Serie de laurent

ejemplos serie de laurent

1. Captulo5
SeriesdeLaurent
Problema5.1HallarlasseriesdeLaurentcentradasenz0=1delafuncion
f(z)=(z1)=z
2
.
Solucion:
Lafuncionfesholomorfasalvoenz=0.Portanto,sicentramoslasseries
enz0=1,tendremosdosseriesdeLaurent,unaenlabolaB(1;1)yotraenla
coronaC(1;1;1).
B(1;1)
C(1;1,°)
0 1
Figura5.1:Coronasdef(z)=(z1)=z
2
LaseriedeLaurentenlabolaB(1;1)coincideconlaseriedeTaylor.Usamos
laseriedeg(z)=z
2
,
1
z
2
=
1
X
n=0
(1)
n
(n+1)(z1)
n
;puesg
r)
(z)=(1)
r
(r+1)!z
2r
;
quetambienpodemosobtenercomoderivadadelaseriedelafuncionz
1
,
queesunaseriegeometrica,
1
z
=
1
1+(z1)
=
1
X
n=0
(1)
n
(z1)
n
:
f(z)=
z1
z
2
=
1
X
n=0
(1)
n
(n+1)(z1)
n+1
=
1
X
m=1
(1)
m1
m(z1)
m
=(z1)2(z1)
2
+3(z1)
3
4(z1)
4
+O

(z1)
5

:
1

2. Paralaotracorona,podemoshacerelcambiow=1=(z1)ydesarrollar
enw=0,
f(z)=
w
1
(w
1
+1)
2
=
w
(w+1)
2
=
1
X
n=0
(1)
n
(n+1)w
n+1
=
1
X
m=1
(1)
m1
m
(z1)
m
=(z1)
1
2(z1)
2
+3(z1)
3
4(z1)
4
+O

(z1)
5

;
teniendoencuentaquelaseriedeMcLaurinde1=(w+1)
2
yalatenemos,
tomandou=w+1,
1
(w+1)
2
=
1
u
2
=
1
X
n=0
(1)
n
(n+1)(u1)
n
=
1
X
n=0
(1)
n
(n+1)w
n
:2
Problema5.2HallarlaseriedeLaurentdelafuncionf(z)=1=z
2
sinhzen
unacoronaC(0;0;r).>Cualeselvalorder?
Solucion:
Lafuncionfesholomorfasalvoenloscerosdeldenominador,quesonz=
in,n2Z.Elpoloz=0estripleyelrestosonsimples.Portanto,laprimera
coronaenlaqueesholomorfaesC(0;0;).
0
C(0;0,p)
ip
-ip
i2p
-i2p
Figura5.2:Coronasdef(z)=1=z
2
sinhz
Comof(z)=g(z)=z
3
,precisamossolamentelaseriedeMcLaurindeg(z)=
z=sinhz,queesholomorfaenB(0;).Comoespar,
g(z)=a0+a2z
2
+a4z
4
+O(z
6
);sinhz=z+
z
3
6
+
z
5
120
+O(z
7
);
z=g(z)sinhz=a0z+

a2+
a0
6

z
3
+

a4+
a2
6
+
a0
120

z
5
+O(z
7
)
g(z)=1
z
2
6
+
7z
4
360
+O(z
6
);
f(z)=
1
z
3

1
6z
+
7z
360
+O(z
3
):2
2

3. Problema5.3HallarlasseriesdeLaurentcentradasenelorigendelafuncion
f(z)=1=(z1)(z2).
Solucion:
Lafuncionesholomorfasalvoensuspolossimples,z=1,z=2.Portanto,
tenemostrescoronasenlasquelafuncionesholomorfa,B(0;1),C(0;1;2),
C(0;2;1).
C(0;1,2)
0 1 2
C(0;2,°)
B(0;1)
Figura5.3:Coronasdef(z)=f(z)=1=(z1)(z2)
Nosseranmuyutileslasseriesgeometricas,
1
z1
=
1
X
n=0
z
n
;sijzj<1;
1
z1
=
1=z
11=z
=
1
X
n=0
1
z
n+1
;sijzj>1;
1=2
z=21
=
1
X
n=0
z
n
2
n+1
;sijzj<2;
1
z2
=
1=z
12=z
=
1
X
n=0
2
n
z
n+1
;sijzj>2;
yaqueahorasolotenemosquerestarlasseriesconvergentesencadaregion,
f(z)=
1
z2

1
z1
:
EnB(0;1),
f(z)=
1
X
n=0

1
1
2
n+1

z
n
=
1
2
+
3
4
z+
7
8
z
2
+
15
16
z
3
+
31
32
z
4
+O(z
5
):
EnC(0;1;2),
f(z)=
1
X
n=1
1
z
n

1
X
n=0
z
n
2
n+1
:
EnC(0;2;1),
f(z)=
1
X
n=1
2
n1
1
z
n
=z
2
+3z
3
+7z
4
+O(z
5
):2
Problema5.4HallarlasdosprimerasseriesdeLaurentdelafuncionf(z)=
cosecz.
3

4. Solucion:
Lafuncionf(z)=1=sinzesholomorfasalvoenz=n,n2Z.Luegofes
analticaeninnitascoronasdelaformaC(0;n;(n+1)).
C(0;p,2p)
0 2p
C(0;2p,3p)
C(0;0,p)
p-p-2p
Figura5.4:Coronasdef(z)=cosecz
EnC(0;0;),tenemosquelafunciong(z)=z=sinzesholomorfaypary
tieneseriedeMcLaurin,g(z)=
P
anz
n
,
z=g(z)sinz=

a0+a2z
2
+a4z
4


z
z
3
6
+
z
5
120

+O(z
7
)
=a0z+

a2
a0
6

z
3
+

a4
a2
6
+
a0
120

z
5
+O(z
7
);
g(z)=1+
z
2
6
+
7z
4
360
+O(z
6
);f(z)=
g(z)
z
=
1
z
+
z
6
+
7z
3
360
+O(z
5
):
EnlacoronaC(0;;2),lasituacionesmascomplicada.Tratamosdesepa-
rarlaparteprincipaldelafunciondelaparteholomorfa,buscandounafuncion
h,
h(z)=
1
sinz

a
z

b
z

c
z+
;
queseaholomorfaenz=0;,parapodercalcularsuseriedeMcLaurin.
Comosinz=z+O(z
3
),a=1.Comosinz=z+O

(z)
3

,b=1.Del
mismomodo,c=1.Portanto,simplicandoyusandolasseriesyaconocidas,
h(z)=
1
sinz

1
z

1=
1z=
+
1=
1+z=
=

z
6
+
7z
3
360



1

+
z

2
+
z
2

3
+
z
3

4
+
z
4

5

+

1


z

2
+
z
2

3

z
3

4
+
z
4

5

=

1
6

2

2

z+

7
360

2

4

z
3
+O(z
5
);
obtenemosunaserieconvergenteenB(0;2).Aspues,
1
sinz
=h(z)+
1
z
+
1=
1z=

1=
1+z=
=h(z)+
1
z

2z
z
2

2
=2
1
X
n=1

2n
z
2n+1

1
z
+

1
6

2

2

z+

7
360

2

4

z
3
+O(z
5
);
4

5. paralocualhemosexpresado,parajzj>,laseriegeometrica,
z
z
2

2
=
1=z
1
2
=z
2
=
1
X
n=0

2n
z
2n+1
=
1
z
+

2
z
3
+

4
z
5
+O(z
7
):2
Problema5.5Calcularlasintegralesdelassiguientesfunciones:
1.1=(z
2
1)alolargodelacircunferenciaderadio2centradaenelorigen.
2.1=(z
2
+z1)alolargodelacircunferenciaderadio1=2centradaenel
origen.
3.1=(z
4
+1)alolargodelasemicircunferenciasuperiorderadio2centrada
enelorigen.
4.(1+z)=(1cosz)alolargodelacircunferenciaderadio7centradaen
elorigen.
5.sinz=(1cosz)alolargodelacircunferenciaderadio8centradaenel
origen.
6.sin
2
z=(1cosz)alolargodelacircunferenciaderadio5centradaen
elorigen.
Solucion:
1.Lafuncionf(z)=1=(z
2
1)esholomorfasalvoenz=1,quesonpolos
simples,ambosrodeadosporlacircunferencia,,deradio2centradaen
elorigen.Calculamosambosresiduos,
Res(f;1)=lm
z!1
z1
z
2
1
=lm
z!1
1
2z
=
1
2
;
yaplicamoselteoremadelosresiduosparacalcularlaintegral,
Z

f(z)dz=i2Res(f;1)+i2Res(f;1)=0:2



G
Figura5.5:Curvaypolosdef(z)=1=(z
2
1)
2.Lafuncion1=(z
2
+z1)esholomorfasalvoenz=(1
p
5)=2,queson
polossimples,ningunodeellosrodeadoporlacircunferencia,,deradio
1=2centradaenelorigen.Portanto,laintegralesnula.2
5

6.
G
Figura5.6:Curvaypolosdef(z)=1=(z
2
+z1)
3.Lafuncionf(z)=1=(z
4
+1)esholomorfasalvoenz=e
i=4
,e
i3=4
,e
i5=4
,
e
i7=4
,quesonpolossimples,deloscualessololosdosprimeros,z0,z1,
estanrodeadosporlasemicircunferenciasuperiorderadio2centradaen
elorigen.
G
p

p


p

p
Figura5.7:Curvaypolosdef(z)=1=(z
4
+1)
Calculamosambosresiduos,
Res(f;z0)=lm
z!z0
zz0
z
4
+1
=lm
z!z0
1
4z
3
=
e
i3=4
4
;Res(f;z1)=
e
i=4
4
;
yaplicamoselteoremadelosresiduosparacalcularlaintegral,
Z

f(z)dz=i2(Res(f;z0)+Res(f;z1))=

p
2
2
:2
4.Lafuncionf(z)=(1+z)=(1cosz)esholomorfasalvoenz=n2,
n2Z,quesonpolosdobles,yaque1cosz=z
2
=2+O(z
4
).Deellos,
solo0;2,estanrodeadosporlacircunferenciaderadio7centradaenel
origen.
Calculamoslostresresiduos,
f(z)=
1+z
1cosz
=
1+z
z
2
=2+O(z
4
)
=
2
z
2
+
2
z
+O(1);Res(f;0)=2;
f(z)=
1+z
1cos(z2)
=
1+2+(z2)
(z2)
2
=2+O((z2)
4
)
=
2+4
(z2)
2
+
2
z2
+O(1);Res(f;2)=2;
6

7.
p p-2p-4p
G
Figura5.8:Curvaypolosdef(z)=(1+z)=(1cosz)
eigualmenteRes(f;2)=2.Aplicamoselteoremadelosresiduospara
calcularlaintegral,
Z

f(z)dz=i2(Res(f;0)+Res(f;2)+Res(f;2))=i12:2
5.Lafuncionf(z)=sinz=(1cosz)esholomorfasalvoenz=n2,n2
Z.Deellos,solo0;2,estanrodeadosporlacircunferenciaderadio8
centradaenelorigen.Comosinz=z+O(z
3
)y1cosz=z
2
=2+O(z
4
),
lospolossonsimples.Lostresresiduossoniguales,yaquelafunciones
periodica,
f(z)=
sinz
1cosz
=
z+O(z
3
)
z
2
=2+O(z
4
)
=
2
z
+O(z);Res(f;0)=2:
Aplicamoselteoremadelosresiduosparacalcularlaintegral,
Z

f(z)dz=i2(Res(f;0)+Res(f;2)+Res(f;2))=i12:2
6.Lafuncionf(z)=sin
2
z=(1cosz)presentasingularidadesevitablesen
z=n2,n2Z,yaque,
f(z)=
1cos
2
z
1cosz
=1+cosz;
porloquesepuedeextenderaunafuncionenteraysuintegralalolargo
decualquiercurvacerradaesnula.2
Problema5.6Calcularlassiguientesintegrales:
1.
R
2
0
dt
2sint
.
2.
R

0
dt
2cost+3
.
3.
R
2
0
dt
1+a
2
2acost
,16=a>0.
4.
R
2
0
e
cost
cos(ntsint)dt,n1.
5.
R

0
sin
2n
tdt.
7

8. Solucion:
Trasladamoslasintegralesalacircunferencia,,centradaenelorigende
radiounidad,mediantelatransformacionz=e
it
,dz=ie
it
dt.
1.
Z
2
0
dt
2sint
=
Z

2dz
i4zz
2
+1
=i2Res

2
i4zz
2
+1
;z0

=
2
p
3
3
;
yaqueelintegrandotienepolossimplesenz=i(2
p
3)ysoloz0=
i(2
p
3)estaenelinteriordelacircunferencia,
Res

2
i4zz
2
+1
;z0

=lm
z!z0
(zz0)2
i4zz
2
+1
=lm
z!z0
2
i42z
=
1
i
p
3
:2
i(2+Ã3)
i(2-Ã3)
G
Figura5.9:Circunferenciaunidadypolosdef(z)=2=(i4zz
2
+1)
2.Comoelcosenoessimetricorespectoa,laintegraleslamitaddela
integralenelintervalo[0;2],
Z

0
dt
2cost+3
=
i
2
Z

dz
z
2
+1+3z
=Res

1
z
2
+1+3z
;z0

=
p
5
5
;
yaqueelintegrandotienepolossimplesenz=(3
p
5)=2ysoloz0=
(3+
p
5)=2estaenelinteriordelacircunferencia,
Res

1
z
2
+1+3z
;z0

=lm
z!z0
zz0
z
2
+1+3z
=lm
z!z0
1
2z+3
=
1
p
5
:2
3.
Z
2
0
dt
1+a
2
2acost
=i
Z

dz
(1+a
2
)za(z
2
+1)
:
Elintegrandoesunafuncionholomorfasalvoenlospolossimplesz=
a;1=a,deloscualessolounoestaenelinteriordelacircunferencia.Cal-
culamoslosresiduos,paraf(z)=1=

(1+a
2
)za(z
2
+1)

,
Res(f;a)=lm
z!a
za
(1+a
2
)za(z
2
+1)
=lm
z!a
1
(1+a
2
)2az
=
1
1a
2
;
8

9. G
(-3+Ã5)/2(-3-Ã5)/2
Figura5.10:Circunferenciaunidadypolosdef(z)=1=(z
2
+1+3z)
G
a 1/a
Figura5.11:Circunferenciaunidadypolosdef(z)=1=((1+a
2
)za(z
2
+1))
Res(f;1=a)=lm
z!1=a
z1=a
(1+a
2
)za(z
2
+1)
=
1
a
2
1
;
Z
2
0
dt
1+a
2
2acost
=
2
ja
2
1j
:2
4.
I=
Z
2
0
e
cost
cos(ntsint)dt=
Z
2
0
e
cost
e
i(ntsint)
+e
i(sintnt)
2
dt
=
i
2
Z


e
1=z
z
n1
+e
z
z
n1

dz
=Res

e
1=z
z
n1
;0

+Res

e
z
z
n1
;0

=
2
n!
;
dondelosresiduoslosobtenemosdelosdesarrollos,
e
1=z
z
n1
=z
n1
++
1
n!
z
1
+O(z
2
);Res

e
1=z
z
n1
;0

=
1
n!
;
e
z
z
n1
=z
n1
++
1
n!
z
1
+O(1);Res

e
z
z
n1
;0

=
1
n!
:2
5.Comoelintegrandoessimetricorespectode,laintegraleslamitadde
laintegralenelintervalo[0;2],
I=
Z

0
sin
2n
tdt=
i
2
Z


zz
1
2i
2n
dz
z
=
i(1)
n
2
2n+1
Z

(z
2
1)
2n
z
2n+1
dz
=
(1)
n

2
2n
Res

(z
2
1)
2n
z
2n+1
;0

=

2
2n
(2n)!
(n!)
2
=

2
2n
2n
n
2n1
n1
:::
n+1
1
:
9

10. Puesparacalcularelresiduonosinteresaelcoecientedelterminode
grado2ndelnumerador,
(z
2
1)
2n
=
2n
X
k=0

2n
k

z
2k
(1)
2nk
=

2n
n

(1)
n
z
2n
+:2
Problema5.7Calcularlasintegralesdelassiguientesfuncionesalolargode
larectareal:
1.1=(x
4
+1).
2.1=(x
6
+1).
3.1=(x
2
2x+4).
4.1=(x
2
+a
2
).
5.1=(x
2
+a
2
)(x
2
+b
2
)
2
.
Solucion:
Todasellassepuedenreduciraintegraleseneldominiocomplejo,bienenel
semiplanosuperior,bienenelinferior,yaqueellmitedezf(z)cuandoztiende
ainnitoesceroparatodasellasynotienenpolosenelejereal.
1.Lafuncionf(z)=1=(z
4
+1)tienepolosenz=e
i=4
;e
i3=4
;e
i5=4
;e
i7=4
,
deloscualeslosdosprimerosestanenelsemiplanosuperior.Portanto,
Z
1
1
f(x)dx=i2
n
Res

f;e
i=4

+Res

f;e
i3=4
o
=
p
2
2
;
Res

f;e
i=4

=lm
z!e
i=4
ze
i=4
z
4
+1
=lm
z!e
i=4
1
4z
3
=
e
i=4
4
=
1i
4
p
2
;
Res

f;e
i3=4

=
e
i3=4
4
=
1+i
4
p
2
:2
e
ip/4
e
i3p/4
e
-ip/4
e
-i3p/4
Figura5.12:Polosdef(z)=1=(z
4
+1)
10

11. 2.Lafuncionf(z)=1=(z
6
+1)tienepolosenz=e
i=6
;e
i=2
;e
i5=6
enel
semiplanosuperior.Portanto,
Z
1
1
f(x)dx=i2
2
X
n=0
Res

f;e
i(2n+1)=6

=i2
p
3i
12

i
6

p
3+i
12
!
=
2
3
;
Res

f;e
in=6

=lm
z!e
in=6
ze
in=6
z
6
+1
=lm
z!e
in=6
1
6z
5
=
e
in5=6
6
:2
e
ip/6
e
-i5p/6
e
i5p/6
e
-ip/6
-i
i
Figura5.13:Polosdef(z)=1=(z
6
+1)
3.Lafuncion1=(z
2
2z+4)tieneununicopolosimple,z0=1+i
p
3,enel
semiplanosuperior.Portanto,
Z
1
1
f(x)dx=i2Res(f;z0)=
p
3
3
;
Res(f;z0)=lm
z!z0
zz0
z
2
2z+4
=lm
z!z0
1
2z2
=
1
i2
p
3
:2
-ia
ia
Figura5.14:Polosdef(z)=1=(z
2
+a
2
)
4.Lafuncion1=(z
2
+a
2
)tieneununicopolosimple,z0=ia,enelsemiplano
superiorsia>0.Portanto,
Z
1
1
f(x)dx=i2Res(f;z0)=

