Sistemas de primer orden, segundo orden y orden superior

Michelle León
ingenieria electronica
Teoria del control

1. Teoría del control, Sección B Profesora: Amdie Chirinos Ingeniería Electrónica #44 Sistemas de primer orden, segundo orden y orden superior Republica Bolivariana de Venezuela Ministerio del poder popular para la educación I.U.P Santiago Mariño Extensión Mérida Alumno: León Petrella Michelle Alejandro C.I V-27.668.967

2. Contenid o Sistemas de primer orden, segundo orden y orden superior Introducción. Análisis de la respuesta transitoria de un sistema: Sistemas de primer orden. Sistemas de segundo orden. Sistemas de orden superior.

3. Introducción Señales de prueba: En el análisis y diseño de sistemas de control es necesario tener una base para comparar los sistemas de control. Esto se hace especificando señales de entrada de prueba y comparando las respuestas de varios sistemas a estas señales de entrada. Las señales de prueba que se usan regularmente son funciones escalón , rampa , parábola , impulso , senoidal , etc.

4. La respuesta estacionaria se refiere a la manera en la cual se comporta la salida del sistema conforme el tiempo tiende a infinito. Respuesta transitoria y respuesta estacionaria La respuesta en el tiempo de un sistema de control consta de dos partes: la respuesta transitoria y la respuesta estacionaria . La respuesta transitoria se refiere a la que va del estado inicial al estado final. Introducción

5. Estabilidad absoluta y error estacionario: Un sistema de control está en equilibrio si, en ausencia de cualquier perturbación o entrada, la salida permanece en el mismo estado. Un sistema de control lineal e invariante con el tiempo es estable si la salida termina por regresar a su estado de equilibrio cuando el sistema está sujeto a una condición inicial. Si la salida de un sistema en estado estable no coincide exactamente con la referencia, se dice que el sistema tiene un error en régimen permanente ( erp ) o error estacionario . El erp indica la precisión del sistema. – Al analizar un sistema de control se debe examinar el comportamiento de la respuesta transitoria y el comportamiento del error estacionario. Introducción

6. Sistemas de primer orden, segundo orden y orden superior Introducción . Análisis de la respuesta transitoria de un sistema: Sistemas de primer orden. Sistemas de segundo orden. Sistemas de orden superior. Contenido

7. Análisis de la respuesta transitoria Respuesta Forzada y Natural: – Sistema c o n t inuo re p res e ntado p o r l a e c u a c ión dife r e n cial con salida y ( t ) y entrada u ( t ) con un conjunto de condiciones iniciales y (0), y '(0),  , y n  1) (0) siendo n el orden del sistema. – La obtención de la respuesta del sistema y ( t ) ante entrada u ( t ) se realiza por aplicación de la transformada de Laplace . a ( s n Y ( s )  s n  1 y (0)  s n  2 y '(0)   )  a ( s n  1 Y ( s )  s n  2 y (0)   )    a Y ( s )  n n  1 m ) a y n ) y n  1) n n  1 1 m 1  a    a y   a y  b u    b u   b u m m m  1 m  1 m  1 m  2 b ( s U ( s )  s u ( )   )  b ( s U ( s )  s u ( )   )    b U ( s ) No nulas !!! L  f n ) ( t )   s n F ( s )  s n  1 f (0)  s n  2 f ' (0)    f n  1) (0)

8. Análisis de la respuesta transitoria Respuesta Forzada y Natural (cont.): – Reagrupando términos: con P ( s ) polinomio que depende de las condiciones iniciales. – La transformada de la respuesta Y ( s ) de un sistema continuo se puede expresar: m ( a s n  a s  n  1 n n  1 1 m 1   a s  a ) Y ( s )  ( b s    b s  b ) U ( s )  P ( s ) 1 n n U ( s )  a s  a Y ( s )  n  1 1 0 n n  1 n  1 n n  1 s    a s  a s    a s  a a s  a b m s m    b 1 s  b P ( s ) Respuesta forzada Respuesta natural

