solucionario geometria analitica lehman

1. ucionario
Re R. FIGUEROA 6.
Gi LIMA - PERU

2. Solucionario de Geometría Analítica

Solucionario de
GEOMETRIA ANALITICA
(CH. H. Lehmann)
por: R. Figueroa G.

SEXTA EDICION
auto 2002)

hos cl te de

Incluyo una selsciión de problemas res
FJ De La Borbot

© Publicado on +
Ediciones e Impresiones Gráfisas América S. R.L.
Loreto 1696 Breña Tolefax : 423-8469

Tipao y clagramación : Abla Sändtiez P.
Dibuios y carátula : Jorge Galarza Estrella

les daraenos reservados gonlomm al
Decreto Lay N° 26805,
Ag

Gavia

DOMICILIO: eo 10d Oa a

!

Prohibida Sul reproductiór por euere
total 0 parcialmente, sin ol previo permiso escrito
Gel autor

3. a s pata resclier 1
Tor des

6. Wie.
2 J; De La horballey

7. he u a

LCICIOS

8. Tangente a la cónica generat
© Solución à de los ee

a

* 102: Panes de coonfenadas para un put |

10. serna
| na cones onda Li
lian

15. © Splectnen ie de los SIFACICIÓS Grund 1

je N'y Ind Cy Des à (e ba
Gyotdecadas de los e189.»

21. Ska del troy

22. GX

26. RATE)

Rem

rite

NP; Ron los

MER 1) NC 77), PO 3219 A

rot que (SIN = IRB] y [MR
fei, or la Fo de a

delos ados

27. ED Ena

‘qu Jas co

DE divers ya IB

28. eta snd dede por
asta la pendieste puede
las reales.

. ED) ana LO ENE

29. ue

aso es

31. sde un pacaletograrres
6.51). Sila ordenac
essa

5 ca

oque BAILED:

X ángulo dis 72
os ACD, D
Jos resultados.

32. Wo AGE D BE: a
lar cat uno de Kos Hu E

TORTUE
Bee

suet sul

33. ® en i
Dy O

34. a Br 6
ce troc, Cul 85 su od
BEE PCO

35. 19 wit

36. 4), B(7.3),C(6,-2) y DN
mates sou perpendiculares y se

. Probatetios en prier logar
tudes de los cuatro lados

37. a diagonales de

38. 1 Siemens de ronde

Bi is
amine, bist
diosde ci

Phiplucto Ue las pendientes

Como er oiubo 88 un paralelogramo de fido
es, en ol AODE, por et Teorema de Pi
uate) els Jobless

40. x «Acts se indican en fa Figura 147 |
“Pro: la (cima de la istane

és decir, los la
vales, Por

los laos iguales de ui trdgulo Isdsceles

AOAB ci

41. que uae!

somero

El

Paralelos miden a'y

42. ee ees

ulradas de 108 idos de
de les einidiacos de 5

43. ¿> Sollecionas io de los EJERCICIOS | Gin $.

en un iso punto,
efecto, las Sogidenacan de 1

45. © BD Les puntos medios de los.

‘Alalqties cuadrilátero y los pui
dios de las ciagonales son yerti

46. Haga dn gn
loas coorcomls dle aus sá

a que I ER a RS
‘Esto supiere la obien

49. lentes pasos

50. Se obtiene haciendo a= an
2 Fa 0, Die lama X

51. Pi mpl si
debemos despa
on ee A160
een
ME RENE

sn EWG
Des (ya's pees
ais ete yells)
y sitos; la acáfica de ta Se

52. nad de ee
je eye

54. ceci 3
“ay Coneleje X 7 Se.

‚x
yy OYE
AY. inter

Hnecuéción: y. 4

Co OF UG, +)

55. metía.
3) Coneteex fe
b) Coneleje X 9

56. cine ee
baja de Insecta.
ión presi:

57. de réélu. Dei pas Besen Len GE
y «bp le

58. ica del ecuación 4

59. “seu ue simética con fos jes]
DIET Ses A NY

stos puntos
satin la
enla Pra?

60. ro ge > debe a que si Frisláriamos: a

62. dz 50,
afl yaa

" Obsetvese aie x Dent. por bine
absurd ara el pie 10-1), ande
y mue e

séniotas

= Ak fee, ae

64. oh Espia» 2} Graben de.

a Fe à

65. FIGURA LoS

66. siménica respecto de los ejes cooi

68. A 0er
ur À onigen dE viiorden
ct la arabe Yes de grado ps
sieje N = E E

69. teen: 420

2 Como se puede obser
delas prática delas

70. x Tiazar la gsáfica de Iiccuac
Solución: 29: 28 =¢

Ale 0 U GC) L Gate

71. Sociale de ft IERCICTOS ¿Grupo 7

iGURA 225.

