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1. C´alculo
Ingenier´ıa en Software
Facultad de Ciencias e Ingenier´ıa
Unidad 1
Funciones, l´ımite y continuidad
Tema 1
Funciones
Julio Cesar Villavicencio Mera, M.Sc.

2. Tabla de contenido
1
Objetivos
2
Actividad de Inicio
3
Subtemas
Subtema 1: Dominio y rango
Subtema 2:Clasificaci´on de funciones
Subtema 3: Funciones trigonom´etricas directas e inversas
Subtema 4: Funci´on Compuesta
Subtema 5: Funci´on Inversa
4
Actividad de Cierre
Julio Cesar Villavicencio Mera, M.Sc. Funciones, l´ımite y continuidad 2 / 62

3. Objetivo
Analizar los diversos Clasificaci´on de funciones de variable
real, observando su gr´afica o regla de correspondencia para
conocer las caracter´ısticas presentes en cada una de ellas.
Julio Cesar Villavicencio Mera, M.Sc. Funciones, l´ımite y continuidad 3 / 62

4. Actividad de Inicio
Estimados estudiantes, para comenzar el Tema 1:Funcio-
nes de Variable Realperteneciente a la Unidad 1, deben
dirigirse al siguienteENLACEy compararlos con los expli-
cados en el v´ıdeo.
Julio Cesar Villavicencio Mera, M.Sc. Funciones, l´ımite y continuidad 4 / 62

5. Subtema 1: Dominio y rango
¿Qu´e es una funci´on?
Definici´on 1 (Funci´on de Variable Real)
SeaXyYdos conjuntos no vac´ıos, subconjuntos de los n´umeros reales. Una funci´on de variable
real deXyYes una regla de correspondencia que asocia a cada valor deXun ´unico valor de
Y. Esto se representa simb´olicamente por:
f:X→Y
x→y=f(x)
A la variablexse le llama variable independiente y la variableyse la conoce como variable
dependiente.[2]
Figura 1: Diagrama de una funci´on como maquina.[6]
Julio Cesar Villavicencio Mera, M.Sc. Funciones, l´ımite y continuidad 5 / 62

6. Subtema 1: Dominio y rango
¿Qu´e es una funci´on?
Definici´on 1 (Funci´on de Variable Real)
SeaXyYdos conjuntos no vac´ıos, subconjuntos de los n´umeros reales. Una funci´on de variable
real deXyYes una regla de correspondencia que asocia a cada valor deXun ´unico valor de
Y. Esto se representa simb´olicamente por:
f:X→Y
x→y=f(x)
A la variablexse le llama variable independiente y la variableyse la conoce como variable
dependiente.[2]
Figura 1: Diagrama de una funci´on como maquina.[6]
Julio Cesar Villavicencio Mera, M.Sc. Funciones, l´ımite y continuidad 5 / 62

7. Subtema 1: Dominio y Rango
Representaci´on Gr´afica de una Funci´on
Sifes una funci´on deAenB, entonces la gr´afica defes el conjunto
de puntos o pares ordenados deAxB, tales que sus coordenadas (x,y)
pertenece af.[2]
Criterio de la Recta Vertical
Figura 2: Criterio de la Recta Vertical.
Julio Cesar Villavicencio Mera, M.Sc. Funciones, l´ımite y continuidad 6 / 62

8. Subtema 1: Dominio y Rango
Representaci´on Gr´afica de una Funci´on
Sifes una funci´on deAenB, entonces la gr´afica defes el conjunto
de puntos o pares ordenados deAxB, tales que sus coordenadas (x,y)
pertenece af.[2]
Criterio de la Recta Vertical
Figura 2: Criterio de la Recta Vertical.
Julio Cesar Villavicencio Mera, M.Sc. Funciones, l´ımite y continuidad 6 / 62

9. Subtema 1: Dominio y Rango
Dominio y Rango de una Funci´on
Definici´on 2 (Dominio de una funci´on)
Seafuna funci´on de variable realf:X→Y. El conjuntoXpara el cual se encuentra
definida, constituye el dominio de la funci´on. Este conjunto se representa simb´olicamente como
”domf”.[2]
Definici´on 3 (Rango de una funci´on)
Seafuna funci´on de variable realf:X→Y. El conjunto de todas las im´agenes de los elemen-
tos del dominio, constituye el rango de la funci´on. Este conjunto se representa simb´olicamente
como”rgf”.[2]
Figura 3: Criterio de la Recta Vertical.
Julio Cesar Villavicencio Mera, M.Sc. Funciones, l´ımite y continuidad 7 / 62

10. Subtema 1: Dominio y Rango
Dominio y Rango de una Funci´on
Definici´on 2 (Dominio de una funci´on)
Seafuna funci´on de variable realf:X→Y. El conjuntoXpara el cual se encuentra
definida, constituye el dominio de la funci´on. Este conjunto se representa simb´olicamente como
”domf”.[2]
Definici´on 3 (Rango de una funci´on)
Seafuna funci´on de variable realf:X→Y. El conjunto de todas las im´agenes de los elemen-
tos del dominio, constituye el rango de la funci´on. Este conjunto se representa simb´olicamente
como”rgf”.[2]
Figura 3: Criterio de la Recta Vertical.
Julio Cesar Villavicencio Mera, M.Sc. Funciones, l´ımite y continuidad 7 / 62

11. Subtema 1: Dominio y Rango
Dominio y Rango de una Funci´on
Definici´on 2 (Dominio de una funci´on)
Seafuna funci´on de variable realf:X→Y. El conjuntoXpara el cual se encuentra
definida, constituye el dominio de la funci´on. Este conjunto se representa simb´olicamente como
”domf”.[2]
Definici´on 3 (Rango de una funci´on)
Seafuna funci´on de variable realf:X→Y. El conjunto de todas las im´agenes de los elemen-
tos del dominio, constituye el rango de la funci´on. Este conjunto se representa simb´olicamente
como”rgf”.[2]
Figura 3: Criterio de la Recta Vertical.
Julio Cesar Villavicencio Mera, M.Sc. Funciones, l´ımite y continuidad 7 / 62

12. Subtema 1: Dominio y Rango
Problema 1
Seafuna funci´on cuya gr´afica esta dada en la figura adjunta. Determine:
Domf.
Rgf.
f(3),f(0),f(−1),f(x) =−3yf(x) = 3
Intersecciones con los ejes de coordenadas.
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13. Subtema 1: Dominio y Rango
Problema 2
Determine el dominio y rango de las siguientes funciones
Figura 4: f(x) =−
1
4
x
4
−
2
3
x
3
+
3
4
x
2
−
19
6
x+ 3
Julio Cesar Villavicencio Mera, M.Sc. Funciones, l´ımite y continuidad 9 / 62

