Sintesis de clase Pandeo Parte 213233231

Universidad nacional de la PLata

1. Estructuras III
Podemos representar una determinada función, en el plano, a través de una
ecuación de la forma y = f(x) la cual representa los infinitos puntos que la
componen.
Hay funciones que se expresan en forma discreta por puntos separados por
un intervalo, en donde para cada valor de x
k
se tiene un valor y
k
, y a un
determinado intervalo s se tendrá otro punto x
k+1 asociado a un valor y
k+1.
Estas funciones no tienen una ecuación que las represente, y en general se
requieren otros parámetros, como por ejemplo los máximos y mínimos, por
lo que son necesarias sus derivadas de primer y segundo orden.
Concepto de Diferencia Finitas
Este mismo concepto se puede aplicar para obtener derivadas de orden
superior.

2. y
Función real que
se desconoce
y
k-2
x
Podemos aproximar la derivada primera en x
k
de la función como la
pendiente de la recta que une los puntos yk+1 e yk-1
x
kx
k-1
x
k+1 x
k+2
x
k-2
s s
y
k-1
y
k
y
k+1
y
k+2
ss

3. Podemos expresar de esta misma forma la derivada segunda como la pendiente
de la derivada primera de los puntos A y B separados una distancia s
y
x
x
k
x
k-1 x
k+1
s s
y
k-1
y
k
y
k+1y
k+1
– y
k-1
Pendiente real
Pendiente aproximada
y´
k (y
k+1 – y
k-1)/2s
y”
k
(y´
B
– y´
A
)/s
B
A
y”
k
[(y
k+1
- y
k
)/s – (y
k
- y
k-1
)/s]/s
y”
k (y
k+1 - 2y
k + y
k-1)/s
2

4. La exactitud de este método depende del intervalo s, el cual debe
ser lo más pequeño posible tal que los puntos discretos representen de
manera fiel a la función real.
Si el intervalo es muy grande puede perderse información y las derivadas
tendrán un gran error en relación a las reales.
y
x
x
k
x
k-1 x
k+1
s s
y
k-1 y
k
y
k+1y
k+1
– y
k-1
Pendiente real
Pendiente aproximada
en x
k
Se puede observar el
efecto de haber adoptado
un tamaño inadecuado
del intervalo s

5. Como esta desarrollado en el apunte partimos de la ecuación diferencial de
la elástica y reemplazamos las funciones continuas y” e y, por sus
expresiones discretas, las cuales ahora se deberán aplicar en todos los
puntos en que dividimos nuestra columna.
EJy
aplicando DF (y
k+1 - 2y
k + y
k-1)/s
2
+ y
k = 0
y
k+1 + y
k( s
2
– 2)+ y
k-1 = 0
Aplicación de Diferencias Finitas en Pandeo
Nota: Es importante destacar que esta ecuación discretizada es aplicable a
columnas articuladas – articuladas y empotradas – libres donde M
x = P.y
En los casos donde el Mx es diferente se deberá aplicar la discretización a la
ecuación diferencial de cada caso particular.

6. En el apunte se comienza aplicando el método en columnas de J cte. que,
si bien no es necesario dado conocer las soluciones exactas, permite ver
la exactitud del método por comparación.
Este método es de aplicación, preferentemente, en columnas de J
variable o columnas formadas por tramos diferentes que, de otra
manera, como se ve en la Síntesis de Clase 2, sería un poco compleja
su resolución.
Nota: En los ejemplos del apunte con J cte., se aplicaba simetría para
simplificar los problemas. En el caso de J variable no siempre se puede
usar ese concepto y se debe analizar cada columna en particular por la
existencia o no de simetría.

7. En estos casos la aplicación de la expresión
y
k+1
+ y
k
( s
2
– 2)+ y
k-1
= 0
Sería común a todos los puntos, debiéndose prestar atención el
término , ya que este término contiene a J, el cual podrá ser
diferente en cada punto que analicemos.
Por este motivo lo identificaremos como
1,
2, ….
n, según el caso.

