SERIES INFINITAS y CRITERIOS DE CONVERGENCIA.pptx

SERIES INFINITAS y CRITERIOS DE CONVERGENCIA

1. UNIVERSIDAD  NACIONAL  DE TRUJILLO INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS MATEMATICO SERIES – CRITERIOS DE CONVERGENCIA

2. UNIVERSIDAD  NACIONAL  DE TRUJILLO INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS MATEMATICO SERIES INFINITAS

3. UNIVERSIDAD  NACIONAL  DE TRUJILLO INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS MATEMATICO LOGRO DE LA SESIÓN Al término de la sesión, el estudiante determina si una serie infinita es convergente o divergente. Si es convergente determinará su suma. https://www.youtube.com/watch?v=oy6TH2_czQg https://www.youtube.com/watch?v=an6WaE_7CBo

4. UNIVERSIDAD  NACIONAL  DE TRUJILLO INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS MATEMATICO Series Infinitas Definición: Sea una sucesión. La expresión es llamada Serie Infinita. Notación: Los símbolos se denominan términos de la serie infinita y es llamado el n- ésimo término. Si los términos de una serie son números ésta es llamada “serie numérica ” y si son funciones ésta es llamada “serie de funciones”.    

5. UNIVERSIDAD  NACIONAL  DE TRUJILLO INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS MATEMATICO Series Infinitas Ejemplos: 1) 2) 3) 4) 5)  

6. UNIVERSIDAD  NACIONAL  DE TRUJILLO INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS MATEMATICO Series Infinitas Observaciones En algunas series sus primeros términos pueden ser a partir de un entero no negativo cualquiera y se escribe La letra usada en es una variable ficticia y puede ser reemplazada por cualquier otro símbolo conveniente. Cuando no hay peligro de confusión, generalmente se escribe en lugar de  

7. UNIVERSIDAD  NACIONAL  DE TRUJILLO INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS MATEMATICO Series Infinitas Definición.- La suma de los primeros términos de la serie infinita es llamada la enésima suma parcial de la serie y se obtiene de la siguiente manera: La sucesión se denomina “sucesión de las sumas parciales” de la serie .  

8. Ejemplo : Hallar los primeros cuatro términos de la sucesión se sumas parciales y determinar una fórmula para en términos de para cada serie indicada 1) Solución Por fracciones parciales se tiene: , entonces En general   INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS MATEMATICO UNIVERSIDAD  NACIONAL  DE TRUJILLO

9. INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS MATEMATICO UNIVERSIDAD  NACIONAL  DE TRUJILLO Ejemplo : Hallar los primeros cuatro términos de la sucesión se sumas parciales y determinar una fórmula para en términos de para cada serie indicada. 2) Solución Usando directamente la definición de , se tiene: En general  

10. Definición : (Serie Convergente ) Sea una serie infinita y sea la sucesión de sumas parciales que definen esta serie infinita. Entonces, si existe y es igual a , es decir, se dice que la serie es convergente y que es la suma de la serie dada. En el caso que no exista se que la serie es divergente y la serie no tiene suma.   Ejemplo : Determinar la suma de la serie en caso de ser convergente. Solución Por sumas parciales , entonces: En general Por lo tanto Luego la serie infinita es convergente y su suma es igual a 1 y escribimos  

11. Ejemplo : Determinar si la serie es convergente, si es convergente halle su suma. Solución E l termino general de la serie se puede escribir La sucesión de sumas parciales es Entonces la serie es convergente y    

12. INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS MATEMATICO UNIVERSIDAD  NACIONAL  DE TRUJILLO Propiedades: La supresión o adición de un número finito de términos en una serie infinita no afecta su convergencia o divergencia. Si dos series infinitas difieren solamente en sus primeros términos entonces ambas convergen o divergen. Si una serie infinita es convergente sus términos pueden agruparse de cualquier manera y la nueva serie converge al mismo limite. Si a una serie se le multiplica por una constante no se afecta su convergencia o divergencia. Si y son series convergentes, entonces también converge. Si es convergente y es divergente, entonces es diveregente . Si la serie converge, entonces  

13. INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS MATEMATICO UNIVERSIDAD  NACIONAL  DE TRUJILLO SERIE GEOMÉTRICA Una serie geométrica es de la forma donde y son constantes, y es llamada razón de la serie. La serie geométrica es convergente cuando y es divergente cuando . En efecto Por definición restando ,   SERIES ESPECIALES

14. INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS MATEMATICO UNIVERSIDAD  NACIONAL  DE TRUJILLO SERIE GEOMÉTRICA - Conclusiones Si , entonces existe. Si , entonces no existe. Si , la serie geométrica toma la forma y , luego no existe. Si , la serie geométrica toma la forma y por lo tanto no existe   SERIES ESPECIALES

15. INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS MATEMATICO UNIVERSIDAD  NACIONAL  DE TRUJILLO Ejemplos 1) La serie es una serie geométrica con , . Entonces la serie converge y su suma es . 2) La serie se puede escribir de donde tenemos: es una serie geométrica con y , la cual converge y suma es La serie es también una serie geométrica con y , la cual converge y suma es Por lo tanto la serie es convergente y su suma es   SERIES ESPECIALES

16. INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS MATEMATICO UNIVERSIDAD  NACIONAL  DE TRUJILLO II. SERIE ARMÓNICA La serie armónica es de la forma La serie armónica es divergente. Demostración Si , entonces Puesto que y entonces se tiene que . Por lo tanto la serie armónica es divergente.   SERIES ESPECIALES  

17. INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS MATEMATICO UNIVERSIDAD  NACIONAL  DE TRUJILLO III. SERIE p o HIPERARMÓNICA La serie p tiene la forma Siendo una constante. Si , se obtiene la serie armónica. Esta serie converge para y diverge para   SERIES ESPECIALES Ejemplos 1. , es una serie con , luego es convergente. 2. es una serie hiperarmónica con , por lo tanto la serie es divergente  

18. INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS MATEMATICO UNIVERSIDAD  NACIONAL  DE TRUJILLO Teorema 1 Si la serie es convergente, entonces .   C RITERIOS DE CONVERGENCIA Y DIVERGENCIA NOTA: En general, no es cierto el inverso del teorema 1 . Por ejemplo la serie , no es convergente, sabiendo que .  

19. INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS MATEMATICO UNIVERSIDAD  NACIONAL  DE TRUJILLO Teorema 2 Si no existe , o , la serie diverge   C RITERIOS DE CONVERGENCIA Y DIVERGENCIA Ejemplo: Demostrar que la serie , es divergente. Solución Como , entonces por teorema 2, la serie es divergente.     Ejemplo: Demostrar que la serie , es convergente . Solución Como , por teorema 2, podemos decir la serie , es divergente    

20. INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS MATEMATICO UNIVERSIDAD  NACIONAL  DE TRUJILLO Teorema 3.(Criterio de comparación) Sean y dos series de términos positivos y supongamos que Si es convergente y , entonces también es convergente. Si es divergente, entonces también es divergente   C RITERIOS DE CONVERGENCIA Y DIVERGENCIA

21. INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS MATEMATICO UNIVERSIDAD  NACIONAL  DE TRUJILLO Ejemplo: Determinar si la serie es convergente o divergente. Solución Para , , En general Según nuestra notación y , además es una serie infinita convergente, serie geom étrica con . Luego por la parte 1) del teorema la serie es convergente.   C RITERIOS DE CONVERGENCIA Y DIVERGENCIA

22. INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS MATEMATICO UNIVERSIDAD  NACIONAL  DE TRUJILLO Ejemplo: Determinar si la serie es convergente o divergente. Solución Para todo , se tiene , de donde y como es divergente (serie armónica) , por lo tanto por la parte 2 del teorema del teorema de comparación, la serie es divergente.   C RITERIOS DE CONVERGENCIA Y DIVERGENCIA

23. INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS MATEMATICO GRACIAS