En este caso,
V
x/
= r
0,8125 −0,1250 −0,4375
−0,1250 0,2500 0,3750
−0,4375 0,3750 0,3125
s
Note que
1
9
V
x/
1 = 1 1 1ír
0,8125 −0,1250 −0,4375
−0,1250 0,2500 0,3750
−0,4375 0,3750 0,3125
sr
1
1
1
s = 1
De modo que $ = 1
9
V
x/
1í
x/
= 1 1⁄= 1
Teoría de los Juegos // @JackFlash
Además,
/
9
= 1
9
V
x/
= 1 1 1í
/@(
r
0,8125 −0,1250 −0,4375
−0,1250 0,2500 0,3750
−0,4375 0,3750 0,3125
s
.×.
/
9
= 0.25 0.50 0.25í
/@(
6 = V
x/
1 = r
0,8125 −0,1250 −0,4375
−0,1250 0,2500 0,3750
−0,4375 0,3750 0,3125
s
.×.
r
1
1
1
s
(@/
6 = r
0.25
0.50
0.25
s
/,6 ≥ 0 luego son óptimas y el valor del juego es $ = 1
Además,
/
9
= 1
9
V
x/
= 1 1 1í
/@(
r
0,8125 −0,1250 −0,4375
−0,1250 0,2500 0,3750
−0,4375 0,3750 0,3125
s
.×.
/
9
= 0.25 0.50 0.25í
/@(
6 = V
x/
1 = r
0,8125 −0,1250 −0,4375
−0,1250 0,2500 0,3750
−0,4375 0,3750 0,3125
s
.×.
r
1
1
1
s
(@/
6 = r
0.25
0.50
0.25
s
/,6 ≥ 0 luego son óptimas y el valor del juego es $ = 1
Teoría de los Juegos // @JackFlash
Ejemplo: Suponga que un juego presenta la siguiente matriz:
V = r
3 −1 −3
−3 3 1
−4 −3 3
s
La matriz inversa de A es:
V
x/
= r
−0.3750 −0.3750 −0.2500
−0.1563 0.0938 −0.1875
−0.6563 −0.4063 −0.1875
s
La inversa de la suma de los elementos de
V
x/
da $ = 1/ 1
9
V
x/
1í
x/
=
/
xcb|
= −0.4. De aquí,
las estrategias óptimas para los Jugadores I y II s on,
/
9∗
= 0.475,0.275,0.250í
9
6
9∗
= 0.400,0.100,0.500í
9
Ejemplo: Suponga que un juego presenta la siguiente matriz:
V = r
3 −1 −3
−3 3 1
−4 −3 3
s
La matriz inversa de A es:
V
x/
= r
−0.3750 −0.3750 −0.2500
−0.1563 0.0938 −0.1875
−0.6563 −0.4063 −0.1875
s
La inversa de la suma de los elementos de
V
x/
da $ = 1/ 1
9
V
x/
1í
x/
=
/
xcb|
= −0.4. De aquí,
las estrategias óptimas para los Jugadores I y II s on,
/
9∗
= 0.475,0.275,0.250í
9
6
9∗
= 0.400,0.100,0.500í
9
Teoría de los Juegos // @JackFlash
Alternativamente, es posible representar este juego como un problema de
optimización típico de la forma:
:pwa a c>>>>>>>>Hbmb
HIJIK
c ≤ &
//
6
/
+,…+&
k/
6
k
⋮
c ≤ &
/k
/
/
+,…+&
)k
1 = : 6
.
k
.B/
0 ≤ 6
.
e>>>ó a le5eu
,
Para resolver numéricamente el mismo ejemplo, consi dere el listado GAMS a
continuación.
Alternativamente, es posible representar este juego como un problema de
optimización típico de la forma:
:pwa a c>>>>>>>>Hbmb
HIJIK
c ≤ &
//
6
/
+,…+&
k/
6
k
⋮
c ≤ &
/k
/
/
+,…+&
)k
1 = : 6
.
k
.B/
0 ≤ 6
.
e>>>ó a le5eu
,
Para resolver numéricamente el mismo ejemplo, consi dere el listado GAMS a
continuación.