a
;
11

12. Res(f;z0)=lm
z!z0
zz0
z
2
+a
2
=lm
z!z0
1
2z
=
1
i2a
:2
5.Lafuncion1=(z
2
+a
2
)(z
2
+b
2
)
2
tieneunpolosimple,z0=ia,yunpolo
doble,z1=ib,enelsemiplanosuperiorsia6=b>0.Portanto,
Z
1
1
f(x)dx=i2
1
X
n=0
Res(f;zn)=

a(a
2
b
2
)
2
+
a
2
3b
2
2(a
2
b
2
)
2
b
3
;
Res(f;z0)=lm
z!z0
(zz0)f(z)=lm
z!z0
1
(z+ia)(z
2
+b
2
)
2
=
1
i2a(a
2
b
2
)
2
:
Res(f;z1)=lm
z!z1
d
dz
(zz1)
2
f(z)=lm
z!z1
d
dz
1
(z
2
+a
2
)(z+ib)
2
=lm
z!z1
2z(z+ib)2(z
2
+a
2
)
(z
2
+a
2
)
2
(z+ib)
3
=
1
i4
a
2
3b
2
(a
2
b
2
)
2
b
3
:2
ib
-ib
-ia
ia
Figura5.15:Polosdef(z)=1=(z
2
+a
2
)(z
2
+b
2
)
2
Enelcasoenelquea=b,elpoloestriple,z0=ia.Portanto,
Z
1
1
f(x)dx=i2Res(f;z0)=
3
8a
5
;
Res(f;z0)=lm
z!z0
1
2
d
2
dz
2
(zz0)
3
f(z)=lm
z!z0
d
2
dz
2
1
(z+ia)
3
=lm
z!z0
12
(z+ia)
5
=
3
i8a
5
:2
Problema5.8Calcularlasintegralesdelassiguientesfuncionesalolargode
larectareal:
1.e
ikx
=(x
2
+a
2
),a>0
2.coskx=(x
2
+1).
3.sinkx=(x
2
+1).
4.e
ikx
=(x+ia),a>0.
5.x
3
sinx=(x
2
+1)
2
.
12

13. 6.cosx=(x
2
+4)(x
2
+1).
Solucion:
Todasellassepuedenreduciraintegraleseneldominiocomplejodefunciones
delaformae
ikx
f(x),yaqueellmitedef(z)cuandoztiendeainnitoescero
paratodasellasynotienenpolosenelejereal.
1.Parak>0:lafuncionf(z)=1=(z
2
+a
2
)tieneununicopolosimpleen
z0=iaenelsemiplanosuperiorsia>0.Portanto,
Z
1
1
f(x)e
ikx
dx=i2Res

f(z)e
ikz
;z0

=

a
e
ka
;
Res

f(z)e
ikz
;z0

=lm
z!z0
zz0
z
2
+a
2
e
ikz
=lm
z!z0
e
ikz
z+ia
=
e
ka
i2a
:
Parak=il<0podemosusarelresiduoenz1=ia,peroesmas
comodousarlaspropiedadesdesimetradelintegrando,
Z
1
1
f(x)e
ilx
dx=
Z
1
1
f(y)e
ily
dy=
Z
1
1
f(y)e
ily
dy=

a
e
ka
;
haciendoelcambiodevariabley=x.Juntandoambosresultados,
Z
1
1
f(x)e
ikx
dx=

a
e
jkja
:2
2.Estaintegraleslaparterealdelaanterior,luegovalee
jkja
=a.2
3.Elintegrandoesunafuncionimpar,luegolaintegralesnula.2
4.Parak>0,nohaypolosenelsemiplanoinferior,asquelaintegrales
nula.
-ia
Figura5.16:Polosdef(z)=e
ikz
=(z+ia)
Parak<0,lafuncionf(z)=1=(z+ia),tieneunpolosimple,z0=ia,
enelsemiplanoinferior.Portanto,
Z
1
1
f(x)e
ikx
dx=i2Res

