Slide bài giảng học phần Giải tích 1_chương định lý hàm khả vi

C¡c ành lþ v· h m kh£ vi v ùng döng
Phan Xu¥n Th nh
xxxx
Vi»n To¡n ùng döng v Tin håc
http://sami.hust.edu.vn
Tr÷íng ¤i håc B¡ch Khoa H nëi
xxxx
https://sites.google.com/site/phanxuanthanh81
e-mail:
10/2021
Phan Xu¥n Th nh (HUST) C¡c ành lþ v· h m kh£ vi v ùng döng 10/2021

Nëi dung
1
ành lþ Fermat
2
ành lþ Rolle
3
ành lþ Lagrange, ành lþ Cauchy
4
Qui tc L'Hospital
5
Cæng thùc khai triºn Taylor
Phan Xu¥n Th nh (HUST) C¡c ành lþ v· h m kh£ vi v ùng döng 10/2021

Kh¡i ni»m cüc trà
H mf(x)¤t cüc tiºu t¤ix0n¸u
f(x)>f(x0)8x2(x0;x0+);x6=x0vîi >0:
H mf(x)¤t cüc ¤i t¤ix0n¸u
f(x)<f(x0)8x2(x0;x0+);x6=x0vîi >0:
Phan Xu¥n Th nh (HUST) C¡c ành lþ v· h m kh£ vi v ùng döng 10/2021

ành lþ Fermat
Ti¸p tuy¸n cõa ç thà t¤i iºm cüc trà?
ành lþ (Fermat)
N¸u h m sèf: (a;b)!Rkh£ vi t¤i iºm cüc tràc2(a;b)th¼f
0
(c) =0.
Chùng minh f
0
(c) = lim
h!0
+
f(c+h)f(c)
h
= lim
h!0

f(c+h)f(c)
h
N¸uf
0
(c) =0 th¼ iºmcgåi l iºm døngcõa h mf.V½ dö x=0 cõa c¡c h m sèf(x) =x
3
,g(x) =jxj.
Phan Xu¥n Th nh (HUST) C¡c ành lþ v· h m kh£ vi v ùng döng 10/2021

Pierre de Fermat
Pierre-Fermat (16011665) l mët luªt s÷ ng÷íi Ph¡p, ng÷íi l m To¡n nh÷ mët sð th½ch. M°c
dò khæng ph£i l ng÷íi l m To¡n chuy¶n nghi»p, nh÷ng Fermat l mët trong hai nh ph¡t minh
ra h¼nh håc gi£i t½ch (ng÷íi cán l¤i l Descartes). C¡c ph÷ìng ph¡p cõa æng º t¼m ti¸p tuy¸n
vîi ÷íng cong v c¡c gi¡ trà lîn nh§t v nhä nh§t (tr÷îc khi ph¡t minh ra giîi h¤n v ¤o h m)
¢ khi¸n æng trð th nh ti·n th¥n cõa Newton trong vi»c t¤o ra ph²p t½nh vi ph¥n. Æng cán nêi
ti¸ng vîi, m m¢i ¸n n«m 1995 (sau 358 n«m) Andrew Wiles mîi chùng
minh ho n ch¿nh.
Phan Xu¥n Th nh (HUST) C¡c ành lþ v· h m kh£ vi v ùng döng 10/2021

Nëi dung
1
ành lþ Fermat
2
ành lþ Rolle
3
ành lþ Lagrange, ành lþ Cauchy
4
Qui tc L'Hospital
5
Cæng thùc khai triºn Taylor
Phan Xu¥n Th nh (HUST) C¡c ành lþ v· h m kh£ vi v ùng döng 10/2021

ành lþ Rolle
ành lþ (Rolle)
Cho h m sèf(x)x¡c ành, li¶n töc trong kho£ng âng[a;b], kh£ vi trong kho£ng
mð(a;b), v f(a) =f(b). Khi â, tçn t¤ic2(a;b)sao chof
0
(c) =0.
Chùng minh
- Þ ngh¾a h¼nh håc
V½ dö
f(x) =
(
xvîi 0<x1;
1 vîix=0?
g(x) =jxjtr¶n[1;1]h(x) = tanxtr¶n[0; ]:
Phan Xu¥n Th nh (HUST) C¡c ành lþ v· h m kh£ vi v ùng döng 10/2021

