Seno Cos Matematica Engenharia tigonométrica.ppt

Mat

1. 30°
150°
210°
330°
45°135°
225° 315°
60°120°
240°
300°
cos
sen
0
tg
90°
180°
270°
0°/360°
TRIGONOMETRIA
É só o Filé!
Fred Tavares

2. 30°
150°
210°
330°
45°135°
225° 315°
60°120°
240°
300°
cos
sen
0
tg
90°
180°
270°
0°/360°
TRIGONOMETRIA
É só o Filé!
Fred Tavares

3. Teorema Fundamental da
Trigonometria1cossen
22


4. Demonstração ...
)θ
1 cos
sen
1
-1
-1
0
sen θ
cos θ
θ
·

5. Continuação...
)θ
1 cos
sen
1
-1
-1
0
sen θ
cos θ
1

6. Continuação...
)θ
sen θ
cos θ
1
Utilizando o teorema de
Pitágorash
2
= c
2
+ c
2
, temos:1cossen
22

C M P Q D

7. Relações Trigonométricas no
Triângulo Retângulo
)θ
Hipotenusa

8. Continuação ...
Cotangente de θ
Secante de θ
Cossecante de θ
Tangente de θ
Cosseno de θ
Seno de θ
Relação no Triângulo
Retângulo
Ente
TrigonométricoHI
CO
sen HI
CA
cos CO
HI
sen
1
seccos 

 CA
CO
tg CA
HI
cos
1
sec 

 CO
CA
tg
1
gcot 



9. Na Circunferência
Trigonométrica
)θ
cos
sen
0
sen θ
cos θ
·
tg
tg θ

10. Continuação ...
)θ
0
·
cotg cotg θ
secante θ
cossec θ

11. Arcos Notáveis
30°
150°
210°
330°
45°135°
225° 315°
60°120°
240°
300°
cos
sen
0
tg
90°
180°
270°
0°/360°

12. arco 0°30°45°60°90°180°270°360°
rad 0
6

4

3

2


3
2
2
seno 0
2
1
2
2
2
3
1 0 - 10
cosseno 1
2
3
2
2
2
1
0 - 10 1
tangente


cos
sen 0
3
3
1
3
- - -0 - - -0 Tabela de Entes Trigonométricos
...

13. Vamos pensar . . .
?

14. Quetalfazermosumtesteparaverificaçãodo
quefoiapresentado?
Observem a figura ao lado
1)Emrelaçãoao
ânguloa,podemos
dizerqueosenavale:
a) b/c
b) a/c
c) c/b
d) c/a
e) a/bc
b
hip
.o.c
sen a

15. 2)Emrelaçãoao
ânguloa,podemos
dizerqueocosavale:
a) b/c
b) a/c
c) c/b
d) c/a
e) a/bc
a
hip
.a.c
cos a

16. 3)Emrelaçãoao
ânguloa,podemos
dizerqueatgavale:
a) b/a
b) b/c
c) c/b
d) a/b
e) a/ca
b
.a.c
.o.c
tg a

17. 4)Emrelaçãoao
ânguloa,podemos
dizerqueacotga
vale:
a) b/a
b) b/c
c) c/b
d) a/b
e) a/cb
a
.o.c
.a.c
gcot a

18. 5)Emrelaçãoao
ânguloa,podemos
dizerquetga.cotga
vale:
a) 1/a
b) 1/c
c) 1/b
d) 0
e) 11
.o.c
.a.c
.
.a.c
.o.c
gcot.tg

aa

19. 6)Sea=3b,podemos
dizerentão,que
sen
2
a+cos
2
avale:
a) b
2
/ a
2
b) 9c
2
/ b
2
c) 0
d) 1
e) (c
2
+ b
2
) / 9a
2
Peloteoremafundamentalda
trigonometria,temosque:
sen
2
+ cos
2
= 1

20. 7)Emrelaçãoao
ânguloa,podemos
dizerquesec
2
a-1
vale:
a) tg
2
a
b) cotg
2
a
c) -1
d) 0
e) 1 
a
a








a
a
a
a
2
2
2
2
cos
1
sec
cos
1
sec
olog,
cos
1
sec aa
a
a

a
a

a
a
22
2
2
2
2
2
2
tg1sec
cos
sen
cos
cos1
1
cos
1
1sec aa
aa
22
22
cos1sen
1cossen aa
22
tg1sec

