Yolber E. Sanoja C.
I.T.U “Antonio José de Sucre”
Informática
Ing. Naudy Albornoz
10 de febrero de 2023
SERIES Y SUCESIONES 2
Introducción
La matemática es una ciencia intensa, dinámica y cambiante; rápida y hasta turbulenta en
sus propios contenidos y aun en su propia concepción profunda, aunque de modo mas lento.
Todo ellos sugiere que, efectivamente, la actividad matemática no puede ser una realidad de
abordaje sencillo.Por esta razón, tanto el aprendizaje como la enseñanza de la matemática deben
estar enfocados en el desarrollo de las destrezas necesarias para que el estudiantado sea capaz de
resolver problemas cotidianos, a las vez que se fortalece el pensamiento lógico y creativo.
Una de las ramas de la matemática que ha presentado mayor cambio ha sido el cálculo
infinitesimal o simplemente el cálculo. Esto debido a que una gran cantidad de matemáticos fue
perfeccionando cada vez cada uno de los objetos matemáticos. Se generó un cambio de
paradigma a partir de las investigaciones de Newton y Leibniz, a raíz de las investigaciones se
permitió enunciar el teorema fundamental del Cálculo. El cálculo estudia objetos matemáticos
como el límite, derivadas, integrales, series infinitas, etc. Abocándonos a las funciones podemos
señalar que éstas pueden ser obtenidas como límites de sucesiones de funciones o sumas de
series que convergen (a una función). Por lo tanto, a partir de una función se puede realizar el
estudio de sucesiones, series de funciones y realizar un análisis de criterios y convergencia de
éstas.
Las sucesiones y series de funciones son una parte fundamental en la historia del Cálculo
Infinitesimal. Lo primero que se debe tener claro es la diferencia en el concepto de sucesiones y
series numéricas ya que se trabajará con ellas más adelante y es importante que el lector tenga
una idea clara de cada uno de estos conceptos.
Se define a la sucesión de números reales (��) = �1, �2, … . , ��. Se definirá la suma
parcial n-esima de (��) como �� = �1 + �2 + ⋯ + ��, en la cual se suman cada uno de los
elementos de la sucesión de números reales. A la sucesión de todas las sumas parciales de las
sucesiones de números reales se le denomina serie asociada a (��). Se denota poniendo (��, ∑).
Ahora que entendemos que es una sucesión y cuáles son sus elementos nos resultará más
fácil comprender que en la vida cotidiana se encuentran estos diferentes tipos de sucesiones.
SERIES Y SUCESIONES 3
Series
Series Infinitas
Se le llama serie infinita de números reales a la suma de los términos de una sucesión.
A una serie infinita: a
1+a
2+⋯a
n+⋯ representamos por:
∑a
n
∞
n=1
,es decir∶
∑a
n
∞
n=1
=a
1+a
2+⋯a
n+⋯
Donde a
1+a
2+⋯a
n+⋯ se denomina(o llama) términos de la serie y a
n es llamado el
n-ésimo término de la serie.
Ejemplos:
❖ La serie infinita
1
2
+
2
3
+
3
4
….
n
n+1
es representada por:
∑
n
n+1
∞
n=1
=
1
2
+
2
3
+
3
4
….
n
n+1
Observación: De la serie infinita de números reales
∑a
n
∞
n=1
=a
1+a
2+⋯a
n+⋯
Formaremos una sucesión {S
n}
n≥1 definida de la siguiente forma:
❖ S
1=a
1
❖ S
1=a
1+a
2
❖ S
1=a
1+a
2+a
3+⋯+a
n=∑a
k
n
k=1
A la sucesión {S
n}
n≥1 , se denomina sucesión de sumas parciales de la serie infinita:
∑a
n
∞
n=1
SERIES Y SUCESIONES 4
Siendo S
n la n-ésima suma parcial de la serie.