Michel Rolle (16521719)
ành lþ Rolle ÷ñc cæng bè l¦n ¦u ti¶n v o n«m 1691 bði nh to¡n håc ng÷íi Ph¡p Michel Rolle
(16521719) trong mët cuèn s¡ch câ tüa · "M²thode pour resoudre les egalitez". Ban ¦u æng
ph¶ ph¡n m¤nh m³ c¡c ph÷ìng ph¡p cõa gi£i t½ch v xem â nh÷ l mët "bë s÷u tªp cõa nhúng
ngöy bi»n kh²o l²o." Tuy nhi¶n, sau â, æng ¢ bà thuy¸t phöc v· t½nh óng n cõa c¡c â.
B i tªp 1 (20161) a;b;cthäa m¢na+b+c=0. Chùng minh
r¬ng ph÷ìng tr¼nh 6ax
5
+5bx
4
+c=0 câ ½t nh§t mët nghi»m tr¶n(0;1).
B i tªp 2 f(x)x¡c ành, li¶n töc tr¶n[a;b], kh£ vi trong(a;b), v
f(a) =f(b) =0. Chùng minh r¬ng tçn t¤ic2(a;b)sao chof(c) =2021f
0
(c).
Phan Xu¥n Th nh (HUST) C¡c ành lþ v· h m kh£ vi v ùng döng 10/2021

Nëi dung
1
ành lþ Fermat
2
ành lþ Rolle
3
ành lþ Lagrange, ành lþ Cauchy
4
Qui tc L'Hospital
5
Cæng thùc khai triºn Taylor
Phan Xu¥n Th nh (HUST) C¡c ành lþ v· h m kh£ vi v ùng döng 10/2021

ành lþ Lagrange
ành lþ (Lagrange)
Cho h m sèfx¡c ành, li¶n töc trong kho£ng âng[a;b]v kh£ vi trong kho£ng
mð(a;b). Khi â, tçn t¤ic2(a;b)sao cho
f(b)f(a)
ba
=f
0
(c):
Þ ngh¾a h¼nh håc
Phan Xu¥n Th nh (HUST) C¡c ành lþ v· h m kh£ vi v ùng döng 10/2021

ành lþ Lagrange
ành lþ (Lagrange)
Cho h m sèfx¡c ành, li¶n töc trong kho£ng âng[a;b]v kh£ vi trong kho£ng
mð(a;b). Khi â, tçn t¤ic2(a;b)sao cho
f(b)f(a)
ba
=f
0
(c):
Chùng minh
p döng ành lþ Rolle choh(x) =f(x)f(a)
f(b)f(a)
ba
(xa).
Phan Xu¥n Th nh (HUST) C¡c ành lþ v· h m kh£ vi v ùng döng 10/2021

Joseph-Louis Lagrange (17361813)
ành lþ gi¡ trà trung b¼nh l¦n ¦u ti¶n ÷ñc ÷a ra bði Joseph-Louis Lagrange (17361813),
ng÷íi sinh ra ð Þ vîi cha l ng÷íi Ph¡p v mµ l ng÷íi Þ. Æng §y l mët th¦n çng v ¢ trð
th nh gi¡o s÷ ð Turin khi mîi 19 tuêi. Lagrange ¢ câ nhi·u âng gâp cho lþ thuy¸t sè, lþ thuy¸t
h m sè, ph÷ìng tr¼nh, cì håc... °c bi»t, æng ¢ ¡p döng ph²p t½nh gi£i t½ch v o vi»c ph¥n t½ch
sü ên ành cõa h» m°t tríi. Theo líi míi cõa Frederick, æng k¸ và Euler t¤i Håc vi»n Berlin v
khi Frederick qua íi, Lagrange ch§p nhªn líi míi cõa Vua Louis XVI ¸n Paris, nìi æng ÷ñc
c§p c«n hë ð Louvre v trð th nh gi¡o s÷ t¤i Ecole Polytechnique. Æng l mët ng÷íi n æng tèt
böng v tr¦m l°ng, ch¿ sèng v¼ khoa håc.
Phan Xu¥n Th nh (HUST) C¡c ành lþ v· h m kh£ vi v ùng döng 10/2021

