Series de Fourier en señales periódicas

Una señal periódica 푓(푡) se caracteriza por tener la forma 푓(푡 + 푇), siendo 푇 el periodo de la señal. Una función periódica puede representarse por medio de una serie trigonométrica que consiste en elementos de DC y elementos con frecuencias de múltiplos de la frecuencia fundamental de la señal, esta expresión puede también representarse en forma exponencial.

1. Series de Fourier en señales
periódicas.

Alumno:
Orlando Ramírez Barrón.

Programa:
Maestría en Ciencia es la Especialidad
de Ingeniería Eléctrica.

Asignatura:
Calidad de la Energía.


Profesor:
Dr. Amner Israel Ramírez Vázquez.


Centro de Investigación y de Estudios Avanzados del I.P.N.
Unidad Guadalajara

2. Orlando Ramírez Barrón.
Calidad de la Energía 23/02/2017


1

Series de Fourier.

Una señal periódica �(??????) se caracteriza por tener la forma �(??????+??????), siendo ?????? el periodo de
la señal. Una función periódica puede representarse por medio de una serie trigonométrica
que consiste en elementos de DC y elementos con frecuencias de múltiplos de la frecuencia
fundamental de la señal, esta expresión puede también representarse en forma exponencial.
Para que una señal puede representarse mediante la serie de Fourier debe cumplir las
condiciones de Dirichlet:
1. Si la función discontinua �(??????) tiene un numero finito de discontinuidades en el
periodo.
2. Si �(??????) posee un valor medio finito dentro del periodo ??????.
3. Si �(??????) tiene un numero finito de máximos y mínimos.
Al cumplirse las condiciones anteriores, �(??????) puede representarse mediante la siguiente
expresión:
�(??????)=�
0+∑[�
ℎcos(ℎ??????
0??????)+�
ℎsin(ℎ??????
0??????)]
∞
ℎ=1

Donde los coeficientes de Fourier se encuentran denotados por las siguientes expresiones:
�
0=
1
??????
∫�(??????)�??????
??????/2
−??????/2

�
ℎ=
2
??????
∫�(??????)cos(ℎ??????
0??????)�??????
??????/2
−??????/2

�
ℎ=
2
??????
∫�(??????)sin(ℎ??????
0??????)�??????
??????/2
−??????/2

Donde ??????
0=
2??????
??????
.

Una manera de expresar la serie de Fourier en forma compacta consiste en su forma
exponencial. Esto requiere utilizar las siguientes identidades de Euler:
cos(ℎ??????
0??????)=
1
2
[�
??????ℎ??????0??????
+�
−??????ℎ??????0??????
]

3. Orlando Ramírez Barrón.
Calidad de la Energía 23/02/2017


2

sin(ℎ??????
0??????)=
1
2�
[�
??????ℎ??????0??????
−�
−??????ℎ??????0??????
]
Al sustituir las expresiones anteriores en la serie trigonométrica de Fourier y agrupamos
términos exponenciales se obtiene:
�(??????)=�
0+
1
2
∑[(�
ℎ−��
ℎ)�
??????ℎ??????0??????
+(�
ℎ+��
ℎ)�
−??????ℎ??????0??????
]
∞
ℎ=1

Es necesario definir nuevos coeficientes:
�
0=�
0, �
ℎ=
(�
ℎ−��
ℎ)
2
, �
−ℎ=�
ℎ
∗
=
(�
ℎ+��
ℎ)
2

De tal forma que la función �(??????) se convierte en:
�(??????)=�
0+∑(�
ℎ�
??????ℎ??????0??????
+�
−ℎ�
−??????ℎ??????0??????
)
∞
ℎ=1
→�(??????)=∑�
ℎ�
??????ℎ??????0??????
∞
ℎ=0

La cual es la serie exponencial de Fourier. Donde �
ℎ es el coeficiente de la serie exponencial
de Fourier que se obtiene mediante la siguiente expresión:
�
ℎ=
1
??????
∫�(??????)�
−??????ℎ??????0??????
??????/2
−??????/2
�??????
Representación de una función par.

Exprese la siguiente función mediante series de Fourier.

Fig. 1. Función periódica par.

