Serie de taylor

ejemplos

1. SeriedeTaylor 1
SeriedeTayloryMaclaurin:
Theorem Siftieneunarepresentaciónenseriedepotencias(expansion)ena,éstaes:
fx
n0

cnxa
n
|xa|R
entoncesloscoeficientesestándadosporlafórmula
cn
f
n
a
n!
Sustituyendolafórmulaparacnenlaserie,obtenemoslasiguienteformaparaf,llamadala
seriedeTaylordelafunciónfena(oalrededordeocentradaena):
fxfa
fa
1!
xa
fa
2!
xa
2

fa
3!
xa
3
...
fx
n0

f
n
a
n!
xa
n
fa
fa
1!
xa
fa
2!
xa
2

fa
3!
xa
3
...
Enelcasoespecialdondea0,obtenemoslasiguienteserie,llamadalaseriedeMaclaurin:
fx
n0

f
n
0
n!
x
n
f0
f0
1!
x
f0
2!
x
2

f0
3!
x
3
...
Lasfuncionesquepuedenserrepresentadascomoseriesdepotenciasen"a"sonllamadas
analíticasena.
Lasfuncionesanalíticassoninfinitamentediferenciablesena;estoes,ellastienenderivadas
detodoordenena.Sinembargo,notodaslasfuncionesinfinitamentediferenciablesson
analíticas.
LasumaparcialdeunaseriedeTaylorestádadapor:
Tnx
i0
n
f
i
a
i!
xa
i
fa
fa
1!
xa
fa
2!
xa
2
...
f
n
a
n!
xa
n
TnesunpolinomiodegradonllamadoelpolinomiodeTaylorden-ésimogradodefen"a"
Theorem SifxTnxRnx,dondeTneselpolinomiodeTaylordefenay
lim
n
Rnx0
para|xa|R,entoncesfesigualalasumadesuseriedeTaylorenelintervalo|xa|R;esto
es,fesanalíticaena.
Theorem (Taylor’sFormula)Siftienen1derivadasenunintervaloIquecontieneal
númeroa,entoncesparaxenIexisteunnúmerozestrictamenteentrexyatalqueeltérmino
residualenlaseriedeTaylorpuedeserexpresadocomo:
Rnx
f
n1
z
n1!
xa
n1
Remark(1)Paraelcasoespecialn0,sisustituimosxbyzcenlaFórmulade
Taylor,obtenemos:
fbfafcba
[email protected]

2. SeriedeTaylor 2
EsteresultadoeselTeoremadelvalormedio.
Remark LaexpresiónforRnxesconocidacomolaformadeLagrangedeltérmino
residual
EnlaaplicacióndelafórmuladeTaylor,lasiguienteecuaciónesamenudomuyútil:
lim
n
x
n
n!
0Paracadanúmerorealx
SeriesdeMaclaurinimportantesson
MaclaurinSeries IntervalofConvergence
1
1x

n0

x
n
1xx
2
x
3
... 1,1
e
x

n0

x
n
n!
1
x
1!

x
2
2!

x
3
3!
... ,
sinx
n0

1
nx
2n1
2n1!
x
x
3
3!

x
5
5!

x
7
7!
... ,
cosx
n0

1
nx
2n
2n!
1
x
2
2!

x
4
4!

x
6
6!
... ,
tan
1
x
n0

1
nx
2n1
2n1
x
x
3
3

x
5
5

x
7
7
... 1,1
Notabene:Obsérvesequesihacemosx1ene
x

n0

x
n
n!
1
x
1!

x
2
2!

x
3
3!
...,Ud.
obtendráunaexpresiónparaelnúmeroecomounasumadeinfinitostérminos:
e
n0

1
n!
1
1
1!

1
2!

1
3!
...
SeriedeTaylor
LaseriedeMaclaurinesuncasoespecialdelaseriedeTaylormásgeneral.Laseriede
Taylordefexpandidasobrexaestádadapor:

n0

f
n
a
n!
xa
n
yaquísehallaexpandidaenpotenciasde:xa.
UsandoelSWP:
ForTaylorseries,enterthenumberoftermsandthepointofexpansionintheSeriesdialog
box.TofindtheTaylorseriesoflnxexpandedaboutx1,choosePowersSeries.Inthedialog
box,selectthedesirednumberoftermsandexpandaboutthepointx1.
PowerSeries
lnxx1
1
2
x1
2

1
3
x1
3

1
4
x1
4
Ox1
5
Acomparisonbetweenlnxandthepolynomialx1
1
2
x1
2

1
3
x1
3

1
4
x1
4
is
illustratedgraphicallyinthefollowingfigure.
Plot2DRectangular
[email protected]

