Sistema de Amortização Misto (SAM)-MFN_un7Edit(2).pdf

Sistema de Amortização
Misto (SAM)

1. Matemática
Financeira

2. 1? edi??o
2017
Matemática
Financeira

3. 7 3
Unidade de Estudo 7
Sistema de Amortização
Misto (SAM)
Para iniciar seus estudos
Nesta unidade você aprenderá um pouco sobre o sistema de amortização
misto. Ele é um método que depende que você entenda os conceitos de
sistema de amortização constante e sistema price. Portanto, fique atento
aos conceitos de cada um dos métodos.
Objetivos de Aprendizagem
• Apresentar o sistema de amortização misto e mostrar como são
feitos os cálculos.
• Apresentar o Sistema Price
• Apresentar o Sistema de Amortização Constante (SAC)
• Conceituar o Sistema de Amortização Misto.
• Apresentar um esquema mostrando os passos necessários para se
calcular a amortização segundo o SAM.

4. 4Matem?tica Financeira | Unidade de Estudo 7 – Sistema de Amortização Misto (SAM)
7.1. Conceitos Iniciais
Na Unidade 6 aprendemos sobre a amortização de dívidas pelo Sistema de Amortização Constante (SAC). Nesta
unidade, vamos aprender sobre o Sistema de Amortização Misto (SAM). Esse sistema depende que você entenda
primeiro os conceitos e os métodos de se calcular a amortização pelo Sistema de Amortização Constante (SAC)
e o Sistema Price.
Como já falamos sobre o SAC na Unidade 6, vamos apresentar o Sistema Price e relembrar rapidamente como é
feita a planilha SAC. Depois disso discorreremos sobre o objetivo da aula, que é falar sobre o Sistema de Amorti-
zação Misto (SAM).
7.2. Sistema Price (Prestações Iguais)
Nesse sistema, o devedor deve pagar o empréstimo em prestações iguais e postecipadas (sem entrada). Em
cada uma das prestações está incluída uma amortização parcial do empréstimo e os juros sobre o saldo devedor
(VERAS, 2012).
As prestações são sempre constantes pelo Sistema Price.
Considere que:
PMT: valor da prestação.
i: taxa de juro.
PV: valor do empréstimo.
n: número de prestações.
Price é uma palavra em inglês que significa preço ou prestação. Por isso, tal sistema possui
prestações iguais.
Gloss?rio
As prestações serão como em uma renda imediata cujo valor presente é PV. Ou seja:
()11
n
PV
PMT
i
i
−
=
−+

5. 5Matem?tica Financeira | Unidade de Estudo 7 – Sistema de Amortização Misto (SAM)
O Quadro 7.1 ilustra todos os procedimentos que você precisa para construir a tabela de amortização pelo Sis-
tema Price.
Quadro 7.1 – Planilha do Sistema Price
Legenda: Planilha do sistema de amortização pelo Sistema Price.
Fonte: Elaborado pelo autor (2016).
Você deve seguir os seguintes passos para construir a tabela pelo Sistema de Amortização Price:
• 1º passo) Calcular a prestação PMT pela expressão fornecida.
• 2º passo) Calcular o juro do primeiro período.
• 3º passo) Calcular a amortização do primeiro período.
• 4º passo) Calcular o saldo devedor do primeiro período.
• 5º passo) Repetir os passos de 1 a 4 até preencher a tabela.
Exemplo 7.1
Bianca fez um empréstimo de R$10.000,00 e pretende pagá-lo após quatro meses com uma taxa de juros de 1%
a.m., utilizando o Sistema Price. Calcule o pagamento mensal e construa a planilha da dívida.
Os dados fornecidos no enunciado do problema são:
$10.000,00PV R=
4n meses=
1% . . 0,01 . .i am am= =

