SISTEM KOORDINAT KARTESIUS, RELASI, FUNGSI.pptx

SISTEM KOORDINAT KARTESIUS, RELASI, FUNGSI

1. KALKULUS ELEMENTER I SISTEM KOORDINAT KARTESIUS, RELASI, FUNGSI OLEH: PRATAMA YULY NUGRAHA

2. SISTEM KOORDINAT KARTESIUS Sistem koordinat adalah metode untuk menentukan lokasi titik dalam sebuah ruang. Ada dua sistem koordinat utama yang sering digunakan, yaitu koordinat Kartesius dan koordinat polar . Keduanya punya cara berbeda dalam mendefinisikan posisi suatu titik. Untuk menunjukkan kedudukan suatu titik baik dalam bidang maupun dalam ruang digunakan sistem koordinat. Titik dalam suatu bidang dapat diidentifikasi dengan pasangan terurut dari bilangan-bilangan real. Bilangan-bilangan real tersebut diurutkan dalam garis real, sehingga pasangan terurutnya terbentuk dari dua garis real. Biasanya, dua garis real tersebut diposisikan untuk berpotongan di titik asal O .

3. SISTEM KOORDINAT KARTESIUS Sistem koordinat tersebut dinamakan sistem koordinat Kartesius , yang dikenalkan oleh matematikawan Perancis bernama Rene Descartes (1596-1650). Sistem ini menggunakan dua garis sumbu yang saling tegak lurus: sumbu x (horizontal) dan sumbu y (vertikal). Kedua sumbu ini berpotongan di satu titik yang disebut titik asal atau titik origin (0,0). Posisi suatu titik ditentukan oleh jaraknya dari kedua sumbu ini..

4. SISTEM KOORDINAT KARTESIUS Misalkan dalam suatu bidang, terdapat titik (yang bernama) P yang diletakkan di pasangan (a, b). Dalam hal ini, a disebut koordinat x dari P dan b disebut koordinat y dari P. Titik P disimbolkan dengan P(a, b).

5. SISTEM KOORDINAT KARTESIUS Sistem koordinat siku-siku terdiri atas dua garis bilangan real yang saling berpotongan tegak lurus di titik O. Garis bilangan yang mendatar dinamai sumbu X dan garis bilangan yang tegak dinamai sumbu Y. Titik potong O dinamai titik asal.

6. SISTEM KOORDINAT KARTESIUS Notasi: Titik ditulis sebagai pasangan terurut ( x,y ), di mana: x adalah absis , yaitu jarak horizontal dari sumbu y. y adalah ordinat , yaitu jarak vertikal dari sumbu x Kuadran: Bidang koordinat Kartesius terbagi menjadi empat kuadran yang diberi nomor dari I hingga IV, berlawanan arah jarum jam. Kuadran I (+,+): x positif, y positif. Kuadran II (-,+): x negatif, y positif. Kuadran III (-,-): x negatif, y negatif. Kuadran IV (+,-): x positif, y negatif.

7. JARAK DUA TITIK PADA BIDANG DATAR Misalkan dan adalah dua titik pada bidang koordinat Cartesius seperti Gambar di bawah , maka adalah proyeksi titik pada sumbu-𝑥 dan adalah proyeksi titik pada sumbu-𝑦, demikian juga untuk dan .  

8. JARAK DUA TITIK PADA BIDANG DATAR Selanjutnya dan berpotongan di titik T maka segitiga adalah segitiga siku-siku dengan dan Dengan menggunakan Teorema Pythagoras diperoleh :  

9. JARAK DUA TITIK PADA BIDANG DATAR Contoh : Misalkan dan maka jarak dan adalah :  

10. Carilah jarak antara titik A(2,3) dan titik B(5,7). C ari lah jarak antara titik A(−1,−2) dan titik B(4,10). Carilah jarak antara titik C(−3,5) dan titik D(2,−7).