14. Subtema 2: Clasificaci´on de funciones
Las funciones de variable real se pueden clasificar por su naturaleza o por
sus caracter´ısticas m´as relevantes como simetr´ıa, monoton´ıa, etc.
Clasific´andolas de acuerdo a su origen, se dividen en dos grande grupos:
Algebraicas
1
Polinomiales.
2
Racionales.
3
Irracionales.
Trascendentales
1
Trigonom´etricas.
2
Trigonom´etricas Inversas.
3
Logar´ıtmicas.
4
Exponenciales.
Julio Cesar Villavicencio Mera, M.Sc. Funciones, l´ımite y continuidad 10 / 62

15. Subtema 2: Clasificaci´on de funciones
Las funciones de variable real se pueden clasificar por su naturaleza o por
sus caracter´ısticas m´as relevantes como simetr´ıa, monoton´ıa, etc.
Clasific´andolas de acuerdo a su origen, se dividen en dos grande grupos:
Algebraicas
1
Polinomiales.
2
Racionales.
3
Irracionales.
Trascendentales
1
Trigonom´etricas.
2
Trigonom´etricas Inversas.
3
Logar´ıtmicas.
4
Exponenciales.
Julio Cesar Villavicencio Mera, M.Sc. Funciones, l´ımite y continuidad 10 / 62

16. Subtema 2: Clasificaci´on de funciones
Las funciones de variable real se pueden clasificar por su naturaleza o por
sus caracter´ısticas m´as relevantes como simetr´ıa, monoton´ıa, etc.
Clasific´andolas de acuerdo a su origen, se dividen en dos grande grupos:
Algebraicas
1
Polinomiales.
2
Racionales.
3
Irracionales.
Trascendentales
1
Trigonom´etricas.
2
Trigonom´etricas Inversas.
3
Logar´ıtmicas.
4
Exponenciales.
Julio Cesar Villavicencio Mera, M.Sc. Funciones, l´ımite y continuidad 10 / 62

17. Subtema 2: Clasificaci´on de funciones
Funci´on Polin´omica
Son todas aquellas funciones cuya regla de correspondencia es un polino-
mio, donde el grado del polinomio lo determina el mayor exponente de la
variable. Su f´ormula general es:
f(x) =anx
n
+an−1x
n−1
+an−2x
n−2
+· · ·+a1x+a0.
Donden>0 ya∈R.
El dominio de cualquier funci´on polinomial son todos los reales.
Algunos de casos particulares de las funciones polin´omicas son:
Funci´on Constante.
Funci´on Identidad.
Funci´on Lineal.
Funci´on Cuadr´atica.
Funci´on C´ubica.
Julio Cesar Villavicencio Mera, M.Sc. Funciones, l´ımite y continuidad 11 / 62

18. Subtema 2: Clasificaci´on de funciones
Funci´on Polin´omica
Son todas aquellas funciones cuya regla de correspondencia es un polino-
mio, donde el grado del polinomio lo determina el mayor exponente de la
variable. Su f´ormula general es:
f(x) =anx
n
+an−1x
n−1
+an−2x
n−2
+· · ·+a1x+a0.
Donden>0 ya∈R.
El dominio de cualquier funci´on polinomial son todos los reales.
Algunos de casos particulares de las funciones polin´omicas son:
Funci´on Constante.
Funci´on Identidad.
Funci´on Lineal.
Funci´on Cuadr´atica.
Funci´on C´ubica.
Julio Cesar Villavicencio Mera, M.Sc. Funciones, l´ımite y continuidad 11 / 62

19. Subtema 2: Clasificaci´on de funciones
Funci´on Constante
¿Qu´e ocurre cuando no hay una variable? Para este caso espec´ıfico se
dise˜n´o la funci´on constante, la cual es una l´ınea horizontal a la altura del
valor de la constante. Su regla de correspondencia es: [1]
f(x) =b,b∈R.
Caracter´ısticas de la Funci´on Constante
Domf=R.
Rgf={b}.
Es una funci´on par.
Pendiente igual a cero. Por lo tanto, no es creciente ni decreciente.Julio Cesar Villavicencio Mera, M.Sc. Funciones, l´ımite y continuidad 12 / 62

20. Subtema 2: Clasificaci´on de funciones
Funci´on Constante
¿Qu´e ocurre cuando no hay una variable? Para este caso espec´ıfico se
dise˜n´o la funci´on constante, la cual es una l´ınea horizontal a la altura del
valor de la constante. Su regla de correspondencia es: [1]
f(x) =b,b∈R.
Caracter´ısticas de la Funci´on Constante
Domf=R.
Rgf={b}.
Es una funci´on par.
Pendiente igual a cero. Por lo tanto, no es creciente ni decreciente.Julio Cesar Villavicencio Mera, M.Sc. Funciones, l´ımite y continuidad 12 / 62

21. Subtema 2: Clasificaci´on de funciones
Ejemplo 1 (Funci´on Constante)
Figura 5: f(x) = 2
Domf=R.
Rgf={2}.
Julio Cesar Villavicencio Mera, M.Sc. Funciones, l´ımite y continuidad 13 / 62

22. Subtema 2: Clasificaci´on de funciones
Funci´on Lineal
Se le llama lineal dado que su representaci´on en el plano cartesiano es una
l´ınea recta. Su regla de correspondencia es un polinomio de primer grado
de la forma:
f(x) =mx+b,m,b∈R.
dondemrepresenta la pendiente de la recta ybdetermina el punto de
corte de la recta con el eje verticaly. Cuando el valor dem= 1 yb= 0,
se la denominafunci´on identidadf(x) =x.[1]
Caracter´ısticas de la Funci´on Lineal
Domf=R.
Rgf=R.
La funci´on es creciente sim>0 y decreciente sim<0.
Julio Cesar Villavicencio Mera, M.Sc. Funciones, l´ımite y continuidad 14 / 62

23. Subtema 2: Clasificaci´on de funciones
Funci´on Lineal
Se le llama lineal dado que su representaci´on en el plano cartesiano es una
l´ınea recta. Su regla de correspondencia es un polinomio de primer grado
de la forma:
f(x) =mx+b,m,b∈R.
dondemrepresenta la pendiente de la recta ybdetermina el punto de
corte de la recta con el eje verticaly. Cuando el valor dem= 1 yb= 0,
se la denominafunci´on identidadf(x) =x.[1]
Caracter´ısticas de la Funci´on Lineal
Domf=R.
Rgf=R.
La funci´on es creciente sim>0 y decreciente sim<0.
Julio Cesar Villavicencio Mera, M.Sc. Funciones, l´ımite y continuidad 14 / 62

24. Subtema 2: Clasificaci´on de funciones
Ejemplo 2 (Funci´on Lineal)
Figura 6: f(x) =x+ 1
Domf=R.
Rgf=R.
Julio Cesar Villavicencio Mera, M.Sc. Funciones, l´ımite y continuidad 15 / 62

