SESIÓN 3 DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD PARA UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA BINOMIAL POISSON E HIPERGEOMÉTRICA.pptx

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD PARA UNA VARIABLE ALEATORIA

1. FACULTAD DE CIENCIAS DE GESTIÓN Y COMUNICACIONES ESCUELA PROFESIONAL DE ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS ASIGNATURA: ESTADÍSTICA APLICADA A LA GESTIÓN CICLO: V SESIÓN: 03 DOCENTE: Dr. RICHARD PAREDES

2. Resultado de la sesión 3: Al finalizar la sesión, el estudiante resuelve ejercicios de probabilidades aplicando distribución Binomial, Poisson e Hipergeométrica, escuchando activamente las opiniones de sus compañeros. Sesión : Distribuciones de probabilidad para una variable aleatoria discreta: Binomial, Poisson e Hipergeométrica

3. ¿Cuál es la importancia de las distribuciones de probabilidad discretas especiales?

4. Distribuciones de probabilidad para una variable aleatoria discreta.

5. ¿Determine la probabilidad de en c ontrar dos to rnill os defectuosos e n un lote de die z ? ¿E l sexo de un bebe est a r á asociado a una distribución de probabilidad ? ¿El paso de los vehículos por la estación de peaje tendrá un comportamiento probabilistico ?

6. Autónoma ¿Se podrá determinar la probabilidad y el numero medio de tornillos buenos en un lote de diez que se escogen de manera aleatoria?

7. Definición:

8. PROCESO DE BERNOULLI

9. DISTRIBUCION BERNOULLI. Se denomina Variable Aleatoria V.A. de Bernoulli a la V.A. ( X ) que toma solamente dos valores y 1 con función de probabilidad dado por: Esperanza y varianza

10. Ejemplo Un experimento consta de tres ensayos de Bernoulli y la probabilidad de éxito p en cada ensayo. X es la variable aleatoria que representa el número de éxitos en los tres ensayos. Hallar la distribución de probabilidad:

11. EXCEL

12. DISTRIBUCIÓN BINOMIAL Es el modelo de probabilidad que consta de una secuencias de n ensayos independientes. Por ensayos independientes se entiende que el resultado de cada ensayo no depende en forma alguna del resultado de los ensayos anteriores

13. EJEMPLO GRÁFICO DE LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL . Cuanto más grande es el número de ensayos la gráfica se aproxima a una campana

14. Ejemplo : La probabilidad de que una computadora no funcione un día cualquiera es 0.26. Si en un laboratorio hay 15 computadoras, ¿Cuál es la probabilidad? De que al menos dos fallen. De tres a doce fallen. De que a lo más cuatro fallen. Exactamente todas fallen. Cuál es el número esperado de computadoras que fallen. Intérprete.

15. DISTRIBUCIÓN DE POISSON Este modelo de probabilidad suele ser una aproximación adecuada de cualquier fenómeno aleatorio que ocurre sobre una base por unidad (o por unidad de área, por unidad de volumen, por unidad de tiempo, etc.)

16. EJEMPLO DE GRÁFICO DE LA DISTRIBUCIÓN DE POISSON

17. Ejemplo Las personas llegan aleatoriamente a la ventanilla de un banco a razón de 24 personas en una hora durante el período de tiempo entre 11.30 a.m. y 12.30 m de cierto día. Hallar la probabilidad de: Que lleguen cinco personas en un período de 12 minutos. Que lleguen por lo menos diez personas en ocho minutos. Que lleguen a lo más doce personas en veinte minutos.

18. a) ¿Que lleguen 5 personas en 12 minutos? Datos iniciales Llegadas: 24 personas por hora → tasa por minuto: tasa por minuto=24/60 ​= 0.4 personas/minuto. Para t minutos, λ=0.4 1. Calcular λ: Λ = 0.4 × 12 = 4.8. Fórmula de Poisson:

19. b) ¿Que lleguen por lo menos 10 personas en 8 minutos? Es extremadamente improbable que lleguen 10 o más personas en un intervalo de solo 8 minutos cuando la media es 3.2.

20. c) ¿Que lleguen a lo más 12 personas en 20 minutos? Con media 8 en 20 minutos, hay ~93.6% de probabilidad de que lleguen 12 o menos personas (es decir, que un valor mayor a 12 es relativamente poco probable).

21. Ejemplo: Durante el periodo en que una universidad local hace registros por teléfono, las llamadas entran a una razón de una cada 2 minutos. ¿Cuál es el número esperado de llamadas en una hora? ¿Cuál es la probabilidad de tres llamadas en 5 minutos? ¿Cuál es la probabilidad de que no haya llamadas en un periodo de 5 minutos?