f(z)e
ikz
;z+ia

=i2e
ka
:2
13

14. 5.LaintegraleslaparteimaginariadelaintegraldeFourierdeunafuncion,
queextendidaaldominiocomplejo,f(z)=z
3
=(z
2
+1)
2
,tieneununico
polodoble,z0=i,enelsemiplanosuperior.Portanto,
Z
1
1
f(x)e
ix
dx=i2Res

f(z)e
iz
;i

=
i
2e
;
Z
1
1
f(x)sinxdx=

2e
;
Res

f(z)e
iz
;i

=lm
z!i
d
dz
(zi)
2
z
3
(z
2
+1)
2
e
iz
=lm
z!i
d
dz
z
3
e
iz
(z+i)
2
=
1
4e
:2
6.LaintegraleslaparterealdelaintegraldeFourierdeunafuncion,que
extendidaaldominiocomplejo,f(z)=1=(z
2
+4)(z
2
+1),tienedospolos
simples,z0=i,z1=i2,enelsemiplanosuperior.Portanto,
Z
1
1
f(x)e
ix
dx=i2
1
X
n=0
Res

f(z)e
iz
;zn

=

3e


6e
2
;
Z
1
1
f(x)cosxdx=

3e


6e
2
;
Res

f(z)e
iz
;z0

=lm
z!z0
(zz0)e
iz
(z
2
+4)(z
2
+1)
=lm
z!z0
e
iz
(z
2
+4)(z+i)
=
1
i6e
;
Res

f(z)e
iz
;z1

=lm
z!z1
e
iz
(z
2
+1)(z+i2)
=
i
12e
2
:2
Problema5.9Calcular
R
3
2
p
5xx
2
6
x
2 dx.
Solucion:
Laintegralpropuestaesdelaforma,
Z
3
2
p
5xx
2
6
x
2
dx=
Z
3
2
f(x)
p
jx2jjx3jdx;
conf(z)=1=z
2
.
2 30
Figura5.17:Puntossingularesdelintegrando
Lafunciong(z)=f(z)
p
z2


p
z3


tieneunpolodobleenz0=0,
fueradelintervalodeintegracion,
Res(g;0)=lm
z!0
d
dz
p
z2


p
z3


=
p
3


2
p
2


+
p
2


2
p
3


=
5
p
6
12
:
14

15. Elinnitoespolosimple,yaque,
g(w
1
)
w
2
=
1
w
p
15w+6w
2


;
Res(g;1)=lm
w!0
p
15w+6w
2


=1;
Conlocual,yaestamosencondicionesdeevaluarlaintegral,
Z
3
2
p
5xx
2
6
x
2
dx=Res(g;1)+Res(g;0)=
5
p
6
12
:2
Problema5.10Calcular
R
1
0
logx
x
2
+1
dx.
Solucion:
Estaintegralsereduceaunaeneldominiocomplejo.Paraello,tenemosque
calcularlospolosfueradelsemiejepositivodelafunciong(z)=(lnz)
2
2
=(z
2
+1),
quesondospolossimples,z=i,
Res(g;i)=lm
z!i
(lnz)
2
2
z+i
=

2
=4
i2
;Res(g;i)=lm
z!i
(lnz)
2
2
zi
=
9
2
=4
i2
;
Z
1
0
logx
x
2
+1
dx=
<(Res(g;i)+Res(g;i))
2
=<(i
2
=2)=0:2
0
i
-i
Figura5.18:Puntossingularesdelintegrando
Laintegralporresiduossevaalaparteimaginaria,
Z
1
0
dx
x
2
+1
=
=(Res(g;i)+Res(g;i))
2
==(i=2)=

2
;
queyaeraconocida.
Problema5.11Calcular
R
1
0
logx
(x
2
+1)
2dx.
Solucion:
Estaintegralsereduceaunaeneldominiocomplejo.Paraello,tenemosque
calcularlospolosfueradelsemiejepositivodelafunciong(z)=(lnz)
2
2=(z
2
+
1)
2
,quesondospolosdobles,z=i,
15

