Solucionario mates 1 batx

SOLUCIONARI
matemàtiques
Autors del llibre de l’alumne
Àngela Jané i Sanahuja
Jordi Besora i Torradeflot
Josep M. Guiteras i Piella
1
SOLUCIONARI
BARCELONA – MADRID – BOGOTÀ – BUENOS AIRES – CARACAS – GUATEMALA
MÈXIC – NOVA YORK – PANAMÀ – SAN JUAN – SANTIAGO – SÃO PAULO
AUCKLAND – HAMBURG – LONDRES – MILÀ – MONT-REAL – NOVA DELHI – PARÍS
SAN FRANCISCO – SYDNEY – SINGAPUR – SAINT LOUIS – TÒQUIO – TORONTO

Matemàtiques 1 · Batxillerat · Solucionari
No està permesa la reproducció total o parcial d’aquest llibre, ni el seu tractament infor-
màtic, ni la transmissió de cap forma o per qualsevol mitjà, ja sigui electrònic, mecànic,
per fotocòpia, per registre o d’altres mitjans. Adreceu-vos a CEDRO (Centro Español de
Derechos Reprográficos, www.cedro.org) si necesiteu fotocopiar o escanejar algun frag-
ment d’aquesta obra.
Drets reservats
©
2012, respecte a la segona edició en català per:
McGraw-Hill/Interamericana de España, S.L.
Edificio Valrealty, 1.ª planta
Basauri, 17
28023 Aravaca (Madrid)
Editors del projecte: Xavi Juez, Alícia Almonacid Editor: Teo Prat Disseny d’interiors: dfrente.es Fotografies: COVER, GETTY images, AGE FOTOSTOCK Il·lustracions: Luis Bogajo, Sergi Media i Jordi Soto
Composició: Digitalscreen

3Índex LA
Solucionari del Llibre
de l’alumne
Comencem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Activitats finals. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
BLOC 1. Nombres i trigonometria
Unitat 1. Nombres reals . . . . . . . . . . . . . 11
Activitats. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Activitats finals. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Avaluació . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Unitat 2. Polinomis . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Activitats. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Activitats finals. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Avaluació . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Unitat 3. Trigonometria . . . . . . . . . . . . . 37
Activitats. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Activitats finals. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Avaluació . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
Unitat 4. Nombres complexos . . . . . . . 48
Activitats. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Activitats finals. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Avaluació . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
BLOC 2. Geometria
Unitat 5. Vectors en el pla . . . . . . . . . . . 58
Activitats. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
Activitats finals. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
Avaluació . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
Unitat 6. Rectes en el pla . . . . . . . . . . . 69
Activitats. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
Activitats finals. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
Avaluació . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
Unitat 7. La circumferència i altres
llocs geomètrics
. . . . . . . . . . 89
Activitats. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
Activitats finals. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
Avaluació . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
BLOC 3. Funcions
Unitat 8. Funcions . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
Activitats. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
Activitats finals. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
Avaluació . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
Unitat 9. Successions . . . . . . . . . . . . . . 114
Activitats. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
Activitats finals. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
Avaluació . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
Unitat 10. Límits i continuïtat
de funcions
. . . . . . . . . . . . . . 123
Activitats. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
Activitats finals. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
Avaluació . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
Unitat 11. Funcions exponencial
i logarítmica
. . . . . . . . . . . . . . 140
Activitats. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
Activitats finals. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
Avaluació . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
Unitat 12. Funcions
trigonomètriques
. . . . . . . . . . 156
Activitats. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
Activitats finals. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
Avaluació . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
Unitat 13. Introducció a les derivades. 167
Activitats. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
Activitats finals. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
Avaluació . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

4 ÍndexLA
BLOC 4. Estadística
Unitat 14. Distribucions
bidimensionals
. . . . . . . . . . . . 177
Activitats. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
Activitats finals. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
Avaluació . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
Unitat 15. Probabilitat. . . . . . . . . . . . . . . 189
Activitats. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
Activitats finals. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
Avaluació . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
Unitat 16. Distribució de probabilitat. . . 203
Activitats. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
Activitats finals. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
Avaluació . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

5MATEMÀTIQUES 1 la
j Comencem
Activitats finals
1. Determina el valor de la lletra en cadascuna d’aquestes frac-
cions per tal que represen tin el mateix nombre racional que
4
la fracció
—:
9
r
a)
——
63
68
b)
——
s
52
c)
——
t
u
d)
———
2171
r 4 63?4
a) —— 5
—— f r 5 ——— 5 28
63 9 9
68 4 68?9
b) —— 5
—— f s 5 ——— 5 153
s 9 4
52 4 52?9
c) —— 5
—— f t 5 ——— 5 117
t 9 4
u 4 24?171
d) ——— 5
—— f u 5 ———— 5 276
2171 9 9
17 323
2. Són equivalents les fraccions
—— i ———?
13 247
Sí, perquè 17?247 5 13 ?323 5 4 199
3. Simplifica les fraccions següents:
52
a) ——
91
121
b) 2
——
77
350
c)
——
300
138
d) 2
——
174
52 52 : 13 4
a) —— 5 ———— 5
——
91 91 : 13 7
121 121 : 11 11
b) 2
—— 5 ———— 5 2——
77 77 : 11 7
350 350 : 50 7
c)
—— 5 ————— 5 ——
300 300 : 50 6
138 138 : 6 23
d) 2
—— 5 ———— 5 2——
174 174 : 6 29
4. Calcula l’expressió decimal d’aquestes fraccions i clas sifica
els nombres decimals que obtinguis en exactes, periòdics
purs o periòdics mixtos:
17
a)
——
6
27
b)
——
11
117
c)
——
50
245
d) ———
7
17
a) —— 5 2,83
(
nombre decimal periòdic mixt.
6
27
b) —— 5 20,63
(
nombre decimal periòdic pur.
11
117
c)
—— 5 2,34 nombre decimal exacte.
50
245
d)
—— 5 26,

(
428571 nombre decimal periòdic pur.
7
5. Determina la fracció generatriu dels nombres decimals se-
güents:
a) 2,63
(
b) 1,023
(
c) 20,48
d) 1,441
(
a) f 5 2,63
(
5 2,6363...
100f 5 263,63...
2f 5 22,63...
———————— 261 29
99f 5 261 f f 5
—— 5 ——
99 11
b) f 5 1,023
(
5 1,0233...
1 000f 5 1 023,3...
2100f 5 2102,3...
————————— 921 307
900
f 5 921 f f 5 —— 5 ——
900 300
48 212
c) f 5 20,48 f 100f 5 248 f f 5 2
—— 5 ——
100 25
d) f 5 1,44
(
1 5 1,441441...
1 000f 5 1 441,441...
2f 5 21,441...
—————————— 1 440 160
999f 5 1 440 f f 5
——— 5 ——
999 111

6 COMENCEMLA
6. El 63,63
(
% dels 88 alumnes de 1r de batxillerat d’un insti-
tut van aprovar totes les matèries. A quants alumnes els va
quedar alguna matèria pendent?
f 5 63,63
(
5 63,6363...
100f 5 6 363,63...
2f 5 263,63...
————————— 6 300 700
99f 5 6 300 f f 5 ——— 5 ——
99 11
700
El 63,63
(
% és el ——%
11
Van aprovar:
700
——
11 7 7?88
——— de 88 5 —— de 88 5 ——— 5 56 alumnes
100 11 11
A 88 2 56 5 32 alumnes els va quedar alguna matèria pendent.
7. Calcula el resultat de les operacions següents:
3 1 3
a)
— 1 — : —
5 2 4
1 2
b) 2 1
—?1
—2
22
3 3
4 2 1
c)
— : — 2 1
—2
3
3 3 2
0,36
(
2 0,227
(
d) ———————
17
1 2 ——
22
1 11 12
3
1
2 2 —2
2 —— : —— 2 1
6 17 17
e) —————————————————
2 3 5

— 1 — 2 ——
3 4 12
3 1 3 3 2 19
a)
— 1 — : — 5 — 1 — 5 ——
5 2 4 5 3 15
1 2 1 9 3 11
b) 2 1
—?1
—2
22
5 2 1 —?— 5 2 1 — 5 ——
3 3 3 4 4 4
4 2 1 1 15
c)
— : — 2 1
—2
3

5 2 2
— 5 ——
3 3 2 8 8
4 5

—— 2 ——
0,36
(
2 0,227
(
11 22 3 5 3
d)
———————— 5 ——————— 5
—— : —— 5 —
17 5 22 22 5
1 2
—— ——
22 22
1 11 12
3
1
2 2 —2
2 —— : —— 2 1
6 17 17
e)
————————————— 5
2 3 5
— 1 — 2 ——
3 4 12
11 11
3?
—— 2 —— 2 1
6 12 43
5
———————— 5 ——
1 12
2 7
8. Quin és el nombre que multiplicat per
— dóna —?
3 4
4 1
I el que sumat a
— dóna —?
5 2
2 7 7 2 21
—x 5 — f x 5 — : — 5 ——
3 4 4 3 8
4 1 1 4 3
— 1 y 5 — f y 5 —
2 — 5 2——
5 2 2 5 10
2
9. Es venen els
— d’una peça de roba i després, la meitat del
3
que quedava. Quina fracció de peça s’ha venut? Quina frac-
ció en queda encara per vendre?
2 1
Es venen
— de la peça f queda per vendre’n —.
3 3
1 1 1 1 1
Es ven
— del que queda f es ven — de — 5 —?— 5
2 2 3 2 3
1
5
—.
6
2 1 5
En total s’ha venut
— 1 — 5 — de la peça de roba. Encara
3 6 6
1
queda per vendre
—.
6
10. Una aixeta omple un dipòsit en 3 hores i una altra l’omple
en 4. Quina part del dipòsit omplen en una hora les dues
aixetes obertes alhora? Si el dipòsit està buit i s’obren si-
multàniament les dues aixetes, quant trigaran a omplir-lo?
1 1 7
En una hora les dues aixetes omplen
— 1 — 5 —— del dipò-
3 4 12
12
sit. Trigaran a omplir-lo
—— h, que és 1 h 42 min 51 s.
7
11. Una pastilla conté un 20 % d’aspirina, un 40 % de vitami-
na C i la resta és excipient. Si té una massa de 2,5 grams,
quants mil
.
ligrams conté de cada component?
2,5 g 5 2 500 mg
20 % de 2 500 mg 5 500 mg d’aspirina
40 % de 2 500 mg 5 1 000 mg de vitamina C
2 500 2 (500 1 1 000) 5 1 000 mg d’excipient

7MATEMÀTIQUES 1 la
4
12. Un tipus de llet produeix —— de la seva massa en nata, i la
15
7
nata els —— de la seva masa en mantega. Quina fracció de
25
la masa de la llet representa la mantega? Quants quilograms de
mantega es poden obtenir a partir de 175 kg d’aquesta llet?
7 4 28
La mantega representa
——?—— 5 —— del pes de la llet.
25 15 375
28 28?175
Els
—— de 175 kg 5 ———— 5 13,07 kg de mantega.
375 375
13. Les accions d’una empresa que cotitza a la borsa van pujar
un 2,5 % dilluns i un 4,8 % dimarts. Si quan va començar la
sessió borsària de dilluns una acció d’aquesta empresa cos-
tava 12,84 €, quin era el seu preu quan es va tancar la
sessió de dimarts? Quants diners va guanyar en aquests dos
dies un accionista que tenia títols de l’empresa per valor de
10 000 €?
En tancar la sessió de dimarts, una acció d’aquesta empresa
costava:
12,84?1,025?1,048 5 13,79 €
En aquests dos dies, els 10 000 € invertits es van transformar en:
10 000?1 025?1,048 5 10 742 €
L’accionista va guanyar:
10 742 2 10 000 5 742 €
14. Es col
.
loquen 2 500 € en una llibreta a termini que garan
teix un 4,2 % de rèdit anual durant 3 anys. Si en cap mo-
ment se’n retiren els interessos, quants diners hi haurà a la
llibreta un cop hagin transcorregut 3 anys des que es va fer
la imposició?
A la llibreta hi haurà 2 500?1,042
3
5 2 828,42 €.
15. Resol les equacions següents:
a) (2x 2 1)
2
2 (2x 1 1)
2
5 24
3 (1 2 x) x 1 3
b) 2 2
———— 5 ———
14 7
x 2 5 2x 1 3
c)
———— 5 ————
2x 1 1 4x 1 7
d)
Îã2 x 2 1 5 x 2 Îã2
4 1 2x
e) 1 2 ———— 5 0
13
a) (2x 2 1)
2
2 (2x 1 1)
2
5 24 f
f 4x
2
2 4x 1 1 2 4 x
2
2 4x 2 1 5 24 f
f 28x 5 24 f x 5 23
3 (1 2 x) x 1 3
b) 2 2 ————— 5
——— f
14 7
f 28 2 3 1 3 x 5 2x 1 6 f x 5 219
x 2 5 2x 1 3
c)
———— 5 ———— f
2x 1 1 4x 1 7
f (x 2 5) (4 x 1 7) 5 (2 x 1 1) (2x 1 3) f
f 4x
2
1 7x 2 20x 2 35 5 4 x
2
1 6x 1 2x 1 3 f
38
f 213x 2 35 5 8 x 1 3 f 2
21x 5 38 f x 5 2 ——
21
d)
Îã2x 2 1 5 x 2 Îã2 f Îã2x 2 x 5 1 2 Îã2 f
f
(Îã2 2 1)x 5 1 2 Îã2 f
1 2
Îã2 2 (Îã2 2 1)
f x 5 ———— 5 —————— 5 21