6. 6Matem?tica Financeira | Unidade de Estudo 7 – Sistema de Amortização Misto (SAM)
O valor da prestação é dado por:
()11
n
PV
PMT
i
i
−
=
−+
( )
4
10000
1 1 0,01
0,01
PMT
−
=
−+
$2.562,81PMT R=
Agora vamos construir a tabela pelo Sistema Price.
• Para o primeiro período temos:
1
. 10000.0,01 $100,00J PV i R= = =
11
2562,81 100 $2.462,81A PMT J R= −= − =
11
10000 2462,81 $7.537,19S PV A R= −= − =
• Para o segundo período temos:
21
. 7537,19.0,01 $75,37J Si R= = =
22
2562,81 75,37 $2.487,44A PMT J R= −= − =
212
7537,19 2487,44 $5.049,75S SA R=−= − =
• Para o terceiro período temos:
32
. 5049,75.0,01 $50,50J Si R= = =
33
2562,81 50,50 $2.512,31A PMT J R= −= − =
3 23
5049,75 2512,31 $2.537,44SSA R=−= − =
• Para o quarto período temos:
43
. 2537,44.0,01 $25,37J Si R= = =
44
2562,81 25,37 $2.537,44A PMT J R= −= − =
4 34
2537,44 2537,44 $0SSA R=−= − =

7. 7Matem?tica Financeira | Unidade de Estudo 7 – Sistema de Amortização Misto (SAM)
Finalmente, temos a seguinte tabela pelo Sistema Price..
Quadro 7.2 – Planilha do Exemplo 7.1
Legenda: Planilha Price para o Exemplo 7.1.
Fonte: Elaborado pelo autor (2016).
Podemos concluir então que o valor da prestação ou pagamento é de R$2.562,81 e a tabela Price está mostrada
no Quadro 7.2.
Pelo Excel, vamos calcular o valor da prestação ou pagamento.
Figura 7.1 – Exemplo 7.1 no Excel
Legenda: Cálculo do pagamento (prestação) no Excel do Exemplo 7.1.
Fonte: Elaborado pelo autor (2017).

8. 8Matem?tica Financeira | Unidade de Estudo 7 – Sistema de Amortização Misto (SAM)
Agora vamos calcular o valor dos juros no primeiro período.
Figura 7.2 – Exemplo 7.1 no Excel
Legenda: Cálculo do juro do primeiro período no Excel do Exemplo 7.1.
Fonte: Elaborado pelo autor (2017).
Agora vamos calcular o valor da amortização para o primeiro período.
Figura 7.3 – Exemplo 7.1 no Excel
Legenda: Amortização do primeiro período no Excel do Exemplo 7.1.
Fonte: Elaborado pelo autor (2017).
Agora vamos calcular o saldo devedor do primeiro período.
Figura 7.4 – Exemplo 7.1 no Excel
Legenda: Saldo devedor do primeiro período no Excel do Exemplo 7.1.
Fonte: Elaborado pelo autor (2017).

9. 9Matem?tica Financeira | Unidade de Estudo 7 – Sistema de Amortização Misto (SAM)
Agora vamos fazer o seguinte procedimento. Na linha 4, na célula D4, devemos selecioná-la, clicarmos e segurar-
mos na borda inferior direita e arrastarmos até a célula D7. Repita para as células E4 e F4, e teremos como resultado
a Figura 7.5.
Figura 7.5 – Exemplo 7.1 no Excel
Legenda: Cálculo do saldo devedor do primeiro período no Excel do Exemplo 7.1.
Fonte: Elaborado pelo autor (2017).
Quando existem vários períodos, é muito mais fácil e rápido fazermos os cálculos pelo Excel. Portanto, entenda
os procedimentos que foram feitos, pois será muito útil.
7.3. Sistema de Amortização Constante (SAC)
Nesse sistema, o valor da amortização é sempre constante.
Volte a Unidade 6 da disciplina de Matemática Financeira, intitulada “Sistema de Amortização:
Sistema de Amortização Constante (SAC)” para entender mais sobre esse sistema.