22. 1. Identificar la tasa ( λ ) Nos dicen: 1 llamada cada 2 minutos → tasa = ½ = 0.5 llamadas por minuto. Entonces: En 1 hora (60 min) : λ = 60 × 0.5 = 30 llamadas. En 5 min : λ = 5 × 0.5 = 2.5 llamadas. 2. Recordar la fórmula de Poisson donde X = número de llamadas, λ = promedio esperado en el intervalo, k = número exacto de eventos. a) Número esperado de llamadas en 1 hora E[X] = λ = 30 En promedio se esperan 30 llamadas por hora

23. b) Probabilidad de 3 llamadas en 5 min En 5 min : λ = 5 × 0.5 = 2.5 llamadas c) Probabilidad de cero llamadas en 5 min En 5 min : λ = 5 × 0.5 = 2.5 llamadas P(X=0) ≈ 0.0821 (8.2%). EXCEL

24. Es el modelo de probabilidad apropiado para seleccionar una muestra aleatoria de n artículos sin reemplazo de un lote de N artículos, de los cuales D son disconforme o defectuosos. (tienen el atributo de interés) DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA .

25. Supuestos DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD HIPERGEOMÉTRICA Los resultados de cada ensayo de un experimento se clasifican en dos categorías exclusivas: éxito o fracaso. La variable aleatoria es el número de éxitos de un número fijo de ensayos. Los ensayos no son independientes. Los muestreos se realizan con una población finita sin reemplazo y n/N > 0.05. Por lo tanto, la probabilidad de éxito cambia en cada ensayo.

26. Ejemplo: Metal Alfa SAC., tiene 50 empleados en el departamento de ensamblado. Sólo cuarenta de ellos pertenecen al sindicato. Se eligen al azar cinco empleados para formar un comité que hablará con la empresa sobre los horarios de inicio de los turnos. ¿Cuál es la probabilidad de que cuatro de los cinco empleados elegidos para formar parte del comité pertenezcan a un sindicato? En este caso : N es igual a 50, el número de empleados. D tiene un valor de 40, el número de empleados sindicalizados. x es igual a 4, el número de empleados sindicalizados elegidos. n vale 5, el número de empleados elegidos.

27. INTERPRETACIÓN Por consiguiente, la probabilidad de elegir al azar a 5 trabajadores de ensamblado de los 50 trabajadores y encontrar que 4 de 5 son sindicalizados es de 0.431. EXCEL

28. APLICANDO LO APRENDIDO Trabajo Colaborativo Se plantea casos empresariales sobre variables aleatorias y distingue la presencia de variables aleatorias especiales en un fenómeno o situación de la realidad. Se presenta el avance del caso empresarial que se llevará durante todo el curso y que será presentado y expuesto durante 4 veces, con avances y entrega final del Trabajo de Estadística Aplicada.

29. Distribución de Probabilidad Discretas EJEMPLOS: Sobre: Distribución Binomial Distribución Hipergeométrica Distribución de Poisson

30. Distribución Binomial Un experimento binomial consiste de una serie de n pruebas o ensayos fijados antes de realizar el experimento. Las n pruebas o ensayos son independientes entre sí. Las pruebas son idénticas y cada una puede resultar en uno de dos resultados: Éxito (E) o Fracaso (F). La probabilidad de éxito es constante de una prueba a otra y se denota por p.

31. Distribución Binomial

32. Distribución Binomial En un proceso de fabricación se produce unidades pre coladas con un 1% de unidades defectuosas. Todos los días se someten a prueba 10 unidades seleccionadas al azar de la producción diaria. Si existen fallas en una o más de estas unidades se detiene el proceso de producción. ¿Cuál es la probabilidad de encontrar dos unidades defectuosas? x=2 ¿Cuál es la probabilidad de encontrar al menos dos unidades defectuosas? x>=2 ¿Cuál es la probabilidad de detener el proceso? x>=1 Calcule el valor esperado y el coeficiente de variabilidad del número de unidades no defectuosas.

33. Distribución Binomial En un proceso de fabricación se produce unidades pre coladas con un 1% de unidades defectuosas. Todos los días se someten a prueba 10 unidades seleccionadas al azar de la producción diaria. Si existen fallas en una o más de estas unidades se detiene el proceso de producción. a) ¿Cuál es la probabilidad de encontrar dos unidades defectuosas?