11. SISTEM KOORDINAT KUTUB (POLAR) Sistem koordinat selanjutnya adalah sistem koordinat kutub, yang dikenalkan oleh Newton. Dimulai dari memilih titik pole (atau asal) dalam bidang yang dilabeli dengan O. Lalu menggambarnya dari titik O yang disebut polar axis . Biasanya polar axis (sumbu kutub) digambar secara horisontal ke kanan.

12. SISTEM KOORDINAT KUTUB (POLAR) Jika P adalah titik lain dalam bidang tersebut, r menyatakan jarak dari titik O ke titik P, dan θ adalah sudut antara sumbu kutub dan garis OP; Maka titik P dinyatakan oleh pasangan terurut (r, θ), dan disebut koordinat kutub dari P.

13. SISTEM KOORDINAT KUTUB (POLAR) Sistem koordinat ini menggunakan sudut yang dapat diukur baik dalam satuan derajat maupun radian (rad). Dalam hal ini, π rad = 180°

14. KONVERSI DARI KOORDINAT KARTESIUS KE KUTUB Jika titik P memiliki koordinat Kartesius (x, y) dan koordinat kutub (r, θ), maka , dan .  

15. KONVERSI DARI KOORDINAT KARTESIUS KE KUTUB Dari gambar di atas diperoleh hubungan jika pada koordinat kartesius titik P( x,y ) diketahui maka koordinat kutub P(r, θ) dapat ditentukan dengan langkah dan menggunakan rumus sebagai berikut. Menentukan nilai r Menentukan sudut θ atau  

16. KONVERSI DARI KOORDINAT KUTUB KE KARTESIUS Jika koordinat kutub titik P(r, θ) diketahui maka koordinat kartesius titik P( x,y ) dapat ditentukan dengan menggunakan langkah dan rumus sebagai berikut. Menentukan nilai x Menentukan nilai y  

17. KONVERSI DARI KOORDINAT KUTUB KE KARTESIUS Contoh 1. Ubah titik P(4,4) ke sistem koordinat kutub ! 2. Ubah titik dari koordinat kutub ke koordinat Kartesius !  

18. Latihan S ebuah titik dalam koordinat Kartesius ( x,y )=(4,3). Ubahlah menjadi koordinat polar (r, θ). Ubah titik Q(−3,−4) ke sistem koordinat kutub. Ubah titik R(4,5π/6​) dari koordinat kutub ke Kartesius. Ubah titik T(10,23 π​) dari koordinat polar ke Kartesius .

19. RELASI Relasi adalah hubungan antara anggota dari dua himpunan. Secara matematis, relasi adalah himpunan pasangan berurutan ( x,y ), di mana x adalah anggota himpunan pertama (disebut domain ) dan y adalah anggota himpunan kedua (disebut kodomain ). Anggota-anggota yang berpasangan dengan anggota domain disebut range . Domain : Himpunan semua elemen pertama ( input ) dari pasangan berurutan. Kodomain : Himpunan semua elemen kedua ( output ) yang mungkin. Range : Himpunan semua elemen kedua ( output ) yang sebenarnya dipasangkan.

20. Relasi Contoh sederhana relasi adalah "lebih tua dari". Jika himpunan A adalah {Budi, Rina} dan himpunan B adalah {Andi, Siti, Budi}, maka relasi "lebih tua dari" bisa berupa {(Budi, Andi), (Budi, Siti)}. Di sini, domain adalah {Budi} dan kodomain adalah {Andi, Siti, Budi}, sementara range adalah {Andi, Siti}.

21. RELASI Contoh 1: Misalkan A = {Hasan, Tanti, Rommi, Yusuf, Aditya} adalah himpunan mahasiswa, B = {Toyota, Daihatsu , Mercedes, BM W} adalah himpunan kendaraan. Misalkan R adalah relasi yang menyatakan mahasiswa dan mobil yang dikendarainya. R = {(Hasan, Daihatsu ), (Rommi, Toyota), (Yusuf, Mercedes), (Aditya, Toyota)} Ini berarti Hasan mengendarai Daihatsu , Rommi mengendarai Toyota, Yusuf mengendarai Mercedes, dan Aditya mengendarai Toyota. Tanti tidak mengendarai mobil apapun . Mobil BM W tidak dikendarai siapapun di dalam relasi itu.