3. SeriedeTaylor 3
lnx
x1
1
2
x1
2

1
3
x1
3

1
4
x1
4
21.510.5
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
-2.5
-3
x
y
x
y
Youcanproducethefollowingpowerseriesexpansions.
PowerSeries
1
x
1
2

1
4
x2
1
8
x2
2

1
16
x2
3

1
32
x2
4
Ox2
5
sinxx
1
6
x
3
Ox
5
x1
1
2
x1
1
8
x1
2

1
16
x1
3

5
128
x1
4
Ox1
5
cscx1
1
2
x
1
2

2

5
24
x
1
2

4
Ox
1
2

5
2sin
2
x2x
2

2
3
x
4
Ox
6
1cos2x2x
2

2
3
x
4
Ox
5
MaclaurinSeries
TheMaclaurinseriesofafunctionfistheseries

n0

f
n
0
n!
x
n
wheref
n
0indicatesthenthderivativeoffevaluatedat0.
ToexpandafunctionfxinaMaclaurinseries(powerseriesaboutx0),choosePower
Series,specifydesiredNumberofTerms,andthenspecifyExpandinPowersofx.With
fx
sinx
xand10terms,theresultisasfollows.
PowerSeries
sinx
x
1
1
6
x
2

1
120
x
4

1
5040
x
6

1
362880
x
8
Ox
9

[email protected]

4. SeriedeTaylor 4
TheOx
9
termindicatesthatalltheremainingtermsintheseriescontainatleastx
9
asa
factor.(Infact,thetruncationerrorisoforderx
10
inthiscase.)Theoddpowersofxhave
coefficients0.
Plot2Dprovidesanexcellentvisualcomparisonbetweenafunctionandanapproximating
polynomial.
Plot2DRectangular
sinx
x
,1
1
6
x
2

1
120
x
4
Plot2DRectangular
sinx
x
,1
1
6
x
2

1
120
x
4
52.50-2.5-5
2
1.5
1
0.5
0
x
y
x
y
Todeterminewhichgraphcorrespondstowhichequation,evaluateoneoftheexpressions
wherethegraphsshowsomeseparation.Forexample,
sin4
4
.1892006238,andhencethe
graphof
sinx
xistheonethatisnegativeatx4.
ThefollowingareadditionalexamplesofMaclaurinseriesexpansions.
PowerSeries
ln1xx
1
2
x
2

1
3
x
3

1
4
x
4

1
5
x
5
Ox
6

tan
1
xx
1
3
x
3

1
5
x
5

1
7
x
7

1
9
x
9
Ox
10

sin
2
xx
2

1
3
x
4

2
45
x
6

1
315
x
8
Ox
10

e
x
1x
1
2
x
2

1
6
x
3

1
24
x
4

1
120
x
5

1
720
x
6
Ox
7

sinxx
1
6
x
3

1
120
x
5

1
5040
x
7

1
362880
x
9
Ox
10

e
x
sinxxx
2

1
3
x
3

1
30
x
5

1
90
x
6
Ox
7

Rememberthatoutputcanbecopiedandpasted(withordinaryword-processingtools)to
createinputforfurthercalculations.Inparticular,selectanddeletetheOx
n
expressionto
converttheseriesintoapolynomial.Itisreassuringtonotethat,ifthefirstfewtermsofthe
[email protected]

5. SeriedeTaylor 5
Maclaurinseriesfore
x
aremultipliedbythefirstfewtermsoftheMaclaurinseriesforsinx,then
theresultisthesameasthefirstfewtermsoftheMaclaurinseriesfore
x
sinx.
Expand,PolynomialsSort
1x
1
2
x
2

1
6
x
3

1
24
x
4

1
120
x
5
x
1
6
x
3

1
120
x
5
x
1
3
x
3

1
30
x
5
x
2

1
90
x
6

1
360
x
7

1
2880
x
9

1
14400
x
10

1
14400
x
10

1
2880
x
9

1
360
x
7

1
90
x
6

1
30
x
5

1
3
x
3
x
2
x
TaylorSeries
TheMaclaurinseriesisaspecialcaseofthemoregeneralTaylorseries.TheTaylorseriesof
fexpandedaboutxaisgivenby

n0

f
n
a
n!
xa
n
andhenceisexpandedinpowersofxa.
ForTaylorseries,enterthenumberoftermsandthepointofexpansionintheSeriesdialog
box.TofindtheTaylorseriesoflnxexpandedaboutx1,choosePowersSeries.Inthedialog
box,selectthedesirednumberoftermsandexpandaboutthepointx1.
PowerSeries
lnxx1
1
2
x1
2

