Semana 14: Gradiente, Divergencia y Rotacional

Teoremas y Propiedades

2. Cálculo Multivariable
Marcelo Fernando Valdiviezo C.
Carrera de Telecomunicaciones
Octubre -2020

3. UNIDAD 3: INTEGRACIÓN
VECTORIAL
TEMA: GRADIENTE, DIVERGENCIA Y ROTACIONAL.

4. INTRODUCCIÓNxyz

=++

ijk
Operador Vectorial Diferencial ∇
Este operador posee propiedades análogas a las de los vectores comunes. También se conoce como Nabla

5. GRADIENTE
DEFINICIÓN DE GRADIENTE
Sea una función escalar definida u diferenciable
en cada punto (x, y, z) en cierta región del espacio. Entonces el
gradiente de , que se denota con se define como:( ),,xyz   xyzxyz



=++=++


ijkijk

6. EJEMPLO 1: HALLAR EL GRADIENTE DE
UNA FUNCIÓN VECTORIAL
Suponga que . Encuentre el gradiente en el punto ()1,1,2P ( )
3 22
,,3xyzxyyz =− ( )
3 22
3xyyz
xyz


=++ −


ijk ( )
3 2 2 2
3922yxyyzyz=+−−i jk ()() ()()()()( )()()
3 2 2 2
1,1,231911212212=+− − i j k ()1,1,234=+− ijk

7. MULTIPLICADOR DE LAGRANGE
Deseamos encontrar los puntos xyque son los extremos
(valores máximo o mínimo) de una función f(x, y) sujeta a la
restricción g(x, y) = d.
Esto ocurrirá únicamente cuando los gradientes y
sean ortogonales a la curva dada g(x, y) = d. Entonces esos
gradientes son paralelos y, por tanto, debe haber una
constante tal que f g  fg= () () () () (), ,,, ,,,
x x y y
fxygxyfxygxygxyd= = =

8. EJEMPLO 2: MINIMICE LA FUNCIÓN
Minimice sujeta a la restricción (),29gxyxy=+= ()
22
,2fxyxy=+ () () () () (), ,,, ,,,
22, 4 29
x x y y
fxygxyfxygxygxyd
x y xy


= = =
= = += ()224
4
xy
xy
=
= ()249
99
1
yy
y
y
+=
=
= ()41
4
x
x
=
= ()()()
22
4,142118f =+=

9. DIVERGENCIA
DEFINICIÓN DE DIVERGENCIA

10. EJEMPLO 3: CALCULE LA DIVERGENCIA
Suponga que Encuentre la divergencia en el
punto P(1, -1, 1)22 22 2
2.xzyzxyz=−+Aijk ( )
()( )()
( )()()()()()()
22 22 2
22 22 2 2 2 2
2 2 2
2
2 24
1,1,1211411117
xzyzxyz
xyz
xz yzxyzxzyzxy
xy z

=++ −+


 
=+−+=−+
 
−=−−+−=
Aijkijk
A
A

11. ROTACIONAL
DEFINICIÓN DE ROTACIONAL

12. EJEMPLO 4: CALCULE EL ROTACIONAL
Suponga que Encuentre el rotacional en el
punto P(1, -1, 1)22 22 2
2.xzyzxyz=−+Aijk ( )
()( ) ()() ( )()
22 22 2
22 22 2
2 22 2 22 22 22
2
2
22
xzyzxyz
xyz
xyz
xzyzxyz
xyzyz xyzxz yzxz
yz xz x y

=++ −+



=

−
       
= −−− − +−−
    
       
×Aijk×ijk
ijk
×A
×A i j k

13. EJEMPLO 4: CALCULE EL ROTACIONAL
Suponga que Encuentre el rotacional en el
punto P(1, -1, 1)22 22 2
2.xzyzxyz=−+Aijk ()( ) ()() ( )()
( )( )
( )()()()()()( )()()()()( )
2 22 2 22 22 22
2 2 2
2 2 2
22
24 20
1,1,12111411112112
xyzyz xyzxz yzxz
yz xz x y
xyzyzyzxz
       
= −−− − +−−
    
       
=+−−+
−=−+−−−− =+
×A i j k
×A i jk
×A i jij

14. FÓRMULAS QUE INVOLUCRAN A ∇

15. FÓRMULAS QUE INVOLUCRAN A ∇

16. PREGUNTAS