4. Orlando Ramírez Barrón.
Calidad de la Energía 23/02/2017


3

Al tratarse de una señal periódica, puede emplearse las series de Fourier para su
representación, por tanto, deben definirse los coeficientes de la serie de Fourier
trigonométrica:
�
0=
1
??????
∫�(??????)�??????
????????????
−????????????
=
1
??????
[∫0�??????
−????????????/2
−????????????
+∫??????�??????
????????????/2
−????????????/2
+∫0�??????
????????????
????????????/2
]
�
0=
1
??????
[??????(
????????????
2
+
????????????
2
)]
Dado que para esta señal el periodo es 2????????????
�
0=
??????
2

Al tratarse de una señal par sus coeficientes �
ℎ serán cero, por lo tanto, no hay necesidad de
calcularlos. Entonces se calculan sus coeficientes �
ℎ.
�
ℎ=
2
??????
∫�(??????)cos(ℎ??????
0??????)�??????
??????/2
−??????/2

�
ℎ=
2
??????
[∫0cos(ℎ??????
0??????)�??????
−????????????/2
−????????????
+∫??????cos(ℎ??????
0??????)�??????
????????????/2
−????????????/2
+∫0cos(ℎ??????
0??????)�??????
????????????
????????????/2
]
�
ℎ=
2??????
??????ℎ??????
0
(sin(ℎ??????
0??????))|
−????????????/2
????????????/2
=
??????
ℎ??????
[sin(ℎ??????
0
??????
4
)−sin(−ℎ??????
0
??????
4
)]
�
ℎ=
??????
ℎ??????
[sin(ℎ
??????
2
)+sin(ℎ
??????
2
)]={
±
2??????
ℎ??????
, ℎ=�????????????�??????
0, ℎ=??????�??????

La sustitución de los coeficientes de Fourier en la serie trigonométrica de Fourier produce la
serie de Fourier como:
�(??????)=
??????
2
±
2??????
??????
∑
1
ℎ
cos(ℎ??????
0??????)
∞
ℎ=1

Donde el signo dependerá del valor de ℎ, el cual será positivo para valores 1,5,9….. y
negativo para valores 3,7,11…
Una forma más adecuada de presentar la serie de Fourier es:
�(??????)=
??????
2
+
2??????
??????
∑
(−1)
(ℎ−1)/2
ℎ
cos(ℎ??????
0??????)
∞
ℎ=1

5. Orlando Ramírez Barrón.
Calidad de la Energía 23/02/2017


4

Esta misma función también puede representarse mediante la forma exponencial de las
series de Fourier mediante su coeficiente de Fourier.
�
ℎ=
1
??????
∫�(??????)�
−??????ℎ??????0??????
????????????/2
−????????????/2
�??????
Donde ??????
0=2??????�
0
�
ℎ=
1
??????
∫??????�
−??????ℎ2????????????0??????
????????????/2
−????????????/2
�??????=
??????
??????
�
−??????ℎ??????0??????
−??????�ℎ??????
0
|
−????????????/2
????????????/2

�
ℎ=
??????
??????ℎ�
0??????
�
??????ℎ??????0????????????/2
−�
−??????ℎ??????0????????????/2
2�

Multiplicando y dividiendo por ????????????
�
ℎ=??????????????????
sin(??????ℎ�
0????????????)
??????ℎ/????????????

Reduciendo el argumento del seno:
�
ℎ=??????????????????
sin(??????ℎ/????????????)
??????ℎ/????????????

Teniendo el coeficiente de Fourier de la forma exponencial, ahora nuestra función se
expresara mediante series complejas con la siguiente expresión:
�(??????)=??????????????????∑
sin(??????ℎ/????????????)
??????ℎ/????????????
�
??????ℎ????????????/????????????
∞
ℎ=0


Para analizar el efecto de las armónicas sobre una señal periódica, se realizó un script en
Matlab para un periodo de ??????=1 y una amplitud de ??????=1. El programa de Matlab determina
la componente fundamental de la señal periódica, así como las primeras diez harmónicas y
la señal total durante un tiempo de simulación de 2 segundos donde los coeficientes fueron
determinados para cada harmónica. El programa se encuentra en el Anexo I de este reporte,
los resultados obtenidos por el programa se muestran a continuación.

6. Orlando Ramírez Barrón.
Calidad de la Energía 23/02/2017


5



Fig. 2. Primeras 5 componentes harmónicas impares de la señal par.