8. Discretizamos la
columna con un
intervalo s = L/4
Ejemplo de J variable
L
P
s
y
0
= 0
y
1
y
2
y
3
y
4 = 0
s
s
s
Aplicamos nuestra
ecuación diferencia
discretizada en
cada punto.
y
k+1 + y
k( s
2
– 2)+ y
k-1 = 0

9. Podemos observar ahora un sistema
de 3 ecuaciones con 3 incógnitas
con solución trivial. Por lo tanto,
para que tenga solución distinta de
cero su determinante debe ser nulo.
Nota: No se aplica en el punto y
0 ni y
4 dado que no conocemos los
puntos fuera de la columna, además que son cero, por lo tanto, no son
incógnitas.
Punto 1 y
2+ y
1( s
2
– 2)+ y
0 = 0 con = P/EJ
1

Punto 2 y
3
+ y
2
( s
2
– 2)+ y
1
= 0 con = P/EJ
2
Punto 3 y
4
+ y
3
( s
2
– 2)+ y
2
= 0 con = P/EJ
3
0
0
Reagrupando términos
y
2
+ y
1
( s
2
– 2) = 0

y
3+ y
2( s
2
– 2)+ y
1 = 0
y
3( s
2
– 2)+ y
2 = 0

10. ( s
2
– 2) 1 0

1 ( s
2
– 2) 1 = 0
0 1 ( s
2
– 2)
Sistema de donde se obtendrá la Pcrit de nuestra columna.
Así mismo debemos recordar que podemos saber entre que valores
estará nuestra carga.
< P
crit
<

11. Discretizamos la
columna con un
intervalo s = L/4
Ejemplo de columna por tramos
L
P
s
y
0
= 0
y
1
y
2
y
3
y
4 = 0
s
s
s
Aplicamos nuestra
ecuación diferencia
discretizada en
cada punto.
y
k+1 + y
k( s
2
– 2)+ y
k-1 = 0
L/2, J
1
L/2, J
2

12. El desarrollo de este ejemplo es exactamente igual que el anterior
tomando el recaudo de usar en cada punto el valor de J que
corresponde.
El único inconveniente en este caso es ¿qué valor de J tomamos
para el punto 2?
Para poder visualizar esto debemos
ver que hacen las líneas de tensión
dentro del material en la unión de
los dos tramos.
Las líneas punteadas son las
direcciones de las tensiones
normales y su separación
representa su intensidad.
Mas juntas mayor tensión
Estas partes
no trabajan y
es como si no
estuvieran
Podemos ver que las líneas se acomodan a la nueva sección en una
longitud de transición (Lt), por lo que se puede asumir que, en punto de
unión de las dos secciones, la columna se comporta como si fuera la de
menor sección, por lo que asumiremos para ese punto el valor de J1.
Lt

13. Nuestro sistema de ecuaciones quedará:
Punto 1 y
2+ y
1( s
2
– 2)+ y
0 = 0 con = P/EJ
1

Punto 2 y
3+ y
2( s
2
– 2)+ y
1 = 0 con = P/EJ
1
Punto 3 y
4
+ y
3
( s
2
– 2)+ y
2
= 0 con = P/EJ
2
0
0
De aquí en adelante los pasos a seguir son idénticos al del ejemplo
anterior, sin olvidarnos del intervalo de cargas donde se encontrará
nuestro resultado.
< P
crit <

14. s
y
0 = 0
y
1
y
3
y
4
= 0
s
s
s
s
y
0
= 0
y
1
y
3
y
4 = 0
s
s
s
y
2
s
y
0
= 0
y
1
y
3
y
4
= 0
s
s
s
y
2y
2
Las tres columnas tienen distintas cargas críticas.
La columna A tendrá un Pcrit mayor que B y esta mayor que C si fueran
resueltas por algún método exacto.
Es importante observar con este ejemplo la correcta elección del
tamaño del intervalo s.
A B C