Îã2 2 1 Îã2 2 1
4 1 2x 13 2 4 2 2 x
e) 1 2
———— 5 0 f —————— 5 0 f
13 13
9
f 9 2 2x 5 0 f 2x 5 9 f x 5
—
2
16. Soluciona aquestes equacions, escrivint prèviament els seus
primers membres en forma de producte de factors:
a) x
2
2 6x 5 0
b) x (x 2 5) 2 2 (x 2 5) 5 0
c) (x 1 2)
2
2 (x 1 2) (3 x 2 1) 5 0
x 5 0
a) x
2
2 6x 5 0 f x (x 2 6) 5 0
x 2 6 5 0 f x 5 6
b) x (x 2 5) 2 2 (x 2 5) 5 0 f
x 2 5 5 0 f x 5 5
f (x 2 5) (x 2 2) 5 0
x 2 2 5 0 f x 5 2
c) (x 1 2)
2
2 (x 1 2) (3 x 2 1) 5 0 f
f (x 1 2) (x 1 2 2 3 x 1 1) 5 0 f
x 1 2 5 0 f x
1
5 22
f (x 1 2) (3 2 2 x) 5 0 f
3
3 2 2x 5 0 f x
2
5 —
2
17. Sabem que x 5 2 i y 5 23 és una de les solucions de l’equa
ció 3x 1 by 5 10. Calcula b i troba una altra solució de
l’equació.
x 5 2, y 5 23
3x 1 by 5 10 f 3?2 1 b ?(23) 5 10 f
4
f 6 2 3b 5 10 f b 5 2
—
3
10
Resposta oberta. Per exemple: x 5
——, y 5 0.
3
18. Determina tres solucions de l’equació:
2x 2 3y 1 z 5 15
Resposta oberta. Per exemple: x 5 0, y 5 0, z 5 15.

8 COMENCEMLA
19. Resol les equacions següents:
a) 5x
2
2 75 5 0
b) 7x
2
1 15x 5 0
c) 2x
2
2 x 2 1 5 0
2 (x 1 2)
d)
———— 5 x (x 2 3)
3
e) (3x 2 5)
2
5 0
f) x
3
2 5x
2
1 6x 5 0
4 x
g)
— 5 —
x 9
h) x
2
1 4x 1 5 5 0
a) 5x
2
2 75 5 0 f 5x
2
5 75 f x
2
5 15 f x 5 6 Îã15ã
b) 7x
2
1 15x 5 0 f
x
1
5 0
f x (7x 1 15) 5 0 15
7 x 1 15 5 0 f x 5 2
——
7
1 6
Îã1 ã1ã 8ã
c) 2x
2
2 x 2 1 5 0 f x 5 ——————— 5
4
1 6
Îã9 1 6 3 x
1
5 1
5
————— 5 ———— 1
4 4 x
2
5 2—
2
2 (x 1 2)
d) ————— 5 x (x 2 3) f 2x 1 4 5 3 x
2
2 9x f
3
11 6
Îã121ã 1ãã48ã
f 3x
2
2 11x 2 4 5 0 f x 5 ————————— 5
6
11 6 13 x
1
5 4
5 ————— 1
6 x
2
5 2—
3
5
e) (3x 2 5)
2
5 0 f 3x 2 5 5 0 f x 5 — (solució doble).
3
f) x
3
2 5x
2
1 6x 5 0 f
x
1
5 0
f x (x
2
2 5x 1 6) 5 0
x
2
2 5x 1 6 5 0
5 6
Îã25ã 2ãã24ã 5 6 1 x
2
5 3
x 5 ———————— 5
———
2 2 x
3
5 2
4 x
g)
— 5 — f x
2
5 36 f x 5 66
x 9
24 6
Îã16ã 2ãã20ã 24 6 Îã24ã
h) x
2
1 4x 1 5 5 0 f x 5 ———————— 5 ————— .
2 2
L’equació no té solucions reals.
20. Determina el valor o els valors de b per als quals l’equació x
2
2 bx 1 9 5 0 té:
a) Una solució doble.
b) Dues solucions reals diferents.
c) No té solucions reals.
b 6
Îãb
2
2ãã36ã
x
2
2 bx 1 9 5 0 f x 5 ———————
2
a) b
2
2 36 5 0 f b 5 66
b) b
2
2 36 . 0 f b , 26 o b . 6
c) b
2
2 36 , 0 f 26 , b , 6
21. Quantes solucions reals té l’equació x
2
1 y
2
5 0? I l’equació
x 1 y 5 0? Raona les respostes.
L’equació x
2
1 y
2
5 0 té una sola solució real: x 5 y 5 0.
En canvi, qualsevol parell de nombres reals oposats, x 5 2y, és
una solució de l’equació x 1 y 5 0.
22. Resol aquestes equacions:
a) x
4
2 13x
2
1 36 5 0
b) (3x 1 1) (x
4
2 16) 5 0
c) 6x
4
1 7x
2
1 2 5 0
d) (x
2
2 4)
2
5 1
x
2
5 t
a) x
4
2 13x
2
1 36 5 0 f t
2
2
13t 1 36 5 0
13 6
Îã169ãã2ããã144ã 13 6 5 t
1
5 9
t 5 —————————— 5
————
2 2 t
2
5 4
x 5 6
Îãt f x 5 63; x 5 62
b) (3x 1 1) (x
4
2 16) 5 0
1
3 x 1 1 5 0 f x 5 2
—
3
x
4
2 16 5 0 f x
4
5 16 f x 5 6
4Îã16ã 5 62

x
2
5 t
c) 6x
4
1 7x
2
1 2 5 0 f 6t
2
1 7t 1 2 5 0
1
t
1
5 2—
27 6 Îã49ã2ãã48ã 27 6 1 2
t 5
———————— 5 ————
12 12 2
t
2
5 2—
3
x 5 6
Îãt f l’equació no té solucions reals.
d) (x
2
2 4)
2
5 1 f x
2
2 4 5 61 f
x
2
2 4 5 1 f x
2
5 5 f x 5 6 Îã5
f
x
2
2 4 5 21 f x
2
5 3 f x 5 6 Îã3
23. Troba la solució d’aquestes equacions:
a) x 2
Îããããã25 2 x
2
5 1
b)
Îããããã36 1 x5 2 1 Îãx
c)
Îããããã2x 2 1 1 2 5 x
d)
Îããããã2x 2 4 2 Îãããããã3x 2 12 5 Îãããããã5x 2 16

9MATEMÀTIQUES 1 la
a) x 2 Îã25ã2ããx
2ã 5 1 f x 2 1 5 Îã25ã2ããx
2ã f
f (x 2 1)
2
5 25 2 x
2
f x
2
2 2x 1 1 5
5 25 2 x
2
f 2x
2
2 2x 2 24 5 0 f x
2
2 x 2 12 5 0 f
1 6
Îã1 1ãã48ã 1 6 7 x
1
5 4
f x 5
———————— 5 ————
2 2 x
2
5 23
La solució de l’equació és x 5 4 (x 5 23 és solució fictícia).
b)
Îã36ãã1 xã 5 2 1 Îãx f 36 1 x 5 (2 1 Îãx)
2
f
f 36 1 x 5 4 1 4
Îãx 1 x f
f 32 5 4
Îãx f 8 5 Îãx f x 5 64
c)
Îã2xãã2 1ã 1 2 5 x f Îã2xãã2 1ã 5 x 2 2 f
f 2x 2 1 5 (x 2 2)
2
f 2x 2 1 5
5 x
2
2 4x 1 4 f x
2
2 6x 1 5 5 0
6 6
Îã36ãã2 ã20ã 6 6 4 x
1
5 5
x 5
———————— 5 ————
2 2 x
2
5 1
La solució és x 5 5.
d)
Îã2xãã2 4ã 2 Îã3xã2ãã12ã 5 Îã5xã2ãã16ã f
f
(
Îã2xãã2 4ã 2 Îã3xã2ãã12ã)
2
5 5x 2 16 f
f 2x 2 4 2 2
Îã(2xãã2ãã4) (ããã3x 2ãã12)ã 1 3x 2 12 5
5 5x 2 16 f 22
Îã(2xãã2ãã4) (ããã3x 2ãã12)ã 5 0 f
f (2x 2 4) (3x 2 12) 5 0 f
2 x 2 4 5 0 f x 5 2
f
3 x 2 12 5 0 f x 5 4
La solució és x 5 4.
2 x 1 7y 5 23
24. El sistema és compatible determinat.
4 x 1 ky 5 26
i
y
t
Quins valors pot tenir k?
2 7
Si és compatible determinat,
— Þ —. Per tant, k Þ 14.
4 k
25. Troba la solució dels sistemes següents:
x 1 y 5 8
a)
xy 5 15
i
y
t
x y 5 6
b)
x 1 y 5 3
Îã3
i
y
t
2 x 2 y 5 6
c) y 1 1
x 2
——— 5 1
i
e
y
u
t
4
x 1 y 5 8
a)
xy 5 15
i
y
t
y 5 8 2 x
x?(8 2 x) 5 15 f 8x 2 x
2
5 15 f x
2
2 8x 1 15 5 0
ã
√8 6ãÎãã64 2ãã60ã 8 6 2 x
1
5 5
x 5
————————— 5 ———
2 2 x
2
5 3
Si x 5 5 f y 5 3, i si x 5 3 f y 5 5
x 5 5, y 5 3; x 5 3, y 5 5
x y 5 6
b)
x 1 y 5 3
Îã3
i
y
t
y 5 3 Îã3 2 x
x (3
Îã3 2 x) 5 6 f 3 Îã3x 2 x
2
5 6 f
f x
2
2 3 Îã3x 1 6 5 0
3
Îã3 6 Îã27ã2ãã24ã 3 Îã3 6 Îã3 2 Îã3
x 5
————————— 5 ——————
2 2 Îã3
Si x 5 2
Îã3 f y 5 Îã3; si x 5 Îã3 f y 5 2 Îã3
x 5 2
Îã3, y 5 Îã3; x 5 Îã3, y 5 2 Îã3
2x 2 y 5 6
c) y 1 1
x 2
——— 5 1
i
e
y
u
t
4
2x 2 y 5 6 f 2y 5 6 2 2 x f y 5 2x 2 6
y 1 1
x 2
——— 5 1 f 4x 2 y 2 1 5 4 f 4x 2 y 5 5
4
4x 2 (2x 2 6) 5 5 f 4x 2 2x 1 6 5 5 f 2x 5 21 f
1 1
f
x 5 2 — f y 5 2 1
2—2
2 6 5 27
2 2
26. Quants nombres de quatre xifres diferents es poden escriure
amb les 9 xifres significatives?
V
9, 4
5 9?8?7?6 5 3 024
27. Resol l’equació:
V
x, 3
2 VR
x, 3
1 65 5 0
Recorda que x només pot ser un nombre natural.
V
x, 3
2 VR
x, 3
1 65 5 0 f x (x 2 1) (x 2 2) 2 x
3
1 65 5 0
x
1
5 5
23x
2
1 2x 1 65 5 0 f x 5 13
x
2
5 2 ——
3
Només és solució de l’equació proposada x 5 5.
28. Per fer l’alineació d’un equip de futbol necessitem 11 juga-
dors i en tenim 22. Quantes alineacions es poden fer si cada
jugador pot ocupar qualsevol posició? I si dos d’ells només
poden jugar de porters i sis només poden fer de defenses?
C
22, 11
5 705 432 alineacions diferents.
Si 8 estan fixats, en queden 14 dels quals cal triar-ne 5:
C
14, 5
5 2 002

