Series infinitas

SERIES

1. SERIES INFINITAS

2. DEFINICIÓN DE SERIE

En matemáticas, una serie es la generalización de la noción de suma aplicada a los
términos de una sucesión matemática. Informalmente, es el resultado de sumar los
términos:

??????=??????�+??????�+??????�+??????�+??????�+??????�+⋯

Lo que suele escribirse en forma más compacta con el símbolo de sumatorio:

??????=∑????????????
??????
??????=�



El estudio de las series consiste en la evaluación de la suma de un número finito n de
términos sucesivos, y mediante un paso al límite identificar el comportamiento de la
serie a medida que n crece indefinidamente.
Una secuencia o cadena «finita», tiene un primer y último término bien definidos; en
cambio en una serie infinita, cada uno de los términos suele obtenerse a partir de una
determinada regla o fórmula, o por algún algoritmo. Al tener infinitos términos, esta
noción suele expresarse como serie infinita, pero a diferencia de las sumas finitas, las
series infinitas requieren de herramientas del análisis matemático para ser
debidamente comprendidas y manipuladas. Existe una gran cantidad de métodos para
determinar la naturaleza de convergencia o no-convergencia de las series
matemáticas, sin realizar explícitamente los cálculos.

DEFINICIÓN DE SERIE INFINITA

Una serie es una sucesión de elementos que, ordenados, mantienen un cierto vínculo
entre sí. La noción de infinito, por su parte, se vincula a aquello que carece de fin.
Una serie infinita, por lo tanto, es una seguidilla de unidades que no tiene final. El
concepto opuesto es el de serie finita, que se caracteriza por finalizar en un
determinado momento.
Podemos comprender la noción de serie infinita si pensamos en ciertas series
numéricas. Tomemos el caso de la serie numérica compuesta por los números
múltiplos de 2. Dicha serie es una serie infinita ya que los números múltiplos de 2 son
infinitos: 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12…
Puede entenderse a las series como conjuntos. La serie numérica de números
positivos impares menores a 10, en este sentido, es el conjunto que incluye los
números 1, 3, 5, 7 y 9. Como se puede advertir, se trata de una serie finita. En cambio,

3. si quisiéramos hacer referencia a la serie de números impares, será una serie infinita:
un conjunto con componentes infinitos.
Dado que los números son infinitos, podemos enumerar todo tipo de series numéricas
infinitas. Incluso es posible considerar series infinitas descendentes: por ejemplo, si
mencionamos la serie compuesta por los números menores a 1: 0, -1, -2, -3, -4, -5, -
6…
Además de todo lo expuesto, no podemos pasar por alto el hecho de que son muchos
y diversos los tipos de series infinitas que existen. No obstante, entre los más
significativas podemos destacar, por ejemplo, a los siguientes:
 Serie armónica: Se llama así porque la longitud de onda de los armónicos de
una cuerda que vibra es proporcional a su longitud según la serie de fracciones
unitarias: 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, 1/7...




 Serie geométrica: Bajo esta denominación se halla, por ejemplo, una serie de
tipo infinito que se caracteriza por el hecho de que cada término se obtiene a
partir de lo que es la multiplicación del término anterior por una constante
determinada.





 Serie convergente: A la hora de poder determinar si una serie infinita es
convergente o no, se puede recurrir al uso de variadas herramientas. En
concreto, entre las más habituales están las p-series, que son sumatorias de
funciones; el teorema de las series geométricas, el criterio de comparación
directa, el criterio de comparación por paso del límite del cociente, el criterio de
la integral de Cauchy, el criterio de d´Alembert y el criterio de Leibniz, entre
otras muchas.

4. Lo habitual es que, en el ámbito de las matemáticas, las series infinitas surjan a partir
de diferentes algoritmos, fórmulas o reglas. De este modo las series infinitas pueden
servir para la representación de funciones.
Una de las figuras más importantes en materia de series infinitas fue y es el
matemático y físico suizo Leonhard Euler (1707 – 1783), que está considerado el
matemático más importante del siglo XVIII. En el caso que nos ocupa hay que
subrayar el hecho de que optó por acometer una exhaustiva investigación en materia
del desarrollo del cálculo y eso fue lo que propició que estableciera la constante
matemática como e, a la que procedió a representar no sólo como una fracción
continua sino también como un número real o una serie infinita.