25. Subtema 2: Clasificaci´on de funciones
Funci´on Cuadr´atica
La trayectoria de un objeto en forma parab´olica como el movimiento ge-
nerado por una bala, el tiro de una pelota de f´utbol entre otros, son
representadas por una funci´on cuadr´atica. Su regla de correspondencia es
un polinomio de segundo grado de la forma:
f(x) =ax
2
+bx+c.
dondea,b,c∈Rya̸= 0. [1]
Caracter´ısticas de la Funci´on Cuadr´atica
Domf=R.
Sia>0,Rgf=
h
−
b
2
−4ac
4a
,+∞
≡
, la funci´on tiene un m´ınimo y es
c´oncava hacia arriba.
Sia<0,Rgf=
≍
−∞,−
b
2
−4ac
4a
i
, la funci´on tiene un m´aximo y es
c´oncava hacia abajo.
Julio Cesar Villavicencio Mera, M.Sc. Funciones, l´ımite y continuidad 16 / 62

26. Subtema 2: Clasificaci´on de funciones
Funci´on Cuadr´atica
La trayectoria de un objeto en forma parab´olica como el movimiento ge-
nerado por una bala, el tiro de una pelota de f´utbol entre otros, son
representadas por una funci´on cuadr´atica. Su regla de correspondencia es
un polinomio de segundo grado de la forma:
f(x) =ax
2
+bx+c.
dondea,b,c∈Rya̸= 0. [1]
Caracter´ısticas de la Funci´on Cuadr´atica
Domf=R.
Sia>0,Rgf=
h
−
b
2
−4ac
4a
,+∞
≡
, la funci´on tiene un m´ınimo y es
c´oncava hacia arriba.
Sia<0,Rgf=
≍
−∞,−
b
2
−4ac
4a
i
, la funci´on tiene un m´aximo y es
c´oncava hacia abajo.
Julio Cesar Villavicencio Mera, M.Sc. Funciones, l´ımite y continuidad 16 / 62

27. Subtema 2: Clasificaci´on de funciones
Ejemplo 3 (Funci´on Cuadr´atica)
Figura 7: f(x) =x
2
+ 1
Domf=R.
Rgf= [1,+∞)
Figura 8: f(x) =−x
2
+ 1
Domf=R.
Rgf= (−∞,1]
Julio Cesar Villavicencio Mera, M.Sc. Funciones, l´ımite y continuidad 17 / 62

28. Subtema 2: Clasificaci´on de funciones
Funci´on C´ubica
La regla de correspondencia de la funci´on c´ubica es un polinomio de tercer
grado de la forma:
f(x) =ax
3
+bx
2
+cx+d.
dondea,b,c,d∈Rya̸= 0. [1]
Caracter´ısticas de la Funci´on C´ubica
Domf=R.
Rgf=R.
Posee un punto de inflexi´onPique divide la gr´afica en dos
secciones, una c´oncava y una convexa.
Julio Cesar Villavicencio Mera, M.Sc. Funciones, l´ımite y continuidad 18 / 62

29. Subtema 2: Clasificaci´on de funciones
Funci´on C´ubica
La regla de correspondencia de la funci´on c´ubica es un polinomio de tercer
grado de la forma:
f(x) =ax
3
+bx
2
+cx+d.
dondea,b,c,d∈Rya̸= 0. [1]
Caracter´ısticas de la Funci´on C´ubica
Domf=R.
Rgf=R.
Posee un punto de inflexi´onPique divide la gr´afica en dos
secciones, una c´oncava y una convexa.
Julio Cesar Villavicencio Mera, M.Sc. Funciones, l´ımite y continuidad 18 / 62

30. Subtema 2: Clasificaci´on de funciones
Ejemplo 4 (Funci´on C´ubica)
Figura 9: f(x) =x
3
+ 1
Domf=R.
Rgf=R.
Figura 10: f(x) =−x
3
+ 1
Domf=R.
Rgf=R.
Julio Cesar Villavicencio Mera, M.Sc. Funciones, l´ımite y continuidad 19 / 62

31. Subtema 2: Clasificaci´on de funciones
Funci´on Racional
Su regla de correspondencia es:
f(x) =
P(x)
Q(x)
,donde Q(x)̸= 0.
siendoP(x) yQ(x) funciones.
El dominio de una funci´on racional ser´an todos los valores reales que
cumplan con la condici´onQ(x)̸= 0.
Caracter´ısticas de la Funci´on Racional
Toda funci´on racional tiene as´ıntotas.
El Dominio son todos los n´umeros reales excepto aquellos valores
que anulan el denominador de la fracci´on.
El Rango son todos los n´umeros reales menos aquellos valores en
los que la funci´on posee una as´ıntota horizontal.
Julio Cesar Villavicencio Mera, M.Sc. Funciones, l´ımite y continuidad 20 / 62

32. Subtema 2: Clasificaci´on de funciones
Funci´on Racional
Su regla de correspondencia es:
f(x) =
P(x)
Q(x)
,donde Q(x)̸= 0.
siendoP(x) yQ(x) funciones.
El dominio de una funci´on racional ser´an todos los valores reales que
cumplan con la condici´onQ(x)̸= 0.
Caracter´ısticas de la Funci´on Racional
Toda funci´on racional tiene as´ıntotas.
El Dominio son todos los n´umeros reales excepto aquellos valores
que anulan el denominador de la fracci´on.
El Rango son todos los n´umeros reales menos aquellos valores en
los que la funci´on posee una as´ıntota horizontal.
Julio Cesar Villavicencio Mera, M.Sc. Funciones, l´ımite y continuidad 20 / 62

33. Subtema 2: Clasificaci´on de funciones
M´etodo para determinar el dominio de una funci´on racional
1
Se analiza cada funci´on por separado.
2
Se iguala a cero cada ecuaci´on y se la resuelve.
3
Se intersectan los valores en caso de haber restricciones en ambas
ecuaciones.
Gr´afica de Funci´on Racional
Figura 11: f(x) =
x+ 2
x−2
Domf=R− {2}.
Rgf=R− {1}.
Julio Cesar Villavicencio Mera, M.Sc. Funciones, l´ımite y continuidad 21 / 62

34. Subtema 2: Clasificaci´on de funciones
Problema 3
Determinar el dominio de la siguiente funci´on.
f(x) =
7
x+3
Problema 4
Determinar el dominio de la siguiente funci´on.
f(x) =
2x−3
1−2x
Problema 5
Determinar el dominio de la siguiente funci´on.
f(x) =
x+2
x
2
−2x−24
Julio Cesar Villavicencio Mera, M.Sc. Funciones, l´ımite y continuidad 22 / 62

