SEMANA_1_GEOMETRIA_SEMESTRAL UNI (1).pptx

Geometria para alumnos que esta en quinto de secundaria

1. Tema: Triángulos PLANA DE GEOMETRÍA GEOMETRÍA 1 Profesor: MAX DIEGO BAUTISTA TITO

2. La figura geométrica denominada triángulo, destaca principalmente por el hecho de que posee únicamente tres lados, entonces es imposible deformar esta figura, lo cual le da la propiedad de ser una estructura rígida, misma carácteristicas que es muy bien usada en las construcciones más variadas, por ejemplo en las construcciones de antenas, puentes y cúpulas geométricas o Domos. EL TRIÁNGULO

3. Región interior LADOS Segmentos de recta que unen los vértices: segmentos AB, BC y AC VÉRTICES Tres puntos no colineales que determinan el triángulo: A, B, C A B C θ β α 𝜀𝜀 2 𝜀𝜀 3 𝜀𝜀 1 a b c SEMIPERÍMETRO Semisuma de las longitudes de sus lados: semiperímetro: ( a + b + c )/2 Región exterior y relativa al lado 𝐵𝐶 MEDIDAS ANGULARES INTERIORES Interiores: 𝛼, 𝛽, 𝜃𝜃 MEDIDAS ANGULARES EXTERIORES Exteriores: 𝜀𝜀 1 , 𝜀𝜀 2 , 𝜀𝜀 3 P P es un punto de la región Interior Q Q es un punto de la región exterior REGIÓN TRIÁNGULAR Es el conjunto formado por los puntos del triángulo y de su región interior TRIÁNGULOS

4. EJEMPLO: RESOLUCION: 𝑃 ∆𝑃𝑃𝑃𝑅 = 𝑄𝑄𝑃 + 𝑃𝑅 + 𝑄𝑄𝑅 2 𝑃 ∆𝑃𝑃𝑃𝑅 = 𝑥 + 2𝑎 + 2𝑥 − 𝑎 + 𝑥 − 𝑎 24 = 2 4𝑥 + 2𝑎 − 2𝑎 2 (𝑥) 48 = 4𝑥 ∴ 𝑥 = 1𝟏𝟏 Nos piden 𝑥 𝑅 𝑥 + 2𝑎 En el gráfico, si el semiperímetro de la región triangular 𝑃𝑄𝑄𝑅 es 24, calcule el valor de 𝑥 𝑃 2𝑥 − 𝑎 𝑥 − 𝑎 𝑄𝑄 A)12 B)6 C)3 D)8 E)48 Sabemos: Semiperímetro de la región triangular: 𝑃 𝑄𝑄 𝑅 𝑥 + 2𝑎 2𝑥 − 𝑎 𝑥 − 𝑎 TRIÁNGULOS

5. DEMOSTRACIÓN TEOREMA B A C θ β α Suma de medidas angulares internas 𝛼 + 𝜃𝜃 + 𝛽 = 180° TEOREMA Ángulo exterior θ A B C β α 𝜃𝜃 = 𝛼 + 𝛽 MEDIDAS ANGULARES EXTERIORES Al considerer una de ellas en cada vértice del triángulo, la suma de estas tres medidas será 360 ° A B C 𝜃𝜃 + 𝛼 + 𝛽 = 360° β θ α Ya que la suma de las medidas angulares en torno a un mismo punto es 360° ∴ 𝜃𝜃 + 𝛼 + 𝛽 = 360° TRIÁNGULOS

6. EJEMPLO: RESOLUCIÓN: 𝐴) 68°46′ B ) 111°14′ C ) 68° D ) 70°46′ E ) 70°46′ El ángulo del vértice de un triángulo isósceles mide 42°28 ′. ¿Cuál es el valor del ángulo exterior formado por uno de los lados iguales y la prolongación de la base? A B C 42°28´ 𝑥 Piden: 𝑥 𝑎 𝑎 Sea: 𝑚∢𝐵𝐴𝐶 = 𝑚∢𝐵𝐶𝐴 = 𝜃𝜃 𝜃𝜃 𝜃𝜃 Se observa que: 𝜃𝜃 = 180° − 𝑥 ∆𝐴𝐵𝐶: 180° − 𝑥 + 180° − 𝑥 + 42°28’ = 180° 𝑥 = 180° + 42°28′ 2 Luego: 𝑥 = 90° + 21°14′ ∴ 𝑥 = 111°14′ CLAVE: B Teorema A B C θ β α 𝛼 + 𝜃𝜃 + 𝛽 = 180° TRIÁNGULOS