10 COMENCEMLA
29. En una cursa participen 8 corredors. De quantes maneres
diferents poden creuar la línia d’arribada tenint en compte
que no n’arriben dos al mateix temps? I en cas que dos arri-
bin al mateix temps?
P
8
5 8! 5 40 320 maneres diferents de creuar la línea d’arri
bada.
Si dos arriben al mateix temps serà:
P
7
5 7! 5 5 040
30. Forma totes les paraules possibles, tinguin o no sentit, amb
les lletres de la paraula PERA. Quantes n’hi ha?
Hi ha: P
4
5 4! 5 24 paraules possibles. Són:
AEPR, AERP, APER, APRE, AREP, ARPE, EAPR, EARP, EPAR, EPRA,
ERAP, ERPA, PAER, PARE, PEAR, PERA, PRAE, PREA, RAEP, RAPE,
REAP, REPA, RPAE, RPEA.
31. Escriu totes les ordenacions possibles de les lletres de la
paraula PASSADA. Quantes n’hi ha?
7!
Hi ha: P
7
2, 3, 1, 1
5 ——— 5 420 ordenacions possibles.
2! 3!
32. 20 persones van a una festa i totes es donen la mà per sa-
ludar-se. Quantes encai xades de mà s’han fet?
Cada encaixada és la tria de 2 persones d’entre 20.
C
20, 2
5 190 encaixades.
33. D’una baralla de 40 cartes se’n reparteixen 3 a cada jugador.
Quants jocs dife rents pot rebre un qualsevol dels jugadors?
Tria de 3 cartes de 40:
40 ?39?38
C
40, 3
5 —————— 5 9 880 jocs diferents
3 ?2

11MATEMÀTiQUES 1 LA
j Unitat 1. Nombres reals
Activitats
1. En un problema de física es demana el temps que triga una
pilota a assolir una certa altura. Un estudiant, que ha resolt
el problema correctament, arriba a la solució t 
3 s. La
resposta que dóna és t  1,732050808 s. Et sembla que és
correcta aquesta resposta?
No té cap sentit expressar el resultat amb tantes xifres decimals,
ja que no hi ha cap aparell de mesura de temps que pugui apre-
ciar fins a la milmilionèsima de segon.
2. Si a  5,325 i b  2,434
a) Calcula a  b i ab
b) Indica en cada cas les xifres decimals cor rectes.
a  5,325 b  2,434
5,3245  a  5,3255
2,4335  b  2,4345
7,7580  a  b  7,7600 → a  b  7,76
Si en lloc de sumar multipliquem ordenadament, s’obté:
12,95717075  a b  12,96492975
Per tant, a b  12,96.
3. Calcula la longitud dels segments indicats a continuació.
Expressa’n el resultat de manera exacta i utilitza la calcula-
dora per obtenir-ne una aproximació arrodonida a les centè-
simes:
a) La diagonal d d’un rectangle de costats 3 i 5 cm.
Diagonal: d
35 925
34 583
22
+=
+=
= cm cm�,
b) El diàmetre D d’una circumferència la longitud de la qual
és 10 cm.
Diàmetre: D
L 10
D 
—  —— cm  3,18 cm
 
c) L’altura h d’un triangle equilàter de 4 cm de costat.
Altura: h
42 12
23 346
22
−= =
=
cm
cm cm�,
d) L’altura h' d’un con que mesura 6 cm de radi i 9 cm de
generatriu.
Altura: h'
hc m
cm cm
'
,
=− ==
=
96 45
35 671
22
�
4. El costat més petit d’un rectangle auri mesura 2 cm. Quant
mesura l’altre costat? Expressa’n el resultat de manera exacta
i amb una aproximació arrodonida a les dècimes.
Mesura 2, és a dir,
1 
5
2 
  1 
5 cm  3,2 cm
2
5. Sabent que PQ  PS  1 dm, demostra que el segment QR
1  5
mesura  dm (fig. 1.5).
2
1
1
2
5
4
5
4
5
2
1
2
51
2
2
2
+





==
=+ == =
+
dm
dmQR
QR =
QOOR
6. Classifica els nombres següents en racionals i irracionals:
a) 2,045
(
Racional.
b) 3,88080080008...
Irracional.
c) 1,9
(
Racional.
113
d)
——
114
Racional.
e) 4,3131131113...
Irracional.

(

f) 0,58421
Racional.
7. Indica quins d’aquests nombres són irracionals:
a)
25
Racional.
b) 1  
Irracional.

12 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
c) 5  3
Irracional.
d) 5e
Irracional.
e) 3  249
Racional. f) 7
5
Irracional.
g) 16+9
Racional.
h) 25+36
Irracional.
i) 2(16+9)
Irracional.
1,2
(
 0,25
8. Per què el nombre
 no pot ser irracional?
0,16
No pot ser irracional perquè és el resultat de sumar i dividir
nombres que són racionals.
9. Calcula l’àrea d’un cercle de 4 cm de radi prenent els se-
güents valors de :
a) L’aproximació per defecte 3,1415.
A  r
2
 3,14154
2
 50,264 cm
2
b) L’aproximació per excés 3,1416.
A  r
2
 3,14164
2
 50,2656 cm
2
En quin dels dos casos has obtingut una millor aproximació
a la mesura real de la superfície d’aquest cercle? Per què?
La segona aproximació és més bona que la primera, ja que
l’aproximació per excès del nombre  és millor que l’aproximació
per defecte.
10. Expressa de manera exacta:
a) La longitud d’una circumferència de 6 cm de diàmetre.
L  6 cm
b) L’àrea lateral d’un cilindre de 2 cm de radi i 5 cm de ge-
neratriu.
A
lat
 2rg  20 cm
2
c) El volum d’un con de 5 cm de radi i 13 cm de generatriu
L’altura del con mesura:
hg r
V
rh
=− =− =
== =
22 22
22
3
13512
3
512
3
100
cm
cm
 ··

3 3
11. S’ha aconseguit determinar que el radi d’una circumfe-
4
rència mesura —— cm. Se’n pot conèixer amb exactitud la

longitud? I l’àrea del cercle que limita? Justi fica la resposta
fent els càlculs corresponents.
La longitud de la circumferència es pot conèixer amb exactitud,
perquè:
4
L  2r  2 
—  8 cm

En canvi, només podem saber un valor aproximat de l’àrea del
cercle corresponent, ja que
4 16
A  r
2
   
—
2
 —— cm
2
 
16
i
—— és un nombre irracional.

16
A 
—— cm
2
 5,09 cm
2

12. Quant mesura la diagonal D d’un cub de 2 cm d’aresta?
Expressa’n el resultat de manera exacta i aproxima’l a les
centèsimes.
Diagonal: D
D=+ +=222 12 316
222
cm cm�,
13. La longitud d’una circumferència mesura 10 cm.
a) Expressa’n el resultat aproximat a les centèsimes.
L  31,42 cm
b) Quant mesura el radi d’aquesta circumferència?
L
r  ——  5 cm
2
c) Calcula l’àrea del cercle que limita i ex pressa-la de manera
exacta.
A  r
2
 25 cm
2
1 2
14. Troba cinc nombres racionals compresos entre
— i —, i
ordena’ls del més petit al més gran.
2 3
Resposta oberta. Per exemple:
0,51  0,54  0,6  0,63  0,65

13MATEMÀTiQUES 1 LA
15. Entre quins nombres enters consecutius es troba cadascun
d’aquests nombres irracionals?
a) 21
4 i 5
b) 54
8 i 7
c) 3  2
1 i 2
d) 1  2
7 i 8
e) 3
√

2
4 i 5
1
5
f) —  ——
2 2
1 i 2
g) 226
15 i 16
h) 123
12 i 11
i) 3e
8 i 9
16. Representa a la recta numèrica els nombres irracionals se- güents:
a)
17

b) 13
c) 29

d) 8
e) 1  2

f) 3  6
g) 22

h) 3
6
i) 20 j) ——
2
k) 18

l) 173+
17. Compara aquests parells de nombres reals:
7
a)
— i
2
5
7
— 
2
5
b) 1  3 i 0,73
1  3  0,73
c)  i 10
  10
d) 1,9 i 2
1,9  2
e) 6 i √

7
6  
√

7
f) 4,9 i 5
4,9  5

10 10
g) ——— i ———
8 9
10

10
——  ——
8 9
h) 1,39
(
; i  1,4
1,39
(
;  1,4
18. Ordena del més petit al més gran els nombres reals següents
i col
.
loca el signe de desigualtat que correspongui:
5
2,4
(
5; 2,99; 2,9
(
; √

2; 1,42; 0; —
2
5
1,42  
√

2  0  2,
(
45  —  2,99  2,9
(
2
19. Escriu dos nombres racionals compresos entre:
Resposta oberta. Per exemple:
a)
5 i 6
2,41 i 2,42
b) 2 i  3
1,5 i  1,6
c) 4 i 17
4,05 i 4,1
d) e i 
2,9 i 3
20. Expressa de manera exacta:
a) L’àrea d’un triangle equilàter de 4 cm de costat.
c
2
16
A 
——
3  —— 3  4 3 cm
2
4 4
c
6543210123456
i k l jhe ba f
g
d

14 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
b) La longitud de la diagonal d’un rectangle els costats del
qual mesuren 4 i 6 cm.
a
2
+= +=
==
b
cm cm
2
1636
52 213−
c) El volum d’un cilindre de 2 cm de radi i 3 cm d’altura.
V  r
2
h  12 cm
3
d) L’àrea d’un hexàgon regular inscrit en una circumferència de 8 cm de dià metre.
d
Costat de l’hexàgon: c 
—  4 cm
2
32c
2
34
2
A  ——
3  ——— 3  24 3 cm
2
2 2
21. Aproxima per defecte i per excés fins a les mil
.
lèsimes ca-
dascun dels nombres irracionals següents:
a) 3 b) e c) p
Resposta oberta. Per exemple, prenent 4 xifres decimals per a
cada nombre:
22. Extreu factor comú de:
a) 32  52
(3  5) 2
b) 7  3  
(7  3  1)
c) 4a 5a  2a
(4  5  2) a
d) a a  5 b  a c
5 (a  b  c)
23. Les operacions amb nombres irracionals que s’indiquen
a continuació donen com a resultat un nombre racional.
Calcula’l en cada cas.
a) (10)
2
(10)
2
 10
b) (15  23)(15  2 3)
(15  23)(15  23)  225  12  213
c) (37)
2
(37)
2
 97  63
d) (7  2) : 3
5
(7  2) : 3  5 : 3 
—
3
2
e) (
6)
2
 —
3
2 2 16
(6)
2
 —  6  —  ——
3 3 3
f)
(7 2)(72)11−+ −
(72)(72)11−+ −
49−2113 66−= =
24. Si x, y, z i t representen quatre nombres reals, escriu cadascu-
na d’aquestes expressions com un producte de dos factors:
a) x
2
y  xy
2
x
2
y  xy
2
 xy(x  y)
b) x(y  z)  t(y  z)
x(y  z)  t(y  z)  (y  z)(x  t)
c) z
3
 z
2
 z
z
3
 z
2
 z  z(z
2
 z  1)
d) x
2
 2xy  y
2
 t(x  y)
x
2
 2xy  y
2
 t(x  y) 
 (x  y)
2
 t(x  y)  (x  y)(x  y  t)
e) z(x  t)  x
2
 2xt  t
2
z(x  t)  x
2
 2xt  t
2

 z(x  t)  (x  t)
2
 (x  t)(z  x  t)
25. Calcula sense utilitzar la calculadora:
a)
3
1000
10
b)
4
1296
6
Per defectePer excés3 1,732 1,733
e 2,718 2,719
 3,141 3,142

15MATEMÀTiQUES 1 LA
c)
25
81
5

—
9
d)
5
√1
1
e)
3
√0,001
0,1
f)
1
32
5
1
—
2
26. Tot i que a primer cop d’ull no ho sembli, els resultats de les
arrels següents són tots racionals. Calcula’ls.
a)
8
18

8
18
 
4
9
2
3

b)
2
163
2
16
 
1
8
1
2
c)
50
98
50
98
 
25
49
5
7
d)
3
813
3
81
1
27
33
1
3

27. Expressa en forma de potència:
a)
3
7
7

1
—
3

b)
4
a
3
a

3
—
4

c)
10
10

1
—
2

d)
5
(a2)
2

(a  2)

2
—
5

e)
6
56
6

5
—
6

f)
1
5
1

—

1
—
2
5
28. Expressa en forma d’arrel:
a) 25

1
—
3

3
√25
b) 12

1
—
4

4
√12
c) a

3
—
5

5
√a
3
1
d)

—
2
——
3
2 3
√2
2
e) b

2
—
7

7
√b
2
29. Les potències d’exponent fraccionari verifiquen totes i ca-
dascuna de les propietats de les potències d’exponent enter.
Aplica aquestes propietats per expressar en funció d’una
sola potència:
a) 2

