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Semelhança de figuras planas

1. MATEMÁTICA
Ensino Fundamental, 9º Ano
Semelhança de figuras
planas

2. Matemática, 9º ano, Semelhança de figuras
planas
APLICAÇÃO DA SEMELHANÇA DE
TRIÂNGULOS PARA O CÁLCULO
DE ALTURAS INACESSÍVEIS

3. Matemática, 9º ano, Semelhança de figuras
planas
OBJETIVO
Oobjetivodestaaulaémostrarque
existeapossibilidadedeseutilizarde
meiosacessíveisaosalunoseaos
professoresparaaplicaremnapráticao
conteúdoestudado.

4. Matemática, 9º ano, Semelhança de figuras
planas
PRÉ-REQUISITOS
Inicialmentesefaráumabreverevisãodos
conteúdos,taiscomo:Grandezaângulo,
retasparalelaseperpendiculares,medição
einstrumentosdemedidas,semelhançade
figurasplanas,semelhançadetriângulos,
proporçãoeregradetrêssimples,todos
pré-requisitosparaaauladeaplicaçãoda
semelhançadetriângulosnadeterminação
dealturasinacessíveis.

5. Matemática, 9º ano, Semelhança de figuras
planas
GRANDEZAÂNGULO
“Chama-seânguloaregiãodoplanolimitadapordois
segmentosderetaquecontémomesmopontodeorigem.
Essessegmentosrecebemonomedeladosdoânguloeo
pontodeorigemrecebeonomedevérticedoângulo.”
1
A
B
C
Ângulo formado
pelas semirretas
AB e BC
1
Disponível em:http://www.brasilescola.com/matematica/angulos.htm; Acesso em julho 2015.

6. Matemática, 9º ano, Semelhança de figuras
planas
RETAS PARALELAS
“Duasrestasdistintas noplanosãoparalelas quando não têm
nenhum ponto em comum.
2
Disponível em:http://deborampmatematica.blogspot.com.br/2011/08/retas-paralelas-retas-concorrentes.html; Acesso em
julho 2015.
r
s
Indica-se assim: r//s
Umcasoparticularocorrequandooânguloentreduasretasé
de90°grausângulo.Estassãoentãochamadas
retasperpendiculares.”
2
Indica-se assim: r s
RETAS PERPENDICULARES
r
s

7. Matemática, 9º ano, Semelhança de figuras
planas
INSTRUMENTOS DE MEDIDA
“Osinstrumentosdemediçõessempreforamevãoseruma
necessidadedahumanidade.MedidasExatasouaproximadas
podemresultaremresultadosadequadosparaasdiversas
atividades.Essetópicoétãoimportantequeseuestudoé
objetodeumramodaciênciaconhecidocomoMetrologia,
queestudaomelhormétododeobteramediçãoprecisade
diferentesgrandezas,eestabeleceasunidadesdemedição
dessasgrandezasaceitasuniversalmente”.
3
3
Disponível em: http://www.notapositiva.com/trab_estudantes/trab_estudantes/eductecnol/9instrmedida.htm#vermais;
Acesso em julho 2015.

8. Matemática, 9º ano, Semelhança de figuras
planas
“Dependendodotamanhodoobjetoasermedido,são
necessáriosinstrumentoseoumétodosdiferentesparase
obterasmedições.Asréguas,fitasmétricas,são
instrumentosadequadosparamediralarguraeo
comprimento,ouseja,distânciaslineares.
Asfigurasabaixosãoinstrumentosdemediçãodedistâncias
lineares,masexistemoutrosaplicadosparaasdiversas
finalidadesetiposdemedições.”
4
4
Disponível em: http://www.notapositiva.com/trab_estudantes/trab_estudantes/eductecnol/9instrmedida.htm#vermais;
Acesso em julho 2015.
5
Disponível em: http://www.notapositiva.com/trab_estudantes/trab_estudantes/eductecnol/9instrmedida/9instrmedida4.jpg;
Acesso em julho 2015.
6
Disponível em:http://mlb-s2-p.mlstatic.com/trenas-en-medicoes-instrumentacao-933601-MLB20348705707_072015-S.jpg;
Acesso em julho 2015.
Régua
5
Fita métrica
6