22. RELASI Contoh 2 . Misalkan P = {2, 3, 4} dan Q = {2, 4, 8, 9, 15}. Jika kita definisikan relasi R dari P ke Q dengan jika p habis membagi q maka kita peroleh R = {(2, 2), (2, 4), (4, 4), (2, 8), (4, 8), (3, 9), (3, 15) }  

23. RELASI PADA SEBUAH HIMPUNAN Relasi pada sebuah himpunan adalah relasi yang khusus Relasi pada himpunan A adalah relasi dari Relasi pada himpunan A adalah himpunan bagian dari . Contoh 3. Misalkan R adalah relasi pada A = {2, 3, 4, 8, 9} yang didefinisikan oleh (x, y) R jika x adalah faktor prima dari y. Maka : R = {(2, 2), (2, 4), (2, 8), (3, 3), (3, 9)}  

24. REPRESENTASI RELASI Representasi Relasi dengan Diagram Panah

25. REPRESENTASI RELASI Representasi Relasi dengan Tabel P Q 2 2 2 4 4 4 2 8 4 8 3 9 3 15 A A 2 2 2 4 2 8 3 3 3 3

26. REPRESENTASI RELASI Representasi Relasi dengan Matriks Misalkan R adalah relasi dari dan Relasi R dapat disajikan dengan matriks ,  

27. Latihan Diketahui himpunan A={2,3,4,5} dan himpunan B={4,6,8,10}. Relasi yang menghubungkan himpunan A ke himpunan B adalah "setengah dari". Tentukan relasi tersebut dalam bentuk himpunan pasangan berurutan dan buatlah diagram panahnya. Diketahui himpunan P={1,2,3} dan himpunan Q={2,3,4}. Relasi yang menghubungkan P ke Q adalah "kurang dari". Tentukan himpunan pasangan berurutannya.

28. Fungsi Fungsi adalah jenis relasi yang lebih spesifik. Fungsi adalah relasi di mana setiap anggota domain harus berpasangan dengan tepat satu anggota kodomain . Aturan ini adalah kunci pembeda antara relasi dan fungsi. Setiap input hanya boleh menghasilkan satu output .

29. FUNGSI Misalkan A dan B himpunan. Relasi biner dari ke merupakan suatu fungsi jika setiap elemen di dalam dihubungkan dengan tepat satu elemen di dalam . Jika adalah fungsi dari ke kita menuliskan yang artinya memetakan ke . disebut daerah asal (domain) dari dan disebut daerah hasil ( codomain ) dari . Nama lain untuk fungsi adalah pemetaan atau transformasi. Kita menuliskan jika elemen di dalam dihubungkan dengan elemen di dalam .  

30. Fungsi Aturan yang membedakan fungsi dari relasi biasa adalah: Setiap anggota di domain harus berpasangan dengan tepat satu anggota di kodomain. Ini berarti: Setiap input memiliki pasangan : Tidak ada input yang "jomblo". Semua elemen di domain harus memiliki panah yang keluar menuju kodomain . Setiap input hanya memiliki satu pasangan : Tidak boleh ada satu input yang terhubung ke lebih dari satu output . Ini adalah alasan mengapa relasi seperti "hobi" (satu orang punya banyak hobi) bukan fungsi.

31. Representasi Fungsi Fungsi dapat direpresentasikan dalam berbagai cara: 1. Diagram Panah Sama seperti relasi, fungsi dapat digambarkan dengan diagram panah. Namun, untuk fungsi, setiap elemen di domain harus memiliki tepat satu panah keluar . 2. Himpunan Pasangan Berurutan Fungsi dapat ditulis sebagai himpunan pasangan ( x,y ), di mana x adalah input dan y adalah output . Ciri khasnya, tidak ada dua pasangan yang memiliki nilai x yang sama tetapi nilai y yang berbeda. Contoh Fungsi : {(1,2),(3,4),(5,6)} Contoh Bukan Fungsi : {(1,2),(1,3)} (nilai input 1 memiliki dua output : 2 dan 3) 3. Grafik Pada grafik Kartesius , sebuah relasi disebut fungsi jika dan hanya jika tes garis vertikal berhasil. Tes ini menyatakan bahwa jika Anda dapat menggambar garis vertikal di mana pun pada grafik dan garis tersebut hanya memotong grafik di satu titik, maka itu adalah fungsi. Jika garis memotong grafik di lebih dari satu titik, itu bukan fungsi.