34. Distribución Binomial En un proceso de fabricación se produce unidades pre coladas con un 1% de unidades defectuosas. Todos los días se someten a prueba 10 unidades seleccionadas al azar de la producción diaria. Si existen fallas en una o más de estas unidades se detiene el proceso de producción. b) ¿Cuál es la probabilidad de encontrar al menos dos unidades defectuosas? , x>=2

35. = 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 = 1 – [(x=0)+(x=1)]= = (x=2), (x=3), (x=4), (x=5), (x=6), (x=7), (x=8), (x=9), (x=10) [(x=0)+(x=1)]+ (x=2), (x=3), (x=4), (x=5), (x=6), (x=7), (x=8), (x=9), (x=10) = 1 P(x>=2) 1

36. Distribución Binomial En un proceso de fabricación se produce unidades pre coladas con un 1% de unidades defectuosas. Todos los días se someten a prueba 10 unidades seleccionadas al azar de la producción diaria. Si existen fallas en una o más de estas unidades se detiene el proceso de producción. c) ¿Cuál es la probabilidad de detener el proceso? x>=1 x={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}

37. Distribución Binomial En un proceso de fabricación se produce unidades pre coladas con un 1% de unidades defectuosas. Todos los días se someten a prueba 10 unidades seleccionadas al azar de la producción diaria. Si existen fallas en una o más de estas unidades se detiene el proceso de producción. d) Calcule el valor esperado y el coeficiente de variabilidad del número de unidades no defectuosas.

38. De acuerdo a los datos brindados por el Autoridad Única de Transito (ATU), los sábados por la noche se ha observado que el 30% de los conductores que llegan a ser controlados con las pruebas de alcoholemia dan positivo en la prueba. Un oficial de transito durante su guardia, llega a inspeccionar a 10 condutores escogidos al azar . Si tenemos en cuenta que el número de conductores no es suficientemente importante como para afectar la proporción de infractores . Cual es la probabilidad de que: a) Exactamente dos conductores se encuentren en estado de ebriedad. X=2 A lo mucho 2 conductores se encuentran en estado de ebriedad. x<=2 Al menos 3 conductores se encuentren en estado de ebriedad. X>=3 Exactamente 2 conductores no se encuentren en estado de ebriedad. X=2 Determinar la esperanza matemática y a varianza de número de conductores en estado de ebriedad. https://www.youtube.com/watch?v=pQcW08APims

39. Distribución Hipergeometrica Los elementos de la muestra a estudiar se seleccionan al azar, sin reposición o sin sustitución o sin reemplazo , es decir el elemento se revisa y anota su condición una sola vez. Estudia eventos no independientes (muestreo sin reemplazo). Los experimentos o ensayos pueden tener dos o más resultados posibles. La probabilidad de éxito cambia de ensayo a ensayo. Se utiliza cuando las extracciones no pueden ser con reposición debido a ensayos o pruebas destructivas y además el tamaño del lote no es lo suficientemente grande respecto al tamaño de la muestra como para poder suponer despreciable la variación en las proporciones. Donde: N= Tamaño de la población n= Tamaño de la muestra C= Todos o cantidad de elementos que cumplen con la característica deseada X= Nro. de éxitos

40. Distribución Hipergeométrica Esperanza de una Distribución Hipergeométrica Varianza de una Distribución Hipergeométrica Donde: N= Tamaño de la población n= Tamaño de la muestra r= Cantidad de elementos que cumplen con la característica deseada X= Nro. de éxitos

41. Distribución Hipergeométrica Un lote contiene 100 piezas de un proveedor de tubería local y 200 unidades de un proveedor de tubería del estado vecino . Si se seleccionan cuatro piezas al azar y sin reemplazo. ¿Cuál es la probabilidad de que todas sean del proveedor local? x=4 ¿Cuál es la probabilidad de que dos o más piezas de la muestra sean del proveedor local? x>=2 ¿Cuál es la probabilidad de que al menos una pieza de la muestra sea del proveedor local? x>=1 Estime el valor esperado y la desviación estándar.

42. Distribución Hipergeometrica Un lote contiene 100 piezas de un proveedor de tubería local y 200 unidades de un proveedor de tubería del estado vecino. Si se seleccionan cuatro piezas al azar y sin reemplazo. a) ¿Cuál es la probabilidad de que todas sean del proveedor local? 00 Donde: N= Tamaño de la población n= Tamaño de la muestra r= Cantidad de elementos que cumplen con la característica deseada X= Nro. de éxitos

43. Distribución Hipergeométrica Un lote contiene 100 piezas de un proveedor de tubería local y 200 unidades de un proveedor de tubería del estado vecino. Si se seleccionan cuatro piezas al azar y sin reemplazo. b) ¿Cuál es la probabilidad de que dos o más piezas de la muestra sean del proveedor local?