1
3
x1
3

1
4
x1
4
Ox1
5
Acomparisonbetweenlnxandthepolynomialx1
1
2
x1
2

1
3
x1
3

1
4
x1
4
is
illustratedgraphicallyinthefollowingfigure.
Plot2DRectangular
lnx
x1
1
2
x1
2

1
3
x1
3

1
4
x1
4
21.510.5
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
-2.5
-3
x
y
x
y
Youcanproducethefollowingpowerseriesexpansions.
[email protected]

6. SeriedeTaylor 6
PowerSeries
1
x
1
2

1
4
x2
1
8
x2
2

1
16
x2
3

1
32
x2
4
Ox2
5
sinxx
1
6
x
3
Ox
5
x1
1
2
x1
1
8
x1
2

1
16
x1
3

5
128
x1
4
Ox1
5
cscx1
1
2
x
1
2

2

5
24
x
1
2

4
Ox
1
2

5
2sin
2
x2x
2

2
3
x
4
Ox
6
1cos2x2x
2

2
3
x
4
Ox
5
1.-DesarrollarlaseriedeTaylorparalafunción:fxe
x
enpotenciasde"x"
fxe
x
1x
1
2
x
2

1
6
x
3

1
24
x
4

1
120
x
5

1
720
x
6
Ox
7

420-2-4
50
37.5
25
12.5
0
x
y
x
y
Enlafigurasemuestranlasgráficasasociadasafxe
x
yalanuevafuncióndadapor
gx1x
1
2
x
2

1
6
x
3

1
24
x
4

1
120
x
5

1
720
x
6
endondefxgx
Comoseobserva,enlafigura,haypresenteunintervalo,endondeambasgráficas"casi"
coinciden.e
4
54.598
gx1x
1
2
x
2

1
6
x
3

1
24
x
4

1
120
x
5

1
720
x
6
secalcularánalgunosvaloresparavisualizarladiferenciaentreellas,conalgunosvaloresen
elintervalo4,4
g4f4
g3f3
g2f2
g1f1
g0f0

2.1372
0.31271
0.02022
1.761110
4
0.0
g1f1
g2f2
g3f3
g3.5f3.5
g4f4

2.262710
4
3.350110
2
0.67304
2.162
6.0426
[email protected]

7. SeriedeTaylor 7
Aplicacionesposibles:
Cálculodealgunoslímites:
lim
x0
sinx
x
sinxx
1
6
x
3

1
120
x
5

1
5040
x
7

1
362880
x
9
Ox
10

lim
x0
sinx
x
lim
x0
x
1
6
x
3

1
120
x
5

1
5040
x
7

1
362880
x
9
x
lim
x0
1
120
x
4

1
6
x
2

1
5040
x
6

1
362880
x
8
11
lim
x0
1cosx
x
1cosx
1
2
x
2

1
24
x
4

1
720
x
6

1
40320
x
8
Ox
10

lim
x0
1cosx
x
lim
x0
1
2
x
2

1
24
x
4

1
720
x
6

1
40320
x
8
x
:
lim
x0
1
2
x
1
24
x
3

1
720
x
5

1
40320
x
7
0
Estosejemplossonsólounamuestradeloquesepodríahacer.
Resolucióndeecuacionestrascendentes(nosonposiblesresolvermediantemétodos
elementales)
porejemplo:3xe
x
0,Solutionis:x0.61906
210-1-2
0
-1.25
-2.5
-3.75
-5
x
y
x
y
segúnlagráficatienealomenosdossoluciones,elSWPentregaunadeellas,usando
solvenumeric,porotrométodoqueseestudiarámásadelante,esposibledeterminar
ambas(peronósimultáneamente.)
Conlaexpansióndee
x
enunsseriedepotencioasdex,veremosquéocurre:
e
x
1x
1
2
x
2
Ox
3

3x1x
1
2
x
2
02x
1
2
x
2
10x
2
4x20,Solutionis:
x0.58579,x3.4142
elvalorx0.58579obtenidomedianteestaburdaaproximaciónessinembargobastante
cercanoalvalorobtenidoporelprogramax0.61906,alaproximaraundecimal.
[email protected]

8. SeriedeTaylor 8
Comprobemoslasituación:3xe
x
0;seafx3xe
x
f0.58579
f0.61906

0.03904
1.470510
6

0.03904
0.0000014705
Suponiendoqueelvalorcalculadoporelprogramaes"sufientementebueno"calcularemosel
porcentajedeerror:
0.619060.58579
0.61906
1005.3743%
Puedeserqueenunejemplocomoelpresentenotengamuchosentidorealizareste
trabajo,perosílotieneenotrassituaciones,encualquiercaso,laideaeramostrarunaaplicación
sencilla.
Cálculodeintegrales:
Hayintegrales(muchísimasenverdad...)quenosepuedenresolvermediantemétodos
elementales(métodosdeintegraciónvistosanteriormente),ylautilizacióndeseriesdepotencias
puedeserdegranayuda.
Asíporejemplo:e
x
2
dx
e
x
2
1x
2

