SISTEMA DE EJES COORDENADOS

descripción de los elementos básicos de la Geometría Analítica

1. Rubro 1.3.1.10

Fecha de
:
aplicación
2007-
Semestre B

2. MATEMATICAS IIIMATEMATICAS III
GEOMETRIA ANALITICAGEOMETRIA ANALITICA
ASIGNATURAS RELACIONADAS

3. CONTENIDO:CONTENIDO:
Unidad I. Sistema de ejes coordenadosUnidad I. Sistema de ejes coordenados
Unidad II. La línea rectaUnidad II. La línea recta
Unidad III. La circunferenciaUnidad III. La circunferencia
Unidad IV. La parábolaUnidad IV. La parábola

4. REPRESENTACION GRAFICA DE LA ASIGNATURAREPRESENTACION GRAFICA DE LA ASIGNATURA

5. OBJETIVO DE LA ASIGNATURA
EL ESTUDIANTE:
Resolverá problemas de la geometría plana con
coordenadas, mediante el análisis crítico de los
conceptos, técnicas y procedimientos, que lleven a la
identificación y/o representación de los lugares
geométricos y su aplicación en el desarrollo de ejercicios
y modelos matemáticos que abarquen la línea recta, la
circunferencia y la parábola, recuperadas de su entorno
social inmediato, mostrando interés científico,
responsabilidad y respeto en su participación escolar.

6. UNIDAD I.UNIDAD I.
1.1. COORDENADAS CARTESIANAS DE
UN PUNTO

7. 1.1.1. EJES COORDENADOS
Los ejes coordenados son dos rectas numéricas
que se cortan formando ángulos rectos, de tal
manera que el punto de intersección sea el origen
de ambas. Los ejes dividen al plano en cuatro
regiones llamados CUADRANTES.
III
III IV
Y
X
• El eje horizontal se llama eje
X o eje de las abscisas
• El eje vertical se llama eje Y
o eje de las ordenadas.

8. PAREJAS ORDENADAS DE NÚMEROS
Cada punto P del plano tiene asociado un par de
números se le asocia un par de números y cada par le
corresponde un punto en el plano cartesiano.
P( x , y)
Y
X
• Elementos:
 La distancia del punto P al eje
vertical es su abscisa y se
representa con la letra x.
 La distancia del punto P al eje
horizontal es su ordenada y se
representa con la letra y.
• Dos pares ordenados
representan un mismo
punto si el valor de x y y
son los mismos para ambos
pares.
x
y

9. PUNTOS EN UN PLANO
Como los ejes coordenados son ejes reales, las
coordenadas de un punto pueden ser cualquiera de
ellas o las dos, positivas, negativas o nulas. Por lo
tanto los signos de la coordenadas determinan el
cuadrante en que se encuentra el punto.
Y
I (+,+)II (-,+)
III (-,-)
IV (+,-)
X
-+IV
--III
+-II
++I
Yx
Signo Cuadrante
Ejemplo: el punto P(-4,5) está ubicado en el II cuadrante porque el
valor de x es negativo y el valor de y es positivo.

10. Localización de un punto en el plano cartesiano:
Posicionarse en el origen.
Recorrer tantos lugares sobre el eje de las X, si es
positivo moverse hacia la derecha y si el valor es
negativo hacia la izquierda.
A partir de la ubicación anterior, recorrer tanto lugares
sobre el eje Y, si el valor es positivo hacia arriba y si el
valor es negativo ir hacia abajo
P(5,6)
A partir del origen 5 lugares hacia
la derecha, porque el valor de la x
es positivo.
A partir del 5 (sobre el eje X), 6
lugares hacia arriba porque el valor
es positivo

11. Localización de las coordenadas de un punto
ubicado en el sistema coordenado:
 PPosicionarse en el punto dado.osicionarse en el punto dado.
 Trazar una línea perpendicular al eje X para localizar el Trazar una línea perpendicular al eje X para localizar el
valor de la abscisa.valor de la abscisa.
 Trazar una línea perpendicular al eje Y, para localizar la Trazar una línea perpendicular al eje Y, para localizar la
ordenada.ordenada.
 En ambos casos el valor correspondiente a la abscisa y a En ambos casos el valor correspondiente a la abscisa y a
la ordenada serán las intersecciones con los ejes la ordenada serán las intersecciones con los ejes
respectivos.respectivos.
P(x,y)
Y
X
5
6
Por lo tanto :
X=5 ; y=6
Entonces P(5,6)

12. 1.1.2. LUGARES GEOMÉTRICOS ..
Definición: Es la trayectoria que genera
un punto que se mueve en el plano
cartesiano que obedece a una condición
dada. Es decir la gráfica.
La condición dada queda establecida por
una ecuación algebraica en dos variables.