9. Análisis de la respuesta transitoria Respuesta Forzada y Natural (cont.): Se particularizará el calculo de la respuesta transitoria para sistemas de orden 1º, 2º y superior . Sistema caracterizado por la respuesta forzada, asumiendo respuesta natural nula . U ( s ) Y ( s ) G ( s ) Y ( s )  G ( s ) U ( s )

10. Análisis de la respuesta transitoria Sistemas de primer orden: – Un sistema de primer orden (SPO) queda descrito por una ecuación diferencial de la forma y  ( t )  a y ( t )  b u ( t ) con función de transferencia – La respuesta escalón de amplitud A será: b s  a G ( s )  Y ( s )  b A s ( s  a ) Forma normalizada de la F.T. de un SPO

11. Análisis de la respuesta transitoria Sistemas de primer orden (cont.): – Descomponiendo en fracciones simples: Y ( s )  K 1  s s  a a s a K 2  b A 1  b A 1 s  a a respuesta de tipo exponencial . – Aplicando la transformada inversa: y ( t )  b A ( 1  e  a t ) 1 ( t )

12. Análisis de la respuesta transitoria Sistemas de primer orden (cont.): – Forma estándar del SPO: a como parámetros específicos de un SPO. a – Se definen la ganancia K  b , la constante de tiempo T  1  K Ts  1 1 s  1 a G ( s )  b a Forma paramétrica de la F.T. de un SPO

13. Análisis de la respuesta transitoria Sistemas de primer orden (cont.): Respuesta ante una entrada escalón unitario:

14. Análisis de la respuesta transitoria Sistemas de primer orden (cont.): Respuesta ante una entrada impulso unitario:

15. Análisis de la respuesta transitoria Sistemas de primer orden (cont.): Respuesta ante una entrada rampa pendiente unitaria: Error en régimen permanente (erp)

16. Sistemas de segundo orden: – Sistema de segundo orden (SSO) queda descrito por una ecuación diferencial:  y   a 1 y   a y  b u con función de transferencia: – La respuesta escalón de amplitud A será: Análisis de la respuesta transitoria G ( s )   b s 2  a 1 s  a s ( s 2  a 1 s  a ) Y ( s )  b A F or m a n or m ali z a da de la F.T. de un SSO

17. Análisis de la respuesta transitoria Sistemas de segundo orden (cont.): La respuesta depende de las raíces del denominador ( s 2  a s  a )  ( s  s )( s  s ) 1 0 1 2 Casos particulares: Raíces reales distintas. Raíces reales repetidas. Raíces complejas conjugadas.

18. Análisis de la respuesta transitoria Sistemas de segundo orden (cont.): Caso 1: Raíces reales distintas. Aplicando la transformada inversa de Laplace: y ( t )  ( K  K e  s 1 t  K e  s 2 t )1( t ) 1 2 3 Se denominan sistemas sobreamortiguados.  Y ( s )  K 1  K 2 K 3 s s  s 1 s  s 2

19. Análisis de la respuesta transitoria Sistemas de segundo orden (cont.): Caso 1: Raíces reales distintas. La rapidez de respuesta depende de la colocación de los polos.

20. Análisis de la respuesta transitoria Sistemas de segundo orden (cont.): Caso 2: Raíces reales repetidas. Aplicando la transformada inversa: Se denominan sistemas crítico-amortiguados . 1 1 ( s  s ) 2  s s  s  K 21 K 22 Y ( s )  K 1  s t  K 22 te 1 )1( t ) y ( t )  ( K 1  s t  K 21 e 1

21. Análisis de la respuesta transitoria Sistemas de segundo orden (cont.): Caso 2: Raíces reales repetidas. La rapidez de respuesta depende de la colocación del polo doble.

