Sesión 1.2 (Cilindros y descripción de solidos en rectangulares y cilíndricas).pdf

calculo 2 para ingenieros

2. CÁLCULO 2 EPE INGENIERÍA
Al finalizar la sesión, el estudiante:
❖Representa con ecuaciones cuadráticas a superficies
en situaciones de contexto.
❖Describe regiones del plano y del espacio limitadas
por superficies empleando sistemas de coordenadas
cartesianas.
2
Logro de la Sesión

3. CÁLCULO 2 EPE INGENIERÍA
Temario
3
❖Superficies cuadráticas: cilindros.
❖Descripción de regiones limitadas por planos, cilindros y
superficies cuadráticas.
❖Sistema de coordenadas cilíndricas.

4. CÁLCULO 2 EPE INGENIERÍA
4
Superficies cuadráticas
¿Qué gráfico representa la siguiente ecuación,
en el plano?
¿Y en el espacio?222
ryx =+
Ahora pasaremos el concepto de cilindros.
r
Circunferencia

5. CÁLCULO 2 EPE INGENIERÍA
5
Uncilindroesunasuperficiegeneradaporeldesplazamientodeuna
rectallamadageneratrizquesemuevedetalmaneraquesemantiene
siempreparalelaaunarectafijadadaycortasiempreporunacurva
planafijadadallamadadirectriz.
Larectamóvilsellamageneratrizylacurvafijadirectrizdela
superficiecilíndrica.
Superficies cuadráticas
Cilindro
Nota:Enestecursosóloconsideraremos,queladirectrizesunacurva
contenidaenunodelosplanoscoordenadosylasgeneratricessonparalelas
alosejescoordenados.Aestoscilindrosselesconocecomocilindros
rectos.

6. CÁLCULO 2 EPE INGENIERÍA
6
Superficies cilíndricas
CILINDRO
ELÍPTICO
CILINDRO
PARABÓLICO
CILINDRO
HIPERBÓLICO

7. CÁLCULO 2 EPE INGENIERÍA
Bosquejar lo siguiente enActividad 2: Ejercicio 1
Bosquejar:a. b.9
22
=+yx 0
2
=−zx
z
x
y
z
x
y

8. CÁLCULO 2 EPE INGENIERÍA
8
Grafiquelacurvadeintersección,enelprimeroctante,delassuperficiesS
1yS
2
,indicandolas
coordenadasdelospuntosextremosdelacurva.
�.�
1:�
2
+�
2
=1;�
2:�+�=2.
Curvas como intersección de superficies
Bosquejar lo siguiente enActividad 2: Ejercicio 2
z
x
y

9. CÁLCULO 2 EPE INGENIERÍA
�.�
1:�=1−�
2
;�
2:�=1−�.
z
x
y

10. CÁLCULO 2 EPE INGENIERÍA
CIERRE
❖¿Dar un ejemplo de una ecuación que represente a
un cilindro recto que se desarrolla a lo largo del
eje z?
❖¿Qué característicadebe presentar una ecuación
cuadrática para afirmar que representa un
cilindro?
10

11. CÁLCULO 2 EPE INGENIERÍA
11
Descripción de un solido
En forma gráfica Dibujar el sólido
En forma analítica
Darlavariaciónde
lascoordenadasde
suspuntos.

12. CÁLCULO 2 EPE INGENIERÍA
12
En forma analítica
Paso 1:
Graficar la proyección del sólido
sobre unos de los planos
cartesianos.
OBSERVACIÓN
Ennuestrocursotrabajaremos
soloconlaproyecciónsobre
elplanoXY.Aestetipo
especialderegionesseconoce
comoregiónsólidadeltipo1.
Descripción de un solido

13. CÁLCULO 2 EPE INGENIERÍA
13
En forma analítica
Paso 2 :
Unarectaperpendicularalplano
proyectadodebedecortaralsólido
en2puntos,unodeentradayotro
desalida.
Sedescribelavariaciónalavariable
quenoestáinvolucradaenlaregión
proyectada.
�
1�;�≤�≤�
2�;�.
Del ejemplo: La variable no
involucrada es la z,
Descripción de un solido

14. CÁLCULO 2 EPE INGENIERÍA
14
En forma analítica
Paso 3:
Describir la región sólida de
manera ordenada mediante la
variación de las variables.
Descripción de un solido
??????=(�,�,�)∈�
3
/�≤�≤�,�
1(�)≤�≤�
2(�),�
1(�;�)≤�≤�
2(�;�).
Según la figura, la descripción de la región Dserá:
Lo mismo que describir una
región plana de Cálculo 1.