1
—
2

 2

1
—
3
2

1
—
2

 2

1
—
3
 2

1
—
2



1
—
3
 2

5
—
6

b) 3

2
—
3

: 3

1
—
4
3

2
—
3

: 3

1
—
4
 3

2
—
3



1
—
4
 3
5
—
12

c)

5
1
—
3

2

5
1
—
3

2
 5
1
—
3
 2

 5
2
—
3

2 
3
√4
d)
———

5
√8
2  4
3
2  2
23

2  2
2
—
3

—––——  —––——  —––—— 
8
5
2
35
2
3
—
5
 2
1
2
—
3

3
—
5
 2
16
—
15

16 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
30. Utilitza la calculadora i aproxima fins a les centèsimes
aquests nombres irracionals:
a) 10
3
2,15
b) 2,76
5
1,23
c) 
1
—
4
1,33
d)
50
3
3,68
e) 6
56
4,45
f)
1
5
0,45
31. Per simplificar una arrel del tipus
n
√

a
m
, cal aconseguir que m
i n siguin nombres primers entre ells. Simplifica:
a)
a
1012
a
56
b) a
123
a
4
c)
3
1015
3
23
d)
64
4
22
64 3

32. Esbrina quina de les igualtats següents és incorrecta:
a) ()ab ab√ √
2
b) a
33 3
ba b
c) aa bb ab
2
√ →√2
2
La de l’apartat b), ja que (a  b)
3
 a
3
 b
3
.
33. Expressa en forma d’una sola arrel:
a) 35
33
⋅
35 15
3 2
⋅
b) 2
1
—
2


5
2
 5 
10
c)
12
4
3
3
12
4
3
3
3
d)
36
15
1
2
1
2
⋅
36
15
18
15
18
15
6
5
⋅

e)

()2
37 4
22
347 127⋅
=
f)
33 2
1
63 6
⋅⋅
33 23 54
6 26 6 26 6
⋅⋅=⋅
g) ()ab ab+⋅ −
1
2
() ()ab ab ab+− =−
22
h) 25
45 20⋅
i)

13
13
4
j) aa
32
aa
53 55
=
34. Expressa de la manera més senzilla possible:
a) 10210
1
2
10 −
12
1
2
10
5
2
10+−





=
b) 31227573−+
6310373
6107 333
−+ =
=− +
() =
c)
52
4 3
⋅
52 52 2000
312 43 41212 12
⋅= ⋅=
d)
75
10
3
12
⋅
⋅⋅75
10
=
75
10
612 412
12
64
12

17MATEMÀTiQUES 1 LA
35. Racionalitza les expressions fraccionàries següents:
a)
1
5
1
5
5
5
5
5
⋅
b)
1
2+3
1
23
23
23
23
43
23
+
⋅
− −
−
−
−

c)
12
2
12
2
2
2
12
2
262⋅
d)
22
4–5

22
45
45
45
2245
165
2245
11
245
−
⋅
+
+
=
+
−
=
=
+
=+
(
()
()
36. Efectua les operacions indicades racionalitzant prèviament
cada expressió fraccio nària:
1 2
a) ————  ————
5  3 5  3
1 5  3 5  3
————  ————  ———— ;
5  3 5  3 22
2 5  3 2(5  3
————  ————  ————— 
5  3 5  3 22
5  3
 ————
11
1 2
————  ———— 
5 
3 5  3
5  3 5 3 15  3
 ————  ————  ————
22 11 22
7 6
b) ————  ————
4  2 4  2
7 4  2 7(4  2)
————  ————  —————— 
4  2 4  2 14
4  2
 ————
2
6 4  2 6(4  2
————  ————  ————— 
4  2 4  2 14
3(4  2) 12  3 2
 —————  ——————
7 7
7 6
—————  ————— 
4 
2 4  2
4  2 12  3 2 4  13 2
 ————  ——————  ——————
2 7 14
37. Representa a la recta real els conjunts de nombres següents.
Després, defineix-los mitjançant desigualtats:
a) [4, )
0 4
4  x
b) (, 2)
02
x  2
c) [1, 3]
013
1  x  3
d) (2, 5)
02 5
2  x  5
e) [3, 0)
03
3  x  0
f) (0, 3]
0 3
0  x  3

18 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
40. Escriu en notació científica:
a) 0,00345 · 10
8
b) 126,78 · 10
-5
c)
13
5789680
d) 756423987
e) 0,00000002854
a) 0,00345 · 10
8
5 3,45 · 10
5
b) 126,78 · 10
-5
 1,26678 · 10
-3
c)
13
5789680
5 2,2245374528 · 10
-6
d) 756423987 5 7,56423987 · 10
8
e) 0,00000002854 5 2,854 · 10
-8
41. Efectua aquestes operacions amb l’ajut de la calculadora.
Expressa’n els resultats utilitzant la notació científica:
a) 2,510
4
 10
5
 6,2510
3
5

1,187510
5
b) (10
6
: 410
3
) : 510
7
5

5
1,2510
12
 10
12
c) ————————

5 1,6
(
 10
10
10
 510
9
d) (10
4
 10
7
)
2
5

9,9810
13
42. Una estrella es troba a 4 anys llum de la Terra. Quina es la
distància en quilòmetres que la separa del nostre planeta?
Un any llum és la distància que recorre la llum en un any a la
velocitat de 300 000 km/s.
365 dies 24 h 3 600 s
1 any 
————  ———  ————  3 1536 000 s
1 any 1 dia 1 h
300 000 km
1 any llum  3 153 6000 s 
——————  9,460810
12
km
1 s
4 anys llum  4  9,460810
12
 3,7843210
13
km
43. Sabent que un mol d’àtoms de ferro conté 6,0210
23
àtoms
d’aquest metall i que té una massa de 55,8 g, esbrina:
a) La massa en grams d’un àtom de ferro.
1 mol àtoms Fe 55,8 g Fe
1 àtom Fe  —————————  ———————— 
6,0210
23
átoms Fe 1 mol àtoms Fe
 9,2710
23
g Fe
b) El nombre d’àtoms continguts en 1 g de ferro.
1 mol àtoms Fe 6,0210
23
àtoms Fe
1 g Fe  ———————— 
————————— 
55,8 g Fe 1 mol àtoms Fe
 1,0810
22
àtoms Fe
44. Expressa en notació científica la longitud en metres del radi
de la Terra, sabent que un quadrant d’un meridià terrestre
mesura 10
4
km.
r 5
L
2

5
4· 10
4
km
5 789 680
5
40 000 km
6,283184
5 6 366,2 km 5
5 6,3662 · 10
3
km 5 6,3662 · 10
6
m
g) (5, )
0 5
5  x
h) [2, 2)
022
2  x  2
i) (, 0)
0
x  0
j) (3,4]
3 0 4
3  x  4
k) (4,2)
4 0 2
4  x  2
3
l) [1, — )
2
3
1  x  —
2
1 0 1 2
38. Expressa utilitzant la nova notació els conjunts de nombres
reals que verifiquen:
a) x  3
[3, )
b) x  4
(, 4)
c) 2  x  3
[2, 3]
d) 5  x  1
(5, 1)
e) 4  x  6
(4, 6]
f) x  7
(7, )
39. Les inequacions 1  3x  5 i 3x  5  2 tenen solucions
comunes. Troba-les, representa-les gràficament i expressa-
les de dues maneres diferents.
1  3x  5 → 6  3x → x  2
3x  5  2 → 3x  3 → x  1
02 1
 2  x  1, o també, x  [2, 1).

19MATEMÀTiQUES 1 LA
Activitats finals
1. Demostra, sense utilitzar la calculadora, que el número
1764 és racional. Realitza prèviament la descomposició
en factors primers de 1764.
1764  2
2
 3
2
 7
2
1764237 237 42
222
=⋅ ⋅=⋅⋅=
2. Calcula el costat, el perímetre i l’àrea d’un quadrat inscrit en
una circumferència de 2 cm de radi. Quina de les tres mesu-
res s’expressa mitjançant un nombre racional? Expressa les
altres dues de manera exacta i amb una aproximació fins a
les centèsimes.
El diàmetre de la circumferència coincideix amb la diagonal del
quadrat i mesura 4 cm.
Si representen per c el costat del quadrat, es verifica:
c
2
 c
2
 4
2
→ 2c
2
 16 → c
2
 8 →
→ c  2
2 cm  2,83 cm
El perímetre p del quadrat mesura:
p  4c  4  2 2  82 cm  11,31 cm
i l’àrea A del quadrat és:
A  c
2
 8 cm
2
L’única mesura que s’expressa mitjançant un nombre racional és la superficie del quadrat.
3. Dibuixa un quadrat de 2 cm de costat. Determina els punts
mitjans dels seus costats i uneix-los successivament. Quina
figura n’obtens? Per què? Calcula’n l’àrea i el perímetre.
S’obtè un altre quadrat: els seus costats són iguals i els quatre angles són rectes.
Àrea: A  (
2)
2
 2 cm
2
Perímetre: P  4 2 cm
4. Considera un nombre positiu, eleva’l al quadrat, multiplica’l per 2 i, finalment, extreu-ne l’arrel quadrada. Demostra que
el quocient de la divisió entre l’últim nombre i el primer és
igual a
√2
.
x → x
2
→ 2x
2
→ x 
2 → 2
L’últim pas és possible perquè x  0.
5. Quina condició han de verificar els coeficients a, b i c de
l’equació de segon grau ax
2
 bx  c  0, per tal que les
seves solucions siguin nombres reals?
Les solucions de l’equació ax
2
 bx  c  0 són de la forma:
b 
√b
2
 4ac
x  ————————
2a
Per tant, perquè aquestes solucions siguin nombres reals s’ha de
verificar que:
b
2
 4ac  0
6. El perímetre d’un rectangle mesura 16 cm i una de les seves
diagonals, 2
√10

cm. Calcula’n l’àrea.
Anomenem x i y les dimensions del rectangle expressades en
centímetres. Es verifica:
2x  2y  16 x  y  8
x
2
 y
2
 (2
√10)
2
x
2
 y
2
 40 
x  8  y
(8  y)
2
 y
2
 40 →
→ 64  16y  y
2
 y
2
 40 →
→ 2y
2
 16y  24  0 → y
2
 8y  12  0
8 
√64  48 8  4

y1
 6
y  ———————  ———
2 2

y
2
 2
Si y  6 → x  2, i si y  2, x  6.
En qualsevol cas, l’àrea del rectangle és
A  12 cm
2
7. Troba quatre nombres racionals compresos entre 2  √
5i
2 
√
6.
Resposta oberta. Per exemple: 4,25; 4,3; 4,42; 4,4.
8. Representa a la recta numèrica els nombres reals següents:
3
a)
— b) 1,16
(
4
c)
√

34 d) 
√
8
Representació aproximada:
d ab c
876543210123
9. Calcula:
a) (3
√
5)
2
(3√5)
2
 95  45

20 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
b) ( √

10)
4
(√

10)
4
 10
2
 100
c) (
√5
 √3)(√5  √3)
(
√5
 √3)(√5  √3)  5  3  2
d) (
√7
)
2
 (√2)
2
(√7)
2
 (√2)
2
 7  2  5
10. Calcula:
a) (1 
√2
)
2
(1  √2)
2
 1  2 √2  2  3  2 √2
b) (3  √3)
2
(3  √3)
2
 9  6 √3  3  12  6 √3
c) (2 √5  1)
2
(2√5  1)
2
 20  4 √5  1  21  4 √5
d) (4 √2  2√3)
2
(4√2  2√3)
2
 32  16 √6  12 
 44  16
√6
11. En quins casos el resultat d’una potència de base 3 és més
petit que 3? Justifica la resposta amb exemples.
Sempre que l’exponent és més petit que 1.
1
Per exemple: 3
1
—
2
 1,73; 3
0
 1; 3
1
 —.
3
12. Expressa com una sola potència:
a)
√2


3
√2
√2 
3
√2  2
1
—
2
 2
1
—
3
 2
5
—
6
b)
3
√5:
4
√5
3
√5:
4
√5  5
1
—
3
: 5
1
—
4
 5
1
—
12
c)
7
√a
2
7
√a
2  a
2
—
7
d) (
4
√b
3 )
2
(
4
√b
3 )
2

4
√b
6
 √b
3
 b
3
—
2
13. L’arrel quadrada de l’arrel cúbica d’un nombre positiu x té dos
possibles resultats. Per què? Si un d’aquests és 2, quin és
l’altre? Calcula x .
Perquè es tracta d’una arrel d’índex parell (índex 6)
√