22. Análisis de la respuesta transitoria Sistemas de segundo orden (cont.): Caso 3: Raíces complejas conjugadas. Reagrupando las dos fracciones complejas: con K ' 2  2 Re( K 2 ) y K ' 3   2 Im( K 3 ) . Aplicando la transformada inversa de Laplace: y ( t )  ( K  K ' e   t cos  t  K ' e   t sin  t )1( t ) 1 2 d 3 d Se denominan sistemas subamortiguados. K 2 K 3  s s  (    j  d ) s  (    j  d ) Y ( s )  K 1  d d s ( s   ) 2   2 ( s   ) 2   2 K ' 2 ( s   ) K ' 3  d Y ( s )  K 1   K 3  K * 2

23. Análisis de la respuesta transitoria Sistemas de segundo orden (cont.): Caso 3: Raíces complejas conjugadas. La forma de la respuesta depende de la colocación de los polos (  ,  d ) .

24. Análisis de la respuesta transitoria Sistemas de segundo orden (cont.): La respuesta de SSO admite otra representación alternativa en función de los parámetros: Ganancia, K Relación de amortiguamiento,  Frecuencia natural NO amortiguada,  n – Las raíces de la ecuación característica son: s 1 , s 2    n  j  n 1   2     j  d n K  2 s 2  2  n s   2 G ( s )   n Forma paramétrica de la F.T. de un SSO Frecuencia natural amortiguada C on s t a n t e de tiempo inversa

25. Sistemas de segundo orden (cont.): – Interpretación geométrica de los parámetros de la F.T. de un SSO subamortiguado: – Los SSO s e pueden c l a s if i car at e n diendo al valor de la constante de amortiguamiento y la ubicación de sus polos. Análisis de la respuesta transitoria    cos 

26. Análisis de la respuesta transitoria Sistemas de segundo orden (cont.):  >1 (s 1 y s 2 reales distintos, parte real -)  SOBREAMORTIGUADO  =1 (s 1 y s 2 reales iguales, parte real -)  CRÍTICAMENTE AMORTIGUADO 0<  <1 (s 1 y s 2 conj. complejos, parte real -)  SUBAMORTIGUADO  =0 (s 1 y s 2 sobre el eje imaginario)  CRÍTICAMENTE ESTABLE  LÍMITE DE ESTABILIDAD -1<  <0 (s 1 y s 2 conj. complejos, parte real +)  INESTABLE OSCILANTE  <-1 (s 1 y s 2 reales distintos, parte real +)  INESTABLE NO OSCILANTE OJO: Inestable!

27. Análisis de la respuesta transitoria Sistemas de segundo orden (cont.): E n base a l a r ela c ión d e a m or t igu a miento  const a nte y la frecuencia natural no amortiguada,  n , constante se establecen los correspondientes lugares geométricos en el plano s .

28. Análisis de la respuesta transitoria Sistemas de segundo orden (cont.): Existe un conjunto de curvas normalizadas de respuesta escalón de SSO para valores de (  ,  n ) . s ( s 2  a 1 s  a ) Y ( s )  b A Oscilac ió n m an t e n i d a

29. Análisis de la respuesta transitoria Sistemas de segundo orden (cont.): Existe un conjunto de curvas normalizadas de respuesta impulso de SSO para valores de (  ,  n ) . 2 2 n n K  2 s  2  s   Y ( s )   n

30. Análisis de la respuesta transitoria Sistemas de orden superior: – Sistema de or d en sup e rior ( S OS) q u eda d e scrito p o r la función de transferencia G ( s )  K ( s  z 1 )( s  z 2 )  ( s  z m ) ( s  p 1 )( s  p 2 )  ( s  p n ) con z i y p j ceros y polos en general complejos. – La respuesta escalón de amplitud A será: i  1 s  p i Y ( s )  G ( s ) A  K   n s s K i