9. Matemática, 9º ano, Semelhança de figuras
planas
“Emqualquerpardefigurassemelhantescomtamanhosdiferentes,
elasconstituiumacópiadaoutracomescaladiferente.”
8
Afig.2é
semelhanteafig.1,nestecasoelaéumaampliaçãodafig.1,
obedecendoaumarazãodesemelhança(escala).
Observe as figuras abaixo:
Fig.1 Fig.2
SEMELHANÇA DE FIGURAS PLANAS
Figuras semelhantes -ampliação
7
7
Disponível em: http://matematicainteractiva_dm.fc.ul.pt/uploadedfiles/images/semelhancas2.jpg; Acesso em julho 2015.
8
Disponível em: http://matematicainteractiva_dm.fc.ul.pt/index.php?ref=97; Acesso em julho 2015.

10. Matemática, 9º ano, Semelhança de figuras
planas
PARA QUE AS FIGURAS PLANAS SEJAM SEMELHANTES, ELAS DEVEM POSSUIR:
•Os ângulos correspondentes congruentes;
•Os lados correspondentes iguais ou proporcionais;
Vejam as figuras abaixo:
2cm
4cm
1cm
2cm
Nessecasoosânguloscorrespondentessãocongruenteseos
ladosdafiguramenorémetadedeseuscorrespondentesna
figuramaior.
A semelhança indica-se assim:
A
D
B
D’C
B’
A’
C’D'C'B'A' ABCD
''''
D'D
C'C
B'B
A'A
^^
^^
^^
^^
















d
d
c
c
b
b
a
a
~

11. Matemática, 9º ano, Semelhança de figuras
planas
SEMELHANÇADETRIÂNGULOS
“Dadosdoistriângulosnãoénecessárioconferirsetodososlados
correspondentesdosmesmossãoiguaisouproporcionaiseainda
setodososânguloscorrespondentessãocongruentesparasaber
seelessãoounãosemelhantes,bastaqueambosapresentem
algumasdascondiçõesnecessárias,queserãomostradasaseguir:
CasoAA(Ângulo,Ângulo)
Sedoisângulosdeumtriângulosãocongruentesadoisângulos
deoutro,osdoistriângulossãosemelhantes”.
9C'B'A'~ABC
'
'
CC
BB
^^
^^








A
B CC’
A’
B’
9
Disponível em:http:// http://semelhancadetriangulos.blogspot.com.br/2012/02/casos-de-semelhanca-de-triangulos.html;
Acesso em julho 2015.

12. Matemática, 9º ano, Semelhança de figuras
planas
Caso LLL (Lado, Lado, Lado)
“Setodososladosdeumtriânguloforemiguaisou
proporcionaisaosladosdeoutro,osdoistriângulossão
semelhantes”.
10C'B'A'~ABC
'''





c
c
b
b
a
a
c
b’c’
a a’
b
10
Disponível em:http:// http://semelhancadetriangulos.blogspot.com.br/2012/02/casos-de-semelhanca-de-triangulos.html;
Acesso em julho 2015.

13. Matemática, 9º ano, Semelhança de figuras
planas
CasoLAL(Lado,Ângulo,Lado)
“Sedoistriângulospossuíremumângulocongruenteformado
entredoisladosdemedidasiguaisouproporcionais,osdois
triângulossãosemelhantes.”
11C'B'A'~ABC
''
B'B
^^








c
c
a
a
c
c'
b
a
a'
b'
B’
B
A
C
C’
A’
11
Disponível em:http:// http://semelhancadetriangulos.blogspot.com.br/2012/02/casos-de-semelhanca-de-triangulos.html;
Acesso em julho 2015.