44. Distribución Hipergeométrica Un lote contiene 100 piezas de un proveedor de tubería local y 200 unidades de un proveedor de tubería del estado vecino. Si se seleccionan cuatro piezas al azar y sin reemplazo. c) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos una pieza de la muestra sea del proveedor local?

45. Distribución Hipergeométrica Un lote contiene 100 piezas de un proveedor de tubería local y 200 unidades de un proveedor de tubería del estado vecino. Si se seleccionan cuatro piezas al azar y sin reemplazo. d) Estime el valor esperado y la desviación estándar.

46. Una fabrica de vehículos, en la última semana produjo 17 vehículos, de los cuales la Autoridad Estatal de control de Calidad tomó una muestra aleatoria de 7 vehículos para control. El ingeniero de planta indica al gerente que 8 de los 17 vehículos tienen una leve falla en el motor . Cual es la probabilidad de que en la muestra encuentren: Exactamente 3 con fallas de motor. x=3 con fallas, r=8 A lo mucho 2 con las fallas de motor. X<=2 con fallas, r=8 Por lo menos 3con fallas de motor. x>=3 con fallas. r=8 Exactamente 3 sin fallas de motor. X=3 sin fallas. r=9

47. Distribución de Poisson La distribución de probabilidad de Poisson describe el número de veces que se presenta un evento durante un intervalo específico. El intervalo puede ser de tiempo, distancia, área o volumen. La variable aleatoria es el número de veces que ocurre un evento durante un intervalo definido. La probabilidad de que ocurra el evento es proporcional al tamaño del intervalo. Los intervalos no se superponen y son independientes.

48. Función de Probabilidad Distribución de Poisson Donde: P(x) = Probabilidad de x ocurrencias en un intervalo λ = valor esperado o número medio de ocurrencias en un intervalo e = 2.71828 Varianza de una Distribución de Poisson Esperanza de una Distribución de Poisson

49. En la inspección del pavimento y asfalto de una carretera recién construida se ha detectado que presenta en promedio 1,25 baches o fisuras cada cuatro kilómetros . Determine la probabilidad de que en el siguiente kilómetro se encuentre dos baches o fisuras. x=2 Determine la probabilidad de que en los siguientes dos kilómetros se encuentre al menos tres baches o fisuras. x>=3 El costo de reparación de estos defectos es de $35 por cada bache o fisura detectado. ¿Cuál será el costo esperado al inspeccionar 80 km de esta carretera? Distribución de Poisson

50. En la inspección del pavimento y asfalto de una carretera recién construida se ha detectado que presenta en promedio 1,25 baches o fisuras cada cuatro kilómetros. a) Determine la probabilidad de que en el siguiente kilómetro se encuentre dos baches o fisuras. Distribución de Poisson

51. En la inspección del pavimento y asfalto de una carretera recién construida se ha detectado que presenta en promedio 1,25 baches o fisuras cada cuatro kilómetros. b) Determine la probabilidad de que en los siguientes dos kilómetros se encuentre al menos tres baches o fisuras Distribución de Poisson

52. En la inspección del pavimento y asfalto de una carretera recién construida se ha detectado que presenta en promedio 1,25 baches o fisuras cada cuatro kilómetros. c) El costo de reparación de estos defectos es de $35 por cada bache o fisura detectado. ¿Cuál será el costo esperado al inspeccionar 80 km de esta carretera? Distribución de Poisson

53. Una cierta área del Río Rímac es afectado en promedio por 6 desbordes al año, encuentra la probabilidad de que en un determinado año esta área será afectada por: Exactamente 3 desbordes en el año. x=3 A lo sumo 2 desbordes en el año. x<=2. Al menos 2 desbordes en el año. X>=2. x={2,3,4,…infinito} x={0,1,2} d) Determine la esperanza matemática y la varianza.

54. CONCLUSIONES

55. METACOGNICIÓN ¿De qué manera lo aprendido aporta en mi carrera profesional?

56. COMPROBANDO LO APRENDIDO ¿Cuál es la importancia de las distribuciones de probabilidad discretas especiales?

57. Referencias: Anderson, D. (2008). Estadística para Administración y Economía. Décima edición . Cengage. Learning . (311/A002) Anderson, D. (2012 ). Estadística para Negocios y Economía. Décima primera edición. Cengage. Learning . (519.5/A59) Levine, R. y Rubín D. (2004). Estadística para administración y economía. Séptima edición. México.