3
√x 
6
√x
L’altre resultat és  2, l’oposat de 2.
6
√x

 2 → x  (2)
6
 64
14. Calcula:
a) √
200
———
450
10 2
√
200
———
450

√
200
———
225
 
——  ——
15 3

b)
√

3
—
27

1

√

3
—
27
 √

1
—
9
 
—
3
c)
√

242
—
338
11

√

242
—
338
√

121
—
169
 
——
13
15. Escriu com una única arrel:
a) 10
2
—
3
 10
–1
—
2
10
2
—
3
 10
–1
—
2
 10
1
—
6

6
√10
b) 7
3
—
4
: 7
0,5
7
3
—
4 : 7
0,5
 7
3
—
4 : 7
1
—
2
 7
1
—
4

4
√7
c) 
2
2
—
3

3
—
5

2
2
—
3

3
—
5
 2
2
—
5

5
√2
2

5
√4
d) 2
1
—
3
 3
1
—
3
2
1
—
3
 3
1
—
3

3
√2 
3
√3 
3
√6
16. Quines de les desigualtats següents no són certes? Per què?
a)
√9

 25

 3  5
b)
√7

 6

 √7
 √6

21MATEMÀTiQUES 1 LA
c) √a
2
 b
2
 a  b

√45
d) √5  ——
3
a) Perquè 34  8
2
c) Perquè a
2
 b
2
 (a  b)
2
17. Expressa de la manera més senzilla possible el resultat de
les operacions següents:
a)
√
7  √

28 
√

63
√7


√28
 √63  √7 2√7 3√7 
 (1  2  3) 
√3
 0
b)
√

121
√

169 
√

225
√

121
√

169
√

225  11  13  15  9
c)
√
a 
3
√

a
2
√a

3
√a
2
 a
1
—
2
 a
2
—
3
 a
7
—
6

6
√a
7
 a
6
√a
d)
4
√b
3: √
b
4
√b
3: √b  b
3
—
4
: b
1
—
2
 b
1
—
4

4
√b
18. Justifica aquestes igualtats:
a) 2
√12
2√3 √2
2
 3


√12
b) 5 √2 √50
5
√2
 √5
2
 2 √50
1
c)
—— √3

√

3
—
4

2
1
—
√3

√
1

—
2
2
 3 

√
1
—
4
 3 
√
3
—
4 2
d) a
2

n
√a
n
√a
2n  1
a
2

n
√a
n
√a
2n
 a 
n
√a
2n  1

19. Racionalitza:
20
a)
——
√10
20 √10 20 √10
——  ——  ———  2√10
√10 √10 10
1
b)
————
√7
 √5
1 √7
 √5
————  ———— 
√7

 √5 √7

 √5
√7  √5 √7  √5

————  ————
7  5 2
6 
√6
c)
———
6  √6
6  √6 6  √6 36  12 √6 6
————  ————  — —————— 
6 
√6
6  √6 36  6
42  12
√6
7  2 √6
 —————  ————
30 5
20. Les solucions d’una inequació es troben a l’interval [ 5,2],
i les d’una altra inequació, a l’interval [0, 4). Expressa mi-
tjançant un interval les solucions comunes a totes dues in-
equacions. Ajuda’t d’un gràfic.
4205
Les solucions comunes són les que es troben a l’interval: [0, 2].
Avaluació
1. Digues, de manera raonada, si les afirmacions següents són certes o falses:
a)
3
√2343 és un nombre irracional.
Fals, perquè
3
√2343  2 7.
2 1 p
b) El nombre real
——— està comprès entre els nombres
5
naturals 1 i 2.

2 1 p
Cert, ja que
———  1,03.
5
c) 24 és un nombre racional.
Cert, concretament es tracta d’un nombre enter.
d) El resultat de
√
12 1 3 √3 2 √75 és 0.
Cert.
√
12 1 3√3 2 √75 5 2√3 1 3√3 2 5√3 5
5 (2 1 3 2 5)
√
3 5 0

22 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
2. Expressa de manera exacta:
a) El volum d’un cub de 3 cm de diagonal.
Si d representa la diagonal d’un cub i a la seva aresta, es
verifica:
d
2
d
√3 3 √3
d
2
5 3a
2
→ a
2
5 — → a 5 —— → a 5 —— 5
√3 cm
3 3 3
V 5 a
3
5 (
√3)
3
5 3√3 cm
3
b) L’àrea lateral d’un con de 5 cm de radi de la base i 12 cm
d’altura.
La generatiu del con mesura g 5
√
5
2
1 12
2
5 13 cm, i
l’àrea lateral: A
lat
5 prg 5 65 p cm
2
c) El radi d’una esfera de 27 cm
3
de volum.
4
Volum d’una esfera de radi r : V 5
— pr
3
→ r 5
3
√

3V
———
4p
3
r 5
3

√
3 · 27
—————
4p
5 3
3

√
3
———
4p
cm
d) La hipotenusa d’un triangle rectangle, un dels catets del
qual mesura el doble que l’altre.
Si representem per c la mesura del catet més petit, l’altre ca-
tet mesurarà 2c. La mesura de la hipotenusa d’aquest triangle
rectangle s’expresarà:
h 5
√
c
2
1 (2c)
2
5 √ 5c
2
5 c√5
3. a) Expressa en forma d’una sola arrel:
√
x
7
√a ·
7
√b
2
; ——; (p
4
√p
3
)
5
;
3
√2 ·
4
√3

3
√
y
2
7
√
a ·
7
√b
2
5
7
√ ab
2
√x
6
√ x
3

—— 5 —— 5
6
√

x
3
——
y
4

3
√
y
2

6
√ y
4

(p
4
√
p
3
)
5
5 (
4
√ p
7
)
5
5
4
√ p
35
3
√
2 ·
4
√3 5
12
√ 2
4
·
12
√ 3
3
5
12
√ 2
4
· 3
3
b) Expressa en forma d’una sola potència:

5
√2 x
2

a
2
·
3
√
a; √2 √2 √2; (
3
√b
2
)
2
; ——
√x

a
2
·
3
√a 5 a
2
· a
1
–
3
5 a
7
–
3
√2√2 √2 5 √√2
3
√2 5 √ √ √ 2
7
5
8
√ 2
7
5 2
7
–
8
(
3
√
b
2
)
2
5
3
√ b
4
5b
4
–
3
5
√
x
2

10
√ x
4
—— 5 —— 5
10
√ x
21
5 x
2
1
––
10
√
x
10
√ x
5
4. Calcula i expressa de la manera més senzilla possible:
a) (3
√
2 1 7 √3)(3√2 2 7 √3)
(3
√
2 1 7√3)(3√2 2 7√3) 5 18 2 147 5 2129
1
b) 2
√
75 2 √ 300 1— √ 12
2
1
2
√
75 2 √ 300 1— √ 12 5 10√3 2 10√3 1 √3 5
2
5 (10 2 10 1 1)
√
3 5√3
c) (5 1 2
√
7) 2 (5 2 2 √7)
(5 1 2
√
7) 2 (5 2 2 √7) 5 5 1 2 √7 2 5 1 2 √7 5 4√7
d)
√
(a 1 b)
2
2 4ab

√(a 1 b)
2
2 4ab 5 √a
2
2 2ab 1 b
2
5
5
√
(a 2 b)
2
5 a 2 b
5. Fes les operacions indicades, racionalitzant prèviament les
expressions fracionàries:
a) 3 1 √3 3 2 √3

——— 2 ———
3 2
√3 3 1 √3
3 1 √3 3 1 √3 9 1 6√3 1 3 12 1 6√3

——— · ——— 5 ————— 5 ———— 5
3 2
√3 3 1 √3 9 2 3 6
5 2 1 √3
3 2 √3 3 2 √3 9 2 6√3 1 3 12 2 6√3

——— · ——— 5 ————— 5 ———— 5
3 1
√3 3 2 √3 9 2 3 6
5 2 2 √3
3 1 √3 3 2 √3

——— 2 ——— 5 2 1
√3 2 (2 2 √3) 5
3 2 √3 3 1 √3
5 2 1 √3 2 2 1 √3 5 2√3
1 3
b)
√
2 · 1
— 1 ——2
√8 √ 32
1
√
8 √8 2 √2 √2
— · — 5—— 5 —— 5 ——
√8 √8 8 8 4
3
√
32 3√ 32
—— · —— 5——

√
32 √ 32 32
1 3
√
2 3√ 32 1 3 5

√
2 · 1
— 1 ——2
5 √2 1
— 1 ——2
5
— 1— 5—
√8 √ 32 4 32 2 4 4

23MATEMÀTIQUES 1 la
j Unitat 2. Polinomis
Activitats
1. Indica el grau i els coeficients de cadascun d’aquests polino-
mis:
a) A(x)  x
3
 3x
2
 2
Grau 3; coeficients: 1, 3, 0 i 2.
1
b) B(x)  x
4
 √
2 x
2
 —x
3
1
Grau 4; coeficients: 1, 0,
√
2, — i 0.
3
5 8
c) C(x)  3x
2
 —x  —
4 5
5 8
Grau 2; coeficients: 3, 
— i —.
4 5
d) D(x)  x
4
 x
3
 x
2
 x  1
Grau 4; coeficients: 1, 1, 1, 1 i 1.
2. Escriu un polinomi que sigui:
Respostes obertes. Per exemple:
a) De tercer grau i amb dos termes.
2x
3
 7
b) De quart grau i amb cinc termes.
x
4
 3x
3
 2x
2
 7x  1
c) De segon grau i amb un terme.
5x
2
d) Hi ha algun polinomi de tercer grau amb cinc termes? Per què?
No hi ha cap polinomi de 3r grau amb 5 termes. Com a màxim
en pot tenir 4.
3. Indica quines de les expressions algèbriques següents no
són polinomis. Justifica les respostes.
5
a)
—  1
x
2
 1
b)
———
5
d) √ 9
x
3
x
2
1
f)
—  —  —
3 2 x
x
2
c) x
3
 x
2
 x  1
x
2
 x  2
e)
—————
x
Les expressions a) c) e) i f) no són polinomis, ja que la indeter-
minada x apareix elevada a  2 i a  1, respectivament. En l’ex-
pressió d) s’obté
x
3
, que sí és un polinomi.
4. Calcula, per a x  1, el valor numèric del polinomi:
A(x)  x
3
 x
2
 x  1
El valor numéric s’obté en substituir x per 1:
A(1)  (1)
3
 1(1)
2
 (1)  1  2
A(1)  2
5. Determina els coeficients a, b i c perquè els polinomis se-
güents siguin idèntics:
B(x)  x
4
 x
2
 1 i
C(x)  x
4
 ax
3
 bx
2
 cx  1
Identificar dos polinomis de quart grau és igualar els coefi-
cients del mateix grau:
a  0 b  1 c  0
6. Donats els polinomis:
3
A(x)  x
3
 3x
2
 5x  —
4
7
B(x)  x
3
 —x  3
2
C(x)  2x
2
 4x
Calcula:
a) A(x)  B(x)
3
A(x)  B(x)  x
3
 3x
2
 5x  — 
4
7 17 9


x
3
 —x  3
 3x
2
 —— x  —
2 2 4
b) A(x)  B(x)
A(x)  B(x) 
3 7
 x
3
 3x
2
 5x  —  x
3
 —x  3 
4 2
3 15
 2x
3
 3x
2
 —x  ——
2 4
c) C
(x)  B(x)  A(x)
9 9
C(x)  B(x)  A(x)  x
2
 —x  —
2 4
√x
4

24 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
4x
7
—x
2
5x
9
—x
2
2x
2
3x
2
x
2

x
3
x
3








C(x)
B(x)
A(x)
C(x)  B (x)  A (x)







3
3
—
4
9
—
4 d) B(x)  [A(x)  C(x)]
B(x)  [A(x)  C(x)] 
11 15
 2x
3
 5x
2
 ——x  ——
2 4
7
—x
2
5x
4x
11
—x
2
3x
2
2x
2
5x
2
x
3
x
3
2x
3





B(x)
A(x)
C(x)
B(x)  A(x)  C(x)






3
3
—
4
15
—
4
e) x
2
[B(x)  C(x)]
x
2
[B(x)  C(x)] 
7
 x
2

x
3
 —x  3  2x
2
 4x

2
15
 x
2

x
3
 2x
2
 ——x  3

2
15
 x
5
 2x
4
 —— x
3
 3x
2
2
1
f) 3A(x)  5B(x) 
—C(x)
2
1
3A(x)  5B(x) 
—C(x) 
2
9 69
 8x
3
 8x
2
 —x  ——
2 4
15x
35
—x
2
2x
9
—x
2
9x
2
x
2
8x
2
3x
3
5x
3
8x
3