1
2
x
4

1
6
x
6

1
24
x
8

1
120
x
10
Ox
12

e
x
2
dx1x
2

1
2
x
4

1
6
x
6

1
24
x
8

1
120
x
10
dx
e
x
2
dxx
1
3
x
3

1
10
x
5

1
42
x
7

1
216
x
9

1
1320
x
11
Sepuedeobservarlosresultadosnuméricosasociadosacadaintegraldefinida,loscuales
sonbastantecercanos,elprimeroobtenidomedianteelSWPyelsegundomediantela
aproximaciónempleada.

0
.6
e
x
2
dx0.383930.68050

0
.6
1x
2

1
2
x
4

1
6
x
6

1
24
x
8

1
120
x
10
dx0.68049
Ahorabien,estaaproximaciónserámejoropeorsegúnelintervaloendondeestemos
integrando.
e
x
2
,1x
2

1
2
x
4

1
6
x
6

1
24
x
8

1
120
x
10
[email protected]

9. SeriedeTaylor 9
10.750.50.250
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
x
y
x
y
lagráficaanteriorestádefinidaenelintervalo0,1,observemosotrointervalo.
e
x
2
,1x
2

1
2
x
4

1
6
x
6

1
24
x
8

1
120
x
10
32.521.510.50
100
75
50
25
0
x
y
x
y
Enlagráfica,obtenidaenelintervalo1,3,seobservacómolosvaloresobtenidosparacada
función:e
x
2
ysuaproximación,sevanalejandounodeotro.
Paraunamayorexactitud,e
x
2
sedeberíanconsiderarunamayorcantidaddetérminosparala
expansión.
Resolucióndeecuacionesdiferenciales:
dy
dx
e
x
x
e
x
1x
1
2
x
2

1
6
x
3

1
24
x
4
Ox
5

dy
dx
1x
1
2
x
2

1
6
x
3

1
24
x
4
x
dy
dx
1
1
2
x
2

1
6
x
3

1
24
x
4
dy1
1
2
x
2

1
6
x
3

1
24
x
4
dx
yx
1
6
x
3

1
24
x
4

1
120
x
5
[email protected]

10. SeriedeTaylor 10
dy
dx
e
x
xdyxe
x
dxy
x
2
2
e
x
aunquelaaparienciadeambosresultadosesdiferente,veamosquétancercanaesuna
funcióndelaotra.
x
2
2
e
x
,x
1
6
x
3

1
24
x
4

1
120
x
5
420-2-4
12.5
0
-12.5
-25
-37.5
x
y
x
y
Ejercicios:ObtengalosprimerosseistérminosdeldesarrolloenseriedeTaylordelas
siguientesfuncionesenpotenciasde"x":(larespuestassedandespuésdelsignoigual)
1.-fx
1
x2

1
2

1
4
x
1
8
x
2

1
16
x
3

1
32
x
4

1
64
x
5
Ox
6

2.-rx
e
x
x

1
x
1
1
2
x
1
6
x
2

1
24
x
3

1
120
x
4
Ox
5

3.-hxe
x
2
1x
2

1
2
x
4
Ox
6

4.-kxlnx
2
xlnxx
1
2
x
2

1
3
x
3

1
4
x
4
Ox
5

5.-lx
x
x2

1
2
x
1
4
x
2

1
8
x
3

1
16
x
4

1
32
x
5

1
64
x
6
Ox
7

ObtengalosprimerosseistérminosdeldesarrolloenseriedeTaylordelassiguientes
funcionesenpotenciasde"x-1":(larespuestassedandespuésdelsignoigual)
1.-gxx
3
13x33x1
2
x1
3
Ox1
6
2.-rx
e
x
x
e
1
2
ex1
2

1
3
ex1
3

3
8
ex1
4

11
30
ex1
5
Ox1
6
3.-hxe
x
2
e2ex13ex1
2

10
3
ex1
3

19
6
ex1
4

13
5
ex1
5

Ox1
6
4.-lx
x
x2

1
3

2
9
x
2
9

2
27
x1
2

2
81
x1
3

2
243
x1
4

2
729
x1
5
Ox1
6
Consejo:TratedepracticarconelSWP,paracomprobarlosresultados.
[email protected]