10. 10Matem?tica Financeira | Unidade de Estudo 7 – Sistema de Amortização Misto (SAM)
O Quadro 7.3 ilustra todos os procedimentos que você precisa para construir a tabela de amortização pelo sistema
SAC.
Quadro 7.3 – Planilha do Sistema SAC
Legenda: Planilha para construção do sistema de amortização pelo Sistema SAC.
Fonte: Elaborado pelo autor (2016).
Os passos que você deve seguir para montar a tabela SAC são:
• 1º passo) Calcular a amortização pela expressão
PV
A
n
= .
• 2º passo) Calcular o juro do primeiro período.
• 3º passo) Calcular o valor da prestação do primeiro período.
• 4º passo) Calcular o saldo devedor do primeiro período.
• 5º passo) Repetir os passos de 1 a 4 até preencher a tabela.
Como já resolvemos uma grande quantidade de exercícios sobre o método de amortização pelo Sistema de
Amortização Constante (SAC), não há necessidade de fazermos mais exercícios.
Seria possível afirmarmos que um dos sistemas de amortização (SAC ou Price) proporciona
maiores valores para as prestações? Veja nos exemplos a seguir para chegar a uma conclusão.

11. 11Matem?tica Financeira | Unidade de Estudo 7 – Sistema de Amortização Misto (SAM)
7.4. Sistema de Amortização Misto (SAM)
Nesse sistema, cada pagamento é uma média aritmética entre os sistemas Price e SAC (VERAS, 2012). Dessa
forma, é necessário que você saiba calcular o valor do pagamento ou da prestação tanto pelo Sistema Price
quanto pelo SAC.
Se chamarmos de PMT o valor da prestação pelo Sistema Price e
12
, ,...,
n
PP P os valores das prestações no SAC,
podemos calcular as prestações
12
' , ' ,..., '
n
PP P do SAM, utilizando as expressões a seguir:
1
1
'
2
PMT P
P
+
=
2
2
'
2
PMT P
P
+
=
.
.
.
'
2
n
n
PMT P
P
+
=
Quando você estiver trabalhando com o Sistema de Amortização Misto, você deve buscar
sempre encontrar os valores das prestações para os sistemas Price e SAC. Esse é o objetivo
principal. Apenas depois disso que você poderá proceder à construção da tabela SAM.

12. 12Matem?tica Financeira | Unidade de Estudo 7 – Sistema de Amortização Misto (SAM)
O Quadro 7.4 apresenta a planilha do sistema de amortização mista.
Quadro 7.4 – Planilha do Sistema Misto (SAM)
Legenda: Planilha do Sistema de Amortização Misto (SAM).
Fonte: Elaborado pelo autor (2016).
Exemplo 7.2
Thiago realizou um empréstimo de R$10.000,00 e pretende pagá-lo após quatro meses, com uma taxa de juros
de 1% a.m., utilizando o SAM. Construa a planilha da dívida.
Os dados fornecidos no enunciado do problema são:
$10.000,00PV R=
4n meses=
1% . . 0,01 . .i am am= =
O valor da prestação é dado por:
()11
n
PV
PMT
i
i
−
=
−+
( )
4
10000
1 1 0,01
0,01
PMT
−
=
−+
$2.562,81PMT R=

13. 13Matem?tica Financeira | Unidade de Estudo 7 – Sistema de Amortização Misto (SAM)
Agora precisamos encontrar o valor das prestações pelo SAC.
A amortização é
10000
$2.500,00
4
AR= = .
• Para o primeiro período temos:
1
. 10000.0,01 $100,00J PV i R= = =
1 11
100 2500 $2.600,00PMT J A R=+= + =
11
10000 2500 $7.500,00S PV A R= −= − =
• Para o segundo período temos:
21
. 7500.0,01 $75,00J Si R= = =
2 22
75 2500 $2.575,00PMT J A R=+=+ =
2 11
7500 2500 $5.000,00S SA R=−= − =
• Para o terceiro período temos:
32
. 5000.0,01 $50,00J Si R= = =
3 33
50 2500 $2.550,00PMT J A R=+=+ =
3 23
5000 2500,00 $2.500,00SSA R=−= − =
• Para o quarto período temos:
43
. 2500.0,01 $25,00J Si R= = =
4 44
25 2500 $2.525,00PMT J A R=+=+ =
4 34
2500,00 2500,00 $0SSA R=−= − =
Agora vamos calcular as prestações pelo sistema misto:
1
1
2562,81 2600,00
' $2.581,41
22
PMT P
PR
+ +
= = =
2
2
2562,81 2575,00
' $2.568,91
22
PMT P
PR
+ +
= = =
3
32562,81 2550,00
' $2.556,41
22
PMT P
PR
+ +
= = =
4
4
2562,81 2525,00
' $2.543,91
22
PMT P
PR
+ +
= = =