Uniends ls punt 1 hey Cy Dobiendienios las gráficas de 7, y @, respr
livaninte: y E RE

Graka U GA) à

74. usta aneicamer ion condiciones geométricas dada:
de una ecuación à as Soordenadas Variables

Se site pit io; a scvsción obtenida en el paso (2) de al maneta qué

(oner te cesión del N;
En

manera dy
dle Su stan

se miuestia ou la Figura 2.34

75. del lugar geomictrico de un
conserva siempre equisis ante

76. en i ua punto
¡Y está sobre la recta. 2 y dedacir, de aquí: su ecuación.

oF
zoo)

78. 2 Seis POE y) an pinto à
condición =

80. fetal manera que su distancia Al punta AG Dex sie
u jäaleje Y; Hallar la ecuación de sit {ugar geométrico,

aneri que su distane
Bllar la ecu

do des

a lag gsoméwico cue deb
API =2UP een)
sión de ordenada, ex
Pe egg A
WORF EC
sie

segmento reine de long 4 se mueve de tal menera que uo de fos
s ie Xy el ctta permanece siempre
el Iga yoontsteiéa del pus meio del

série a del punto Po
LBP SPRL
Fórma anaiticas à 2

81. 21004 2547

da ambos miembros se eae:
ACA did à

83. recta que pasa por un punto dado PI

pendiente dada cs tn: tiene por ecuación à

84. (Juegos par A pana (D SE 4

87. de las allures y su pute dein:

91. “ciones, som 3 y -5, rest

¿> Solución. Sea ta rect:

92. ys perpendicular

¿la pondiente, engul

93. degico cuen
os

Bastard peter que M

Lo

cquelaserta 7,20
#759 ran

| Demosiración.

94. FIGUTAS 10

95. 215 ml 25m 21

= Sm
: grate Sms 6m
Por tato, Js scuciones de las rectas buscadas

96. 3 Capludo 33. La lineata

97. aria de los HI RCICION Epa 10

Ov Gor

1 Enxpriión a) eal dear

98. ada Dra Hin) oe bac
Shakes b)-acte 4612000 E

x las mediattices perpenciculares alos los en sá
punto medio en cualguier tngulo son concurrentes. A

100. Amy a mele

senelentes seit iguales, los puntos ©. G v HE so

tate
FIGURAS

ana ridad del je Xi por ant,

ane

101. SAS

Je la esta peipendicul
we pasa vor el panto PC.

102. as de BS
-ualquier
remos +

103. = Sirepresentados ls lors

'ysielevamos
‘mos, ableaeines |

104. Hota at

lucid S

le forma normal de 2 es:

106. ¿Como C20

112. it Do ae
12 ta ecuación dela som 7 La, 26

ende are BR:
lese su o

114. in. Dae tel nga ac Aus Be

115. eign, Stal,
una de cuyas Sisecuices col
je Y Las ecuaciones de losJados son.

117. Expresión ana

"3 Duende 2.4

118. ED api une alu
abc pal ACT

119. 2 Bpssiön nalen, O

126. oo
SG de a eta sis

dela aia (De

127. Reemplazamos den 2): e421
© Abra sustit Gy Gren)! REO Ge
de donned obreros act

20; sustituyendo ea 4) y (setiene: a,

Blende amb

130. allas por tes indlovdos diferent
LO BOGS C81
si ud de dete

133. i
1
y

o Demostrar anal

co formados pr da wen atea

134. Caplets 32 La Hs rte

verifica para lodos los Valores des A
concientes

‘ Dimoitración: Supónsase quí pao Poe. poca fous 9 ÿ 2,
MV ADEE ROY A Aa 9H, £6,
De modo que en kin :

137. Soluconavio de tos EJERCICIOS Grupo 1.

ue des estes paralelas
Gee

laman ángulos =

138. diana fais ala bee
“Brine, 1068 el digulofonado Gor y

24,4023 0
‘ein miembros e tiene

© Cos 8 = Cosa, Cosa, + Sena, Senay)
ola Bigura 3.42 se obser crient que,

Dye
Be

sus ángulos directes Si 2°
ecuación puede_eseribiisedelafonun |

139. e pane iia dela
recta. 2 ¥ Psy) un punto sobre
3 ve sen abscisa que P,

SBS 0% Bus À

oe ue eres
Give my i

140. gnosttar que ura coadición hecesaría y sufi-
y met 8, sean

PAL

141. aes sy

PES, Hews al genio ce recta interceptado pr ls ee
= 3/2. Haller ec

Ta recta en se fornia simétrica, 2:

2 enla intersecciön de que nen
6 baricentios de los triángulos que tienen como
Jado con una de las diagonales del cuadrilátero. Ki
ha E is ‘

142. KG rar que el

Sole Pi

de

ee

Eatonesscoasivimos A. seco
el del ele X Lasgo

144. £0) Qué 300 #220)"

“iy te

145. <> as disencias dirig des del ies
un de los lados son negacivs. N

MED Bir de un trial
Uallaret lugar geomé:

149. Como Ch De =
Porto ques.

153. iene su centio cn al pu
0, Hallar succı

tangentes sr = Late
1560-2]

ase punto de
Bie

157. 108 ds Sa cuerda cayo punto

164. SY O. 3) son concfelica
Demostración, En electo, el deterr

segunda,

165. Gite € = 254494 DATE
in del sistema (I), (23 Gest DEA: FE y Ral

Ce a

166. 21 lam 344 Hm:

169. Dertostar, analílicamente, que cxisiquies recta que pasa por!
ser tangente a la cincunfetencia. (1 eta Ay à

171. fetencia x! +}
eciacién dada‘ su firma ordi
5 ny

luc, mia

“siya caza una tangent
el punto de contacto, halla: la Tongitud del segmento AR.

172. De

sa por el ¿unto À
no Ad

176. cio NOP averse la interses=
5-1

178. 36 NN
es ue Tk

179. 7,9 890 Cento es
rtuéstrese tembión, qué no exi

181. “Ls longitudes de las tangentés razadas desde el punts P alas
@,, por (a Srl hallada enel Ejrcicio23

‘odio el Jugar geom
las Tangente des

185. © que se reduce a>
Bor tanto 01), Us

asa im sl punto. de

186. “ode cm
Sok ie 2947

© TD Deciosteacque laecuacicn de a tangente al
to de contacto Ty. hes aye + 3,

barra
ne x)

| Came Fr y Je diese

ita, en (2): la ecuación el gente

187. Se tra fancentos a la circunferencia
¿o Horna estos tar ge

188. ernterereia @ +?) 25 ha
reel de famili Fix. 29 KO

BYE ro tienen sin
CPE

{La solución del ejercito es similar anteric, por Lo que se cfa a lecor
| Sol, a MISMO) mio Y me US, ime 26 y sd

191. hara el lect. (Sgerenci
iss ges dels sues

194. longitudes de dos fados cualesquicra del triángulo e
cd det metre por la longitud de

By BCL = E

196. 1 iodel ligar geoin sticoquedibes iE poet
Cr : 5
Que feras daifisnde pot la dé

œ a An
“ease bes os AG, 3.15.05 CC
ia de su lugar ‘geome!

ner que su dist nad 6
Isarciaa ote paro ja, Ders que el ur georytrica
sia para valores sptomdos de

197. “Ca 0) y sea PG, yi in panto del I
+ coque debe cumplir I candieicn geo

198. Pees siempre iguala

199. 13 Comms Bey Eee aly
Tasio Oe
“Por tant fa

EEE tae wr Sa

circunferencia @ >

Tas ete

© radios soa,

aaa
CAE,

25 linea eo u
100 (línea discontinta)..

201. EB Hever ta ecuación de ta à
y pasa por A(15:2) y BT

- ángulo AP B.EL à
dad ee

202. “de donde setiens: hEK-1S
Ÿ La soición comida de «3 ÿ (A ei

G29 EL
APE Oe

&

ta cat

fips AUS, 29
»

205. Por tanto. DP 2 y,

: Además: DC =k y FE

tendremos.

206. e
co y ambas xistemas de eles socrdenados. :

à orginal, &
cargo del lector

207. ‘Susttuvend en ecuación original tone
(SEG! ele DAC 03220.
isctuando y agcapando términos puede: n
nenn

Se hose rer
«ara estos valores del

208. i ODA + “2G! Kye

at cérminos. las sant roma fo ama

209. y
Completando cuadrados : => 40
= bare erst):

Solución: Oxiesando: (x? 6x) -
ESS, Corapleian

Haciendo las suniitie

210. ‘acento os Sitios ES we

212. “trette animos Oy Po
por trigonomerria:

Solución Resolviendo tes esuaci
e obiemos a

ión del Tectemna 5.2, para las variables
a Cost + y Send:

213. Sr E

214. mgt

215. ae
es una hipé ot.

Shi | Susiicagerdo tn ec

Cine 2 Sen

216. facial, elit send ie

217. la val se reduce à le ecuación ránsfórmada ; |

El lugar geomet es una elipse

218. uaciones de jotación =e Con

219. Solicionaen delos EIERCICHOS | Grape 21

220. Trensformactinde coordenadas.

221. ruizción epricando la formula 229

stn eee tos o

i in cada uno de los efercicios del I a
“transformación de coordenadas. |

ER 5 Be
igura 5.10 se han razado el lugar geoiicirico.de nt
dos los sistemas de ojos coordonados, 1!

222. : FDL
nétriog es una elipse, cuya ‘ei ‘se esta “en fa 'igura 5.11

223. Sent 20 ©

Sais = NIE y Cost

A 2.
Susiftuyeinlo en la ecuación original se ei

EIN

225. ACE HE BG! Ord ce
fectuando operaciones y nerupan
Bey: #6 “yaw Bk Die Ye (BI +2CR sey SARE BRE

sonraladados sna al auctoariven O E
“deer

Soe! oc

226. ie que fa distancia entre dos puntos en el plano cao

227. AA

msi

El purtóse mes det mane quel ura dei
AC, Dy BEL Aes stempreigeal À
Solación.. À: See PCE. 9) un punto del haar “geométrica que debe safe ia

228. Ban)

oración más simple cel iger geométcco (elipse).

229. Completando cuido este 15 (x

Portanto ASK" + 60 y" = 4 esa ecuación más

I punto se nuove de tal Dianera que la diferencia des

TUMORAL y BCR, el das,

230. la cuadrados result
eS

231. “reco, ylarecta ga 9.

sta que psa porel fact peepecdies
Legende ect cue
vlarmente al eje y cue és.

233. ado ob

237. EM Una circunt
ae

Porel Ton
FO cay te
Radio de la circunfere:

Comot=d(C, 7. hemos probado que la circuntezenicia es tangente ala

wel cual, por detincién d

239. 1
1
i

SD EOUAGION DF UNA PARAROLA DE VERTICE Gi, BY VEE ens van
EJE COORDENADO a ;

240. oe sla pardbota es dela foe

241. GD va cisecuiz ce una pa.
Hilla sat es

242. a) Coordenadas Y Vo
ON Coot fenadas del foco: Kh. Baw) Fl

243. Ta covación representa una parsbo

244. © siti eimetenscoutaleleX
Dado que 4p = „DIE tata

le seed capa sce
tres pun OPE, -1), 040,5) y ROO. 7)

ely PGW Apo h)
POD “We oo CIR ApH
Qu Se 2 eS a

U Resoiiendo en 0. (533 (0 obtenemos:
Por tanto, CON la ecuación ¢ del la Lies a Fly

245. I vertce sobre areca x

247. de ios BURRCICIOS Grp 24.

‘un punto del lugar
geomötrico que satisface la con
rada la Figuia 6.21. 8510
TB 0P23+la(P. 2

ay siya booty te
“de donde tesvita la ecuación, 27

“La determineción de Ia ecuación de Ix tangente ala parábola es simil

csi parta llei ee ls nape cus bet

249. 2S
ei:

251. a Por ee del res
ae drena paste FL à

252. | Capital 6 La parábola

Lok Halak La ecuación de la tagen a parábola detre Yy -8=0 que es
© parle alarecta 3 D LEO | :

Ha
A 4C)C4K- 8) = Qe
or (1) la ecación de la tangente es x + 3;

253. Tal Segolo aguco formado por Sta es,
Solución. La ccuación de la

el

Sisi

254. Fait a La parábola. 5
2 sustituyendo e ieee
AB NAO +)
QAR ES)

‘Sustituye ndo en sleeve de a paola

255. Sofuetoncrto de far BIERCICIOS Cro? 25

intengent ala padbol
Eu efecto, a la parébola

gue j2#4p 20 0 000, ee
“el véstice de la paréhola. Par fanto ike (2 04

257. “> Solucionario de los EJERCICIOS | Grupo 25

i
Por lo tanto, de (1) y (2), se deduce qui
|
|
122 Sanda (y eines
: 2 AQ+0B NAO) 2 AB = 20400 = 241

© Paoess[AP 2 (FB | ac

260. inulo 6: La parábola.

eoxación:

üstiniyendo este valor de zu la ecuación de)

261. las ecuaciones de las pamibolas son
Mi = 1202) v #1: (5: OF.

db que Lt
* paralelo aleje; Vértice sobréla recta =.

Solución. Fora típica de lacosación de a paríbola, 7

262. y vérties

263. KA, il
a:
EOS
de tlonde =” ey 160 +2y #40 = 0

SIG = E/8,9) 3h,
Dela ecuacisa de tadisvcui

264. anal, 2 koi he
in comin de (hp = 12) A (n+

‘la solucion comin de (Ki p20). À: 0
¿p 30 {la cürva se abre hacia abajo), descartamos
ida lin es: FR:

au ect.

N

265. Ryo) ER ict ees 0

El

266. LE ES
E

267. (ms mar sa o om Mai 25m
XA sa de las races de esta ecuación

BD Perel foco de ia parábola py psa ancient que forman digo 60 |
con el eje. Qué relación hay entre La longitud de lesley ae Talo ecto,
ución. Las costdenadas del foco
cal Pes in = Tesh = V3 ue

H era “y= Beep)
Susttendo este Vator en Ia ecuación de I parabola ne

Ba ee des Ibe ap

268. SIM, Des
bar as

fe P= 26,
parábola pa sp rer MC Rn)

Zpm+h a Be
zu ccucción es

“Sean ee

269. “Flhigargeométsicn es use paribolnc
AR: 0} E

ce bao un
hi de larecia que contiene ales

* Interceptändo 7, y 2, con e parábola obtenemos
Ad © Ane, Ran): y BEM! 8m}.

vértice del árigul > in triángulo rectángulo es el extremo L del
‘ecto de la parábola) = Sr, El segundo vértice del triángulo es el véi

parábola. Cust escl ietcet véice del ángulo,

270. De

Gy BUI AB”

271. ED tr rentes comunes acontece de Se 2
E To pathol
> Solución. Si@: (e+ SP FCO = a acs, 0 yr en
y ión de las rarisentes buscadas ; jr = n st. 2 E
* Sustiinyenita en la ecuación de La Saräbola se tene
(me 3)! 2906 © mst + 26m 10) +

273. “Lint pliss es el cor unto Ge puntis Sobre um pleno coldeados de
que lá suma de as oda uno de los à dos puntos Gifs es
‘Los puntos focos de la BIER :

nts Y y Ve ia er
ipse. EI punto € dul fe focal.
zo, La iecta 20 LY ve Nama.

275. EVE 0 SV
Es De FOTO).

dele for (D
dre

277. Lasolación común de (2) y

Por tanto. eñ(1), ln ccuación dela elip

GBD Hates a ecuncion y la excemvricitad de tas ee suceniten closes E
una de as vés es

LOTS és

23

Por tanto, en (1),se eno

i

278. ‘por dat. en ku) lación de hope

© cuve lade iecti da

279. Js ri pur cual
cis ranks veclon

281. condición geon

jones detraslación x= À
Toles ley)

282. dus del centio de la elipse”

Coordenadas los focos Fh, kc) 10 à Br
1 gse que debe seticfater la condi
FI = 20 :

AGE OOS
eel lugar ge

weadrada y simaliticando, reste la
Bee awe PEN

283. (EI) ccurcion DELNA ELIPSE DE CENTRO (fh, IO Y EJES PARALELOS ALOS

284. ©) Extremos fel je
Fhe)

285. a bye, el gj fo
jon ax de Ta forma,

286. Saori leat CG

Lego, en (i) Ja ecuación dela elise es &

287. © PA
poss yD Eso.

288. ‘a le Be

el Aa 16 puc
aa de la ccnición de un e

di kEL
| Coordeniadas del cette, con

289. ent EOS

Le onde: hoo

: Ch. ly a C0, D
E) Cocidenadas de los Vénicas: Vib kh à) >

290. scale estela di

Roe S ODE

À Bruni que qua etant des
Rees ins

en Ro. >

ans ES 64
sé 29390: 3D+

291. Ma DEM
sD ede»

elementos cued repueseiiidas

E +0) 0) 2 1e dera
BG. EEE ER DS LUS STE =
La Sohicién cain de fas ¿cuaciones (1) y (2) es ly Sp

La écuacién de una familia Je elig
: acuación de eqve'is eleinentos de lama qe tienen exten

Solución. Redve ide lactación de la Basilica su Soria oc aria se tiene

292. yee se dx 9,
AO NE GES

le tat mai RER distancia del eje Yes
punto e

293. Te Sean ace,
; a
Saba.

3a ER

Sin

294. Capitulo ?:

Laclipse

2. Forma analítica de es condición +.

as

Es

pj
NZ
x

base de ten triángulo ss de longitud fia; siendo sus extremos los puntos
10,0) (6,0) Hallar e idencsicar la ebtación del lugar geométrico del vétice
"opuesta que se mueve de tal manera que el producto de las targentes de tos

alado, pes res BER

À Soliein. À Sea, in punt del gar aeomduike
: À QU debe satisfacer Ia condicig |

¡ón de perdients, esta condición se expres
ieamente por la ecuacign E

alee

15011 1 lugar geoméxvico és una elipse. cm

[so

ideale guage nant

fea lactación de lug yeurndtsien it comte de ut
dive ales ircuntórencias ey?
es) E

L sara
ia condición +

295. La circunterencia vásable contiéne à €.

LL Sea PC») ui punto del Sugar générique dde
satisface; ta cor. Cts CPt Pr

GE) reacios ve La rancia

a) Tangente en gin punto dado de Ia eliose
b) tangente con tna dirección dada

296. ¡ción de vasgencia

ares |
ED) ais dcvaciond

297. Solitaire de fos BIERCIO!

OS! Go

éme OMR 2)
x a Em 22) 2 0 23

yell 3 ve,
jenen

ud de la tangente*t

ong abla hema

Malte S

Longitud de la subtengente ST

Condivigndetargencia = (Sin Nm’
de donde obrenemas lactación: |

298. es de ingen alae se ee
MT rey sate

299. ES

7k +406)

183 Conan à lip si A>) ren si de
IST AGO 05 337K: 406 < 0
E A SO

bi. Las rectas son ès ese siA=0, esto es, si
“GK: 59) AD KE 59

©) Lasrectas no cocan £a lis 5 4 204 sea
LU GRR SOF ka:

300. 2 Comte Nain

delanormates

Say =D

“St. DE 2 = ad MO

Dado que 69) 20 a?

301. Daido q la penal de
sexe de ode sis ados rect

(¿e mimenientiente gua ia excentiidad

fs Tos Coos de una elipse à eva
‘ongittid del sem

GD Demostrar que er ro
“quier cangenve es Constante e ig

302. “GD ropero 7) earn tao had #2
las coordeñadás de los puntos de contacto”

ED suce
tot que ue LS pat de Got se am cuesta de art ps

me

303. Fnionees:

Restando

305. dugalo de 90° de:
‘sobre el eje Y y

sde el contro de

306. nn
«De donde abtenemos la

307. hong del je mayor de nna ips
(8 ¿ 15), Cif es su ecu

308. Qué émet à

qi su lt N

309. de donde sbienenas la éctacién de fa elipse: Ya" - 8xy + 245:

har a cuerda de la elipse x? 43)%'~36; con
de a ever cal aca fu doble de su de

CPU)

sido HS Meo © à © (52

42a SVG RON HG FG: DIS.

wo Verve O93 = SOO

* Blevanco anibos miembros al cuadrado, la ecuación se reducs à:

SRA NN

310. ‘debe cümplir Ja condición: MM MI
La expresión analitica de esta condi.

Side ibs exadécdes de ambas ec.

15), Heller La ecucción de una elipse cuyo cent

omo del je inenor de la ele sea el foco,

bla y Sablen le que ames Chris se cortan ónángulo récto. es decin
pertivas tangentes, pi can Fan any

311. i a Se da Had € 4 LD 272) Va sea veut eyes ested ¿son A(5.6)y
90.3) Cul put de lali que ul a AB dts

312. ae

entonces y 4% son dis

313. DEFINICION

: Una hipérbola es el Conjiat de puatos localizados cn un plano detal manera
“que la diteréccia de las distanciós de cada una desde dos puntos Mas, Námiacos
s, es tna Zonstance A Bre

+ Deseripelön de tos eterientos de tina hipórboia
“Los pünios V, y V, designan a los vértices y los
pontos ly I, los 20068 de hipéebola.

à La recta € que pasa por los focos se llama eje focal,
! La recta perpendicular que pasa porel centre
Css Hama je normal a eje comgado.

Viv =el

je hante =

1G? = cuerda | BE" =cuerda focal ; LR =
vector: 7, y 2, son las asintotas de la hip

- (HB) primer ECUACIÓN ORDINARIA DE LA HIPERBOLA

8.1. La ecuación de la hipérbolade

314. La hipértiola

pti $

Kel je X, y Focos los puntos EE, OLE GEO

is del 6 a1 9, para
de los vértices y focos, las longitudes de los ejes transverso y |
ida lado recto. Trácése y discuteso el

a sobre interceptos, sin
Del lector à

315. ODIO
FOND y PO. 113)

= Longitnd del eje €
4). Excentricidad'; e = el
* e): Longitud de Eada lado reet

316. jes iced de ba pero sen + £4) y su ence iid es igual a 32.
A la eccación dela bipcbolay les cxordesadas de sus foco:

litipéibaliiest

317. Porlanto, sn (Use tie :

© Pot tanto en dh,

318. Joseloicias del 17 9, sand a defied la pd
à partie de los datos | dados: Medi

VIEH RO
(hen al cuadrado; la ecuación se 1éduce a.
Eo dy dow zee
SH BGB

319. cuya forma ordiracia es; eas 3)
| Hacisedo is suscnicones à)

ED Demi gus oral je conjugal dana hipdotncs me ies
+ Goal entre les Balik e sul arte y 5 lado recto

LR) ae com EN

ela ecu nde
fe de a

321. de un triángulo es de fo
Haar identifica

Solución: 1. Sea F(x, y) ur punto del Lugar geome. |
12% ico que debe satisfacer y

2. Forma araltia de!

3: Blecadafdo obtenemos 4 y" 2 :
“Hl lugargeoméxicoes una hipérbola cuya grätica
está represemada enla Figura 85000008 mo

E
ración: Enctóno, de

santos de usa Niperbota case ef
cidne igual cero seguido Boa...

LE prier endembca cela:
ar: can en

Seite nano ud Veins Yue
¡como neu gulag. "à

322. EB) siernvots robinet 6 necrsvoul an

INPERUOLAS corsLeauas

Si dos hipéebolas són tales que el

. x Le ss
Entonces; fa bipérbata cónjucla de (0 siene por ecuae

323. Soient delos CHER

Mene as >
39-00 Lidia SOV a

| Hall la ecuación e la hiperhöld que pasa
À en el rigen sd 63 iinsierso ore el je
PNR NE TA

ola que pasa por el punto PLZ, 3). lene su centro
sobre ol eje Y, y na de sas asírtotas es há senta

wa a) - sejones de as lots pen oben
endo (4x- 33) Gi Mh Ban

324. AGRO:
Demestiarqre si las astriótas ce

echo es equilateral | *
ció La) a
dis

has RS son:

e biset ies dels
ee,

325. 1 procuicto de sus dis
pees sien igual wn corstanie, E à

dos ecu rpendiculaneéque
à PGE: y) un punto del lugar geometrico que

alia a a dei hipéraola que pasa pon el pn

o

326. rata D La se bota

“Les tadas vectores de N
usté caloa

© a) Corde delos ét
- 8) Coordenadas de los es.
9 Excentrcidad + ema

E que dos hiérbolas Goi juss
Seale tipstiots af 2030

327. Ls lranvec Y soga san repectivamene à à
is hiperboles : e

: a: Si as excentlcidados à x pl congas gen ay Ve demon
lues SORTE TS 4
im... Tin efecto, las excentricidades de.

330. )

atea las forimas (3)

bola de eo trinsverso Sara o

331. ¿nto de una Jipábola es ef punto CC2
VERDI lan tenia lado resto es 8,
inside as :

Solucidn, Como el ento y el vertice tienen a i

332. iicidad: ¢ = ola 2 8 = 5

Eucao, or (1), 1a car dada ge GASES

“excel.

333. KB demesweret Teorema 8. de! la ¡Sección =:
Fiteorenti ya tue demostrado ea a página 324.

5 Das Be
fe BS
sede i cat del eu

334. als dal ly

335. adonde
Se js

són. Por el imétodo de Biel cuadrados e ene’ i
Herde) (re DOG 2 =o

Las eeuueiones de las asfarotas se obtienen de la relaci

O

dé rene

336. y HEL, Oh Hela
Si ño de Tos iy

337. eel ©.
> Derrostar que el lugar ain

in pünli dal hse yaaınarich (Ph

ale Slade
à Por aida, el ga: gearidirco des

338. Rw th

2 BG) tm! a, Fes

339. En esda in de loseiericios 5-7, hal Is ecunciones de tanger
3 las longitudes de a lärgente, oral, Subtinpentey Bbromal pride
bole dada, con el punto de contacto dede

la perdent de la tangeate es.

an)

340. ons ve la tengente’s.. 12 Ly ¿ml Thame

341. Condición e tngencia dan yan on? 25 = 6)
‘dé dende [mt 700115720 0 AOS

342. Hees
Hi +) 10 y = esta
a panto: PS yes, dada: por lá latórmula:

PO

E]
E &

Del mismo toto, lecuición de la tenté
a

Luego, para!
“de donde,

Pit
Pub io anus, in iZ) 5

‘Quoi demus.nido que ta lige y le pá: bota son ortogonales en el punto P,. Se deja
wobay que £ Y son o'togonales culos demás pantos.