C¡c h» qu£
V½ dö (20201) f(x)l h m sè kh£ vi tr¶n[6;0]thäa m¢nf(6) =4 v
f
0
(x)2 vîi måix2(6;0). Häi gi¡ trà lîn nh§t cõaf(0)l bao nhi¶u?
Chó þ
Trong ành lþ Lagrange, °ta:=x,b:=x+h, ta câ
f(x+h)f(x) =f
0
(c)h
vîicl mët sè n¬m giúaxv x+h. V¼cn¬m giúaxv x+hn¶n câ thº vi¸t
c=x+h, vîi0< <1. Vªy, tçn t¤i0< <1sao cho
f(x+h)f(x) =f
0
(x+h)h (1)
Cæng thùc (1) gåi l .
H» qu£
N¸uf
0
(x) =0vîi måix2(a;b), th¼fl h¬ng sè trong(a;b).
Phan Xu¥n Th nh (HUST) C¡c ành lþ v· h m kh£ vi v ùng döng 10/2021

C¡c h» qu£
H» qu£
N¸uf
0
(x) =0vîi måix2(a;b), th¼fl h¬ng sè trong(a;b).
B i tªp
a)
1
2
arctan
2x
1x
2
= arctanxvîi måix2(1;1)
b)sin(arccosx) = cos(arcsinx) =
p
1x
2
vîi måix2[1;1]
c)arcsin(tanhx) = arctan(sinhx)vîi måix2R.
Chùng minh
xxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxx
Phan Xu¥n Th nh (HUST) C¡c ành lþ v· h m kh£ vi v ùng döng 10/2021

C¡c h» qu£
H» qu£
N¸uf
0
tçn t¤i v khæng êi d§u trong(a;b), th¼ h mfl ìn i»u tr¶n(a;b):
t«ng, khæng gi£m, gi£m, ho°c khæng t«ng t÷ìng ùng vîi:
f
0
(x)>0;f
0
(x)0;f
0
(x)<0;ho°cf
0
(x)0;
vîi måix2(a;b).
H» qu£
N¸u
jf
0
(x)j M;vîi måia<x<b;
th¼
jf(x)f(y)j Mjxyjvîi måix;y2(a;b): (2)
H m sèf(x)thäa m¢n i·u ki»n (2) ÷ñc gåi l .
V½ dö jsinxsinyj jxyjvîi måix;y2R.
Phan Xu¥n Th nh (HUST) C¡c ành lþ v· h m kh£ vi v ùng döng 10/2021

ành lþ Cauchy
ành lþ (Cauchy)
Cho c¡c h m sèfv gx¡c ành, li¶n töc trong kho£ng âng[a;b], v kh£ vi
trong kho£ng mð(a;b),g
0
(x)6=0trong(a;b). Khi â, tçn t¤ic2(a;b)sao cho
f(b)f(a)
g(b)g(a)
=
f
0
(c)
g
0
(c)
:
Chùng minh
p döng ành lþ Rolle cho h m sè
h(x) =f(x)f(a)
f(b)f(a)
g(b)g(a)
[g(x)g(a)]:
ành lþ Cauchy. Vîi
g(x) =x, ành lþ Cauchy trð th nh ành lþ Lagrange.
Phan Xu¥n Th nh (HUST) C¡c ành lþ v· h m kh£ vi v ùng döng 10/2021

Augustin-Louis Cauchy (17891857)
Augustin-Louis Cauchy (17891857) l nh to¡n håc ng÷íi Ph¡p. Æng khði
nghi»p l kÿ s÷ qu¥n sü, tr÷îc khi trð th nh gi¡o s÷ to¡n håc ð Paris. Cauchy ¢
l§y þ t÷ðng v· giîi h¤n cõa Newton v l m cho nâ trð n¶n ch½nh x¡c hìn. Æng sû
döng ngæn ngú"v º ành ngh¾a giîi h¤n. Sau â, nh to¡n håc ng÷íi ùc,
Karl Weierstrass (1815-1897) ¢ ph¡t biºu ành ngh¾a v· giîi h¤n mët c¡ch ch½nh
x¡c m chóng ta câ ng y nay.
Phan Xu¥n Th nh (HUST) C¡c ành lþ v· h m kh£ vi v ùng döng 10/2021

