Sistemas Hiperestáticos (Teórica 11a - Método de las Fuerzas).pptx

Hiperestáticos - Método de las Fuerzas

1. Hiperestáticos Método de las Fuerzas Curso de Estabilidad IIb Ing. Gabriel Pujol Para las carreas de Ingeniería Mecánica e Ingeniería Naval y Mecánica de la Facultad de Ingeniería de la Universidad de Buenos Aires

2. Consideraciones Preliminares …que las estrictamente necesarias, es decir, tiene más movimientos impedidos, de los que son estrictamente necesarios para su estabilidad. Por ello su cálculo no se realiza con las ecuaciones de equilibrio, sino recurriendo a los esfuerzos y deformaciones a partir de las ecuaciones constitutivas del material. Son las vigas normalmente usadas en las estructuras de construcción, su uso es el más extendido. Es necesario entonces dominar métodos más generales para vencer la hiperestaticidad de sistemas compuestos por barras (para el alcance de este curso, sistemas planos de barras) . La diferencia entre el número de reacciones de vínculo (número de incógnitas - NI ) y el número de grados de libertad del sistema (número de ecuaciones independientes de la estática - EE ) que se pueden plantear para un sistema dado se denomina grado de hiperestaticidad (grado de indeterminación - GI ) .   ( GI representan el número de ecuaciones adicionales necesaria para resolver el problema) Una viga hiperestática es aquella que tiene más condiciones de contorno…

3. Consideraciones Preliminares Es el método más intuitivo, y consiste en que al sistema hiperestático dado se lo libra de las ligaduras externas adicionales y se las sustituye por las acciones correspondientes. Así pues, en este método las incógnitas son fuerzas . (de ahí su nombre) Así, la resolución de cualquier hiperestático por el Método de la Fuerzas comienza por eliminar las ligaduras adicionales. El sistema libre de esta ligaduras, se convierte en un isostático denominado sistema base o fundamental . Para cualquier sistema hiperestático se pueden elegir, como norma general, un número infinito de sistemas fundamentales. Una vez eliminadas las ligaduras adicionales y convertido el sistema en un isostático fundamental, es necesario introducir en su lugar las reacciones desconocidas (en las secciones dónde no existen desplazamiento lineales se introducen fuerzas y en las que no existen desplazamiento angulares, momentos) . Veamos el Método de las Fuerzas .

4. Consideraciones Preliminares Es el método más intuitivo, y consiste en que al sistema hiperestático dado se lo libra de las ligaduras externas adicionales y se las sustituye por las acciones correspondientes. Así pues, en este método las incógnitas son fuerzas . (de ahí su nombre) Así, la resolución de cualquier hiperestático por el Método de la Fuerzas comienza por eliminar las ligaduras adicionales. El sistema libre de esta ligaduras, se convierte en un isostático denominado sistema base o fundamental . Para cualquier sistema hiperestático se pueden elegir, como norma general, un número infinito de sistemas fundamentales. Una ves eliminadas las ligaduras adicionales y convertido el sistema en un isostático fundamental, es necesario introducir en su lugar las reacciones desconocidas (en las secciones dónde no existen desplazamiento lineales se introducen fuerzas y en las que no existen desplazamiento angulares, momentos) . Por último se plantean las ecuaciones (en término de desplazamientos) para la determinación de las reacciones desconocidas. Estas ecuaciones se denominan ecuaciones canónicas y su número coincide con el grado de hiperestaticidad del sistema. Veamos el Método de las Fuerzas .

5. Consideraciones Preliminares Si el número de incógnitas ( N I ) , es menor que el número de ecuaciones ( EE ) , la estructura es inestable, (sistema hipostático) . Constituye un sistema incompatible. Si el número de incógnitas ( NI ) , es igual al número de ecuaciones ( EE ) , la estructura es estáticamente determinada, (sistema isostático) . Si el número de incógnitas ( NI ) , es mayor que el número de ecuaciones ( EE ) , la estructura es estáticamente indeterminada, (sistema hiperestático) .           Analicemos una estructura sometida a un determinado estado de carga :

6. Consideraciones Preliminares Se hace desaparecer la causa de la indeterminación estática y se obtiene un sistema isostático fundamental , principal o base. El sistema fundamental no cumplirá las condiciones impuestas al sistema hiperestático, por esta razón, han de aplicársele fuerzas o momentos que constituirán las incógnitas hiperestáticas . Las condiciones suprimidas pueden pertenecer a la sustentación o ser condiciones internas del sistema. Analicemos una estructura sometida a un determinado estado de carga :

7. Consideraciones Preliminares El sistema fundamental más conveniente será aquel en el cual los diagramas debidos a las incógnitas y a las cargas exteriores resulten simples y donde haya la menor cantidad posible de coeficientes δ ij suplementarios, distintos de cero . Para la misma estructura existen varios sistemas fundamentales posibles :

8. Consideraciones Preliminares …las solicitaciones y desplazamientos en el sistema fundamental bajo la acción de las cargas exteriores y de las incógnitas hiperestáticas actuando conjuntamente, deben ser iguales a las solicitaciones y deformaciones en la estructura hiperestática planteada, bajo la acción de las cargas exteriores. = + + + X 1 X 3 X 2 Los efectos del momento flector total en una sección genérica C de la estructura hiperestática original valdrán: C C C 1 C 2 C 3 Estructura original Estado 0 Estado 1 Estado 2 Estado 3 Por el Principio de Superposición …

9. Consideraciones Preliminares …luego , no pueden obtenerse M 1C , M 2C ni M 3C . Sin embargo, la forma del diagrama de solicitaciones es única para cualquier valor de la carga que lo produzca. Así por ejemplo los diagramas de momentos de un par de 1 tm y el de 5 tm son idénticos, sólo varía la escala de referencia de los mismos. Pero se desconocen los valores verdaderos de X 1 , X 2 y X 3

10. Consideraciones Preliminares …puede escribirse: en la cual: X 1 - valor (adimensional) de la incógnita hiperestática verdadera. M’ 1C - valor del momento flector en C originado por una carga unitaria en el punto de actuación de la incógnita X 1 . y generalizando, la expresión del momento en C en la estructura hiperestática será: y en general: Siguiendo el razonamiento…

11. Consideraciones Preliminares …debemos plantear ahora tantas ecuaciones de compatibilidad de las deformaciones como incógnitas hiperestáticas existan. Si en las secciones de la estructura hiperestática donde se consideraron las incógnitas hiperestáticas ( X 1 , X 2 y X 3 ) los enlaces son rígidos, los desplazamientos relativos de dichas secciones serán nulos. Por lo tanto, en el sistema fundamental la suma de los desplazamientos en las secciones en cuestión, originados por las cargas exteriores y las incógnitas hiperestáticas actuando conjuntamente, debe ser nula . Por lo tanto: X 1 X 2 X 3 Veamos las ecuaciones de compatibilidad …

12. Consideraciones Preliminares δ’ 1 - desplazamiento relativo entre las secciones en el punto de aplicación de la incógnita hiperestática X 1 , en la estructura fundamental. δ 11 - desplazamiento que sufre el punto de aplicación de la incógnita X 1 en la estructura fundamental en la dirección y sentido de esta fuerza, originado por un valor unitario de X 1 actuando en A . (etc.) δ 10 - desplazamiento que sufre el punto de aplicación de la incógnita X 1 en la estructura fundamental en la dirección y sentido de esta fuerza, originado por las cargas exteriores. X 1 - verdadero valor de la incógnita hiperestática 1 (adimensional) . y en general: δ ij - desplazamiento del punto de aplicación de la incógnita hiperestática X i en la estructura fundamental, en la dirección y sentido de esta fuerza, por acción de X j = 1 [t o tm ] (según sea fuerza o par) . …donde…

13. Consideraciones Preliminares …aplicando el Principio de los Trabajos Virtuales : M’ i - momentos en la estructura fundamental originados por X 1 = 1 [t] ó [ tm ] donde: M - momentos finales en la estructura fundamental (iguales a los momentos verdaderos en la estructura isostática) . Sustituyendo los valores de δ ij e igualando a cero resulta la ecuación de δ’ 1 : La expresión de los desplazamientos δ’ ij la obtenemos…

14. Consideraciones Preliminares … un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas X 1 ; X 2 y X 3 : o bien: Planteando la nulidad de desplazamientos para las otras dos incógnitas hiperestáticas obtenemos…

15. Consideraciones Preliminares … un sistema que puede representarse como sigue: dónde: F representa la matriz de coeficientes del sistema, o matriz de flexibilidad , ya que sus términos miden deformaciones de la estructura bajo la acción de cargas unitarias. X representa la matriz columna de las incógnitas hiperestáticas X i . T representa la matriz columna de los términos independientes . Resuelto el sistema obtenemos los valores de las incógnitas hiperestáticas ( X 1 , X 2 y X 3 ). Planteando la nulidad de desplazamientos para las otras dos incógnitas hiperestáticas obtenemos…

16. …el procedimiento descripto recibe el nombre de Método de Compatibilidad , porque las ecuaciones que se plantean para resolver el problema son ecuaciones de compatibilidad. Se le conoce también con los nombres de Método de las Fuerzas , dado que las incógnitas hiperestáticas seleccionadas para resolver el problema son fuerzas (o momentos) hiperestáticos, o Método de Flexibilidad , ya que los coeficientes que aparecen en las ecuaciones que se plantean son de flexibilidad. Dado que hay que plantear y resolver tantas ecuaciones de compatibilidad como incógnitas hiperestáticas hay en el problema, este método es adecuado para estructuras de bajo grado de hiperestaticidad . Su principal desventaja consiste en que la forma de seleccionar las incógnitas hiperestáticas de un problema dado no es única y esto dificulta un planteamiento sistemático del método. Esto lo hace poco adecuado para el cálculo de estructuras por medios informáticos . Resumiendo…

17. Con este método se han generado tablas de barras simples resueltas con distintos grados de hiperestaticidad y estados de cargas

18. Analicemos la siguiente estructura Es de nuestro interés verificar las reacciones de extremo de barra que aparecen en las tablas de “Soluciones de Barras Empotradas/Empotradas” Para ello, se hace desaparecer la causa de la indeterminación estática y se obtiene un sistema isostático fundamental o principal. Nosotros elegiremos como sistema fundamental a una barra empotrada en B y libre en A . El sistema fundamental no cumplirá las condiciones impuestas al sistema hiperestático, por esta razón, han de aplicársele fuerzas o momentos que constituirán las incógnitas hiperestáticas . A saber X 1 , X 2 y X 3 B A L X 3 X 1 X 2

19. Analicemos la siguiente estructura B A L X 3 X 1 X 2 Debemos plantear tantas ecuaciones de compatibilidad de las deformaciones como incógnitas hiperestáticas existan. Desplazamientos verticales del vínculo A :   Rotaciones del vínculo A :   Desplazamientos horizontales del vínculo A :   En nuestro caso, por las condiciones de carga, para la ecuación de equilibrio horizontal se verifica que: Trazamos los diagramas de momentos que generan la carga q y las incógnitas hiperestáticas X 1 , X 2 y X 3 para valores unitarios de las mismas. X 1 =1 M 1 =L X 2 =1 M 2 =1 La incógnita hiperestática X 3 es nula, por lo tanto:     qL 2 /2 q q

20. B A X 1 X 2 Debemos plantear tantas ecuaciones de compatibilidad de las deformaciones como incógnitas hiperestáticas existan. Desplazamientos verticales del vínculo A :   Rotaciones del vínculo A :   Desplazamientos horizontales del vínculo A :   En nuestro caso, por las condiciones de carga, para la ecuación de equilibrio horizontal se verifica que: X 2 =1 M 2 =1 La incógnita hiperestática X 3 es nula, por lo tanto:   X 3 qL 2 /2 q X 1 =1 M 1 =L L q Trazamos los diagramas de momentos que generan la carga q y las incógnitas hiperestáticas X 1 , X 2 y X 3 para valores unitarios de las mismas.  