3A(x)
5B(x)
1
—C(x)
2
1
3A(x)  5B(x)  —C(x)
2





9
—
4
15
69
—
4
g) B(x) C(x)
B(x)C(x) 
 2x
5
 4x
4
 7x
3
 8x
2
 12x
7
—x
2
2x
2
14x
2
6x
2
x
3
7x
3
4x
4
2x
5







B(x)
C(x)




3
4x
12x
B(x) C(x)  2x
5
 4x
4
 7x
3
 8x
2
 12x
h) [C(x)]
3
[C(x)]
3
 (2x
2
 4x)
3

 (2x
2
 4x)
2
(2x
2
 4x) 
 8x
6
 48x
5
 96x
4
 64x
3
16x
3
2x
2
64x
4
32x
4
4x
4
16x
5
32x
5
8x
6











[C(x)]
2
C(x)
16x
2
4x
64x
3
[C(x)]
3
 8x
6
 48 x
5
 96 x
4
 64 x
3
Contesta les qüestions següents i justifica les respostes:
a) Per què el grau del polinomi A(x)  B(x) no és 3?
El grau del polinomi A(x)  B(x) no és 3 perquè els coefi-
cients de 3r grau són oposats.
b) Quin és el grau del polinomi x
2
[B(x)  C(x)]?
El grau del polinomi x
2
[B(x)  C(x)] és 5.
c) Per què el grau del polinomi [C(x)]
3
és 6?
El grau del polinomi [C(x)]
3
és 6, ja que (2x
2
)
3
 8x
6
.
d) És cert que: B (x)  [A(x)  C(x)]  B(x)  A(x)  C(x)?
B(x)  [A(x)  C(x)] 
 B(x)  A(x)  C(x)
És certa la igualtat.
7. Si A(x)  3x
3
 2x
2
 7 i B(x)  x
4
 5x
3
 2x, determina:
a) El polinomi C(x) que verifica A(x)  C(x)  B(x).
C(x)  B(x)  A(x) 
 x
4
 8x
3
 2x
2
 2x  7
x
4
 5x
3
 2x
 3x
3
 2x
2
 7
x
4
 8x
3
 2x
2
 2x  7

25MATEMÀTIQUES 1 la
b) El polinomi D(x) que verifica B(x)  D(x)  A(x).
D(x)  A(x)  B(x) 
 x
4
 8x
3
 2x
2
 2x  7
Aquest polinomi és oposat a l’anterior.
c) La relació que hi ha entre els polinomis C(x) i D(x).
La relació: D(x)  C(x)
8. Realitza la divisió (3x
4
 x
3
 1) : (x
2
 1). Comprova que
es verifica la propietat fonamental.
3x
4
 x
3
 1
x
2
 1
3x
4
 3x
2
3x
2
 x  3 x
3
 3x
2
 x
3
 x
 3x
2
 x  1
 3x
2
 3
x  4
Quocient: 3x
2
 x  3
Residu: x  4
Comprovació:
(3x
2
 x  3)(x
2
 1)  (x  4) 
 3x
4
 x
3
 1
9. Efectua aquestes divisions. Aplica la regla de Ruffini quan
sigui possible.
a) (6x
5
 3x
4
 2x  1) : (3x
3
 2x  4)
6x
5
 3x
4
 2x  1

3x
3
 2x  4
6x
5
 4x
3
 8x
2

4 3x
4
 4x
3
 8x
2
2x 2x
2
 x  —
 3x
4
 2x
2
4x
3
4x
3
 6x
2
 2x  1
8 16
 4x
3
 —x  —
3 3
2 19
6x
2
 —x  —
3 3
4
Quocient: 2x
2
 x  —
3
2 19
Residu: 6x
2
 —x  ——
3 3
b) x
6
: (x
4
 x
2
 2)
x
6
x
4
 x
2
 2
x
6
 x
4
 2x
2
x
2
 1
 x
4
 2x
2
 x
4
x
2
 2
3x
2
 2
Quocient: x
2
 1
Residu: 3x
2
 2
c) (2x
3
 x
2
 3x) : (x  1)
Per Ruffini:
2 1 3 0
1 2 1 4
1
2 1 4 4
Quocient: 2x
2
 x  4
Residu: 4
d) (x
4
 1) : (x  1)
Per Ruffini:
1 0 0 0 1
1 1 1 1 1
1 1 1 1
0
Quocient: x
3
 x
2
 x  1
Residu: 0
e) x
3
: (x  2)
Per Ruffini:
1 0 0 0
2 2 4 8

1 2 4 8
Quocient: x
2
 2x  4
Residu: 8
f) (x
6
 1) : (x
2
 1)
x
6
 1 x
2
 1
x
6
 x
4
x
4
 x
2
 1
 x
4
 x
4
 x
2
x
2
 1
 x
2
 1
 2
Quocient: x
4
 x
2
 1
Residu:  2
1 1 1 1
g)

—x
2
 —x  —
: 
x  —
2 3 4 2
Per Ruffini:
1
 —
3
1
—
4
1
 ——
12
1
—
4
1
——
24
5
——
24
1
—
2
1
—
2
1
—
2
1 1
Quocient:
—x  ——
2 12
5
Residu:
——
24

26 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
10. En una divisió, el divisor és el polinomi x
3
 2x
2
 3, el quo-
cient és x
2
 2x  1 i el residu és 8x  2. Quin és el grau
del dividend? Pots calcular-lo? Fes-ho.
Dividend:
(x
3
 2x
2
 3)(x
2
 2x  1)  (8x  2) 
 x
5
 3x
3
 x
2
 2x  1
El dividend és de grau 5.
x
3
 2x
2
 3
x
2
 2x  1
x
3
 2x
2
 3
2x
4
 4x
3
 6x
x
5
 2x
4
 3x
2

x
5
 3x
3
 x
2
 6x  3
 8x  2
x
5
 3x
3
x
2
 2x  1
11. Determina els valors de a i b, de manera que quan dividim
1
3x
4
 12x
2
 ax  b per x
3
 2x
2
 3 el residu sigui —.
2
3x
4
 12x
2
ax  b
x
3
 2x
2
 3
3x
4
 6x
3
9x 3x  6
6x
3
 12x
2
 (a  9)x  b
 6x
3
 12x
2
 18
1
(a  9)x  b  18  — →
2
a  9  0 → a  9
→
5 1 37
b  18  — → b  ——
2 2
12. En una divisió exacta, el dividend és x
5
 1 i el quocient,
x
4
 x
3
 x
2
 x  1. Calcula’n el divisor.
x
5
 1
x
4
 x
3
 x
2
 x  1
x
5
 x
4
 x
3
 x
2
 x x  1
 x
4
 x
3
 x
2
 x  1
 x
4
 x
3
 x
2
 x  1
Divisor: x  1
13. Determina el valor de k per tal que la divisió
(2x
3
 x
2
 k): (x  2) sigui exacta.
2x
3
x
2
k
x  2
2x
3
 4x
2

2x 2
 5x  10  5x
2
k
5x
2
 10x
10x k
 10x  20
k  20  0 → k  20
14. Tria el mètode que consideris més convenient per trobar el
valor numèric d’aquests polinomis per al valor que s’indica:
3
a) 
—x
4
 5x
3
 4x  2 per a x  12
2
Pel teorema del residu:
3

— 5 0 4 2
2
12
18 276 3312 39696

3

— 23 276 3308
39698
2
Valor numèric: 39698
b) x
6
 x
4
 √
2x
3
 x
2
per a x  √ 2
Substituint:
(
√
2)
6
 (√ 2)
4
 √ 2(√ 2)
3
 (√ 2)
2

 8  4  4  2  10
Valor numèric: 10
2 1 3
c)
—x
3
 —x
2
 —x  1 per a x  5
5 5 5
Substituint:
2 1 3
—(5)
3
 —(5)
2
 —(5)  1 
5 5 5
 50  5  3  1  47
Valor numèric: 47
15. Calcula el residu de la divisió (2x
3
 3) : (x  2). Fes-ho
mitjançant els dos procediments que hem analitzat. Explica quin és el més ràpid.
Fent la divisió:
2x
3
3
x  2
2x
3
 4x
2
2x
2
 4x  8
4x
2
3
 4x
2
 8x
8x 3
 8x  16
13
R  13
Pel teorema del residu: 22
3
 3  13
És més ràpid fer-ho pel teorema del residu.
16. Determina el valor de k per tal que la divisió
(x
3
 3x
2
 5x  k) : (x  3) sigui exacta.
Valor numèric 0 per a x  3:
(3)
3
 3(3)
2
 5(3)  k  0 →
→ k  69

27MATEMÀTIQUES 1 la
17. Troba el residu de la divisió (x
9
 1) : (x  1). Pots obtenir-
lo sense necessitat de fer la divisió.
R  (1)
9
 1  0
18. Comprova que P (x)  x
3
 3x
2
 6x  8 és divisible per
x  2. Expressa el polinomi P(x) com a producte de dos
polinomis.
Si P(2)  0, P(x) és divisible per x  2.
P(2)  (2)
3
 3(2)
2
 6(2)  8  0
Dividim P(x) per x  2 per trobar l’altre factor:
1 3 6 8
2 2 10 8
1 5 4 0
P(x)  (x
2
 5x  4)(x  2)
19. Troba el valor de k perquè el polinomi x
4
 k sigui divisible
per x  1.
Substituir per x  1
(1)
4
 k  0 → k  1
1 2
20. Un polinomi P (x) només té els divisors 3, x
2
 1 i —x  —.
Troba P(x).
3 9
1 2
P(x)  3(x
2
 1)
—x  —

3

9
2 2
 x
3
 —x
2
 x  —
3

3
21. Calcula k perquè el polinomi x
3
 3x
2
 k sigui múltiple de
x  1.
Cal que (1)
3
 3(1)
2
 k  0 → k  4
22. Indica si són certes o falses aquestes afirmacions:
a) x
4
 1 és divisible per x  1.
Certa, ja que (1)
4
 1  0
b) x
5
 1 és múltiple de x  1.
Certa, 1
5
 1  0
c) x  2 és divisor de x
3
 8.
Certa, (2)
3
 8  0
d) x
7
 1 és múltiple de x  1.
Certa, (1)
7
 1  0
e) x  3 és divisor de x
3
 27.
Falsa, (3)
3
 27  54
23. Determina, si és possible, les arrels enteres d’aquests poli-
nomis:
Les arrels enteres, si n’hi ha, cal que siguin divisors del terme
independent.
A(x)  x
3
 5x
2
 6x
x
1
 0
A(x)  x(x
2
 5x  6)
x
2
 5x  6  0 →
→ x
2
 3, x
3
 2
B(x)  6x
3
 7x
2
 9x  2
B(2)  0 → x  2 és l’única arrel entera.
C(x)  2x
3
 2
C(x)  0 → 2x
3
 2  0 →
→ x
3
 1 → x  1
D(x)  x
3
 7x
2
 6x
D(x)  x(x
2
 7x  6)  0 →
x
1
 0
→
x
2
 7x  6  0 → x
2
 1, x
3
 6
E(x)  x
3
 2x
2
 x  2
E(2)  0 → x  2
F(x)  x
4
 x
2
 2
F(1)  F(1)  0 → x
1
 1 i x
2
 1
24. Esbrina si x  3 és una arrel del polinomi P (x)  x
3
 2x
2
 9.
x  3 és una arrel de P(x), ja que:
P(3)  3
3
 23
2
 9  0
25. Determina les arrels del polinomi:
A(x)  (x
2
 9)(2x  1)
x
2
 9  0 → x
1
 3, x
2
 3
A(x)  0
1
2x  1  0 → x
3
 —
2
26. Calcula les arrels del polinomi P(x)  (x
2
 4)(3x  1).
x
2
 4  0 → x
1
 2, x
2
 2
P(x)  0
1
3x  1  0 → x
3
 —
3

28 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
27. El polinomi B(x)  (x
2
 4)(x  1) només té una arrel real.
Per què?
x
2
 4  0 → (no té solució)
B(x)  0
x  1  0 → x  1
28. Factoritza el polinomi P(x)  x
3
 x
2
 8x  12. Troba una
arrel entera entre els divisors del terme independent. Deter-
mina totes les seves arrels.
Té les arrels 3 i 2 (doble).
P(x)  (x  3)(x  2)
2
29. Factoritza aquests polinomis:
a) x
4
 1
x
4
 1  (x
2
 1)(x
2
 1) 
 (x
2
 1)(x  1)(x  1)
b) x
5
 x
4
 x  1
x
5
 x
4
 x  1 
 (x  1)(x  1)
2
(x
2
 1)
1 1 0 0 1 1
1 1 2 2 2 1