14. Matemática, 9º ano, Semelhança de figuras
planas
PROPORÇÃO
“Àigualdadeentreduasrazõesequivalentesdamosonome
deproporção.Quandoescrevemos estamosescrevendo
umaproporçãoquelê-se:2estápara5assimcomo4estápara
10.10
4
5
2

Oprimeiroeoúltimotermossãochamadosdeextremosda
proporção(2e10sãoosextremos).
Osegundoeoterceirotermossãochamadosdemeiosda
proporção(5e4sãoosmeios).”
12
12
Disponível em: https://www.algosobre.com.br/matematica/razao-e-proporcao.html; Acesso em julho 2015.

15. Matemática, 9º ano, Semelhança de figuras
planas
PROPRIEDADESDASPROPORÇÕES
“1.Numaproporçãooprodutodosmeioséigualaoproduto
dosextremos:5 x 410 x 2
10
4
5
2

2.Umaproporçãonãosealteraaoalternarmososseus
meios,ouosseusextremos:4
10
2
5
2
4
5
10
10
5
4
2
10
4
5
2

Nessecaso,todavezquetrocarmosostermosteremosuma
novaproporção.”
13
13
Disponível em: https://www.algosobre.com.br/matematica/razao-e-proporcao.html; Acesso em julho 2015.

16. Matemática, 9º ano, Semelhança de figuras
planas
“3.Numaproporção,asoma(oudiferença)dosantecedentes
estáparaasoma(oudiferença)dosconsequentesassimcomo
cadaantecedenteestáparaseurespectivoconsequente:5
2
510
24
10
4
5
2
e
15
6
105
42
10
4
5
2







Nessecasooresultadodasomaoudadiferençaéum
númeroproporcionalàsrazõesdadas.”
14
14
Disponível em: https://www.algosobre.com.br/matematica/razao-e-proporcao.html; Acesso em julho 2015.

17. Matemática, 9º ano, Semelhança de figuras
planas
REGRADETRÊSSIMPLES
“Regradetrêssimpleséumprocessopráticopararesolver
problemasqueenvolvamquatrovaloresdosquais
conhecemostrêsdeles.Devemos,portanto,determinarum
valorapartirdostrêsjáconhecidos.”
15
Observe:10
4
5
x

Aplicando a primeira propriedade das proporções tem-se:2
10
20
x20x.104.5x.10
10
4
5
x

15
Disponível em: http://www.somatematica.com.br/fundam/regra3s.php; Acesso em julho 2015.

18. Matemática, 9º ano, Semelhança de figuras
planas
UM POUCO DE ÓPTICA GEOMÉTRICA
“ReflexãoRegular:nessetipodereflexão,osraios(segmentosde
retas)refletidos,ficamparalelosunsaosoutroseformamomesmo
ânguloqueosraiosincidentesformamcomoplanohorizontal.É
essetipodereflexãoqueformaaimagememsuperfíciesaltamente
polidas,comoosespelhos,metaiseemsuperfícied’água.Aimagem
queseformanessesmeioséaltamentenítida,porém,elanãopode
serobservadadediferentesposições.”
16
16
Disponível em: http://www.mundoeducacao.com/fisica/reflexao-luz.htm; Acesso em julho 2015.
17
Disponível em: http://www.mundoeducacao.com/upload/conteudo/Reflex%C3%A3o%20regular.jpg; Acesso em julho 2015.
Diagrama mostrando como ocorre a reflexão regular
17

19. Matemática, 9º ano, Semelhança de figuras
planas
AULA PRÁTICA
Nestaaulaosalunosdo9°anoforamreunidosnaquadraem
frenteaescola,paradeterminaraalturadeumdospostes
deiluminação,oquenãodavaparafazercomfitamétrica.
Alunos do 9º ano da Escola Carmela Dutra e seus reflexos no espelho d’água.
Detalhe do
Espelho
d’água.

20. Matemática, 9º ano, Semelhança de figuras
planas
Aprimeiraideiaerausarumpratocomofundopretopara
fazeroespelhod’água.Mas...

21. Matemática, 9º ano, Semelhança de figuras
planas
...comochoveuinstantesantes,surgiuaideiadeusaro
espelhod’águaformadonaquadrapelaspoças,comopode
observado.
Detalhe do
reflexo das
imagens no
espelho
d’água.