Componente. �
?????? �
??????
1 0.0 0.6366
2 0.0 0.0
3 0.0 0.2122
4 0.0 0.0
5 0.0 0.1273
6 0.0 0.0
7 0.0 0.0909
8 0.0 0.0
9 0.0 0.0707
10 0.0 0.0
Tabla 1. Coeficientes de Fourier de la señal par.
Representación de una función impar.

Exprese la siguiente función mediante su serie de Fourier trigonométrica y exponencial.

7. Orlando Ramírez Barrón.
Calidad de la Energía 23/02/2017


6


Fig. 3. Función periódica impar.

De manera similar que con la función par de la figura 1, se trata de una señal periódica, puede
emplearse las series de Fourier para su representación, por tanto, deben definirse los
coeficientes de la serie de Fourier trigonométrica:
�
0=
1
??????
∫�(??????)�??????
??????
0
=
1
??????
[∫??????�??????
????????????
0
+∫0�??????
??????
????????????
]=
??????
??????
(????????????)
Dado que para esta señal el periodo es 2????????????
�
0=
??????
2

Al tratarse de una señal impar sus coeficientes �
ℎ serán cero, por lo tanto, no hay necesidad
de calcularlos. Entonces se calculan sus coeficientes �
ℎ.
�
ℎ=
2
??????
[∫�(??????)sin(ℎ??????
0??????)�??????
????????????
0
+∫0sin(ℎ??????
0??????)�??????
??????
????????????
]
�
ℎ=
2??????
??????
∫sin(ℎ??????
0??????)�??????
????????????
0
=−
2??????
??????ℎ??????
0
[cos(ℎ??????
0????????????)−1]
Con ??????
0=
2??????
??????
donde ??????=2????????????
�
ℎ=−
2??????
??????ℎ??????
0
[cos(ℎ??????)−1]

8. Orlando Ramírez Barrón.
Calidad de la Energía 23/02/2017


7

Debe señalarse:
cos(ℎ??????)=(−1)
ℎ

Entonces nuestro coeficiente toma la forma:
�
ℎ=
??????
ℎ??????
[1−(−1)
ℎ
]={
2??????
ℎ??????
, ℎ=�????????????�??????
0, ℎ=??????�??????

La sustitución de los coeficientes de Fourier en la serie trigonométrica de Fourier produce la
serie de Fourier como:
�(??????)=
??????
2
±
2??????
??????
∑
1
ℎ
sin(ℎ??????
0??????)
∞
ℎ=1


Esta misma función también puede representarse mediante la forma exponencial de las series
de Fourier mediante su coeficiente de Fourier.
�
ℎ=
1
??????
∫�(??????)�
−??????ℎ??????0??????
????????????
0
�??????
Donde ??????
0=2??????�
0
�
ℎ=
1
??????
∫??????�
−??????ℎ2????????????0??????
????????????
0
�??????=
??????
??????
�
−??????ℎ2????????????0??????
−�ℎ2??????�
0
|
0
????????????

�
ℎ=
??????
�2??????ℎ�
0??????
[1−�
−??????ℎ????????????02????????????
]=
??????�
−??????ℎ????????????0????????????
�2??????ℎ�
0??????
[�
??????ℎ????????????0????????????
−�
−??????ℎ????????????0????????????
]
�
ℎ=
??????�
−??????ℎ??????/????????????
�2??????ℎ
[�
??????ℎ??????/????????????
−�
−??????ℎ??????/????????????
]=
??????�
−??????ℎ??????/????????????
??????ℎ
�
??????ℎ??????/????????????
−�
−??????ℎ??????/????????????
2�

�
ℎ=??????�
−??????ℎ??????/????????????
sin(ℎ??????/????????????)
ℎ??????

Multiplicando y dividiendo sobre Tp:
�
ℎ=??????????????????�
−??????ℎ??????/????????????
sin(ℎ??????/????????????)
ℎ??????/????????????

Teniendo el coeficiente de Fourier de la forma exponencial, ahora nuestra función se
expresará mediante series complejas con la siguiente expresión:

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Calidad de la Energía 23/02/2017


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�(??????)=??????????????????∑
sin(??????ℎ/????????????)
??????ℎ/????????????
∞
ℎ=0
�
??????ℎ??????(??????−1)/????????????