Nëi dung
1
ành lþ Fermat
2
ành lþ Rolle
3
ành lþ Lagrange, ành lþ Cauchy
4
Qui tc L'Hospital
5
Cæng thùc khai triºn Taylor
Phan Xu¥n Th nh (HUST) C¡c ành lþ v· h m kh£ vi v ùng döng 10/2021

Qui tc L'Hospital
ành lþ (Qui tc L'Hospital)
Gi£ sû c¡c h m sèf(x),g(x)x¡c ành, kh£ vi t¤i l¥n cªnx=x0, câ thº trø t¤i
x=x0. N¸u
lim
x!x0
f(x) = lim
x!x0
g(x) =0;g
0
(x)6=0ð l¥n cªnx=x0;
v n¸u
lim
x!x0
f
0
(x)
g
0
(x)
=L(húu h¤n ho°c1);
th¼
lim
x!x0
f(x)
g(x)
=L:
Phan Xu¥n Th nh (HUST) C¡c ành lþ v· h m kh£ vi v ùng döng 10/2021

Qui tc L'Hospital
Chó þ
Qui tc L'Hospital v¨n cán óng khi:
1) Ta l§y giîi h¤n ð væ còng, tùc l trong qu¡ tr¼nhx! 1.
2) Tr÷íng hñpf;gcâ giîi h¤n l væ còng khix!x0, tùc l
lim
x!x0
f(x) = lim
x!x0
g(x) =1
3) Tr÷íng hñplim
x!x0
f
0
(x)
g
0
(x)
=1.
Qui tc L'Hospital
(1661-1704) v ÷ñc xu§t b£n l¦n ¦u ti¶n n«m 1696 trong cuèn s¡ch gi¡o khoa gi£i t½ch
"Analyse des infiniment petits". Tuy nhi¶n, quy tc n y ÷ñc nh to¡n håc ng÷íi Thöy S¾, John
Bernoulli (1667-1748) ph¡t hi»n v o n«m 1694. Hai ng÷íi n y ¢ câ mët thäa thuªn ký l¤, theo
â Marquis de l'Hospital ¢ mua quy·n èi vîi c¡c kh¡m kh¡ to¡n håc cõa Bernoulli.
Ùng döng
Phan Xu¥n Th nh (HUST) C¡c ành lþ v· h m kh£ vi v ùng döng 10/2021

C¡c d¤ng væ ành
Khû d¤ng væ ành
0
0
v
1
1
V½ dö 1
lim
x!+1
e
x
x
2
;lim
x!1
e
x
x
2
;lim
x!+1
e
x
x

vîi2R;b§t ký.
V½ dö 2
lim
x!0
44cosx2sin
2
x
x
4
;lim
x!0
e
x
2
ln(1+x
2
)
1cosx
;lim
x!0
x
7
ln(1+x
7
)
tan
14
x
(20161):
V½ dö 3
f(x) =xx
2
sin
1
x
;g(x) = sinx:
Giîi h¤nlim
x!0
f(x)
g(x)
=1. Tuy nhi¶n, giîi h¤nlim
x!0
f
0
(x)
g
0
(x)
khæng tçn t¤i.
V½ dö 4 lim
x!0
e(1+x)
1=x
x
.
Phan Xu¥n Th nh (HUST) C¡c ành lþ v· h m kh£ vi v ùng döng 10/2021

C¡c d¤ng væ ành
Khû d¤ng væ ành 0:1
º ¡p döng qui tc L'Hospital ta vi¸t
f(x)g(x) =
f(x)
1=g(x)
ho°cf(x)g(x) =
g(x)
1=f(x)
:
V½ dö
lim
x!0
+
sinxlnx;lim
x!1
tan
x
2
ln(2x);lim
x!+1
x[2arctan(2x)] (20181):
xxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxx
Phan Xu¥n Th nh (HUST) C¡c ành lþ v· h m kh£ vi v ùng döng 10/2021