35. Subtema 2: Clasificaci´on de funciones
Problema 3
Determinar el dominio de la siguiente funci´on.
f(x) =
7
x+3
Problema 4
Determinar el dominio de la siguiente funci´on.
f(x) =
2x−3
1−2x
Problema 5
Determinar el dominio de la siguiente funci´on.
f(x) =
x+2
x
2
−2x−24
Julio Cesar Villavicencio Mera, M.Sc. Funciones, l´ımite y continuidad 22 / 62

36. Subtema 2: Clasificaci´on de funciones
Problema 3
Determinar el dominio de la siguiente funci´on.
f(x) =
7
x+3
Problema 4
Determinar el dominio de la siguiente funci´on.
f(x) =
2x−3
1−2x
Problema 5
Determinar el dominio de la siguiente funci´on.
f(x) =
x+2
x
2
−2x−24
Julio Cesar Villavicencio Mera, M.Sc. Funciones, l´ımite y continuidad 22 / 62

37. Subtema 2: Clasificaci´on de funciones
Funci´on Irracional
Las funciones irracionales, al igual que las funciones cuadr´aticas, pueden
describir el movimiento. Su regla de correspondencia es:
f(x) =
n
p
g(x).
Caracter´ısticas de la Funci´on Irracional
Si el ´ındice del radical es par, el dominio de la funci´on irracional son
los valores para los queg(x)≥0.
Si el ´ındice del radical es impar, el dominio esR.
Es continua en su dominio y no tiene as´ıntotas si la funci´on dentro
la ra´ız es una funci´on polin´omica.
Julio Cesar Villavicencio Mera, M.Sc. Funciones, l´ımite y continuidad 23 / 62

38. Subtema 2: Clasificaci´on de funciones
Funci´on Irracional
Las funciones irracionales, al igual que las funciones cuadr´aticas, pueden
describir el movimiento. Su regla de correspondencia es:
f(x) =
n
p
g(x).
Caracter´ısticas de la Funci´on Irracional
Si el ´ındice del radical es par, el dominio de la funci´on irracional son
los valores para los queg(x)≥0.
Si el ´ındice del radical es impar, el dominio esR.
Es continua en su dominio y no tiene as´ıntotas si la funci´on dentro
la ra´ız es una funci´on polin´omica.
Julio Cesar Villavicencio Mera, M.Sc. Funciones, l´ımite y continuidad 23 / 62

39. Subtema 2: Clasificaci´on de funciones
M´etodo para determinar el dominio de una funci´on Irracional
1
Se plantea el interior de la ra´ız (radicandog(x)) comog(x)≥0.
2
Se resuelve la desigualad, para determinar el dominio.
Gr´afica de Funci´on Irracional
Figura 12: f(x) =
√
x+ 1
Domf= [−1,+∞).
Rgf= [0,+∞).
Julio Cesar Villavicencio Mera, M.Sc. Funciones, l´ımite y continuidad 24 / 62

40. Subtema 2: Clasificaci´on de funciones
Problema 6
Determinar el dominio de la siguiente funci´on.
f(x) =
√
2x−6
Problema 7
Determinar el dominio de la siguiente funci´on.
f(x) =
√
3−12x
Problema 8
Determinar el dominio de la siguiente funci´on.
f(x) =
7x+1
√
2−x
Julio Cesar Villavicencio Mera, M.Sc. Funciones, l´ımite y continuidad 25 / 62

41. Subtema 2: Clasificaci´on de funciones
Problema 6
Determinar el dominio de la siguiente funci´on.
f(x) =
√
2x−6
Problema 7
Determinar el dominio de la siguiente funci´on.
f(x) =
√
3−12x
Problema 8
Determinar el dominio de la siguiente funci´on.
f(x) =
7x+1
√
2−x
Julio Cesar Villavicencio Mera, M.Sc. Funciones, l´ımite y continuidad 25 / 62

42. Subtema 2: Clasificaci´on de funciones
Problema 6
Determinar el dominio de la siguiente funci´on.
f(x) =
√
2x−6
Problema 7
Determinar el dominio de la siguiente funci´on.
f(x) =
√
3−12x
Problema 8
Determinar el dominio de la siguiente funci´on.
f(x) =
7x+1
√
2−x
Julio Cesar Villavicencio Mera, M.Sc. Funciones, l´ımite y continuidad 25 / 62

43. Subtema 2: Clasificaci´on de funciones
Funciones Trascendentales
Funci´on Logar´ıtmica
Los logaritmos son muy importantes en matem´aticas, ya que facilitan
realizar c´alculos. Su regla de correspondencia es:
f(x) =loga(x)
Las funciones logar´ıtmicas m´as utilizadas son:
Base 10,f(x) =log10(x).
Base natural,f(x) =ln(x).
Caracter´ısticas de la Funci´on Logar´ıtmica
El argumento del logaritmo siempre es mayor que cero.
Rgf=R.
Posee una as´ıntota vertical.
Julio Cesar Villavicencio Mera, M.Sc. Funciones, l´ımite y continuidad 26 / 62

44. Subtema 2: Clasificaci´on de funciones
Gr´afica de la Funci´on Logar´ıtmica
Sia>1,fes creciente.
Si 0<a<1,fes decreciente.
Ejemplo 5 (Funci´on Logar´ıtmica) Figura 13: f(x) =log2(x) yg(x) =log1
2
(x)
Julio Cesar Villavicencio Mera, M.Sc. Funciones, l´ımite y continuidad 27 / 62

45. Subtema 2: Clasificaci´on de funciones
M´etodo para determinar el dominio de una funci´on Logar´ıtmi-
ca
1
Se toma en consideraci´on s´olo el argumento de la funci´on
logar´ıtmica, construyendo una desigualdad.
2
El argumento debe ser mayor que cero.
3
Se resuelve la desigualad, para determinar el dominio.
Gr´afica de Funci´on Logar´ıtmica natural
Figura 14: f(x) =f(x) =ln(X−1)
Domf= (1,+∞).
Rgf=R.
Julio Cesar Villavicencio Mera, M.Sc. Funciones, l´ımite y continuidad 28 / 62

46. Subtema 2: Clasificaci´on de funciones
Problema 9
Determinar el dominio de la siguiente funci´on.
f(x) =
ln(x−1)
x−4
Julio Cesar Villavicencio Mera, M.Sc. Funciones, l´ımite y continuidad 29 / 62

47. Subtema 2: Clasificaci´on de funciones
Funci´on Exponencial
Su regla de correspondencia es:
f(x) =a
x
Las funciones logar´ıtmicas m´as utilizadas son:
Base 10,f(x) = 10
x
.
Base natural,f(x) =e
x
.
Caracter´ısticas de la Funci´on Exponencial
Domf=R.
Posee una as´ıntota horizontal.
Julio Cesar Villavicencio Mera, M.Sc. Funciones, l´ımite y continuidad 30 / 62