Si:
∑a
n
∞
n=1
=lim
n→∞
S
n=S
Al cual llamaremos suma de una serie infinita, por lo tanto si el: lim
n→∞
S
n=S existe,
entonces la sucesión de las sumas parciales {S
n}
n≥1 es convergente. De lo contrario es divergente
(carece de suma).
Propiedades
❖ Si
∑a
n es convergente,entonces: lim
n→∞
S
n=0
∞
n=1
❖ Si lim
n→∞
S
n≠0 , entonces la serie infinita ∑a
n
∞
n=1es divergente.
❖ Si
∑a
n
∞
n=1
y ∑b
n son series convergentes con sumas S
1 y
∞
n=1
S
2 respectivamente,entonces:
∑ca
n
∞
n=1
converge a c S
1 es decir: ∑ca
n
∞
n=1
=c∑a
n
∞
n=1
∑(a
n+b
n)
∞
n=1
converge a S
1+ S
2,es decir: ∑(�
??????+�
??????)
∞
??????=�
=∑�
??????
∞
??????=�
+∑�
�
∞
??????=�
Teorema
Sea {�
�}
�≥� la sucesión de sumas parciales para una serie convergente
∑�
�
∞
�=�
��������,���� ������??????�� ??????>� ∃ ,??????>� / |�
�−�
�|<??????
Siempre que R >N, T>N.
Series Especiales
Serie Armónica
La serie armónica es de la siguiente firma:
∑
�
�
∞
�=�
=�+
�
�
+
�
�
+⋯+
�
�
+⋯
Por lo cual hay n-términos en cada lado de la desigualdad
??????���� �
2??????−�
??????>
1
2
…(??????) �??????����� ��� �>1
??????�� �� �����: ∑
1
�
�� �??????��������.
∞
??????=1
Serie Geométrica
Una serie geométrica es de la siguiente forma:
SERIES Y SUCESIONES 6
∑��
??????−1
=�+��+��
2
+⋯+��
??????−1
∞
??????=1
+⋯
La serie geométrica es convergente cuando r<1 y es divergente cuando r ≥ 1.
En consecuencia: La n-ésima suma parcial de ésta serie, está dado por:
�
??????=�(1+�+�
2
+⋯+�
??????−1
),����á� �� �??????���:
1−�
??????
=(1−�)(1+�+�
2
+⋯+�
??????−1
)
??????���� �
??????=�(1+�+�
2
+⋯+�
??????−1
)=
�(1−�
??????
)
1−�
,�≠1,��������:
�??????�
??????→∞
�
??????= �??????�
??????→∞
�(
1−�
??????
1−�
)=�??????�
??????→∞
�
1−�
−�??????�
??????→∞
��
??????
1−�
,�����∶ �??????�
??????→∞
��
??????
1−�
,��??????���
� �� ���� �?????? |�|<1,??????�� �� ����� �??????�
??????→∞
�
??????=
�
1−�
,�?????? |�|<1,��������:??????� ���??????�
����é��??????�� ∑
��
??????−1
,�������� ������ |�|<1,� �� ���� ��
�
1−�
,�� ���??????�:
2.7.3. Teorema (Criterio de la Razón o Criterio de DALEMBERT)
Sea ∑ �
??????
∞
??????=1 una serie infinita con �
?????? ≥ 0, ∀ n (términos positivos) y convergamos que:
�??????�
??????→∞
(
????????????+1
????????????
)
=k entonces:
SERIES Y SUCESIONES 8
i) si k<1, la serie ∑ �
�
∞
�=� es convergente.
ii) si k>1, la serie ∑ �
�
∞
�=� es divergente o cuando �??????�
�→∞
(
��+�
��
)
= +∞
iii) si k =1, no se puede determinar nada.
