Serie de Taylor - R. Campillo

Presentación que describe el desarrollo de la Serie de Taylor y su utilización para la aproximación de la primera y segunda derivada de una función.

1. Métodos Numéricos
Serie de Taylor y la Valuación
Numérica de Derivadas
MC. Ing. Rafael Campillo Rodríguez
Facultad de Ingeniería Mecánica
Eléctrica, U.V., zona Xalapa
La Serie de Taylor Aproximación a f’’(x)
Aproximación a f’(x)Introducción

2. Introducción
BrookTaylorensutrabajo“Methodus
Incrementorum DirectaetInversa”
(1715)desarrollóloquehoyseconoce
comocálculodelasdiferenciasfinitas.
Elmismotratadoconteníalafamosa
fórmulaconocidacomoelTeoremade
Taylor,cuyaimportanciasólose
reconocióhasta1772,cuandoJoseph-
LouisLagrangelodefiniócomo“El
fundamento principaldelcálculo
diferencial".
Brook Taylor,
Reino Unido,
1685 -1731

3. Introducción (Cont.)
LaSeriedeTayloresunaherramientamatemáticaquesi
seusaapropiadamentefacilitamucholoscálculosde
aproximacióndefunciones.
LaideafundamentaldetrásdelaSeriedeTayloreslade
poderaproximarlosvaloresdeunafunciónf(x)para
cualquierpuntox,apartirdetenerunpuntodereferencia
asituadoaunadistanciahdelprimeroytodoestoa
partirdelacreacióndeun“polinomio”basadoenuna
seriedepotenciasinfinitaparalacualseaposiblede
manerasistemáticacalcularsuscoeficientes.

4. Introducción (Cont.)
Elpolinomio:p(x)=a
0+a
1x+a
2x
2
+..........+a
nx
n
enelqueloscoeficientesa
isonconstantes,sellama
“Polinomiodegradon”.Enparticulary=b+axesun
polinomiodeprimergrado;deigualforma,y=c+bx+ax
2
esunpolinomiodesegundogrado.
Lospolinomiospuedenconsiderarselasfuncionesmás
sencillasdetodas.Sonfuncionescontinuasparatodoxy
tienenderivadasdecualquierorden.
Recordemosque,laderivadadeunpolinomiodegradon
estambiénunpolinomio,degradon-1;ysusderivadas
deordenn+1ysuperiores,sonnulas.

5. Introducción (Cont.)
Elobjetivoalograresencontrarelmejorpolinomioque
permitaaproximarcualquiervalordef(x)parauna
funcióndada,conunvalorcasiexactooteniendounerror
mínimo.
Notodaslasfuncionespuedenseraproximadasusandoun
polinomioyenparticularporlaSeriedeTaylor,yaque
presentanalgunasingularidad.
Sinembargo,lamayoríadelasfuncionesobtenidasenlos
casosprácticosdentrodeláreadelaingeniería,sison
aproximablesporestemétodo.

6. Introducción (Cont.)
Algunosejemplosdeseriesdefuncionesmatemáticas
aproximablesporlaSeriedeTaylorson,
Exponencial:
LogaritmoNatural:
FuncionesTrigonométricas:0
,
!
n
x
n
x
x
n
e 1
1
( 1)
ln(1 ) , 1
n
n
n
x para x
n
x 21
0
( 1)
sin( ) ,
(2 1)!
n
n
n
xx
n
x 2
0
( 1)
cos( ) ,
(2 )!
n
n
n
xx
n
x

7. La Serie de Taylor
Comencemos eldesarrollodeTaylorsuponiendolo
siguiente:
“Supongamos quef(x)esunafuncióncontinuay
continuamente diferenciableenelintervalo[a,x].
Supondremosentoncesquef’(x),f’’(x),f’’’(x),…,f
n
(x)
estándefinidasparadichointervalo”
Del“TeoremaFundamental delCálculo”sabemoslo
siguiente:'( ) ( )
ah
ah
a
a
f x dx f x

8. La Serie de Taylor (Cont.)
Obien,
Deaquíquetengamosque:
[1]'( ) ( ) ( )
ah
a
f x dx f a h f xa ( ) ( ) '( )
ah
a
f a h f xa f x dx

9. Ahora,supongamos queelvalordeladerivadaen
cualquierpuntox,f’(x),permanececonstantealolargo
delintervalo[a,x]yconvalorigualconf’(a),tendríamos
quesecumpleque:
Yentoncespodríamosreescribirlaecuación[1],así:
La Serie de Taylor (Cont.)'( ) '( )f x f a ( ) ( ) '( )
ah
a
f a h f a f a dx