1 2 2 2 1 0
1 1 1 1 1

1 1 1 1 0
1 1 0 1

1 0 1 0
c) x
4
 4x
3
 4x
2
x
4
 4x
3
 4x
2
 x
2
(x
2
 4x  4) 
 x
2
(x  2)
2
d) 9x
2
 30x  25
9x
2
 30x  25  (3x  5)
2
x
2
e) ——  9
9
x
2
x x
——  9  
—  3
—  3
9 3 3
f) x
4
 3x
3
 3x
2
 11x  6
x
4
 3x
3
 3x
2
 11x  6 
 (x  2)(x  3)(x  1)
2
1 3 3 11 6
2 2 10 14 6

1 5 7 3 0
3 3 6 3

1 2 1 0
30. Troba les arrels d’aquests polinomis mitjançant la seva fac-
torització:
a) x
3
 3x
2
 13x  15
x
3
 3x
2
 13x  15 
 (x  1)(x  3)(x  5)
Arrels: 1, 3 i 5
b) 2x
4
 6x
3
 8x
2x
4
 6x
3
 8x  2x(x  1)(x  2)
2
Arrels: 0, 1 i 2 (doble).
3
c) 3x
2
 3x  —
4
3 1
3x
2
 3x  —  3
x  —
2
4 2
1
Arrel: 
— (doble)
2
d) x
3
 3x
2
 4x
x
3
 3x
2
 4x  x(x  4)(x  1)
Arrels: 0, 4 i 1
e) x
4
 x
3
 2x
2
x
4
 x
3
 2x
2
 x
2
(x  2)(x  1)
Arrels: 0, 2 i 1
f) x
4
 3x
3
 3x
2
 11x  6
Arrels: 1 (doble), 3 i 2
x
4
 3x
3
+ 11x 6  (1)
2
(x3) (x + 2)
1
31. Les arrels d’un polinomi de segon grau són 2 i 
— i el
coeficient de x
2
és 6. Quin és aquest polinomi?
3
1
P(x)  6(x  2)

x  —
 6x
2
 10x  4
3
32. Calcula el m.c.d. i el m.c.m. dels polinomis:
a) P(x)  x
2
 9 i R(x)  x
2
 6x  9

P(x)  x
2
 9  (x  3)(x  3)
R(x)  x
2
 6x  9  (x  3)
2
m.c.d.: x  3; m.c.m.: (x  3)(x  3)
2

29MATEMÀTIQUES 1 la
b) P(x)  x
2
 1 i R(x)  3x
2
 6x  3
P(x)  x
2
 1  (x  1) (x  1)
R(x)  3x
2
 6x  3  3(x  1)
2
m.c.d.: x  1; m.c.m.: 3 (x  1) (x  1)
2
c) A(x)  3x
4
 3 i B(x)  3x
2
 3
A(x)  3x
4
 3  3(x
2
 1)(x  1)(x  1)
B(x)  3x
2
 3  3(x  1)(x  1)
m.c.d.: 3(x  1)(x  1)  B(x)
m.c.m.: 3(x
2
 1)(x  1)(x  1)  A(x)
d) A(x)  x
2
 2x  3, B(x)  x
3
 2x
2
 x i
C(x)  x
3
 8x
2
 21x  18
A(x)  x
2
 2x  3  (x  1)(x  3)
B(x)  x
3
 2x
2
 x  x(x  1)
2
C(x)  x
3
 8x
2
 21x  18  (x  3)
2
(x  2)
m.c.d.: 1
m.c.m.: (x  1)
2
(x  3)
2
(x  2)x
33. Troba el m.c.d. i el m.c.m. de S (x)  (x  2)
2
i T(x)  x
2
 4.
Comprova que el producte dels dos polinomis que acabes de
trobar és igual al producte dels polinomis S(x) i T
(x).
S(x)  (x  2)
2
; T(x)  (x  2)(x  2)
m.c.d.: x  2; m.c.m.: (x  2)
2
(x  2)
Efectivament:
(x  2)(x  2)
2
(x  2)  S(x)T(x)
34. El m.c.d. de dos polinomis A(x) i B(x) és 1. Quin és el seu
m.c.m.?
Si el m.c.d. de A(x) i B(x) és 1, els factors que formen el m.c.m.
són els dels dos polinomis; és a dir, el m.c.m.  A(x)B(x)
35. Determina si els parells de fraccions següents són equiva-
lents:
x
2
 25 x  5
a) ——————— i
————
x
2
 7x  10 x  2
x
2
 25 x  5
——————— 
————, ja que:
x
2
 7x  10 x  2
(x
2
 25)(x  2) 
 (x
2
 7x  10)(x  5)
1 x  1
b)
———— i ————
x  1 x
2
 2
1 x  1
————  ————, ja que:
x  1 x
2
 2
(x
2
 2)  x
2
 1
P(x)
36. Considera la fracció ——— . Indica quines d’aquestes frac-
Q(x)
cions són equivalents a la fracció donada:
4P(x)
a)
————
4Q(x)
4P(x) P(x)
————  ———
4Q(x) Q(x)
10P(x)
b) ————
5Q(x)
3  P(x)
c) —————
3  Q(x)
[P(x)]
2
d) ————
[Q
(x)]
2
P(x)
La resta de fraccions no són equivalents a
——.
Q(x)
37. Indica per a quins valors de x no té valor numèric la fracció
algèbrica:
2x  7
——————
2x
2
 x  1
La fracció no té valor numèric per a aquells nombres que anul
.
lin
el denominador:
x
1
 1
2x
2
 x  1  0
1
x
2
 —
2
38. Simplifica aquestes fraccions algèbriques:
x
2
 7x  10
a) ———————
2x
2
 50
x
2
 7x  10 (x  2)(x  5)
——————— 
————————— 
2x
2
 50 2(x  5)(x  5)
x  2

—————
2x  10

30 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
x
3
 1
b) ——————
x
2
 3x  2
x
3
 1 (x  1)(x
2
 x  1)
—————— 
——————————––– 
x
2
 3x  2 (x  1)(x  2)
x
2
 x  1

—————
x  2
x
3
 5x  4
c)
—————————
x
3
 3x
2
 3x  1
x
3
 5x  4
————————— 
x
3
 3x
2
 3x  1
(x  1)(x
2
 x  4) x
2
 x  4

——————————––––  —————
(x  1)(x
2
 2x  1) x
2
 2x  1
x
4
 16
d)
—————————
x
3
 2x
2
 4x  8
x
4
 16
————————— 
x
3
 2x
2
 4x  8
(x
2
 4)(x  2)(x  2)
 ———————————  x  2
(x
2
 4)(x  2)
3x
2
 5x  2
e) ———————
4x
2
 4
3x
2
 5x  2 (3x  2)(x  1)
——————— 
————————— 
4x
2
 4 4(x  1)(x  1)
3x  2

—————
4(x  1)
f)
2x – 4x + 2
x
2
– 1

2x
2
– 4x + 2
x
2
– 1

=

2 (x

– 1)
2
x
2
– 1
39. Calcula:
2x  1 1 3  x
a) ———— 
————  ———
2x  4 x
2
 4 x  2
2x  1 1 3  x
———— 
————  ———; m.c.m.
2x  4 x
2
 4 x  2
dels denominadors: 2(x  2)(x  2):
(2x  1)(x  2)  2  (3  x)2(x  2)
————————— —————————–––– 
2(x  2)(x  2)
4x
2
 7x  8
 ———————
2(x
2
 4)
1  x
2
3x
b) ———— 
———
x
2
 x x  1
1  x
2
3x
———— 
——— 
x
2
 x x  1
(1  x)(1  x)3x 3(1  x)
 ————————— 
——————
x(x  1)(x  1) x  1
40. Donades les fraccions:
1 x
2
 25
A 
———, B  ————
x  5 x  3
x
2
 4x  3
i C 
——————
x  5
Calcula:
a) (AB)C
1 x
2
 25 x
2
 4x  3
———  ————  —————— 
x  5 x  3 x  5
(x  5)(x  5)(x  3)(x  1)
 ——————————————––

(x  5)(x  3)(x  5)
(x  5) (x  1)
 ———————––
x  5
b) (A  C)B
1 x
2
 4x  3
———  —————— 
x  5 x  5
x
2
 4x  4
 ——————
x  5
x
2
 4x  4 x
2
 25
——————  ———— 
x  5 x  3
(x  2)
2
(x  5)(x  5)
 ——————————— 
(x  5)(x  3)
(x  2)
2
(x  5)
 ————————
x  3
c) 3A : C
3 x
2
 4x  3
——— : —————— 
x  5 x  5
3(x  5)
 —————————— 
(x  5)(x
2
 4x  3)
3
 ——————
x
2
 4x  3
2x  1
41. Quina fracció hem de sumar a ———— per obtenir la fracció
zero?
x  4
2x  1
Serà la fracció oposada:
————.
x  4

31MATEMÀTIQUES 1 la
3x
42. Per quina fracció hem de multiplicar la fracció ——— per
x  3
obtenir el polinomi de grau zero i de coeficient 1, és a dir,
U(x)  1?
x  3
Serà la fracció inversa:
——— .
3x
43. Calcula:
3 5x 2x
a) ———— 
———  ———
x
2
 1 x  1 x  1
3 5x 2x
———— 
———  ——— 
x
2
 1 x  1 x  1
3  5x(x  1)  2x(x  1)
 ————————————— 
x
2
 1
3x
2
 7x  3
 ———————
x
2
 1
x
2
 4 x
2
 4x  4
b) ———— :
——————
3x x  2
x
2
 4 x
2
 4x  4
———— :
—————— 
3x x  2
(x  2)(x  2)(x  2) (x  2)
2
 ———————————  —————
3x(x  2)
2
3x(x  2)
3x
c) 2 
———
x  1
3x 2x  2  3x 2  x
2 
———  ——————  ———
x  1 x  1 x  1
x
2
 3
d) ————  5
x
2
 1
x
2
 3 x
2
 3  5x
2
 5
————  5  ————————— 
x
2
 1
x
2
 1
4x
2
 2
 —————
x
2
 1
44. Quina condició ha de verificar una fracció algèbrica per tal
que sigui equivalent a un polinomi?
Una fracció algèbrica és equivalent a un polinomi si el polinomi
numerador és múltiple del polinomi denominador.
45. Comprova que el resultat d’aquesta multiplicació és 1:
x
2
 4 x  1 x  1
———— 
———  ———
x
2
 1 x  2 x  2
x
2
 4 x  1 x  1
———— 
———  ——— 
x
2
 1 x  2 x  2
(x  2)(x  2)(x  1)(x  1)
 ——————————————  1
(x  1)(x  1)(x  2)(x  2)
46. Per quina fracció algèbrica cal multiplicar
2x  1 1
———— per obtenir ——————— ?
x
2
 4 2x
2
 5x  2
La fracció s’obté en fer la divisió:
1 2x  1
——————— : ———— 
2x
2
 5x  2 x
2
 4
(x  2)(x  2)
 ———————————— 
(x  2)(2x  1)(2x  1)
x  2
 ————————
(x  2)(4x
2
 1)
47. Calcula els nombres combinatoris següents:
6 10 80 15 15

 
,  
,  
,  
,  
2 0 5 7 8
6 6 · 5

 
 ———  15
2 2
10

 
 1
0
80 80!

 
 ———  24 040 016
5 75!5!
15 15! 15·14·13·12·11·10·9

 
 ———  ———————————  6 435
7 8!7! 7·6·5·4·3·2
15 15!