Teorema (Criterio de la Integral)
Sea f una función definida y positiva para todo x>1 y además decreciente y que f(n)= �
�,
∀ n ∈�
+
, entonces la serie infinita ∑ �(�)
∞
�=�
=∑ �
�
∞
�=� es convergente, si y solo si la integral
impropia ∫
+∞
�
f(x) dx es convergente y si la integral impropia ∫
+∞
�
f(x) dx es divergente,
entonces la serie ∑ �
�
∞
�=� es divergente.
Teorema (Criterio de la Raíz o criterio de Cauchy)
Si en la serie infinita ∑ �
�
∞
�=�, de términos positivos, se tiene que:
�??????�
�→∞
√ �
�
�
=�,��������:
i) Si k<1, la serie ∑ �
�
∞
�=� es convergente.
ii) Si k>1, la serie ∑ �
�
∞
�=� es divergente.
iii) Si k =1, no se puede determinar nada.
. Series Infinitas de Términos Positivos y Negativos
Una serie infinita de la forma siguiente:
∑
∞
??????=1 (−1)
??????+1
�
??????=�
1−�
2+…+(−1)
??????+1
�
??????+…
Dónde: �
� >0, ∀ n ∈�
+
, se denomina serie alternada.
También las series de la forma:
∑
∞
??????=1 (−1)
??????
�
??????=−�
1+�
2−�
3+…+(−1)
??????
�
??????+…
Dónde: �
� >0, son serie alternada.
Teorema (criterio de Leibniz)
La serie alternada de la forma:
SERIES Y SUCESIONES 9
∑
∞
??????=1 (−1)
??????+1
�
??????=�
1−�
2+…+(−1)
??????+1
�
??????+…
Es convergente si se cumple:
i. 0<�
�+�<�
�, ∀ n ∈�
+
.
ii. �??????�
�→∞
�
�
Ejemplo (2):
Determine si la serie ∑
�
(2�+1)(2�−1)
�� ����������� � �??????��������.
∞
??????=1
Según el autor una serie de la forma: �
0+ �
1(�−�)+ �
2(�−�)
2
+⋯+
�
??????(x−�)
??????
+⋯ Es decir:
∑�
??????(�−�)
??????
=�
0+ �
1(�−�)+ �
2(�−�)
2
+⋯+�
??????(�−�)
??????
+⋯
∞
??????=0
Dónde: a y los �
??????,??????=1,2,3,……….,� son constantes, es llamada serie de potencia en x
– a
Cuando a = 0, se tiene la serie
∑�
??????�
??????
∞
??????=0
Que se domina serie de potencia en x
Observación.
1° cuando x toma un valor en particular, obtenemos una serie numérica de los que ya se
ha estudiado
SERIES Y SUCESIONES 15
2° Si una serie converge para ciertos valores de x, podemos definir una función de x
haciendo:
�(�)=∑�
??????(�−�)
??????
∞
??????=0
� � (�)=∑�
??????�
??????
∞
??????=0
Donde el dominio de estas funciones son todos los valores de x para los cuales la serie
converge.
3° Para determinar los valores de x, los cuales la serie de potencia converge, se usan los
criterios anteriores, especialmente el criterio de la razón.
Propiedades
Consideremos la serie de potencia siguiente
∑�
??????(�−�)
??????
∞
??????=0
❖ 1.- Si esta serie diverge para x - a = c entonces diverge para todo los valores de x, para los
cuales de x, para los cuales |�−�|>|�|
❖ 2.- si esta serie diverge para x - a = b entonces es absolutamente convergente para todo los
valores de x para los cuales |�−�|<|�|
❖ 3.- se cumple exactamente una de las condiciones siguientes:
i) la serie converge solamente cuando x - a = 0
ii) la serie es absolutamente convergente para todos los valores de “x”.
iii) existe un número P > 0, tal que la serie es absolutamente convergente para todo los
valores de “x” para los cuales |�−�|<?????? y diverge para todo los valores de “x” para los cuales
|�−�|>??????
Otras Definiciones
El conjunto de todos los valores de x, para los cuales una serie de potencia converge, se
llama intervalo de convergencia.
