SKKN Định hướng tư duy - tính nhanh khoảng cách – góc trong không gian thi học sinh giỏi và thi THPTQG.pdf

Bài toán tính khoảng cách, góc giữa các đối tượng trong không gian là bài
toán rất quan trọng và điển hình trong chương quan hệ vuông góc của hình học
11 và là phần hay ra trong các đề thi HSG, thi THPT QG các năm.
Để giải quyết bài toán này không phải là khó nhưng cũng không dễ đối
với lớp các đối tượng ngại học hình đặc biệt là hình không gian. Đặt ra câu hỏi
tìm ra cách thức, đường hướng giải quyết bài toán nằm ở mức độ 6-7 điểm trong
đề thi, để các em có được phương thức giải dạng toán này.

1. 1

MỤC LỤC
Tiêu mục
Trang
Mục lục
1
1. Lời giới thiệu 3
2. Tên sáng kiến 3
3. Tác giả sáng kiến 3
4. Chủ đầu tư sáng kiến 3
5. Lính vực áp dụng sáng kiến 3
6. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử 4
7. Mô tả bản chất sáng kiến 4
7.1. Nội dung sáng kiến 4
7.1.1. Khoảng cách 4
7.1.1.1 Các loại khoảng cách trong không gian 4
7.1.1.2. Phân dạng và phương pháp giải 5
7.1.1.2.1. Dạng 1 Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng 5
7.1.1.2.1.1. Phương pháp 5
7.1.1.2.1.2. Chú ý 6
7.1.1.2.1.3. Bài toán gốc 7
7.1.1.2.1.4. Ví dụ minh họa 8
7.1.1.2.1.5. Bài tập tự giải 23
7.1.1.2.2. Dạng 2 Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau 25
7.1.1.2.2.1. Phương pháp 25
7.1.1.2.2.2. Ví dụ minh họa 25
7.1.1.2.2.3. Bài tập tự giải 32
7.1.2. Góc 34
7.1.2.1. Các loại góc trong không gian 34 Lop4.edu.vn

2. 2

7.1.2.2. Các dạng toán về góc trong không gian 35
7.1.2.2.1. Dạng 1 góc giữa hai đường thẳng 35

7.1.2.2.1.1. Phương pháp 35
7.1.2.2.1.2. Ví dụ minh họa 35
7.1.2.2.2. Dạng 2 góc giữa đường thẳng và mặt phẳng 39
7.1.2.2.2.1. Phương pháp 39
7.1.2.2.2.2. Ví dụ minh họa 40
7.1.2.2.3. Dạng 3 góc giữa hai mặt phẳng 46
7.1.2.2.3.1. Phương pháp 46
7.1.2.2.3.2. Ví dụ minh họa 46
7.1.3. Bài tập trắc nghiệm khoảng cách - góc 53
7.1.4. Đáp án bài tập trắc nghiệm 57
7.2. Về khả năng áp dụng của sáng kiến: 57
8. Những thông tin cần được bảo mật (nếu có): 58
9. Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến: 58
10. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp
dụng sáng kiến theo ý kiến của tác giả và theo ý kiến của tổ chức, cá
nhân đã tham gia áp dụng sáng kiến lần đầu, kể cả áp dụng thử
(nếu có) theo các nội dung sau:
58
10.1. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp
dụng sáng kiến theo ý kiến của tác giả:
58
10.2. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp
dụng sáng kiến theo ý kiến của tổ chức, cá nhân:
58
11. Danh sách những tổ chức/cá nhân đã tham gia áp dụng thử
hoặc áp dụng sáng kiến lần đầu (nếu có):
58


Lop4.edu.vn

3. 3

BÁO CÁO KẾT QUẢ
NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN:
ĐỊNH HƯỚNG TƯ DUY - TÍNH NHANH
KHOẢNG CÁCH – GÓC TRONG KHÔNG GIAN
THI HỌC SINH GIỎI VÀ THI THPT QUỐC GIA
1. Lời giới thiệu:
Bài toán tính khoảng cách, góc giữa các đối tượng trong không gian là bài
toán rất quan trọng và điển hình trong chương quan hệ vuông góc của hình học
11 và là phần hay ra trong các đề thi HSG, thi THPT QG các năm.
Để giải quyết bài toán này không phải là khó nhưng cũng không dễ đối
với lớp các đối tượng ngại học hình đặc biệt là hình không gian. Đặt ra câu hỏi
tìm ra cách thức, đường hướng giải quyết bài toán nằm ở mức độ 6-7 điểm trong
đề thi, để các em có được phương thức giải dạng toán này.
Vì vậy, từ kinh nghiệm của bản thân trong các năm luyện thi đại học và
bồi dưỡng học sinh giỏi cũng như tìm tòi, tham khảo và tổng hợp ở các tài liệu
Toán tôi hệ thống lại và đưa ra hướng giải quyết thông qua chuyên đề: “Định
hướng tư duy - tính nhanh khoảng cách – góc trong không gian thi học sinh
giỏi và thi trung học phổ thông quốc gia” với mong muốn giúp đỡ các em học
sinh nắm bắt được cách giải dạng toán này nhằm góp phần nâng cao chất lượng
dạy và học của trường THPT Đồng Đậu.
Chuyên đề là một tài liệu dùng trong việc ôn thi và làm tài liệu tham khảo
cho học sinh lớp 11, lớp 12, giáo viên của trường.
2. Tên sáng kiến: ĐỊNH HƯỚNG TƯ DUY - TÍNH NHANH KHO ẢNG
CÁCH – GÓC TRONG KHÔNG GIAN THI H ỌC SINH GIỎI VÀ THI
THPT QUỐC GIA
3. Tác giả sáng kiến:
- Họ và tên: Nguyễn Thị Thu
- Địa chỉ tác giả sáng kiến: Trường THPT Đồng Đậu
- Số điện thoại: [phone]. E_mail: [email protected]
4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến : Nguyễn Thị Thu Lop4.edu.vn

4. 4

5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Giáo dục THPT
6. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử, (ghi ngày nào
sớm hơn): 12/10/2016
7. Mô tả bản chất của sáng kiến:
7.1. Nội dung sáng kiến:
7.1.1 KHOẢNG CÁCH
7.1.1.1. CÁC LOẠI KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN
7.1.1.1.1. Khoảng cách từ một điểm đến một
đường thẳng: Khoảng cách từ điểm M tới đường
thẳng d được ký hiệu là ()d M,d với H là hình chiếu
vuông góc của M lên d thì ()d M,d MH= .

7.1.1.1.2. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt
phẳng: Khoảng cách từ điểm M tới mặt phẳng (P)
được ký hiệu là d(M,(P)). Với H là hình chiếu
vuông góc của M lên (P) thì d(M,(P)) = MH.

7.1.1.1.3. Khoảng cách từ đường thẳng đến
mặt phẳng song song với nó: Khoảng cách từ
đường thẳng d đến mp (P) song song với nó: ()( ) ()( )d d, P d M, P , M d=  



P
P Lop4.edu.vn

5. 5

7.1.1.1.4. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng
song song: Khoảng cách giữa hai mặt phẳng
song song: ()()( ) ()( ) ()d P , Q d M, P , M Q=  


7.1.1.1.5. Khoảng cách giữa hai đường thẳng
chéo nhau: Cho hai đường thẳng chéo nhau a và
b khi đó khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo
nhau a và b kí hiệu là:
()d a,b MN,M a,N b,MN a,MN b=   ⊥ ⊥ ()( )() ()d a, P , P b,a / / P=
()()( )() ()()()d P , Q , P a,b Q : P / / Q=  


▪ Nhận xét:
✓ Như vậy các bài toán khoảng cách trong không gian đều có thể quy về
bài toán tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng.
✓ Bài toán tính thể tích của khối chóp và khối lăng trụ 1
V B.h; V B.h
3
== ,
đều phải tìm khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, khoảng cách giữa hai
mặt phẳng tức chúng đều quy về bài toán khoảng cách từ điểm đến mặt
phẳng.
7.1.1.2. PHÂN DẠNG VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
7.1.1.2.1. DẠNG 1 KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT MẶT
PHẲNG
7.1.1.2.1.1. PHƯƠNG PHÁP:
7.1.1.2.1.1.1. Tính trực tiếp: Tìm hình chiếu H của A trên mặt phẳng (P).
Khi đó ()( )d A, P AH=
Để tìm hình chiếu vuông góc của điểm A lên mặt phẳng (P) có 2
phương pháp thường dùng:
Q
P
Q
P P
a
b
N Lop4.edu.vn

6. 6

✓ Dựng đường thẳng d qua A và vuông góc với (P) ( nếu có), khi
đó H chính là giao của d và (P)
✓ Dựng mặt phẳng (Q) qua A và (Q) vuông góc với (P), gọi d là
giao tuyến của (P) và (Q), từ A hạ AH vuông góc với d, khi đó
H chính là hình chiếu vuông góc của A lên (P).
7.1.1.2.1.1.2. Tính gián tiếp:
✓ Tính gián tiếp qua một điểm khác dựa vào tính chất sau:
• Nếu: () ()( ) ()( )MN/ / P d M, P d N, P=


• Nếu: ()
()( ) ()( )d M, P d N, P
MN P I
MI NI
 =  =



Đặc biệt I là trung điểm của MN thì ()( ) ()( )d M, P d N, P=
✓ Tính gián tiếp qua công thức tính thể tích
7.1.1.2.1.2. CHÚ Ý:
➢ Tất cả các bài toán tính thể tích, khoảng cách, góc trong không gian chủ
yếu đề bài cho gắn với hình lăng trụ và hình chóp. Và để giải quyết bài toán
với các câu hỏi thể tích, khoảng cách, góc… thì việc đầu tiên các em phải tìm
được đường cao của hình chóp hay hình lăng trụ tức các em phải tìm được
chân hình chiếu của đỉnh xuống măt đáy. Để giải quyết được công việc đầu
P
P Lop4.edu.vn

7. 7

tiên nhưng mang yếu tố tiên quyết này cần chú ý vận dụng linh hoạt các tính
chất sau:
• Định nghĩa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
• Cách chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
• Chứng minh đường thẳng đó vuông góc với hai đường thẳng
cắt nhau trong mặt phẳng
• Chứng minh đường thẳng đó là giao tuyến của hai mặt phẳng
cùng vuông góc với mặt phẳng cần chứng minh
• Chứng minh đường thẳng đó nằm trong mặt phẳng vuông góc
với mặt cần chứng minh đồng thời vuông góc với giao tuyến
của hai mặt.
7.1.1.2.1.3. BÀI TOÁN GỐC:
Phương pháp xác định khoảng cách từ hình chiếu của đỉnh đến một mặt
bên:
Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), tình khoảng
cách từ A đến mặt (SBC).
Bước 1: Xác định giao tuyến
d của mặt bên và mặt đáy
Bước 2: Tìm hình chiếu vuông
góc K của A trên d. (AK d⊥ )
Bước 3: Gọi H là hình chiếu
vuông góc của
A trên SK ( AH SK⊥ ), suy
ra AH (SBC)⊥
Do ()d SAK d AH⊥  ⊥ , mà AH SK⊥
suy ra AH (SBC)⊥ .
Vậy ()( )d A, SBC AH=
Lop4.edu.vn

8. 8

▪ Nhận xét: Đây là bài toán cơ bản nhưng vô cùng quan trọng trong việc tính
khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. Hầu như tất cả các bài toán tính
khoảng cách từ một điểm BẤT KỲ đến mặt phẳng đều có thể thông qua bài toán
này.
7.1.1.2.1.4. VÍ DỤ MINH HỌA:
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có ()SA 3a, SA ABC=⊥ . Giả sử o
AB BC 2a,ABC 120= = =
. Tìm khoảng cách từ A đến mặt phẳng ()SBC .
Phân tích: A chính là chân đường vuông góc hạ từ S xuống mặt đáy (ABC).
Như vậy ta cần tìm khoảng cách từ hình chiếu của đỉnh đến mặt bên (SBC) ( bài
toán cơ bản).
Hướng dẫn giải:
Gọi K là hình chiếu vuông góc của A lên BC, suy
ra ()AK BC 1⊥
Do () ()SA ABC SA BC 2⊥  ⊥
Từ (1) và (2) suy ra ()BC SAK⊥ ()()()SAK SBC 3⊥
()()SD SAK SBC=
(4)
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SK, suy
ra AH SK (5)⊥