14. 14Matem?tica Financeira | Unidade de Estudo 7 – Sistema de Amortização Misto (SAM)
Agora vamos encontrar os demais valores para construir a tabela.
• Para o primeiro período temos:
1
. 10000.0,01 $100,00J PV i R= = =
1 11
' 2581,41 100 $2.481,41APJ R= −= − =
11
10000 2481,41 $7.518,59S PV A R= −= − =
• Para o segundo período temos:
21
. 7518,59.0,01 $75,19J Si R= = =
2 22
' 2568,91 75,19 $2.493,72APJ R= −= − =
2 11
7518,59 2493,72 $5.024,87S SA R=−= − =
• Para o terceiro período temos:
32
. 5024,87.0,01 $50,25J Si R= = =
3 33
' 2556,41 50,25 $2.506,16APJ R= −= − =
3 23
5024,87 2506,16 $2.518,71SSA R=−= − =
• Para o quarto período temos:
43
. 2519,71.0,01 $25,20J Si R= = =
4 44
' 2543,91 25,20 $2.518,71APJ R= −= − =
4 34
2518,71 2518,71 $0SSA R=−= − =
Assim, temos a seguinte planilha SAM.
Figura 7.6 – Planilha do Sistema Misto (SAM) do Exemplo 7.2
Legenda: Planilha do Sistema de Amortização Misto (SAM).
Fonte: Elaborado pelo autor (2016).

15. 15Matem?tica Financeira | Unidade de Estudo 7 – Sistema de Amortização Misto (SAM)
Observe que é indispensável que você conheça os conceitos do sistema Price e do Sistema de Amortização Cons-
tante (SAC) para poder construir a planilha do Sistema de Amortização Misto (SAM).
Vamos resolver o Exemplo 7.2 pelo Excel.
Agora vamos calcular o valor da prestação. Observe a expressão que utilizamos na barra de fórmulas.
Figura 7.7 – Exemplo 7.2 no Excel
Legenda: Cálculo do valor do pagamento pelo método Price.
Fonte: Elaborado pelo autor (2017).
Agora vamos calcular o valor da amortização pelo método SAC. Observe a expressão que utilizamos na barra de
fórmulas.
Figura 7.8 – Exemplo 7.2 no Excel
Legenda: Cálculo do valor da amortização pelo sistema SAC
Fonte: Elaborado pelo autor (2017).

16. 16Matem?tica Financeira | Unidade de Estudo 7 – Sistema de Amortização Misto (SAM)
Agora vamos calcular o juro. Observe a expressão que utilizamos para calcular o juro na barra de fórmulas.
Figura 7.8.1 – Exemplo 7.2 no Excel
Legenda: Cálculo do valor do juro pelo sistema SAC
Fonte: Elaborado pelo autor (2017).
Agora precisamos encontrar o valor da prestação (pagamento) de acordo com o método do Sistema de Amorti-
zação Constante.
Figura 7.9 – Exemplo 7.2 no Excel
Legenda: Cálculo do valor do pagamento pelo sistema SAC
Fonte: Elaborado pelo autor (2017).
Agora devemos adotar o seguinte procedimento. Para a célula C4, você deve selecioná-la, clicar e segurar na
borda inferior direita e arrastar até a célula C7. Isso faz com que as expressões sejam ajustadas para as demais
células. Repita o procedimento para as células D4 e F4. Assim a tabela estará preenchida.
Figura 7.10 – Exemplo 7.2 no Excel
Legenda: Cálculo do valor dos pagamentos pelo sistema SAC
Fonte: Elaborado pelo autor (2017).