Se llama radio de convergencia de la serie de potencia
SERIES Y SUCESIONES 16
Observación
Si P es radio de convergencia de la serie de potencia
∑�
??????(�−�)
??????
∞
??????=0
, entonces el intervalo de convergencia <a – p, a + p>,[a – p, a + p] ,<a – p, a + p> y
[a - p, a + p]
3.4. Diferenciación de series de potencia
Sea
∑�
??????(�−�)
??????
∞
??????=0
Es una serie de potencia con un radio de convergencia p > 0 y si
�(�)=∑c
??????(�−�)
??????
∞
??????=0
Entonces existe
�
′(�)
=∑� �
??????(�−�)
??????−1
∞
??????=1
,∀ �∈<�−�,�+�>
Además, p es también el radio de convergencia de esta serie, es decir, si p ≠ 0 es el radio
de convergencia de un aserie de potencia, la cual define una función f, entonces f es diferenciable
en <a – p, a + p> y la derivada de f se puede obtener derivando la serie de potencia termino a
término.
Integración de Series de Potencia
Sea ∑�
??????(�−�)
??????∞
??????=0 una serie de potencia con radio de convergencia:
SERIES Y SUCESIONES 17
p > 0 y �(�)=∑�
??????(�−�)
??????∞
??????=0
Entonces f es integrable en todo sub-intervalo cerrado de <a – p, a + p>.
∫∑�
??????(�−�)
??????
��
∞
??????=0
�
0
= ∑
�
??????
�+1
(�−�)
??????+1
∞
??????=0
Dónde: x ?????? <a – p, a +p>, además es el radio de convergencia de una serie de potencia, la
cual define una función f, entonces f es integrable en todo sub-intervalo cerrado de <a – p, a +
p> y la integral de f se obtiene integrando la serie de potencia termino a término.
Serie de Taylor
Una función definida por una serie de potencias posee derivadas de todas las órdenes que
se puede obtener al derivar la serie de potencias:
Si �(�)=∑�
??????(�−�)
??????
,∀�∈
∞
??????=0 <�−�,�+�> donde r es la radio de convergencia
La función f y sus derivadas tienen todas, el mismo radio de convergencia de acuerdo con
el teorema de derivadas de series. Al evaluar la función f y sus derivadas en el número c, se obtiene:
�(�)=�
0, �
′
(�)=2�
2,� �� ������� �
??????
(�)=n!�
??????
Así �
??????=
??????
??????
(??????)
??????!
Para cada entero positivo n y la serie de potencias que representa a f está
dada por
f(x)=f(c)+f
′
(c)(x−c)+
f
′′
(c)
2!
(x−c)
2
+⋯+
f
(n)
(c)(x−c)
n
n!
+⋯ ……(1)
=∑
f
(n)
(c)(x−c)
n
n!
∞
n=0
Serie de Maclaurin
Del enunciado 1 si c=0 entonces:
f(x)=f(0)+f
′
(0)x+
f′′(0)
2!
x
2
+⋯+
f
(n)
(0)x
n
n!
+⋯=∑
f
(n)
(0)(x)
n
n!
∞
n=0
SERIES Y SUCESIONES 18
Sucesiones
Una sucesión es un conjunto de números que están dadas de forma ordenada.
Ahora vemos una sucesión: a
1,a
2,a
3,a
4,…es un arreglo ordenado de numeros reales
de modo que tiene un primer elemento, un segundo elemento y así sucesivamente.
También se le denomina sucesión de números reales a toda función de ℕ en ℝ y se denota
por: a: ℕ→ℝ /a(n) = an
Una sucesión se puede especificar proponiendo suficientes elementos iniciales, como por
ejemplo: 3, 8, 13, 18,…
O dando una formula explicita para el n-esimo elemento:
a
n=5n−2, n≥1 o {a
n}
n≥1= {5n−1}
n≥1
Límite de una Sucesión
Una sucesión {S
n}
n≥1, se dice que tiene un límite L, si para todo ε>0 , existe un número
N>0, tal que: |S
n−L|<ε para todo n>N y se denota por
lim
n→∞
S
n=L .