Từ (3), (4), (5) suy ra ()AH SBC⊥ . Vậy ()( )d A, SBC AH=
Xét tam giác vuông AKB , ta có: o
AK AB.sinABK 2a.sin60 a 3= = =
Do AH là đường cao trong tam giác SAK vuông tại A nên ta có: Lop4.edu.vn

9. 9
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 4
AH SA AK 9a 3a 9a
= + = + =

Suy ra ()( )
3a
d A, SBC AH
2
==
Cách 2: Tính gián tiếp qua thể tích
Dễ có 3
S.ABC ABC
1 1 1
V SA.S SA. AB.BC.sinABC a 3
3 3 2

= = =
Lại có ()( ) ()( )
S.ABC
S.ABC ABC SBC
SBC
1 1 3V
V SA.S d A, SBC .S d A, SBC
3 3 S


= =  =
Để tìm SBC
S
 thì cần tìm đường cao SK hay tìm góc giữa mặt (SBC) và mặt đáy.
Tương tự cách chứng minh và tìm K như trên ta có 22
AK a 3 SK SA AK 2a 3=  = + =
. Suy ra 2
SBC
1
S SK.BC 2a 3
2

==
Vậy ()( )
3
2
3.a 3 3a
d A, SBC
22a 3
==
Ví dụ 2: ĐHKD-2003 Cho hai mặt phẳng ()()P,Q vuông góc với nhau, cắt
nhau theo giao tuyến  . Lấy A, B thuộc  và đặt AB a= . Lấy C, D lần lượt
thuộc ()()P,Q sao cho AC,BD vuông góc với  và AC BD a== . Tính
khoảng cách từ A đến mặt phẳng ()BCD .
Phân tích:
Nhận thấy ()()()( )P ABC , Q ABD , từ giả thiết suy ra ( )CA ABD⊥ , nên A
chính là hình chiếu vuông góc của C lên mặt phẳng (ABD). Bài toán chính là
tìm khoảng cách từ hình chiếu vuông góc của đỉnh đến mặt bên (BCD).
Hướng dẫn giải: Lop4.edu.vn

10. 10

Ta có: ()()
()()
()
() ()
PQ
P Q AC Q AC BD 1
AC P ,AC
⊥ 

 =   ⊥  ⊥

 ⊥ 


Lại có ()BD AB 2⊥ . Từ (1) và (2) suy ra ()()BD ABC 3⊥

Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ A xuống
BC.
Vì tam giác ABC vuông cân tại A nên AH BC⊥
(4) và BC a 2
AH
22
== .

Từ (3) suy ra ()AH BD 5⊥ . Từ (4) và (5) suy ra ()AH BCD .⊥ Hay H là chân
đường vuông góc hạ từ A lên (BCD) ( )( )
a2
d A, BCD AH
2
 = = .
Ví dụ 3:ĐH KD-2012 Cho hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy là hình
vuông, tam giác A'AC vuông cân, A'C 2a= . Tính khoảng cách từ A đến mặt
phẳng ( )BCD' theo a.
Phân tích: Từ giả thiết ta có ( )A'A ABCD⊥ , suy ra A chính là hình chiếu
vuông góc của đỉnh A’ lên (ABCD). Do đó bài toán trở thành tính khoảng cách
từ hình chiếu vuông góc của đỉnh đến mặt bên (A’BCD’) ( xét trong hình chóp
A’.ABCD)
Hướng dẫn giải: Lop4.edu.vn

11. 11

Theo giả thiết A'AC vuông cân tại A, có A'C
A'C 2a AC AA' a 2
2
=  = = =
.
Lại có ABC vuông cân tại A, có AC
AC a 2 AB BC a
2
=  = = =
.
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên A’B.
Ta có ( )BC ABB'A'⊥ , suy ra AH BC⊥ , lại có AH A'B⊥
. Suy ra ( )AH BCD'⊥ .

Xét tam giác vuông ABA’ có AH là đường cao, nên ta có: 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 3
AH AB AA' a 2a 2a
= + = + =
( )( )
a6
d B, BCD' AH
3
 = = .
Cách 2: Tính gián tiếp theo thể tích:
Dễ có 23
A '.ABC ABC
1 1 a a 2
V AA'.S a 2.
3 3 2 6

= = =
Lại có ( )( ) ( )( ) ( )( )
A '.ABC
A '.ABC A 'BC
A 'BC
1 3V
V d A, A'BC .S d A, A'BC d A, BCD'
3S


=  = =
Mà 2
A 'BC
1 1 a 3
S A'B.BC a 3.a
2 2 2

= = = ,
suy ra ( )( )
2
A 'ABC
2
A 'BC
a2
3.
3V a 6
6
d B, BCD'
S3 a3
2

= = =
Ví dụ 4: ĐHKA-2014 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông
cạnh a, 3a
SD
2
= , hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD) là trung
điểm của cạnh AB. Tính theo a khoảng cách từ A đến mặt phẳng ()SBD theo a. Lop4.edu.vn

12. 12

Phân tích: Từ giả thiết ta thấy hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên mặt đáy là
H trung điểm của cạnh AB. Bài toán yêu cầu tính ()( )d A, SBD , ta thiết lập mối
quan hệ của A với H so với (SBD). Có ()AH SBD B= . Suy ra ()( ) ()( )d A, SBD 2d H, SBD=

Như vậy bài toán đã đưa về loại cơ bản đã biết cách giải.
Hướng dẫn giải:
Gọi H là trung điểm của AB, O là giao điểm của AC và BD. Theo đề bài ta
có ( )SH ABCD⊥ . HAD
vuông tại A có: 2
2 2 2 a a 5
HD AH AD a
42
= + = + =

SHD
vuông tại H có: 22
22 9a 5a
SH SD HD a
44
= − = − =

Gọi K là hình chiếu vuông góc của H trên BD, có HK BD⊥
và BD SH⊥ ()BD SHK⊥ .
Mà ()()()BD SBD SBD SHK  ⊥ . Hai mặt
phẳng này vuông góc với nhau và cắt nhau theo
giao tuyến SK, gọi I là hình chiếu vuông góc của
H trên SK, suy ra ()HI SBD⊥ .
Vậy ()( )d H, SBD HI= .

Ta có 1 a 2
HK AO
24
== , trong SHK có: 2 2 2 2
1 1 1 9 a
HI
HI HK HS a 3
= + =  = . Lop4.edu.vn

13. 13

Lại có ()AH SBD B= , ta có: ()( )
()( )
d H, SBD AB
2
d H, SBD HB
== . ()( ) ()( )
2a
d A, SBD 2d H, SBD
3
 = =
.
Cách 2: Tính gián tiếp theo thể tích.
Gọi H là trung điểm của AB, dễ có ( )SH ABCD⊥ , suy ra S.ABD ABD
1
V SH.S
3

= .
Ta có HAD vuông tại A : 2
2 2 2 a a 5
HD AH AD a
42
= + = + = . SHD
vuông tại H có: 22
22 9a 5a
SH SD HD a
44
= − = − = ,
suy ra 23
S.ABD ABD
1 1 a a
V SH.S a.
3 3 2 6

= = = .
Lại có ()( ) ()( )
S.ABD
S.ABD SBD
SBD
1 3V
V d A, SBD .S d A, SBD
3S


=  = .
Xét tam giác SBD có 223a a 5
SD ,BD a 2,SB SH HB
22
= = = + = .
Áp dụng công thức Hê rông ta có ( )( )( )
2
SBD
3
S p p SD p SB p BD a
4

= − − − = .
Với p là nửa chu vi của tam giác SBD.
Suy ra ()( )
3
S.ABD
2
SBD
a
3
3V 2
6
d A, SBD a
3S3
a
4

= = = .
Ví dụ 5: ĐHKB-2014 Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều
cạnh a. Hình chiếu vuông góc của A’ trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của Lop4.edu.vn

14. 14

cạnh AB, góc giữa đường thẳng A’C và mặt phẳng đáy bằng o
60 . Tính theo a
khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (ACC’A’).
Phân tích: Goi H là trung điểm của AB, thì H
chính là hình chiếu vuông góc của đỉnh A’ lên
mặt đáy (ABC).
Bài toán yêu cầu tính ( )( )d B, ACC'A' . Ta thiết
lập mối quan hệ của B với H và (ACC’A’). Ta
thấy ( )BH ACC'A' A= , suy ra ( )( ) ( )( )d B, ACC'A' 2d H, ACC'A'=
. Bài toán
trở về bài toán gốc.

Hướng dẫn giải:
Gọi H là trung điểm của AB. Mà ( )BH ACC'A' A=
nên ( )( ) ( )( )d B, ACC'A' 2d H, ACC'A'= .Ta có: ()A'H ABC⊥
Suy ra ()( )( )
o
A'C, ABC A'C,CH A'CH 60= = =
Gọi M, E lần lượt là trung điểm của AC, AM. Ta có BM AC,BM / /HE HE AC⊥  ⊥
. Lại có A'H AC⊥ . Suy ra ( )AC A'HE⊥ . Gọi K
là hình chiếu vuông góc của H trên A’E
Suy ra ( )HK ACC'A'⊥ . Tam giác ABC đều cạnh a
nêna3
CH BM
2
== a3
HE
4
= .
Xét tam giác vuông A’HC có o3a
A'H HC.tan60
2
==
Xét tam giác vuông A’HE có HK là đường cao: 2 2 2 2
1 1 1 9
HK A'H HE 52a
= + = Lop4.edu.vn

15. 15

Vậy ( )( )
a 52 3a 13
d B, ACC'A' 2.
9 13
==
Cách 2: Tính gián tiếp theo thể tích
Gọi H là trung điểm của AB, Do tam giác ABC đều cạnh a nên 2
ABC
3a 3 a 3
S ,CH
42

==
dễ thấy ()A'H ABC⊥ , suy ra ()( )( )
o
A'C, ABC A'C,CH A'CH 60= = =

Suy ra o3a
A'H CH.tan60
2
== , 22
A'C A'H HC a 3= + = , 22 a 10
AA' A'H HA
2
= + =
, 23
A '.ABC ABC
1 1 3a a 3 a 3
V A'H.S .
3 3 2 4 8

= = =
áp dụng công thức Hê rông ta có 2
A 'AC
a 39
S
8

= .
Ta có ( )( ) ( )( )d B, ACC'A' d B, A'AC= ,
lại có ( )( )
A '.ABC ABC A 'AC
11
V A'H.S d B, A'AC .S
33

==
Suy ra ( )( )
3
A '.ABC
2
A 'AC
a3
3.
3V 3a 13
8
d B, A'AC
S 13 a 39
8

= = = .
Ví dụ 6: DHKA-2013 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, o
ABC 30=
, SBC là tam giác đều cạnh a và mặt bên SBC vuông góc với đáy.
Tính theo a khoảng cách từ điểm C đến (SAB). Lop4.edu.vn

16. 16

Phân tích: Gọi H là trung điểm của BC theo
giả thiết suy ra ()SH ABC⊥ . Bài toán yêu cầu
tính ()( )d C, SAB . Ta thiết lập mối quan hệ của
C với H và (SAB),
dễ thấy ()( ) ()( )d C, SAB 2d H, SAB= .
Bài toán trở về bài toán cơ bản.

