SolidosII - representação_solidos_bases_

Representação de solidos com bases em planos não projetantes

1. GEOMETRIA DESCRITIVA A
10.º Ano
Sólidos II
1

2. GENERALIDADES

Nos casos em que a base de um sólido está contida num plano
projetante não paralelo aos planos de projeção, é necessário a
utilização de um método geométrico auxiliar para obter as projeções
do sólido, pois primeiro será necessário determinar a V.G. da base.

Qualquer dos três métodos (mudança do diedro de projeção, rotação
ou rebatimento) pode ser utilizado para resolver estas situações.


Contudo o método de rebatimento é o mais aconselhado.
2

3. No bloco I de GD, só são estudados poliedros regulares.

Repara que:
Como o eixo de um poliedro é forçosamente perpendicular ao plano que
contém a base,
▪ se ela estiver contida num plano vertical, o eixo é horizontal;
▪ se ela estiver contida num plano de topo, o eixo é frontal;
▪ se ela estiver contida num plano de perfil, o eixo é fronto-horizontal.
3
Não esqueças que:
Nos prismas, o eixo é paralelo às arestas laterais.

4. 4

5. 5

6. 6

7. 7

8. 1.Visualizar o sólido indicado no enunciado, especialmente a forma da(s)
base(s).

2.Identificar a posição da(s) base(s) do sólido – vertical, de topo ou de
perfil.

3.Traçar a base em v.g. recorrendo ao método do rebatimento (ou ao método
da mudança de diedro), aplicando a respetiva construção geométrica
(todos os traçados efetuados devem ficar no desenho a traço muito fino).

4.Representar o vértice principal V (no caso de ser uma pirâmide) ou a 2ª
base (no caso de ser um prisma).

◦Se a base for vertical, o eixo do sólido é horizontal e projeta-se em v.g. no P.H.P.
◦Se a base for de topo, o eixo do sólido é frontal e projeta-se em v.g. no P.F.P.
◦Se a base for de perfil, o eixo do sólido é fronto-horizontal e projeta-se em v.g. no P.H.P e
P.F.P.

5.Representar a traço forte os contornos aparentes horizontal e frontal do
sólido.

6.Identificar as arestas visíveis e invisíveis, e representá-las a traço forte
(as arestas invisíveis representam-se a traço interrompido).
Etapas para representar um poliedro
IMPORTANTE
8

9. Projeção de Sólidos com Bases Verticais
9

10. Os pontos A (0; 1) e B (2,5 ;0)
são vértices consecutivos de
um quadrado [ABCD], contido
num plano vertical, que faz um
diedro de 45º (a.d.) com o
Plano Frontal de projeção.
O quadrado [ABCD] é a base
de uma pirâmide quadrangular
regular, com 5 de altura e
situada no 1.º diedro.
Desenha as projeções da
pirâmide.
x
A
2

A
1

h
α

f
α

B
2

B
1

≡ (e
1
)
≡ e
2
≡ f
αr

≡ h
αr

≡ A
r

B
r

C
r

D
r

Q
r

C
1

C
2

Q
1

D
2

Q
2

V
1

D
1

V
r
≡
V
2

10

11. É dada uma pirâmide
quadrangular regular,
situada no 1.º diedro,
com 7 de altura e com a
base contida num plano
vertical γ, que faz um
diedro de 30º (a.d.) com
o Plano Frontal de
projeção.
A base da pirâmide é o
quadrado [ABCD], que
tem 4,5 cm de lado.
O vértice A tem 2 de
afastamento e cota nula.
O vértice B tem
afastamento nulo e é
consecutivo a A.
Desenha as projeções da
pirâmide.
x
h
γ

