SESION 8 momento de inercia.pdf

curso de estatica UTP momento de inercia

1. MOMENTO DE
INERCIA
Dr. IngJONY LAZO RAMOS

2. CONTENIDO
2 -2
➢Introducción
➢Momentos de inercia de un área
➢Momento de inercia de un área por integración
➢Momento polar de inercia
➢Ejemplos
➢Teorema del eje paralelo
➢Momentos de inercia de áreas compuestas
➢Ejemplos
➢Producto de la inercia

3. I.INTRODUCCION

4. Energía cinéticarotacional
m
2
m
3
m4
m
m
1
eje

v =R
Objeto que rota a constante
Considere masa pequeñam:
K =½mv
2
K =½m(R)
2
K =½(mR
2
)
2
Suma para encontrar Ktotal:
K =½(mR
2
)
2
(½
2
igual para toda m)
Definición de inerciarotacionalo momento
de inercia :
I =mR
2

5. •El momentodeinerciaes lacapacidadderesistencia que
tiene uncuerpo,asufriruna transformación.
•Porello podemosdecirqueelmomentodeinercia sólo
dependedelageometríadel cuerpoy de la posición
delejedegiro;peronodependedelas fuerzasque
intervienenenelmovimiento.

6. MOMENTO DE INERCIA
En detalle:
El momento de inercia será la suma individual de cada una de las
masas ??????
??????que componen un cuerpo multiplicado por la distancia al cuadrado
??????
??????
�
hacia el eje de rotación:
??????=෍??????
????????????
??????
�
??????
�
??????
�
??????
�
??????
�

7. ¿Cuál de los dos giros es más difícil de realizar?
Dado que el momento de inercia
??????=෍??????
????????????
??????
�
es menor al hacer el giro 1 que al hacer el giro 2 y
que
෍??????=????????????
al aplicar el mismo torque en el giro 1 y en el giro 2
se tendrá más aceleración angular en el giro 1.
Entonces, mientras más extendido este el cuerpo con
respecto al eje de rotación (tiene más momento de
inercia) mayor será el torque necesario para obtener
la misma aceleración angular.
FIS109A –2: Física 2
do
semestre 2014

8. DETERMINACIÓN DEL
MOMENTODEINERCIADE
UNÁREAPORINTEGRACIÓN

9. 1)-MOMENTODEINERCIARESPECTOALEJE“x”
�
�=∫�
2
????????????
MOMENTODE INERCIAPARAUNAAREAPOR
INTEGRACION:

10. 2)-MOMENTODE INERCIARESPECTOALEJE“y”
�
�=∫�
2
????????????

11. Calculo de los momentos de inercia de la sección
rectangular que se muestra a continuación.

12. Calculo del momento de inercia de la sección
rectangular con respecto al eje y (I
y)

17. TEOREMADELOSEJES
PARALELOSPARAUNÁREA
OTEOREMA DESTEINER

18. Definición.-Considereelmomentode inerciaIde unáreaAconrespectoa unejeAA´.serepresentacony la distancia
desdeunelementode áreadAhastaAA´,seescribe
:
Ahora, en el centroide C del área un eje BB´que es paralelo a AA´, dicho eje es llamado eje centroidal. Representando
con y´la distancia desde el elemento dA hasta BB´, se escribe y= y´+ d, donde d es la distancia entre los ejes AA´y BB´.
Sustituyendo por y en la integral anterior,se escribe:
TEOREMA DE LOS EJES PARALELOS
PARA UN AREA
=0

21. TEOREMA DE LOS EJES PARALELOS
2 -21
•Momento de inercia de un área circular con
respecto a una tangente al círculo,()
1
2 4 2 2
4
5
4
4

T
I I Ad r r r
r


= + = +
=
•Momento de inercia de un triángulo con
respecto a un eje centroidal,
I
A A
=I
B B
+Ad
2
I
B B
=I
A A
−Ad
2
=
1
12
bh
3
−
1
2
bh
1
3
h()
2
=
1
36
bh
3

22. MOMENTOS DE INERCIA DEÁREAS
COMPUESTAS

23. ÁREACOMPUESTA:Esaquella
queestadividaen
áreascomponentes,
ejemplo
dividida
eláreaA
envarias
varias
por
esta
áreas:
A1,A2yA3
Elmomentodeinerciadeunáreacompuestaqueconstadefigurasconocidas
sehallaráaplicandolasformulasqueseencontraranenlastablas,sin
embargoenalgunasocasionesantesdesumarlosmomentosdeinerciaserá
necesarioutilizarelteoremadelosejesparalelosestudiadoanteriormente.

24. •ELMOMENTODEINERCIADEUN
ÁREASIEMPREES POSITIVO
sin importar la posición del eje
respecto al cual se realizará.
•Antes de realizar el procedimiento para
hallar el momento deinerciase podrá
requerir conocer elcentroide.

25. 2 -25
•El momento de inercia de un área compuesta A alrededor de un eje
dado se obtiene sumando los momentos de inercia de las áreas
componentes.A
1, A
2, A
3, ... , con respecto al mismo eje.

28. PRODUCTOSDEINERCIA

29. Elproductodeinerciaesimportanteparahallar
elmomentodeinerciamáximoymínimopara
elárea.Estosvaloresmáximosymínimosson
importantes paradiseñarelementos
estructuralesymecánicoscomovigasy
columnas.
Elproductodeinerciadeláreaconrespecto
alafigura mostradacon respectoalosejes
XyY se definecomo:

30. TEOREMADE LOS EJESPARALELOS

33. MOMENTODEINERCIAPOLAR DE
UNAAREA

34. Esunacantidadutilizadaparapredecirhabilidadpararesistirla
torsiónenlosobjetos(osegmentosdelosobjetos)conun
invariantecirculardeseccióntransversalysindeformaciones
importantesofueradelplanodedeformaciones.
Elmomentodeinerciadeunáreaenrelaciónauneje
perpendicularasuplanosellamamomentopolardeinercia,yse
representaporJ.

35. ElmomentodedAconrespectoalpoloOoalejez,es
denominado momentopolardeinercia
Aquí,resladistanciaperpendiculardesdeelpolo(ejez)hastael
elementodA.Paratoda eláreaelmomentopolarde inerciaes:
�??????=∫??????
2
????????????=��+ ��
??????
2
=�
2
+�
2
,loquehace posibleunarelación entre��,��y �??????:

36. EJEMPLO
2 -36( )
2
23
00
2
22
O
rr
OO
dJ u dA dA udu
J dJ u udu u du


==
= = =   4
2
rJ
O

=
:
Determine el momento polar centroidalde inercia de un área circular por integración
directa;
Se selecciona dAcomo un elemento anular diferencial de área.
Como todas las porciones del área diferencial están a la misma
distancia desde el origen, se escribe