48. Subtema 2: Clasificaci´on de funciones
Gr´afica de la Funci´on Exponencial
Sia>1,fes creciente.
Si 0<a<1,fes decreciente.
Ejemplo 6 (Funci´on Exponencial) Figura 15: f(x) = 2
x
yg(x) =
1
2
x
Julio Cesar Villavicencio Mera, M.Sc. Funciones, l´ımite y continuidad 31 / 62

49. Subtema 3: Funciones trigonom´etricas directas e inversas
Funci´on Seno (sinx)
Dominio:R Rango:[−1,1]Per´ıodo:2π
0
π
2
π
3π
2
2π−1−0,500,51xyGr´afica de sinx
Julio Cesar Villavicencio Mera, M.Sc. Funciones, l´ımite y continuidad 32 / 62

50. Subtema 3: Funciones trigonom´etricas directas e inversas
Funci´on Coseno (cosx)
Dominio:R Rango:[−1,1]Per´ıodo:2π
0
π
2
π
3π
2
2π−101xyGr´afica de cosx
Julio Cesar Villavicencio Mera, M.Sc. Funciones, l´ımite y continuidad 33 / 62

51. Subtema 3: Funciones trigonom´etricas directas e inversas
Funci´on Tangente (tanx)
La tangente es la relaci´on entre el seno y el coseno, tanx=
sinx
cosx
.
Dominio:R\
Φ
π
2
+kπ|k∈Z

Rango:R Per´ıodo:π
−
π
2
−
π
4
0
π
4
π
2
−6−4−20246xyGr´afica de tanx
Julio Cesar Villavicencio Mera, M.Sc. Funciones, l´ımite y continuidad 34 / 62

52. Subtema 3: Funciones trigonom´etricas directas e inversas
Funci´on Cotangente (cotx)
La cotangente es la relaci´on entre el coseno y el seno, cotx=
cosx
sinx
.
Dominio:R\ {kπ|k∈Z}Rango:R Per´ıodo:π
0
π
4
π
2
3π
4
π−6−4−20246xyGr´afica de cotx
Julio Cesar Villavicencio Mera, M.Sc. Funciones, l´ımite y continuidad 35 / 62

53. Subtema 3: Funciones trigonom´etricas directas e inversas
Funci´on Secante (secx)
La secante es la relaci´on inversa del coseno, secx=
1
cosx
.
Dominio:R\
Φ
π
2
+kπ|k∈Z

Rango:(−∞,−1]∪[1,∞)Per´ıodo:2π
−π−
π
2
0
π
2
π−10−50510xyGr´afica de secx
Julio Cesar Villavicencio Mera, M.Sc. Funciones, l´ımite y continuidad 36 / 62

54. Subtema 3: Funciones trigonom´etricas directas e inversas
Funci´on Cosecante (cscx)
La cosecante es la relaci´on inversa del seno, cscx=
1
sinx
.
Dominio:R\ {kπ|k∈Z}Rango:(−∞,−1]∪[1,∞)Per´ıodo:2π
−π−
π
2
0
π
2
π−10−50510xyGr´afica de cscx
Julio Cesar Villavicencio Mera, M.Sc. Funciones, l´ımite y continuidad 37 / 62

55. Subtema 4: Funci´on Compuesta
Definici´on 4 (Composici´on de
funciones)
Seanfygdos funciones de variable real:
La funci´on compuesta defcongdenotada
porf◦gse define por:
(f◦g)(x) =f(g(x))
que se lee ”f compuesta con g”.[2]
Figura 16: Funci´on
compuesta expresada como
maquina.[6]
Julio Cesar Villavicencio Mera, M.Sc. Funciones, l´ımite y continuidad 38 / 62

56. Subtema 4: Funci´on Compuesta
Definici´on 4 (Composici´on de
funciones)
Seanfygdos funciones de variable real:
La funci´on compuesta defcongdenotada
porf◦gse define por:
(f◦g)(x) =f(g(x))
que se lee ”f compuesta con g”.[2]
Figura 16: Funci´on
compuesta expresada como
maquina.[6]
Julio Cesar Villavicencio Mera, M.Sc. Funciones, l´ımite y continuidad 38 / 62

57. Subtema 4: Funci´on Compuesta
Composici´on de funciones
Dominio y Rango de una funci´on compuesta
El dominio def◦ges el conjunto de todas lasxen el dominio deg
tales queg(x) est´a en el conjunto def. En otras palabras, (f◦g)(x) esta
definida siempre queg(x) yf(g(x)) est´en definidas. [6]
Por lo tanto,f◦gexiste cuandoRango g⊆Dominiof.
Figura 17: Dominio def◦g. [3]
Julio Cesar Villavicencio Mera, M.Sc. Funciones, l´ımite y continuidad 39 / 62

58. Subtema 4: Funci´on Compuesta
Composici´on de funciones
Dominio y Rango de una funci´on compuesta
El dominio def◦ges el conjunto de todas lasxen el dominio deg
tales queg(x) est´a en el conjunto def. En otras palabras, (f◦g)(x) esta
definida siempre queg(x) yf(g(x)) est´en definidas. [6]
Por lo tanto,f◦gexiste cuandoRango g⊆Dominiof.
Figura 17: Dominio def◦g. [3]
Julio Cesar Villavicencio Mera, M.Sc. Funciones, l´ımite y continuidad 39 / 62

59. Subtema 4: Funci´on Compuesta
Composici´on de funciones
Propiedades de la funci´on compuesta
Asociativa:f◦(g◦h) = (f◦g)◦h.
No es Conmutativa:f◦g̸=g◦f.
Elemento Neutro:Funci´on identidadI(x) =x. Por lo tanto,
(g◦I)(x) = (I◦g)(x) =g(x).
Elemento Sim´etrico:Funci´on Inversaf
−1
. Por lo tanto,
(f◦f
−1
)(x) = (f
−1
◦f)(x) =I(x).
Si se realiza la funci´on inversa de una composici´on de funciones
obtenemos la composici´on de sus inversas permutando el orden de
la composici´on: (f◦g)
−1
=g
−1
◦f
−1
.
Julio Cesar Villavicencio Mera, M.Sc. Funciones, l´ımite y continuidad 40 / 62

60. Subtema 4: Funci´on Compuesta
Composici´on de funciones
Ejemplo 7 (Composici´on de funciones)
Obtener la funci´on(f◦g)(x)a partir de:
f(x) = 1 + 2x−x
2
y g(x) =x
2
−4.
(f◦g)(x) =f(g(x))
= 1 + 2 [g(x)]−[g(x)]
2
= 1 + 2
Θ
x
2
−4
Λ
−
Θ
x
2
−4
Λ
2
= 1 + 2x
2
−8−
Θ
x
4
−8x
2
+ 16
Λ
= 1 + 2x
2
−8−x
4
+ 8x
2
−16
=−x
4
+ 10x
2
−23
Julio Cesar Villavicencio Mera, M.Sc. Funciones, l´ımite y continuidad 41 / 62