22. Matemática, 9º ano, Semelhança de figuras
planas
ESQUEMATIZAÇÃODASITUAÇÃO
Alinhaverticaldoalunoealinhaverticaldoposteformam90°
comoplanohorizontalrefletor,queéoformadopelopisoda
quadraeaspoçasd’águaocasionadaspelaáguadachuva.
Poste
18 Aluno
19
18
Disponível em: http://i00.i.aliimg.com/photo/v0/502043334/Galvanized_conical_street_light_pole.jpg; Acesso em julho 2015.
19
Disponível em: http://s414.photobucket.com/user/sem_tempero/media/depe.jpg.html; Acesso em julho 2015.
Plano
espelhado

23. Matemática, 9º ano, Semelhança de figuras
planas
Osraiosdeluz,queformamaimagem,sepropagamem
linharetaequandoencontramumplanopolidoelessão
refletidoscommesmoânguloquechegaram.
α β
Ângulo αé igual ao ângulo β
Raio de luz.
Reflexo do raio
de luz.

24. Matemática, 9º ano, Semelhança de figuras
planas
Fazendoumasobreposiçãodeimagenstem-sedoistriângulos
semelhantespelocasoAA(ângulo,ângulo).
Se dois ângulos de um triângulo são congruentes a dois ângulos de
outro, os dois triângulos são semelhantes.
α β
Poste
Aluno

25. Matemática, 9º ano, Semelhança de figuras
planas
Nomeandoosvérticesdostriânguloschama-sede“CeC’”
opontoondeosegmentoderetaérefletidoetambém
ondeoalunoenxergaotopodopostenoespelhod’água.
α β
A’
B’C=C’
B
A
Poste Aluno

26. Matemática, 9º ano, Semelhança de figuras
planas
ComoostriângulosABCeA’B’C’sãosemelhantes,oslados
correspondentessãoproporcionais,eportantoguardama
mesmarazãodeproporção.
α β
A’
B’C=C’
B
A BA ''BA
=''CB CB
Distância entre a
base do poste e a
imagem de seu topo
no espelho d’água.
Distância entre o
aluno e a imagem do
topo do poste no
espelho d’água.
Altura do poste a
qual se deseja
descobrir.
Altura do aluno.
Poste Aluno

27. Matemática, 9º ano, Semelhança de figuras
planas
ASMEDIÇÕESFEITASPELOSALUNOSCOMAFITAMÉTRICA
Medição da altura dos olhos do aluno
até o piso da quadra.
Medição da distância do aluno até o ponto
onde ele avista o topo do poste.
Medição da distância do ponto onde se ver a
imagem do topo do poste, até sua base.
Anotação das medidas feitas no caderno.

28. Matemática, 9º ano, Semelhança de figuras
planas
Altura dos olhos do
aluno 1,75metros.
Distância do aluno
até a imagem do topo
do poste no espelho
d’água 1,11metros.
Distância entre a
base do poste e a
imagem de seu topo
no espelho d’água
5,10metros.
Altura inacessível do
poste, a qual deseja-se
conhecer.POSTE DO ALT. 75,1 =10,5 11,1
SIMULAÇÃODASITUAÇÃOREAL

29. Matemática, 9º ano, Semelhança de figuras
planas
Utilizandoapropriedade1daproporçãoearegradetrês
simples,efazendooprodutodosmeiosigualaoprodutodos
extremos,calcula-seassimaalturaaproximadadoposte.1,75
POSTE DO ALT.
=11,1
10,5 POSTE DO ALT. x 1,11
=75,1 x 10,5 POSTE DO ALT.
=11,1
75,1 x 10,5 POSTE DO ALT.
=metros 04,8

30. Matemática, 9º ano, Semelhança de figuras
planas
ADAPTAÇÃOÀSITUAÇÃO
Nãoprecisachoverenemdeumpisoespecialpara
desenvolverestaprática,elapodesefeitautilizandoumprato
delouçacolandonocentroumfundopreto,utilizandoos
mesmosprocedimentosvistosquandofoiutilizadosaspoças
d’água.