13. Problemas Fundamentales de la Problemas Fundamentales de la
Geometría Analítica:Geometría Analítica:
 A partir de una ecuación construir la A partir de una ecuación construir la
grafica del lugar geométrico.grafica del lugar geométrico.
 Dada una condición obtener la Dada una condición obtener la
ecuación del lugar geométrico.ecuación del lugar geométrico.

14. Primer problema FundamentalPrimer problema Fundamental
Soluciones y Gráfica de una EcuaciónSoluciones y Gráfica de una Ecuación
Se llama solución de una ecuación de dos Se llama solución de una ecuación de dos
variables, al conjunto de pares ordenados que variables, al conjunto de pares ordenados que
satisfacen la ecuación.satisfacen la ecuación.
La gráfica de una ecuación es la representación La gráfica de una ecuación es la representación
en el plano cartesiano de todos los puntos cuyas en el plano cartesiano de todos los puntos cuyas
coordenadas son los pares ordenados que son coordenadas son los pares ordenados que son
soluciones de la ecuación. soluciones de la ecuación.

15. Para graficar una ecuación de dos variables se Para graficar una ecuación de dos variables se
sugiere lo siguientesugiere lo siguiente::
Simplificar la ecuación dada, siempre que sea posible.Simplificar la ecuación dada, siempre que sea posible.
Despejar cualquiera de la dos variables de la ecuación. Despejar cualquiera de la dos variables de la ecuación.
Generalmente se despeja la Generalmente se despeja la yy..
Determinar el dominio de la ecuación, es decir, los Determinar el dominio de la ecuación, es decir, los
valores de la valores de la xx..
Asignar valores del dominio para la Asignar valores del dominio para la xx procurando que procurando que
sea positivos y negativos.sea positivos y negativos.
Sustituir los valores asignados en la ecuación despejada, Sustituir los valores asignados en la ecuación despejada,
para calcular el valor de la para calcular el valor de la yy..
Ubicar en el plano cartesiano las coordenadas de los Ubicar en el plano cartesiano las coordenadas de los
puntos correspondientes y unirlos.puntos correspondientes y unirlos.

16. INVESTIGACION GRAFICAINVESTIGACION GRAFICA
Asignar valores a la variable independiente (x) para
obtener el valor de la variable dependiente (y)
Disposición de los valores de la
variable de forma
ordenada, que puede ser
leídas horizontal o
verticalmente
EXTENSIÓN
(TABULACIÓN DE
VALORES)
Si al sustituir x por –x, la ecuación no se
altera.
Eje Y
Si al sustituir y por –y, la ecuación no se
altera
Eje XLa grafica puede ser formada a
partir de la reflexión de la
mitad de ella.
SIMETRÍA
P(y,o)
X=0; despejar y para hallar su
valor.
Eje Y
P(0,x)
y=0; despejar x para hallar su
valor.
Eje X
Son los puntos donde la grafica
corta a los ejes
INTERSECCIONES CON
LOS EJES
PROCEDIMIENTO
DEFINICIÓNCRITERIOS
La investigación gráfica permite definir el comportamiento de la grafica
de la ecuación y trazar un bosquejo de ella a partir de los siguientes
criterios:

17. 1.2 CONCEPTOS BÁSICOS SOBRE
RECTAS, SEGMENTOS Y POLÍGONOS
1.2.1. SEGMENTOS RECTILÍNEOS
Segmentos dirigidos: una recta dirigida es aquella en
la que se define una dirección como positiva y su
dirección opuesta como negativa.
La porción de recta comprendida entre dos de sus
puntos se llama segmento no dirigido.
A
B

18. NOTACIÓN:NOTACIÓN:
 La dirección se indica poniendo una flecha sobre las literales que La dirección se indica poniendo una flecha sobre las literales que
indican sus puntos extremos.indican sus puntos extremos.
El sentido se representa anteponiendo un signo positivo o negativo, a El sentido se representa anteponiendo un signo positivo o negativo, a
la notación que indican los puntos extremos.la notación que indican los puntos extremos.
Cuando un segmento de recta está caracterizado únicamente por su Cuando un segmento de recta está caracterizado únicamente por su
distancia, el segmento es no dirigido y se indica poniendo una barra distancia, el segmento es no dirigido y se indica poniendo una barra
sobre las literales que representan a sus puntos extremossobre las literales que representan a sus puntos extremos

Dirigido





No dirigido
EquivalenciaNotaciónInterpretación graficaSegmento
BAAB=
AB
BAAB-=
BA BABA-=
BAoAB
A B
A B
B A

19. LONGITUD DE UN SEGMENTO Y
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
La longitud de un segmento es la distancia La longitud de un segmento es la distancia
y el sentido que ésta recorre, por lo que y el sentido que ésta recorre, por lo que
su valor puede ser positivo o negativo.su valor puede ser positivo o negativo.
 La distancia será el valor absoluto de la La distancia será el valor absoluto de la
longitud del segmento longitud del segmento
1
10
Longitud= -10
Distancia= |-10|=10

20. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOSDISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
 Caso I.Caso I. Si los puntos A (x Si los puntos A (x
11, y, y
11) y B (x) y B (x
22, y, y
22) están ) están
ubicados sobre el eje de las abscisas o ubicados sobre el eje de las abscisas o
paralelas a él, la distancia entre los dos puntos paralelas a él, la distancia entre los dos puntos
se obtiene mediante la siguiente ecuación:se obtiene mediante la siguiente ecuación:
 Caso II.Caso II. Si los puntos A (x1, y1) y B (x2, y2) Si los puntos A (x1, y1) y B (x2, y2)
están ubicados sobre el eje de las ordenadas o están ubicados sobre el eje de las ordenadas o
paralelas a él, la distancia entre los dos puntos paralelas a él, la distancia entre los dos puntos
se obtiene mediante la siguiente ecuación:se obtiene mediante la siguiente ecuación:
1221
xxxxd -=-=
1221 yyyyd -=-=
Y
X
x
2
x
1
Y
X
y
2
y
1
A (x
1
,y
1
)
A (x
1
,y
1
)
B (x
2
,y
2
)
B (x
2
,y
2
)

21. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOSDISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
Caso III.Caso III. Si los puntos se encuentran ubicados en Si los puntos se encuentran ubicados en
cualquier lugar del Sistema de Coordenadas, la cualquier lugar del Sistema de Coordenadas, la
distancia queda determinada por la expresión:distancia queda determinada por la expresión:
2
12
2
12
)()( yyxxd
AB
-+-=
A (x
1
,y
1
)
B (x
2
,y
2
)
X
Y
C (x
2
,y
1
)
Ejemplos: calcular la distancia entre los
siguientes puntos:
 R (-3,5) y T (-3,12)
 M (3,2) y L (9,2)
 A(3,4) y B(7,7)

22. DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA
RAZÓN DADA
RAZÓNRAZÓN
COMPARACIÓN ENTRE DOS CANTIDADES
ARITMETICAARITMETICA
LA COMPARACION ES MEDIANTE DIFERENCIA
GEOMETRICAGEOMETRICA
LA COMAPARACIÓN ES MEDIANTE LA DIVISIÓN
En matemáticas cuando se habla de razón se sobreentiende que se trata de En matemáticas cuando se habla de razón se sobreentiende que se trata de
una razón geométrica. Por lo que su representación es una fracción o un una razón geométrica. Por lo que su representación es una fracción o un
quebrado:quebrado:
En Geometría Analítica se abordan dos problemas básicos:
Hallar la razón r de un segmento que ha sido dividido en cierto punto.
Determinar las coordenadas de un punto en un segmento que ha sido
dividido en la razón r.

23. HALLAR LA RAZÓN HALLAR LA RAZÓN RR DE UN SEGMENTO QUE HA SIDO DE UN SEGMENTO QUE HA SIDO
DIVIDIDO EN CIERTO PUNTO.DIVIDIDO EN CIERTO PUNTO.
xx
xx
PP
PP
r
-
-
==
2
1
2
1
yy
yy
PP
PP
r
-
-
==
2
1
2
1
Cuando se conocen las
coordenadas de tres puntos
sobre una misma recta:
P
1
(x
1
,y
1
) y P
2
(x
2
,y
2
) son los
extremos del segmento.
P (x, y) punto-razón.
Entonces el valor de la razón
está dada por:
Cualquiera de las dos ecuaciones anteriores puede usarse para
encontrar el valor de la razón.

24. DETERMINAR LAS COORDENADAS DE UN PUNTO EN UN DETERMINAR LAS COORDENADAS DE UN PUNTO EN UN
SEGMENTO QUE HA SIDO DIVIDIDO EN LA RAZÓN SEGMENTO QUE HA SIDO DIVIDIDO EN LA RAZÓN RR..
Si se conoce el valor de la razón r, entonces las Si se conoce el valor de la razón r, entonces las
coordenadas del punto P, esta dada por:coordenadas del punto P, esta dada por:
r
rxx
x
+
+
=
1
21
r
ryy
y
+
+
=
1
21
Donde r ‡ -1
Para el caso particular en que el punto-razón equidista de
los extremos del segmento, se dice que es el punto medio
del segmento y el valor de la razón r es =1. Las
coordenadas se obtienen de las siguientes ecuaciones:
2
21
xx
x
m
+
=
2
21
yy
y
m
+
=

