Semelhança de triângulos

1. SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS


1. INTRODUÇÃO:

⇒ A palavra semelhante significa:


☞ Observe os triângulos ABC e RST da figura:

R



A

6cm 7cm
3cm 3,5cm



B 4cm C


S 8cm T


☎ Comparando esses dois triângulos, dá para
percebermos que eles têm a mesma forma,
sendo um deles uma ampliação ou uma redução
do outro. Em geometria, dizemos que eles são
triângulos semelhantes. Assim:

☞ Dois triângulos são semelhantes quando têm:

♣ Os ângulos respectivamente congruentes;
♣ Os lados correspondentes (são os lados opostos
ao mesmo ângulo) proporcionais;

☞ A razão de semelhança do menor triângulo para
o maior é:

ou seja (Razão de semelhança)

☞ Se a razão de semelhança de dois triângulos é
igual a 1, os triângulos são congruentes.


Exemplo 1: Determine x e y, sabendo-se que os
triângulos são semelhantes .
R

A

6 y
3 4



B 5 C S x
T

Solução:
⇒ Os triângulos são semelhantes:




2. TEOREMA FUNDAMENTAL DA SEMELHANÇA:
⇒ Se uma reta paralela a um dos lados de um
triângulo intercepta os outros dois lados em
pontos distintos, então o triângulo que ela
determina é semelhante ao primeiro.
A



D E




B C

☞ Como é paralelo a , temos:


☞ Portanto, os triângulos ADE e ABC são
semelhantes, o que implica:










.,, formamesmaatêmsejaouforma
arelaçãoemparecidogeometriaem
parecidogeralem 






RTaparaleloéAC
STaparaleloéBC
RSaparaleloéAB 7
5,3
8
4
6
3
 2
1 8
3
24
243
3
6
4
10
3
30
303
3
6
5


yyy
y
xxx
x DE BC  
 
 












entescorrespondCE
entescorrespondBD
comumAA

2. Exemplo 1: Na figura, temos . Qual o
valor de x.
A


x 12


D E


B C
y
Solução:
⇒ Cálculo de x:


⇒ Cálculo de y:

3. CASO PARTICULAR DE SEMELHANÇA:
⇒ Se dois triângulos possuem dois ângulos
correspondentes congruentes, então eles são
semelhantes.
A

R




B C S T




Os terceiros ângulos semelhante
Serão obrigatoriamente
congruentes
Então:



Dois ângulos congruentes


Triângulos semelhantes


Lados proporcionais

Exemplo 1: Calcular x:
D


6

A 4 E
C x
3

B

Solução:
☞ Temos que:



EXERCÍCIOS PROPOSTOS

1. (FRANCO) Uma rampa de inclinação constante,
como a que dá acesso ao Palácio do Planalto em
Brasília, tem 4 metros de altura na sua parte mais
alta. Uma pessoa, tendo começado a subi-la, nota
que após caminhar 12,3 metros sobre a rampa
está a 1,5 metros de altura em relação ao solo.
Calcule quantos metros a pessoa ainda deve
caminhar para atingir o ponto mais alto da
rampa.

Resp: 20, 5 metros

2. (FRANCO) Um edifício projeta uma sombra de 30
m, ao mesmo tempo que um poste de 12 m projeta
uma sombra de 4 m. Qual a altura do edifício,
sabendo que o edifício e o poste são
perpendiculares ao solo ?

Resp: 90 m







3. (FRANCO) Calcule o valor de x.

a) AC
AE
BC
DE
AB
AD
 BCDE//  
8
6
48
486
481218184812
612.4.12
12
6124






xxx
xxxx
xx
x
x 24
12
288
1618.12
1612
612



yy
y
y RSTABCSBeRA 
 

EDCABC
retoEA
vpoCC










.. 8243
4
6
3
 xx
x

3. 16
x



3 3 3 3

Resp: 8

b)



6 x

x



8
Resp:
T E S T E S


1. (FRANCO) Os lados de um triângulo medem,
respectivamente, 7,9 e 14dm. Qual é o perímetro
do triângulo semelhante ao dado cujo lado maior
é de 21dm?

a) 45dm b) 55dm c) 60dm d)
75dm



2. (FRANCO) Na figura ao lado, os triângulos
são semelhantes. Então, o valor de x é:

A
a) 8
b) 10
c) 12 D
d) 16 15 18

10 x


B E F C



3. (FRANCO) Na figura ao lado os segmentos
e são paralelos. Quanto mede o segmento
? B

a) 136
b) 163 D
c) 204 136
d) 306
50

A C 75 E

4. (FRANCO) Seja paralelo a . Qual o
valor de ? B

a) 2 E
b) 3 15
c) 4
d) 5 4
A C D
12

5. (FRANCO) Seja paralelo a . Então, o
lado mede: A

a) 4 4
b) 6 10 E
c) 8 D
d) 12

B 20 C


6. (FRANCO) Na figura ao lado, . Então,
o valor de x é: B

a) 3 x
b) 6
c) 9 D
d) 4, 5
3

C
A
12 4

7. (FRANCO) Na figura ao lado, o valor de x é:

a) 12
b) 16
c) 18 4 8
d) 12,5 x
2


3

8. (FRANCO) O perímetro do triângulo ABC é:
A
a) 13,25m
b) 14,50m 3m 3,5m
c) 14,55m
d) 15,75m M N 7
24 AB CD AE EC AB EC DE BC DE CDAB//

4. 4m
1,5m

B C
9. (FRANCO) A medida, em metros, do segmento
da figura abaixo é : C

a) 4 3
b) 6 A 4 2
c) 8 B
d) 10 D

10. (FRANCO) Na figura abaixo, ,
e . Se , a
soma em centímetros é igual a:

a) 8 D E
b) 10
c) 8,5 C
d) 9,5
A B

11. (FRANCO) Na figura abaixo a medida de x vale:
A
a) 11,25 10
b) 11,75
c) 12,25 15
d) 12,75 15
x

B C
20
12. (FRANCO) Dada a figura, sendo o segmento
PQ paralelo ao segmento AB e a medida do
segmento AC igual a 16, calcular x e y.
A
a) e x
b) e Q
c) e y
d) e
3 5
B P C

13. (FRANCO) A sombra de uma árvore mede 4,5m.
À mesma hora, a sombra de um bastão de
0,6m, mantido na vertical, mede 0,4m. A altura da
árvore é:

a) 3m b) 5m c) 4,8m d)
6,75m

14. (FRANCO) A sombra de um poste vertical,
projetada pelo sol sobre um chão plano, mede
12m. Nesse mesmo instante, a sombra de um
bastão vertical de 1m de altura mede 0,6m. A
altura do poste é:

a) 12m b) 20m c) 72m d)
7,2m

15. (FRANCO) Certa noite, uma moça de 1,50m de
altura estava a 2m de distância de um poste de
4m de altura. O comprimento da sombra da moça
no chão era de:

a) 1,20m b) 1,80m c) 2,40m d)
3,20m


G A B A R I T O


1. A

6. C

11. A

2. C

7. C

12. A

3. C

8. D

13. D

4. D

9. B

14. B

5. C

10. C

15. A


AD cmAC4 cmCE3 cmBC5 DEAB// ABDC 6x 10y 2x 5y 3x 5y 7x 9y