32. Representasi Fungsi 4. Persamaan Fungsi sering kali diwakili oleh persamaan seperti f(x)=x ^2 +1. Simbol f(x) dibaca "f dari x" dan menunjukkan bahwa nilai output bergantung pada nilai input x. Misalnya, jika x=2, maka f(2)=2 ^2 +1=5. Setiap kali Anda memasukkan 2, Anda akan selalu mendapatkan 5.

33. FUNGSI Himpunan yang berisi semua nilai pemetaan disebut jelajah ( range ) dari . Perhatikan bahwa jelajah dari adalah himpunan bagian (mungkin proper subset ) dari B .  

34. Fungsi Contoh Fungsi: "Umur“ Himpunan A (Domain) : {Andi, Budi, Sinta} Himpunan B ( Kodomain ) : {20, 21, 22, 23} Relasi "Umur" dapat diwakili oleh pasangan berurutan sebagai berikut: {(Andi, 20), (Budi, 21), (Sinta, 22)} Dalam contoh ini, setiap orang (anggota domain) hanya memiliki satu umur (anggota kodomain ). Andi memiliki umur 20 tahun, Budi memiliki umur 21 tahun, dan Sinta memiliki umur 22 tahun. Setiap input (orang) memiliki satu dan hanya satu output (umur), sehingga ini adalah fungsi.

35. Fungsi Fungsi juga bisa digambarkan dengan persamaan, seperti f(x)=x2. Untuk setiap nilai x yang Anda masukkan, Anda akan mendapatkan satu nilai y. Misalnya, jika x=2, maka f(2)=2 ^2 =4. Anda tidak akan pernah mendapatkan dua nilai y yang berbeda dari satu nilai x.

36. FUNGSI Contoh 1. Relasi dari ke adalah fungsi dari ke . Di sini . Daerah asal dari adalah dan daerah hasil adalah . Jelajah dari adalah yang dalam hal ini sama dengan himpunan .  

37. FUNGSI Contoh 2 . Relasi dari ke bukan fungsi, karena tidak semua elemen dipetakan ke . Contoh 3 . Relasi dari ke bukan fungsi, karena 1 dipetakan ke dua buah elemen , yaitu dan .  

38. SIFAT-SIFAT FUNGSI Fungsi injektif adalah fungsi dengan tiap elemen kodomain tidak mempunyai relasi lebih dari satu dengan elemen domain. Fungsi injektif disebut juga dengan "fungsi satu-satu" karena tiap elemen kodomain hanya boleh berelasi satu kali. Contoh. Relasi dari ke adalah fungsi satu-ke-satu, Tetapi , relasi dari ke bukan fungsi satu-ke-satu, karena  

39. Sifat-Sifat Fungsi

40. SIFAT-SIFAT FUNGSI Fungsi Surrjektif Fungsi f dikatakan fungsi surrjektif jika semua elemen kodomain berelasi dengan elemen domain. Fungsi surjektif juga disebut fungsi " on-to ". Contoh : Relasi dari ke merupakan fungsi surrjektif karena semua anggota merupakan jelajah dari .  

41. Sifat-Sifat Fungsi

42. SIFAT-SIFAT FUNGSI Fungsi Bijektif Fungsi bijektif adalah fungsi yang memenuhi sifat injektif dan surjektif . Fungsi bijektif juga disebut fungsi korespondensi satu-satu, karena elemen domain dan kodomain semuanya berelasi satu-satu. Contoh. Relasi dari ke adalah fungsi yang berkoresponden satu-ke-satu, karena f adalah fungsi satu-ke-satu maupun fungsi pada.  

43. Sifat-Sifat Fungsi

44. SIFAT-SIFAT FUNGSI