SEM 09-S01-CI- Calculo de Volúmenes - Método de discos y arandelas.pdf

N

1. Clase 09 – Sesión 01
Jhon Adolfo Quincho Astete
TEMA:
Cálculo de volúmenes de
sólidos de revolución:
- Método de discos.
- Método de arandelas.

2. UC
✓Aplica el método de discos
y arandelas en el cálculo de
volúmenes de sólidos de
revolución.
PROPÓSITOS

3. UC
INTRODUCCIÓN
Al tratar de calcular el volumen de un sólido
enfrentamos el mismo problema que al tratar de
calcular un área.
Debemos usar el Cálculo Integral para llegar a una
definición exacta.
Para ello, recordaremos los volúmenes de sólidos
sencillos como cilindros y prismas.

4. UC
A
h
Cilindro Recto
V = Ah
r
h
Cilindro circular
V = r
2
h
a
b
c
Paralelepípedo
Rectangular
V = abc
El volumen de un sólido cualquiera podrá
descomponerse en la suma de volúmenes de sólidos
elementales como los anteriores

5. UC
Sección transversal
Es una región plana de un sólido obtenida al
interceptar al sólido con un plano perpendicular a
este.

6. UC
Volumen de un sólido de revolución
Sólido de revolución es el que se obtiene al girar una
región del plano alrededor de una recta del plano
llamada eje de revolución.

7. UC
Diferencial de
volumen
∆x
i
f(x
i)
a x
i b
x
i
y=f(x)
f(x
i)
1. MÉTODO DEL DISCO
iii xxfV =
2
)(

8. UC TEOREMA
Sea f una función continua en el intervalo [a, b] y
f(x) ≥ 0 en [a, b]. El volumen del sólido obtenido al
girar alrededor del eje X la región limitada por la
curva y= f(x), las rectas x=a, x=b y el eje X es:2
1
2
lim [ ( )]
[ ( )]
n
ii
n
i
b
a
V f x x
f x dx
→
=
=  
=



9. UC
Ejemplo 1:
Calcule el volumen del sólido generado al
rotar alrededor del eje X la región acotada
por la curva y = x
2
y las rectas x = 1, x = 2,
y = 0.

10. UC
Ejemplo 2:
Calcule el volumen del sólido de revolución
generado al rotar alrededor del eje Y la
región limitada por la curva y + x
2
– 2 = 0,
x = 0, y = 0, y = 1.
y

11. UC 3. Calcula el volumen del sólido que se obtiene al girar la
región R, alrededor del eje y.()






=
y
xyyxR
2
0;41/,
2

12. UC
12
Del ejemplo anterior se desprende lo siguiente:
El volumen obtenido al girar la región limitada por la
curva x = g(y) y las rectas x = 0, y = c, y = d
(c < d), alrededor del eje Y será igual a:
=
d
c
dyygV
2
)(

13. UC
13
2.Método de la arandela o anillos
Cuando la región a girar está limitada por dos funciones
f(x) y g(x) continuas en [a, b], las rectas x=a y x=b.
Diferencial de
volumen
f(x
i)
g(x
i)
x
i
ii xxgxfV −= ))()((
22

a bx
x
(*)
y= f(x)
y= g(x)

14. UC
14
TEOREMA
Sean f y g dos funciones continuas en [a, b] tales
que f(x) ≥ g(x) para toda x en [a, b]. El volumen
del sólido generado al rotar alrededor del eje X la
región limitada por f(x), g(x) y las rectas x=a y
x=b será:22
1
22
lim ([ ( )] [ ( )] )
([ ( )] [ ( )] )
n
i i i
n
i
b
a
V f x g x x
f x g x dx
→
=
=  − 
=  −



15. UC
Ejemplo 1:
Calcule el volumen del sólido generado al girar
alrededor del eje X la región acotada por la
parábola y = x
2
+ 1 y la recta y = x + 3.

16. UC
16
Ejemplo 2:
Calcule el volumen del sólido generado al girar
alrededor del eje Y, la región acotada por la
parábola y = x
2
y la recta y = 2x.

17. UC
Ejemplo 3:
Calcule el volumen del sólido generado al girar
alrededor del eje Y la región limitada por las
curvas x = y
2
+ 1 y x = -y
2
+ y + 4.-2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-3
-2
-1
1
2
3
x
y