Para analizar el efecto de las armónicas sobre una señal periódica, se realizó un script en
Matlab para un periodo de ??????=1 y una amplitud de ??????=1. El programa de Matlab determina
la componente fundamental de la señal periódica, así como las primeras diez harmónicas y
la señal total durante un tiempo de simulación de 2 segundos donde los coeficientes fueron
determinados para cada harmónica. El programa es similar al que se encuentra en el Anexo
I de este reporte, solo tiene diferentes límites de integración, los resultados obtenidos por el
programa se muestran a continuación.

Fig. 4. Primeras 5 componentes harmónicas impares de la señal impar.

Componente. �
?????? �
??????
1 0.0 0.6366
2 0.0 0.0
3 0.0 0.2122
4 0.0 0.0
5 0.0 0.1273
6 0.0 0.0
7 0.0 0.0909
8 0.0 0.0
9 0.0 0.0707
10 0.0 0.0
Tabla 2. Coeficientes de Fourier de la señal impar.

10. Orlando Ramírez Barrón.
Calidad de la Energía 23/02/2017


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Conclusiones.

Las series de Fourier nos permiten representar funciones periódicas en forma trigonométrica
o en forma exponencial, donde la serie es una sumatoria infinita de componentes. Para la
representación trigonométrica, de acuerdo con el teorema de Fourier, toda función periódica
de frecuencia ??????
0 puede expresarse como una suma infinita de funciones seno o coseno que
son múltiplos enteros de ??????
0. La serie exponencial de Fourier describe el espectro de �(??????) en
términos de amplitud y del ángulo de fase de las componentes de ca en las frecuencias
armónicas
Las señales presentadas en las figuras 1 y 3 cumplen con las condiciones de Dirichlet, siendo
posible aplicar las series de Fourier a dichas señales. Idealmente para reconstruir por
completo la señal, debe efectuarse la sumatoria infinita de componentes, pero para ejemplo
práctico se tomaron las primeras 10 componentes. Puede observarse en las tablas 1 y 2 que
para la serie par todos los �
ℎ son cero, así como para la serie de la señal impar todos los �
ℎ
son cero. También se observa que los componentes pares son cero, esto es demostrado en el
desarrollo de los coeficientes de Fourier para las señales par e impar
Referencias.

Alexander, C. (2006). Fundamentos de Circuitos Eléctricos (Tercera Edición ed., Vol.,
pp.). McGraw-Hill.
De La Rosa, F. (2006). HARMONICS AND POWER SYSTEMS (ed., Vol., pp.). Hazelwood,
Missouri: Taylor & Francis Group.
Anexos I.

El siguiente es el script utilizado para determinar las primeras diez harmónicas de las señalas
periódicas par e impar de la figura 1 y 3.

% Cinvestav Gdl
% Calidad de la energia
% Ramirez Barron Orlando
close all
clear all
clc
%Datos de la funcion par
n=10; %Número de harmonicos a calcular
syms t

11. Orlando Ramírez Barrón.
Calidad de la Energía 23/02/2017


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T=1; % Periodo de la señal
A=1; % Amplitud de la señal
wo=2*pi/T; % Frecuencia fundamental.
%% Componente de CD
CD=(1/T)*int(A,t,-T/4,T/4); Tabdatos=zeros(n,2);
t1=0:0.001:2;
fo=subs(CD,t,t1); % Cambio de variable
figure
plot(t1,fo); hold on
%% Componentes armonicas
ft=CD;
for k=1:n
ah=(2/T)*int(A*cos(k*wo*t),t, -T/4,T/4) ;
bh=(2/T)*int(A*sin(k*wo*t),t, -T/4,T/4) ;
fh=ah*cos(k*wo*t)+bh*sin(k*wo*t);
ft=ft+fh;
fh=subs(fh,t,t1);
if rem(k,2)==0 % DISCRIMINADOR
else
plot(t1,fh) % grafico de la k-esima armonica
end
Tabdatos(k,1)=ah;
Tabdatos(k,2)=bh;
end
hold on
%Graficando la función total f(t):
ft=subs(ft,t,t1);
plot(t1,ft)
legend('Componente de CD','Componente fundamental' ,...
'3er Harmonica','5ta Harmonica'...
,'7ma Harmonica','9na Harmonica','Serie de fourier'...
,'Location','NorthEastOutside')
title ('Componentes armonicas' ); ylabel('f(t)'); xlabel('Tiempo (s)')
grid on