Semana 7: Derivación e Integración de Funciones Vectoriales

Funciones Vectoriales
Derivadas
Integrales

2. Cálculo Multivariable
Marcelo Fernando Valdiviezo C.
Carrera de Telecomunicaciones
Octubre -2020

3. UNIDAD 2: DIFERENCIACIÓN
VECTORIAL
TEMA: DERIVADAS E INTEGRACIÓN DE FUNCIONES VECTORIALES.

4. FUNCIONES VECTORIALES
•Esunafuncióndelaforma: •C
á lc
á uo
á Mtttt

ivarb
o
•C
á lc
á uo
á Moe
á Ftttttttttttttttttttttttttttttttt
ndVaz.b
•Donde lasfunciones componentesf, g y hson funciones delparámetro
“t”.Algunasveces,lasfuncionesvectorialessedenotancomo:
C
á
l

c
á
,

á
m
C
á
l
s
c
á
,

á
,
e
á
O

5. FUNCIONES VECTORIALES
La curva “C” es trazada por el punto final del vector posición
r(t)

6. EJEMPLO 1: TRAZADO DE UNA CURVA PLANA
Dibujar la curva plana representada por la función vectorial






2Cos 3Sin , 0 2
t t t t

    r i j




2Cos 3Sin
x t y t
 
Función vectorial
Ecuaciones Paramétricas
 
 
Cos Sin
2 3x y
t t
 




2 2
Cos Sin 1
t t
 
2 2
2 2
1
2 3x y
 
Ecuación Rectangular

7. EJEMPLO 2: TRAZADO DE UNA CURVA EN EL ESPACIO
Dibujar la curva en el espacio representada por la función vectorial 





4Cos 4Sin , 0 4
t t t t t

     r i j k




4Cos 4Sin
x t y t z t
  
Función vectorial
 
 
Cos Sin
4 4x y
t t
 
2 2
2 2
1
4 4x y
 
Ecuación Rectangular
2 2
16
x y
 
Ecuaciones Paramétricas

8. LÍMITES Y CONTINUIDAD












       
           
       
1 2 1 1 2 2
1 2 1 2
1 2 1 1 2 2
1 2 1 2
t t f t g t f t g t
f t f t g t g t
t t f t g t f t g t
f t f t g t g t
    
       
   
       
    
       
       
   
r r i j i j
i j
r r i j i j
i j






   
 
     
 
1 1
1 1
1 1
1 1
c t c f t g t
cf t cg t f t g t t
c c
f t g t
c c
 
  
 

  

 
r i j
i j
i j
r
i j
Suma
Resta
Multiplicación escalar
División escalar

9. LÍMITES Y CONTINUIDAD
1.Si res una función vectorial tal que C
- l2
- uo0
- M, entonces:
UNI
CDA
C
- l
UNI
CDA
2
- uo
UNI
CDA
0
- Mtttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttt
ivarb
Siempre que existan los límites de fygcuando CDA
2. Si r es una función vectorial tal que C
- l2
- uo0
- Mo:
- F,
entonces
UEI
CDA
C
- l
UEI
CDA
2
- uo
UEI
CDA
0
- Mto
UEI
CDA
ℎ
- Ftttttttttttttttttt
ndVaz.b
Siempre que existan los límites de f, g,y h cuando CDA

10. LÍMITES Y CONTINUIDAD

11. CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL
•Una función vectorial r es continua en un punto dado por t = a
si el límite de r ( t ) cuando áDAexiste y
UEI
CDA
C
- lCtRaÓ
•Una función vectorial res continua en un intervalo, si es continua
en todos los puntos del intervalo.

12. EJEMPLO 3: CONTINUIDAD DE FUNCIONES VECTORIALES
Analizar la continuidad de la función vectorial dad a cuando t = 0.




2 2
t t a a t    
r i j k
 


2 2
0 0 0 0
2
2
lim lim lim lim
0t t t t
t t a a t
a a
a a
   
     
   
     
  
 r i j k
i j k
j k




 
 
 
2 2
2 2
2
0 0 0
0
t t a a t
a a
a a
   
   
 
r i j k r i j k r j k
res continua en t = 0

13. DERIVACIÓN DE FUNCIONES VECTORIALES
•La derivada de una función vectorial r se define como:
CL
á l SuG
fáDó
C
áofá pCRáÓ
fá
•Paratodotparaelcualexisteellímite.Sir’(t)existeparatodot
enunintervaloabiertoI,entoncesr esderivableenelintervaloI.
La derivabilidad de funciones vectoriales puede extenders e a
intervaloscerradosconsiderandolímitesunilaterales.