21. Podemos plantear las siguientes ecuaciones de compatibilidad   Calculamos los coeficientes a ij (desplazamientos) por el método gráfico       …y reemplazando M 1 = L y M 2 = 1 :

22. Calculamos los coeficientes a ij (desplazamientos) por el método gráfico   …y reemplazando M 1 = L :         Podemos plantear las siguientes ecuaciones de compatibilidad

23. Calculamos los coeficientes a ij (desplazamientos) por el método gráfico   …y reemplazando M 2 = 1 :           Podemos plantear las siguientes ecuaciones de compatibilidad

24. Calculamos los coeficientes a ij (desplazamientos) por el método gráfico   …y reemplazando M = qL 2 /2 y M 1 = L :         Podemos plantear las siguientes ecuaciones de compatibilidad    

25. Calculamos los coeficientes a ij (desplazamientos) por el método gráfico   …y reemplazando M = qL 2 /2 y M 2 = 1 :         Podemos plantear las siguientes ecuaciones de compatibilidad      

26.   Reemplazando los coeficientes a ij tendremos   Calculamos los coeficientes a ij (desplazamientos) por el método gráfico …y resolviendo el sistema:           (sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas)

27. q Calculamos ahora las reacciones de vínculo en B Planteamos ahora las ecuaciones de equilibrio: B A L           …y resolviendo el sistema:   Nota : el signo negativo de la reacción de vínculo X 1 y del momento M B , indica que dichos sentidos no son los que aparecen graficados en el diagrama sino los contrarios.

28. q Calculamos ahora las reacciones de vínculo en B Planteamos ahora las ecuaciones de equilibrio: B A L           …y resolviendo el sistema: verifica   Nota : el signo negativo de la reacción de vínculo X 1 y del momento M B , indica que dichos sentidos no son los que aparecen graficados en el diagrama sino los contrarios.

29. Analicemos la siguiente estructura Es de nuestro interés verificar las reacciones de extremo de barra que aparecen en las tablas de “Soluciones de Barras Empotradas/Empotradas” Para ello, se hace desaparecer la causa de la indeterminación estática y se obtiene un sistema isostático fundamental o principal. Nosotros elegiremos como sistema fundamental a una barra empotrada en B y libre en A . El sistema fundamental no cumplirá las condiciones impuestas al sistema hiperestático, por esta razón, han de aplicársele fuerzas o momentos que constituirán las incógnitas hiperestáticas . A saber X 1 , X 2 y X 3 B A L X 3 X 1 X 2

30. Analicemos la siguiente estructura B A L X 3 X 1 X 2 Debemos plantear tantas ecuaciones de compatibilidad de las deformaciones como incógnitas hiperestáticas existan. Desplazamientos verticales del vínculo A :   Rotaciones del vínculo A :   Desplazamientos horizontales del vínculo A :   En nuestro caso la barra se encuentra descargada, por lo tanto:   Trazamos los diagramas de momentos que generan las incógnitas hiperestáticas X 1 , X 2 y X 3 para valores unitarios de las mismas. X 1 =1 M 1 =L X 2 =1 M 2 =1 La incógnitas hiperestáticas X 3 no genera momentos y además, no interviene en el descenso del vínculo, por lo tanto:  

31. B A L X 3 X 1 X 2 X 1 =1 M 1 =L X 2 =1 M 2 =1 Debemos plantear tantas ecuaciones de compatibilidad de las deformaciones como incógnitas hiperestáticas existan. Desplazamientos verticales del vínculo A :   Rotaciones del vínculo A :   Desplazamientos horizontales del vínculo A :   En nuestro caso la barra se encuentra descargada, por lo tanto:   Trazamos los diagramas de momentos que generan las incógnitas hiperestáticas X 1 , X 2 y X 3 para valores unitarios de las mismas. La incógnitas hiperestáticas X 3 no genera momentos y además, no interviene en el descenso del vínculo, por lo tanto:  

32. Podemos plantear las siguientes ecuaciones de compatibilidad   Calculamos los coeficientes a ij (desplazamientos) por el método gráfico       …y reemplazando M 1 = L y M 2 = 1 :

33. Podemos plantear las siguientes ecuaciones de compatibilidad   Calculamos los coeficientes a ij (desplazamientos) por el método gráfico   …y reemplazando M 1 = L :      

34. Podemos plantear las siguientes ecuaciones de compatibilidad   Calculamos los coeficientes a ij (desplazamientos) por el método gráfico   …y reemplazando M 2 = 1 :        

35.   Reemplazando los coeficientes a ij tendremos   Calculamos los coeficientes a ij (desplazamientos) por el método gráfico       …y resolviendo el sistema:  

36. Calculamos ahora las reacciones de vínculo en B Planteamos ahora las ecuaciones de equilibrio: B A L           …y resolviendo el sistema:   Nota : el signo negativo de los momento X 2 y M B indica que los sentidos de los mismos no son los indicados en el diagrama sino los contrarios.