En forma simbólica se tiene:
lim
n→∞
S
n=S ↔∀ε>0,∃ N>0 / n>N →|S
n−L|<ε
Ejemplo:
Usando la definición del límite probar que:
SERIES Y SUCESIONES 19
lim
n→∞
(
n+1
n
)=1
Solución
lim
n→∞
(
n+1
n
)=1 ↔∀ε>0,∃ N>0 / n>N →|S
n−L|<ε
Si se tiene:
|S
n−L|=|
n+1
n
−1|=
1
n
, pero lo que queremos es |S
n−L|=
1
n
<ε
Y por lo tanto tenemos: n>
1
ε
o sea:
lim
n→∞
(
n+1
n
)=1 ↔∀ε>0,∃ N>
1
ε
n>N ,entonces |S
n−L|<ε
Convergencia de una Sucesión
Una sucesión es convergente siempre y cuando esta sucesión tenga un límite, en caso
contrario la sucesión será divergente.
Ejemplo:
Determine si es convergente o divergente la sucesión:
{
3n
2
+1
3n
2
−n
}
n≥1
Para determinar la convergencia o divergencia de la sucesión solo se tendrá que aplicar el
límite:
lim
n→∞
S
n=L
lim
n→∞
(
3n
2
+1
3n
2
−n
)=lim
n→∞
(
3n
2
+1
n
2
3n
2
−n
n
2
)=lim
n→∞
(
3n
2
n
2
+
1
n
2
3n
2
n
2
−
n
n
2
)=lim
n→∞
(
3+
1
n
2
3−
1
n
)=
3
3
=1
∴lim
n→∞
(
3n
2
+1
3n
2
−n
)=1 Decimos que la sucesion es convergente.
SERIES Y SUCESIONES 20
Propiedades de Límites de Sucesiones:
Consideremos dos sucesiones convergentes: {a
n}
n≥1 y {b
n}
n≥1 y c una constante:
1) lim
n→∞
c=c
2) lim
n→∞
(c.a
n)=clim
n→∞
a
n
3) lim
n→∞
(a
n±b
n)=lim
n→∞
(a
n)±lim
n→∞
(b
n)
4) lim
n→∞
(a
n.b
n)=(lim
n→∞
a
n) .(lim
n→∞
b
n)
5) lim
n→∞
(
a
n
b
n
)=
(lim
n→∞
a
n)
(lim
n→∞
b
n)
, si b
n≠0
Teoremas
Teorema de la Media Aritmética:
Consideremos una sucesión {a
n}
n≥1 y es convergente, si
lim
n→∞
a
n=a
Entonces:
lim
n→∞
(
a
1+a
2+⋯+a
n
n
)=a
Teorema de la Media Geométrica:
Consideremos una sucesión {a
n}
n≥1 y es conver gente, si
lim
n→∞
a
n=a
Entonces:
lim
n→∞
(√a
1.a
2…a
n
n
)=a
Criterio de Stolz
Hasta el momento hemos estudiado situaciones donde era posible pasar al caso general.
SERIES Y SUCESIONES 21
El criterio de Stolz resulta útil especialmente para determinar el límite de sucesiones en
las que aparecen sumas de términos que se incrementan con n.
.
Sean {��} � {��} dos sucesiones donde {��} es monótona creciente
o decreciente e �� ≠ 0 ∀� ∈ ???????????? tales que:
�??????� �
?????? = �??????� �
?????? = 0
n→∞ n→∞
o bien:
lim yn = ∞.
n→∞
Si existe ?????? = �??????�
�??????+1– �??????
�??????+1 – �??????
∈ ??????� ∪ {−∞,+∞}, entonces tenemos
n→∞
que �??????�
�??????