21. 8)Emrelaçãoao
ânguloa,podemos
dizerquecossec
2
a-1
vale:
a) tg
2
a
b) cotg
2
a
c) -1
d) 0
e) 1 
a
a








a
a
a
a
2
2
2
2
sen
1
seccos
sen
1
seccos
olog,
sen
1
seccos aa
a
a

a
a

a
a
22
2
2
2
2
2
2
gcot1seccos
sen
cos
sen
sen1
1
sen
1
1seccos aa
22
gcot1seccos

22. 9)Sesenab/c,
então,calculandoo
valorde
chegaremosa:
a) a/c
b) b/c
c) a/b
d) b/a
e) 1







a
aa
cos
1
1.)cos1(.gcoty
Procure sempre partir da relação fundamental
Resposta na outra folha

23. 







a
a
a
a
a









a
aa
cos
1cos
.)cos1(.
sen
cos
y
cos
1
1.)cos1(.gcoty aa
aa
22
22
cos1sen
1cossen  
)coscos1(cos.
sen
1
y
1cos.)cos1(.
sen
1
y
2
aaa
a

aa
a
 )cos1(.
sen
1
y
2
a
a
 a
a

2
sen.
sen
1
y c
b
y
seny

a

24. Voltando
para a parte teórica...

25. Lei dos Senos
Seja um triângulo ABC qualquer
temos :

Csen
c
Bsen
b
Asen
a
) (^
A ^
C ^
B
A B
C
a
c
b

26. Lei dos Cossenos
Seja um triângulo ABC qualquer
temos :





Ccosba2bac
ouBcosca2cab
ouAcoscb2cba
222
222
222
) (^
A ^
C ^
B
A B
C
a
c
b

27. Gráficos das funções
trigonométricas
Senóide
sen
x
y
x
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•0° 540
°
720
°
450
°
630
°
360
°
270
°
180
°
-180°
-90°
•
90
°
1
-
1

28. Cossenóide
cos
x
y
x
•
•
• •
•
•
•
•
•
•
•
0°
540°
720°450
°
630°360
°
270
°
180
°
-180°
-90° 90
°
1
-
1

29. Tangente
tg x
y
x• • • • • • • • •
0°
360
°
-90° 90°
180°
270°
450
°
540°
630°

30. Cossecante
y
x
• •
•
•
•
•
•
• • •
0° 540° 720°450
°
630°
360
°
270
°
180
°
-180°
-90°
•
90°
1
-
1
cossec
x

31. Secante
•
•
• •
•
•
• •
•
•
•
0°
540°
720°450
°
630°360
°
270
°
180
°
-180°
-90° 90°
sec
x
y
x
1
-
1

32. Continuação ...
cotg x
y
x
• • • • • • • • •
0° 360
°
90°
180°
270° 450
°
540°
630°
720°

33. Trigonometria
Algumas Aplicações

34. Parte Prática
O exemplo clássico da Sombra
Para que possamos medir
(aproximadamente)aalturadeumprédio,
semanecessidadedesubiraoterraço,ou
utilizarequipamentossofisticados,seria
necessáriosomente2elementos.
Sãoeles: umadistância
umângulo
Observeaseguir...

35. hd.tg
d
h
tg
.a.c
.o.c
tg
a
aa portanto: atg.dh
Conhecendoadistânciadquevale50metroseo
ânguloaquevale30°,podemosdizerentãoque:metros8675,28h
95773502691,0.50h
30tg.50h
tg.dh



a

36. Exemplo01.
Umarampacominclinaçãoconstante,(como
aqueexisteemBrasília)tem6metrosde
alturanasuapartemaiselevada.Um
engenheirocomeçouasubir,enotaqueapós
tercaminhado16,4metrossobrearampaestá
a2,0metrosdealturaemrelaçãoaosolo.Será
queesteengenheirosomentecomessesdados
eumacalculadoracientíficaconseguiria
determinarocomprimentototaldessarampae
suainclinaçãoemrelaçãoaosolo?