16. Res(g;i)=lm
z!i
d
dz
(lnz)
2
2
(z+i)
2
=lm
z!i
2(lnz)2
z(z+i)
2

2(lnz)
2
2
(z+i)
3
=

4
+i

2
16
;
Res(g;i)=lm
z!i
d
dz
(lnz)
2
2
(zi)
2
=lm
z!i
2(lnz)2
z(zi)
2

2(lnz)
2
2
(zi)
3
=
3
4
i
9
2
16
;
Z
1
0
logx
(x
2
+1)
2
dx=
<(Res(g;i)+Res(g;i))
2
=<

i
2
4

=

4
:2
Problema5.12Calcularlaintegral
Z
1
0
sin
2
x
x
2
dx,usandoelvalorprincipal
de
Z
1
1
1e
i2x
x
2
dx.
Solucion:
Calculamoselvalorprincipal
I:=
Z
1
1
1e
i2x
x
2
dx=iRes(f;0)=2;
teniendoencuentaque,comoz=0esunpolosimpledef(z)=(1e
i2z
)=z
2
,
porser1e
i2z
=i2z+O(z
2
),
Res(f;0)=lm
z!0
zf(z)=lm
z!0
1e
i2z
z
=i2:
Laintegralquebuscamosestarelacionadaconlaparterealdeestaintegral,
<(I)=
Z
1
1
1cos2x
x
2
dx=2:
Estaintegralesconvergenteenelorigen,yaque1cos2x=2sin
2
x=O(x
2
).
Esunasingularidadevitable.Portanto,comoelintegrandoespar,
Z
1
0
sin
2
x
x
2
dx=
1
2
Z
1
1
sin
2
x
x
2
dx=
1
4
Z
1
1
1cos2x
x
2
dx=

2
:2
Problema5.13Calcularlaintegral
Z
1
0
sin
3
x
x
3
dx,usandoelvalorprincipal
de
Z
1
1
3e
ix
e
i3x
2
x
3
dx.
Solucion:
Calculamoselvalorprincipal
I:=
Z
1
1
3e
ix
e
i3x
2
x
3
dx=iRes(f;0)=i3;
16

17. teniendoencuentaque,comoz=0esunpolosimpledef(z)=(3e
iz
e
i3z

2)=z
3
,porser3e
iz
e
i3z
2=3z
2
+O(z
3
),
Res(f;0)=lm
z!0
zf(z)=lm
z!0
3e
iz
e
i3z
2
z
2
=3:
Laintegralquebuscamosestarelacionadaconlaparteimaginariadeesta
integral,
=(I)=
Z
1
1
3sinxsin3x
x
3
dx=3:
Estaintegralesconvergenteenelorigen,yaque3sinxsin3x=4sin
3
x=
O(x
3
).Esunasingularidadevitable.Portanto,comoelintegrandoespar,
Z
1
0
sin
3
x
x
3
dx=
1
2
Z
1
1
sin
3
x
x
3
dx=
1
8
Z
1
1
3sinxsin3x
x
3
dx=
3
8
:2
Problema5.14Calcularlasumadelaserie
1
X
n=1
1=(n
2
+1)
2
.
Solucion:
Lafuncionf(z)=1=(z
2
+1)
2
tienepolosdoblesenz=iycumplelos
requisitosparaaplicar
1
X
n=1
f(n)=Res(cotzf(z);i)Res(cotzf(z);i);
paralocualcalculamoslosresiduos,
Res(cotzf(z);i)=lm
z!i
d
dz
cotz
(zi)
2
=lm
z!i


2
cosec
2
z
(zi)
2

2cotz
(zi)
3
=
coth+
2
cosech
2

4
;
1
X
n=1
f(n)=2
1
X
n=1
f(n)+1=
coth+
2
cosech
2

2
;
1
X
n=1
f(n)=
coth+
2
cosech
2

4

1
2
;
teniendoencuentaquefesunafuncionpar.2
17