31. Matemática, 9º ano, Semelhança de figuras
planas
RECOMENDAÇÕES
Aimportânciadeseusaroespelhod’água,enãooespelho
convencionaléqueaáguaficasemprenivelada,ouseja,mesmo
queopisooupratotenhaalgumainclinaçãoissoserácorrigido
pelonivelamentodaágua.
20
Disponível em:
http://fscomps.fotosearch.com/printcomp.aspx?filepath=CSP/CSP275/k2758935.jpg&papersize=24x36&paperstyle=cr
op&paperborder=0; Acesso em julho 2015.
Alunos do 9º ano da Escola Carmela Dutra e seus reflexos no espelho d’águaEspelho comum
20
Detalhe do
espelho
d’água no
piso da
quadra.

32. Matemática, 9º ano, Semelhança de figuras
planas
SUGESTÃODEATIVIDADE
Comosugestãodeatividade,podeserfeitaadeterminaçãoda
alturadealgoacessível,comoporexemploaalturadeuma
hastedemadeira,quedeveserfixadanochão,eestarna
vertical(garantidocomoauxíliodeumprumodepedreiro)e
comalturaaproximadade2metros,medidocomafitamétrica
antes,paradepoiscompararosresultados.
2 m
. .

33. Matemática, 9º ano, Semelhança de figuras
planas
INSTRUMENTOSQUEDEVEMOUPODEM
UTILIZADOSNAAULAPRÁTICAMOSTRADA
Fita métrica
21
Prato branco com o fundo preto
22
Prumo de pedreiro
23
21
Disponível em: http://mlb-s2-p.mlstatic.com/trenas-en-medicoes-instrumentacao-933601-MLB20348705707_072015-S.jpg; Acesso em julho 2015.
22
Disponível em : http://mlb-s2-p.mlstatic.com/porcelana-pratos-schmidt-en-decoracao-antiga-967101-MLB20279802929_042015-S.jpg; Acesso em julho 2015.
23
Disponível em : http://tlgferramentas.com.br/wp-content/uploads/2014/08/prumo-de-aco-tlg.jpg; Acesso em julho 2015.

34. Matemática, 9º ano, Semelhança de figuras
planas
EXTRAS
1)Determinaraalturadeumatorredetelecomunicação,
cujotopopodeservistoporumhomem,atravésdeum
espelhod’águanumpontoa5metrosdeleea25metrosda
basedatorre.Considerequeadistânciadosolhosdohomes
atéopisoéde1,80metros.
2)Determinaradistânciaqueumapessoa,cujaalturade
seusolhosemrelaçãoaochãoéde1,7metrosdeveficar
paraquepossaenxergaratravésdeumespelhod´águao
topodeumprédio,cujaalturaéde60metroseestáa20
metrosdopontoondeestapessoadeveverotopodeste
prédio.

35. Matemática, 9º ano, Semelhança de figuras
planas
SITESEVÍDEOSSUGERIDOS:
http://matematicainteractiva_dm.fc.ul.pt/index.php?ref=97
http://deborampmatematica.blogspot.com.br/2011/08/retas-paralelas-retas-
concorrentes.html
http://www.brasilescola.com/matematica/angulos.htm
http://www.notapositiva.com/trab_estudantes/trab_estudantes/eductecnol/9i
nstrmedida.htm#vermais
http://tecciencia.ufba.br/semelhanca
razao-entre-duas-fracoes-qual-e-a-regra.htm
http://educacao.uol.com.br/planos-de-aula/fundamental/matematica-
https://www.algosobre.com.br/matematica/razao-e-proporcao.html
http://www.somatematica.com.br/fundam/propor.php
http://www.somatematica.com.br/fundam/regra3s.php
http://www.mundoeducacao.com/fisica/reflexao-luz.htm
https://www.youtube.com/watch?v=eB7NCwY-7Us
https://www.youtube.com/watch?v=fv-pDDaQfvs

36. Matemática, 9º ano, Semelhança de figuras
planas
PROFESSOR AUTOR:
Adriano Alves da Silva