Solucion de-armaduras-con-matriz-de-rigideces-parte1

armadura elementos finitos

1. Solución de
armaduras con
matriz de rigidez
M.I. Ernesto Alejandro Ruiz Coello
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2. Definición
Armadura
Cercha
Celosía
Reticulados
Esunaestructuraplanaconstituidaporunconjuntodebarras
articuladasenformatrianguladaquepermitelarigidezdelaestructura,
cuyosistemadecargaestaintegradoporfuerzasconcentradasque
actúanenlasarticulaciones,tambiénllamadasnodosyqueseubicanen
elmismoplanodeaarmadura.Enestascondicioneslasbarrasdeuna
armadurasoloresistenciasfuerzasaxiales(normales).
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3. http:// www.alejandrocoello.com.mx http://www.facebook.com/alejandrocoel @CoelloAlejandro google.com/+AlejandroCoello87

4. Definición
Alsuponerquelascargas
actúanenlosnodos,almomentodehacer
labajadadecargas,elpesodecadauna
delasbarrasdelaarmadura,debe
repartirse,pormitad,encadaunodesus
nodosextremos.
Igualmente,alconsiderarque
lasbarrasestánarticuladas,lasoldadurao
losremachesdebenubicarselomas
cercanosalnodoafindeevitarquese
presentenfuerzasinternasqueprovoquen
momentosflexionantes.
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5. Definición
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6. Nodo, unión o articulación
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7. http:// www.alejandrocoello.com.mx http://www.facebook.com/alejandrocoel @CoelloAlejandro google.com/+AlejandroCoello87

8. Definicion
Tiposdebarras:
a)CuerdaSuperior:eselconjuntodebarrasqueconformanla
partemaselevadadelaestructura.Parasolicitacionesdetipo
gravitacional,normalmente,sonpiezasquetrabajana
compresión.
b)CuerdaInferior:eselconjuntodebarrasqueformanlaparte
masbajadelaestructura.Parasolicitacionesgravitacionales
generalmentetrabajanatensión.
c)Montantes:denominadosasíalasbarrasverticalesdeuna
armadura.
d)Diagonales:sonlaspiezasque,comosunombreloindica,
tienenposicióninclinada.
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9. "Cometer errores es humano, pero para estropear realmente las cosas necesitas un ordenador“
--Paul Ehrlich
ElhundimientodelHartfordColiseum(1978)
Coste:70millonesdedólares,másotros20millonesendañosala
economíalocal.
Desastre:Sólounashorasdespuésdequemilesdeaficionadosal
hockeyabandonaranelHartfordColiseum,laestructuradeacero
desutechosedesplomabadebidoalpesodelanieve.
Causa:Eldesarrolladordelsoftwaredediseñoasistido(CAD)
utilizadoparadiseñarelcoliseoasumióincorrectamentequelos
soportesdeacerodeltechosólodebíanaguantarlacompresión
delapropiaestructura.Sinembargo,cuandounodeestos
soportessedoblódebidoalpesodelanieve,inicióunareacción
encadenaquehizocaeralasdemásseccionesdeltechocomosi
setrataradepiezasdedominó.
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10. Paso 1: establecer la matriz de rigidez para cada
miembro
x´
y´
X
Y
Øx
Øy
N(x
N, y
N)
F(x
F, y
F)
�=
??????�
�
λ
�
2
λ
�λ
�
λ
�λ
�
λ
�
2
−λ
�
2
−λ
�λ
�
−λ
�λ
�
−λ
�
2
−λ
�
2
−λ
�λ
�
−λ
�λ
�
−λ
�
2
λ
�
2
λ
�λ
�
λ
�λ
�
λ
�
2
N
x N
y F
x F
y
N
x
N
y
F
x
F
y
Donde:
λ
�=�????????????∅
�=
�
�−�
??????
�
=
�
�−�
??????
�
�−�
??????
2
+�
�−�
??????
2
λ
�=�????????????∅
�=
�
�−�
??????
�
=
�
�−�
??????
�
�−�
??????
2
+�
�−�
??????
2
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11. Paso 1: establecer la matriz de rigidez para cada
miembro (Ejemplo)
X
Y
N(0,0)
F(3,4)
λ
�=�????????????∅
�=
�
�−�
??????
�
=
3−0
3−0
2
+4−0
2
=
3
5
λ
�=�????????????∅
�=
�
�−�
??????
�
=
4−0
3−0
2
+4−0
2
=
4
5
Entonces:
�=
??????�
�
9/25
12/25
12/25
16/25
−9/25
−12/25
−12/25
−16/25
−9/25
−12/25
−12/25
−16/25
9/25
12/25
12/25
16/25
N
x N
y F
x F
y
N
x
N
y
F
x
F
y
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12. Paso 2: Ensamblar la matriz de rigidez global
x
y
4 mts
3 mts
1
1
2
3
1
2
3
4
5
6
Miembro 1:
Longitud 3 mts
λ
�=
3−0
3
=1λ
�=
0−0
3
=0
(0,0) (3,0)
(3,4)
�=??????�
1/3
0
0
0
−1/3
0
0
0
−1/3
0
0
0
1/3
0
0
0
1 2 3 4
1
2
3
4
Miembro 2:
Longitud 5 mts
λ
�=
3−0
5
=
3
5
λ
�=
4−0
5
=
4
5
�=??????�
9/125
12/125
12/125
16/125
−9/125
−12/125
−12/125
−16/125
−9/125
−12/125
−12/125
−16/125
9/125
12/125
12/125
16/125
1 2 5 6
1
2
5
6
�=
??????�
�
λ
�
2
λ
�λ
�
λ
�λ
�
λ
�
2
−λ
�
2
−λ
�λ
�
−λ
�λ
�
−λ
�
2
−λ
�
2
−λ
�λ
�
−λ
�λ
�
−λ
�
2
λ
�
2
λ
�λ
�
λ
�λ
�
λ
�
2
2 Ton
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13. Paso 2: Ensamblar la matriz de rigidez global
�
1=??????�
1/30−1/3
000
−1/301/3
000
000
000
000
000
000
000
000
000
�
2=??????�
9/12512/125 0
12/12516/125 0
0 0 0
0−9/125−12/125
0−12/125−16/125
0 0 0
0 0 0
−9/125−12/1250
−12/125−16/1250
0 0 0
09/12512/125
012/12516/125
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
1 2 3 4 5 6
Entonces:
K
1 + K
2= K
Global
�
��??????���=??????�
152/37512/125 −1/3
12/12516/125 0
−1/3 0 1/3
0−9/125−12/125
0−12/125−16/125
0 0 0
0 0 0
−9/125−12/1250
−12/125−16/1250
0 0 0
09/12512/125
012/12516/125
1
2
3
4
5
6
1 2 3 4 5 6
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14. Paso 3: Aplicación de la teoría del método de la Rigidez
??????
�
??????
??????
=
�
11�
12
�
21�
22
�
??????
�
�
Q
k,D
k=Serefierealascargasylosdesplazamientosexternosconocidos(Know);lascargas
aquísobrelaarmaduracomopartedelproblemaylosdesplazamientosseespecifican
generalmentecomoigualesacerodebidoalasrestriccionesdelosapoyos.
Q
u,D
u=SerefierealascargasylosdesplazamientosexternosDesconocidos(Unknow);lascargas
representanalasreaccionesenestecasoylosdesplazamientosenlasnudossin
restricciones.
Q
k= k
11D
u+ K
12D
k
Q
u= k
21D
u+ K
22D
k
Frecuentemente D
k= 0; ya que en los apoyos restringen los desplazamientos (Según sea el tipo de apoyo)
Q
k= k
11D
u
D
u= (k
11)
-1
Q
k
Lo que a su vez
Permitirá calcular Qu,
Que son los esfuerzos tension
Y compresión de cada barra
Q
u= k
21D
u
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15. Paso 3: Aplicación de la teoría del método de la Rigidez
0
−2
??????
3
??????
4
??????
5
??????
6
=??????�
152/37512/125 −1/3
12/12516/125 0
−1/3 0 1/3
0−9/125−12/125
0−12/125−16/125
0 0 0
0 0 0
−9/125−12/1250
−12/125−16/1250
0 0 0
09/12512/125
012/12516/125
�
1
�
2
0
0
0
0
??????
�
??????
??????
=
�
11�
12
�
21�
22
�
??????
�
�
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16. Paso 3.1: Calculo de desplazamientos en nodos libres
Q
k= k
11D
u
0
−2
=??????�
152
375
12
125
12
125
16
125
�
1
�
2
Se propone resolver por método Gauss -Jordan
152/37515/1250
12/12516/125−2
Efectuar (-9/38)F1 +F2
152/37515/1250
0 2/19−2
Ya que se tiene una matriz escalonada, procedemos
A realizar una sustitución regresiva
(2/19)D
2= -2
D
2= -19
(152/375)D
1+ (15/125)D
2= 0
(152/375)D
1+ (15/125)(-19) = 0
(152/375) D
1-228/125 = 0
(152/375) D
1= 228/125
D
1= 9/2
Por tanto los desplazamientos desconocidos en
El nodo 1 son:
�
??????=
1
??????�
9/2
−19
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17. Paso 3.2: Calculo de reacciones
Q
u= k
21D
u+ K
22D
k
??????
3
??????
4
??????
5
??????
6
=??????�
−1/3
0
0
0
−9/125
−12/125
−12/125
−16/125
1
??????�
9/2
−19
+
0
0
0
0
??????
3
??????
4
??????
5
??????
6
=(??????�)
1
??????�
−1/39/2+0−19
09/2+0−19
−9/1259/2+−12/125−19
−12/1259/2+−16/125−19
=
−3/2
0
3/2
2
??????
3
??????
4
??????
5
??????
6
=
−3/2
0
3/2
2
Reacciones en los apoyos
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18. Paso 4: Calculo de los esfuerzos en los miembros
??????=
??????�
�
−λ
�−λ
�λ
�λ
�
�
??????�
�
??????�
�
��
�
��
Usamos:
Miembro 1:
λx= 1
λy= 0
L = 3
??????
1=
??????�
3
−1010
1
??????�
9/2
−19
0
0
=
??????�
3??????�
((-1)(9/2)+(0)(-19)+(1)(0)+(0)(0))
q
1= (1/3)(-9/2) = -3/2 = -1.5 TON (compresión)
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19. Paso 4: Calculo de los esfuerzos en los miembros
Miembro 2:
λx= 3/5
λy= 4/5
L = 5
??????
2=
??????�
5
−3/5−4/53/54/5
1
??????�
9/2
−19
0
0
=
??????�
5??????�
((-3/5)(9/2)+(-4/5)(-19)+(3/5)(0)+(4/5)(0))
q
2= (1/5)(25/2) = 5/2 = 2.5 TON (tensión)
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20. Solución Final
2 Ton
2 Ton
3/2 Ton
3/2 Ton
-19/AE
9/2AE
4.00 MTS
3.00 MTS
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