61. Subtema 4: Funci´on Compuesta
Composici´on de funciones
Ejemplo 7 (Composici´on de funciones)
Obtener la funci´on(f◦g)(x)a partir de:
f(x) = 1 + 2x−x
2
y g(x) =x
2
−4.
(f◦g)(x) =f(g(x))
= 1 + 2 [g(x)]−[g(x)]
2
= 1 + 2
Θ
x
2
−4
Λ
−
Θ
x
2
−4
Λ
2
= 1 + 2x
2
−8−
Θ
x
4
−8x
2
+ 16
Λ
= 1 + 2x
2
−8−x
4
+ 8x
2
−16
=−x
4
+ 10x
2
−23
Julio Cesar Villavicencio Mera, M.Sc. Funciones, l´ımite y continuidad 41 / 62

62. Subtema 4: Funci´on Compuesta
Composici´on de funciones
Ejemplo 8 (Composici´on de funciones)
Obtener la funci´on(g◦f)(x)a partir de:
f(x) = 1 + 2x−x
2
y g(x) =x
2
−4.
(g◦f)(x) =g(f(x))
= [f(x)]
2
−4
=
Θ
1 + 2x−x
2
Λ
2
−4
=x
4
−4x
3
+ 2x
2
+ 4x+ 1−4
=x
4
−4x
3
+ 2x
2
+ 4x−3
Julio Cesar Villavicencio Mera, M.Sc. Funciones, l´ımite y continuidad 42 / 62

63. Subtema 4: Funci´on Compuesta
Composici´on de funciones
Ejemplo 8 (Composici´on de funciones)
Obtener la funci´on(g◦f)(x)a partir de:
f(x) = 1 + 2x−x
2
y g(x) =x
2
−4.
(g◦f)(x) =g(f(x))
= [f(x)]
2
−4
=
Θ
1 + 2x−x
2
Λ
2
−4
=x
4
−4x
3
+ 2x
2
+ 4x+ 1−4
=x
4
−4x
3
+ 2x
2
+ 4x−3
Julio Cesar Villavicencio Mera, M.Sc. Funciones, l´ımite y continuidad 42 / 62

64. Subtema 4: Funci´on Compuesta
Ejercicios Resueltos
Problema 10
Obtener la funci´on(f◦g◦h)(x)a partir de:
f(x) =cos(x),g(x) =
√
x y h(x) = 2x−1.
(f◦g◦h)(x) =f(g(h(x)))
⇒(g◦h)(x) =g(h(x))
=
p
h(x)
=
√
2x−1
∴(f◦g◦h)(x) =f(g(h(x)))
=cos(g(h(x)))
=cos(
√
2x−1)
Julio Cesar Villavicencio Mera, M.Sc. Funciones, l´ımite y continuidad 43 / 62

65. Subtema 4: Funci´on Compuesta
Ejercicios Resueltos
Problema 10
Obtener la funci´on(f◦g◦h)(x)a partir de:
f(x) =cos(x),g(x) =
√
x y h(x) = 2x−1.
(f◦g◦h)(x) =f(g(h(x)))
⇒(g◦h)(x) =g(h(x))
=
p
h(x)
=
√
2x−1
∴(f◦g◦h)(x) =f(g(h(x)))
=cos(g(h(x)))
=cos(
√
2x−1)
Julio Cesar Villavicencio Mera, M.Sc. Funciones, l´ımite y continuidad 43 / 62

66. Subtema 4: Funci´on Compuesta
Ejercicios Resueltos
Problema 11
Seanf(x) =log(1−3x)yg(x) =x
2
−2
Determinar:(f◦g)(
√
2)
(f◦g)(
√
2) =f(g(
√
2))
⇒g(
√
2)
↠√
2
↞
2
−2
= 2−2
=
∴f(0) =log(1−3(0))
=log(1−0)
= 0
Julio Cesar Villavicencio Mera, M.Sc. Funciones, l´ımite y continuidad 44 / 62

67. Subtema 4: Funci´on Compuesta
Ejercicios Resueltos
Problema 11
Seanf(x) =log(1−3x)yg(x) =x
2
−2
Determinar:(f◦g)(
√
2)
(f◦g)(
√
2) =f(g(
√
2))
⇒g(
√
2)
↠√
2
↞
2
−2
= 2−2
=
∴f(0) =log(1−3(0))
=log(1−0)
= 0
Julio Cesar Villavicencio Mera, M.Sc. Funciones, l´ımite y continuidad 44 / 62

68. Subtema 4: Funci´on Compuesta
Ejercicios Resueltos
Problema 12
Seanf(x) =log(1−3x)yg(x) =x
2
−2
Determinar:(g◦f)(−3)
(g◦f)(−3) =g(f(−3))
⇒f(−3) log(1−3(−3))
=log(1 + 9)
=log(10)
=
∴g(1) = (1)
2
−2
= 1−2
=−1
Julio Cesar Villavicencio Mera, M.Sc. Funciones, l´ımite y continuidad 45 / 62

69. Subtema 4: Funci´on Compuesta
Ejercicios Resueltos
Problema 12
Seanf(x) =log(1−3x)yg(x) =x
2
−2
Determinar:(g◦f)(−3)
(g◦f)(−3) =g(f(−3))
⇒f(−3) log(1−3(−3))
=log(1 + 9)
=log(10)
=
∴g(1) = (1)
2
−2
= 1−2
=−1
Julio Cesar Villavicencio Mera, M.Sc. Funciones, l´ımite y continuidad 45 / 62

70. Subtema 5: Funci´on Inversa
Definici´on 5 (Funci´on Biyectiva)
Una funci´on de variable realfes biyectiva si y sol´o si:
fes Inyectiva, y
fes Sobreyectiva [2]
Figura 18: Ejemplo de cuando una funci´on es biyectiva
y cuando no.
Julio Cesar Villavicencio Mera, M.Sc. Funciones, l´ımite y continuidad 46 / 62

71. Subtema 5: Funci´on Inversa
Definici´on 5 (Funci´on Biyectiva)
Una funci´on de variable realfes biyectiva si y sol´o si:
fes Inyectiva, y
fes Sobreyectiva [2]
Figura 18: Ejemplo de cuando una funci´on es biyectiva
y cuando no.
Julio Cesar Villavicencio Mera, M.Sc. Funciones, l´ımite y continuidad 46 / 62

72. Subtema 5: Funci´on Inversa
Funci´on Biyectiva
Definici´on 6 (Funci´on Inyectiva)
Una funci´onf:X→Yes inyectiva, si y sol´o si para cualquier elecci´on de
n´umerosx1yx2, six1̸=x2en el dominio def, entoncesf(x1)̸=f(x2).[2]
A estas funciones se las denominauno a uno.
Figura 19: fes inyectiva ygno lo es.[6]
Julio Cesar Villavicencio Mera, M.Sc. Funciones, l´ımite y continuidad 47 / 62