37. Calculamos ahora las reacciones de vínculo en B Planteamos ahora las ecuaciones de equilibrio: B A L         …y resolviendo el sistema:   Nota : el signo negativo de los momento X 2 y M B indica que los sentidos de los mismos no son los indicados en el diagrama sino los contrarios. verifica  

38. Analicemos la siguiente estructura Es de nuestro interés verificar las reacciones de extremo de barra que aparecen en las tablas de “Soluciones de Barras Empotradas/Empotradas” Para ello, se hace desaparecer la causa de la indeterminación estática y se obtiene un sistema isostático fundamental o principal. Nosotros elegiremos como sistema fundamental a una barra empotrada en B y libre en A . El sistema fundamental no cumplirá las condiciones impuestas al sistema hiperestático, por esta razón, han de aplicársele fuerzas o momentos que constituirán las incógnitas hiperestáticas . A saber X 1 , X 2 y X 3 B A L X 3 X 1 X 2

39. Analicemos la siguiente estructura B A L X 3 X 1 X 2 Debemos plantear tantas ecuaciones de compatibilidad de las deformaciones como incógnitas hiperestáticas existan. Desplazamientos verticales del vínculo A :   Rotaciones del vínculo A :   Desplazamientos horizontales del vínculo A :   En nuestro caso la barra se encuentra descargada, por lo tanto:   Trazamos los diagramas de momentos que generan las incógnitas hiperestáticas X 1 , X 2 y X 3 para valores unitarios de las mismas. X 1 =1 M 1 =L X 2 =1 M 2 =1 La incógnitas hiperestáticas X 3 no genera momentos y además, no interviene en la rotación del vínculo, por lo tanto:  

40. B A L X 3 X 1 X 2 X 1 =1 M 1 =L X 2 =1 M 2 =1   Debemos plantear tantas ecuaciones de compatibilidad de las deformaciones como incógnitas hiperestáticas existan. Desplazamientos verticales del vínculo A :   Rotaciones del vínculo A :   Desplazamientos horizontales del vínculo A :   En nuestro caso la barra se encuentra descargada, por lo tanto:   Trazamos los diagramas de momentos que generan las incógnitas hiperestáticas X 1 , X 2 y X 3 para valores unitarios de las mismas. La incógnitas hiperestáticas X 3 no genera momentos y además, no interviene en la rotación del vínculo, por lo tanto:

41. Podemos plantear las siguientes ecuaciones de compatibilidad   Calculamos los coeficientes a ij (desplazamientos) por el método gráfico       …y reemplazando M 1 = L y M 2 = 1 :

42. Podemos plantear las siguientes ecuaciones de compatibilidad Calculamos los coeficientes a ij (desplazamientos) por el método gráfico   …y reemplazando M 1 = L :        

43. Podemos plantear las siguientes ecuaciones de compatibilidad Calculamos los coeficientes a ij (desplazamientos) por el método gráfico   …y reemplazando M 2 = 1 :          

44.   Reemplazando los coeficientes a ij tendremos   Calculamos los coeficientes a ij (desplazamientos) por el método gráfico       …y resolviendo el sistema:  

45. Calculamos ahora las reacciones de vínculo en B Planteamos ahora las ecuaciones de equilibrio: B A L           …y resolviendo el sistema:   Nota : el signo negativo de los momento X 2 y M B indica que los sentidos de los mismos no son los indicados en el diagrama sino los contrarios.

46. Calculamos ahora las reacciones de vínculo en B Planteamos ahora las ecuaciones de equilibrio: B A L           …y resolviendo el sistema:   Nota : el signo negativo de los momento X 2 y M B indica que los sentidos de los mismos no son los indicados en el diagrama sino los contrarios. verifica

47. Bibliografía Estabilidad II - E. Fliess Introducción a la estática y resistencia de materiales - C. Raffo Mecánica de materiales - F. Beer y otros Resistencia de materiales - R. Abril / C. Benítez Resistencia de materiales - Luis Delgado Lallemad / José M. Quintana Santana Resistencia de materiales - V. Feodosiev Resistencia de materiales - A. Pytel / F. Singer Resistencia de materiales - S. Timoshenko

48. Muchas Gracias