C¡c d¤ng væ ành
Khû d¤ng væ ành1 1
T¼m c¡ch ÷a v· d¤ng 0=0 ho°c1=1V½ dö 1
lim
x!1

x
x1

1
lnx

;lim
x!0

2
e
2x
1

1
x

(20191):
V½ dö 2
lim
x!0

1
ln(x+1)

1
sinx

(20151):
xxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxx
Phan Xu¥n Th nh (HUST) C¡c ành lþ v· h m kh£ vi v ùng döng 10/2021

C¡c d¤ng væ ành
Khû c¡c d¤ng væ ành 0
0
, 1
1
v 1
0
D¤ng têng qu¡t
lim
x!x0
f(x)
g(x)
:
Ta vi¸t
lim
x!x0
f(x)
g(x)
=e
lim
x!x
0
g(x) lnf(x)
:
V½ dö 1
lim
x!0
+
x
x
;lim
x!1
x
1=(x1)
;lim
x!+1
x
1=x
;lim
x!+1
(x
2
+2
x
)
1=x
(20173):
V½ dö 2
lim
x!0
(1+ sin4x)
cotx
;lim
x!0
[ln(e+2x)]
1
sinx(20171);lim
x!0

(1+2x)
1=x
e
2

1
x
:
Phan Xu¥n Th nh (HUST) C¡c ành lþ v· h m kh£ vi v ùng döng 10/2021

Nëi dung
1
ành lþ Fermat
2
ành lþ Rolle
3
ành lþ Lagrange, ành lþ Cauchy
4
Qui tc L'Hospital
5
Cæng thùc khai triºn Taylor
Phan Xu¥n Th nh (HUST) C¡c ành lþ v· h m kh£ vi v ùng döng 10/2021

Cæng thùc Taylor
ành lþ (Taylor)
Cho h mf(x)câ ¤o h m ¸n c§pn+1trong(a;b),x02(a;b). Khi â tçn t¤i
c2(a;b)sao cho vîi måix2(a;b), ta câ khai triºn
f(x) =f(x0) +
f
0
(x0)
1!
(xx0) +
f
00
(x0)
2!
(xx0)
2
+:::+
+
f
(n)
(x0)
n!
(xx0)
n
+
f
(n+1)
(c)
(n+1)!
(xx0)
n+1
;
trong âc=x0+(xx0), vîi2(0;1).
(Cæng thùc khai triºn Taylor t¤ix0)
a thùc Taylor bªcncõa h mft¤i iºmx0
Tn(x) =f(x0) +
f
0
(x0)
1!
(xx0) +
f
00
(x0)
2!
(xx0)
2
+:::+
f
(n)
(x0)
n!
(xx0)
n
:
Chùng minh (n+1)l¦n cho hai h m sè
Rn(x) =f(x)Tn(x)v h mG(x) = (xx0)
n+1
.
Phan Xu¥n Th nh (HUST) C¡c ành lþ v· h m kh£ vi v ùng döng 10/2021

Cæng thùc khai triºn Maclaurin
°c bi»t, khix0=0, ta câ khai triºn MacLaurin (húu h¤n)
f(x) =f(0) +
f
0
(0)
1!
x+
f
00
(0)
2!
x
2
+:::+
f
(n)
(0)
n!
x
n
+
f
(n+1)
(x)
(n+1)!
x
n+1
; 2(0;1):
Chó þ 1 pn(x)l a thùc bªcnth¼
p(x) =p(x0) +
p
0
(x0)
1!
(xx0) +
p
00
(x0)
2!
(xx0)
2
+:::+
p
(n)
(x0)
n!
(xx0)
n
:
Chó þ 2 n=0, ta câ cæng thùc Lagrange.
Chó þ 3
f(x) =
n
X
k=0
f
(k)
(x0)
k!
(xx0)
k
+
1
n!
Z
x
x0
(xt)f
n+1
(t)dt:
Ph¦n d÷ Lagrange
Rn(x) =
1
n!
Z
x
x0
(xt)f
n+1
(t)dt:
Phan Xu¥n Th nh (HUST) C¡c ành lþ v· h m kh£ vi v ùng döng 10/2021