Hướng dẫn giải:
Gọi H là trung điểm của BC, theo giả thiết tam giác SBC đều và nằm trong mặt
phẳng vuông góc với mặt đáy (ABC) suy ra ()SH ABC⊥ .
Gọi K là trung điểm của AB, ta có HK / /AC , tam giác ABC vuông tại A nên HK AB⊥
, lại có AB SH⊥ . Suy ra ( )AB AHK⊥
Gọi I là hình chiếu vuông góc của H lên SK, suy ra ()HI SAB⊥ ()( )d H, SAB HI=
.
Do tam giác SBC đều cạnh a nên a3
SH
2
= , tam giác ABC vuông tại A có o
ABC 30=

Nên oa
AC BC.sin30
2
== a
HK
4
= . Xét tam giác vuông SHK với đường cao
HI ta có: 2 2 2 2 2 2
1 1 1 4 14 3
HI SH HK 3a a 52a
= + = + = . Suy ra ()( )
a 39
d C, SAB
13
=
Cách 2: Tính gián tiếp thông qua thể tích.
Trước tiên ta tìm ( )( )
S.ABC ABC
1
V d S, ABC .S
3

= , sau đó tìm Lop4.edu.vn

17. 17
()( )
S.ABC SAB
1
V d C, SAB .S
3

=

Gọi H là trung điểm của BC, theo giả thiết tam giác SBC đều và nằm trong mặt
phẳng vuông góc với mặt đáy (ABC) suy ra ()SH ABC⊥ .
Do tam giác SBC đều cạnh a nên a3
SH
2
= , tam giác ABC vuông tại A có o
ABC 30=

Nên oa
AC BC.sin30
2
== , oa3
AB BC.cos30
2
== 2
ABC
1 a 3
S AB.AC
28

 = = 3
S.ABC
a
V
16
=
. Dễ có 22
SB a,SA SH HA a= = + = nên 2
SAB
a 39
S
16

=
Suy ra ()( )
S.ABC
SAB
3V a 39
d C, SAB
S 13

==
Ví dụ 7. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BA 3a,BC 4a==
, mặt phẳng (SBC) vuông góc với (ABC). Biết o
SB 2a 3,SBC 30==
. Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) theo a.
Phân tích: Để tính khoảng cách từ B đến
mặt phẳng (SAC) ta thiết lập mối quan hệ
với hình chiếu vuông góc của S trên mặt
phẳng (ABC). Theo giả thiết gọi H là hình
chiếu vuông góc của S trên BC, ta tìm mối
quan hệ của B, H với (SAC). Từ đó bài
toán chuyển về tính khoảng cách từ H tới
(SAC).
Ta cũng có thể tính gián tiếp bài toán này
theo công thức thể tích khối chóp S.ABC.
Lop4.edu.vn

18. 18

Hướng dẫn giải:
Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên BC.
Theo giả thiết suy ra ()SH ABC⊥ . Xét tam giác SHB có o
SH SB.sin30 a 3==
Suy ra 22
BH SB SH 3a= − = , mà BC 4a HC a=  =  BC
4
HC
=
Vậy nên ()( ) ()( )d B, SAC 4d H, SAC= .
Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của B, H trên AC.
Trong tam giác ABC có 12a
BE.AC BA.BC BE
5
=  =
Ta có HF CH 1 BE 3a
HF
BE CB 4 4 5
= =  = =
Gọi K là hình chiếu vuông góc của H trên SF.
Ta có: ()AC HF,AC SH AC SHE⊥ ⊥  ⊥ . Mà ()HK SF,HK AC HK SAC⊥ ⊥  ⊥
Tức ()( )d H, SAC HK= . Xét tam giác vuông SHF có đường cao HK. 2 2 2 2
1 1 1 28
HK SH HF 9a
= + =
()( )
3a
d H, SAC
27
=
Suy ra: ()( ) ()( )
6a 7
d B, SAC 4d H, SAC
7
==
Cách 2: Tính gián tiếp bằng thể tích:
Dễ có o
SH SB.sin30 a 3== , suy ra 2
S.ABC ABC
1 1 1
V S .SH 6a.a 3 6a 3
3 3 3
= = =
Xét tam giác SHC. Có 22
SC SH HC 2a= + =
Xét tam giác ABC có 22
BC AB BC 5a= + = Lop4.edu.vn

19. 19

Dễ có 22
AH AB BH 3a 2= + = . Xét tam giác SHA có 22
SA AH HA a 21= + =
Sử dụng công thức Herrông ta có: 2
SAC
S a 21=
Lại có ()( ) ()( )
S.ABC SAC
1 6a 7
V d B, SAC .S d B, SAC
37
=  =

Ví dụ 8: Thi thử HSG 12 Đồng Đậu 16-17. Cho hình lăng trụ tam giác đều
ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng a, góc giữa hai mặt phẳng (A’BC) và (ABC)
bằng 60
0
. Gọi M là trung điểm cạnh BC, N là trung điểm cạnh CC’. Tính khoảng
cách từ M đến mặt phẳng (AB’N).
Phân tích: Từ giả thiết ta có ()BB' ABC⊥
Để tính khoảng cách từ M tới (AB’N) ta thiết lập
mối quan hệ M, B với mặt phẳng (AB’N).
Kéo dài B’N cắt BC tại I, ta có: IC CN 1
IB BB' 2
==
Nên BI 4
MI 3
= ( )( ) ( )( )
3
d M, AB'N d B, AB'N
4
=

Vậy bài toán trở thành tính khoảng cách từ B đến (AB’N) hay từ B đến mặt phẳng
(AB’I) với B là hình chiếu vuông góc của B’ lên mặt phẳng (ABC).
Hướng dẫn giải:
Trong mặt phẳng (BCC’B’) kéo dài B’N cắt BC tại I.
Do N là trung điểm cua CC’ nên suy ra C là trung điểm của BI
Theo giả thiết suy ra ()BB' ABC⊥ , và tam giác ABC đều, suy ra AM BC,AA' BC A'M BC⊥ ⊥  ⊥
Lop4.edu.vn

20. 20

Tức là góc giữa hai mặt phẳng (A’BC) và (ABC) chính là o
A'MA 60= .
Nên o3a
AA' AM.tan60
2
==
Lại có BI 4
MI 3
= , nên ( )( ) ( )( ) ()( )
33
d M, AB'N d B, AB'N d B, AB'I
44
 = =
Xét tam giác ABI có 2 2 o
AI AB BI 2AB.BIcos60 a 3= + − =
Suy ra 2 2 2
AI AB BI+= nên tam giác ABI vuông tại A.
Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên AB’. Ta có ( )AI ABB'A'⊥ suy ra ()BH AB'I⊥

Xét tam giác vuông ABB’ có đường cao BH , ta có: 2 2 2 2 2 2
1 1 1 4 1 13
BH BA BB' 9a a 9a
= + = + =

Suy ra ( )( )
9a
d M, AB'N
4 13
=
Cách 2: Tính gián tiếp theo thể tích
Ta có ABC.A’B’C’ là hình lăng trụ đều nên AM BC⊥ , ( )AM BB' AM B'MN⊥  ⊥

Lại có BC B'M⊥ suy ra góc giữa hai mặt phẳng (A’BC) và (ABC) chính là o
A'MA 60=
.
Nên a3
AM
2
= , o3a
AA' AM.tan60
2
== .
Ta có 2
B'MN BCC 'B" BB'M CMN B'C 'N
9
S S S S S a
16
   
= − − − = .
Vậy 3
A.B'MN B'MN
1 3a 3
V AM.S
3 32

== . Lop4.edu.vn

21. 21

Dễ có: a 13 5 5
AB' ,B'N a, AN a
2 4 4
= = = nên 2
AB' N
39
Sa
8

=
Lại có ( )( ) ( )( )
A.B'MN
A.B'MN AB' N
AB' N
1 3V 9a
V d M, AB'N .S d M, AB'N
3S 4 13


=  = =
Ví dụ 9: Trong mặt phẳng (P) cho góc vuông xOy. M là một điểm nằm ngoài
mặt phẳng (P). Biết rằng OM 23= và khoảng cách từ M tới Ox, Oy cùng bằng
17. Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P).
Phân tích: Gọi A, B lần lượt là hình chiếu
vuông góc của M lên Ox, Oy. H là trung
điểm của AB. Từ giả thiết ta chứng minh
được ( )AB OMH⊥ tại H. Tức H chính là
hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng
(OMH). Vậy bài toán trở thành tính
khoảng cách từ điểm M thuộc mặt đáy đến
măt bên (AOH) chứa đường cao AH.
Hướng dẫn giải:
Gọi A, B lần lượt là hình chiếu vuông góc của M lên Ox, Oy. Gọi H là trung
điểm của AB. Từ giả thiết ta có: MA MB 17== , MAO, MBO vuông lần
lượt tại A và B nên chúng bằng nhau, nên 22
OA OB OM MA 4 15= = − = AB 4 30=

Dễ thấy OAB, MAB cân lần lượt tại O và M nên  ( )AB OMH⊥
Gọi K là hình chiếu vuông góc của M trên OH suy ra ( )MK AOH⊥ hay ()MK P⊥

Tức ()( )d M, P MK= . Dễ có OH 2 30,MH 13==
Theo công thức Hê rông ta có: MOH
S 7 30= . Lại có Lop4.edu.vn

22. 22
MOH
1
S MK.OH MK 7
2
=  =

Vậy ()( )d M, P 7=
Ví dụ 10: HSG 12 Vĩnh Phúc 12-13. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình
chữ nhật, AB=2a, tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc
với mặt phẳng (ABCD). Gọi M là trung điểm của SD, mặt phẳng (ABM) vuông
góc với mặt phẳng (SCD) và đường thẳng AM vuông góc với đường thẳng BD.
Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (SBC).
Phân tích: Theo giả thiết với H là trung
điểm của AB dễ có ( )SH ABCD⊥ .
Vậy để tìm ()( )d M, SBC ta tìm mối quan
hệ M với H và (SBC).
Dễ dàng chứng minh được MH song song
với mặt phẳng (SBC), suy ra ()( ) ()( )d M, SBC d H, SBC=

Bài toán trở về bài toán gốc.
Bài toán có thể tích bằng cách gián tiếp
tức tính thể tích khối chóp S.BMC rồi tính
khoảng cách từ M tới mặt phẳng (SBC).
Hướng dẫn giải:

Gọi H, K, N, E lần lượt là trung điểm của AB, CD, SC, HD
Gọi I AK BD, T MN SK=  =  ; Dễ thấy tứ giácAHKD là hình chữ nhật
vàAK
IK
3
=
Từ giả thiết ta có ( ) ()SH ABCD , ME / /SH ME BD 1⊥  ⊥
Lại do ()AM BD 2⊥ . Từ ()() ( )1 & 2 BD AMK BD AK ⊥  ⊥ .
Trong tam giác AKD ta có 2
2 2 2 KA
KD KI.KA KA KD 3 a 3 AD KA KD a 2
3
= =  = =  = − =
Lop4.edu.vn

23. 23

Dễ thấy ()CD SHK⊥ , do () ()MN / /CD MN SHK MN SK 3 ⊥  ⊥
Do ( )()( )()ABMN SCD , ABMN SCD MN⊥  = (4), nên từ ()() ( )3 & 4 SK ABMN⊥
SK HT⊥
. Lại do T là trung điểm SK nên tam giác SHK vuông cân tại H suy
ra SH HK a 2== .
Gọi F là hình chiếu vuông góc của H trên SB, khi đó dễ dàng chứng minh được ()HF SBC⊥
, tức ()( )d H, SBC HF=
Trong tam giác vuông SHB có đường cao HF: 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 3
HF SH HB 2a a 2a
= + = + =
. Suy ra ()( )
a6
d M, SBC
3
=
7.1.1.2.1.5. BÀI TẬP TỰ GIẢI:
1. ĐHKD -2011. Cho hình lăng trụ 1 1 1 1
ABCD.A B C D có đáy là hình chữ nhật, AB a,=
AD a 3= . Hình chiếu vuông góc của 1
A lên mặt phẳng ( )ABCD
trùng với giao điểm của AC và BD. Tính khoảng cách từ điểm 1
B đến mặt
phẳng ( )
1
A BD theo a.
2. HSG 12 Vũng Tàu 15-16. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác
vuông tại B, AB a,AC 2a== . SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) , góc giữa
mặt phẳng ()SAC và mặt phằng ()SBC bằng o
60 . Gọi H, K lần lượt là hình
chiếu vuông góc của A trên các đường SB, SC. Tính theo a thể tích của khối
chóp A.BCKH và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và HK.
3. HSG 12 Vĩnh phúc 11-12. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là
tam giác vuông tại B với AB a,AA' 2a,A'C 3a= = = . Gọi M là trung điểm của
cạnh C'A' , I là giao điểm của các đường thẳng AM và A’C. Tính thể tích của
khối tứ diện IABC và khoảng cách từ A tới mặt phẳng (IBC).
4. HSG 12 Phú Thọ 15-16. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi
cạnh a, AC=a. Tam giác SAB cân nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Lop4.edu.vn