17. 17Matem?tica Financeira | Unidade de Estudo 7 – Sistema de Amortização Misto (SAM)
Agora vamos encontrar o valor dos pagamentos pelo método do SAM.
Figura 7.11 – Exemplo 7.2 no Excel.
Legenda: Cálculo do valor dos pagamentos pelo sistema SAM.
Fonte: Elaborado pelo autor (2017).
Agora vamos construir a Tabela SAM. Os valores dos juros, amortização, saldo devedor são construídos de maneira muito
semelhante àquela que utilizamos para construir a Tabela SAC. Sendo assim, seguem apenas as expressões escritas.
• Para o primeiro período temos:
1
. 10000.0,01 $100,00J PV i R= = =
1 11
' 2581,41 100 $2.481,41APJ R= −= − =
11
10000 2481,41 $7.518,59S PV A R= −= − =
• Para o segundo período temos:
21
. 7518,59.0,01 $75,19J Si R= = =
2 22
' 2568,91 75,19 $2.493,72APJ R= −= − =
2 11
7518,59 2493,72 $5.024,87S SA R=−= − =
• Para o terceiro período temos:
32
. 5024,87.0,01 $50,25J Si R= = =
3 33
' 2556,41 50,25 $2.506,16APJ R= −= − =
3 23
5024,87 2506,16 $2.518,71SSA R=−= − =
• Para o quarto período temos:
43
. 2519,71.0,01 $25,20J Si R= = =
4 44
' 2543,91 25,20 $2.518,71APJ R= −= − =
4 34
2518,71 2518,71 $0SSA R=−= − =

18. 18Matem?tica Financeira | Unidade de Estudo 7 – Sistema de Amortização Misto (SAM)
Assim, temos a seguinte planilha SAM.
Figura 7.12 – Planilha do Sistema Misto (SAM) do Exemplo 7.2
Legenda: Planilha do Sistema de Amortização Misto (SAM).
Fonte: Elaborado pelo autor (2016).
Exemplo 7.3
Cláudia realizou um empréstimo de R$5.000,00 e pretende pagá-lo após dois meses, com uma taxa de juros de
1% a.m., utilizando o SAM. Faça todos os devidos cálculos tanto manualmente quanto com o auxílio do Excel.
Os dados fornecidos no enunciado do problema são:
$5.000,00PV R=
2n meses=
1% . . 0,01 . .i am am= =
O valor da prestação é dado por:
()11
n
PV
PMT
i
i
−
=
−+
( )
2
5000
1 1 0,01
0,01
PMT
−
=
−+
$2.537,56PMT R=
Agora precisamos encontrar o valor das prestações de acordo com o método do Sistema de Amortização Cons-
tante. Temos que:
A amortização é
5000
$2.500,00
2
AR= = .

19. 19Matem?tica Financeira | Unidade de Estudo 7 – Sistema de Amortização Misto (SAM)
• Para o primeiro período temos:
1
. 5000.0,01 $50,00J PV i R= = =
1 11
50 2500 $2.550,00PMT J A R=+=+ =
11
5000 2500 $2.500,00S PV A R= −= − =
• Para o segundo período temos:
21
. 2500.0,01 $25,00J Si R= = =
2 22
25 2500 $2.525,00PMT J A R=+=+ =
2 11
2500 2500 $0S SA R=−= − =
Agora vamos calcular as prestações pelo sistema misto:
1
1
2537,56 2550
' $2.543,78
22
PMT P
PR
+ +
= = =
2
2
2537,56 2525,00
' $2.531,28
22
PMT P
PR
+ +
= = =
Agora vamos encontrar os demais valores para construir a tabela.
• Para o primeiro período temos:
1
. 5000.0,01 $50,00J PV i R= = =
1 11
' 2543,78 50 $2.493,78APJ R= −= −=
11
5000 2493,78 $2.506,22S PV A R= −= − =
• Para o segundo período temos:
21
. 2506,22.0,01 $25,0622J Si R= = =
2 22
' 2531,28 25,0622 $2.506,22APJ R= −= − =
2 11
2506,22 2506,22 $0S SA R=−= − =

20. 20Matem?tica Financeira | Unidade de Estudo 7 – Sistema de Amortização Misto (SAM)
Assim, temos a seguinte planilha SAM.
Figura 7.13 – Planilha do Sistema Misto (SAM) do Exemplo 7.3
Legenda: Planilha do Sistema de Amortização Misto (SAM).
Fonte: Elaborado pelo autor (2016).
Vamos resolver o Exemplo 7.3 pelo Excel.
Agora vamos calcular o valor da prestação. Observe a expressão que utilizamos na barra de fórmulas.
Figura 7.14 – Exemplo 7.3 no Excel.
Legenda: Cálculo do valor do pagamento pelo método Price.
Fonte: Elaborado pelo autor (2017).
Agora vamos calcular o valor da amortização pelo método SAC. Observe a expressão que utilizamos na barra de
fórmulas.
Figura 7.15 – Exemplo 7.3 no Excel
Legenda: Cálculo do valor da amortização pelo sistema SAC
Fonte: Elaborado pelo autor (2017).