f
γ

A
2

A
1

≡ e
2

(e
1
)
≡ f
γr

≡ h
γr
A
r

≡ B
1

B
r

≡ B
2

C
r

D
r

O
r

C
1

C
2

D
1

D
2

O
1

O
2

V
1

V
2

11

12. 12

13. x
A
2

A
1

h
α

f
α

D
2

D
1

≡ e
2

(e
1
)
≡ f
αr

≡ h
αr
A
r

D
r

B
r

C
r

E
r

F
r

B
1

B
2

C
1

C
2

E
1

E
2

F
1

F
2

O
r

O
1

O
2

V
1

V
r
≡
V
2

13

14. Os pontos A (2; 2) e B
(5; 4) são dois
vértices de um
triângulo equilátero
[ABC], existente num
plano vertical α.
O plano α faz um
diedro de 45º (a.d.)
com o Plano Frontal de
projeção.
O triângulo [ABC] é
uma das bases de um
prisma triangular
regular, com 6 de
altura e existente no
1.º diedro.
Desenha as projeções
do prisma.
x
A
2

A
1

h
α

f
α

B
2

B
1

≡ e
2

(e
1
)
≡ f
αr

≡ h
αr

A
r

B
r

C
r

C
1

C
2

h
α
’
A’
1

B’
1

C’
1

A’
2

B’
2

C’
2

(h
α1
)
14

15. 15

16. x
y

≡ z
A
2

A
1

B
2

B
1

h
δ

f
δ

≡ (e
1
)
≡ e
2
≡ f
δr

≡ h
δr

≡ A
r

B
r

C
r

D
r

C
1

C
2

D
1

D
2

(h
δ1
)
A’
2

A’
1

B’
2

B’
1

C’
2

C’
1

D’
2

D’
1

16

17. Projeção de Sólidos com Bases de Topo
17

18. É dada uma pirâmide
quadrangular regular,
situada no 1.º diedro,
com 10 de altura e com
a base contida num
plano de topo θ.
A base é o quadrado
[ABCD], que se inscreve
numa circunferência
com 4 cm de raio, cujo
centro tem 4 de cota.
O vértice A do
quadrado, tem 2 de cota
e afastamento nulo.
O plano θ faz um diedro
de 60º (a.d.) com o Plano
Horizontal de projeção.
Desenha as projeções
da pirâmide.
x
h
θ

f
θ

A
2

A
1

≡ e
1

(e
2
)
≡
h
θr

≡
f
θr

A
r

O
2

O
r

O
1

B
r

C
r

D
r

B
2

B
1

C
2

C
1

D
2

D
1

V
2

V
1

18

19. 19

20. x
y

≡ z
A
2

A
1

B
2

B
1

h
α

f
α

≡ e
1

(e
2
)
A
r

B
r

C
r

D
r

E
r

F
r

O
r

C
2

C
1

D
2

D
1

E
2

E
1

F
2

F
1

O
2

O
1

V
2

V
1

≡ h
αr

≡ f
αr

20

21. 21
Ex.1

22. 22
Ex.2 Representa pelas projeções uma pirâmide hexagonal reta, situada no 1º diedro.
A base do sólido é o hexágono regular [ABCDEF], contido no plano de topo θ que faz um diedro de
55º (a.d.) com o plano horizontal de projeção.
A aresta [AB] mede 3,5 e pertence ao PFP e o vértice A tem 2,5 de cota.
O vértice V da pirâmide tem 0 de cota.

23. É dado um cubo com
3 de aresta, situado
no 1.º diedro.
Uma das faces do
cubo é o quadrado
[ABCD], contido num
plano de topo γ, que
faz um diedro de
40º (a.d.) com o
Plano Horizontal de
projeção.
O lado [AB] está
contido numa recta
passante r, sendo A
(1; 2).
Desenha as
projeções do cubo.
x
h
γ

f
γ

A
2

A
1

≡ r
2

r
1

≡ e
1

(e
2
)
≡ h
γr

≡ f
γr

A
r

r
r

B
r

C
r

D
r

B
2

B
1

C
2

C
1

D
2

D
1

f
γ1

A’
2

A’
1

B’
2

B’
1

C’
2

C’
1

D’
2

D’
1

23

24. É dado um prisma
hexagonal regular ,
situada no 1.º diedro,
cujas faces laterais são
quadrados.
O hexágono regular
[ABCDEF] é a base
inferior do prisma,
contida num plano de topo
θ, que faz um diedro de
45º (a.d.) com o Plano
Horizontal de projeção.
O vértice A do hexágono,
tem 2,5 de afastamento e
cota nula.
O vértice B do hexágono,
tem afastamento nulo, e o
lado [AB] tem as suas
projeções paralelas entre
si.
Desenha as projeções do
prisma.
x
h
θ

