Simplificación y operaciones con radicales y fracciones complejas

Simplificar expresiones con radicales
Operaciones con radicales
Simplificar fracciones complejas

1. PROF. CARLOS MARTÍNEZ | OPERACIONES CON RADIC ALES Y FRACCIONES CO MPLEJAS

Prof. Carlos Martínez
1

I. Radicales
A. Conceptos
1. Definiciones: nm
a , donde:
► , es el radical
► a, se conoce como la base
► m, viene a ser el exponente
► n, se le conoce como el índice
► a
m
, viene a ser el radicando

2. Algunas reglas básicas:
a) n
m
nm
aa b) nnn baba 
c) aaaa
nnn mnnm



d) n
n
n
b
a
b
a
 e) nmnm
aa


f) nmnm
aaa

 g) nm
n
m
a
a
a


 Al radicando debemos dejarlo expresado en su forma mínima reducida (fmr).
 Cuadrados o cubos perfectos son aquéllos que sus raíces son los enteros.
 Siempre que sea posible, vamos a descomponer al radicando en bases que, al menos, una de ellas
su exponente sea igual al índice.
► Para lograr esto, podemos utilizar la factorización prima (método
del árbol) en los coeficientes numéricos.
► De otra forma, puede factorizar al radicando en factores que uno de ellos sea un
cuadrado o cubo perfecto. O que el factor tenga potencia igual al índice del radical.
► Cuando tengamos variables, vamos a descomponerlas en factores, los cuales
uno de sus exponentes va a ser el múltiplo mayor del índice, pero menor al
exponente con el que se está trabajando.
 Para que la raíz cuadrada o índices pares sean real, el radicando NO PUEDE SER NEGATIVO ;
mientras que en la cúbica o índices impares SÍ PUEDE SER.

B. Completa la siguiente tabla.
a a
2
a
3 2
a
33
a
1 1
2
= 1 1
3
= 1
2
· 1= 1 2
1
= 11
2
2
 111
3
3
33

2 2
2
= 2·2 = 4 2
3
= 2
2
·2 = 4·2 = 8 2224
2
2
2

2228
3
3
333

3 3
2
= 3·3 = 9 3
3
= 3
2
·3 = 3·3·3 = 27 3339
2
2
2

33327
3
3
333

4
5

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C. Simplifica los radicales, dejándolos expresado en la forma de radical. No uses calculadora.

1] _________4

2 2
2
2


2] _________9

3 3
3
2


5] -2 _________________45
15
w
3] _________12


2 6



2 3


3 1

2
2
· 3
6] 5 _________________54
3 7
x






4] _____________18
5
x


2 9


3 3



3 3 Múltiplos del 2: 2, 4, 6, …
5 – 4 = 1
3
2
· 2 x
5
= x
4
· x
1


7] - _______________322
3 1011
 wy





Veamos lo que podemos hacer con el
exponente de la variable:
1- Se buscan los múltiplos del
índice.
2- Luego, se procede a escoger el
más grande, cercano al
exponente que estamos
trabajando, pero que sea
menor.
3- Se resta el nuevo exponente
del exponente original.

Podemos descomponer al radicando 12
en factores que uno de ellos sea un
cuadrado perfecto.
Veamos los factores de 12:
1, 12; 2, 6; 3, 4
Podemos expresar a 4312

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II. Operaciones con radicales
A. Suma y la resta de expresiones con radicales
1. Condiciones:
► El radicando y el índice tienen que ser iguales para poder llevar a cabo las operaciones.
► El radicando debe estar en su forma mínima reducida.
► Se siguen usando las reglas de los signos algebraicos que conoces.

B. Lleva a cabo la operación que se indica. Deja expresado el resultado en la forma de radical. No uses
calculadora. Investiga si se encuentra algún error solapado.

1] 252)32(2322 

6] 2yx
3 + yx
3 = ______

2] 575)103(51053 

3] ______18382 
213
2924
2)3(32)2(2
293242





7] ______32372183284 










4] __________276755 

3963255 
3363255 
3183251 
3071




8] _______512244
3 43 7
 xx



8] ________________24
3 28
y

9] __________________1327
5919
wyx

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4
2
5] ________1621282
3 543 147
 wywy










9] ______83325
53
xx





II. Fracciones complejas

A. Simplificar fracciones complejas

Se considera que una expresión que presenta una fracción en el numerador, denominador o ambos es
una fracción compleja.

Veamos la siguiente fracción compleja:

cb
da
c
d
b
a
d
c
b
a
d
c
b
a







B. Simplifica las siguientes fracciones complejas. Identifica lo que representan a, b, c, d. Demuestra todo el
proceso.
1] 3
2
32
41
4
3
2
1




bc
ad
a = 1, b = 2, c = 3, d = 4
6] _______
12
6
24
8





2] ________
4
3
12



7] ________
7
3
2
3
2
1








3] _______
2
4
17





EXTREMOS MEDIOS
Podemos observar que, finalmente, ad
(extremos) es el nuevo numerador y bc
(medios), el nuevo denominador.

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D. Multiplicación de expresiones con radicales

► Para simplificar, deben tener el mismo índice.
► Se coteja si al multiplicar los radicando el producto es un cuadrado o cubo perfecto.
► De lo contrario, se recomienda simplificar al radical antes de multiplicar.

1] 2422 


5] 23 x 73 = ______





2] 66)2(3233223 

3] _____18382 
72
436
23226
292432





6] ______18324 










4] __________326755 

21632530 
234530 
6600




7] _______542*34
3




4] _______
5
6
3
10





8] ______
5
2
4
2
7
3




5] _______
5
7
8
6





Podemos multiplicar a los
radicando y si el producto es
cuadrado perfecto, se
simplifica. Veamos,
72
126
1446
18382





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6
8] ________16244
33











9] ______23325
33


E. División de expresiones con radicales

► En el denominador no puede permanecer un radical.

► Para simplificar a la expresión, se procede a racionalizar al denominador. Para ello se multiplica por el
mismo radical o por uno que convierta al denominador en un cuadrado o cubo perfecto (respecto al
índice dado).


1] _____
3
2


3
6
3
3
*
3
2




4] 23 x 73 = ______





2] ______
72
53


14
353
7*2
353
7
7
*
72
53







3] _____
23
2412
3
3


5] ______
183
24










Podemos encontrar el nuevo
exponente del radicando,
restando el índice menos el
exponente del radicando
anterior. Veamos,
22
3 213



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7 3
33
33
33
32
32
3
3
124
4322
4382
2*3
42412
2
2
*
23
2412







6] __________
186
24



9
2
)18(6
)6(4
)18(6
364
18
18
*
186
24





7] _______
542
34
3
3




8] ________
4020
124












9] ______
53
325