15. CÁLCULO 2 EPE INGENIERÍA
15
Describaelsólidomostradoproyectandoelsólido
sobreelplanoXY.
EJEMPLO
Descripción de un solido
y
x
Proyectandosobreelplanoxy

16. CÁLCULO 2 EPE INGENIERÍA
a.SeaElaregión,enelprimeroctante,limitadaporlasuperficieSylosplanos
coordenados.DescribalaregiónproyectandoelsólidosobreelplanoXY.
16
Descripción de un solido
Bosquejar lo siguiente enActividad 2: Ejercicio 312432: =++ zyxS
y
x
z
x
y

17. CÁLCULO 2 EPE INGENIERÍA
b.SeaElaregiónlimitadaporlassuperficiesS
1,S
2ylosplanoscoordenadosenelprimer
octante.DescribalaregiónproyectandoelsólidosobreelplanoXY.
1722
1 9: yxzS −−= 33:
2 =+yxS
Descripción de un solido
Bosquejar lo siguiente enActividad 2: Ejercicio 3
y
x
z
x
y

18. CÁLCULO 2 EPE INGENIERÍA
18
Descripción de un solido
Completar la actividad 2: Ejercicio 4.

19. CÁLCULO 2 EPE INGENIERÍA

20. CÁLCULO 2 EPE INGENIERÍA
Coordenadas cilíndricas
TEMA

21. CÁLCULO 2 EPE INGENIERÍA
21
x
P(r;q; z)
P(x; y; z)zz=
x
y
qqsenry=
r
yqcosrx=
z
Paraconvertirdecoordenadas
cilíndricasarectangulares
empleamoslasecuaciones:
.zzryrx === ;sen;cos qq zz
x
y
yxr
=
=
+=
qtan
222
Para convertir de
coordenadasrectangularesa
cilíndricasusamos.
Coordenadas cilíndricas

22. CÁLCULO 2 EPE INGENIERÍA
22
SuperficiesnotablesencoordenadascilíndricaskzS =: 222
: cyxS =+ kxyS =: kzS =: crS=: )(tan:
1
kS
−
=q
Coordenadas cilíndricas
Ejemplo:4
22
=+yx 5=z xy= Ejemplo: Ejemplo:

23. CÁLCULO 2 EPE INGENIERÍA
Ejemplo
SeaElaregiónlimitadapor: ,
a)RepresentegráficamentelaregiónE.
b)DescribaenformaordenadaE,utilizandoelsistemade
coordenadascilíndricas.0:
1
=zS 22
29: yxzS −−=
Coordenadas cilíndricas
23
y
x
z
x
y

24. CÁLCULO 2 EPE INGENIERÍA
24
Descripción de un solido
Completar la actividad 2: Ejercicio 5 y 6.

25. CÁLCULO 2 EPE INGENIERÍA
CIERRE
❖¿Cuáles son las variables que usamos en el sistema
de coordenadas cilíndricas?
❖Dar la ecuación de un cilindro circular en cilíndricas.
Desarrollar la actividad de contexto al final del
material.
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26. CÁLCULO 2 EPE INGENIERÍA
ACTIVIDADES DEL FIN DE SEMANA 1
❖La autoevaluación 1 nos permite
practicar para el control 1 y aplica al
promedio de Actitudinal 1, la nota a
considerar es 16
26
SEMANA 2

27. Bibliografía
STEWART, James, (2010)
Cálculo de varias variables: Trascendentes tempranas , 7a edición.
México D.F.: Cengage Learning.
27