�??????
= ??????.
n→∞
Ejemplo
Calculando lim (1
2
+2
2
+n
2
/n
3
) , vemos que {n
3
} es creciente y que lim n
3
= ∞ y,
n→∞ n→∞
por tanto, podemos aplicar el criterio de Stolz:
lim (1
2
+2
2
+…..+(n+1)
2
-(1
2
+2
2
+…+n
2
)/(n+1)
3
-n
3
) = lim ((n+1)
2
/3n
2
+3n+1)
n→∞ n→∞
Sucesión De Cauchy
Sea {sn}n>1 una sucesión, se dice que una sucesión de Cauchy, si para todo
ε>0,3N>0/m>N, n>N entonces Ism-snI<ε
Ejemplo.-
1.- La sucesión {1/n}n≥1 es de Cauchy.
En efecto: ∀є>0,3N=? /∀m>N,n>N→Ism-snI<ε
i) Si m=n→Ism-snI=I1/m-1/nI = 0 < ε, ∀n
ii) Si m>n→Ism-snI=I1/m-1/nI =1/n-1/m<1/n pero debe cumplir que: Ism-snI<ε n→1/n< ε
de donde: n>1/ε=N, (m>n>N).luego bastaría tomar N=1/2.
SERIES Y SUCESIONES 22
iii) Si m>n→Ism-snI=I1/m-1/nI =1/m-1/n<1/m como Ism-snI<ε, entonces
1/m<ε→m>1/ε=N luego bastaría tomar N=1/ε(n>m>N).
2.- La sucesión {n+1/n}n≥1, es de Cauchy. En efecto: ∀ ε>0,3N=?/n*m>N→Ism-
snI < ε Ism-snI=Im+1/m-
n+1/nI=I1/m-1/Ni, se reduce al ejemplo anterior y luego bastaría tomar N=1/ε.
SERIES Y SUCESIONES 23
Conclusión
Nos hemos concentrado en las herramientas que permiten estudiar comportamientos
continuos. Por ejemplo, en las sucesiones hasta el infinito aplicando tipos de sucesiones y serie,
que en principio fluye de manera continua. Sin embargo, existen otros fenómenos que no fluyen
de forma continua, sino que necesitan un determinada fórmula para producirse. Por ejemplo. Las
herramientas que hemos visto hasta ahora nos permiten, por ejemplo, calcular las sucesiones
infinitas o sucesiones hasta n. Para resolver este problema sólo hay que tener en cuenta el
enésimo termino determinado por el las ecuaciones. Esta relación nos indica que cuando
hallamos el valor de n, llegamos obtener un valor de n para así calcular el enésimo dato. Las
diferentes sucesiones nos da a conocer que no solo de una manera podemos resolver las
sucesiones tenemos: sucesiones con límites que aplicado los limites podrías hallar las
sucesiones, también existen las sucesiones aritméticas que se consideran una sucesión
convergente, así mismo existe las sucesiones geométricas, aquí utilizamos los convergentes.
De la misma manera tenemos las series infinitas llegando a obtener diferentes teoremas
(criterio de comparación directa), (criterio de comparación por limite), (criterio de la integral),
(criterio de leibniz) y etc...
SERIES Y SUCESIONES 24
Referencias
Sucesiones y series de funciones. (2020). RedBibliotecaria. Jonathan Rene.
Fuentes Vargas, Jonathan René.pdf (ubiobio.cl)
Sucesiones y series. (s.f). StudySmarter.
Sucesiones y Series: Explicación con Ejemplos | StudySmarter
Aplicación de las Sucesiones y Series Numéricas. (2021). Prezi. Juan Ruales
Importancia y Aplicación de las Sucesiones y Series Numéricas. by Juan Ruales
(prezi.com)
Serie matemática. (s.f). Wikipedia. Serie (matemática) - Wikipedia, la enciclopedia libre