37. Comopoderíamosresolveressasituação?
Comosugestão,faremosum“desenho”doque
representaessasituação.
Observemos:
6 metros
16,4 metros
2 metros

Comprimento total da rampa
solo

38. 6 metros
16,4 metros
2 metros
 Observemos o triângulo retângulo em destaque . . .
 2 metros
16,4 metros
hip c.o.
c.a.
Temos em relação
ao ângulo :
hip = 16,4 metros
c.o. = 2 metros

39.  2 metros
16,4 metros
hip c.o.
c.a.
Como:
hip = 16,4 metros
c.o. = 2 metros121219512195,0
4,16
2
hip
.o.c
sen 
Obs.:quandodizemosquearcsena=1/2,podemos
transformaressaigualdadeemumapergunta:“qualéoarco,
cujosenovale1/2?”,arespostaseriadizerquea=30°.

40. Emnossoexercício,chegamosaconclusão
que:
sen=0,121951219512,logopodemosencontrar
oângulo,comoauxíliodacalculadoraque
normalmenteutilizaasfunçõesASINouSIN
-1
,
então,devemosdigitar0,121951219512eaopção
acimadesuacalculadora.
Seoprocessofoirealizadocorretamente,
deveráserencontradoovalor7,00472640907,que
iremosconsiderarcomoaproximadamente7°.
Encontramosassim,ainclinaçãodarampa!

41. 2,49
121219512195,0
6
7sen
6
sen
o.c
hip
sen
o.c
hip.o.chip.sen
hip
.o.c
sen






 6 metros
  7
Notamos que os triângulos abaixo são semelhantes,
portanto, podemos dizer que é válido para ambos
 2 metros
16,4 metros
hip c.o.
c.a.
Como:
Chegamos a conclusão que o
comprimento total da rampa é 49,2 metros

42. Exemplo 2
Mecânica Geral
ou Trigonometria?

43. Em relação ao sistema de
forças
representado na figura, onde
F
1= 20N,
F
2= 100N, F
3= 40N e
F
4= 10N, você
seria capaz de determinar a
intensidade da resultante do
sistema e o ângulo que essa
resultante forma com o eixo
das abscissas (x)?
Os conceitos trigonométricos aparecem com muita freqüência no estudo da
Física, Topografia, Astronomia e de muitos outros assuntos.
Abaixo segue um problema CLÁSSICO de física e trigonometria

44. Em primeiro lugar, teremos que fazer as projeções de 2F

nos eixos das abscissas e das
ordenadas, obtendo assim, respectivamente os componentes )x(2F

e )y(2F

.
Analogamente, encontraremos as projeções de 3F

, encontrando os componentes )x(3F

e )y(3F

.

45. A resultante relativa ao eixo das abscissas







)x(
R
é obtida
da seguinte maneira:
)x(31)x(2
)x(
FFFR

 






a
a
60cos.FFFF.60cos
F
F
60cos.
hip
a.c
cos
45cos.FFFF.45cos
F
F
45cos.
hip
a.c
cos
Como
3)x(3)x(33
3
)x(3
2)x(2)x(22
2
)x(2 




N20F5,0.4060cos.FF
N70F70,0.10045cos.FF
totanPor
)x(33)x(3
)x(22)x(2 )x(31)x(2
)x(
FFFR


N70R
202070R
)x(
)x(





46. A resultante relativa ao eixo das abscissas







)y(
R
é obtida
da seguinte maneira:
)y(34)y(2
)y(
FFFR

 






a
a
60sen.FFFF.60sen
F
F
60sen.
hip
o.c
sen
45sen.FFFF.45sen
F
F
45sen.
hip
o.c
sen
Como
3)y(3)y(33
3
)y(3
2)y(2)y(22
2
)y(2 




N4,34F86,0.4060sen.FF
N70F70,0.10045sen.FF
totanPor
)y(23)y(3
)y(22)y(2 )y(34)y(2
)y(
FFFR


N6,25R
4,341070R
)y(
)y(





47. 




