Sistemas coordenadas (diferenciales, lineales, área y volumen)

Recursos para la asignatura de Teoría Electromagnética
del Itmexicali.

1. Sistemas de coordenadas


1. Introducción

En un sistema de coordenadas un punto se representa como la intersección de tres
superficies ortogonales llamadas superficies coordenadas del sistema:
cteu
cteu
cteu
=
=
=
3
2
1

Las líneas de intersección de las superficies coordenadas se llaman curvas coordenadas
y son ortogonales entre sí. Los vectores unitarios tangentes a las curvas coordenadas
son mutuamente ortogonales y coinciden con los vectores unitarios perpendiculares a
las superficies coordenadas.

En general, los vectores unitarios cambian de dirección de un punto a otro del
espacio.

2. Campos 2001-2002: Sistemas de coordenadas. 2




Estos vectores forman una base que permite representar cualquier vector en función de
sus componentes en el sistema de coordenadas:
332211
ˆˆˆ aaaaaar ++=
r

En general, las coordenadas no representan distancias en las direcciones de los ejes
del sistema:
33
22
11
dadl
dadl
dadl
≠
≠
≠

por lo que para medir distancias en las direcciones de los vectores unitarios son
necesarios unos factores de proporcionalidad llamados factores de escala:

3. Campos 2001-2002: Sistemas de coordenadas. 3

333
222
111
dahdl
dahdl
dahdl
=
=
=

Los sistemas de utilización más frecuente son el cartesiano o rectangular, el cilíndrico y
el esférico.

2. Sistema de coordenadas rectangular

Las superficies coordenadas son tres planos ortogonales entre sí:

ctez
ctey
ctex
=
=
=

Un punto queda determinado por la intersección de estos tres planos y sus coordenadas
vienen dadas por las tres constantes de los planos (x,y,z). Las líneas coordenadas son
rectas perpendiculares entre sí y los vectores unitarios, que llevan sus direcciones se
denominan xˆ,yˆ,zˆ, por lo que un vector se escribirá:
zzyyxxr ˆˆˆ ++=
r

4. Campos 2001-2002: Sistemas de coordenadas. 4


Como caso particular de este sistema de coordenadas, estos tres vectores se mantienen
constantes en todos los puntos del espacio. También ocurre que las coordenadas son
métricas, por lo que los factores de escala son la unidad y, en las direcciones de los ejes
coordenados los diferenciales de longitud son:
dzdl
dydl
dxdl
=
=
=
3
2
1
,
y los diferenciales de superficie en cada una de las superficies coordenadas
dydxdldldS
dzdxdldldS
dzdydldldS
==
==
==
213
312
321
,
y el diferencial de volumen:
dzdydxdldldldV ==
321
.

5. Campos 2001-2002: Sistemas de coordenadas. 5

3. Sistema de coordenadas cilíndrico

Las superficies coordenadas son, planos Z = cte, semiplanos que contienen al eje z y
forman un ángulo φ con el semiplano XZ, y cilíndros de eje Z y radio ρ.
ctez
cte
cte
=
=
=
φ
ρ

Las coordenadas de un punto vienen dadas por la intersección de tres de estas
superficies, y se especifican mediante la terna (ρ,φ,z). Las líneas coordenadas ya no son
todas rectas, y los vectores unitarios se denominan ρˆ,φ
ˆ
,zˆ. La dirección de los vectores
ρˆ y φ
ˆ
, varía según el punto del espacio considerado.

Las coordenadas ρ y z son métricas por lo que el factor de escala es la unidad. Sin
embargo la coordenada φ es angular, siendo el factor de escala ρ, de modo que un
diferencial de arco en la coordenada φ mide dφ =ρ dφ:
dzdl
ddl
ddl
=
=
=
3
2
1
φρ
ρ

6. Campos 2001-2002: Sistemas de coordenadas. 6


Los diferenciales de superficie, sobre las superficies coordenadas serán:
ρφρ
ρ
φρ
dddS
dzddS
dzddS
=
=
=
3
2
1


Por último el diferencial de volumen es:
dzdddV ρφρ= .

4. Sistema de coordenadas esférico
Las superficies coordenadas en el sistema de coordenadas esféricos son, una esfera de radio r, un cono de
eje Z y centro el origen de coordenadas, cuya superficie forma un ángulo θ con el eje Z, y un semiplano
que contiene al eje Z y forma un ángulo φ con el semiplano XZ.
cte
cte
cter
=
=
=
θ
φ
Las coordenadas de un punto vienen dadas por la terna (r,φ,θ), y los vectores unitarios rˆθ
ˆ
φ
ˆ
. Todos los
vectores varían su dirección según el punto del espacio considerado.

7. Campos 2001-2002: Sistemas de coordenadas. 7


Unicamente la coordenada r es métrica y le corresponde un factor de escala 1. Para las coordenadas
φ y θ los factores de escala son, respectivamente r sen(θ) y r:
θ
φθ
rddl
drdl
drdl
=
=
=
3
2
1
)sen(

Por lo que respecta a los diferenciales de superficie as expresiones son:
drdrdS
drdrdS
ddrdS
φθ
θ
θφθ
)sen(
)sen(
3
2
2
1
=
=
=

8. Campos 2001-2002: Sistemas de coordenadas. 8


Por último un diferencial de volumen vendrá dado por:
drddrdV θφθ)sen(
2
=