Taylor v Maclaurin
Khai triºn Taylor (hay chuéi Taylor) ÷ñc °t theo t¶n nh to¡n håc ng÷íi Anh
Brook Taylor (1685-1731) v khai triºn Maclaurin ÷ñc °t t¶n º vinh danh nh
to¡n håc Colin Maulaurin (1698-1746) ng÷íi Scotland. M°c dò chuéi Maclaurin l
mët tr÷íng hñp °c bi»t cõa chuéi Taylor, nh÷ng nâ l§y þ t÷ðng tø vi»c biºu di¹n
mët h m d÷îi d¤ng têng cõa chuéi lôy thøa tø thíi Newton, cán chuéi Taylor
÷ñc bi¸t ¸n bði James Gregory n«m 1668 v John Bernoulli v o nhúng n«m
1690. Taylor d÷íng nh÷ khæng bi¸t v· cæng tr¼nh cõa Gregory v Bernoulli khi æng
cæng bè nhúng kh¡m ph¡ cõa m¼nh v o n«m 1715 trong cuèn s¡ch"Methodus
incrementorum directa et inversa". Chuéi Maulaurin ÷ñc °t t¶n theo Colin
Maulaurin v¼ æng ¢ cæng bè trong cuèn s¡ch gi£i t½ch cõa m¼nh"Treatise of
Fluxions"xu§t b£n n«m 1742.
Phan Xu¥n Th nh (HUST) C¡c ành lþ v· h m kh£ vi v ùng döng 10/2021

Cæng thùc Taylor
Cæng thùc khai triºn MacLaurin
f(x) =f(0) +
f
0
(0)
1!
x+
f
00
(0)
2!
x
2
+:::+
f
(n)
(0)
n!
x
n
+
f
(n+1)
(x)
(n+1)!
x
n+1
; 2(0;1):
Cæng thùc khai triºn Taylor
f(x0+h) =f(x0) +
f
0
(x0)
1!
h+
f
00
(x0)
2!
h
2
+:::+
+
f
(n)
(x0)
n!
h
n
+
f
(n+1)
(x0+h)
(n+1)!
h
n+1
:
Gi£ sû
jf
(n+1)
(x)j M;vîi måix2(a;b):
Khi â, n¸u x§p x¿ gi¡ tràf(x0+h)bði a thùc TaylorTn(h)th¼ ta g°p ph£i sai sè
khæng v÷ñt qu¡
M
(n+1)!
h
n+1
:
Phan Xu¥n Th nh (HUST) C¡c ành lþ v· h m kh£ vi v ùng döng 10/2021

Cæng thùc Taylor
Phan Xu¥n Th nh (HUST) C¡c ành lþ v· h m kh£ vi v ùng döng 10/2021

Khai triºn MacLaurin húu h¤n
H m sèf(x) =e
x
e
x
=1+
x
1!
+
x
2
2!
+:::+
x
n
n!
+
e
x
(n+1)!
x
n+1
;0< <1:
Khix!0, ta vi¸t
e
x
=1+
x
1!
+
x
2
2!
+:::+
x
n
n!
+o(x
n
):
H m sèf(x) = (x+1)

,2R
(1+x)

=1+x+
(1)
2!
x
2
+:::+
(1):::(n+1)
n!
x
n
+o(x
n
):
Phan Xu¥n Th nh (HUST) C¡c ành lþ v· h m kh£ vi v ùng döng 10/2021

Khai triºn MacLaurin húu h¤n

1
1+x
=1x+x
2
:::+ (1)
n
x
n
+
(1)
n+1
(1+x)
n+1
x
n+1
.

1
1x
=1+x+x
2
+:::+x
n
+o(x
n
):ln(1+x) =x
x
2
2
+:::+ (1)
n1
x
n
n
+ (1)
n
x
n+1
n+1
1
(1+x)
n+1
:ln(1x) =x
x
2
2
:::
x
n
n
+o(x
n
):

p
1+x=1+
1
2
x
1
8
x
2
+:::+ (1)
n1
(2n3)!!
2
n
n!
x
n
+o(x
n
):
1
p
1+x
=1
1
2
x+
3
8
x
2
+:::+ (1)
n
(2n1)!!
2
n
n!
x
n
+o(x
n
):
V½ dö 1
y=
p
2+2x(20171);y=
x
p
1+x
2
(20173):
V½ dö 2 (20201) f(x) =
x
3
p
1+x
¸nx
3
.
Phan Xu¥n Th nh (HUST) C¡c ành lþ v· h m kh£ vi v ùng döng 10/2021