24. 24

Tính khoảng từ D tới mặt phẳng (SBC), biết góc giữa đường thẳng SD và mặt
phẳng đáy bằng o
60 .
5. ĐHKD-2013. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a. Cạnh SA
vuông góc với đáy, o
BAD 120= , M là trung điểm của cạnh BC và o
SMA 45= .
Tính khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng ()SBC .
6. ĐHKB-2013. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên
SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Tính theo
a khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD).
7. ĐHKD-2009. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác
vuông tại B, AB a,AA'=2a,A'C=3a= . Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A'C'
. Gọi I là giao điểm của AM và A’C. Tính khoảng cách từ A đến mặt
phẳng (IBC) theo a.
8. ĐHKD -2007. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, o
ABC BAD 90==
, BA BC a,AD 2a= = = . Cạnh SA vuông góc với đáy và SA a 2=
. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB. Tính khoảng cách từ
H đến mặt phẳng (SCD) theo a.
9. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng 3a, cạnh bên bằng 2a.
Gọi G là tâm của đáy, M là trung điểm của SC.
a) Tính theo a khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC).
b) Tính khoảng cách từ điểm M đến (SAG).
10. Cho tam giác ABC vuông cân tại B, BA=a. Trên đường thẳng vuông góc với
mặt phẳng (ABC) tại A lấy điểm S sao cho SA=a. Gọi I, M theo thứ tự là trung
điểm của SC và AB.
a) Tính khoảng cách từ điểm I đến (ABC)
b) Tính khoảng cách từ các điểm S, I đến đường thẳng CM. Lop4.edu.vn

25. 25

7.1.1.2.2. DẠNG 2 KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG
CHÉO NHAU
7.1.1.2.2.1 PHƯƠNG PHÁP:
Cách 1: Dựng và tính độ dài đường vuông góc chung ( chủ yếu áp dụng khi
hai đường thẳng đó vuông góc với nhau)
Cách 2: Dựng mặt phẳng (P) chứa a và song song với b. Khi đó khoảng
cách giữa hai đường thẳng a và b bằng khoảng cách từ b đến (P) bằng
khoảng cách từ điểm A thuộc b đến mặt phẳng (P). Tức là quy về dạng 1.
7.1.1.2.2.2. VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1: THPT QG 2015. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông
cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), góc giữa đường thẳng SC và mặt
(ABCD) bằng o
45 . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AC.
Phân tích: Để tìm khoảng cách giữa hai
đường thẳng chéo nhau SB và AC ta tìm
mặt phẳng chứa SB và song song với AC.
Khi đó ( ) ()( ) ()( )d SB,AC d AC, SBE d A, SBE==

Trong đó BE song song với AC.
Vậy bài toán trở về dạng 1. Tính khoảng
cách từ điểm đến mặt phẳng.

Hướng dẫn giải: Ta có ( )( )
o
SCA SC, ABCD 45== SA AC a 2 = =
Kẻ đường thẳng d qua B và song song với AC. Gọi E là hình chiếu vuông góc của
A trên d, H là hình chiếu vuông góc của A trên SE.
Ta có: SA BE,AE BE⊥⊥ nên AH BE⊥ suy ra ()AH SBE⊥ Lop4.edu.vn

26. 26

Lại có BE / /AC , suy ra ()AC/ / SBE
Mà ()SB SBE nên ( ) ()( ) ()( )d SB,AC d AC, SBE d A, SBE AH= = =
Xét tam giác SAE vuông tại A có đường cao AH nên ta có 2 2 2 2
1 1 1 5
AH SA AE 2a
= + =

Vậy ( )
a 10
d SB,AC AH
5
==
Ví dụ 2: ĐHKD-2014. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông
cân tại A, mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a và vuông góc với mặt đáy. Tính
theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC.
Phân tích: Gọi M là trung điểm của BC, dễ
thấy ()SM ABC⊥ , AM BC⊥
Suy ra BC SA⊥ . Như vậy để tìm khoảng
cách giữa BC và SA ta tìm đường vuông góc
chung của chúng.

Hướng dẫn giải: Gọi M là trung điểm của BC theo giả thiết ta có ()SM ABC ,AM BC⊥⊥
.
Suy ra ( )BC SAM⊥ . Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên SA, khi đó MH SA,MH BC⊥⊥
. Vậy ( )d BC,SA MH=
Do ABC vuông cân tại A, BC a= suy ra a
AM
2
= , SBC đều cạnh a, nên a3
SM
2
=
.
Xét SMA vuông tại M có đư ờng cao MH nên có: Lop4.edu.vn

27. 27
2 2 2 2 2 2
1 1 1 4 4 16
MH SM MA a 3a 3a
= + = + =
. Vậy ( )
a3
d BC,SA
4
=
Ví dụ 3: ĐHKA-2011. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông
cân tại B, AB BC 2a== , cho hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc
với mặt đáy. Gọi M là trung điểm của AB, mặt phẳng qua SM và song song với
BC cắt AC tại N, biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 60. Tính
khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN.
Phân tích: Từ giả thiết ta có: ()SA ABC⊥
,
N là trung điểm của AC.
Để tính khoảng cách giữa AB và SN ta
tìm mặt phẳng chứa SN và song song
với AB.
Ở đây chúng ta nên tìm mặt phẳng
chứa SN và song song với AB, vì khi
đó bài toán sẽ được quy về khoảng
cách từ điểm đến mặt phẳng và chính
là trường hợp tính khoảng cách từ hình
chiếu của đỉnh đến mặt bên.


Hướng dẫn giải: Từ giả thiết dễ chứng minh được ()SA ABC⊥ , ()()( )
o
SBC , ABC SBA 60==
. Suy ra 0
SA AB.tan60 2a 3==
Gọi (P) là mặt phẳng chứa SN và song song với AB, khi đó giao tuyến của (P)
với (ABC) là đường thẳng d qua N và song song với AB.
Gọi E là hình chiếu vuông góc của A trên d. Do đó ( ) ()( ) ()( )d SN,AB d AB, SNE d A, SNE==
. Lop4.edu.vn

28. 28

Dễ thấy AE d⊥ , AE SA⊥ suy ra ()EN SAE⊥ , gọi H là hình chiếu vuông góc
của A trên SE. Suy ra ()AH SNE⊥ tức ()( )d A, SNE AH=
Ta có BC
AE a
2
== .Xét SAE vuông tại A có đường cao AH, nên có: 2 2 2 2 2 2
1 1 1 4 1 49
AH SA EA a 12a 12a
= + = + =
, suy ra ( )
2a 3
d SN,AB AH
7
==
Ví dụ 4: ĐHKA-2012. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a.
Hình chiếu vuông góc của S trên (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho
HA=2HB. Góc giữa SC và mặt phẳng (ABC) bằng o
60 . Tính khoảng cách giữa
hai đường thẳng SA và BC.
Phân tích: Để tính khoảng cách giữa SA
và BC ta tìm mặt phẳng (P) chứa SA và
song song với BC. Từ đó tìm ( ) ()( ) ()( )d SA,BC d BC, P d B, P==

Bài toán đưa về bài toán tính khoảng
cách từ điểm đến mặt phẳng.

Hướng dẫn giải: Theo giả thiết ()SH ABC⊥ o
SCH 60= . Gọi d là đường
thẳng qua A song song với BC. Gọi D là hình chiếu vuông góc của H trên d.
Khi đó ()( ) ()( )BC/ / SAD d SA,BC d B, SAD=
Gọi M là trung điểm của BC, nên có HD / /AM . Ta có 2 2 o a7
HC BH BC 2BH.BC.cos60
3
= + − =
oa 21
SH HC.tan60
3
 = = Lop4.edu.vn

29. 29
2 a 3
HDA AMB HD AM
33
   = =

Gọi E là hình chiếu vuông góc của H trên SD. () ()( )HE SDE d H, SDE HE ⊥  =

Có 2 2 2 2 2 2
1 1 1 3 3 24
HE HS HD 7a a 7a
= + = + = , suy ra a 42
HE
12
= a ()( ) ()( )
3 a 42
d B, SAD d H, SDE
28
==
. Vậy ( )
a 42
d SA,BC
8
=
Ví dụ 5 ĐHKD-2008: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác
vuông có BA=BC=a. Cạnh bên AA' a 2= . Gọi M là trung điểm của BC. Tính
khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và B’C.
Phân tích:
Từ giả thiết ta dựng được mặt phẳng chứa
đường AM và song song với B’C. Như vậy: ( ) ( )( ) ( )( )d AM,B'C d B'C, AMN d B, AMN==

với N là trung điểm của BB’.
Bài toán đưa về dạng cơ bản tính khoảng
cách từ hình chiếu của đỉnh đến mặt bên.

Hướng dẫn giải: Gọi N là trung điểm của BB’, kẻ BK AM,BH NK⊥⊥ , ta có ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )MN/ /B'C d AM,B'C d B'C, AMN d C, AMN d B, AMN = = =

Ta có ()BB' ABC &BH NK BB' AM,AM BK AM BH⊥ ⊥  ⊥ ⊥  ⊥
Suy ra ( ) ( )( )BH AMN d B, AMN BH⊥  =
Xét tam giác BAM có 2 2 2
1 1 1 a 5
BK
Bk BA BM 5
= +  = Lop4.edu.vn

30. 30

Xét tam giác NBK có: 2 2 2
1 1 1 a 7
BH
BH BK BN 7
= +  =
Ví dụ 6 ĐHKA-2004: Cho hình tứ giác S.ABCD có đáy là hình thoi đường
chéo AC=4, SO 2 2= và SO vuông góc với đáy ABCD, với O là giao điểm
của hai đường chéo AC và BD. Gọi M là trung điểm của SC. Tìm khoảng cách
giữa hai đường thẳng SA và BM.
Phân tích:
Từ giả thiết ta thấy (BMD) chứa BM và
song song với SA. Như vậy ( ) ( )( ) ( )( )d SA,BM d SA, BMD d C, BMD==

Ta lại đi tìm mối quan hệ của C với chân
hình chiếu vuông góc của M trên mặt
phẳng (ABCD).

Hướng dẫn giải: ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )OM/ /SA d SA,BM d SA, BMD d A, BMD d C, BMD = = =

Kẻ ( )MH / /SO MH ABCD⊥ và H là trung điểm của OC. ( )( ) ( )( )d C, MBD 2d H, MBD=

Kẻ ( )HK OM HK BMD⊥  ⊥ do ()BD SAC⊥ .
Vậy ( )( ) ( )( )d C, MBD 2d H, MBD 2HK = =
Xét tam giác HMO có 2 2 2
1 1 1 1 1 3
HK HO HM 1 2 2
= + = + =
Vậy ( )
3
d SA,BM 2HK
2
== Lop4.edu.vn

31. 31

Ví dụ 7 ĐHKB-2002: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Tính theo
a khoảng cách giữa hai đường thẳng A’B và B’D.
Phân tích:
Trước tiên theo giả thiết ta dễ dàng
chứng minh được A’B và B’D vuông
góc với nhau.
Như vậy để tìm khoảng cách giữa
A’B và B’D ta đi tìm đường vuông
góc chung tức tìm.