15. Sin embargo, con la aplicación de este método y el intervalo s grosero
adoptado, las tres columnas darán la misma carga crítica.
Solo podríamos ver la diferencia tomando un intervalo s más pequeño,
tal que en las ecuaciones se vea el cambio de sección en distintas alturas.
El hecho de dividir la columna en más
puntos implica la resolución de
determinantes cada vez más grandes.
En este caso de 7 x 7.
s
y
0 = 0
y
1
y
3
y
8 = 0
y
2
s = L/8
y
4
y
5
y
6
y
7
B
Nota: Observemos que con este s=L/8
todavía la Pcrit de la columna A sería
igual a la B.
Tendría que ser aún más pequeño para
tener la resolución suficiente.

16. Discretizamos la
columna con un
intervalo s = L/4
Ejemplo de columna empotrada libre
L
P
s
y
0
y
1
y
2
y
3
y
4
s
s
s
Adoptando las elásticas
de esta forma, no
podemos aplicar la
ecuación en el punto 0,
dado no contar con
puntos fuera de la
columna
L/2, J
1
L/2, J
2

17. Cambiamos nuestra referencia de las elásticas diciendo que y
0
= 0
y extendemos nuestra columna hacia abajo como si el empotramiento
fuera un espejo
y
0 = 0
y
1
y
2
y
3
y
4
y
8 = 0
y
7
y
6
y
5
L
Vemos en este caso que tenemos
simetría respecto al punto 4 por lo
que podemos afirmar que y
3 = y
5, por
lo que solo debemos aplicar las
ecuaciones hasta el punto 4.
Punto 1 y
2+ y
1( s
2
– 2)+ y
0 = 0

Punto 2 y
3+ y
2( s
2
– 2)+ y
1 = 0
Punto 3 y
4+ y
3( s
2
– 2)+ y
2 = 0
Punto 4 y
5+ y
4( s
2
– 2)+ y
3 = 0
0
y
3

18. Reescribiendo las ecuaciones y armando el determinante
Punto 1 y
2
+ y
1
( s
2
– 2) = 0

Punto 2 y
3+ y
2( s
2
– 2)+ y
1 = 0
Punto 3 y
4+ y
3( s
2
– 2)+ y
2 = 0
Punto 4 y
4( s
2
– 2)+ 2y
3 = 0
( s
2
– 2) 1 0 0

1 ( s
2
– 2) 1 0
= 0
0 1 ( s
2
– 2) 1
0 0 2 ( s
2
– 2)

19. Método de Recurrencia
Hemos visto que para tener mejores resultados debemos achicar el
intervalo de discretización, pero así mismo crece la cantidad de ecuaciones
lo que dificulta la resolución del determinante.
Esto se puede evitar por medio del método de recurrencia, es decir
encontrar la carga crítica mediante aproximaciones sucesivas. Tomemos
las ecuaciones del caso anterior sin reemplazar la condición y
3
= y
5
y
2+ y
1( s
2
– 2) = 0

y
3
+ y
2
( s
2
– 2)+ y
1
= 0
y
4+ y
3( s
2
– 2)+ y
2 = 0
y
5 + y
4( s
2
– 2)+ y
3 = 0
Dado que estamos en el equilibrio
indiferente podemos darle a y
1
un
valor arbitrario, por ejemplo, y
1
= 1
Podemos ahora despejar y
2 de la
primera ecuación y reemplazando en
las otras despejar todas las elásticas
hasta y
5

20. y
2
= y
1
(2 - s
2
) Reemplazando en la segunda
y
3 = y
2(2 - s
2
) - y
1 => y
3 = (2 - s
2
)
2
– 1
reemplazamos en la tercera
y
4 = y
3(2 - s
2
) - y
2 => y
4 = [(2 - s
2
)
2
-1](2 - s
2
) - (2 - s
2
)

y terminamos reemplazamos última
y
5 = y
4(2 - s
2
) – y
3 =>
y
5 = {[(2 - s
2
)
2
-1](2 - s
2
) - (2 - s
2
)} (2 - s
2
) - (2 - s
2
)
2
+ 1
1
Vemos ahora que todas las elásticas dependen de P (contenido en α). Si
probamos con un valor de P, obtendremos todas las elásticas pudiendo
verificar si la carga elegida es la correcta cuando obtengamos que y
3
= y
5

por condición de simetría.

