Serie de fourier. Funciones periodicas, funciones pares e impares.

En este articulo se mostrará como determinar las funciones pares e impares para el empleo de las series de fourier

1. Serie de Fourier. FUNCIONES PERIODICAS. FUNCIONES PARES E IMPARES. INTEGRANTES: CARLOS RAMOS NATALIA RAMOS ANGEL RODRIGUEZ ANGELY CASTILLO PROFESOR: ELIER ESPAÑA UNEFA-APURE

2. Funciones Periódicas . Para iniciar nuestro estudio acerca de las señales debemos primero aclarar el concepto de periodicidad de una señal o función , palabras que en este contexto tomaremos como sinónimos , y caracterizaremos una se ñ al periódica cómo aquella que se repite exactamente a si misma en un lapso fijo, matemáticamente se suele expresar que: Donde T es el periodo de la se ñ al . En la Figura 1 se puede apreciar gráficamente la diferencia entre una función o se ñ al no periódica y una periódica . Los casos más típicos de funciones elementales periódicas son las funciones sin(x) y cos (x), en las que su periodo es de 2π. Además , en la vida diaria existen muchos casos de funciones periódicas en que la variable es el tiempo; fenómenos como el movimiento de las manecillas de un reloj o las fases de la luna muestran un comportamiento periódico . Para una función aplicada al conjunto de los números reales o al de los enteros, significa que la totalidad de su gráfica puede ser representada a partir de copias de una determinada porción de é sta , repetida a intervalos regulares .

3. Serie Trigonométrica de Fourier: Las funciones periódicas f(t) de periodo T se pueden expresar por medio de este tipo especial de serie infinita llamada Serie de Fourier. Estas series fueron utilizadas inicialmente por Joseph B. Fourier para solucionar problemas relacionados con la transferencia de calor. Según el teorema de Fourier, una función f(t) de periodo T se puede expresar como una combinación lineal de funciones ortogonales, en particular como una combinación lineal de funciones de seno y coseno de la siguiente manera: Ejemplos de Ondas Periódicas.

4. Simplificaciones por simetría: Para simplificar el cálculo de los coeficientes de la serie de Fourier de una función periódica dada, y además minimizar posibles errores, debemos reconocer si la función es par o impar (es decir, es simétrica con respecto al eje y o si posee simetría rotacional con respecto al origen de coordenadas). Recordemos que una función y = g(t) es par si g(t) = g(−t ) , y una función h(t) es impar si h(−t) = −h(t) , en la Figura 2 apreciamos la diferencia.

5. Funciones Pares e Impares Funciones Pares : Las funciones pares son las que cumplen con la siguiente condición: Mayormente las funciones que poseen potencias pares cumplen esta condición. Si f(t) es una función par, su serie de Fourier se a una serie de Fourier de coseno, y el coeficiente bn se hace igual a cero (se anula), es decir:   Función Impar : Las funciones impares son aquellas que cumplen la siguiente condición: Mayormente las funciones que poseen potencias impares cumplen esta condición. Si f(t) es una función impar, su serie de Fourier se reduce a una serie de Fourier de seno, y los coeficientes a0 y an se hacen cero (se anulan), es decir:  

6. Ejemplos de Funciones Pares : Valor absoluto, . Para determinar si estas funciones son pares utilizamos la siguiente condición: Las funciones pares son simétricas con respecto al eje y: al trazar una línea horizontal la distancia que hay de cada lado de la onda debe ser la misma y en la misma línea . Ejemplos de funciones impares: Para determinar si la función es impar utilizamos la siguiente condición: Las funciones impares son simétricas con respecto al origen (punto centro de la gráfica: al trazar una línea que pase por el origen, el punto que toca ambos lados de la onda debe tener una distancia igual con respecto al centro.