343. Solucionaria de los EJERCICIOS . Grupo 38

D sc io
Fa de ss lados cesos es num

344. bn un sumo cta'guiera 2
> traza una formal que corta aleje

ara,

345. Por ti torn

¡bla del determinan ds

desde

estar que los puntos Qro pare
in sobre una circunferencia Be
Demoseraciön.; Sea la hipé:bola 3: 0%? -uht- ae à
2 de focos, FO) y Fee 0, Ye
‘yas tangentes en los Vértices tiencr i

Por el Teorema $, la ecuación dela tangente en
Podes, a

346. Domos que à ecuación gré co le los punis
lau meca rales de perde mide hip

347. LANE y
Peon bris 5
Restaiido ambas ecuaciones se ene:

UE PA

¿nu hipérbola biseca à todas las Cuerdas
Barelelas Votro “diámetro, el segundo didincieiy hisesa a todas las cuerdas:
paraleías al primero. Tales diámetros se (Hana fidmetros conjugados de Ja
hipérbola. En £ Ne

1 Latorma de La ecuas

| Porto. ea (1), lee

348. ción ei hina ie ca o
es = 2 gus asa po FOO,

143 Hal vación de hip bola coment © 0. „Wesen Fish, .Bendiente
delas sito = 3 y eje cal, sobra ele X 5 rake

349. escrito por el centro de una circunterencia móvil,

ferencias €: a+

350. Sie 160 =

vol ae se les

„Nero on
“Lego ent}: Gr 8 1

móvil Pa dos puntos fijos 4
2; eo describe 8°
Solwwidh: 1, Sea PO, y) vo punto del lugar geom

pines AV y están teepectivamente sobre.
Oy Ronee lalala ecuación des

352. HTuhipéebola a 43
¿medios PS

x = 4816-49-34 4

353. Enesieca
(9 D, ai que dede:
jación general de seguido:

2 EEE) TRAN SEOAMACION DE LA ECUACIÓN GENERAL POR ROTACIÓN DE EJES
COORDINADOS. À z PURE

354. oe AEE BE

eliminar elt

x lecciona el ángulo de rotació
la ecuación (4) coma la fo

355. para la waistormaciéa es neces

ates de snes
ordenados, sé ama invariant de
invasiaaté por ro
a D°+

EJERCICIOS... Grupo 32

356. Demostración Bn etecto, por as celaciónes (3) del Teotema 9.1 se tiene
AS AGO rB Sen Cord + € Sere

ui a à

357. dos seien
ÓN

358. NER): 415 GN»
NB GANT

calera hipesbolied

6 y, Cos no son números racionales, ss trata de un caso degeaéra:

359. traslación
Sa AP OTs AVG aE
de donde se tiie à 0 N

Avr toy

Six
23% La oli
Su

esta

2. ee Zar 62220

Naturaleza de lacéniea =" {= 18% TAC
Lacénica es dé rataralers parabólica.

360. parábola sine un con;
SRE Sem

22, Agulo de lotación ı TE

Ace | 2

iroaciét semireducidn:

A Cost 1B se

361. o: ten
cose deja asar dl to

362. Qe ay
= BY 4AC E (30) 425) 500
La cónica 25 dé ratuialeza parabólica nn

DIA RR FI:
TB ©
+ Gogg = oa - 5

Gn semireducida: Act ODE = By?

À Co +B Seno Cox senos (25).

365. Ao tel

Ibrenemas la forma anéniea
| (ugar 2661 > e$ una parabola caya gráfica abarca codo el primer eu

ail SUAS SEL &

366. De dinde, seven y agropande téminos sense
+ (2Ah + Bk Da CRI Bh Be

al lugar geométrico de un punto P que se mueve
‘tea razón de su e as Le su diste

367. iri da fas BÍERCICIOS Cr 29,

yee se

0) ya je coli

dias reido: Gr nds
ros in 2) én a form

368. NEE

da nier de In conic,

369. ate Bede emir Lies 34) 438 =

Cond ete focales pesporicatar tnd

370. Elevando al cuadrado y or
Coie (sa ats Me? kee

betes a
eSignal aa! el denominador LH es igual

Eee
ER e a
Ce

@ acy

a

Tr