10. La Serie de Taylor (Cont.)
Ycomof’(a)esconstante:
Resolviendolaintegral:
[2]( ) ( ) '( )
ah
a
f a h f a f a dx ( ) ( ) '( )f a h f a f a h

11. La Serie de Taylor (Cont.)
Laecuaciónresultanteen[2]debeserválidapara
cualquiervalordexytambiénparacualquierfunción.
Tambiénsabemosquecualquiervalordexesigualcon
a+h;porlotanto,secumplelosiguiente:
⋮
[3]( ) ( ) '( )( )f x f a f a x a '( ) '( ) ''( )( )f x f a f a x a ''( ) ''( ) '''( )( )f x f a f a x a 11
( ) ( ) ( )( )
n n n
f x f a f a x a

12. La Serie de Taylor (Cont.)
Utilizandoloobtenidoen[3]ysustituyendoenlaecuación
[1],podemosdesarrollarlosiguiente:( ) ( ) '( ) ( ) '( ) ''( )( )
a h a h
aa
f x f a f x dx f a f a f a x a dx ( ) ( ) '( ) ''( )( )
a h a h
aa
f x f a f a dx f a x a dx ( ) ( ) '( ) ''( ) ( )
a h a h
aa
f x f a f a dx f a x a dx

13. La Serie de Taylor (Cont.)
[4]
Comosepuedeobservar,laecuación[4]nosmuestralo
quecorrespondealaaproximacióndesegundoordenal
valordef(x).( ) ( ) '( ) ''( )
a h a h a h
a a a
f x f a f a dx f a xdx adx 2
( ) ( ) '( ) ''( )
2
h
f x f a f a h f a

14. La Serie de Taylor (Cont.)
Siserepiteesteprocedimientonveces,suponiendoque
lasderivadasdelafunciónf(x)existen,setendríala
aproximaciónn–1alvalordelafunción:
Endondeelresiduooelerrorquesecometealtruncarla
serieinfinita,paracualquierpuntoxes:
Con:2 3 ( 1)
( 1)
( ) ( ) '( ) ''( ) '''( ) ( )
2! 3! ( 1)!
n
n
n
h h h
f x f a f a h f a f a f a R
n
 ()
( )!
n
n
n
h
R f x
n a x a h

15. La Serie de Taylor (Cont.)
Finalmente,podemosconcluirquelaexpansióndelaSerie
deTaylornosproporcionaunaaproximaciónalvalorde
unafunciónenunpuntoxentérminosdelvalordela
funciónysusderivadasenunpuntodereferencia
conocido,denominadoa.
Dichaexpansiónserealizaenunaseriedeltipo“Seriede
Potencias”entérminosdeladistanciah=x-a,entreel
puntoxparaelquesedeseaevaluarf(x)yelde
referenciaa,dondeseevalúanlasderivadas.

16. La Serie de Taylor (Cont.)
Enbasealoanterior,laformamásconocidade
representaralaSeriedeTaylores:
Otambién:
[5]0
()
()
!
i
i
i
fa
f x h
i 0
()
( ) ( )
!
i
i
i
fa
f x x a
i

17. Aproximación a f’(x)
Supongamosquesetieneunaciertafunciónf(x),parala
cuálsedeseaobtenerelvalordelaprimeraderivadaen
unciertopunto,quedenotaremoscomox
i:
f’(x
i)=?
f(x)
x
i
Lacuestiónes:¿Ysinorecordamoscomoderivar?

18. Aproximación a f’(x)
Podemosrecurriralosiguiente:Delcálculodiferenciale
integral,ydelageometríaanalítica,recordemosqueel
valordeladerivadaenunpuntox
iesexactamenteigualal
valordelapendientedelatangentealacurvaendicho
punto.Esdecir,ennuestrocaso:
f’(x
i)=m
f(x)
x
i

19. Aproximación a f’(x)
Seríaposibleque,sinsabercálculo,aproximáramosel
valordedichaderivadasiescogemosunpardepuntosa
ambosladosdex
i,equidistantesporunadistanciaalaque
llamaremosh:
f’(x
i)=m
m=aproximaciónaf’(x
i)
f(x)
hh
x
i

20. Aproximación a f’(x)
Enlaaproximaciónanteriortenemosunvalordeerror
muysignificativoyaquehesgrande.Sivamosacercando
ambospuntoshaciax
i,esdecirhaciendoh0,elerror
disminuyeynosaproximaremosalvalorexacto:
f’(x
i)=m
m=mejoraprox.af’(x
i)
f(x)
h0
x
i