25. CRITERIOS DE APLICACIÓNCRITERIOS DE APLICACIÓN
 Cuando la razón es positiva, el punto P estará Cuando la razón es positiva, el punto P estará
situado entre los puntos Psituado entre los puntos P
11 y P y P
2.2.
 Si la razón es negativa, el punto P estará Si la razón es negativa, el punto P estará
situado fuera de los puntos dados extremos situado fuera de los puntos dados extremos
del segmento.del segmento.
Ejemplos
2.Hallar la razón del segmento cuyos extremos son
P1(5,3) y P2(-2,1) y con punto-razón P(4/5,9/5).
3.Si los extremos de un segmento son P1(6,-1) y
P2(-2,2), hallar las coordenadas del punto P que
divide al segmento en la razón r=2/5.
4.Encontrar las coordenadas del punto medio de un
segmento cuyos extremos son A(-2,5) y B(4,8).
P
1
P
2
P
Razón positiva
P
1
P
P
2
Razón negativa

26. 1.2.2 RECTAS
Ángulo de inclinaciónÁngulo de inclinación: es el ángulo
formado por la parte positiva del eje
X y la recta, considerando hacia arriba
el sentido de ésta.
Pendiente: se llama pendiente o coeficiente angular de una
recta a la tangente de su ángulo de inclinación y se expresa
como:
qtgm=
Donde:
m pendiente
θ ángulo de inclinación

27.  Criterios de aplicación:Criterios de aplicación:
1.m es positivo si 0º< θ <90º
2.m es negativo si 90º< θ <180º
3.m=0, si θ=0º
4.m= ∞, si θ=90º
 Matemáticamente la pendiente de una recta se define como:
Si se conocen dos puntos que pertenecen a una misma una recta:
P
1
(x
1
,y
1
) y P
2
(x
2
,y
2
) y
siendo x
1
≠x
2
12
12
xx
yy
m
-
-
=

28. Valor del ángulo de inclinación:Valor del ángulo de inclinación:
A partir de la ecuación de la pendiente, el valor del ángulo A partir de la ecuación de la pendiente, el valor del ángulo
está dado por:está dado por:
)(
1
mtg
-
=q
Ejemplos:
1.Hallar la pendiente y el ángulo de inclinación de la recta
que se forma con los puntos A(-6,-4) y B(8,3).
3.Trazar la recta que pasa por el punto P(-3,2) cuya
pendiente es igual a 4/5.

29. CONDICIONES DE PARALELISMO Y
PERPENDICULARIDAD
Paralelismo: Paralelismo:
Dos rectas son paralelas si el valor de sus pendientes son iguales, Dos rectas son paralelas si el valor de sus pendientes son iguales,
es decir:es decir:
mm
11=m=m
22
Perpendicularidad:
Dos rectas son perpendiculares si:
2.El producto de sus pendientes es igual menos uno. Es decir:
m1m2=-1
5.Cuando la pendiente de una de las rectas es recíproca y de
signo contrario de la pendiente de la otra recta. Es decir:
2
1
1
m
m-=
1
2
1
m
m-=o

30. 1.2.3 POLÍGONOS
 Los criterios para calcular el perímetro y área de un polígono son:Los criterios para calcular el perímetro y área de un polígono son:
La representación gráfica de la figura cuyo perímetro y área se La representación gráfica de la figura cuyo perímetro y área se
busca.busca.
El cálculo de la distancia de sus ladosEl cálculo de la distancia de sus lados
Obtener el Perímetro sumando la longitud de cada uno de sus lados.Obtener el Perímetro sumando la longitud de cada uno de sus lados.
Calcular el área aplicando l a fórmula correspondiente, de acuerdo a Calcular el área aplicando l a fórmula correspondiente, de acuerdo a
la polígono que se trate. la polígono que se trate.
 Área de un polígono en función de las coordenadas de sus
vértices:
La siguiente expresión en forma de determinante se emplea para calcular
el área de cualquier polígono, cuando se conocen sus vértices.
)(
2
1
312312133221
33
22
11
yxyxyxyxyxyx
yx
yx
yx
A ---++==

31.  Ejemplo:Ejemplo:
1.1.Hallar el área y el perímetro del cuadrilátero cuyos vértices Hallar el área y el perímetro del cuadrilátero cuyos vértices
son: A(-3,3), B(4,4), C(-4,-3) y D(3,-5)son: A(-3,3), B(4,4), C(-4,-3) y D(3,-5)
BIBLIOGRAFIA:
• Vásquez Salazar Pedro, Luis M. C. Matemáticas III. Editorial Nueva Imagen
S.A de C.V. segunda Edición. México 2007.
• Ortiz Campos Francisco. Matemáticas III. Publicaciones Cultural. Primera
Edición, México 2005.
• Lehmann Charles. Geometría Analítica. Editorial LIMUSA. México 2006.
• Garza Olvera Benjamín. Matemáticas. Geometría Analítica. Colección DGTI.
México 1998