7. TEOREMA Cuadrilátero Cruzado 𝜃𝜃 𝛼 𝛽 ω 𝜃𝜃 + 𝛼 = 𝛽 + ω TEOREMA Cuadrilátero de región Convexa 𝛽 ω 𝜃𝜃 𝛼 𝜃𝜃 + 𝛼 = 𝛽 + ω TEOREMA Cuadrilátero de región no convexa 𝜃𝜃 𝛼 ω 𝑥 𝜃𝜃 + 𝛼 + ω = 𝑥 TEOREMA Ángulos exteriores 𝜃𝜃 𝛼 𝛽 𝜃𝜃 + 180° = 𝛼 + 𝛽 Sugerencia: En figuras como esta: Es recomendable: Prolongar

8. 𝑏 𝑐 𝑎 Teorema de Existencia b – c < a < b + c Si c < a < b a – c < b < a + c b – a < c < b + a Teorema de Correspondencia θ α 𝑎 c 𝛼 > 𝜃𝜃 a > c 1 a θ b a α b x y Si 𝛼 > 𝜃𝜃 y > x Además es útil tener en cuenta que: 2 a θ b x Si y > x a α y 𝛼 > 𝜃𝜃 b Siendo 2𝑝: 𝑝𝑒𝑟𝑝𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑟𝑖𝑡𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 A B C P Para todo punto P de su región Interior: p < PA + PB + PC < 2p B C TEOREMA A 𝐴𝑙 𝑡𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑠𝑒 𝑜𝑝𝑜𝑛𝑒 𝑒𝑙 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑. RELACIÓN DE ORDEN EN EL TRIÁNGULO

9. EJEMPLO: RESOLUCIÓN: TRIÁNGULOS 𝐴) 1 B ) 2 C ) 3 D ) 4 E ) 5 Determine el número de triángulos escalenos, de perímetro menor que 10 y cuyos lados tengan medidas enteras. 𝑏 𝑐 𝑎 B C A θ α Datos: 𝑎, 𝑏 𝑦 𝑐: números enteros Además: 𝑎 ≠ 𝑏 𝑏 ≠ 𝑐 𝑐 ≠ 𝑎 y 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 < 10 Piden: 𝑁𝑁𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑡𝑟𝑖𝑡𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑎𝑡𝑖𝑠𝑓𝑎𝑐𝑒𝑛 𝑑𝑖𝑐ℎ𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 2𝑏 < 10 Sabemos que: 𝑏 < 𝑎 + 𝑐 2𝑏 < 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 Se sigue que: 𝑏 < 5 de manera análoga: 𝑎 < 5 y 𝑐 < 5 Ya que 𝑎, 𝑏 y 𝑐 deben ser distintos: 𝑏 = 4, 𝑎 = 3, 𝑐 = 2 ∴ Existe un único triángulo CLAVE: A Teorema B A C 𝑏 − 𝑎 < 𝑐 < 𝑏 + 𝑎 𝑎 𝑏 𝑐