73. Subtema 5: Funci´on Inversa
Funci´on Biyectiva
Definici´on 6 (Funci´on Inyectiva)
Una funci´onf:X→Yes inyectiva, si y sol´o si para cualquier elecci´on de
n´umerosx1yx2, six1̸=x2en el dominio def, entoncesf(x1)̸=f(x2).[2]
A estas funciones se las denominauno a uno.
Figura 19: fes inyectiva ygno lo es.[6]
Julio Cesar Villavicencio Mera, M.Sc. Funciones, l´ımite y continuidad 47 / 62

74. Subtema 5: Funci´on Inversa
Funci´on Biyectiva
Criterio de la recta horizontal
Una funci´on es uno a uno (Inyectiva) si, y s´olo si, una recta horizontal
intersecta la gr´afica de la funci´on a lo mucho en un punto. [1]
Figura 20: Criterio de la recta vertical.[2]
Julio Cesar Villavicencio Mera, M.Sc. Funciones, l´ımite y continuidad 48 / 62

75. Subtema 5: Funci´on Inversa
Funci´on Biyectiva
Definici´on 7 (Funci´on Sobreyectiva)
Una funci´onf:X→Yes sobreyectiva, si y sol´o si todo elemento de
Yse encuentra relacionado con alg´un elemento deX. A partir de esta
definici´on, se deduce que sifes sobreyectiva,rgf=Y. [2]
Figura 21: Gr´afica de funci´on sobreyectiva y de
funci´on no sobreyectiva.[2]
Julio Cesar Villavicencio Mera, M.Sc. Funciones, l´ımite y continuidad 49 / 62

76. Subtema 5: Funci´on Inversa
Funci´on Biyectiva
Definici´on 7 (Funci´on Sobreyectiva)
Una funci´onf:X→Yes sobreyectiva, si y sol´o si todo elemento de
Yse encuentra relacionado con alg´un elemento deX. A partir de esta
definici´on, se deduce que sifes sobreyectiva,rgf=Y. [2]
Figura 21: Gr´afica de funci´on sobreyectiva y de
funci´on no sobreyectiva.[2]
Julio Cesar Villavicencio Mera, M.Sc. Funciones, l´ımite y continuidad 49 / 62

77. Subtema 5: Funci´on Inversa
Funci´on Inversa
Definici´on 8 (Funci´on Inversa)
Sea f una funci´on biyectiva con dominio A y rango B. Entonces, la funci´on
inversaf
−1
tiene dominio B y rango A y est´a definida por
f
−1
(y) =x⇔f(x) =y
para cualquieryen B.[6]
Figura 22: Funci´on Inversa.[6]
Julio Cesar Villavicencio Mera, M.Sc. Funciones, l´ımite y continuidad 50 / 62

78. Subtema 5: Funci´on Inversa
Funci´on Inversa
Definici´on 8 (Funci´on Inversa)
Sea f una funci´on biyectiva con dominio A y rango B. Entonces, la funci´on
inversaf
−1
tiene dominio B y rango A y est´a definida por
f
−1
(y) =x⇔f(x) =y
para cualquieryen B.[6]
Figura 22: Funci´on Inversa.[6]
Julio Cesar Villavicencio Mera, M.Sc. Funciones, l´ımite y continuidad 50 / 62

79. Subtema 5: Funci´on Inversa
Propiedades de la funci´on inversa
El dominio def
−1
es el rango def, y el rango def
−1
es el dominio
def. Es decir,dom f
−1
=rg fyrg f
−1
=dom f.
Gr´aficamentefyf
−1
son sim´etricas con respecto a la funci´on
identidadf(x) =x.
Sifes estrictamente creciente,f
−1
tambi´en es estrictamente
creciente.
Sifes estrictamente decreciente,f
−1
tambi´en es estrictamente
decreciente.
La composici´on entre la funci´on y su inversa es la funci´on identidad,
(f◦f
−1
)(x) =x
Julio Cesar Villavicencio Mera, M.Sc. Funciones, l´ımite y continuidad 51 / 62

80. Subtema 5: Funci´on Inversa
Procedimiento para calcular la funci´on inversa
1
Despeje axen t´erminos dey, de la ecuaci´ony=f(x).
2
Utilicef
−1
(y) para denominar a la expresi´on resultante eny.
3
Sustituyayporxa fin de obtener la f´ormula paraf
−1
(x). [4]
Gr´afica de la funci´on inversa
La gr´afica def
−1
es un reflejo de la gr´afica defen la rectay=x
Figura 23: Funci´on Inversa.[3]
Julio Cesar Villavicencio Mera, M.Sc. Funciones, l´ımite y continuidad 52 / 62

81. Subtema 5: Funci´on Inversa
Procedimiento para calcular la funci´on inversa
1
Despeje axen t´erminos dey, de la ecuaci´ony=f(x).
2
Utilicef
−1
(y) para denominar a la expresi´on resultante eny.
3
Sustituyayporxa fin de obtener la f´ormula paraf
−1
(x). [4]
Gr´afica de la funci´on inversa
La gr´afica def
−1
es un reflejo de la gr´afica defen la rectay=x
Figura 23: Funci´on Inversa.[3]
Julio Cesar Villavicencio Mera, M.Sc. Funciones, l´ımite y continuidad 52 / 62

82. Subtema 5: Funci´on Inversa
Problema 13
Hallar la funci´on inversaf
−1
y su gr´afica de
f(x) =
√
2x−3
√
2x−3 =y
2x−3 =y
2
2x=y
2
+ 3
x=
y
2
+ 3
2
f
−1
(y) =
y
2
+ 3
2
∴f
−1
(x)
x
2
+ 3
2
Julio Cesar Villavicencio Mera, M.Sc. Funciones, l´ımite y continuidad 53 / 62

83. Subtema 5: Funci´on Inversa
Problema 13
Hallar la funci´on inversaf
−1
y su gr´afica de
f(x) =
√
2x−3
√
2x−3 =y
2x−3 =y
2
2x=y
2
+ 3
x=
y
2
+ 3
2
f
−1
(y) =
y
2
+ 3
2
∴f
−1
(x)
x
2
+ 3
2
Julio Cesar Villavicencio Mera, M.Sc. Funciones, l´ımite y continuidad 53 / 62

84. Subtema 5: Funci´on Inversa
Problema 13
Hallar la funci´on inversaf
−1
y su gr´afica de
f(x) =
√
2x−3
√
2x−3 =y
2x−3 =y
2
2x=y
2
+ 3
x=
y
2
+ 3
2
f
−1
(y) =
y
2
+ 3
2
∴f
−1
(x)
x
2
+ 3
2
Julio Cesar Villavicencio Mera, M.Sc. Funciones, l´ımite y continuidad 53 / 62