f
θ

A
2

A
1

≡ e
1

≡ (e
2
)
≡
h
θr

≡
f
θr

≡ A
r

B
2

B
1
B
r

C
r

D
r

E
r

F
r

C
2

C
1

D
2

D
1

E
2

E
1

F
2

F
1

(f
θ
’)
A’
2

A’
1

B’
2

B’
1

C’
2

C’
1

D’
2

D’
1

E’
2

E’
1

F’
2

F’
1

24

25. 25
30º(a.e)

26. x
h
θ

f
θ

A
2

A
1

≡ e
1

≡ (e
2
)
≡
h
θr

≡
f
θr

≡ A
r

B
r

C
r

D
r

B
2

B
1

C
2

C
1

D
2

D
1

(f
θ
’)
A’
1

A’
2

B’
2

B’
1

C’
2

C’
1

D’
2

D’
1

26

27. Projeção de Sólidos com Bases de Perfil
27

28. É dada uma pirâmide
pentagonal regular com 5,5
de altura, situada no 1.º
diedro.
O pentágono [ABCDE] da
base, está contido num plano
de perfil e é circunscrita por
uma circunferência com 2,5
de raio, sendo o centro o
ponto Q (3,5; 3).
A é o vértice com maior
afastamento da base.
O lado [CD] é vertical e
oposto ao vértice A.
B é o vértice com maior cota
da base.
O vértice da pirâmide está à
direita da base.
Desenha as projeções da
pirâmide.
x
f
π
≡ h
π

Q
2

Q
1

≡ e
2

(e
1
)
≡
f
πr

≡
h
πr

Q
r

A
r

B
r

C
r

D
r

E
r

≡ A
2

A
1

B
2

B
1

C
2

C
1

D
2

≡ D
1

E
2

≡ E
1

V
2

V
1

28

29. 29

30. x
f
π
≡ h
π

A
2

A
1

B
2

B
1

≡ e
1

(e
2
)
A
r

≡
f
πr

≡ h
πr

B
r

C
r

O
r

C
2

C
1

O
2

O
1

V
2

V
1

30

31. É dado um prisma
quadrangular oblíquo, situada
no 1.º diedro, com bases de
perfil, e com 5 de altura.
A base mais à direita é o
quadrado [ABCD], que se
inscreve numa circunferência
tangente ao Plano Frontal de
projeção, cujo centro é o
ponto O (3; 6).
O vértice A do quadrado, tem
3,5 de cota e afastamento
superior a O.
O eixo do sólido tem as suas
projeções paralelas entre si,
e a sua projeção frontal faz
um ângulo de 30º (a.d.) com o
eixo x.
Desenha as projeções do
prisma.
x
f
π
≡ h
π

O
2

O
1

≡ e
2

(e
1
)
≡
f
πr

≡
h
πr

O
r

A
2

A
r

B
r

C
r

D
r

A
1

B
2

B
1

C
2

C
1

D
2

D
1

f
α
≡ h
α

A’
2

A’
1

B’
2

B’
1

C’
2

C’
1

D’
2

D’
1

31

32. 32

33. x
f
π
≡ h
π

A
2

A
1

≡ e
2

(e
1
)
≡
f
πr

≡
h
πr

A
r

≡ B
1

B
r
≡ B
2

C
r

D
r

C
2

C
1

D
2

D
1

f
α
≡ h
α

A’
2

A’
1

B’
2

B’
1

C’
2

C’
1

D’
2

D’
1

33

34. Síntese
34

35. (geralmente o
Rebatimento)
(geralmente o
Rebatimento)
(na perpendicular)
35