задания для самостоятеьного изучения предмета математика

333

1. 1

Министерство образования и науки ЛНР
ГОУ СПО ЛНР “Краснодонский промышленно-экономический колледж”


РАССМОТРЕНО
на заседании
УТВЕРЖДАЮ
цикловой комиссии Заместитель директора
компьютерных дисциплин по учебной работе
«__»_________________г. _______________ О. Н. Каранда
Протокол №_____________ «___»________________г.
Председатель ЦК
______________Т. А. Матвеева







МЕТОДИЧСКИЕ УКАЗАНИЯ
ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО ИЗУЧЕНИЯ ПРЕДМЕТА
МАТЕМАТИКА
для студентов 1 курса специальностей
«Экономика предприятия »
«Бухгалтерский учет»
«Коммерческая деятельность»



Составил преподаватель:
Прилипа А.С.











Краснодон

2. 2

Содержание

1. Пояснительная записка 3
2. Тематический план организации самостоятельной работы 4
3. Инструктаж по выполнению самостоятельной работы 7
4. Задания для самостоятельной работы 10
5. Формы и методы контроля самостоятельной работы 42
6. Литература 43

3. 3

Пояснительная записка

Самостоятельная работа студентов – планируемая учебная и учебно -
исследовательская работа обучающихся, выполняемая во внеаудиторное время по
заданию, при методическом руководстве и консультативной помощи преподавателя,
но без его непосредственного участия.
Самостоятельная работа студентов проводится с целью:
 систематизации и закрепления полученных теоретических знаний и практических
умений;
 формирования умений использовать справочную литературу, интернет - ресурсы;
 развития познавательных способностей и активности студентов: творческой
инициативы, самостоятельности, ответственности, организованности;
 формирования способностей к саморазвитию, самосовершенствованию и
самореализации;
 развития исследовательских умений;
 формирования общих компетенций.
Самостоятельная работа студентов по учебной дисциплине «Математика» включает в
себя:
 выполнение типовых контрольно-оценочных заданий;
 работу с библиотечным фондом (учебной литературой? периодическими изданиями),
информационными ресурсами сети «Интернет»;
 проработку конспектов занятий, учебной литературы ;
 подготовку к практическим занятиям с использованием методических рекомендаций
преподавателя.
Объем времени, отведенный на самостоятельную работу, приводится в рабочем
учебном плане, рабочей программе по учебной дисциплине, календарно-тематическом
планировании.
В данных методических рекомендациях обучающимся представлены домашние
работы по каждому разделу учебной дисциплины «Математика» в виде выполнения
типовых контрольно - оценочных заданий, теоретические вопросы для самоподготовки,
усвоив которые, студент может выполнять контрольные работы. Для формирования
мотивации к получению знаний, готовности обучающихся к самостоятельному труду в
методических рекомендациях обозначены информационные ресурсы (список литературы,
интернет-ресурсы и т.п.).
В методических рекомендациях представлены формы и методы контроля
самостоятельной работы, который осуществляется в пределах времени, отведенного на
обязательные учебные занятия по математике - контрольной работы по каждой теме в
рамках программы учебной дисциплины.

4. 4

Тематический план организации самостоятельной работы
Семестр 1 - 8 часов
Тема Темы (задания) для самостоятельного изучения
Кол.
часов
на см.
раб.
Формируе
мые
компетенц
ии

ТЕМА 1
Развитие понятия о
числе.

Выполнение домашней работы №1 по теме:
«Развитие понятия о числе» (выполнение типовых
контрольно-оценочных заданий
2
1
2
3
Работа с библиотечным фондом (учебной
литературой, периодическими изданиями),
информационными ресурсами сети «Интернет».
1
ТЕМА 2
Корни, степени и
логарифмы.
Выполнение домашней работы №2 по теме:
«Корни, степени и логарифмы» (выполнение
типовых контрольно-оценочных заданий)
1


1
2
3
Подготовка к практическим занятиям с
использованием методических рекомендаций
преподавателя.

1
18
Работа с библиотечным фондом (учебной
литературой периодическими изданиями),
информационными ресурсами сети «Интернет».

ТЕМА 3
Основы
тригонометрии.
Выполнение домашней работы №3 по теме:
«Основы тригонометрии» (выполнение типовых
контрольно-оценочных заданий)
2
1
2
3
Подготовка к практическим занятиям с
использованием методических рекомендаций
преподавателя.
1

Семестр 2 – 28 часов

Тема Темы (задания) для самостоятельного изучения
Кол.
часов
на см.
раб.
Формируе
мые
компетенц
ии
ТЕМА 4
Функции, их
свойства и графики.
Степенные,
показательные,
логарифмические и
тригонометрические
функции
Выполнение домашней работы №4 по теме:
«Функции, их свойства и графики. Степенные,
показательные, логарифмические и
тригонометрические функции»
(выполнение типовых контрольно-оценочных
заданий).
2
1
2
3
Работа с библиотечным фондом (учебной
литературой, периодическими изданиями),
информационными ресурсами сети «Интернет».
2
ТЕМА 5
Выполнение домашней работы №5 по теме:
«Начала математического анализа»
(выполнение типовых контрольно-оценочных
заданий)
2
1
2
3

5. 5

Начала
математического
анализа
Проработка конспектов занятий, учебной
литературы (по вопросам к параграфам, главам
учебных пособий, составленным преподавателем) с
целью подготовки к контрольной работе.
2
Работа с базами данных, информационными
ресурсами сети «Интернет».
Подготовка выступлений, творческих заданий,
рефератов.
3
ТЕМА 6
Элементы
комбинаторики
Элементы теории
вероятностей.
Элементы
математической
статистики.
Выполнение домашней работы №6 по теме:
«Элементы теории вероятностей. Элементы
математической статистики» (выполнение
типовых контрольно-оценочных заданий)
2
1
2
3
Проработка конспектов занятий, учебной
литературы (по вопросам к параграфам, главам
учебных пособий, составленным преподавателем) с
целью подготовки к контрольной работе.
1
ТЕМА 7
Прямые и плоскости
в пространстве.
Выполнение домашней работы №7по теме:
«Прямые и плоскости в пространстве» (выполнение
типовых контрольно-оценочных заданий)
1
1
2
3
Проработка конспектов занятий, учебной
литературы (по вопросам к параграфам, главам
учебных пособий, составленным преподавателем) с
целью подготовки к контрольной работе.
1
Работа с библиотечным фондом (учебной
литературой периодическими изданиями),
информационными ресурсами сети «Интернет».
1
ТЕМА 8
Многогранники.
Выполнение домашней работы №8 по теме:
«Многогранники»
(выполнение типовых контрольно-оценочных
заданий)
1
1
2
3 Работа с библиотечным фондом (учебной
литературой периодическими изданиями),
информационными ресурсами сети «Интернет».
1
ТЕМА 9
Тела вращения и
поверхности тел
вращения.
Выполнение домашней работы №9 по теме: «Тела
и поверхности вращения»
(выполнение типовых контрольно-оценочных
заданий)
1
1
2
3
Проработка конспектов занятий, учебной
литературы (по вопросам к параграфам, главам
учебных пособий) с целью подготовки к
контрольной работе.
2
ТЕМА 10
Измерения в
геометрии
Выполнение домашней работы №10 по теме:
«Измерения в геометрии»
(выполнение типовых контрольно-оценочных
заданий)
1 1
2
3
Проработка конспектов занятий, учебной с целью
подготовки к контрольной работе.
1
ТЕМА 11
Выполнение домашней работы №11 по теме:
«Уравнения и неравенства»
2 2
3

6. 6

Уравнения и
неравенства.
(выполнение типовых контрольно-оценочных
заданий)

Семестр 3 – 2 часа
ТЕМА 12
Повторение

Выполнение домашней работы №12 по теме:
«Повторение»
(выполнение типовых контрольно-оценочных
заданий)
2 1
2
Всего часов 38

7. 7

Инструктаж по выполнению внеаудиторной самостоятельной работы

Перед выполнением студентами самостоятельной работы преподаватель проводит
инструктаж по выполнению задания, который включает цель задания, его содержание,
сроки выполнения, ориентировочный объем работы, основные требования к результатам
работы, критерии оценок.
Виды заданий самостоятельной работы:
1
Выполнение домашней работы
(выполнение типовых контрольно-оценочных заданий)
2
Проработка конспектов занятий, учебной литературы
с целью подготовки к контрольной работе.
3
Подготовка к практическим занятиям с использованием методических
рекомендаций преподавателя.

4

Работа с библиотечным фондом (учебной литературой, периодическими
изданиями), информационными ресурсами сети «Интернет».

Первый вид задания самостоятельной работы:
Выполнение типовых контрольно-оценочных заданий (выполнение домашних
работ по каждой теме учебной дисциплины)
Цели задания:
 систематизация и закрепление полученных теоретических знаний и
практических умений обучающихся по конкретной теме учебной дисциплины;
 развитие учебно-организационных умений - умение планировать свою
деятельность, осуществлять самоанализ;
 повышение культуры умственного труда, приобщение к творческим видам
деятельности, обогащение интеллектуальных способностей студентов.
Содержание работы: освоение ключевых правил и законов, решение типовых задач
по данной конкретной теме учебной дисциплины, используя полученные на аудиторных
занятиях теоретические знания и практические умения.
Срок выполнения: устанавливаются преподавателем в соответствии с календарно-
тематическим планом учебной дисциплины.
Требования к результатам:
 освоение необходимого уровня учебного материала в соответствии с
требованиями к знаниям и умениям обучающихся, указанным в рабочей
программе учебной дисциплины «Математика»;
 умение применять теоретические знания при решении задач;
 оформление решения задач в соответствии с предъявляемыми требованиями:
Задание выполняется в письменной форме в установленные сроки согласно
предложенному варианту.

Критерии оценки результатов самостоятельной работы:
При решении задач учитываются умения:
 правильно записать условие задачи;
 выбирать и правильно записывать формулу для решения задачи;
 пользоваться справочными таблицами;
 проверять наименование полученного результата и проводить необходимые
вычисления.
Оценка «отлично» выставляется студенту, глубоко и прочно усвоившему
программный материал по данной теме учебной дисциплины. При этом обучающийся не

8. 8

затрудняется с ответом при видоизменении задания, свободно справляется с задачами,
вопросами, правильно обосновывает принятые решения.
Оценка «хорошо» выставляется студенту, твердо знающему программный материал по
данной теме, который не допускает существенных неточностей в ответе на вопрос,
правильно применяет теоретические положения при решении задач.
Оценка «удовлетворительно» выставляется студенту, который имеет знания только
основного материала, но не усвоил его детали, допускает неточности, недостаточно
правильные формулировки, нарушения последовательности в изложении программного
материала и испытывает трудности в выполнении практических заданий.
Оценка «неудовлетворительно» выставляется студенту, который не усвоил
значительной части программного материала по данной теме, допускает существенные
ошибки, неуверенно, с большим затруднением решает задачи.