Hướng dẫn giải: Theo giả thiết dễ chứng minh được ( )A'B ADC'B' A'B B'D⊥  ⊥
.
Kẻ AH B'D⊥ , trong mặt phẳng (ADC’B’) kẻ MK//AH suy ra MK B'D,MK A'B⊥⊥
. Vậy MK là đường vuông góc chung của hai đường
thẳng A’B và B’D. Ta có 1
MK AH
2
=
Xét tam giác vuông ADB’ có đường cao AH nên có: 2 2 2 2
1 1 1 3
AH AB' AD a
= + =
Vậy ( )
1 a 3
d A'B,B'D MK AH
26
= = =
Ví dụ 8: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB=a,
BC=2a, cạnh SA vuông góc với mặt đáy, SA=2a. Hãy xác định đường vuông
góc chung và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC. Lop4.edu.vn

32. 32

Phân tích:
Để tìm đường vuông góc chung của hai đường
thẳng chéo nhau ta đi theo hai hướng đã nêu
trong lí thuyết, ở bài này ta tìm đường vuông
góc chung bằng cách 1.
Khi đó khoảng cách giữa hai đường thẳng
chéo nhau chính là độ dài đoạn vuông góc
chung.

Hướng dẫn giải: Gọi D là điểm sao cho ABCD là hình bình hành. Theo giả thiết
ABCD là hình chữ nhật, khi đó CD//AB nên AB //(SCD).
Kẻ ()AE SD AE SCD⊥  ⊥ , do ()CD AD,SA CD CD SAD⊥ ⊥  ⊥
Trong mặt phẳng (ABE) kẻ đường thẳng FH //AE cắt AB tại H. Khi đó HF chính
là đường vuông góc chung của AB và SC.
Ta có 2 2 2
1 1 1
AE HF AE a 2
SA AD 2a
= = + =  = . Vậy ( )d AB,SC a 2=
7.1.1.2.2.3. BÀI TẬP TỰ GIẢI:
1. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Gọi E là
điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA, M là trung điểm của AE, N là
trung điểm của BC. Chứng minh rằng MN vuông góc với BD và tính theo a
khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC.
2. ĐHKA-2006: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 1. Gọi
M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tính khoảng cách giữa hai đường
thẳng A’C và MN.
3. Cho hình tứ diện đều ABCD có độ dài cạnh bằng 62 . Hãy xác định đường
vuông góc chung và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD. Lop4.edu.vn

33. 33

4. Thi Thử Hải Dương 2016. Cho hình lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có góc giữa
BC’ và (ABB’A’) bằng 30, cạnh đáy a3 . Tính khoảng cách giữa hai đường
BC’ và AC.
5. Thi thử Quảng Bình 2016. Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là
hình thoi cạnh a, góc ACB bằng 60. Mặt phẳng (A’BD) tạo với mặt đáy góc
60. Tính theo a khoảng cách giữa CD’ và BD.
6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B, có AB BC a,AD 3a= = =
. Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng đáy trùng
với trung điểm cạnh AD. Mặt phẳng (SCD) tạo với đáy một góc 60 . Gọi M là
trung điểm của CD. Tính thể tích khối S.ABCD và khoảng cách hai đường
thẳng AM và SC.
7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi có tâm I, AB 2a,= BD AC 3=
, mặt bên SAB là tam giác cân đỉnh A, hình chiếu vuông góc của
đỉnh S trên mặt phẳng đáy trùng với trung điểm H của AI. Tính khoảng cách
giữa hai đường thẳng SB và CD theo a.
8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình ch ữ nhật tâm I, AB a,AD 2a==
. Gọi M là trung điểm của cạnh AB và N là trung điểm của
đoạn MI. Hình chiếu vuông góc của S lên mặt đáy (ABCD) trùng với điểm N.
Biết góc tạo bởi đường thẳng SB với mặt phẳng đáy (ABCD) bằng o
45 . Tính
khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và SD theo a.
9. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh bằng a, góc tạo
bởi cạnh bên và mặt đáy bằng o
30 . Hình chiếu H của điểm A trên mặt phẳng
(A’B’C’) thuộc đường thẳng B’C’. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
AA’ và B’C’ theo a.
10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại C và D. Biết AD a,=
BC 2a,SA a 3== và SA vuông góc với đáy. Gọi M là trung điểm
của CD, biết AM vuông góc với SB. Tính khoảng cách giữa BD và SC. Lop4.edu.vn

34. 34

11. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật với AB 2BC 2a== ,
SA vuông góc với mặt đáy (ABCD), góc giữa (ABCD) và SC bằng o
60 . Tính
khoảng cách giữa hai đường thẳng SM và AC, M là trung điểm của BC.
12. ĐHKB-2007. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông
cạnh a. Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm SA, M là trung điểm của
AE, N là trung điểm của BC. Chứng minh rằng MN vuông góc với BD và tính
theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC.
13. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy
và SA=a. Tính theo a khoảng cách từ S tới mặt phẳng (MCD) với M là trung
điểm của SA. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SD.
14. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có độ dài cạnh bằng a. Trên các
cạnh AB, CD lấy lần lượt các điểm M, N sao cho BM=CN=x. Xác định vị trí
điểm M sao cho khoảng cách giữa hai dường thẳng A’C và MN bằng a/3.
15. Trong mặt phẳng (P) cho hình thoi ABCD có tâm O, cạnh a và a3
OB
3
= .
Trên đường thẳng vuông góc với (ABCD) tại O lấy điểm S sao ch SB=a.
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC , AB và SD.
7.1.2 GÓC.
7.1.2.1 CÁC LOẠI GÓC TRONG KHÔNG GIAN .
7.1.2.1.1 GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG
7.1.2.1.1.1. Định nghĩa: Góc giữa hai đường thẳng a và b là góc giữa hai đường
thẳng a’ và b’ sao cho a’, b’ lần lượt song song với a , b và a’, b’ cùng đi qua
một điểm.
7.1.2.1.1.2 Chú ý:
✓ Giả sử u;v lần lượt là vectơ chỉ phương của đường thẳng a, b và ()u;v=

Khi đó: ()
( )
( )
oo
o o o
0 90
a;b
180 90 180
  

=
−  
 Lop4.edu.vn

35. 35

✓ Nếu a / /b hoặc ab thì ()
o
a;b 0= .
7.1.2.1.2 GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
7.1.2.1.2.1 Định nghĩa:
✓ Nếu d vuông góc với ()P thì góc giữad và ()P là o
90 .
✓ Nếu d vuông góc với ()P thì góc giữa d và ()P là góc giữa d và d'
với d' là hình chiếu của d trên ()P .
7.1.2.1.2.2. Chú ý: Góc giữa d và ()P là  thì oo
0 90 .
7.1.2.1.3 GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG
7.1.2.1.3.1. Định nghĩa:
✓ Nếu ()
()
a
b
⊥


⊥ thì góc giữa hai mặt phẳng () và () là góc giữa hai
đường thẳng a và b.
✓ Giả sử ()()d   = . Từ điểm Id , dựng ()()
()()
a ,a
b ,b
⊥   


⊥    thì góc
giữa hai mặt phẳng () và () là góc giữa hai đường thẳng a và b.
✓ Chú ý: Gọi góc giữa hai mặt phẳng () và () là  thì oo
0 90 .
7.1.2.2. CÁC DẠNG TOÁN VỀ GÓC TRONG KHÔNG GIAN.
7.1.2.2.1. DẠNG 1 GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG.
7.1.2.2.1.1. PHƯƠNG PHÁP.
Cách 1: Dùng định nghĩa tức là tìm hai đường thẳng mới cắt nhau lần lượt
song với hai đường thẳng đã cho.
Cách 2: Sử dụng mối quan hệ góc giữa hai đường thẳng và góc giữa hai véc
tơ chỉ phương của hai đường thẳng.
7.1.2.2.1.2. VÍ DỤ MINH HỌA.
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có SA BC 2a== . Gọi M, N lần lượt là trung
điểm của AB và SC và MN a 3= . Tính số đo góc giữa hai đường thẳng SA và
BC.
A.0
30 B. 1500 C. 600 D. 1200 Lop4.edu.vn

36. 36

Phân tích:
- Để xác định góc giữa SA và BC ta cần
xây
dựng các đường thẳng lần lượt song song với
hai
đường thẳng đã cho và có tính chất cắt nhau
tại
một điểm.
Hướng dẫn giải:
Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của SB và AC.

Ta có MP / /SA;NQ / /SA ; MQ / /BC;NP / /BC
Suy ra góc giữa SA và BC chính là góc giữa MP và MQ.
Lại có 11
MP NQ SA a;MQ NP BC a
22
= = = = = = . Suy ra MPNQ là hình thoi.
Mặt khác MN a 3= suy ra tam giác MPQ đều. Vậy góc giữa hai đường thẳng
SA và BC bằng 0
60 . Đáp án C.
Ví dụ 2: Cho tứ diện đều ABCD. Góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng
A.0
60 B. 900 C. 450 D. 300
Phân tích:
- Để xác định góc giữa hai đường thẳng
ta làm theo phương pháp xác định góc
đã nêu.
Hướng dẫn giải:
Gọi M là trung điểm của CD. Hai tam giác
ACD, BCD đều .
AM CD
BM CD
⊥

⊥ (ABM) CD AB.CD ⊥  ⊥

Vậy góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng 0
90 . Đáp án B.
Nhận xét: Có thể thấy đây là một tính chất của tứ diện đều. Đó là các cạnh
đối của tứ diện đều vuông góc với nhau. Lop4.edu.vn

37. 37

Ví dụ 3: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.MNP có tất cả các cạnh bằng
nhau. Gọi I là trung điểm của cạnh AC. Cosin của góc giữa hai đường thẳng NC
và BI bằng:
A.6
2 B. 10
4 C. 6
4 D. 15
5
Phân tích:
- Ta dựng đường thẳng song song với BI và
cắt NC hoặc ngược lại.
- Sử dụng tính chất hình lăng trụ tam giác
đều gọi F là trung điểm của MP dễ có NF
song song với BI và cắt NC tại N.

Hướng dẫn giải:
Gọi F là trung điểm của MP ta có ( )( )BI / /NF BI;NC NF;NC=
Ta có 2
2a 3 a a 5
NF ;NC a 2;CF a NCF
2 4 2
= = = + =   vuông tại F. NF 6
cosCNF .
NC 4
==
Đáp án C.
Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA = a và vuông
góc với đáy. Gọi M là trung điểm của SB. Góc giữa hai đường thẳng AM và BD
bằng:
A.0
30 B. 600 C. 450 D. 900
Hướng dẫn giải:
Gọi N là trung điểm của SD ta có MN // BD (AM;BD) (AM;MN).=

Tam giác SAB và SAD vuông cân tại A SB SD a 2 = = a2
AM AN .
2
 = =

ABCD là hình vuông cạnh a a2
BD a 2 MN .
2
 =  =
Lop4.edu.vn

38. 38

Vậy tam giác AMN đều 0
(AM;MN) AMN 60 . = = Đáp án B.
Có những bài toán mà cách số 2 khi áp dụng cho chúng ta lời giải đơn giản,
không cần dựng hình.
Ví dụ 5: Cho tứ diện ABCD có 0
DA DB DC AC AB a,ABC 45 .= = = = = = Tính
góc giữa hai đường thẳng AB và DC.
A.0
60 B. 1200 C. 900 D. 300
Phân tích:
Ở bài toán này chúng ta lại sử dụng mối quan hệ góc giữa hai đường thẳng và
góc giữa hai véc tơ chỉ phương của hai đường thẳng đó. Nhờ việc áp dụng tích
vô hướng để tính góc giữa hai đường thẳng.
Hướng dẫn giải:
Ta có tam giác ABC vuông cân tại A, tam giác BDC vuông cân tại D. Lại có ( )AB.CD DB DA CD DB.CD DA.CD= − = −
( ) ( )
21
DB CD cos DB,CD DA CD .cos DA,CD a
2
= − = −

Mặt khác, ( ) ( )
AB.CD 1
AB.CD AB.CD.cos AB.CD cos AB.CD
2AB.CD
=  = = − 00
(AB,DC) 120 (AB,CD) 60 . =  =
Đáp án A.
Ví dụ 6: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Gọi M, N lần lượt là trung điểm
AD, BB'. Côsin của góc hợp bởi MN và AC' là:
A.3
3 B. 2
3 C. 5
3 D. 2
4
Phân tích: - Cũng tương tự bài toán trên để tính cosin của góc hợp bởi MN và
AC’ ta đi tính ( )cos MN,AC' .
- Để tính được độ dài MN và AC’ cũng như là tích vô hướng của MN;AC'
ta cần biểu thị các véc tơ MN;AC' qua các véc tơ AB;AA';AD Lop4.edu.vn

39. 39

Hướng dẫn giải:

Ta có: ( )
MN.AC'
cos MN,AC'
MN . AC'
=
Gọi cạnh của hình lập phương bằng a. AM (ABB'A') AM AN AMN⊥  ⊥  
vuông tại A. 2 2 2 2 2 2
MN MA AN MA AB BN= + = + +

2 2 2
2a a 3a a 3
a MN
4 4 2 2
= + + =  =
B'C' (ABB'A') B'C' AB' AB'C'⊥  ⊥  
vuông tại B’. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
C'A C'B' B'A C'B' B'B BA a a a 3a C'A a 3= + = + + = + + =  =

Lại có: ( )( )MN.AC MA AB BN AB BB' B'C'= + + + +
2
MA.AB AB BN.AB MA.BB' AB.BB' BN.BB' MA.B'C' AB. B'C' BN.B'C'= + + + + + + + +

Mà MA.AB BN.AB MA.BB' AB.BB' AB.B'C' 0= = = = = (do các tích vô hướng
của các vector vuông góc)
Nên 22
2 2 2 aa
MN.AC' AB BN.BB' MA.B'C' a a
22
= + + = + − =
Vậy ( )
2
MN.AC' a 2
cos MN,AC'
3a3MN . AC'
.a 3
2
= = = . Đáp án B.
7.1.2.2.2. DẠNG 2 GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG.
7.1.2.2.2.1. PHƯƠNG PHÁP.
Để xác định góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) cắt nhau.
Bước 1: Tìm giao điểm H của d và (P).
Bước 2: Tìm một điểm M trên đường thẳng d, từ đó tìm M’ là hình chiếu vuông
góc của M trên mặt phẳng (P). Thực chất chính là tìm d’ là hình chiếu vuông
góc của d trên (P).
Bước 3: Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) chính là góc hình học M'HM
.
Bước 4: Sử dụng các hệ thức lượng giác xác định góc M'HM . Lop4.edu.vn

40. 40

7.1.2.2.2.2. VÍ DỤ MINH HỌA.
Ban đầu ta làm quen với những ví dụ cơ bản, ở đó việc xác định hình chiếu
vuông góc của đường thẳng cần xác định góc với mặt phẳng lên trên mặt
phẳng đó khá đơn giản. Đó là bài toán xác định góc của cạnh bên với mặt đáy
mà ở đó có sẵn yếu tố đường cao.
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABC
là tam giác đều cạnh a, SA (ABC),SA a 3.⊥=
Góc giữa SC và mặt phẳng (ABC) là

A.0
90 B. 450
C. 300 D. 600

Phân tích:
Với giả thiết SA (ABC)⊥ thì dễ thấy hình chiếu vuông góc của SC trên mặt
phẳng (ABC) chính là AC.
Như vậy góc giữa SC và (ABC) chính là góc giữa SC và AC và là góc SCA
Hướng dẫn giải:
Vì SA (ABC) (SC;(ABC)) (SC;AC) SCA⊥  = = SAC
vuông tại A 0SA a 3
tanSCA 3 SCA 60 .
AC a
 = = =  =
0
(SC;(ABC)) 60 .=
Đáp án D.
Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Đường
thẳng SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = 2a. Góc giữa đường thẳng SC
và mặt phẳng (ABCD) là  . Khi đó tan bằng:
A.2 B. 2
3 C. 2 D. 22
Phân tích: Tương tự ví dụ 1 có SA vuông góc với mặt đáy nên hình chiếu
vuông góc của SC lên mặt phẳng đáy chính là AC. Vậy góc giữa SC và (ABC)
chính là góc giữa SC và AC và là góc SCA
Hướng dẫn giải:
Lop4.edu.vn

41. 41

Vì SA (ABCD) (SC;(ABCD)) (SC;AC) SCA⊥  = =
ABCD là hình vuông cạnh a suy ra AC a 2= SAC
vuông tại A 0SA 2a
tanSCA 2 SCA 45 .
ACa2
 = = =  = Đáp án A.
Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = 2a, BC
= a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và M là trung điểm của BC, góc giữa
đường thẳng SC và mặt phẳng đáy bằng 0
60 . Góc giữa SM và mặt phẳng đáy
có giá trị gần với giá trị nào nhất sau đây:
A.700 B. 800 C. 900 D. 600
Phân tích:
Ở bài toán này để xác định được
góc giữa SM và mặt đáy cần xác định
giả thiết góc giữa SC và mặt đáy.
Việc xác định các góc trên không
có gì khó khăn vẫn là góc giữa cạnh
bên và mặt đáy

Hướng dẫn giải:
Vì 0
(SC,(ABCD)) (SC;AC) SAC 60
SA (ABCD)
(SM,(ABCD)) (SM;MA) SMA
 = = =
⊥ 
==
ABCD là hình chữ nhật 2 2 2 2
AC AB BC a (2a) a 5 = + = + =
SAC
vuông tại A 0
SA ACtanSCA a 5.tan60 a 5. 3 a 15→ = = = =
ABM
vuông tại B 2
2 2 2 a a 17
AM AB BM (2a)
22

 = + = + =


SAM
vuông tại A
Lop4.edu.vn

42. 42
SA a 15 2 15
tanSMA
AMa 17 17
2
 = = =
0
(SM;(ABCD)) SMA 62 . = 
Đáp án D.
Ta sẽ chuyển sang ví dụ về việc xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
mà ở đó không còn là bài toán góc giữa cạnh bên và mặt đáy.
Ví dụ 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông. Mặt bên SAB
là tam giác đều có đường cao AH vuông góc với mp( )ABCD . Gọi a là góc
giữa BD và mp()SAD . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
A. 3
cosa
22
= . B. 3
sina
22
= . C. a 60= . D. a 30= .
Phân tích:
- Mặc dù chiều cao của hình chóp dễ dàng xác định được chính là AH
nhưng bài toán xác định góc ở đây không phải là góc giữa đường thẳng
với mặt đáy mà là mặt phẳng (SAD). Vì vậy ta cần xác định được đường
thẳng vuông góc với mặt phẳng (SAD) để từ đó xác định hình chiếu
vuông góc của BD trên mặt phẳng (SAD).
- Để xác định được điều đó ta cần xem các giả thiết và các mối quan hệ
vuông góc đã cho. Quay trở về phương pháp xác định góc giữa đường
thẳng và mặt phẳng. Nhiệm vụ ta cần tìm hình chiếu vuông góc của B trên
(SAD).
Hướng dẫn giải:
Gọi K là trung điểm của SA .
Ta có: ()AD SAB⊥ và SAB đều nên ()BK SAD⊥
. Vậy ()( )( ),,BD SAD BD KD BDK a= = =
.
Gọi cạnh của hình vuông ABCD là x , thì 2BD x=
và 3
2
x
BK= .

Xét trong tam giác vuông BKD có 3
sin
22
BK
a
BD
== . Đáp án B.
Nhận xét: Như vậy đối với bài toán xác định góc giữa đường thẳng với mặt
phẳng thì việc quan trọng cần tìm được đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
cần xác định góc. Chúng ta tiếp tục với một bài toán nữa mà ở đó góc giữa Lop4.edu.vn

43. 43

đường thẳng với mặt phẳng không phải là cạnh bên và mặt đáy. Và có trường
hợp đặc biệt khi mà đường thẳng đó lại vuông góc luôn với mặt phẳng cần xác
định góc.
Ví dụ 5. Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy và tam giác ABC
không vuông. Gọi H,K lần lượt là trực tâm của tam giác ABC và tam giác SBC
. Tính số đó góc tạo bởi HK và mặt phẳng ()SBC .
A. 45 . B. 65 . C. 90 . D. 120 .
Phân tích:
Để xác định góc giữa HK và mặt phẳng (SBC) ta cần xác
định hình chiếu vuông góc của HK trên mặt phẳng (SBC).
Hướng dẫn giải:
Gọi giao điểm của AH và CB là I .
Ta có ()SA ABC SA BC⊥  ⊥ ,
lại có BC AI⊥ nên () ()BC SAI BC SI HK SAI⊥  ⊥   .
Vậy HK BC⊥ .(1)

Mặt khác, có () SBH SAC BH C⊥  ⊥ , và BK SC⊥ nên ( )SC BHK⊥ .
Vậy HK SC⊥ .(2)
Từ (1) và (2) ta có ()HK SBC⊥  góc tạo bởi HK và mặt phẳng ()SBC bằng 90
. Đáp án C.
Ví dụ 6. Cho hình lập phương ABCD.EFGH . Gọi  là góc giữa đường thẳng AG
và mặt phẳng ( )EBCH . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
A. 30 =  . B. 45 =  . C. tan 2= . D. 2
tan
3
= .
Phân tích:
- Để xác định góc giữa AG và mặt phẳng
(EBCH) ta cần xác định được đường vuông
góc với mặt phẳng (EBCH).
- Khai thác tính chất hình lập phương ta dễ
dàng chứng minh được AF vuông góc với
mặt phẳng (EBCH).
Lop4.edu.vn

44. 44

Hướng dẫn giải:
Gọi O CE BH= . Khi đó O là trung điểm của AG . Gọi I AF BE= .
Ta có ( )BC ABFE BC AI⊥  ⊥ . Lại có AI BE⊥ nên ( )AI EBCH⊥ IO là hình
chiếu của AO trên ( ) ( )( ) ( )( )( ), , ,EBCH AG EBCH AO EBCH AO IO AOI = = = =
1 2 1 1
, tan 2
2 2 2 2
AI
AI a IO FG a AOI
IO
= = = =  = =
. Vậy tan 2= . Đáp án C.
Chúng ta làm quen với những bai toán liên quan đến góc có độ khó cao hơn.
Ví dụ 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , ( )SA ABCD⊥
và SA a 6= . Gọi  là góc giữa SC và ()SAB ,  là góc giữa AC
và ()SBC . Giá trị tan sin+  bằng?
A. 17
7
+ . B. 1 19
7
+ . C. 7 21
7
+ . D. 1 20
7
+ .
Phân tích:
- Cũng giống các bài toán trước ta cần xác định
được hình chiếu vuông góc của SC trên mặt
phẳng (SAB) và hình chiếu của AC trên mặt
phẳng (SBC).
- Từ đó áp dụng các hệ thức lượng giác trong
các tam giác vuông chứa các góc tương ứng.