NFsenFF
NFsenFF
toPor
yy
yy
4,3486,0.4060.
7070,0.10045.
tan
)(23)(3
)(22)(2 )y(34)y(2
)y(
FFFR

 N6,25R
4,341070R
)y(
)y(





48. Colocando )x(
R

e )y(
R

, nos eixos das abscissas e das
ordenadas, respectivamente, Percebemos que a figura formada pelas forças é um
triângulo retângulo, em que sua hipotenusa é a Força
Resultante

R, )x(
R

é o cateto adjacente a a e )y(
R

o
cateto oposto a a, então, vale o teorema de Pitágoras para
calcularmos o valor de

R
.

49. 
N53,74R
36,5555R
36,5555R
36,6554900R
6,2570R
RRR
cch
2
2
22
2
2
)y(
2
)x(
2
222












































 Observe que são problemas bem clássicos e resolvidos da mesma forma.

50. Para o cálculo do ângulo a, temos:
3657,0
70
6,25
R
R
.a.c
.o.c
tg
)x(
)y(
a


3657,0tga
Esse é o valor da tangente do ângulo a
Para calcularmos o valor do ângulo a,
temos que encontrar o arctg a, então:
a
aa
20
3657,0arctgarctg
Concluímos então que a Resultante
N53,74R

e forma
um ângulo
a20
com o eixo x.

51. Mais um Problema Clássico de Vestibular

52. Questão01.Umalpinistamuitoágil,percorreum
trajetopassandopelospontosAeB.Nãosesabeaocertoo
queocorreu,maseleconseguiucomomaterialapropriado
chegaraconclusãodasmedidasabaixomencionadas.Quando
chegaatéaárvoreelepercebequeoúnicocaminhoqueo
levaráatéopontoCéescalando-a.(aalturadaárvoreé
representadaporh-desprezealarguradotronco)
Sesuavelocidademédiaéde0,2m/s,quantos
minutoseledemorouparasairdopontoAechegaraoponto
C?( )7,13

53. Solução:
Resumidamente,
temos o triângulo ao
lado que representa
nosso desafio.)II(y.3h
y.60tghhy.60tg
y
h
.a.c
.o.c
60tg
)I()y20(.
3
3
h
)y20(.30tghh)y20(.30tg
)y20(
h
.a.c
.o.c
30tg







54. metros10y
y220yy320y.3)y20(
y.3.3)y20(.3y.3)y20(.
3
3
y.3h)II()y20(.
3
3
h)I(



 Igualando o h das equações ( I ) e (II)
Como metros17h
10.7,1h
y.3h




55. 30 metros
17 metros para
subir a árvore
17 metros para
descer da árvore
Agora com o valor das medidas temos condição de
determinar quanto ele percorreu do ponto Aaté o
ponto C, observe:
De Aaté Cele percorreu 30 + 17 + 17 = 64 metros
v = 0,2 m/s

56. segundos20eutosmin5touutosmin333,5t
60
segundos320
tsegundos320
2,0
64
t
V
s
tst.V
t
s
V






 Portanto

57. RESUMÃO DE FÓRMULAS
Relações básicas
sen
2
α+ cos
2
α= 1
tan α. cot α= 1
1 + tan
2
α= 1 / cos
2
α
1 + cot
2
α= 1 / sen
2
α
Relações com quadrantes
Obs: valores de ângulos em graus. Conversão para radianos:
90 → π/2 180 → π 270 → 3π/2 360 → 2π
sen (90 + α) = + cos α sen (90 − α) = + cos α
sen (180 + α) = − sen α sen (180 − α) = + sen α
cos (90 + α) = − sen α cos (90 − α) = + sen α
cos (180 + α) = − cos α cos (180 − α) = − cos α

58. RESUMÃO DE FÓRMULAS
tag (90 + α) = − cot α tan (90 − α) = + cot α
tan (180 + α) = + tan α tan (180 − α) = − tan α
cot (90 + α) = − tan α cot (90 − α) = + tan α
cot (180 + α) = + cot α cot (180 − α) = − cot α
sen (270 + α) = − cos α sen (270 − α) = − cos α
sen (360 + α) = + sen α sen (360 − α) = − sen α
cos (270 + α) = + sen α cos (270 − α) = − sen α
cos (360 + α) = + cos α cos (360 − α) = + cos α
tan (270 + α) = − cot α tan (270 − α) = + cot α
tan (360 + α) = + tan α tan (360 − α) = − tan α
cot (270 + α) = − tan α cot (270 − α) = + tan α
cot (360 + α) = + cot α cot (360 − α) = − cot α
sen (−α) = − sen α cos (−α) = + cos α
tan (−α) = − tan α cot (−α) = − cot α
sen (α±k 360) = + sen α cos (α±k 360) = + cos α
tan (α±k 180) = + tan α cot (α ±k 180) = + cot α
O símbolo k significa um número inteiro e positivo.