21. 21Matem?tica Financeira | Unidade de Estudo 7 – Sistema de Amortização Misto (SAM)
Agora vamos calcular o juro. Observe a expressão que utilizamos para calcular o juro na barra de fórmulas.
Figura 7.16 – Exemplo 7.2 no Excel
Legenda: Cálculo do valor do juro pelo sistema SAC
Fonte: Elaborado pelo autor (2017).
Agora precisamos encontrar o valor da prestação (pagamento) de acordo com o método do Sistema de Amorti-
zação Constante. Lembre-se de que pagamento é amortização + juro, logo:
Figura 7.17 – Exemplo 7.2 no Excel
Legenda: Cálculo do valor do pagamento pelo sistema SAC
Fonte: Elaborado pelo autor (2017).
Agora devemos adotar o seguinte procedimento. Para a célula C4, você deve selecioná-la, clicar e segurar na
borda inferior direita e arrastar até a célula C7. Isso faz com que as expressões sejam ajustadas para as demais
células. Repita o procedimento para as células D4 e F4. Assim a tabela estará preenchida.
Figura 7.18 – Exemplo 7.3 no Excel
Legenda: Cálculo do valor dos pagamentos pelo sistema SAC
Fonte: Elaborado pelo autor (2017).

22. 22Matem?tica Financeira | Unidade de Estudo 7 – Sistema de Amortização Misto (SAM)
Agora vamos encontrar o valor dos pagamentos pelo método do SAM.
Figura 7.19 – Exemplo 7.3 no Excel.
Legenda: Cálculo do valor dos pagamentos pelo sistema SAM.
Fonte: Elaborado pelo autor (2017)
Vamos calcular os demais valores para finalizar a tabela SAM. Os valores dos juros, amortização, saldo devedor
são construídos de maneira muito semelhante àquela que utilizamos para construir a Tabela SAC. Sendo assim,
seguem apenas as expressões escritas.
• Para o primeiro período temos:
1
. 5000.0,01 $50,00J PV i R= = =
1 11
' 2543,78 50 $2.493,78APJ R= −= −=
11
5000 2493,78 $2.506,22S PV A R= −= − =
• Para o segundo período temos:
21
. 2506,22.0,01 $25,0622J Si R= = =
2 22
' 2531,28 25,0622 $2.506,22APJ R= −= − =
2 11
2506,22 2506,22 $0S SA R=−= − =
Assim, temos o seguinte resultado.
Figura 7.20 – Planilha do Sistema Misto (SAM) do Exemplo 7.3
Legenda: Planilha do Sistema de Amortização Misto (SAM).
Fonte: Elaborado pelo autor (2016).
Assim ficou resolvido o Exemplo 7.3 pelo método manual e pelo software Excel.

23. 23&RQVLGHUD??HV?QDLV
Nesta unidade você teve contato com um novo sistema de amortização,
que é o sistema de prestações constantes ou Sistema Price.. Além disso,
foi capaz de relembrar sobre o Sistema de Amortização Constante (SAC).
E, como objetivo principal da aula, aprendeu o Sistema de Amortização
Misto (SAM), que é dependente dos dois sistemas citados anteriormente.

24. Refer?ncias 24
HAZAN, S.; POMPEO, J. N. Matemática Financeira. 6. ed. São Paulo: Atlas,
2007. [E-book].
VERAS, L. L. Matemática Financeira. São Paulo: Atlas, 2012. [E-book].
VIEIRA SOBRINHO, J. D. Matemática financeira. 7. ed. São Paulo: Atlas,
2000. [E-book].