Hướng dẫn giải:
Giả thiết có SA (ABCD) SA BC⊥  ⊥ , ABCD là hình vuông nên BC AB⊥
Suy ra BC (SAB)⊥ .Vậy SB là hình chiếu của SC trên ()SAB ()( ),SSC SAB B C  = =
. SBC
vuông tại B 22
1
tan tan S
7
BC a
BC
SB SA AB
 = = = =
+ .
Kẻ AH SB⊥ tại H mà ()BC SAB⊥ nên AH BC⊥ . ()AH SBC⊥
 HC là hình chiếu vuông góc của AC trên ()SBC ()( ),AC SBC ACH  = =
. SAB
vuông nên 2 2 2
1 1 1 6
7
a
AH
AH AS AB
= +  = . Lop4.edu.vn

45. 45
ACH
vuông tại H 21
sin sin
7
AH
ACH
AC
 = = = .
Vậy 7 21
tan sin
7

+
+= . Đáp án C.
Chúng ta làm quen với một bài toán mà ở đó việc xác định góc giữa đường
thẳng và mặt phẳng phải được xác định thành góc hình học ngay ở giả thiết
bài cho từ đó mới xác định được các yếu tố khác của bài.
Ví dụ 8. Cho hình chóp đều S.ABCD , đáy có cạnh bằng a và có tâm O . Gọi M,N
lần lượt là trung điểm của SA ,BC . Biết góc giữa MN và ( )ABCD bằng 60
. Tính góc giữa MN và ()SAO .
A. 1
arcsin
25
= . B. 1
arcsin
5
= . C. 3
arcsin
25
= . D. 1
arcsin
45
= .
Phân tích:
- Ở bài toán này ta cần khai thác giả thiết hình chóp đều
có tính chất hình chiếu của đỉnh trùng với tâm của đa
giác đáy.
- Từ đó xác định góc giữa đường thẳng MN và mặt
phẳng (ABCD) thành góc hình học MNP .
- Để xác định góc giữa MN và mặt phẳng (SAO) ta cần
xác định hình chiếu vuông góc của MN trên (SAO). M
N
O
A
B
D
C
S
H
P

Hướng dẫn giải:
Gọi P là trung điểm của AO  MP là đường trung bình của SAO  //MP SO  ( )MP ABCD⊥ 
Góc giữa MN và ( )ABCD bằng góc 60MNP= .
Áp dụng định lý cosin cho PNC ta có: 2
2
2 2 2 3 3 1
2 . .cos45 2 2. . 2.
4 4 2 4 2
aa
NP CN CP CN CP a a

= + −  = + −


22 2 2 2 2
a 9 3 2 11 3 5
+
4 8 8 4 842
a a a a a
= − = − =

Trong tam giác vuông MNP ta có: 5
.
cos60 2
PN
MN a==

và 15 15
.tan60 2 .
82
PM NP a SO MP a=  =  = = .
Gọi H là trung điểm CO  //NH BD NH AC⊥ .
Mà ()NH SO NH SAC⊥  ⊥ do đó ()( ),MN SAC NMH= . Lop4.edu.vn

46. 46

Ta có: 12
24
a
HN OB== , 5
2
a
MN= (tính trên)
Vậy trong MHN ta có:1
sin
25
NH
NMH
MN
== . Nên nếu gọi  là góc giữa MN và ()SAO
thì: 1
sin
25
= hay 1
arcsin
25
= 0
2





 . Đáp án A.
7.1.2.2.3. DẠNG 2 GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG.
7.1.2.2.3.1. PHƯƠNG PHÁP.
Để xác định góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau.
Bước 1. Tìm giao tuyến c của hai mặt phẳng (P) và (Q).
Bước 2: Tìm một điểm trên giao tuyến c mà từ đó kẻ được 2 đường thẳng a, b
lần lượt nằm trên hai mặt phẳng (P) và (Q) cùng vuông góc với c.
Bước 3: Góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) chính là góc giữa hai đường thẳng a
và b.
7.1.2.2.3.2. VÍ DỤ MINH HỌA.
Trước tiên ta làm quen với bài toán mà ở đó việc xác định 2 đường thẳng lần
lượt nằm trên hai mặt phẳng và vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng đó
rất dễ dàng, nhìn thấy ngay qua ví dụ sau.
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA
vuông góc với đáy và SA = a (tham khảo hình vẽ bên).
a/ Góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) bằng
A. SDA . B.SCA . C.SCB . D.ASD .
b/ Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng
A.0
30 B. 600
C. 450 D. 900
c/ Góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SCD)
bằng:
A.0
30 B. 600
C. 450 D. 900

Phân tích: Dùng phương pháp xác định góc giữa hai mặt phẳng. Lop4.edu.vn

47. 47

Hướng dẫn giải:
a/ Dễ thấy giao tuyến của hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) là CD.
Ta tìm hai đường thẳng lần lượt nằm trên hai mặt phẳng mà cùng vuông góc với
CD.
Ta có: AD (ABCD),AD CD⊥ (1)do ABCD là hình vuông.
Mặt khác ( )SA ABCD SA CD⊥  ⊥ (2).
Từ (1) và (2) CD SD⊥ (3), mà SD (SCD) .
Vậy ()( )( )( )SCD ; ABCD AD;SD SDA== . Đáp án A.
b/ Làm tương tự phần a/ ta xác định được ()( )( )( )SBC ; ABCD AB;SB SBA==
Tam giác SAB vuông cân tại A suy ra ()( )( )
o
SBC ; ABCD 45= . Đáp án C.
Vẫn dữ kiện như ví dụ 1 ta đi tìm góc giữa hai mặt phẳng mà giao tuyến của
hai mặt phẳng chưa có ngay trên hình.
Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA
vuông góc với đáy và SA = a. Góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) bằng:
A.0
30 B. 600 C. 450 D. 900
Phân tích: Để giải quyết bài toán này chúng
ta vẫn áp dụng phương pháp tìm góc giữa hai
mặt phẳng đã nêu.
Trước tiên chúng ta cần tìm giao tuyến giữa
hai mặt phẳng.
Rồi áp dụng cách thức như ví dụ 1.

Hướng dẫn giải: Ta có: AB (SAB)
CD (SCD)
AB / /CD
S (SAB) (SCD)






Gọi d (SAB) (SCD)=   d là đường thẳng qua S và song
song với AB, CD. Lop4.edu.vn

48. 48

Ta có: AD AB
AB (SAD)
SA AB
⊥
⊥
⊥
Mà d / /AB d (SAD)⊥ ()
( )
SAD (SAB) SA
(SAB);(SCD) (SA;SD) ASD
(SAD) (SCD) SD
  =
 = =
=

Tam giác SAD vuông tại A có SA = AD = a SAD vuông cân tại A. ( )
00
ASD 45 (SAB);(SCD) 45 . =  =
Đáp án C.
Ví dụ 3: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Tính góc giữa mặt phẳng
(ABCD) và (ACC'A').
A.0
45 B. 600 C. 300 D. 900
Phân tích:
- Khai thác tính chất đặc biệt của hình lập
phương.
- Một trường hợp đặc biệt về góc giữa hai
mặt phẳng khi góc tạo bởi hai mặt phẳng
bằng o
90 .

Hướng dẫn giải:
Ta có ( ) ( )( )( )AA' ABCD ,AA' ACC'A' ABCD ACC'A'⊥   ⊥
Vậy ( )( )( )
o
ABCD ; ACC'A' 90= . Đáp án D.
Ví dụ 4: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh
bên và mặt phẳng đáy bằng 0
60 . Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AB,
BC. Tính cosin góc tạo bởi (SMN) và (ABC)
A.1
3 B. 3
12 C. 12
147 D. 1
7 Lop4.edu.vn

49. 49

Phân tích:
- Khai thác tính chất chóp tam giác đều
đó là hình chiếu của đỉnh trùng với tâm
của đa giác đáy.
- Sử dụng phương pháp xác định góc
giữa hai mặt phẳng.

Hướng dẫn giải:
Gọi O là tâm của tam giác ABC. Theo giả thiết ta có ()SO ABC⊥ .
Và ()( )( )
o
SB; ABC SB;BO SBO 60= = = . Suy ra oa3
SO BO.tan60 . 3 a
3
= = =
.
Do tính chất của hình chóp tam giác đều nên tam giác SMN cân tại S.
Gọi E là trung điểm của MN.
Có ( )( )
( ) ()
( )
( )( )( )( )
SMN ABC MN
SE SMN ,SE MN SMN ; ABC SE;BE SEO
BE ABC ;BE MN
=

 ⊥  = =

⊥
 .
Lại có 1 a 3
EO BH BE OH BH
6 12
= − − = = . Suy ra
Xét tam giác vuông SOE có 22 7a 3
SE SO OE
12
= + = .
Suy ra OE 1
cosSEO
SE 7
== . Đáp án D.
Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, a3
AD .
2
=
Mặt bên SAB là tam giác cân đỉnh S và nằm trong mặt phẳng vuông
góc với mặt phẳng (ABCD). Biết 0
ASB 120 .= Góc giữa mặt phẳng (SAD) và
(SBC) bằng:
A.0
60 B. 450 C. 300 D. 900 Lop4.edu.vn

50. 50

Phân tích: Sử dụng cách xác định góc giữa
hai mặt phẳng bằng cách xác định giao tuyến
và tìm hai đường thẳng lần lượt nằm trong
hai mặt phẳng cùng vuông góc với giao
tuyến.

Hướng dẫn giải:

Gọi I là trung điểm của đoạn AB, d là giao tuyến của 2 mặt phẳng (SAD) và
(SBC).
Ta có: (SAD) (ABC) d
BC (SBC)
d / /BC / /AD(1)
AD (SAD)
BC/ /AD
=







Vì (SAB) (ABCD) AB
SI (ABCD) SI AD
SI AB
=
 ⊥  ⊥
⊥
Mà AB AD⊥ (do ABCD là hình chữ nhật)
Suy ra, AD (SAB)⊥ (2)
Từ (1), (2) suy ra: d SA
d (SAB)
d SB
⊥
⊥ 
⊥ 0
((SAD),(SBC)) (SA,SB) 60 = =
(do góc 0
BSA 120= ). Đáp án A.
Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thoi tâm O, đường thẳng
SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Biết a6
AB SB a,SO .
3
= = = Tìm số đo
của góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SAD).
A.0
30 B. 450 C. 600 D. 900
Phân tích:
Tìm góc tạo bởi 2 mặt phẳng (SAB) và (SAD):
+ Tìm 2 đường thẳng lần lượt thuộc (SAB) và (SAD) và vuông góc giao tuyến
SA Lop4.edu.vn

51. 51

+ Tìm góc giữa 2 đường thẳng đó
Hướng dẫn giải:
Có SB AB SD AD=  =
Gọi M là trung điểm SA thì BM SA⊥ và DM SA⊥ 
Góc giữa (SAB) và (SAD) là góc giữa BM và DM
Dễ thấy BMD cân tại M có O là trung điểm BD MO BD⊥ SO (ABCD)⊥
nên 2
2 2 2 a 6 a
SO BO BO SB SO a
3 3

⊥  = − = − = 

OBA OBS = 
(cạnh huyền – cạnh góc vuông) OA OS OSA =   vuông
cân tại O SA SO 2 a
OM MS MA
22 3
 = = = = =
OM OB OD BMD = =  
vuông cân tại M 
Góc giữa (SAD) và (SAB) bằng 0
90 . Đáp án D.
Ví dụ 7. Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A và AB a 2.=
Biết SA (ABC)⊥ và SA = a. Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và
(ABC) bằng
A.0
30 B. 450 C. 600 D. 900
Hướng dẫn giải:
Gọi M là trung điểm của BC.
Khi đó ta có: AM BC⊥ do ABC vuông cân tại A.
Ta có SAB SAC(c g c) SB SC =  − −  = (hai cạnh tương ứng) SBC
cân tại S SM BC⊥ (đường trung tuyến đồng thời là đường
cao).
Ta có: (SBC) (ABC) BC.=
Lại có: SM BC(cmt)
AM BC(cmt)
⊥

⊥ góc giữa (ABC) và (SBC) là SMA .