31. Sistemas de orden superior (cont.): Caso 1: Polos en general distintos. Aplicando la transformada inversa Análisis de la respuesta transitoria n i p t i  1 La contribución de K es relativa al régimen estacionario. L a cont r i buci ó n d e c a d a p o l o p i e n l a res p u e sta tr a n sitor i a depende la magnitud del residuo K i y de su colocación relativa: si K i es bajo  su contribución es despreciable, y si Re( p i ) < con | Re( p i ) | alto  su contribución es despreciable. Y si Re( p i ) > que pasaría ??  i  K e ) 1 ( t ) y ( t )  ( K

32. Análisis de la respuesta transitoria Sistemas de orden superior (cont.): Caso 1: Polos en general distintos. Forma de la respuesta no estandarizada

33. Análisis de la respuesta transitoria Sistemas de orden superior (cont.): Caso 2: Polos en general múltiples. La respuesta escalón de amplitud A será: y aplicando transformada inversa: Para determinar la contribución de cada polo se sigue el mismo razonamiento que el caso anterior.   j r j s s s  p s  p ( s  p ) K j 1 2 K 1 K 2 Y ( s )  G ( s ) A  K       )1( t ) t ( r j  1) e  p j t 1 2 y ( t )  ( K 1 2 K j K e  p t  K e  p t j ( r  1 )!   

34. Análisis de la respuesta transitoria Sistemas de orden superior (cont.): Concepto de dominancia: Los polos más cercanos al eje imaginario jω prevalecen, y se denominan polos dominantes. Transformamos un SOS en un SPO (un único polo dominante) o en un SSO (un par de polos dominantes). Criterio de dominancia: Relación Re( p i ) / Re( p d ) > 5 , suponiendo que no hay ceros en cercanía de p d ( efecto cancelación ).

35. Sistemas de orden superior (cont.): Ejemplo: Dada la siguiente función de transferencia: ( s  1)( s  2)( s  10.1)( s 2  12.2 s  54) ( s  2.1) ( s  4)( s 2  12 s  54.2) G ( s )  Análisis de la respuesta transitoria y la representamos los polos y ceros en el plano complejo: Pole-Zero Map 5 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 - 1 -8 -6 -4 -2 -5 Real Axis Imaginary Axis Cancelación (no afecta K s ) Polo no dominante s (afecta K )

36. Análisis de la respuesta transitoria Sistemas de orden superior (cont.): Ejemplo (cont.): Aplicamos un escalón de amplitud unitaria a ambos sistemas y el SOS y al SSO*: 1 2 4 5 6 0. 8 0. 6 0. 4 0. 2 1 1. 2 1. 6 1. 4 1. 8 2 Original A p r o x i m ad o 3 Time (sec) Step Response A m p li t ud e Al eliminar el polo no dominante ( s +10.1) se modifica la ganancia estática del sistema.

37. Análisis de la respuesta transitoria 1 2 4 5 6 0.1 4 0.1 2 0. 1 0.0 8 0.0 6 0.0 4 0.0 2 0.1 6 0. 2 0.1 8 Original A p r o x i m ad o 3 Time (sec) Step Response A m p li t ud e Sistemas de orden superior (cont.): Ejemplo (cont.): Aplicamos un escalón de amplitud unitaria a ambos sistemas y el SOS y al SSO*: 0.1 × G ( s )*

38. Análisis de la respuesta transitoria Sistemas de orden superior (cont.): Efecto de añadir un polo/cero al sistema: Los polos de G ( s ) afectan a los exponentes en los términos i ( p complejo en general) de la respuesta exponenciales e  p i t transitoria. Los ceros de G ( s ) no afectan a los exponentes en los términos exponenciales, pero afectan las magnitudes y los signos de los residuos . Por ejemplo : Si añadimos un polo real negativo  Influye con una nueva exponencial  hace el sistema más lento y más estable (relativamente). Si añadimos un cero  Influye con un residuo  hace el sistema más rápido y más inestable (relativamente).