85. Subtema 5: Funci´on Inversa
Problema 14
Sea f(x) =
⊂
x
2
+ 1,x≥0
x+ 1,x<0
, encuentref
−1
y graf´ıquela.
Si x≥0,f(x) =x
2
+ 1
⇒rgf= [1,∞)
y=x
2
+ 1
y−1 =x
2
±
p
y−1 =x
p
y−1 =f
−1
(y)
f
−1
(x)
√
x−1
Si x<0,f(x) =x+ 1
⇒rgf= (−∞,1]
y=x+ 1
y−1 =x
y−1 =f
−1
(y)
f
−1
(x)x−1
Julio Cesar Villavicencio Mera, M.Sc. Funciones, l´ımite y continuidad 54 / 62

86. Subtema 5: Funci´on Inversa
Problema 14
Sea f(x) =
⊂
x
2
+ 1,x≥0
x+ 1,x<0
, encuentref
−1
y graf´ıquela.
Si x≥0,f(x) =x
2
+ 1
⇒rgf= [1,∞)
y=x
2
+ 1
y−1 =x
2
±
p
y−1 =x
p
y−1 =f
−1
(y)
f
−1
(x)
√
x−1
Si x<0,f(x) =x+ 1
⇒rgf= (−∞,1]
y=x+ 1
y−1 =x
y−1 =f
−1
(y)
f
−1
(x)x−1
Julio Cesar Villavicencio Mera, M.Sc. Funciones, l´ımite y continuidad 54 / 62

87. Subtema 5: Funci´on Inversa
Problema 14
Sea f(x) =
⊂
x
2
+ 1,x≥0
x+ 1,x<0
, encuentref
−1
y graf´ıquela.
Si x≥0,f(x) =x
2
+ 1
⇒rgf= [1,∞)
y=x
2
+ 1
y−1 =x
2
±
p
y−1 =x
p
y−1 =f
−1
(y)
f
−1
(x)
√
x−1
Si x<0,f(x) =x+ 1
⇒rgf= (−∞,1]
y=x+ 1
y−1 =x
y−1 =f
−1
(y)
f
−1
(x)x−1
Julio Cesar Villavicencio Mera, M.Sc. Funciones, l´ımite y continuidad 54 / 62

88. Subtema 5: Funci´on Inversa
Respuestas del Problema 2
Funci´on Inversaf
−1
f
−1
(x) =
ρ√
x−1,x≥1
x−1,x<1
Gr´afica de Funci´on Inversa
Julio Cesar Villavicencio Mera, M.Sc. Funciones, l´ımite y continuidad 55 / 62

89. Subtema 5: Funci´on Inversa
Problema 15
Sifes un a funci´on cuyo dominio es[5,+∞)y su regla de correspondencia
esf(x) =
√
x−5−5, entonces cual es la inversa defy su dominio.
Funci´on inversa
y=
√
x−5−5
y+ 5 =
√
x−5
(y+ 5)
2
= (
√
x−5)
2
(y+ 5)
2
=x−5
(y+ 5)
2
+ 5 =x
y= (x+ 5)
2
+ 5
f
−1
(x) = (x+ 5)
2
+ 5
Dominio de la inversa
Domf
−1
=Rgf
Dado quef(x)≥ −5
Por lo tanto,
Domf
−1
= [−5,+∞)
Julio Cesar Villavicencio Mera, M.Sc. Funciones, l´ımite y continuidad 56 / 62

90. Subtema 5: Funci´on Inversa
Problema 15
Sifes un a funci´on cuyo dominio es[5,+∞)y su regla de correspondencia
esf(x) =
√
x−5−5, entonces cual es la inversa defy su dominio.
Funci´on inversa
y=
√
x−5−5
y+ 5 =
√
x−5
(y+ 5)
2
= (
√
x−5)
2
(y+ 5)
2
=x−5
(y+ 5)
2
+ 5 =x
y= (x+ 5)
2
+ 5
f
−1
(x) = (x+ 5)
2
+ 5
Dominio de la inversa
Domf
−1
=Rgf
Dado quef(x)≥ −5
Por lo tanto,
Domf
−1
= [−5,+∞)
Julio Cesar Villavicencio Mera, M.Sc. Funciones, l´ımite y continuidad 56 / 62

91. Subtema 5: Funci´on Inversa
Problema 16
Seanfygfunciones de variable real, tales que:
f(x) = 4(x−1),g(x) =
6−x
2
Resuelva la ecuaci´on(f
−1
◦g)(x) = 4.
Julio Cesar Villavicencio Mera, M.Sc. Funciones, l´ımite y continuidad 57 / 62

92. Subtema 5: Funci´on Inversa
Problema 17
Sif(x) =x
2
−4x−3,x∈(−∞,2]es la regla de correspondencia de una
funci´on invertible, determinar la regla de correspondencia def
−1
.
Julio Cesar Villavicencio Mera, M.Sc. Funciones, l´ımite y continuidad 58 / 62

93. Subtema 5: Funci´on Inversa
Problema 18
Seafuna funci´on de variable real biyectiva, tal que su regla de correspon-
dencia esf(x) = 2e
x−3
,x∈R, determinar la regla de correspondencia
def
−1
.
Julio Cesar Villavicencio Mera, M.Sc. Funciones, l´ımite y continuidad 59 / 62

94. Subtema 5: Funci´on Inversa
Problema 19
A continuaci´on se muestra la gr´afica de una funci´onf:R→(−∞,0)
biyectiva y su inversaf
−1
.
Determinar si es:
a) Verdadero b) Falso
Julio Cesar Villavicencio Mera, M.Sc. Funciones, l´ımite y continuidad 60 / 62

95. Actividad de Cierre
1. Si f es una funci´on invertible deRenRcon regla de correspon-
dencia
f(x) =
⊂
1−x
2
,x≤0
e
x
,x>0
2. Investigar las funciones trigonom´etricas inversas, gr´afica, dominio
y rango
Julio Cesar Villavicencio Mera, M.Sc. Funciones, l´ımite y continuidad 61 / 62

96. Bibliograf´ıa
[1] C´alculo diferencial: para cursos con
enfoque por competencias.1.
a
ed. Pearson Educaci´on, 2013.
[2] Fundamentos de Matem´aticas para bachillerato.
2.
a
ed. Espol - Unidad de Publicaciones, 2006.
[3] C´alculo 1: de una variable.9.
a
ed.
McGraw-Hill Interamericana, 2010.
[4] Calculo.9.
a
ed. Pearson
Educaci´on, 2007.
[5] C´ALCULO INTEGRAL.
a
ed. Editorial Universi-
taria Abya-Yala, 2018.
[6] C´alculo de una variable: Trascendentes tempranas.
a
ed.
Cengage Learning., 2012.
Julio Cesar Villavicencio Mera, M.Sc. Funciones, l´ımite y continuidad 62 / 62