Semejanza

Para trabajar la semejanza en 4º ESO

1. SEMEJANZA
4º ESO

2. SEMEJANZA
Matemáticas
4º E.S.O Figuras semejantes
•Dos figuras que tienen la misma forma,
aun con diferentes dimensiones, se
llaman semejantes.
•Dos figuras son semejantes si sus ángulos
correspondientes son iguales y sus lados
correspondientes proporcionales.
•Los elementos que se corresponden
(puntos, segmentos, ángulos …) se
llaman homólogos.

3. SEMEJANZA
Matemáticas
4º E.S.O.Figuras semejantes: Planos
Dos figuras del plano son semejantes si
los cocientes de de los segmentos
determinados por pares cualesquiera de
puntos correspondientes son iguales.
ML
M'L'
es la razón de semejanza

4. SEMEJANZA
Matemáticas
4º E.S.O.Teorema de Tales
Toda recta paralela a un lado de un triángulo, que corta a los otros dos
lados, determina un triángulo semejante al grande.
Los triángulos ABC y AB'C' son semejantes

5. SEMEJANZA
Matemáticas
4º E.S.O.Semejanza de triángulos
Dos triángulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los
ángulos iguales.
El cociente
abc
k
a'b'c'

se llama razón de semejanza.

6. SEMEJANZA
Matemáticas
4º E.S.O.Primer criterio de semejanza de triángulos
Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos iguales.
A B
C
A' B'
C'
•Por el Teorema de Tales A'B''C'' y A'B'C' son semejantes.
•Por otra parte los triángulos ABC y A'B''C'' son iguales, por
tener un lado igual y los ángulos iguales.
•Por tanto ABC = A'B''C'' es semejante al triángulo A'B'C'.


A = A‘ y B = B‘ C = C'










A' B'
C'
B''
C''

7. SEMEJANZA
Matemáticas
4º E.S.O.Segundo criterio de semejanza de triángulos
Dos triángulos son semejantes si tienen los lados proporcionales.
•Por el Teorema de Tales A'B''C'' y A'B'C' son semejantes.
•Por otra parte los triángulos ABC y A'B''C'' son iguales, por
tener un lado igual y ser los lados de ambos proporcionales a
los del triángulo A'B'C' con la misma razón de
proporcionalidad.
•Por tanto ABC = A'B''C'' es semejante al triángulo A'B'C'.
A B
C
a
b
c A' B'
C'
b'
c'
a'
a'b'c'
abc

A' B'
C'
B''
C''

8. SEMEJANZA
Matemáticas
4º E.S.O.Tercer criterio de semejanza de triángulos
Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales y el
ángulo comprendido igual.
•Por el Teorema de Tales A'B''C'' y A'B'C' son semejantes.
•Por otra parte los triángulos ABC y A'B''C'' son iguales, por
tener dos lados proporcionales con la misma razón de
proporcionalidad y el ángulo comprendido igual.
•Por tanto ABC = A'B''C'' es semejante al triángulo A'B'C'.
A B
C
a
b
c A' B'
C'
b'
c'
a'
y A A'
b' c'
b c
A' B'
C'
B''
C''
c

9. SEMEJANZA
Matemáticas
4º E.S.O.Teorema de Pitágoras
•En un triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos es
igual al cuadrado de la hipotenusa.
•Si los lados de un triángulo verifican la relación de Pitágoras, el
triángulo es rectángulo.
3
2
+ 4
2
= 5
2

10. SEMEJANZA
Matemáticas
4º E.S.O.Teorema del cateto
Cateto c Cateto b
c
2
= n
2
+ h
2
=
= n
2
+ mn =
= n(n + m) =
= na
b
2
= m
2
+ h
2
=
= m
2
+ mn =
= m(m + n) =
= ma
En un triángulo rectángulo el cuadrado de un cateto es igual al producto de
la hipotenusa por la proyección del cateto sobre la misma.

11. SEMEJANZA
Matemáticas
4º E.S.O.Teorema de la altura
Los triángulos I y II son semejantes ya que:
Se deduce que:
mhb
hnc

h
2
= mn
En un triángulo rectángulo el cuadrado de la altura sobre la hipotenusa es
igual al producto de las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa.
Son ambos rectángulos

B B*


12. SEMEJANZA
Matemáticas
4º E.S.O.Áreas de figuras semejantes
Cuadrado A Cuadrado B Cuadrado C
I
A
= 1
p
A
= 4
S
A
= 1
I
B
= 2
p
B = 8
S
B
= 4
I
C
= 3
p
C = 12
S
C
= 9
Comparamos
los cuadrados
Razón de
semejanza
Razón de
perímetros
Razón de
áreas
B y A
B
A
I 2
2k
I 1

B
A
P 8
2k
P 4

2
B
A
S 4
4k
S 1

C y A
c
A
I3
3t
I 1

c
A
P 12
3t
P 4
 
2
c
A
S 9
9t
S 1

C y B
C
B
I 3
s
I 2

C
B
P 123
s
P 82
 
2
2
C
B
S 9 3
s
S 4 2

 


13. Esta presentación es una modificación de la publicada en la página:
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