Sifat kelengkapan pada analisis real unt

materi tentang analisis real

1. Sifat kelengkapanpada R
Definisi3.1.1
Diberikansubset takkosongS ℝ
a.HimpunanS dikatakanterbataskeatas
(bounded above) jikaterdapatsuatu
bilangan
u ℝsedemikianhinggas u untuksemua
s S . Setiapbilanganu sepertiinidisebut
denganbatasatas(upper bound) dariS

2. b. HimpunanS dikatakanterbataskebawah
(bounded below) jikaterdapatsuatubilangan
wℝsedemikiansehinggaw s untuk
semua
s S. Setiapbilanganw sepertiinidisebut
denganbatasbawah(lower bound) dariS.

3. c. Suatuhimpunandikatakanterbatas(bounded) jika
terbataskeatasdanterbataskebawah. Jika tidak,
makadikatakantidakterbatas(unbounded).
Definisi1.3.2DiberikanS bubsettidakkosongℝ
a.JikaSterbataskeatas, makasuatubilanganu
disebutsupremum(batasatasterkecil) dariSjika
memenuhikondisiberikut:
(1). umerupakanbatasatasS, dan
(2). JikavadalahsebarangbatasatasS, makauv
Ditulisu= sup S

4. b. JikaS terbataskebawah, makasuatubilangan
u disebutinfimum(batasbawahterbesar) dari
S jikamemenuhikondisiberikut:
(1). w merupakanbatasbawahS, dan
(2). Jikat adalahsebarangbatasbawahS,
maka
t w
Ditulisw= infS

5. Suatusubset takkosongS ℝmempunyaiempat
kemungkinan, yaitu
•Mempunyaisupremumdaninfimum
•Hanyamempunyaisupremum
•Hanyamempunyaiinfimum
•Tidakmempunyaisupremumdaninfimum

6. CONTOH
1.JikaS
1hanyamempunyaiberhinggaunsur, maka
dapatditunjukkanbahwaS
1mempunyaiunsur
terbesarudanunsurterkecilv. Makau= sup S
1danv
= infS
1. Dimanaudanvunsur-unsurdiS
1
2.HimpunanS
2= {xℝ: 0 x1}. Himpunanini
mempunyaibatasatasterkecil1 danbatasbawah
terbesar0 yang keduanyaterletakpadaS
2
3.HimpunanS
3= {x ℝ: 0 < x< 1}. Himpunanini
mempunyaibatasatasterkecil1 danbatasbawah
terbesar0 tetapikeduanyatidakterletakpadaS
3