14. DERIVACIÓN DE FUNCIONES VECTORIALES
La derivada de la función
vectorial “r”, es también una
función vectorial.
,
-
.
/
3 O )3 + /$3% /
3 O )3

15. DERIVACIÓN DE FUNCIONES VECTORIALES
•SiF
3 N4
3 IO5
3 S, dondefygson funciones derivables de t,
entonces:
F&
U NC&
U IOE&
U S PA 0T :TRAL
•SiF
3 N4
3 IO5
3 SO"
3 M, dondef, gyhson funciones
derivablesdet,entonces:
F
′
U
N
C
′
U
I
O
E
′
U
S
O
J
′
U
M
PA
0T
01:RZDL

16. EJEMPLO 4: DERIVACIÓN DE FUNCIONES VECTORIALES
Para la función vectorial dada por , encontrar . Entonces bosquejar la curva
plana representada por y las gráficas de y




2
2
t t t  
r i j


'
t
r


t
r


1
r


' 1
r


' 2
t t
 
r i j




2
2
2
2
t t t
x t y t
  
  
r i j
2
2
y x
 
Si t = 1




 
2
1 1 2 3
' 1 2
    
 
r i j i j r i j

17. EJEMPLO 5: DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR
Para la función vectorial dada por , Encontrar






Cos Sin 2
t t t t
  
r i j k












) ' ) '' ) ' '' ) ' ''
a t b t c t t d t t
 r r r r r ×r






     
   
           
       
   
 
 
 
 
   
   
   
) ' Sin Cos 2
) '' Cos Sin 0
Cos Sin
) ' '' Sin Cos Sin Cos 0
Cos 2 Sin 2 Sin Cos
) ' '' Sin Cos 2
Sin 0 Cos 0 Cos Sin
Cos Sin 0
2Sin 2Cos
a t t t
b t t t
t t
c t t t t t t
t t t t
d t t t t
t t t t
t t
t t
  
  
 
   
 
    
   
 
  
r i j k
r i j k
i j
r r
i j k
r ×ri j k
i j k

18. PROPIEDADES DE LA DERIVADA
•Sean r y u funciones vectoriales derivables de t , f una
función real derivable de ty cun escalar.
1.
3
át
C
á gYRáÓ lCL
á gYLRáÓ
2.
3
át
7CRáÓ l7CLRáÓ
3.
3
át
c
á CRáÓ lc
á CL
á ocL
á CRáÓ
4.
3
át
C
á :YRáÓ lC
á :YL
á otCL
á :YRáÓ
5.
3
át
C
á t<ttYRáÓ lC
á t<tYL
á otCL
á t<tYRáÓ
6.
3
át
CRc
á Ó lCL
c
á cL
á
7. Si
C
á
·
C
á
l
7
,
entonces
C
á

·
C
′
á
l
*

19. INTEGRACIÓN DE FUNCIONES VECTORIALES
•SitC
- l c
á uo
á M, donde fy gson continuas en [a, b], entonces la
integral indefinida (o anti derivada) de r es:
DC
á tEá lt
Dc
á Eá uto
D
á Eá Mtttttttttttttttttttttttttttttt
•Y su integral definidaen el intervalo tA F át F Ges
D C
á tEá
G
!
l
D c
á tEá
G
!
uo
D
á tEá
G
!
M
PLANO

20. INTEGRACIÓN DE FUNCIONES VECTORIALES
ESPACIO
•SitC
á lc
á uo
á MoeRáÓF, dondef,gyhson continuas en[a,b],
entonceslaintegralindefinida(oantiderivada)deres:
DC
á tEált
Dc
á Eá uto
D
á Eá Mo
De
á Eá Fttttttttttttttttttttttttttt
•Ysuintegraldefinidaenelintervalota F-tFHes:
D C
á tEá
G
!
l
D c
á tEá
G
!
uto
D
á tEá
G
!
Mto
D e
á tEá
G
!
F

21. EJEMPLO 6: INTEGRACIÓN DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL
Hallar la integral indefinida


3
t dt


i j
 
2
3 3
3
2
t dt tdt dt
t
t
   
  
   
  
  
i j i j
i j C

22. EJEMPLO 7: INTEGRACIÓN DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL
Evaluar la integral

1 1
3
0 0
1
1
t
r t dt t e dt
t

 
  
 

 
 
i j k

 
1 1 1 1
1
3
0 0 0 0
1
41 1
3
00
0
1
1
3
ln 1
4
3 1
ln2 1
4
t
t
r t dt t dt dt e dt
t
t t e
e


     
  
     

        
 
     
   
 
  
 
   
 
 
   
i j k
i j k
i j k

23. UNIDAD 2: DIFERENCIACIÓN
VECTORIAL
TEMA: VELOCIDAD Y ACELERACIÓN.

24. VELOCIDAD Y ACELERACIÓN
•Si xyyson funciones de tque tienen primera y segunda deri vada y r es
una función vectorial dada por tC
á l“
- uo1
- M,entonces el vector
velocidad, el vector aceleración y la rapidez en el instantet se define
como sigue:
•Velocidad = I
- ttl
CL
- ttl“L
- uo1L
- M
•Aceleración = !
- ttl
CLL
- ttl“LL
- uo1LL
- M
•Rapidez =
I
- tl
CL
á tl
<′
á
J
ot
K′
á
J

25. EJEMPLO 8: HALLAR LA VELOCIDAD Y LA ACELERACIÓN A LO LARGO DE UNA CURVA PLANA
Hallar el vector velocidad, la rapidez y el vector aceleración de una partícula que se
mueve a lo largo de la curva plana C descrita por
 
2Sin 2Cos
2 2t t
t
   
 
       
r i j
   
 
   
2 2
' Cos Sin
2 2
' Cos Sin 1
2 2
1 1
'' Sin Cos
2 2 2 2
t t
t t
t t
t
t t
t t
   
  
   
   
   
  
   
   
   
   
       
v r i j
r
a r i j
2 2
2Sin 2Cos
2 2
4
t t
x y
x y
   
 
       
 

26. PREGUNTAS