Teoría de los Juegos // @JackFlash
*---
*--- Solución de Via Programación Matemática de un Juego Singular
*---
set
i
Estrategias Puras – Jugador Fila
/1*3/
j
Estrategias Puras – Jugador Columna
/1*3/
;
alias
(i,k);
alias
(j,l);
table
A0(i,j)
Matriz de Pagos
1 2 3
1 3 -1 -3
2 -3 3 1
3 -4 -3 3
;
*--- Se investiga si el Juego tiene un saddle point en estrategias puras parameter
minrow(i)
Valor Mínimo Fila
maxcol(j)
Valor Máximo Fila
minr
Mínimo de los Valores Fila
maxc
Máximo de los Valores Columna
;
minrow(i) =
smin
(j, a0(i,j));
maxcol(j) =
smax
(i, a0(i,j));
minr =
smin
(i, minrow(i));
maxc =
smax
(j, maxcol(j));
*---
*--- Solución de Via Programación Matemática de un Juego Singular
*---
set
i
Estrategias Puras – Jugador Fila
/1*3/
j
Estrategias Puras – Jugador Columna
/1*3/
;
alias
(i,k);
alias
(j,l);
table
A0(i,j)
Matriz de Pagos
1 2 3
1 3 -1 -3
2 -3 3 1
3 -4 -3 3
;
*--- Se investiga si el Juego tiene un saddle point en estrategias puras parameter
minrow(i)
Valor Mínimo Fila
maxcol(j)
Valor Máximo Fila
minr
Mínimo de los Valores Fila
maxc
Máximo de los Valores Columna
;
minrow(i) =
smin
(j, a0(i,j));
maxcol(j) =
smax
(i, a0(i,j));
minr =
smin
(i, minrow(i));
maxc =
smax
(j, maxcol(j));
Teoría de los Juegos // @JackFlash
display
A0, minrow, maxcol, minr, maxc;
if
(
abs
(minr-maxc)>0,
display
'No Saddle Point Solution Exist'
;
else
if
( minr=maxc,
display
'Existe
una Solución MaxMin de estrategias puras en:'
, minr;
)
);
parameter A(i,j)
Matriz de Pagos Modificada
;
A(i,j) = A0(i,j) + 5;
variables p(j)
Probabilidades
w
Objetivos
;
equations
obj
Función Objetivo
restr(i)
Definición del Valor del Juego
equil
Condición de Equilibrio en Probabilidades
;
obj.. w =e= sum(j, p(j));
restr(i).. sum(j, a(i,j)*p(j)) =e= 1;
display
A0, minrow, maxcol, minr, maxc;
if
(
abs
(minr-maxc)>0,
display
'No Saddle Point Solution Exist'
;
else
if
( minr=maxc,
display
'Existe
una Solución MaxMin de estrategias puras en:'
, minr;
)
);
parameter A(i,j)
Matriz de Pagos Modificada
;
A(i,j) = A0(i,j) + 5;
variables p(j)
Probabilidades
w
Objetivos
;
equations
obj
Función Objetivo
restr(i)
Definición del Valor del Juego
equil
Condición de Equilibrio en Probabilidades
;
obj.. w =e= sum(j, p(j));
restr(i).. sum(j, a(i,j)*p(j)) =e= 1;
Teoría de los Juegos // @JackFlash
equil.. sum(j, p(j)) =e= 1;
model
paso
/
obj
restr
* equil
/
;
p.lo(j) = 0;
p.l(j) = 0.0001;
solve
paso using lp maximizing W;
*--- Transformando el Problema para eliminar el slack
parameter
report reporte de resultados;
report(
"Valor del Juego"
,
"Valor"
) = (1/W.l) - 5;
report(
"Probabilidad"
,j) = p.l(j)/w.l;
report(
"Probabilidad"
,
"Valor"
) = sum(j,p.l(j)/w.l);
display
report;
equil.. sum(j, p(j)) =e= 1;
model
paso
/
obj
restr
* equil
/
;
p.lo(j) = 0;
p.l(j) = 0.0001;
solve
paso using lp maximizing W;
*--- Transformando el Problema para eliminar el slack