Lop4.edu.vn

52. 52

Ta có: 2 2 2 2
BC 2AB 2.2a 4a BC 2a BM a.= = =  =  = 2 2 2 2
AM AB BM 2a a a. = − = − =

Xét tam giác SAM vuông tại A ta có: 0SA a
tanSMA 1 SMA 45 .
AM a
= = =  =
Đáp án B.
Có những bài toán yêu cầu xác định các yêu tố khác và dữ kiện góc giữa các
đối tương trong không gian là giả thiết của bài. Khi đó việc xác định được góc
giữa các đối tượng đó chuyển hóa thành góc hình học là bước quan trọng để
khai thác giả thiết tìm yếu tố bài yêu cầu.
Ví dụ 8. Đề HSG 12 tỉnh Vĩnh Phúc 2013-2014.
Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M là trung
điểm của BC và H là trung điểm của AM. Biết HB HC a== , 0
HBC 30= ; góc
giữa mặt phẳng ()SHC và mặt phẳng ()HBC bằng 0
60 . Tính cosin của góc
giữa đường thẳng BC và mặt phẳng ()SHC .
Phân tích: Mặc dù bài toán ở dạng 2
nhưng để làm được thì cần khai thác dữ
kiện góc giữa hai mặt phẳng.

Hướng dẫn giải:
Gọi K là hình chiếu vuông góc của A trên HC.
Ta có 00a a 3
AH HM HBsin30 AK AH.sin60
24
= = =  = = . Lop4.edu.vn

53. 53

Theo cách xác định góc giữa hai mặt phẳng đã làm các bài tập trước dễ có góc
giữa (SHC) và (ABC) là 00 3a
SKA 60 SA AK.tan60
4
=  = =
Gọi B’ là hình chiếu của B trên (SHC), suy ra góc giữa BC và (SHC) là BCB'.
Gọi I là hình chiếu của A trên SK AI (SHC)⊥ .
Ta có BB' d(B,(SHC)) 2d(M,(SHC)) 2d(A,(SHC)) 2AI= = = = .
Trong tam giác vuông SAK, ta có 2
22
AK.AS 3 3a 2 3a 3a
AI . BB' .
16 8 4a3AK AS
= = =  =
+

Do đó 0
BB' 3a 3a 3
sinBCB'
BC 4.2BM 8.HB.cos30 4
= = = = .
Vậy 3 13
cosBCB' 1 .
16 4
= − =
7.1.3. BÀI TẬP TRẶC NGHIỆM KHOẢNG CÁCH- GÓC.
Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA (ABCD),SC⊥
tạo với đáy một góc 0
45 . Tính khoảng cách từ A đến mặt
phẳng (SBD).
A.a 10
5 B. a 10
2 C. a5
5 D. a2
5
Câu 2: Cho hình chóp S.ABC có SA = BC = 2a. Gọi M, N lần lượt là trung
điểm của AB và SC và MN a 3.= Tính số đo góc giữa hai đường thẳng SA và
BC
A.0
30 B. 1500 C. 600 D. 1200
Câu 3: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh a. Tính khoảng cách giữa hai đường
thẳng AB và CD.
A.a2 B. a2
2 C. a
2 D. a
Câu 4: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sau đây là sai? Lop4.edu.vn

54. 54

A. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa
đường thẳng này và mặt phẳng song song với nó đồng thời chứa đường
thẳng kia.
B. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa
hai mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó.
C. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách từ
một điểm bất kì thuộc đường thẳng này đến đường thẳng kia.
D. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông
góc chung của hai đường thẳng đó.
Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,
cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SA a 2.= Gọi M. N lần
lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A trên các cạnh SB. SD . Góc giữa mặt
phẳng (AMN) và đường thẳng SB bằng
A.0
45 B. 900 C. 1200 D. 600
Câu 6: Cho tứ diện đều ABCD. Góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng
A.0
60 B. 900 C. 450 D. 300
Câu 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB = a, AD =
2a; SA vuông góc với đáy ABCD, SC hợp với đáy một góc  và 10
tan .
5
=
Khi đó, khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SCD) là:
A.2a 3
3 B. 2a
3 C. a3
3 D. a
3
Câu 8: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Góc giữa hai đường thẳng A'C'
và BD bằng
A.0
60 B. 300 C. 45 D. 900
Câu 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, mặt bên
SAB là tam giác vuông cân tại S và nằm trên mặt phẳng vuông góc với đáy.
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC.
A.a3
3 B. a5
3 C. 2a 3
3 D. 2a 5
5
Câu 10: Cho hình chóp S.ABC có SA (ABC);⊥ tam giác ABC đều cạnh a và
SA = a. Tìm góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC). Lop4.edu.vn

55. 55

A.0
60 B. 450 C. 1350 D. 900
Câu 11: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 11. Gọi I là trung điểm cạnh
CD. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và BI.
A. 2 B. 22 C. 32 D. 2
Câu 12: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có M, N, P lần lượt là trung điểm của
các cạnh A'B',A'D',C'D'. Góc giữa đường thẳng CP và mặt phẳng (DMN)
bằng
A.0
30 B. 600 C. 450 D. 00
Câu 13: Cho lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a. Khoảng
cách giữa hai đường thẳng AC và BB’ bằng
A.2a
5 B. 5a
3 C. a
5 D. 3a
2
Câu 14: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông
góc với đáy và SA = a. Góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) bằng
A.0
30 B. 600 C. 450 D. 900
Câu 15: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Góc giữa hai đường thẳng AC
và A'D bằng:
A.0
45 B. 300 C. 600 D. 900
Câu 16: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có SA = 2a, AB = 3a. Khoảng cách
từ S đến mặt phẳng (ABC) bằng
A.a7
2 B. a C. a
2 D. a3
2
Câu 17: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, đường cao a3
SH .
3
=
Tính góc giữa cạnh bên và mặt đáy của hình chóp.
A.0
45 B. 300 C. 750 D. 600
Câu 18: Hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại A;AB a;AC 2a.==
Hình chiếu vuông góc của A' trên (ABC) nằm trên đường
thẳng BC. Tính theo a khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (A'BC).
A.2a
3 B. 2a 5
5 C. a3
2 D. a Lop4.edu.vn

56. 56

Câu 19: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân, AD 2AB 2BC 2CD 2a.= = = =
Hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc
với mặt phẳng (ABCD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB và CD. Tính
cosin góc giữa MN và (SAC), biết thể tích khối chóp S.ABCD bằng 3
a3
.
4
A.310
20 B. 35
10 C. 3 310
20 D. 5
10
Câu 20: Cho hình chóp S.ABC có SA, SB, SC tạo với mặt đáy các góc bằng
nhau và bằng 0
60 . Biết 0
BC a,BAC 45 .== Tính h d(S,(ABC)).=
A.a6
h
3
= B. h a 6= C. a6
h
2
= D. a
h
6
=
Câu 21: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại A có góc 0
ABC 30 ;=
tam giác SBC là tam giác đều cạnh a và mặt phẳng ()SAB⊥ mặt
phẳng (ABC). Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) là:
A.a6
5 B. a6
3 C. a3
3 D. a6
.
6
Câu 22: Cho hình chóp S.ABC có SA SB SC AB AC a,BC a 2.= = = = = =
Tính số đo của góc (AB;SC) ta được kết quả
A.0
90 B. 300 C. 600 D. 450
Câu 23: Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình thang vuông tại A và B, biết AB BC a,AD 2a,SA a 3= = = =
và SA (ABCD).⊥ Gọi M và N lần lượt là
trung điểm của SB, SA. Tính khoảng các từ M đến (NCD) theo a.
A.a 66
22 B. 2a 66 C. a 66
11 D. a 66
.
44
Câu 24: Cho tứ diện ABCD có BD = 2, hai tam giác ABD, BCD có diện tích
lần lượt là 6 và 10. Biết thể tích của tứ diện ABCD bằng 16, tính số đo góc giữa
hai mặt phẳng (ABD) và (BCD).
A.4
arccos
15


 B. 4
arcsin
15


 C. 4
arcsin
5


 D. 4
arccos
5


 Lop4.edu.vn

57. 57

Câu 25: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a, SO
vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SO = a. Khoảng cách giữa SC và AB bằng
A.a5
5 B. 2a 5
5 C. a3
15 D. 2a 3
15
Câu 26: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, cạnh bên SA
vuông góc với mặt phẳng đấy. Đường thẳng SD tạo với mặt phẳng (SAB) một
góc 0
45 . Gọi I là trung điểm của cạnh CD. Góc giữa hai đường thẳng BI và SD
bằng (làm tròn đến hàng đơn vị)
A.0
39 B. 420 C. 510 D. 480
Câu 27: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có các cạnh AB 2,AD 3;AA' 4.= = =
Góc giữa hai mặt phẳng (AB'D') và (A'C'D) là .
Tính giá trị gần đúng của góc ?
A.0
61,6 B. 38,10 C. 45,20 D. 53,40
Câu 28: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Gọi I là điểm
thuộc cạnh AB sao cho. Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (B’DI).
A.2a
3 B. a
14 C. a
3 D. 3a
14
Câu 29: Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có 0
AB AC BB' a,BAC 120 .= = = = Gọi
I là trung điểm của CC'. Tính cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng (ABC) và (AB'I).

A.2
2 B. 35
12 C. 30
10 D. 3
2
Câu 30: Cho hình chóp S.ABC có SA SB SC,== góc 00
ASB 90 ,BSC 60 ,== 0
,ASC 120=
. Tính góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC).
A.0
90 B. 450 C. 600 D. 300
7.1.4. ĐÁP ÁN BTTN.
1A 2C 3B 4C 5D 6B 7A 8D 9D 10B
11D 12D 13D 14C 15C 16B 17A 18B 19A 20C
21D 22C 23C 24C 25B 26C 27A 18D 19C 30D
Lop4.edu.vn

58. 58

7.2. Về khả năng áp dụng của sáng kiến:
Sáng kiến kinh nghiệm: “Đinh hướng tư duy - tính nhanh khoảng cách trong
không gian thi HSG và thi THPTQG” có thể áp dụng vào giảng dạy chuyên đê,
ôn thi HSG và ôn thi THPT QG hàng năm.
8. Những thông tin cần được bảo mật (nếu có):
9. Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến:
Để áp dụng được sáng kiến thì học sinh cần nghiêm túc học tập, vận dụng các
bài giảng làm các bài tập giáo viên yêu cầu.
10. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng
kiến theo ý kiến của tác giả và theo ý kiến của tổ chức, cá nhân đã tham gia
áp dụng sáng kiến lần đầu, kể cả áp dụng thử (nếu có) theo các nội dung
sau:
10.1. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng
sáng kiến theo ý kiến của tác giả:
Học sinh hứng thú với môn học và tự tin với môn học. Thấy được toán học
được gắn liền với đời sống và khi học toán bản thân các em đem kiến thức toán
học được vào giải quyết các bài toán thực tế đời sống.
10.2. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng
sáng kiến theo ý kiến của tổ chức, cá nhân:
Học sinh có định hướng tư duy trong làm toán đặc biệt là toán khoảng cách
trong không gian.








Lop4.edu.vn

59. 59

11. Danh sách những tổ chức/cá nhân đã tham gia áp dụng thử hoặc áp
dụng sáng kiến lần đầu (nếu có):
Số
TT
Tên tổ chức/cá nhân Địa chỉ Phạm vi/Lĩnh vực
áp dụng sáng kiến
1 Nguyễn Thị Thu Trường THPT Đồng Đậu Dạy học lớp 11, 12
2 Trần Thị Hương Trường THPT Đồng Đậu Dạy học lớp 11
3 Nguyễn Thị Minh Chúc Trường THPT Đồng Đậu Dạy học lớp 12
4 Nguyễn Thị Huyên Trường THPT Đồng Đậu Dạy học lớp 11,12
5 Trần Thị Loan Trường THPT Đồng Đậu Dạy học lớp 12
6 Nguyễn Chí Công Trường THPT Đồng Đậu Dạy học lớp 12

......., ngày.....tháng......năm......
Thủ trưởng đơn vị/
Chính quyền địa phương
(Ký tên, đóng dấu)

........, ngày.....tháng......năm......
CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG
SÁNG KIẾN CẤP CƠ SỞ
(Ký tên, đóng dấu)


Yên Lạc, ngày 10 tháng 02 năm 2020
Tác giả sáng kiến
(Ký, ghi rõ họ tên)



Nguyễn Thị Thu




Lop4.edu.vn