21. Siempre recordar antes de iterar verificar las cargas extremas del
problema. Para este caso de empotrado – libre:
< P
crit <
En el caso de la columna articulada – articulada, reemplazamos
término a término hasta obtener y
4 (sin darle el valor 0), de forma de
verificar nuestra carga critica cuando y
4 llegue próximo a cero.

22. Veremos un ejemplo, donde por condiciones de borde, Mx ≠ P.y como el
caso de una columna empotrada – articulada.
Ejemplo de aplicación en Ecuación Diferencial
no homogénea
Discretizamos la
columna con un
intervalo s = L/4
Nuestra ecuación diferencial
quedará:
L
P
R
s
s
s
s
y
0 = 0
y
2
y
1
y
3
y
4
= 0
EJ
(x) y

23. Aplicamos nuestra ecuación diferencial discretizada en cada punto.
(y
k+1
- 2y
k
+ y
k-1
) + = R.x
k
/EJ
i
s
2
Punto 1 y
2
+ y
1
( s
2
– 2)+ y
0
= R.s.s
2
/EJ
1
con = P/EJ
1

Punto 2 y
3+ y
2( s
2
– 2)+ y
1 = R.2s.s
2
/EJ
2 con = P/EJ
2
Punto 3 y
4
+ y
3
( s
2
– 2)+ y
2
= R.3s.s
2
/EJ
3
con = P/EJ
3
0
0
Reagrupando términos
y
2
+ y
1
( s
2
– 2) – Rs
3
/EJ
1
= 0

y
3+ y
2( s
2
– 2)+ y
1 - R2s
3
/EJ
2 = 0
y
3
( s
2
– 2)+ y
2
- R3s
3
/EJ
3
=0
Podemos observar ahora que
tenemos un sistema de tres
ecuaciones con cuatro
incógnitas (y1, y2, y3 y R),
por lo que debemos plantear
otra ecuación.
y
k+1
+ y
k
( s
2
– 2)+ y
k-1
= R.x
k
.s
2
/EJ
i

24. Hay una condición muy importante que no se ha manifestado en las
ecuaciones planteadas y es que en el punto 4, si bien su elástica es
cero, su pendiente es nula por condición del empotramiento.
Por lo tanto, planteamos una ecuación más en ese punto, pero
necesitamos un punto fuera de la columna.
Para esto extendemos la elástica más allá del
empotramiento y
3
y
4
= 0
y
5
Planteamos entonces la derivada primera en el
punto 4 la cual sabemos que es nula:
y´
4
(y
5
– y
3
)/2s = 0
s
s
Por lo tanto, y
3 = y
5
Aplicamos nuestra ecuación diferencial discreta en el punto 4

25. La cual es la ecuación faltante, quedando nuestro sistema:
y
2
+ y
1
( s
2
– 2) – Rs
3
/EJ
1
= 0

y
3
+ y
2
( s
2
– 2)+ y
1
- R2s
3
/EJ
2
= 0
y
3( s
2
– 2)+ y
2 - R3s
3
/EJ
3 =0
2y
3
- R.4s
3
/EJ
4
= 0
0
y
5+ y
4( s
2
– 2)+ y
3 = R.4s.s
2
/EJ
4 => 2y
3 = R.4s
3
/EJ
4

26. ( s
2
– 2) 1 0 -s
3
/EJ
1

1 ( s
2
– 2) 1 -2s
3
/EJ
2
= 0
0 1 ( s
2
– 2) -3s
3
/EJ
3
0 0 2 -4s
3
/EJ
4
Armamos el determinante y lo igualamos a cero de donde se
obtendrá la Pcr.
Podemos obtener los valores extremos para este caso de empotrado
– articulado:
< P
crit
<