parameter
report reporte de resultados;
report(
"Valor del Juego"
,
"Valor"
) = (1/W.l) - 5;
report(
"Probabilidad"
,j) = p.l(j)/w.l;
report(
"Probabilidad"
,
"Valor"
) = sum(j,p.l(j)/w.l);
display
report;
Teoría de los Juegos // @JackFlash
S O L V E S U M M A R Y
MODEL paso OBJECTIVE w
TYPE LP DIRECTION MAXIMIZE
SOLVER CPLEX FROM LINE 70
**** SOLVER STATUS 1 Normal Completion
**** MODEL STATUS 1 Optimal
**** OBJECTIVE VALUE 0.2174
LP status(1): optimal
Cplex Time: 0.02sec (det. 0.01 ticks)
LOWER LEVEL UPPER MARGINAL
---- EQU obj . . . 1.000
obj Función Objetivo
---- EQU restr Definición del Valor del Juego
LOWER LEVEL UPPER MARGINAL
1 1.000 1.000 1.000 0.103
2 1.000 1.000 1.000 0.060
3 1.000 1.000 1.000 0.054
S O L V E S U M M A R Y
MODEL paso OBJECTIVE w
TYPE LP DIRECTION MAXIMIZE
SOLVER CPLEX FROM LINE 70
**** SOLVER STATUS 1 Normal Completion
**** MODEL STATUS 1 Optimal
**** OBJECTIVE VALUE 0.2174
LP status(1): optimal
Cplex Time: 0.02sec (det. 0.01 ticks)
LOWER LEVEL UPPER MARGINAL
---- EQU obj . . . 1.000
obj Función Objetivo
---- EQU restr Definición del Valor del Juego
LOWER LEVEL UPPER MARGINAL
1 1.000 1.000 1.000 0.103
2 1.000 1.000 1.000 0.060
3 1.000 1.000 1.000 0.054
Teoría de los Juegos // @JackFlash
---- VAR p Probabilidades
LOWER LEVEL UPPER MARGINAL
1 . 0.087 +INF .
2 . 0.022 +INF .
3 . 0.109 +INF .
LOWER LEVEL UPPER MARGINAL
---- VAR w -INF 0.217 +INF .
**** REPORT SUMMARY : 0 NONOPT
0 INFEASIBLE
0 UNBOUNDED
---- 80 PARAMETER report reporte de resultados
1 2 3 Valor
Valor del Juego -0.400
Probabilidad 0.400 0.100 0.500 1.000
---- VAR p Probabilidades
LOWER LEVEL UPPER MARGINAL
1 . 0.087 +INF .
2 . 0.022 +INF .
3 . 0.109 +INF .
LOWER LEVEL UPPER MARGINAL
---- VAR w -INF 0.217 +INF .
**** REPORT SUMMARY : 0 NONOPT
0 INFEASIBLE
0 UNBOUNDED
---- 80 PARAMETER report reporte de resultados
1 2 3 Valor
Valor del Juego -0.400
Probabilidad 0.400 0.100 0.500 1.000
Teoría de los Juegos // @JackFlash
Juegos Diagonales.— Suponga que un juego determinado tiene una matriz d e pagos
V = }
F
/
0 ⋯ 0
0 F
c
⋯ 0
⋮ ⋮ ⋱ ⋮
0 0 ⋯ F
1
~
Donde F
t
> 0, Uf a le5ei. Por el principio de indiferencia,
/
t
F
t
= j ∴ /
t
= j/F
t
>>>>>Uf
Sumando sobre f
1 = j: 1/F
t
1
tB/
Es decir, el valor del juego es:
j =k: 1/F
t
1
tB/
l
x/
Juegos Diagonales.— Suponga que un juego determinado tiene una matriz d e pagos
V = }
F
/
0 ⋯ 0
0 F
c
⋯ 0
⋮ ⋮ ⋱ ⋮
0 0 ⋯ F
1
~
Donde F
t
> 0, Uf a le5ei. Por el principio de indiferencia,
/
t
F
t
= j ∴ /
t
= j/F
t
>>>>>Uf
Sumando sobre f
1 = j: 1/F
t
1
tB/
Es decir, el valor del juego es:
j =k: 1/F
t
1
tB/
l
x/
Teoría de los Juegos // @JackFlash
Ejemplo: Considere un juego diagonal con matriz de pagos:
V = }
1 0 0 0
0 2 0 0
0 0 3 0
0 0 0 4
~
Aquí ∑1/F
t
1
tB/
=
P
P
_
P
`
_
P
Q
_
P
y
5
`
P`
Por tanto, $ =
/c
c|
Y las estrategias óptimas son:
/ = 6 = \
/c
c|
,
?
