Series y Sumatorias completo

Aquí les dejo un pequeño resumen de series y sumatorias gracias a la experiencia que tuve en academias y colegios.

1. Profesor: Martín H. P. 1

“SERIES Y SUMATORIAS”
1) SERIE NUMÉRICA:
Se denomina “serie numérica” a la adición indicada de los términos de una sucesión
numérica llamándose al resultado de la adición valor de la serie. Veamos:
t
1
3
t
2
7
t
3
11
t
4
15;;;

Serie: 3 + 7 + 11 + 15 = 36 Valor de la serie

 SERIES NUMÉRICAS IMPORTANTES:
A. SERIE ARITMÉTICA:
 Dada la serie aritmética:
t
1
+r
t
2t
3t
4++++ ... +t
n
+r +r
S =


1
()
2
n
t t n
S





 Adicionalmente podemos también utilizar :

1
( 1)
2
nr
S t n





0

n
t rn t



B. SERIE GEOMÉTRICA:
a) Serie Geométrica de Infinitos Términos:
 Dado:
t
1
xq
t
2t
3t
4++++ ... +8
xq xq
S =

1
1
t
S
q



Sucesión:
Donde:
 t1 = primer término
 tn = último término
 n = número de términos
Donde:
 tn = último término
 t0 = anterior al primero
 r = razón
 n = número de términos

2. Profesor: Martín H. P. 2

b) Serie Geométrica Finita:
 Dado:
t
1
xq
t
2t
3t
4++++ ... +
xq xq
S =
t
n


1
( 1)
1
n
tq
S
q


 1
1
.


n
n
t t q


2) SERIES Y SUMAS NOTABLES:
 Suma de los “n” Primeros Números Naturales: 1
( 1)
1 2 3 4 5 ...
2
in
i
nn
in



       


 Suma de los “n” Primeros Números Pares Naturales: 1
2 2 4 6 8 ... 2 ( 1)
in
i
i n n n


       


 Suma de los “n” Primeros Números Impares Naturales: 2
1
(2 1) 1 3 5 7 ... (2 1)
in
i
i n n


        


 Suma de los “n” Primeros Números Cuadrados Perfectos: 2 2 2 2 2 2
1
( 1)(2 1)
1 2 3 4 ...
6
in
i
n n n
in



      


 Suma de los “n” Primeros Números Cubos Perfectos: 2
3 3 3 3 3 3
1
( 1)
1 2 3 4 ...
2
in
i
nn
in



      





 Suma de los “n” Primeros Productos Consecutivos tomados de 2 en 2: 1
( 1)( 2)
( 1) 1.2 2.3 3.4 4.5 ... ( 1)
3
in
i
n n n
i i n n



        


 Suma de los “n” Primeros Productos Consecutivos tomados de 3 en 3: 1
( 1)( 2)( 3)
( 1)( 2) 1.2.3 2.3.4 3.4.5 ... ( 1)( 2)
4
in
i
n n n n
i i i n n n


  
         

Donde:
 t1 = primer término
 tn = último término
 q = razón geométrica
 n = número de términos

3. Profesor: Martín H. P. 3

 Suma de los Cuadrados de los “n” Primeros Números Pares Naturales:
2 2 2 2 2 2
1
(2 )(2 1)(2 2)
(2 ) 2 4 6 8 ... (2 )
6
in
i
n n n
in



      


 Suma de los Cuadrados de los “n” Primeros Números Impares Naturales:
2 2 2 2 2 2 2
1
(2 1)(2 )(2 1)
(2 1) 1 3 5 7 ... (2 1) (4 1)
36
in
i
n n n n
i n n



          


 Suma de los Cubos de los “n” Primeros Números Pares Naturales: 
2
3 3 3 3 3 3
1
(2 ) 2 4 6 8 ... (2 ) 2 1
in
i
i n n n


        



 Suma de los Cubos de los “n” Primeros Números Impares Naturales:  
3 3 3 3 3 3 2 2
1
(2 1) 1 3 5 7 ... (2 1) 2 1
in
i
i n n n


         


 Suma de los “n” Primeros Números Naturales a la Cuarta Potencia:   
2
4 4 4 4 4 4 4
1
1 2 1 3 3 1
( ) 1 2 3 4 5 ...
30
in
i
n n n n n
in


   
       


 Suma de Potencias:
 
1
1 2 3 4 5
1
1
( ) ...
11
n
nin
kn
i
kkkk
i k k k k k k
kk



        




 Suma de las Inversas de los Productos de Números Consecutivos de 2 en 2: 1
1 1 1 1 1 1
...
1 1.2 2.3 3.4 4.5 ( 1) 1
in
i
n
i i n n n


      
  



 Suma de las Inversas de los Productos de Números Consecutivos de 3 en 3: 1
1 1 1 1 1 ( 3)
...
1 ( 2) 1.2.3 2.3.4 3.4.5 ( 1)( 2) 4( 1)( 2)
in
i
nn
i i i n n n n n



     
     


4. Profesor: Martín H. P. 4

 Otras Fórmulas Importantes:
 
1 2 3 4
1
1
(2) 1 2 2 2 3 2 4 2 ... 2 2 ( 1)2
in
n
in
i
i n n



        

  
2
4
4 4 4 4 4
1
8 1 2 1 3 3 1
(2 ) 2 4 6 8 ... 2
15
in
i
n n n n n
in


   
      
 
42
4 4 4 4 4 4
1
48 40 7
(2 1) 1 3 5 7 ... (2 1)
15
in
i
n n n
in



        
1
4
2 (2 2) 2.4 4.6 6.8 8.10 ... 2 (2 2) ( 1)( 2)
3
in
i
i i n n n n


          
 
1
1 2 3 4 5
1
2 1 .3 3
.3 1.3 2.3 3.3 4.3 5.3 ... .3
4
n
in
in
i
n
in




       
   1
1 1 1 1 1 1
...
2 1 2 1 1.3 3.5 5.7 7.9 2 1 2 1 2 1
in
i
n
i i n n n


      
    

   1
1 1 1 1 1 1
...
2 2 2 2.4 4.6 6.8 8.10 2 2 2 4 1
in
i
n
i i n n n


      
  

 
1 2 3 4 5
1
2 2 2 2 2 2 ... 2 2 2 1
in
i n n
i


        
 
1 2 3 4 5
1
3
3 3 3 3 3 3 ... 3 3 1
2
in
i n n
i


        

 OBSERVACIÓN:
" cifras"
S ... ...
n
a aa aaa aaaa aaa aaa     


 
1
S 10 9 10
81
na
n

  