Khai triºn MacLaurin húu h¤n
V½ dö 1
y=
p
2+2x(20171);y=
x
p
1+x
2
(20173):
V½ dö 2 (20201) f(x) =
x
3
p
1+x
¸nx
3
.
xxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxx
Phan Xu¥n Th nh (HUST) C¡c ành lþ v· h m kh£ vi v ùng döng 10/2021

Khai triºn MacLaurin húu h¤n
C¡c h m sè l÷ñng gi¡c
sinx=x
x
3
3!
+:::+ (1)
n1
x
2n1
(2n1)!
+ (1)
n
x
2n
(2n)!
sinx;0< <1.
cosx=1
x
2
2!
+:::+ (1)
n
x
2n
(2n)!
+ (1)
n+1
x
2n+1
(2n+1)!
cosx;0< <1.tanx=x+
1
3
x
3
+
2
15
x
5
+
17
315
x
7
+o(x
7
):arctanx=x
x
3
3
+
x
5
5
:::+ (1)
m1
x
2m1
2m1
+o(x
2m1
):
V½ dö 1 y=xcosx(20161).
xxxxxxxxxxx
V½ dö 2 f(x) = sin(x
2
). T½nh ¤o h m c§p caof
(10)
(0).
xxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxx
Phan Xu¥n Th nh (HUST) C¡c ành lþ v· h m kh£ vi v ùng döng 10/2021

Mët sè ùng döng cõa khai triºn MacLaurin húu h¤n
Ta câ c¡c giîi h¤n
lim
x!0
xsinx
x
3
=
1
6
;lim
x!0
xtanx
x
3
=
1
3
;
lim
x!0
xln(1+x)
x
2
=
1
2
;lim
x!0
e
x
1x
x
2
=
1
2
:
B i tªp
lim
x!0
3tanx3xx
3
x
5
;lim
x!0
e
x
cosxx
x
2
:
Phan Xu¥n Th nh (HUST) C¡c ành lþ v· h m kh£ vi v ùng döng 10/2021

B i tªp
T¼m c¡c giîi h¤n sau
a) lim
x!0
ln(1+2x)sinxx
x
2
;b) lim
x!0
sinxln(1+x)x
2
x
3
;
c) lim
x!0
arcsinxarctanx
x
3
;d) lim
x!0
sinxarcsinx
x
3
:
Phan Xu¥n Th nh (HUST) C¡c ành lþ v· h m kh£ vi v ùng döng 10/2021

Slide bài giảng học phần Giải tích 1_chương định lý hàm khả vi

About This Presentation

Slide Content

Tags

Categories

Download

Quick Actions

Statistics

Related Slideshows

Slide bài giảng học phần Giải tích 1_chương định lý hàm khả vi

About This Presentation

Slide Content

Slide 1

Slide 2

Slide 3

Slide 4

Slide 5

Slide 6

Slide 7

Slide 8

Slide 9

Slide 10

Slide 11

Slide 12

Slide 13

Slide 14

Slide 15

Slide 16

Slide 17

Slide 18

Slide 19

Slide 20

Slide 21

Slide 22

Slide 23

Slide 24

Slide 25

Slide 26

Slide 27

Slide 28

Slide 29

Slide 30

Slide 31

Slide 32

Slide 33

Slide 34

Slide 35

Slide 36

Slide 37

Slide 38

Slide 39

Slide 40

Slide 41

Slide 42

Slide 43

Slide 44

Slide 45

Slide 46

Slide 47

Slide 48

Slide 49

Slide 50

Slide 51

Slide 52

Slide 53

Slide 54

Slide 55

Slide 56

Slide 57

Slide 58

Slide 59

Slide 60

Slide 61

Slide 62

Slide 63

Slide 64

Slide 65

Slide 66

Slide 67

Slide 68

Slide 69

Slide 70

Slide 71

Slide 72

Slide 73

Slide 74

Slide 75

Slide 76

Slide 77