21. Aproximación a f’(x)
Comopodemosnotar,setendránquerealizarunaseriede
aproximacionessucesivasparairconvergiendohaciael
valorexactodef’(x
i).
Estopuederesultarenunprocesolargo,tediosoysobre
todomuyfactibledeerroresalefectuarloscálculos.
EsaquídondelaSeriedeTaylorresultaseruna
herramientamatemática muyvaliosa,yaquenos
permitiráobtenerunafórmulaúnicaparaevaluarcualquier
primeraderivadadecualquierfunciónenunpuntodado,
contansólounoscálculosysinexistenciadeiteraciones.

22. Aproximación a f’(x)
Veamos ahoralasoluciónporSeriedeTaylor.
Supongamoselmismocasoanterior,pero,ahorahacemos
unatraslacióndelaf(x)detalformaqueelpuntox
i
coincidaconelorigen(x=0)yconunahdevalormuy
pequeño(v.gr.10
-6
):
f(x)
-h +h
x
i=0
Porloquelospuntosadicionalesquedaránen–hy+h.

23. Aproximación a f’(x) (Cont.)
Tomemoslaecuaciónobtenidaen[5]delaparteanterior
ydesarrollemoslaSeriedeTaylorhastasustresprimeros
términos,considerandoalpunto+hconrespectoalpunto
x
i;esdecir,comosix
ifueseelpuntoay+helpuntox.
Setieneque: x
i+h
[a]2
( 0)
( ) (0) '(0)( 0) ''(0)
2!
h
f h f f h f 2
( ) (0) '(0) ''(0)
2
h
f h f f h f

24. Aproximación a f’(x) (Cont.)
Hagamoslomismo,peroahora,considerandoalpunto-h
conrespectoalpuntox
i;esdecir,comosix
ifueseelpunto
ay-helpuntox.
Setieneque: -hx
i
[b]2
( 0)
( ) (0) '(0)( 0) ''(0)
2!
h
f h f f h f 2
( ) (0) '(0) ''(0)
2
h
f h f f h f

25. Aproximación a f’(x) (Cont.)
Restandotérminoatérminolasecuaciones[a]y[b]
obtenemoslosiguiente:
Deaquí:
[c]2
( ) (0) '(0) ''(0)
2
h
f h f f h f 2
( ) (0) '(0) ''(0)
2
h
f h f f h f ( ) ( ) 2 '(0)f h f h f h ( ) ( )
'(0)
2
f h f h
f
h

26. Aproximación a f’(x) (Cont.)
Amaneradeconclusión:
Sideseamosevaluarunaderivadadeunafunciónf(x)en
cualquierpuntox(ysinsaberderivar!!!),bastarácon
definiruncierto“Errorpermisible”()muypequeño(enel
rangode10
-5
a10
-8
)y,basadosenlafórmulaobtenidaen
[c],calcular:( ) ( )
'( )
2
f x f x
fx

27. Aproximación a f’’(x)
Elprocesoparalaobtencióndelasegundaderivadaenun
puntocualquieraxdecualquierfunciónf(x)esmuysimilar
aloestudiadoanteriormenteparalaaplicacióndelaSerie
deTaylorparalaprimeraderivada.
Vamosautilizarlasmismasecuaciones[a]y[b]obtenidas
enelapartadoanterior:
[a]
[b]2
( ) (0) '(0) ''(0)
2
h
f h f f h f 2
( ) (0) '(0) ''(0)
2
h
f h f f h f

28. Aproximación a f’’(x) (Cont.)
Peroahoravamosasumardichasecuaciones[a]y[b]
términoatérminoconloqueobtenemos:
Deaquí:
[d]2
( ) (0) '(0) ''(0)
2
h
f h f f h f 2
( ) (0) '(0) ''(0)
2
h
f h f f h f 2
( ) ( ) 2 (0) ''(0)f h f h f f h 2
( ) 2 (0) ( )
''(0)
f h f f h
f
h

29. Aproximación a f’’(x) (Cont.)
Finalmente:
Sideseamosevaluarlasegundaderivadadeunafunción
f(x)encualquierpuntox(ytambién,sinsaberderivar
!!!),bastarácondefiniruncierto“Errorpermisible”()
muypequeño(enelrangode10
-5
a10
-8
)y,basadosenla
fórmulaobtenidaen[d],calcular:2
( ) 2 ( ) ( )
''( )
f x f x f x
fx