59. RESUMÃO DE FÓRMULAS
Relações com soma / diferença de ângulos
sen (α±β) = sen αcos β±cos αsen β
cos (α±β) = cos αcos β±sen αsen β
tan (α±β) = (tan α±tan β) / (1 ±tan αtan β)
cot (α±β) = (cot αcot β±1) / (cot β±cot α)
Relações com soma / diferença / produto de funções
sen α+ sen β= 2 sen (α+ β)/2 . cos (α− β)/2
sen α− sen β= 2 cos (α+ β)/2 . sen (α− β)/2
cos α+ cos β= 2 cos (α+ β)/2 . cos (α− β)/2
cos α− cos β= − 2 sen (α+ β)/2 . sen (α− β)/2

60. a sen x + b cos x = √ (a
2
+ b
2
) sen (x + φ) onde φ = arctan b/a se
a ≥ 0 ou
φ = arctan b/a ±π se a < 0
tan α ±tan β = sen (α ±β) / (cos α cos β)
cot α±cot β= sen (β±α) / (sen αsen β)
sen αsen β= (1/2) cos (α− β) − (1/2) cos (α+ β)
sen αcos β= (1/2) sen (α+ β) + (1/2) sen (α− β)
cos αcos β= (1/2) cos (α+ β) + (1/2) cos (α− β)
tan αtan β= (tan α+ tan β) / (cot α+ cot β) = − (tan α− tan β) / (cot α− cotβ)
cot αcot β= (cot α+ cot β) / (tan α+ tan β) = − (cot α− cot β) /(tan α− tan β)
cot αtan β= (cot α+ tan β) / (tan α+ cot β) = − (cot α− tan β) /(tan α− cot β)
RESUMÃO DE FÓRMULAS

61. Relações diversas
sen α= 2 sen α/2 . cos α/2
cos α= cos
2
α/2 − sen
2
α/2
tan α= sen α/ cos α
cot α= cos α/ sen α
sen α= tan α/ √(1 + tan
2
α)
cos α= cot α/ √(1 + cot
2
α)
tan α= sen α/ √(1 − sen
2
α)
cot α= cos α/ √(1 − cos
2
α)
sen α= √(cos
2
α− cos 2α)

62. Relações diversas
cos α= 1 − 2 sen
2
α/2
tan α= √[ (1/cos
2
α) − 1 ]
cot α= √[ (1/sen
2
α) − 1 ]
sen α= √[ (1 − cos 2α) / 2 ]
cos α= √[ (1 + cos 2α) / 2 ]
tan α= [ √(1 − cos
2
α) ] / cos α
cot α= [ √(1 − sen
2
α) ] / sen α
sen α= 1 / √(1 + cot
2
α)
cos α= 1 / √(1 + tan
2
α)
sen 2α= 2 sen αcos α

63. Relações diversas
cos 2α= cos
2
α− sen
2
α
cos 2α= 2 cos
2
α− 1
cos 2α= 1 − 2 sen
2
α
tan 2α = 2 tan α / (1 − tan
2
α)
tan 2α = 2 / (cot α − tan α)
cot 2α = (cot
2
α − 1) / (2 cot α)
cot 2α = (1/2) cot α − (1/2) tan α
sen α/2 = √[ (1 − cos α) / 2 ]
cos α/2 = √[ (1 + cos α) / 2 ]
tan α/2 = sen α/ (1 + cos α)
cot α/2 = sen α/ (1 − cos α)
tan α/2 = (1 − cos α) / sen α
cot α/2 = (1 + cos α) / sen α
tan α/2 = √[ (1 − cos α) / (1 + cos α) ]

64. Pessoal, espero ter contribuído um pouco mais para o seu sucesso.
Abraços
Fred Tavares
www.nordesttino.com
[email protected]