Второй вид задания самостоятельной работы:

Проработка конспектов занятий, учебной литературы с целью подготовки к
контрольной работе.
Цели задания:
 формирование умения осуществлять теоретическую самоподготовку к контрольной
работе;
 закрепление, систематизация знаний, применение полученных знаний для выполнения
контрольных заданий;
 формирование волевых черт характера, способности к самоорганизации.
Содержание задания: теоретическая подготовка по предложенным вопросам, знакомство
с тематикой контрольных работ для максимально лучшего выполнения контрольных
заданий.
Срок выполнения: устанавливаются преподавателем в соответствии с календарно-
тематическим планом учебной дисциплины, теоретическая подготовка оценивается при
выполнении контрольной работы.
Объем работы: изучить теоретический материал, ответить в полном объеме на
предложенные вопросы.
Требования к результатам: освоение необходимого уровня учебного материала для
качественного выполнения контрольной работы.
Критерии оценки результатов самостоятельной работы:
 умения сравнивать, анализировать, делать обобщения на основе теоретических знаний;
 самостоятельно оформлять результаты в соответствии с требованиями.

Третий вид задания самостоятельной работы:
Подготовка к практическим занятиям с использованием методических
рекомендаций преподавателя.
Цели задания:
 формирование умения осуществлять теоретическую самоподготовку к практикуму по
решению задач;
 закрепление, систематизация знаний, применение полученных знаний для выполнения
практических заданий;
 приобретение твёрдых навыков решения задач.
Содержание задания: теоретическая подготовка по предложенным вопросам,
рассмотренным в текущей теме.
Срок выполнения: устанавливаются преподавателем в соответствии с календарно-
тематическим планом учебной дисциплины, теоретическая подготовка оценивается при
выполнении заданий (тестов, проверочных работ и др.) в теме «Решение задач».

9. 9

Объем работы: изучить теоретический материал, ответить в полном объеме на
предложенные вопросы.
Требования к результатам: освоение необходимого уровня учебного материала для
качественного выполнения заданий текущего (тестового) контроля.
Критерии оценки результатов самостоятельной работы:
 умения обосновывать каждый этап решения, исходя из теоретических положений курса,
сопоставлять, делать выводы на основе теоретических знаний;
 пользоваться различными приемами решения задач, оформлять результаты в
соответствии с требованиями.

Четвёртый вид задания внеаудиторной самостоятельной работы:

Работа с библиотечным фондом (учебной литературой, периодическими
изданиями), информационными ресурсами сети «Интернет».
Цели задания:
 формирование у обучающихся навыков отбора и систематизации информации по
заданной новой теме изучаемого раздела;
 развитие познавательных интересов, интеллектуальных и творческих способностей
в процессе приобретения знаний и умений по математике с использованием различных
источников информации и современных информационных технологий;
 воспитание убежденности в возможности познания математических законов;
 развитие познавательных способностей и активности обучающихся, творческой
инициативы, самостоятельности, организованности и ответственности.
Содержание работы: самостоятельное выполнение хотя бы о дного задания
реконструктивного, поискового, исследовательского и творческого вида (подготовка
доклада, создание презентаций и т.п.) по любой новой теме, предложенной в тематическом
плане.
Срок выполнения: устанавливаются преподавателем в соответствии с календарно-
тематическим планом дисциплины.
Объем работы: поиск и обработка информации для выполнения задания творческого
характера.
Требования к результатам:
 овладение опытом творческой, исследовательской деятельности при подготовке работ
(сообщений, докладов и т.д.);
 умения использовать нормативную, справочную и специальную литературу, интернет
– ресурсы;
 оформление материала в соответствии с предъявляемыми требованиями:
Сообщение. Объем не более трех страниц печатного текста.
Выступление. Объем 3-7 страниц печатного текста.
Доклад. Объем 7 -10 страниц печатного текста. При написании доклада по заданной теме
следует составить план, подобрать основные источники.
Критерии оценки результатов самостоятельной работы:
 оформление материала в соответствии с требованиями;
 соответствие содержания творческой работы обозначенной теме;
 обоснованность и четкость изложения материала;
 глубина проработки материала;
 разнообразие использования источников;
 уровень умения формулировать собственные выводы и аргументировать их.

10. 10

Задания для внеаудиторной самостоятельной работы

Тема 1. Развитие понятия о числе.

Содержание
1. Законы сложения и умножения действительных чисел
2. Правила действий над рациональными числами
3. Действия с рациональными числами

Литература
 Алгебра і початки аналізу: Підруч. Для 10 кл. загальноосвіт. навч. закладів / З. І.
Шкіль, З. І. Слєпкань, О. С. Дубинчук: Зодіак-ЕКО, 2003.
 Алгебра і початки аналізу: Підруч. Для 11 кл. загальноосвіт. навч. закладів / З. І.
Шкіль, З. І. Слєпкань, О. С. Дубинчук: Зодіак-ЕКО, 2003.
 Математика: Підруч. для 10 кл. загальноосвіт. навч. закладів / М. І. Бурда, Т. В.
Колесник, Ю. І. Мальований, Н. А. Тарасенкова: Київ «Зодіак-ЕКО» 2010.
 Алгебра і початки аналізу: : Підруч. для 10 кл. загальноосвіт. навч. закладів / А. Г.
Мерзляк, Д. А Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір: Харків «Гімназія» 2010.

Индивидуальная домашняя работа №1
Вариант №1
1. Найдите значение выражения 






2
:1 b
c
a
при a = 3
2 , b = –6
5 , c = 0,6.
2. Представьте обыкновенную дробь 7
3 в
виде десятичной периодической дроби.
3. Число 0,000314 представьте в
стандартном виде.
4. Найдите произведение чисел a = 5,4(25)
и b = 0,2468101… с точностью до десятых.
5. Изобразите на числовой оси значения
величины p, если известно
|p – 12,4| < 0,8. Укажите погрешность
вычисления величины p, найдите
относительную погрешность в процентах с
точностью до десятых.
Ответы: 1. 2,4; 2.0,(428571); 3. 3,14 ·10
-4
;
4.1,4; 5.%5,6;
31
2
Вариант №3
1. Найдите значение выражения 1 : (а
2
– c
b )
при a = 2
1 , b = –5
4 , c = 1,6
2. Представьте обыкновенную дробь 7
4 в
виде десятичной периодической дроби.
3. Число 0,0000271 представьте в
стандартном виде.
4. Найдите произведение чисел a = 3,2(14)
и b = 0,02345202…с точностью до сотых.
5. Изобразите на числовой оси значения
величины с, если известно
|c – 3800|< 10. Укажите погрешность
вычисления величины с, найдите
относительную погрешность в процентах с
точностью до сотых.
Ответы: 1. 3
4 ; 2. 0,(571428); 3. 2,71· 10
-5
;
4. 0,07; 5.;
38
1 0,26%
Вариант №2
1. Вычислите 25,0
25
3
:0345,0
4
1
6128,0
20
11
40
7
6,0725,0


 .
Вариант №4
1. Вычислите 025,0
25
3
:0345,0
4
1
2128,0
20
11
40
7
5,0025,0


 .

11. 11

2. Запишите числа в стандартном виде:
а) 0,00018; б) 375000000.
3. Найдите произведение чисел a = 2,0(352)
и b = 0,012756… с точностью до 10
–2
.
4. Изобразите на числовой оси значение
величины q, если известно
|q – 18,12| < 0,02. Найдите относительную
погрешность вычисления величины q в
процентах с точностью до десятых.
5. Даны числа z1 = –2 + i, z2 = 2 – 3i.
а) Вычислите модули, сумму, разность,
произведение чисел z1 и z2.
б) Изобразите в координатной плоскости
числа: z1 + z2, z1 – z2.
Ответы: 1.1; 3. 0,03; 4. 0,12%; 5. z1·z2 = -
1 + 8i.
2. Запишите числа в стандартном виде:
а) 0,00018; б) 375000000.
3. Найдите произведение чисел a = 2,0(352)
и b = 0,012756… с точностью до 10
-2
.
4. Изобразите на числовой оси значение
величины q, если известно
|q – 18,12| < 0,02. Найдите относительную
погрешность в процентах с точностью до
десятых.
5. z1 = –2 + i, z2 = 2 – 3i.
а) Вычислите произведение и частное
комплексных чисел z1 и z2.
б) Вычислите модуль разности.
в) Вычислите значение выражения 2
2
4
1
2zz
.
Ответы: 3. 0,03; 5в) 3.

Глоссарий
Числа 1, 2, 3, 4, …… - множество натуральных чисел (N)
Числа 0; 1; 2; 3   , ……. - множество целых чисел (Z)
Числа 11
0; 2; ; 0,78; 1,24; ;...
28
     - множество рациональных чисел (Q)
Любое рациональное число можно записать в виде дроби n
m , где m  Z , n  N
Теорема. Не существует рационального числа, квадрат которого равен числу 2

Законы сложения и умножения
действительных чисел:
&#3627408462;+&#3627408463;=&#3627408463;+&#3627408462;
&#3627408462;+(&#3627408463;+&#3627408464;)=(&#3627408462;+&#3627408463;)+&#3627408464;
&#3627408462;∙ &#3627408463;=&#3627408463;∙ &#3627408462;
&#3627408462;∙(&#3627408463;∙&#3627408464;)=(&#3627408462;∙&#3627408463;)∙&#3627408464;
(&#3627408462;+&#3627408463;)∙&#3627408464;=&#3627408462;∙ &#3627408464;+&#3627408463;∙ &#3627408464;


Запомни!


Действия с рациональными числами
&#3627408462;
&#3627408465;
±
&#3627408463;
&#3627408465;
=
&#3627408462;±&#3627408463;
&#3627408465;

&#3627408462;
&#3627408463;
±
&#3627408464;
&#3627408465;
=
&#3627408462;&#3627408465;±&#3627408463;&#3627408464;
&#3627408463;&#3627408465;
&#3627408462;±
&#3627408463;
&#3627408464;
=
&#3627408462;&#3627408464;±&#3627408463;
&#3627408464;

&#3627408462;
&#3627408463;
=&#3627408462;:&#3627408463;
&#3627408462;∙&#3627408464;
&#3627408463;∙&#3627408464;
=
&#3627408462;
&#3627408463;

&#3627408462;
&#3627408463;
∙
&#3627408464;
&#3627408465;
=
&#3627408462;∙&#3627408464;
&#3627408463;∙&#3627408465;

&#3627408462;
&#3627408464;
&#3627408465;
=
&#3627408462;∙&#3627408464;
&#3627408465;

&#3627408462;
&#3627408463;
:
&#3627408464;
&#3627408465;
=
&#3627408462;
&#3627408463;
∙
&#3627408465;
&#3627408464;
=
&#3627408462;∙&#3627408465;
&#3627408463;∙&#3627408464;

&#3627408462;
&#3627408463;
:&#3627408464;=
&#3627408462;
&#3627408463;
∙
1
&#3627408464;

&#3627408462;:
&#3627408463;
&#3627408464;
=&#3627408462;∙
&#3627408464;
&#3627408463;



Правила действий над
рациональными числами:
&#3627408462;+&#3627408463;=&#3627408464;
−&#3627408462;−&#3627408463;=−с,
&#3627408462;∙ &#3627408463;=&#3627408464;
−&#3627408462;∙(−&#3627408463;)=&#3627408464;
а∙(−&#3627408463;)=−&#3627408464;

НА НУЛЬ ДЕЛИТЬ НЕЛЬЗЯ!
а∙ 0=0, а∙ 1=а, а∶1=а

12. 12

Тема 2. Корни, степени и логарифмы.
Содержание
1. Основные свойства арифметических корней n-ой степени.
2. Логарифмом числа
3. Свойства логарифмов
4. Зависимость между логарифмами чисел при разных основаниях

Литература
 Алгебра і початки аналізу: Підруч. Для 10 кл. загальноосвіт. навч. закладів / З. І.
Шкіль, З. І. Слєпкань, О. С. Дубинчук: Зодіак-ЕКО, 2003.
 Алгебра і початки аналізу: Підруч. Для 11 кл. загальноосвіт. навч. закладів / З. І.
Шкіль, З. І. Слєпкань, О. С. Дубинчук: Зодіак-ЕКО, 2003.
 Математика: Підруч. для 10 кл. загальноосвіт. навч. закладів / М. І. Бурда, Т. В.
Колесник, Ю. І. Мальований, Н. А. Тарасенкова: Київ «Зодіак-ЕКО» 2010.
 Алгебра і початки аналізу: : Підруч. для 10 кл. загальноосвіт. навч. закладів / Є. П.
Нелін: Харків «Гімназія» 2010.
 Алгебра і початки аналізу: : Підруч. для 10 кл. загальноосвіт. навч. закладів / А. Г.
Мерзляк, Д. А Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір: Харків «Гімназія» 2010

Индивидуальная домашняя работа №2
1. Найдите значения числовых выражений:
1. . 2. .
3. . 4. .
5. . 6. .
7. . 8. .
9. . 10. .
11. . 12. .
13. . 14. .
15. . 16. .
17. . 18. .
19. . 20. .
21. . 22. .
23. . 24. .
2. Вычислите без таблиц и вычислительных инструментов: 3
2
25,14
8
3
3
3
2









 33
92733  375,6
27
1
375,0 








 3
33
100
25
4
5,623   
3333
1084322425,0  35
4528 3
33
12
25681  
2
44
82
234

   
33333
4102252100   
4
2
22535  324
1
324
1


 626
3
626
3


 501218583  333
4031352320  21112111  33
175175  32
1
23

 13
13
13
13




 288288  246246  2951229512  37203720  35
27
17
4
1024
243
 5
5
5
288
5
5,4
16
11
1 

13. 13

1. . 2. .
3. . 4. .
5. . 6. .
7. . 8. .
9. . 10. .
11. . 12. .
13. 25log5log
44
4
 . 14. .
15. . 16. .
17. . 18. .
19. . 20. .
21. . 22. .
23. . 24. .
Глоссарий
Корнем n-ой степени из числа а называется такое число, n-ая степень которого равна
а, т.е. aa
n
n
 .
Арифметическим корнем n-ой степени из числа а называют неотрицательное число,
n-ая степень которого равна а.
Основные свойства арифметических корней n-ой степени.
Для любых натуральных чисел n, m и k, больших 1, и любых неотрицательных чисел a
и b выполнены равенства:
1°. nkmknm
aa .
2°. nnn
baab  .
3°. 0  b
b
a
b
a
n
n
n .
4°. nknk
aa .
5°. 
nk
k
n
aa .
Для любых рациональных чисел r и s и любых положительных a и b справедливы
равенства.
1°. .
2°. . 3log4log
1212 125lg8lg 16log
64log
2
2 8lg64lg
4lg
 16
7
log7log
22 130lg13lg 25,6log2log
55
 12log3log
66 8lg16lg
4lg
 81
58
7log25log
33
    23log13log2
2121
 9lg
81lg 2log16loglog3
5,042  3
125
5log 2log72log
66 3log4log
1212 125lg8lg 16log
64log
2
2 8lg64lg
4lg
 16
7
log7log
22 130lg13lg 25,6log2log
55
 12log3log
66 srsr
aaa

 sr
s
r
a
a
a



14. 14

3°. .
4°. .
5°. .
Логарифмом числа N ( ) по основанию а ( ) называется показатель
степени х, в которую нужно возвести основание а, чтобы получить число N, т.е.
.

.
Это равенство называется основным логарифмическим тождеством.
Свойства логарифмов:
1°. Логарифм произведения положительных чисел равен сумме логарифмов
сомножителей:
.
2°. Логарифм частного положительных чисел равен разности логарифмов делимого
и делителя:
.
3°. Логарифм степени положительного основания равен произведению показателя
степени на логарифм основания степени:
.
4°. Логарифм корня из положительного числа равен логарифму подкоренного числа,
делённому на показатель корня:
.
Десятичным логарифмом числа называется логарифм этого числа по основанию 10.
Такой логарифм записывается следующим образом:

Натуральным логарифмом числа называется логарифм этого числа по основанию е,
где е – иррациональное число, приближённо равное 2,718. Обозначение:

Зависимость между логарифмами чисел при разных основаниях:
1°. Формула перехода от логарифмов по основанию а к логарифмам по основанию b
.
2°. Зависимость между основаниями a и b выражается формулой
.
3°. Имеет место соотношение
. 
sr
s
r
aa

 
rrr
baba  r
rr
b
a
b
a





 RN 1 ,0aa NaxN
x
a
 log Na
N
a

log  NMMN
aaa logloglog  NM
N
M
aaa
logloglog  MnM
a
n
a
loglog  M
n
M
a
n
a
log
1
log  aa
10loglg aa
elogln a
M
M
b
b
a
log
log
log a
b
b
a
log
log
1
 M
m
M
aa
m log
1
log 

15. 15

Тема 3. Основы тригонометрии.
Содержание
1. Радианная мера угла.
2. Основные тригонометрические тождества.
3. Знаки, числовые значения и свойства чётности, нечётности и периодичности
тригонометрических функций.
4. Формулы приведения.
5. Тригонометрические функции алгебраической суммы двух аргументов (формулы
сложения).
6. Тригонометрические функции удвоенного и половинного аргумента.
7. . Преобразование произведения тригонометрических функций в алгебраическую
сумму.
8. Преобразование алгебраической суммы тригонометрических функций в
произведение.

Литература
 Алгебра і початки аналізу: Підруч. Для 10 кл. загальноосвіт. навч. закладів / З. І.
Шкіль, З. І. Слєпкань, О. С. Дубинчук: Зодіак-ЕКО, 2003.
 Алгебра і початки аналізу: Підруч. Для 11 кл. загальноосвіт. навч. закладів / З. І.
Шкіль, З. І. Слєпкань, О. С. Дубинчук: Зодіак-ЕКО, 2003.
 Математика: Підруч. для 10 кл. загальноосвіт. навч. закладів / М. І. Бурда, Т. В.
Колесник, Ю. І. Мальований, Н. А. Тарасенкова: Київ «Зодіак-ЕКО» 2010.
 Алгебра і початки аналізу: : Підруч. для 10 кл. загальноосвіт. навч. закладів / Є. П.
Нелін: Харків «Гімназія» 2010.
 Алгебра і початки аналізу: : Підруч. для 10 кл. загальноосвіт. навч. закладів / А. Г.
Мерзляк, Д. А Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір: Харків «Гімназія» 2010.


Индивидуальная домашняя работа №3

Вариант №1
1. Выразите в радианной мере величины
углов 64
0
; 160
0
.
2. Выразите в градусной мере величины
углов , .
3. Укажите знак числа: а) ; б)
.
4. Дано: , .
Найдите и .
Вариант №3
1. Выразите в радианной мере величины
углов 72
0
; 140
0
.
2. Выразите в градусной мере величины
углов , .
3. Укажите знак числа: а) ;
б) .
4. Найдите и, если известно, что
и не лежит во второй
четверти. 5
3 
4
3
1 75
4
sin

tg 4cos3sin 5
4
sin 00
270180  cos ctg 12
11 
8
23 0
00
400sin
300200cos tg 42costg sin tg 5
2
cos 

16. 16

Вариант №2
1. Выразите в радианной мере величины
углов 56
0
; 170
0
.
2. Выразите в градусной мере величины
углов , .
3. Укажите знак числа: а) ; б)
.
4. Дано: , .
Найдите и .
Вариант №4
1. Выразите в радианной мере величины
углов 42
0
; 130
0
.
2. Выразите в градусной мере величины
углов , .
3. Укажите знак числа: а)
; б) .
4. Найдите и , если известно,
что и не лежит во первой
четверти.

Глоссарий
Отношение длины дуги окружности l к длине её радиуса R называется радианной
мерой a этой дуги:
.
Основные тригонометрические тождества:
.
.
.
.
Знаки тригонометрических функций по четвертям приведены на рисунке

Наименьший положительный период для косинуса и синуса равен , а для тангенса
и котангенса он равен .
Формулами сложения называются формулы, выражающие тригонометрические
функции углов через одноимённые функции углов и . Приведём эти формулы:

;


;
. 6
5 
6
1
2 95
3
cos

tg 5cos4sin 25
24
cos 00
18090  sin tg 12
7 
4
21 0
00
330
220cos110sin
ctg
 42sinctg cos ctg 5
4
sin  R
l
a 1cossin
22
 0cos ,0sin ,1ctgtg   0cos ,
cos
1
1tg
2
2
 

 0sin ,
sin
1
1ctg
2
2
 

 2         sincoscossinsin     sinsincoscoscos     sinsincoscoscos   



tgtg1
tgtg
tg


  



tgtg1
tgtg
tg



        sin cos cos sin sin   

17. 17

;
.
Формулы для тригонометрических функций удвоенного аргумента позволяют
выразить функции аргумента через функции аргумента :
;
;
;
;
Для преобразования произведения тригонометрических функций в сумму
применяются формулы
;
;
.
Преобразование алгебраической суммы тригонометрических функций в
произведение
Для преобразования алгебраической сумм тригонометрических функций в
произведение используются формулы
;


;
.
;

 



ctgctg
1ctg ctg
ctg


  



ctgctg
1ctg ctg
ctg


 2   cossin22sin 
2222
sin211cos2sincos2cos  


2
tg1
2tg
2tg

 


ctg2
1ctg
ctg2
2

      sinsin
2
1
cossin       coscos
2
1
coscos      coscos
2
1
sinsin 2
cos
2
sin2sinsin



 2
sin
2
cos2sinsin



 2
cos
2
cos2coscos



 2
sin
2
sin2coscos



  



coscos
sin
tgtg

  



coscos
sin
tgtg



18. 18

Тема 4. Функции, их свойства и графики. Степенные, показательные,
логарифмические и тригонометрические функции.
Содержание
1. Степенная функция. Свойства и график в зависимости от показателя степени k.
2. Показательная функция. Основные свойства.
3. Логарифмическая функция.
4. Основные свойства логарифмической функции.
5. Тригонометрические функции.

Литература
 Алгебра і початки аналізу: Підруч. Для 10 кл. загальноосвіт. навч. закладів / З. І.
Шкіль, З. І. Слєпкань, О. С. Дубинчук: Зодіак-ЕКО, 2003.
 Алгебра і початки аналізу: Підруч. Для 11 кл. загальноосвіт. навч. закладів / З. І.
Шкіль, З. І. Слєпкань, О. С. Дубинчук: Зодіак-ЕКО, 2003.
 Математика: Підруч. для 10 кл. загальноосвіт. навч. закладів / М. І. Бурда, Т. В.
Колесник, Ю. І. Мальований, Н. А. Тарасенкова: Київ «Зодіак-ЕКО» 2010.
 Алгебра і початки аналізу: : Підруч. для 10 кл. загальноосвіт. навч. закладів / Є. П.
Нелін: Харків «Гімназія» 2010.
 Алгебра і початки аналізу: : Підруч. для 10 кл. загальноосвіт. навч. закладів / А. Г.
Мерзляк, Д. А Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір: Харків «Гімназія» 2010.


Индивидуальная домашняя работа №4

Вариант №1
1. Найдите область определения функции 2
16ху 

2. Найдите область значений функции
у = cos x +2
3.Проверьте функцию на четность
у = х
4
+ cos x
4. Найдите нули функции 1хху
5. По графику некоторой функции у= f (x)
найдите промежутки возрастания






6. Найдите наименьший положительный
период функции 2
x
ctgу
Вариант №3
1. Найдите область определения функции
и 2
81ху 
2. Найдите область значений функции
у = sin x -2
3. Проверьте функцию на четность: 1
2


x
tgx
y

4. Найдите нули функции 5
3
5

x
y
5. По графику некоторой функции
у= f (x) найдите промежутки
возрастания





6. Найдите наименьший положительный
период функции у = tg 4x
Вариант №2 Вариант №4

19. 19

1. Найдите область определения функции 2
4ху 

2. Найдите область значений функции
у = cos x +4
3.Проверьте функцию на четность
у = 2х
4
+ cos x
4. Найдите нули функции 1ху
5. По графику некоторой функции у= f (x)
найдите промежутки убывания






6. Найдите наименьший положительный
период функции 2
x
tgу
1. Найдите область определения функции
и 2
9ху 
2. Найдите область значений функции
у =4 sin x -2
3. Проверьте функцию на четность: 12
2


x
tgx
y

4. Найдите нули функции 5
x
y
5. По графику некоторой функции
у= f (x) найдите промежутки убывания





6. Найдите наименьший положительный
период функции у = tg 8x

Глоссарий
Степенная функция
Функция вида , где k действительное число, называется степенной функцией с показателем
k.
Свойства и график степенной функции существенным образом зависят от показателя степени k.
Рассмотрим различные варианты:
1. Показатель степени – чётное натуральное число. (рис. .1)
2. Показатель степени – нечётное натуральное число. (рис. 2).

Рис. .1 Рис. 2
3. Показатель степени – натуральное число. (рис. 3)
4. Показатель степени – натуральное число.
(рис. 4).

Рис. 3 Рис. 4
5. Показатель степени k – положительное действительное нецелое число. (рис. 5). k
xy nk2 12nk nk2  12nk

20. 20

6. Показатель степени k – отрицательное действительное нецелое число.(рис. 6).

Рис. 5 Рис. 6
Показательная функция
Функция вида , где основанием служит заданное число , , называется
показательной функцией.
Область определения – множество R всех действительных чисел.
Множество значений показательной функции – множество всех положительных чисел .
Показательная функция является возрастающей при (рис. 7) на множестве всех
действительных чисел и убывающей при (рис. 8).

Рис. 7 Рис. 8
Логарифмическая функция
Функция называется логарифмической функцией.
Логарифмическая функция является обратной по отношению к показательной функции
.
Основные свойства логарифмической функции:
1°. Область определения: .
2°. Множество значений функции: , т.е. вся числовая прямая.
3°. Логарифм единицы равен нулю, логарифм основания равен единице: .
4°. Функция ( ) возрастает в промежутке (рис. 9).
5°. Функция ( ) убывает в промежутке (рис. .10).

Рис. 9 Рис..10
Функция
Основные свойства функции:
1. Область определения функции – множество всех действительных чисел.
2. Множество значений – отрезок .
3. Функция является периодической с периодом .
4. Функция нечётная.
Применив данные свойства можно построить график функции (рис11) x
ay 0a 1a 0y x
ay 1a 10a )1 ,0 ,( log 
 aaRxxy
a xy
alog x
ay 
RyD RyE 1log ,01log  a
aa xy
alog 1a 0x xy
alog 10a 0x xysin 1;1 2T xysin xysin

21. 21


Рис. 11
Функция
Основные свойства функции:
1. Область определения функции – множество всех действительных чисел.
2. Множество значений – отрезок .
3. Функция является периодической с периодом .
4. Функция чётная. График функции симметричен относительно оси Оу.
Применив данные свойства можно построить график функции (рис. 12)

Рис.12
Функция
Основные свойства функции:
1. Область определения функции – множество всех действительных чисел .
2. Множество значений – множество всех действительных чисел.
3. Функция является периодической с периодом .

Рис.
Функция
Основные свойства функции:
1. Область определения функции – множество всех действительных чисел .
2. Множество значений – множество всех действительных чисел.
3. Функция является периодической с периодом .
4. Функция нечётная.
Применив данные свойства можно построить график функции (рис. 4.8) xycos 1;1 2T xycos xycos xytg Znnx  ,
2

 T xyсtg Znnx  , T xyсtg xyсtg

22. 22

Тема 5. Начала математического анализа.

Содержание
1. Производная, её геометрический и механический смысл.
2. Основные правила дифференцирования.
3. Производная сложной функции.
4. Критические точки функции. Возрастание и убывание функции.
5. Правило нахождения экстремумов функции с помощью первой производной.
6. Построение графиков функций.
7. Неопределённый интеграл и его свойства.
8. Формула Ньютона-Лейбница.

Литература
 Алгебра і початки аналізу: Підруч. Для 10 кл. загальноосвіт. навч. закладів / З. І.
Шкіль, З. І. Слєпкань, О. С. Дубинчук: Зодіак-ЕКО, 2003.
 Алгебра і початки аналізу: Підруч. Для 11 кл. загальноосвіт. навч. закладів / З. І.
Шкіль, З. І. Слєпкань, О. С. Дубинчук: Зодіак-ЕКО, 2003.
 Математика: Підруч. для 10 кл. загальноосвіт. навч. закладів / М. І. Бурда, Т. В.
Колесник, Ю. І. Мальований, Н. А. Тарасенкова: Київ «Зодіак-ЕКО» 2010.
 Алгебра і початки аналізу: : Підруч. для 10 кл. загальноосвіт. навч. закладів / Є. П.
Нелін: Харків «Гімназія» 2010.
 Алгебра і початки аналізу: : Підруч. для 10 кл. загальноосвіт. навч. закладів / А. Г.
Мерзляк, Д. А Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір: Харків «Гімназія» 2010.


Индивидуальная домашняя работа №5
Вариант №1
1. Найдите первообразную функции f(x)
= х
2
– 5, график которой проходит через
точку (3;4).
2. Найдите общий вид первообразных f(x)
= 2
)16(
1


х .
3. Точка движется прямолинейно, ее
скорость выражается формулой v = t +3t
2
.
Найдите закон движения, если известно,
что в момент времени t = 0 координата
точки равнялось числу 1.
4. Найдите общий вид первообразных для
функций f(x) = 8 sin2
х cos2
х .
5. Дана функция f(x) = e
x
cosx. Найдите
f
1
(x), f
1
(0).
6. Дана функция g(x) = 6
1 ln(-2x). Найдите
g
1
(x), g
1
(-8
1 ).
Вариант №3
1. Найдите первообразную функции f(x) =
2х
2
+ 3, график которой проходит через
точку (-2;5 ).
2. Найдите общий вид первообразных f(x)
= 2
)37(
1
х .
3. Точка движется прямолинейно, ее
скорость выражается формулой v = t +3t
2
.
Найдите закон движения, если известно,
что в момент времени t = 0 координата
точки равнялось числу 1.
4. Найдите общий вид первообразных для
функций f(x) = cos
22
х
- sin
22
х
.
5. Дана функция f(x) = 2
x
cosx. Найдите
f
1
(x), f
1
(0).
6. Дана функция g(x) = 6ln(2
1 x). Найдите
g
1
(x), g
1
(2
1 ).

23. 23

7. Вычислите площадь фигуры,
ограниченной линиями у = е
х
, у = 1, х = 2.
8. Исследуйте на возрастание (убывание )
и на экстремумы функцию f(x) = 2x lnx.
7. Вычислите площадь фигуры,
ограниченной линиями у = е
-х
, у = 1, х = -2.
8. Исследуйте на возрастание (убывание )
и на экстремумы функцию f(x) = x
xln2 .
Вариант №2
1. Найдите первообразную функции f(x) =
4 - х
2
, график которой проходит через
точку (-3;10 ).
2. Найдите общий вид первообразных f(x)
= 2
)38(
1
х .
3. Точка движется прямолинейно, ее
скорость выражается формулой v = -4sin3t.
Найдите закон движения, если известно,
что в момент времени t = 0 координата
точки равнялось числу 2.
4. Найдите общий вид первообразных для
функций f(x) = 1 - 2 sin
22
х
.
5.Дана функция f(x) = e
x
sinx. Найдите
f
1
(x), f
1
(0).
6. Дана функция g(x) = 6
1 ln(-3x). Найдите
g
1
(x), g
1
(-9
1 ).
7. Вычислите площадь фигуры,
ограниченной линиями у = х
1 , у = 1, х = 4.
8. Исследуйте на возрастание (убывание )
и на экстремумы функцию f(x) = x е
х
.
Вариант №4
1. Найдите первообразную функции f(x) =
3х - 5 , график которой проходит через
точку (4;10 ).
2. Найдите общий вид первообразных f(x)
= 2
)210(
1


х .
3. Точка движется прямолинейно, ее
скорость выражается формулой v = t - 2t
2
.
Найдите закон движения, если известно,
что в момент времени t = 1 координата
точки равнялось числу 3.
4. Найдите общий вид первообразных для
функций f(x) = 2 sin2
х cos2
х .
5. Дана функция f(x) = 2
4
х
х . Найдите f
1
(x),
f
1
(-1).
6. Дана функция g(x) = lоg3 (2
1 x). Найдите
g
1
(x), g
1
(2
1 ).
7. Вычислите площадь фигуры,
ограниченной линиями у = 2
х
, у = 1, х = 2.
8. Исследуйте на возрастание (убывание )
и на экстремумы функцию f(x) = 2x – 2 lnx.
Глоссарий
Производная, её геометрический и механический смысл
Производной функции f(x) в точке х = х0 называется предел отношения приращения функции в этой
точке к приращению аргумента, если он существует.


x
xfxxf
xf
x 



)()(
lim)(
0

24. 24

Физический смысл производной):
v(t) = s'(t)
Таблица производных
1. 0)const( .
2. 1
)(


nn
nxx .
3. 1

x
4. 
x
x
2
1


5. 2
11
xx








6. xx
e)e( .
7. aaa
xx
ln)( .
8.  xxcossin
 .
9.  xx sincos 
 .
10. 
x
tgx
2
cos
1

 .
11. 
x
ctgx
2
sin
1

 .
12.  
ax
x
a
ln
1
log

13. 
x
x
1
ln
 . 
0xytgk 
-геометрический смысл производной  
000 xxxyyy 
- уравнение касательной

Основные правила дифференцирования
1. ;υ'u'υ)'(u 
2. ;)( 'uυυ'u'uυ 
3. ;)conct()(  c'cυ'cυ
4. '
υ
uυu'υ'
υ
u
.
2







Производная сложной функции
.
Критические точки функции. Возрастание и убывание функции
Внутренние точки области определения функции, в которых производная функции равна нулю или
не существует, называются критическими точками.
Возрастание и убывание функции характеризуется знаком ее производной: если в
некотором промежутке , то функция возрастает в этом промежутке; если же ,
то функция убывает в этом промежутке.
Исследование функций на максимум и минимум
Точки минимума и максимума функции называются экстремальными точками, а значения функции в
этих точках – минимумом и максимумом функции.
Правило нахождения экстремумов функции с помощью первой производной:
1. Найти производную f'(x).
2. Приравнять ее нулю и найти действительные корни – критические точки функции у = f(x)
(при мнимых корнях экстремум функции не существует).
3. Исследовать знак производной f'(x) в промежутках, на которые найденные критические точки
делят область определения функции .
4. Критическая точка есть точка максимума, если она отделяет промежуток, в котором
слева от точки , от промежутка, в котором справа от точки , т. е. производная
меняет знак с (+) на (-) при переходе через точку .
5. Критическая точка есть точка минимума, если она отделяет промежуток, в котором
слева от точки , от промежутка, в котором справа от точки , т. е. производная меняет
знак с (-) на (+) при переходе через точку
Если в промежутках, разделенных критической точкой , знак производной не меняется, то точка
экстремума не имеет. uufy  xfy 0xf 0xf 0x xfy 0x 0xf 0x 0xf 0x 0x 0x 0xf 0x 0xf 0x 0x 0x 0x

25. 25

6. Вычислить значения функции в точках экстремума.
Построение графиков функций
Общая схема построения графиков функций:
1. Найти область определения функции.
2. Выяснить, чётность, нечётность функции, периодичность.
3. Найти точки пересечения графика с осями координат (если это не вызывает затруднений).
4. Найти асимптоты графика функции.
5. Найти промежутки монотонности функции и её экстремумы.
6. Найти промежутки выпуклости графика функции и точки перегиба.
7. Построить график, используя полученные результаты исследования.

Совокупность первообразных для функции или для дифференциала называется
неопределённым интегралом и обозначается символом . Таким образом:
, если
Свойства:
1
0
.
2
0
. .
3
0
.
4
0
. .
Интеграл Значение Интеграл Значение
1 
dx Cx 11 Cxcosln
2 
dxx
n 1,
1
1



nC
n
x
n 12 
ctgxdx Cxsinln
3 
x
dx Cxln 13 

22
xa
dx C
a
x
arctg
a

1
4 
dxa
x
0a 1a
C
a
a
x

ln
14 

22
ax
dx C
ax
ax
a



ln
2
1
5 
dxe
x Ce
x
 15 

22
ax
dx
Caxx 
22
ln
6 
xdxsin Cxcos 16 

22
xa
dx
C
a
x
arcsin

7 
xdxcos Cxsin 17 
dx
xcos
1 C
x
tg 






42
ln

8 
dx
x
2
cos
1 Ctgx 18 
dx
xsin
1 C
x
tg
2
ln
9 
dx
x
2
sin
1 Cctgx 19 
xdxln xxxln
10
0k
Ckx
k
cos
1
20 
kxcos
0k
Ckx
k
sin
1

Для вычисления определённого интеграла от функции в том случае, когда можно найти
соответствующий неопределённый интеграл , служит формула Ньютона-Лейбница:
. xf dxxf 
dxxf)(  
 CxFdxxf  dxxfCxFd  
 CxFxdF )()(   ;)()( dxxfdxxfd    )()( xfdxxf 

  
 wdxvdxudxdxwvu )(  
 dxxfCdxxfC )()( 
tgxdx 
kxdxsin xf xF   aFbFxFdxxf
a
bb
a



26. 26

Тема 6. Комбинаторика, статистик а и теория вероятностей.

Содержание
1. Комбинаторика
2. Формула для числа перестановок
3. Формула для числа размещений из n элементов по k
4. Формула для числа сочетаний из n элементов по k
5. Знать определения основных понятий: случайное событие, достоверное событие,
невозможное событие, несовместные события, полная группа событий;
6. Иметь представление о понятиях попарно несовместных событий.

Литература
 Алгебра і початки аналізу: Підруч. Для 10 кл. загальноосвіт. навч. закладів / З. І.
Шкіль, З. І. Слєпкань, О. С. Дубинчук: Зодіак-ЕКО, 2003.
 Алгебра і початки аналізу: Підруч. Для 11 кл. загальноосвіт. навч. закладів / З. І.
Шкіль, З. І. Слєпкань, О. С. Дубинчук: Зодіак-ЕКО, 2003.
 Математика: Підруч. для 10 кл. загальноосвіт. навч. закладів / М. І. Бурда, Т. В.
Колесник, Ю. І. Мальований, Н. А. Тарасенкова: Київ «Зодіак-ЕКО» 2010.
 Алгебра і початки аналізу: : Підруч. для 10 кл. загальноосвіт. навч. закладів / Є. П.
Нелін: Харків «Гімназія» 2010.
 Алгебра і початки аналізу: : Підруч. для 10 кл. загальноосвіт. навч. закладів / А. Г.
Мерзляк, Д. А Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір: Харків «Гімназія» 2010.

Индивидуальная домашняя работа №6
Элементы комбинаторики
Вариант №1
1. Сколькими способами можно составить
расписание одного учебного дня из 5
различных уроков?
1) 30 2) 100 3) 120 4) 5
2. В группе 32 обучающихся. Сколькими
способами можно сформировать команду
из 4 человек для участия в математической
олимпиаде?
1) 128 2) 35960 3) 36 4)46788
3. Сколько существует различных
двузначных чисел, в записи которых
можно использовать цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6,
если цифры в числе должны быть
различными?
1) 10 2) 60 3) 20 4) 30
4. Вычислить: 6! -5!
1) 600 2) 300 3) 1 4) 1000
5. В ящике находится 45 шариков, из
которых 17 белых. Потеряли 2 не белых
шарика. Какова вероятность того, что
выбранный наугад шарик будет белым?
1) 2) 3) 4)
6. Бросают три монеты. Какова
вероятность того, что выпадут два орла и
одна решка?
Вариант №3
1. Сколькими способами можно расставить
4 различные книги на книжной полке?
1) 24 2) 4 3) 16 4) 20
2. Сколько диагоналей имеет выпуклый
семиугольник?
1) 30 2) 21 3) 14 4) 7
3. В футбольной команде 11 человек.
Необходимо выбрать капитана и его
заместителя. Сколькими способами это
можно сделать?
1) 22 2) 11 3) 150 4) 110
4. Сократите дробь: !3
!11!12
1) 1 2) 3) 4)
5. Какова вероятность, что при одном
броске игрального кубика выпадает число
очков, равное четному числу?
1) 2) 0,5 3) 4) 0,25
6. Катя и Аня пишут диктант. Вероятность
того, что Катя допустит ошибку,
составляет 60%, а вероятность ошибки у
Ани составляет 40%. Найти вероятность
того, что обе девочки напишут диктант без
ошибок.
1) 0,25 2) 0, 4 3) 0,48 4) 0,2

27. 27

1) 2) 0,5 3) 0,125 4)
7. В денежно-вещевой лотерее на 1000000
билетов разыгрывается 1200 вещевых и
800 денежных выигрышей. Какова
вероятность выигрыша?
1) 0,02 2) 0,00012 3) 0,0008 4)
0,002
7. Завод выпускает 15% продукции
высшего сорта, 25% - первого сорта, 40% -
второго сорта, а все остальное – брак.
Найти вероятность того, что выбранное
изделие не будет бракованным.
1) 0,8 2) 0,1 3) 0,015 4) 0,35
Вариант №2
1. Сколько различных пятизначных чисел
можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5?
1) 100 2) 30 3) 5 4) 120
2. Имеются помидоры, огурцы, лук.
Сколько различных салатов можно
приготовить, если в каждый салат должно
входить 2 различных вида овощей?
1) 3 2) 6 3) 2 4) 1
3. Сколькими способами из 9 учебных
предметов можно составить расписание
учебного дня из 6 различных уроков.
1) 10000 2) 60480 3) 56 4) 39450
4. Вычислите: 23!-22!
1) 22 2) 56 3) 30 4) 23
5. В игральной колоде 36 карт. Наугад
выбирается одна карта. Какова
вероятность, что эта карта – туз?
1) 2) 3) 4)
6. Бросают два игральных кубика. Какова
вероятность того, что выпадут две четные
цифры?
1) 0,25 2) 3) 0,5 4) 0,125
7. В корзине лежат грибы, среди которых
10% белых и 40% рыжих. Какова
вероятность того, что выбранный гриб
белый или рыжий?
1) 0,5 2) 0,4 3) 0,04 4) 0,8
Вариант №4
1. Сколькими способами могут встать в
очередь в билетную кассу 5 человек?
1) 5 2) 120 3) 25 4) 100
2. Сколькими способами из 25 учеников
класса можно выбрать четырех для
участия в праздничном концерте?
1) 12650 2) 100 3) 75 4)10000
3. Сколько существует трехзначных чисел,
все цифры. Которых нечетные и
различные.
1) 120 2) 30 3) 50 4) 60
4. Упростите выражение: 15!-14!+5!
1) 0,5 2) 3) 4) 4
5. Какова вероятность, что ребенок
родится 7 числа?
1) 2) 3) 4)
6. Каждый из трех стрелков стреляет в
мишень по одному разу, причем
попадания первого стрелка составляет
90%, второго – 80%, третьего – 70%.
Найдите вероятность того, что все три
стрелка попадут в мишень?
1) 0,504 2) 0,006 3) 0,5 4) 0,3
7. Из 30 учеников спорткласса, 11
занимается футболом, 6 – волейболом, 8 –
бегом, а остальные прыжками в длину.
Какова вероятность того, что один
произвольно выбранный ученик класса
занимается игровым видом спорта?
1) 2) 0,5 3) 4)

Элементы теории вероятностей. Элементы математической статистики.
Вариант №1
Устройство состоит из трёх элементов,
работающих независимо. Вероятности
безотказной работы первого, второго и
третьего элементов соответственно равны 0,6;
0,7;08. Найти вероятность того, что безотказно
будут работать: а) только один элемент; б)
только два элемента; в) все три элемента.
Вариант №3
Заводом послана автомашина за различными
материалами на 4 базы. Вероятность наличия
нужного материала на первой базе равна 0,9; на
второй – 0,95; на третьей – 0,8; на четвёртой –
0,6. Найти вероятность, того что только на
одной базе не окажется нужного материала.
Вариант №2
Для сигнализации об аварии установлены два
независимо работающих си гнализатора.
Вероятность того, что при аварии сигнализатор
сработает, равна 0,95 для первого
Вариант №4
Производится три выстрела по одной и той же
мишени. Вероятность попадания при первом
выстреле равна 0,4; при втором – 0,5 и при
третьем – 0,7. Найти вероятности следующих

28. 28

сигнализатора и 0,9 для – второго. Найти
вероятность того, что при аварии сработает
только один сигнализатор.
событий: А = {ровно одно попадание}; В = {
хотя бы одно попадание}; С = { хотя бы два
попадания}.

Глоссарий
Комбинаторика (комбинаторный анализ) – раздел математики, основное внимание в
котором сконцентрировано на задаче размещения объектов в соответствии со
специальными правилами и нахождении числа способов, которыми это может быть
сделано.
Формула для числа перестановок Рn = n!,
Замечание: символ n! (читается как факториал) есть сокращенное обозначение
произведения 1  2  3…(n – 1)  n. Принимается, что 1!=1, 0!=1.
Формула для числа размещений из n элементов по k k
n
A = !)(
!
kn
n

Формула для числа сочетаний из n элементов по k Ck
n = k
n
A /k! =!)(!
!
knk
n

Случайным называется событие наступление, которого нельзя гарантировать.
Рассмотрим основные понятия теории вероятности:
Испытанием называется совокупность условий, при котором может произойти данное
случайное событие.
Событие – это факт, который при осуществлении определенных условий может
произойти или нет. События обозначают большими латинскими буквами А, В, С…
Опр: Событие, всегда осуществляющееся при проведении испытания, называют
достоверным событием.
Опр: Когда событие не может произойти в результате испытания, его называют
невозможным.
Опр: Под случайным событием, связанным с некоторым опытом, понимается всякое
событие, которое при осуществлении этого опыта либо происходит, либо не происходит.
Опр: События называются несовместными, если в результате данного испытания
появление одного из них исключает появление другого.
Опр: События называются совместными, если в результате данного испытания
появление одного из них не исключает появление другого.
Опр: События называются равновозможными, если нет основания считать, что одно из
них происходит чаще, чем другое.
Опр: Два несовместных события А и A (не А) называются противоположными, если в
результате испытания одно из них должно обязательно произойти.
Вероятность события – это число, характеризующее степень возможности появления
событий при многократном повторении события.
Классическое определение вероятности
Р (А)=n
m , где m – число благоприятных исходов, n – число всех исходов.
Свойства вероятности
1. Р(А)= 0, если А – невозможное событие
2. Р(А)=1, если А – достоверное событие
3. Вероятность случайного события: 1)(0 AP

Случайной величиной, связанной с данным испытанием, называется переменная
величина X, принимающая различные числовые значения в зависимости от случая.
Дискретная случайная величина X считается заданной, если заданы все ее значения и
известен закон распределения вероятностей.

29. 29

Тема 7. Прямые и плоскости в пространстве.

Содержание
1. Аксиомы стереометрии
2. Определение параллельных прямых.
3. Определение прямой параллельной плоскости; признак параллельности прямой и
плоскости.
4. Определение параллельных плоскостей; признак параллельности двух плоскостей.
5. Определение прямой, перпендикулярной плоскости; признак перпендикулярности
прямой и плоскости.
6. Теоремы о трех перпендикулярах
7. Определение перпендикулярных плоскостей; признак перпендикулярности двух
плоскостей.
8. Свойства точек, равноудаленных от всех вершин или сторон многоугольника.
9. Определение величины угла между двумя скрещивающимися прямыми.

Литература
 Погорєлов О.В. Геометрія: Планіметрія: Підруч. для 10-11 кл. загальноосвіт. навч.
закл.– К.: Школяр, 2004, Освіта, 2001
 Математика: Підруч. для 10 кл. загальноосвіт. навч. закладів / М. І. Бурда, Т. В.
Колесник, Ю. І. Мальований, Н. А. Тарасенкова: Київ «Зодіак-ЕКО» 2010.

Индивидуальная домашняя работа №7

Вариант №1
Выполните чертеж к задаче. Прямые а, в, и
с имеют общую точку О, но не
существует плоскости, в которой лежат
все эти три точки.
Выполните чертеж к задаче. Плоскость α
проходит через середины сторон АВ и АС
ΔАВС и не содержит вершины А.
Выполните чертеж куба. По чертежу
укажите: а) прямые параллельные для
прямой АД; б) прямые
скрещивающиеся с прямой ;
в) плоскости параллельные прямой АВ.
Прямая АВ пересекает плоскость α в точке
О, расстояние от точки А до плоскости
равно 4 см. Найдите расстояние от точки В
до плоскости, если точка О середина АВ.
Вариант №3
Выполните чертеж к задаче. Прямые СД и
СК пересекают плоскость β в разных
точках.
Выполните чертеж к задаче. Прямая АВ
параллельна плоскости γ, а прямая АТ
пересекает ее в точке Т.
Выполните чертеж куба . По чертежу
укажите: а) прямые параллельные для
прямой СД;
б) прямые скрещивающиеся с прямой ;
в) плоскости параллельные прямой ВС.
Прямая АВ пересекает плоскость α в точке
О, расстояние от точки А до плоскости
равно 4 см. Найдите расстояние от точки В
до плоскости, если точка А средина ОВ.
Вариант №2
Выполните чертеж к задаче. Прямые а, в, и
с имеют общую точку О и лежат в одной
плоскости.
Выполните чертеж к задаче. Прямая а
параллельна каждой из параллельных
плоскостей α и β.
Выполните чертеж куба. По чертежу
укажите: а) прямые параллельные для
прямой АВ;
Вариант №4
Выполните чертеж к задаче. Две вершины
ΔАВС лежат в плоскости γ, а вершина С не
лежит в плоскости γ. Прямая d пересекает
стороны СВ и СК соответственно в точках
М и Т, а плоскость α в точке К.
Выполните чертеж к задаче. Плоскость α
пересекает три параллельных прямых
соответственно в точках А, В, и С,
лежащих на одной прямой.

30. 30

б) прямые скрещивающиеся с прямой ;
в) плоскости параллельные прямой АД.
Прямая АВ пересекает плоскость α в точке
О, расстояние от точки А до плоскости
равно 4 см. Найдите расстояние от точки В
до плоскости, если точка В середина ОА.
Выполните чертеж куба. По чертежу
укажите: а) прямые параллельные для
прямой ВС;
б) прямые скрещивающиеся с прямой ;
в) плоскости параллельные прямой АВ.
Прямая АВ пересекает плоскость α в точке
О, расстояние от точки А до плоскости
равно 4см. Найдите расстояние от точки В
до плоскости, если ОА =8 см, АВ=6 см.

Глоссарий
1. Аксиомы стереометрии (три аксиомы о взаимном расположении точек, прямых,
плоскостей).
1) Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость
и притом только одна.
2) Если две различные точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой
лежат в этой плоскости.
3) Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую,
на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
2. Определение параллельных прямых. Две прямые в пространстве называются
параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.
3. Определение скрещивающихся прямых; признак скрещивающихся прямых.
Определение: Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной
плоскости.
Признак: Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая
пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые
скрещивающиеся.
4. Определение прямой параллельной плоскости; признак параллельности прямой и
плоскости.
Определение: Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих
точек.
Признак: Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой,
лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.
5. Определение параллельных плоскостей; признак параллельности двух плоскостей.
Определение: Две плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек.
Признак: Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны
двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.
6. Теорема об отрезках параллельных прямых, заключенных между параллельными
плоскостями.
Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны.
7. Определение прямой, перпендикулярной плоскости; признак перпендикулярности
прямой и плоскости.
Определение: Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она
перпендикулярна ко всем прямым, лежащим в этой плоскости.
Признак: Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в
плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

31. 31

8. Теоремы о трех перпендикулярах.
Прямая, проведенная в плоскости через основание
наклонной перпендикулярно к её проекции на эту
плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной.
Прямая, проведенная в плоскости через основание
наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна и к её
проекции.

9. Определение перпендикулярных плоскостей; признак перпендикулярности двух
плоскостей.
Определение: Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если угол
между ними равен 90º
Признак: Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к
другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.
10. Свойства точек, равноудаленных от всех вершин или сторон многоугольника.
Если точка равноудалена от всех вершин многоугольника, то она проецируется на
плоскость этого многоугольника в центр описанной окружности.
Если точка равноудалена от всех сторон многоугольника, то она проецируется на плоскость
этого многоугольника в центр вписанной окружности.
11. Определение величины угла между двумя скрещивающимися прямыми.
Угол между скрещивающимися прямыми равен углу между пересекающимися прямыми,
параллельными данным.

а∸&#3627408463;; а′‖а; а
′
∩&#3627408463;=О; угол ??????−искомый

32. 32

Тема 8. Многогранники.
Содержание
1. Многогранники.
2. Призма. Параллелепипед и его свойства
3. Пирамида.
4. Понятие о правильных многогранников

Литература
 Погорєлов О.В. Геометрія: Планіметрія: Підруч. для 10-11 кл. загальноосвіт. навч.
закл.– К.: Школяр, 2004, Освіта, 2001
 Математика: Підруч. для 10 кл. загальноосвіт. навч. закладів / М. І. Бурда, Т. В.
Колесник, Ю. І. Мальований, Н. А. Тарасенкова: Київ «Зодіак-ЕКО» 2010.

Индивидуальная домашняя работа №8
Вариант №1
1. Сторона основания правильной
треугольной пирамиды – 10 см. Угол
между плоскостями боковой грани и
основания = 600. Вычислите площадь
полной поверхности пирамиды.
2. Высота правильной призмы
KMPK1M1P1 = 15 см. Сторона её
основания 8 Вычислите периметр сечения
призмы с плоскостью содержащей прямую
PP1 и середину ребра KM.
3. Основанием прямого параллелепипеда
является ромб со стороной m и острым
углом . Угол между меньшей диагональю
параллелепипеда и плоскостью его
основания = ß. Вычислите S поверхности.
4. Найти высоту правильной
шестиугольной призмы, если сторона её
основания = а, а меньшая из диагоналей
призмы = b.
Вариант №3
1. Высота правильной четырехугольной
пирамиды = 8см, сторона основания =
12см.
2. Вычислите: а) длину бокового ребра, б)
S бок поверхности.
Ребро МА пирамиды МАВС ┴
основанию. AB = AC= a. Угол BAC=2Y.
Угол между плоскостями основания и
грани MBC = Y. Вычислите: а) расстояние
от вершины пирамиды до прямой BC;
б) S полной поверхности пирамиды.
3. Найдите высоту правильной
шестиугольной призмы, если сторона ее
основания равно = a, а большая из
диагоналей призмы = b.
4. Найдите сторону основания и высоту
правильной четырех угольной призмы,
если ее боковая поверхность = 8см2, а
полная = 40см2.
Вариант №2
1. Высота правильной треугольной
пирамиды =6см. Радиус окружности,
описанной около ее основания =4√3см.
Вычислите а) длину бокового ребра; б)
площадь боковой поверхности пирамиды.
2. Основанием пирамиды МАВСД
является квадрат, сторона которого = а.
Боковое ребро МД основанию
пирамиды. Угол между плоскостями
основания и грани МАB = у. Вычислите
а)расстояние от вершины пирамиды до
прямой АС; б) S поверхности пирамиды.
3. Найдите сторону основания и высоту
правильной четырёхугольной призмы,
если площадь её полной поверхности = 40
см2, а боковая поверхность = 32 см2.
Вариант №4
1. Площадь основания прямой треугольной
призмы = 4 дм2. Найдите площадь сечения
призмы, проведённую через сторону
одного основания и II ей среднюю линию
другого основания, если известно, что
сечение образует с плоскостью основания
угол в 45º.
2. Найдите высоту правильной
треугольной пирамиды, если сторона её
основания = а, а апофема e.
3. Найдите величину двугранного угла при
основании правильной четырёхугольной
пирамиды, если её боковые рёбра
наклонены к плоскости основания под
углом 30º.

33. 33

4. Площадь основания прямой
треугольной призмы = 4 . Найдите
площадь сечения призмы, проведённого
через сторону одного основания и
параллельную ёй среднюю линию другого
основания, если известно, что сечение
образует с плоскостью основания < = 300 .
4. Найдите высоту правильной
треугольной пирамиды, у которой
площадь основания 27 см2 а полная
поверхность 72 см2.

Глоссарий
Многогранник – это тело, граница которого состоит из кусков
плоскостей (многоугольников).
Призма – это многогранник (рис.1), две грани которой ABCDE и
abcde (основания призмы ) – равные многоугольники с соответственно
параллельными сторонами, а остальные грани ( AabB, BbcC и т.д. ) –
параллелограммы, плоскости которых параллельны прямой

Пирамида – это многогранник, у которого одна грань (основание
пирамиды) – это произвольный многоугольник (ABCDE, рис.2), а
остальные грани (боковые грани) – треугольники с общей вершиной S,
называемой вершиной пирамиды.
Высота любой грани называется апофемой правильной пирамиды.
Многогранник называется правильным, если все его грани –
равные правильные многоугольники и все многогранные углы равны (таков,
например, куб). Из этого определения следует, что в правильных многогранниках
равны все плоские углы, все двугранные углы и все рёбра.

34. 34

Тема 9. Тела и поверхности вращения.

Содержание
1. Цилиндр. Сечение цилиндра. Конус. Сечение конуса. Усеченный конус
2. Шар и сфера.

Литература
 Погорєлов О.В. Геометрія: Планіметрія: Підруч. для 10-11 кл. загальноосвіт. навч.
закл.– К.: Школяр, 2004, Освіта, 2001
 Математика: Підруч. для 10 кл. загальноосвіт. навч. закладів / М. І. Бурда, Т. В.
Колесник, Ю. І. Мальований, Н. А. Тарасенкова: Київ «Зодіак-ЕКО» 2010.

Индивидуальная домашняя работа №9
Вариант №1
(1 уровень)
1. Радиус основания цилиндра равен 5 см,
а высота цилиндра равна 6см. Найдите
площадь сечения, проведенного
параллельно оси цилиндра на расстоянии
4см от нее.
2. Радиус шара равен 17см . Найдите
площадь сечения шара, удаленного от его
центра на расстоянии 15см.
3. Радиус основания конуса 3м , а высота
4м, найдите образующую и площадь
осевого сечения.

Вариант №3
(2 уровень)
1. Осевое сечение цилиндра- квадрат,
диагональ которого 4см. Найдите
площадь боковой поверхности цилиндра.
2. Радиус основания конуса равен 8 см,
образующая наклонена к плоскости
основания под углом 60
о
. Найдите
площадь сечения, проходящего через 2
образующие, угол между которыми
равен 45
о
и площадь боковой
поверхности конуса.
3. Диаметр шара равен d . Через конец
диаметра проведена плоскость под углом
45
0
к нему. Найдите площадь сечения
шара этой плоскостью
Вариант №2
(1 уровень)
1. Высота цилиндра 8 дм, радиус
основания 5 дм. Цилиндр пересечен
плоскостью параллельно оси так, что в
сечении получился квадрат. Найдите
расстояние от этого сечения до оси
цилиндра.
2. Радиус сферы равен 15см . Найдите
длину окружности сечения шара,
удаленного от центра сферы на
расстоянии 12см.
3. Образующая конуса n наклонена к
плоскости основания под углом 30
о

4. Найдите высоту конуса и площадь
осевого сечения.
Вариант №4
(2 уровень)
1. Осевое сечение цилиндра - квадрат.
Площадь основания цилиндра равна 16π
см
2
. Найдите площадь боковой
поверхности цилиндра.
2. Высота конуса равна 6 см, угол при
вершине осевого сечения равен 90
0
.
Найдите площадь боковой поверхности
конуса.
3. Площадь сечения шара плоскостью,
проходящей через конец диаметра по д
углом 30
0
к нему, равна 75π см
2
. Найдите
диаметр шара.

35. 35

Глоссарий
Цилиндром называется тело, огр аниченное
цилиндрической поверхностью и двумя параллель ными
плоскостями
Цилиндр называется прямым или наклонным, смотря по тому,
перпендикулярны или наклонны к основаниям его образующие.
Сечение прямого кругового цилиндра плоскостью, параллельной
основаниям, есть круг.
Конусом называется тело, ограниченное частью конической
поверхности, расположенной по, одну сторону от вершины, и
плоскостью, пересекающей все образующие по ту же сторону от
вершины .
Усечённый конус. Так называется часть полного конуса,
заключённая между основанием и секущей плоскостью, параллельной
основанию.
Сферическая поверхность – это геометрическое место
точек (т.е. множество всех точек) в пространстве, равноудалённых
от одной точки O, которая называется центром сферической
поверхности (рис.90). Радиус AO и диаметр AB определяются так
же, как и в окружности.
Шар (сфера) – это тело, ограниченное сферической
поверхностью. Можно получить шар, вращая полукруг (или круг)
вокруг диаметра. Все плоские сечения шара – круги (рис.90).
Наибольший круг лежит в сечении, проходящем через центр шара, и называется большим
кругом. Его радиус равен радиусу шара.

36. 36

Тема 10. Измерения в геометрии.

Содержание
1. Площадь поверхности и объём призмы.
2. Площадь поверхности и объём пирамиды.
3. Площадь поверхности и объём цилиндра.
4. Площадь поверхности и объём конуса.
5. Площадь поверхности и объём шара.

Литература
 Погорєлов О.В. Геометрія: Планіметрія: Підруч. для 10-11 кл. загальноосвіт. навч.
закл.– К.: Школяр, 2004, Освіта, 2001
 Математика: Підруч. для 10 кл. загальноосвіт. навч. закладів / М. І. Бурда, Т. В.
Колесник, Ю. І. Мальований, Н. А. Тарасенкова: Київ «Зодіак-ЕКО» 2010.

Индивидуальная домашняя работа №10
Вариант №1
1. В цилиндр вписан шар. Найдите, во
сколько раз объем цилиндра больше
объема шара?
2. Вычислите объем и площадь
поверхности прямоугольного
параллелепипеда, диагональ которого
равна 13, диагональ основания равна 5, а
одна из сторон основания равна 3.
3. Вычислите объем и площадь
поверхности конуса, разверткой боковой
поверхности которого является полукруг с
радиусом, равным 2.
Вариант №3
1. В шар, радиус которого равен 4, вписан
цилиндр. Высота цилиндра равна радиусу
шара. Найдите, во сколько раз объем шара
больше объема цилиндра?
2. У прямоугольного параллелепипеда в
основании квадрат со стороной 52 .
Диагональ параллелепипеда наклонена к
основанию под углом 60 . Найдите
площадь поверхности и объем
параллелепипеда.
3. Осевое сечение конуса – равносторонний
треугольник со стороной 2. Найдите объем
и площадь поверхности конуса.
Вариант №2
1. Найдите радиус сечения шара
плоскостью, которая проведена на
расстоянии от центра, равном трети
радиуса шара от его центра. Радиус шара
равен a.
2. Развертка боковой поверхности
цилиндра – квадрат, площадью 18.
Вычислите площадь его осевого сечения.
Ответ укажите с точностью до десятых.
3. Конус получен вращением
прямоугольного равнобедренного
треугольника вокруг оси симметрии. Под
каким углом к основанию конуса проходит
плоскость, содержащая вершину конуса и
хорду основания, отсекающую дугу в 90?
Вариант №4
1. Три точки, лежащие на поверхности
шара, являются вершинами
прямоугольного треугольника с
гипотенузой 12. На каком расстоянии от
центра шара находится плоскость
треугольника, если радиус шара равен 10.
2. Из четверти круга, радиусом a, сделали
воронку в форме конуса. Во сколько раз
образующая конуса будет больше радиуса
основания?
3. Осевое сечение цилиндра – квадрат.
Найдите отношение площади осевого
сечения цилиндра к площади сечения
цилиндра плоскостью, параллельной оси
цилиндра и отстоящей от нее на
расстояние, равное половине радиуса.

37. 37

Глоссарий
Площадь боковой поверхности произвольной призмы ( S..прбок ) равна произведению
периметра ( р ) перпендикулярного сечения на длину бокового ребра: S..прбок = p*l
Для прямой и правильной призмы перпендикулярным сечением является основание
призмы, а боковое ребро совпадает с высотой, поэтому S..прбок = p*h,
где р – периметр основания, h – высота призмы
Площадь полной поверхности призмы вычисляется по формуле:
S = S..прбок + 2*S.осн , где S.осн - площадь основания призмы
Объем ( V ) произвольной призмы равен произведению площади
перпендикулярного сечения ( S ) на длину ( l ) бокового ребра:V = S*l
Для прямой призмы объем вычисляется по формуле: объем равен произведению
площади основания на высоту, V = S.осн * h
Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна произведению
полупериметра основания на апофему S..пирбок = 2
1 P*h
Площадь полной поверхности правильной пирамиды равна: S = Sпирбок. + S.осн
Объем пирамиды (любой) равен одной трети произведения площади основания (S.осн
) на высоту (H): V = 3
1 S.осн *H
Площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению длины окружности
основания на высоту (Н):S.бок = 2RH
Полная поверхность равна S = S.бок + 2S.осн = 2RH +2R2 = 2R( H + R )
Объем цилиндра равен произведению площади основания (S.осн ) на высоту (Н) :
V = S.осн *H = R2 H
Площадь боковой поверхности конуса равна: S..кбок = RL.
Полная поверхность конуса вычисляется по формуле:
S = S..кбок + S.осн = RL +R2 = R(L + R)

Объем конуса равен одной трети произведения площади основания (площади круга)
на высоту (Н):V =3
1 R2 H
Поверхность сферы равна:S = 4 R2 = D2
Объем шара равен:V = 3
4 R3 = 6
1 D3

38. 38

Тема 11. Координаты и векторы.
Содержание
1. Равенство векторов.
2. Правило сложения любого числа векторов.
3. Виды векторов.
4. Необходимое и достаточное условие коллинеарности векторов.
5. Разложение вектора по базису i
 ,kj

, .
6. Понятие координат вектора.
7. Длина (модуль) вектора, заданного своими координатами.
8. Условие коллинеарности двух векторов, заданными своими координатами.
9. Дать определение скалярного произведения двух векторов. Его свойства.
10. Нахождение угла между двумя векторами.

Литература
 Погорєлов О.В. Геометрія: Планіметрія: Підруч. для 10-11 кл. загальноосвіт. навч.
закл.– К.: Школяр, 2004, Освіта, 2001
 Математика: Підруч. для 10 кл. загальноосвіт. навч. закладів / М. І. Бурда, Т. В.
Колесник, Ю. І. Мальований, Н. А. Тарасенкова: Київ «Зодіак-ЕКО» 2010.

Индивидуальная домашняя работа №11
Вариант №1
1. Даны векторы a {2; - 4; 3} и b {-3; 1/2;
1}. Найдите координаты вектора bac .
2. Даны векторы a {1; -2; 0}, b {3; -6; 0} и c
{0; - 3; 4}. Найдите координаты вектора cbap 
3
1
2
.
3. Найдите значения m,при которых
векторы a {6; n;1}, b {m; 16; 2}
коллинеарны.
4. Вычислите угол между прямыми
AB и CD, если A(3 ; 1; 0), В(0; 0; 22 ),
С(0; 2; 0), D(3 ; 1; 22 ).

Вариант №3
1. Даны векторы a {1; -3; -1} и b {-1; 2; 0}.
Найдите координаты вектора bac .
2. Даны векторы a {2; 4; -6}, b {- 3; 1; 0} и c
{3; 0; - 1}. Найдите координаты вектора cbap  2
2
1
.
3. Найдите значения т и п, при
которых векторы a {- 4; т; 2} и b {m; - 6;
2} коллинеарны.
4. Вычислите угол между прямыми АВ
и CD, если A(6; -4; 8), B(8; -2; 4), С(12; -6;
4), D(14; -6; 2).
Вариант №2
1. Найдите координаты вектора AB , если
A(5; - 1; 3), В(2; -2; 4).
2. Даны векторы b {3; 1; -2} и c {1; 4; -3}.
Найдите |2|cb .
3. Изобразите систему координат Oxyz и
постройте точку A(1; - 2; - 4). Найдите
расстояния от этой точки до координатных
плоскостей.
4. Даны векторы kjia 32 и kib 24
. Вычислите ba .
Вариант №4
1. Найдите координаты вектора CD , если
С(6; 3; -2), D(2; 4; -5).
2. Даны векторы a {5; - 1; 2} и b {3; 2; -4}.
Найдите | ba2 |.
3. Изобразите систему координат Охуг и
постройте точку B(-2; -3; 4). Найдите
расстояния от этой точки до координатных
плоскостей.
4. Даны векторы kjia 425  и kjb 23
. Вычислите ba .

39. 39

Глоссарий
Отрезок, имеющий определенную длину и определенное направление, называется
вектором. О всяком отрезкеАВ из этого множества говорят, что он представляет вектор а

(получен приложением вектора а
 к точке А ).
Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором или ортом.
Векторы, параллельные одной и той же прямой, называются коллинеарными. Два
вектора называются равными, если они коллинеарны, направлены в одну сторону и имеют
одинаковую длину.
Если вектор АВ имеет координаты );;(zух , т. е. задана прямоугольная система
координат в пространстве, его можно записать так: jyixАВ

 kz


,
Координаты вектора АВ );;(zух находятся по формулам: 121212 ;; zzzуууххх 
,
Расстояние между точками А и В, имеющими координаты соответственно (211;;zух ) и (222;;zух
), определяются по формуле 2
12
2
12
2
12
)()()( zzyyxxAB 
.
По этой же формуле определяется длина отрезка АВ или модуль вектора АВ .
Координаты (cрсрср;; zух ) средины отрезка АВ определяются по формулам: 2
21
ср
хх
х


; 2
21
ср
уу
у

 ; 2
21
ср
zz
z

 .
Для операций сложения, вычитания и умножения вектора на число справедливы
следующие соотношения: );;(
332211
bababaсba 



; );;(
332211
bababadba 


; );;(
321 aaaga 

,
где с
 =ba

 ; d
 =ba

 ; g
 =a

 .
Скалярным произведением ba

 векторов a
 и b
 называется число ba

  cosba

,
где  – угол между векторами a
 и b
 .
Отметим следующие свойства скалярного произведения:
1) ba

 = b
 a

 ; 2) )(сbа



 =ba

 +ca

 ; 3) ),()( baba

 .
Скалярное произведение векторов, заданных своими координатами, выражается
формулой ba


=332211 bababa  .
Косинус угла между векторами );;(
321aaaa
 и );;(
321
bbbb
 определяется по
формуле 2
3
2
2
2
1
2
3
2
2
2
1
332211
cos
bbbaaa
bababa
ba
ba





 

.

40. 40

Тема 12. Уравнения и неравенства.
Содержание
1. Показательные уравнения и неравенства
2. Логарифмические уравнения и неравенства
3. Тригонометрические уравнения

Литература
 Алгебра і початки аналізу: Підруч. Для 10 кл. загальноосвіт. навч. закладів / З. І.
Шкіль, З. І. Слєпкань, О. С. Дубинчук: Зодіак-ЕКО, 2003.
 Алгебра і початки аналізу: Підруч. Для 11 кл. загальноосвіт. навч. закладів / З. І.
Шкіль, З. І. Слєпкань, О. С. Дубинчук: Зодіак-ЕКО, 2003.
 Математика: Підруч. для 10 кл. загальноосвіт. навч. закладів / М. І. Бурда, Т. В.
Колесник, Ю. І. Мальований, Н. А. Тарасенкова: Київ «Зодіак-ЕКО» 2010.
 Алгебра і початки аналізу: : Підруч. для 10 кл. загальноосвіт. навч. закладів / Є. П.
Нелін: Харків «Гімназія» 2010.
 Алгебра і початки аналізу: : Підруч. для 10 кл. загальноосвіт. навч. закладів / А. Г.
Мерзляк, Д. А Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір: Харків «Гімназія» 2010.

Индивидуальная домашняя работа №12
Вариант №1
Решите уравнения и неравенства:
1. log2 (2x-1) <3
2. 2 log3 2- log3 (х-1) = 1 + log3 5.
3. 2 log2
3,0 х – 7 log3,0 х - 4 = 0
4. 27
1- х
≤ 81
1
5. 128
.
16
2 х + 1
- 8
3- 2х
= 0
6. 621
3
1
3
1
22












хх = 0
Вариант №3
Решите уравнения и неравенства:
1. log5,0 (3x-1) > -3
2. 2 log3 (2х + 1) = log3 13 +1.
3. log2
2
1 х +3 log2
1 х + 2 = 0.
4. 128
.
16
2 х + 1
- 8
3- 2х
< 0
5. 7хх
714
2

 = 5
6. 28825
12

 хх = 0
Вариант №2
Решите уравнения и неравенства:
1. 2
1 log2 (3x-2) ≤ 3
2. -log7 (5-х) = log7 2 -1
3. 2 log2
3,0 х – 7 log3,0 х - 4 = 0
4. 16
.
8
3 х + 2
>1
5. 7хх
714
2

 = 5
6. 6
6
1
5
6
1
2












хх = 0
Вариант №4
Решите уравнения и неравенства:
1. 3
1 log3 (2x+1) ≤ 1
2. lg (5х + 2) = 2
1 lg36 + lg2
3. 3 log2
2
1 х +5 log2
1 х - 2 = 0.
4. х






5
1 ≤ 255
5. 11
555


ххх = 31
6. 2826
2

хх = 0
Глоссарий
Показательные уравнения и неравенства
Уравнение, содержащее переменную в показателе степени, называется
показательным.

41. 41

При решении показательных уравнений вида
(где )
используется следующее свойство:

Преобразование показательного уравнения к виду выполняется
следующими способами:
1. Способ уравнивания оснований
2. Преобразование к квадратному уравнению
3. Способ группировки
Показательные неравенства
Неравенства вида , где , называются
простейшими показательными неравенствами.
Уравнение, содержащее переменную под знаком логарифма или в основании
логарифма, называется логарифмическим.
Решение логарифмического уравнения вида  xgxf
aa loglog  основано на том, что
такое уравнение равносильно уравнению xgxf при дополнительных условиях  0 ,0  xgxf
.
Неравенства вида , где , , называются простейшими
логарифмическими неравенствами.
Тригонометрические уравнения
Простейшими тригонометрическими уравнениями называются уравнения вида
, , ,
Рассмотрим уравнение вида
.
.
Рассмотрим уравнение вида
.
.
Поэтому уравнение

.
Уравнение, являющееся или сводящееся к квадратному относительно одной
тригонометрической функции, решается вначале как квадратное, а затем сводится к
решению простейшего тригонометрического уравнения.
Однородными называются тригонометрические уравнения, у которых левая часть
является однородным многочленом относительно и , а правая часть равна нулю.
Такие уравнения сводятся к уравнениям относительно .
Тригонометрические неравенства
Простейшими тригонометрическими неравенствами называются неравенства



Решить простейшее тригонометрическое неравенство – значит найти множество всех
значений аргумента (углов), которые обращают данное неравенство в верное числовое
неравенство.
Для решения простейших тригонометрических неравенств используют единичную
окружность или графики тригонометрических функций.

 xgxf
aa 1 ,0aa  
xgxfaa
xgxf
  xgxf
aa  
)()(
21
, ,
xgxgxx
xfxfcaca  0a 0 ,1ca log ,log cxcx
aa  0a 1a axsin axcos axtg axctg axsin  Zkkax
k
 ,arcsin1  axcos Znnax  ,2arccos Znnax  ,arctg xsin xcos xtg
axtg
. ctg , ctg , tg , tg
, cos , cos , sin , sin
a x a x a x a x
a x a x a x a x
   
   

42. 42

Формы и методы контроля самостоятельной работы

Контроль выполнения обучающимися самостоятельной работы включает в себя
оценку хода выполнения заданий и получаемых промежуточных результатов с целью
установления их соответствия запланированным целям обучения.
Задачи контроля самостоятельной работы:
 обучение приемам взаимоконтроля и самоконтроля;
 выявление достижений, успехов обучающихся, определение затруднений и
проблем;
 воспитание у студентов ответственности за выполнение самостоятельной работы,
проявление инициативы.

Контроль самостоятельной работы обучающихся соответствует принципам
объективности, валидности (соответствие предъявляемых заданий тому, что
предполагается проверить) контрольно-измерительных материалов.

№
п/п
Вид самостоятельной работы
Формы контроля самостоятельной
работы
1
Выполнение домашней работы
(выполнение типовых контрольно-
оценочных заданий)
Проверка выполнения типовых
контрольно-оценочных заданий
преподавателем до урока «Контрольная
работа».
2
Проработка конспектов занятий,
учебной литературы
с целью подготовки к контрольной
работе.
Текущий контроль усвоения знаний на
основе выполнении контрольной
работы.
3
Подготовка к практическим занятиям
с использованием методических
рекомендаций преподавателя.
Организация взаимопроверки и
самопроверки выполненного задания на
уроке «Решение задач».

4

Работа с библиотечным фондом
(учебной литературой,
периодическими изданиями),
информационными ресурсами сети
«Интернет».
Защита творческих работ на уроке, в
рамках изучения новой темы
(творческих конкурсов, семинаров и
т.п.)

43. 43

Литература

Основная
1. Алгебра і початки аналізу: Підруч. Для 10 кл. загальноосвіт. навч. закладів / З. І.
Шкіль, З. І. Слєпкань, О. С. Дубинчук: Зодіак-ЕКО, 2003.
2. Алгебра і початки аналізу: Підруч. Для 11 кл. загальноосвіт. навч. закладів / З. І.
Шкіль, З. І. Слєпкань, О. С. Дубинчук: Зодіак-ЕКО, 2003.
3. Математика: Підруч. для 10 кл. загальноосвіт. навч. закладів / М. І. Бурда, Т. В.
Колесник, Ю. І. Мальований, Н. А. Тарасенкова: Київ «Зодіак-ЕКО» 2010.
4. Алгебра і початки аналізу: : Підруч. для 10 кл. загальноосвіт. навч. закладів / Є. П.
Нелін: Харків «Гімназія» 2010.
5. Алгебра і початки аналізу: : Підруч. для 10 кл. загальноосвіт. навч. закладів / А. Г.
Мерзляк, Д. А Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір: Харків «Гімназія» 2010.
6. Погорєлов О.В. Геометрія: Планіметрія: Підруч. для 10-11 кл. загальноосвіт. навч.
закл.– К.: Школяр, 2004, Освіта, 2001
7. Математика: Підруч. для 10 кл. загальноосвіт. навч. закладів / М. І. Бурда, Т. В.
Колесник, Ю. І. Мальований, Н. А. Тарасенкова: Київ «Зодіак-ЕКО» 2010.

Дополнительная
1. Математика / М.И.Башмаков/ - М. : Вища школа, 1994.
2. Практичні заняття з математики / М.В. Богомолов / - К. : Вища школа,1997.


Интернет-ресурсы
1. krapek.lg.ua сайт Краснодонского прмышленно-экономического колледжа
2. Единая коллекция цифровых образовательных ресурсов [Электронный ресурс] : Режим
доступа: www.school-collection.edu.ru - Загл. с экрана.
3. "Сеть творческих учителей" [Электронный ресурс] : – Режим доступа:www.it-n.ru - Загл.
с экрана.