10. TRIÁNGULO RECTÁNGULO TRIÁNGULO ACUTÁNGULO Si 𝜃𝜃 < 90°, 𝛼 < 90°, 𝛽 < 90° Por naturaleza: 𝑎 2 < 𝑏 2 + 𝑐 2 Por naturaleza: 𝑏 2 + 𝑐 2 < 𝑎 2 TRIÁNGULO OBTUSÁNGULO Si 𝜃𝜃 > 90° 𝑎 > 𝑏; 𝑎 > 𝑐 Teorema de Pitágoras: 𝑏 2 = 𝑐 2 + 𝑎 2 Si 𝑚∢𝐴𝐵𝐶 = 90° 𝜃𝜃 + 𝛼 = 90° 𝑏 > 𝑎; 𝑏 > 𝑐 60° 60° 60° TRIÁNGULO EQUILÁTERO 𝜃𝜃 ≠ 𝛽, 𝛽 ≠ 𝛼, 𝜃𝜃 ≠ 𝛼 TRIÁNGULO ESCALENO 𝑎 ≠ 𝑏, 𝑏 ≠ 𝑐, 𝑎 ≠ 𝑐 Además: 𝑚∢𝐵𝐴𝐶 = 𝑚∢𝐵𝐶𝐴 = 𝜃𝜃 𝐴𝐶 : BASE TRIÁNGULO ISÓSCELES 𝐴𝐵 = 𝐵𝐶 = 𝑎 Además: 𝜽𝜽 es agudo 𝑚∢𝐵𝐴𝐶 = 𝑚∢𝐵𝐶𝐴 = 𝑚∢𝐴𝐵𝐶 = 60° 𝐴𝐵 = 𝐵𝐶 = 𝐴𝐶 = 𝑎 Además: CLASIFICACION DE TRIÁNGULOS

11. θ θ θ θ ALTURA MEDIANA BISECTRIZ MEDIATRIZ H F l M H F C A B B C A A B C B C A B C A B C A Acutángulo Obtusángulo a a Interior Exterior a a LÍNEAS NOTABLES ASOCIADAS AL TRIÁNGULO

12. θ x α α 𝛽 𝛽 𝛽 𝛽 α α θ x B C A Segmentos bisectrices interiores 𝜃𝜃 𝑥 = 90° + 2 B C A Segmentos bisectrices exteriores 𝜃𝜃 𝑥 = 90° − 2 θ x α α 𝛽 𝛽 B C A Segmentos bisectrices 𝜃𝜃 𝑥 = 2 TEOREMAS DE ÁNGULOS ENTRE BISECTRICES

13. EJEMPLO: RESOLUCIÓN: TRIÁNGULOS 𝐴) 110° B ) 115° C ) 120° D ) 125° E ) 130° Sobre los lados 𝐴𝐶 y 𝐵𝐶 de un triángulo acutángulo 𝐴𝐵𝐶 se ubican los puntos 𝐷 y 𝐸 , respectivamente, de tal modo que AD=BD=BE y 𝑚∠𝐷𝐸𝐵 = 𝑚∠𝐴𝐵𝐶. Si las bisectrices de los ∠𝐵𝐴𝐶 y ∠𝐴𝐶𝐵 se cortan en 𝑃 y 𝑚∠𝐸𝐷𝐶 = 40°, entonces ∠𝐶𝑃𝐴 es . B C θ 𝐷 𝐸 40° 𝑃 𝑥 Piden: 𝑥 ∆𝐷𝐵𝐸 𝐼𝑠𝐼𝑠 : 𝑚∢𝐵𝐷𝐸 = 𝑚∢𝐵𝐸𝐷 = 𝜃𝜃 A ∆𝐵𝐷𝐴 𝐼𝑠𝐼𝑠 : Por ángulo exterior 𝑚∢𝐵𝐴𝐷 = 𝑚∢𝐴𝐵𝐷 = 20° + 𝜃𝜃/2 Se sigue que: 𝑚∢𝐷𝐵𝐸 = 𝜃𝜃/2 − 20° ∆𝐷𝐵𝐸 𝐼𝑠𝐼𝑠 : 𝜃𝜃 + 𝜃𝜃 + 𝜃𝜃/2 − 20° = 180° Operando: 𝜃𝜃 = 80° Por teorema: 𝑥 = 90° + 𝜃𝜃 2 ∴ 𝑥 = 130° CLAVE: E θ 20° + 𝜃𝜃 𝜃𝜃 2 𝜃𝜃 − 20° 2 Teorema 𝛽 𝛽 α α θ x B C A 𝜃𝜃 𝑥 = 90° + 2

14. w w w . a c a d e m i a c e s a r v a l l e j o. e d u . p e