Sistem Bilangan Riil, urutan, interval, Pertidaksamaan.pptx

Sistem Bilangan Riil, urutan, interval, Pertidaksamaan

1. Kalkulus Elementer I Sistem Bilangan Real, Urutan , Interval, Pertidaksamaan , dan Nilai Mutlak

2. Bilangan Rasional Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan a/b, di mana a dan b adalah bilangan bulat, dan b tidak sama dengan nol . Bilangan rasional mempunyai bentuk desimal yang berulang atau bentuk desimal yang berhenti. Misalnya :  

3. Bilangan Irasional Bilangan irasional adalah bilangan riil yang tidak dapat dinyatakan sebagai pecahan dua bilangan bulat (p/q), yang memiliki representasi desimal tak terhingga dan tidak berulang. Contoh : , , , e  

4. Bilangan Riil Bilangan Riil ( ) adalah himpunan semua bilangan yang dapat direpresentasikan pada garis bilangan kontinu, mencakup bilangan rasional (seperti pecahan dan desimal berulang) dan bilangan irasional .  

5. Sistem Bilangan Real Himpunan bilangan asli (natural disimbolkan = {1, 2, 3, 4, . . .} Himpunan bilangan bulat (integer) disimbolkan . = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .} Himpunan bilangan rasional disimbolkan . Contohnya: 2, 1/2, −11/22, . . . Himpunan bilangan real disimbolkan . Contohnya: 0, , , , e , π, . . .  

6. Sistem Bilangan Real Jelas bahwa Jelas bahwa ⊂ ⊂ ⊂  

7. Sifat-Sifat Bilangan Real Untuk maka Sifat komutatif Sifat asosiatif Sifat distributive Unsur satuan ( identitas ) sehingga 1 sehingga  

8. Sifat-Sifat Bilangan Riil Mempunyai Invers Terhadap penjumlahan yaitu , sehingga Terhadap perkalian yaitu sehingga Trikotomi Jika x dan y bilangan riil , maka berlaku atau atau Transitif Jika dan , maka  

9. Sifat-Sifat Bilangan Riil Penambahan Perkalian , untuk z positif , untuk z negatif  

10. Urutan Himpunan bilangan real dipisahkan oleh bilangan 0 menjadi dua bagian, yaitu bagian yang lebih besar 0 selanjutnya disebut bilangan positif dan bagian yang lebih kecil 0 selanjutnya disebut bilangan negatif .  

11. Urutan Dalam sistem bilangan real didefinisikan relasi urutan “ ” dibaca “lebih kecil dari”, sebagai: positif Tanda dibaca “jika dan hanya jika”, artinya jika positif dan positif jika . Penulisan sama artinya dengan , tanda “ ” dibaca “lebih besar dari”.  

12. Sifat-Sifat Urutan Trikotomi: untuk setiap dua bilangan x dan y hanya berlaku salah satu dari hubungan, x y atau x y atau x = y Transitif : jika x y dan y z maka x z Penambahan : x y x + z y + z Pengalian : jika z 0 maka x y xz yz jika z 0 maka x y xz yz  

13. Sifat-Sifat Urutan Contoh : Misalkan dan , jelas bahwa Jika , maka dan sehingga J ika , maka dan sehingga  

14. Selang (Interval) Suatu ruas garis pada garis bilangan dinamakan selang hingga. Suatu selang hingga mempunyai batas atas dan batas bawah. Selang tak hingga hanya diperoleh dalam kasus garis yang tak tebatas . Selang yang tidak memuat titik batasnya dinamakan selang buka dan yang memuat semua titik batasnya dinamakan selang tutup.

15. Selang (Interval)

16. Selang (Interval) Contoh : Gambarkan selang dan penulisan himpunan dar i : a. b. c. d. e.  

17. Pertidaksamaan Suatu bilangan a dikatakan lebih besar dari bilangan b dan ditulis a > b hanya jika b lebih kecil dari a dan ditulis b < a. Tanda " > " dan " < " disebut tanda pertidaksamaan .

18. Pertidaksamaan Secara umum, jika x < y dengan x, y ∈ R. Maka y − x adalah bilangan positif atau ditulis y − x > 0. Dalam hal ini, x < y artinya sama dengan y > x. Contohnya 1 < 2, maka 2 − 1 = 1 > 0. Oleh karena itu pada garis bilangan real, angka 1 berada disebelah kiri angka 2.

19. Sifat- sifat Pertidaksamaan Jika a ≠ 0 maka berlaku salah satu hubungan a < b, a > b, atau a = b. Jika a < b, dan b < c maka a < c. Jika a < b dan c adalah bilangan real maka a + c < b + c Jika a < b dan c > 0 maka ac < bc. Jika a < b, dan c < 0 maka ac > bc. Jika 0 < a < b maka  

20. Pertidaksamaan Contoh 1 : = Contoh 2 : =  

21. Pertidaksamaan Contoh Tentukan nilai x yang memenuhi pertidaksamaan Tentukan nilai x yang memenuhi pertidaksamaan Tentukan nilai x yang memenuhi pertidaksamaan  

22. Pertidaksamaan Contoh Tentukan nilai x yang memenuhi pertidaksamaan Tentukan nilai x yang memenuhi pertidaksamaan Tentukan nilai x yang memenuhi pertidaksamaan  

23. Nilai Mutlak Nilai mutlak a, ditulis |a| dan didefinisikan : Dari definisi tersebut terlihat bahwa |a| akan selalu positif atau 0, tidak pernah negatif .

24. Sifat Nilai Mutlak

25. Nilai Mutlak Sifat Pertidaksamaan dalam nilai mutlak

26. Nilai Mutlak Contoh Tentukan nilai x yang memenuhi Tentukan nilai x yang memenuhi  

27. Latihan 1. Tentukan nilai x yang memenuhi: 2. Tentukan nilai x yang memenuhi 3. Tentukan nilai x yang memenuhi: