Solidos de revolucion

Material estudiantes de física

1. VOLUMENES DE SOLIDOS DE REVOLUCION

2. VOLUMENES DE
SÓLIDOS DE
REVOLUCION
Lossólidosderevoluciónsonsólidosquesegeneranalgirarunaregiónplana
alrededordeuneje.Porejemplo:elconoesunsólidoqueresultaalgirar
untriángulorectoalrededordeunodesuscatetos,elcilindrosurgeal
girarunrectánguloalrededordeunodesuslados.

3. Método del disco
Sigiramosunaregióndelplanoalrededor
deunejeobtenemosunsólidode
revolución.Elvolumendeestediscode
radioRydeanchuraωes:
Volumendeldisco=wR2π
Paravercómousarelvolumendeldiscoy
paracalcularelvolumendeunsólidode
revolucióngeneral,sehacennparticiones
enlagrafica.

4. Estasdivisionesdeterminanenelsólidon
discoscuyasumaseaproximaalvolumen
delmismo.Teniendoencuentaqueel
volumendeundiscoes ,lasumade
Riemannasociadaalapartición,yqueda
unvolumenaproximadodelsólidoes:

5. Fórmula del volumen
por discos
Portanto,recordandoladefinicióndeintegraldefinidadeRiemannse
obtieneque:
sisetomaelejederevoluciónverticalmente,seobtieneunafórmula
similar:

6. Antesdecomenzaraesbozardiversosejemplosdeestosmétodos,
estableceremosalgunaspautasquelesayudaránaresolver
problemassobresólidosderevolución.
COMO HALLAR VÓLUMENES PORELMÉTODO DELDISCO
(OARANDELA)

7. EJEMPLO Y
EJERCICIOS
EJEMPLO1:Laregiónentrelacurva ,yelejexse
giraalrededordelejexparagenerarunsólido.Hallarsuvolumen.
EJERCICIO2:Hallarelvolumengeneradoporeláreabajolacurva
generadaporelsegmentoderecta
quegiraentornoalejex.

8. EJERCICIOS
PROPUESTOS
Enlosejercicios1-3hallalosvolúmenesdelossólidosgeneradosal
rotarlasregionesacotadasporlasrectasylascurvasquesedan
alrededordelejex
Enlosejercicios4-6hallaelvolumendelsólidogeneradoalgirarcada
región

11. METODO DE LA
ARANDELA
Estemétodoconsisteenhallarelvolumendeunsólidogeneradoal
girarunaregiónRqueseencuentraentredoscurvascomose
muestraenlasiguientefigura:

12. Sílaregiónquegiramosparaformarunsólidonotocaonocruzael
ejederotación,elsólidogeneradotendráunhuecooagujero.Las
seccionestransversalesquetambiénsonPERPENDICULARES AL
EJEDEROTACIÓNsonarandelasenlugardediscos.(Esporestoel
nombredelmétodo).Loanteriorlopodemosapreciarellafigurade
abajo.

13. Ahorahallemoslasdimensionesdelaarandela(RadioexteriorRyradio
interiorr)usandolafiguraanterior.Elradioexterior(radiomásgrande)
lodeterminalafunciónyelradiointerior(radiomáspequeño)lo
determinalafunción.Comoenlasecciónanterior(métododeldisco)
hallamoseláreadelaarandelaasí:

14. Ahorapodemosestablecerlasiguientedefinición:
Definición:ElvolumendelsólidogeneradoalgirarlaregiónRsobreel
ejex(oalgúnejeparaleloaél)vienedadopor:
Sí el eje de rotación es el eje y (o un eje paralelo a el) tiene una expresión
análoga a la anterior. Luego podemos ver que
esunaexpresiónválidaque
evalúaelvolumendeunsólido
generadoalgirarunaregiónR
sobreelejey(oalgúneje
paraleloaél)con