c|
,
h
c|
,
.
c|
]∎
Ejemplo: Considere un juego diagonal con matriz de pagos:
V = }
1 0 0 0
0 2 0 0
0 0 3 0
0 0 0 4
~
Aquí ∑1/F
t
1
tB/
=
P
P
_
P
`
_
P
Q
_
P
y
5
`
P`
Por tanto, $ =
/c
c|
Y las estrategias óptimas son:
/ = 6 = \
/c
c|
,
?
c|
,
h
c|
,
.
c|
]∎
Teoría de los Juegos // @JackFlash
Referencias
[1.]
Bierman, H.S. and L. Fernandez (1998): Game Theory with Economic Applications .
Reading (MA): Addison-Wesley.
[2.]
Ferguson, T.S. (2006): Game Theory. Lecture Notes. Department of Mathematics.
University of California.
[3.]
Fundenberg, D. and J. Tirole (1992): G ame Theory. Cambridge: MIT press.
[4.]
Gibbons, R. (1992): Un Primer Curso de Teoría de Juegos. Barcelona: Ant oni Bosch.
[5.]
Hillas, J., D. Kvasov and A. Schiff (2012): Game Theory and Economic Applications .
Auckland (NZ): The University of Auckland.
[6.]
Jehle, G. and P.J. Reny (2001): Advanced Microeconomic Theory . N.Y.: Addison-Wesley.
[7.]
López Fidalgo, J. (2008): Teoría de Juegos. Univers idad de Castilla-La Mancha.
Lecture Notes
[8.]
Manrique, O., E. Villa, G. Junca y S. Monsalve (199 9): Competencia Imperfecta I:
Equilibrio de Nash en Juegos Estaticos. Capítulo IV En
: Monsalve, S. [ed.] (1999):
Introducción a los Conceptos de Equilibrio en Econo mía. Bogotá: Universidad Nacional de
Colombia.
[9.]
Monsalve, S. [ed.] (1999): Introducción a los Conceptos de Equilibrio en Econo mía. Bogotá:
Universidad Nacional de Colombia.
Referencias
[1.]
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Reading (MA): Addison-Wesley.
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University of California.
[3.]
Fundenberg, D. and J. Tirole (1992): G ame Theory. Cambridge: MIT press.
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Gibbons, R. (1992): Un Primer Curso de Teoría de Juegos. Barcelona: Ant oni Bosch.
[5.]
Hillas, J., D. Kvasov and A. Schiff (2012): Game Theory and Economic Applications .
Auckland (NZ): The University of Auckland.
[6.]
Jehle, G. and P.J. Reny (2001): Advanced Microeconomic Theory . N.Y.: Addison-Wesley.
[7.]
López Fidalgo, J. (2008): Teoría de Juegos. Univers idad de Castilla-La Mancha.
Lecture Notes
[8.]
Manrique, O., E. Villa, G. Junca y S. Monsalve (199 9): Competencia Imperfecta I:
Equilibrio de Nash en Juegos Estaticos. Capítulo IV En
: Monsalve, S. [ed.] (1999):
Introducción a los Conceptos de Equilibrio en Econo mía. Bogotá: Universidad Nacional de
Colombia.
[9.]
Monsalve, S. [ed.] (1999): Introducción a los Conceptos de Equilibrio en Econo mía. Bogotá:
Universidad Nacional de Colombia.
Teoría de los Juegos // @JackFlash
[10.]
Monsalve, S. y J. Arévalo [eds.] (2005): Un Curso de Teoría de Juegos Clásica. Bogotá:
Universidad Externado de Colombia.
[11.]
Varian, H. (1993): Microeconomic Analysis. N.Y.: Norton & Co.
[10.]
Monsalve, S. y J. Arévalo [eds.] (2005): Un Curso de Teoría de Juegos Clásica. Bogotá:
Universidad Externado de Colombia.
[11.]
Varian, H. (1993): Microeconomic Analysis. N.Y.: Norton & Co.
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