 
 ———  6 435
8 7!8!
48. Simplifica aquestes fraccions:
10!
a) ———
2!8!
10! 10·9

———  ———  45
2!8! 2
15!
b) ———
3!12!
15! 15·14·13
———  —————  455
3!12! 3·2

32 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
50!
c) ———
2!48!
50! 50·49
———  ————  1 225
2!48! 2
1000!
d) ———
3!997!
1000! 1000·999·998
———  ————————  166 167 000
3!997! 3·2
49. Desenvolupa les potències següents:
a) (x  2)
5
5 5
(x  2)
5
 

x
5
1 

x
4
(2) 1
0 1
5 5
1


x
3
(2)
2
1 

x
2
(2)
3
1
2 3
5 5
1


x

(2)
4
1 


(2)
5
5
4 5
5 x
5
10x
4
1 40x
3
2 80x
2
1 80x

2 32
b) (3x 1 y)
6
6 6
(3x  y)
6
 

(3x)
6
1 

(3x)
5
y 1
0 1
6 6
1


(3x)
4
y
2
1 


(3x)
3
y
3
1
2 3
6 6 6
1


(3x)
2
y
4
1 

(3x)

y
5
1




y
6
5
4 5 6
5 729 x
6
1 1458 x
5
y

1 1215 x
4
y
2
1
1 540 x
3
y
3
1 135 x
2
y
4
1 18 xy
5
1 y
6

50. Calcula el quart terme del desenvolupament de:
(x 2 1)
12
Quart terme:
12 12!



x
9
(1)
3
5 2——— x
9
5 2220 x
9
3 9!3!
51. Donat el polinomi C(x) 
2x
2
 4x, calcula [C(x)]
3
.
(2x
2
–4x)
3
5
5

3
0

(2x
2
)
3
+ 
3
1

(2x
2
)
2
(–4x) + 
3
2

(2x
2
)(–4x)
2
+ 
3
3

(–4x)
3
5
5 8x
6
– 48x
5
+ 96x
4
– 64x
3
Activitats finals
1. Expressa en forma de polinomi ordenat en potències decrei-
xents de x els resultats d’aquestes operacions:
1
a) 4(x  2)

x  —
3
1 20 8
4(x  2)

x  —
 4x
2
 —— x  —
3 3 3
b) (x 
√
2)
2
x
2
(x  √2)
2
x
2
 (x
2
 2√2x  2) x
2

 x
4
 2√
2x
3
 2x
2
1 3x
3
 x
2
c) —  —————
x 1  3x
1 3x
3
 x
2
x
2
(3x  1)
—  —————  ——————  x
x 1  3x x(1  3x)
d) x
3
(1  x)
2
x
3
(1  x)
2
 x
3
(1  2x  x
2
) 
 x
5
 2x
4
 x
3
2. Considera els polinomis A (x)  x
2
 2x  3 i B(x)  (x  1)
(x  3). Calcula’n el valor numèric per a x  1 i x  2.
Poden ser iguals aquests dos polinomis? Raona la teva res-
posta i comprova-ho.
A(1)  1  2  3  4
A(2)  (2)
2
 2(2)  3  5
B(1)  2(2)  4
B(2)  1(5)  5
Amb això no hi ha prou per què 2 polinomis siguin iguals.
3. Escriu dos polinomis de tercer grau la suma dels quals sigui
un polinomi de segon grau.
Resposta oberta. Per exemple:
A(x)  2x
3
 3x
2
 1
→
B(x)  2x
3
 x
2
 x
→ A(x)  B(x)  2x
2
 x  1
4. Troba el polinomi que sumat a P(x)  x
4
 3x
2
 5x dóna
com a resultat el polinomi R(x)  x
3
 1.
El polinomi que es busca és: R(x)  P(x).
R(x)  P(x)  x
3
 1  x
4
 3x
2
 5x 
 x
4
 x
3
 3x
2
 5x  1
5. Calcula a, b i c per tal que es verifiqui la igualtat:
(x
3
 2x  a)(bx  c) 
 3x
4
 2x
3
 6x
2
 x  2
(x
3
 2x  a)(bx  c) 
 bx
4
 cx
3
 2bx
2
 (ba  2c)x  ca
Igualant els coeficients del mateix grau:
b  3; c  2; ba  2c  1 → a  1

33MATEMÀTIQUES 1 la
6. Explica la relació que hi ha entre els graus dels polinomis
factors i el grau del polinomi producte. Quina relació hi ha
entre els graus dels polinomis dividend, divisor i residu en
una divisió de polinomis?
El grau del polinomi producte és la suma dels graus dels factors.
El grau del dividend és la suma dels graus del divisor i del quo-
cient. El grau del residu és menor que el grau del divisor.
7. La potència de polinomis es defineix com a productes re-
petits de la base tantes vegades com indica l’exponent.
(3x
2
 2)
5
és un polinomi. De quin grau? Quin és el coefi-
cient que acompanya el terme de grau més gran? Quin és el
terme independent?
En la potència (3x
2
 2)
5
, el primer terme del polinomi és
(3x
2
)
5
 243x
10
i el terme independent: (2)
5
 32. Per tant,
el grau del polinomi és 10.
1
8. Si A(x)  3x
2
 — x  2, B(x)  2x  3 i C(x)  x
3
 3,
2
calcula:
a) B(x)3A(x)  C(x)
3
9x
2
— x 6
2
 2x  3
9
27x
2
— x  18
2
18x
3
3x
2
 12x
15
18x
3
 24x
2
 —— x  18
2
x
3
 3
15
17x
3
 24x
2
 —— x  21
2
B(x)3A(x)  C(x) 
15
 17x
3
 24x
2
 —— x  21
2
b) 3B(x)A(x)  2C(x)
1
3x
2
 — x  2
2
 6x  9
9
27x
2
 — x  18
2
18x
3
 3x
2
 12x
15
18x
3
 24x
2
 —— x  18
2
2x
3
 6
15
16x
3
 24x
2
 —— x  24
2
3B(x)A(x)  2C(x) 
15
 16x
3
 24x
2
 —— x  24
2
3
c) C(x)  2B(x) 
—A(x)
2
x
3
3
 4 x6
9 3
 — x
2
— x  3
2 4
9 13
x
3
 — x
2
 —— x  12
2 4
3
C(x)  2B(x) 
—A(x) 
2
9 13
 x
3
 — x
2
 —— x  12
2 4
d) [C(x)  3A(x)]B(x)
x
3
 3
3
 9x
2
— x  6
2
3
x
3
9x
2
— x  9
2
 2x  3
9
3x
3
 27x
2
 — x  27
2
2x
4
 18x
3
3x
2
18x
27
2x
4
 15x
3
 24x
2
2 —— x  27
2
[C(x)  3A(x)]B(x) 
27
 2x
4
 15x
3
 24x
2
 —— x  27
2
9. Desenvolupa la potència (2x  y)
7
.
7 7
(2x  y)
7
 

(2x)
7
 

(2x)
6
(y) 1
0 1
7 7
1


(2x)
5
(y)
2
1 

(2x)
4
(y)
3
1
2 3
7 7
1


(2x)
3
(y)
4
1 

(2x)
2
(y)
5
1
4 5
7 7
1


2x

(y)
6
1 

(y)
7
5
6 7
5 128 x
7
 448 x
6
y 1 672x
5
y
2
2 560 x
4
y
3
1
1 280 x
3
y
4
 84 x
2
y
5
1 14 xy
6
2 y
7

34 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
10. Calcula el coeficient de x
5
en el desenvolupament de (x 1 2)
12
.
El coeficient de x
5
és el terme del desenvolupament:
12


x
12 2 h
· 2
h
→ 12  h 5 5 → h 5 7
h
12
Coeficient:


· 2
7
5 101 376
7
11. Determina el coeficient de x
14
en el desenvolupament de
(x
2
 x)
10
.
De la mateixa manera que a l’exercici anterior:
10


(x
2
)
10 2 h
· (2x)
h
→
h
→ x
20 2 2h
· x
h
5 x
20 2 h
5 x
14
→
→ 20

2 h 5 14 → h 5 6
10
Coeficient:


(21)
6
5 210
6
12. Hi ha algun polinomi que multiplicat per x  4 doni com a
resultat el polinomi 2x
2
 5x  12? Si la resposta és afir-
mativa, quin és?
El polinomi és el quocient de la divisió:
(2x
2
 5x  12) : (x  4)
Si és exacta, existirà aquest polinomi:
2 5 12
4 8 12

2 3 0
El polinomi és:
2x  3
13. Donat el polinomi A(x)  2x
3
 x
2
 4x  1, determina,
si existeix, un altre polinomi C(x) tal que el quocient de la
divisió A(x) : C(x) sigui 2x  3 i el residu, 4.
A(x) C(x)
...

2x  3
...
4
A(x)  C(x)(2x  3)  (4)
C(x)  [A(x)  4] : (2x  3)  x
2
 2x
2
 1
2x
3
 x
2
 4x  3
2x  3
2x
3
 3x
2
x
2
 2x  1
 4x
2
 4x  3
 4x
2
 6x
2x  3
 2x  3
14. Troba el dividend d’una divisió en què el quocient és
3x
2
 2x  1; el divisor, 2x
2
 x i el residu, x  1.
D(x)  (2x
2
 x)(3x
2
 2x  1)  (x  1) 
 6x
4
 x
3
 2x  1
3x
2
 2x  1
 2x
2
 x
3x
3
 2x
2
 x
6x
4
 4x
3
 2x
2
6x
4
 x
3
 x
x  1
6x
4
 x
3
 2x  1
15. Calcula m per tal que la divisió següent sigui exacta:
(x
4
 x
3
 2x
2
 x  7m) : (x
2
 x  1)
x
4
 x
3
 2x
2
 x  7m
x
2
 x  1
x
4
 x
3
 x
2
x
2
 1
 x
2
 x  7m
 x
2
 x  1m
 7m  1m
1
7m  1  0 → m  
—
7
16. Efectua aquestes divisions. Aplica la regla de Ruffini sempre
que sigui possible.
a) (x
3
 3x
2
 2x) : (2x  1)
x
3
 3x
2
 2x 2x  1
1 1 5 3
x
3
 —x
2
—x
2
 —x  —
2 2 4 8
5
 —x
2
 2x
2
5 5
—x
2
 —x
2 4
3
—x
4
3 3
 —x  —
4 8
3
—
8
1 5 3
Quocient:
—x
2
 —x  —
2 4 8
3
Residu:
—
8

35MATEMÀTIQUES 1 la
b) x
5
: (x
2
 1)
x
5

x
2
 1
x
5
 x
3
x
3
 x
x
3
 x
3
 x
x
Quocient: x
3
 x
Residu: x
c) (x
4
 2x
2
 1) : (x  2)
Per Ruffini:
1 0 2 0 1
2 2 4 4 8
1 2 2 4 9
Quocient: x
3
 2x
2
 2x  4
Residu: 9
d) (x
6
 x
3
 x  1) : (x  1)
Per Ruffini:
1 0 0 1 0 1 1
1 1 1 1 2 2 1
1 1 1 2 2 1 2
Quocient: x
5
 x
4
 x
3
 2x
2
 2x  1
Residu: 2
17. Calcula c per tal que el residu de la divisió següent sigui 2:
[2(c  1) x
3
 3x
2
 5 (1  2c)x 
 c  2] : (x  3)
Pots fer-ho de dues maneres. Explica-les.
Es pot fer calculant el residu de la divisió i trobant el valor
numèric del polinomi en substituir x  3.
2(c  1)3
3
 33
2
 5 (1  2c)3 
 c  2  2
8
c  
——
85
18. Esbrina si el polinomi 6x
2
 6x  12 és divisible per
2x  4. Pots donar la resposta sense fer la divisió?
El polinomi és múltiple de 2.
6x
2
 6x  12  6(x
2
 x  2)
2x  4  2(x  2)
2
2
 2  2  0. Sí, és divisible.
19. Calcula el valor numèric del polinomi següent per a x  2.
1 3 7
—x
3
 —x
2
 —x  8
2 4 2
Fes-ho pel procediment més curt.
1 3 7
—(2)
3
 —(2)
2
 —(2)  8 
2 4 2
 4  3  7  8  8
20. Dels nombres enters 1, 1, 2, 2, 4 i 4, quins són arrels
del polinomi A(x)  x
3
 3x
2
 6x  8? Quins no ho són?
Cal buscar el valor numèric del polinomi per a cada una de les
suposades arrels.
El valor numèric és zero i, per tant, són arrels: 1, 2 i 4. La
resta no ho són.
21. Quines són les arrels enteres del polinomi x
8
 1? Raona la
resposta. Té alguna arrel entera el polinomi x
8
 1? Per què?
Les arrels enteres de x
8
 1 són 1 i 1 que fan zero el valor
numèric del polinomi. x
8
 1 no té arrel ja que 1
8
 1  (1)
8

 1  2.
22. Factoritza els polinomis següents:
a) A(x)  3x
3
 75x
A(x)  3x
3
 75x
A(x)  3x(x
2
 25)
 3x(x  5)(x  5)
b) B(x)  3x
3
 18x
2
 27x
B(x)  3x
3
 18x
2
 27x
B(x)  3x(x
2
 6x  9)  3x(x  3)
2
c) C(x)  2x
4
 12x
3
 18x
2
C(x)  2x
4
 12x
3
 18x
2
C(x)  2x
2
(x  3)
2
1
d) D(x) 
—x
2
 3x  9
4
1
D(x) 
—x
2
 3x  9
4
1
D(x) 

—x  3
2
2
23. Determina el m.c.d. i el m.c.m. dels polinomis:
A(x)  2x
5
 6x
4
 8x
2
, B(x)  x
3
 x i C(x)  x
4
 x
3
 x
2
 x
A(x)  2x
2
(x  1)(x  2)
2
B(x)  x(x  1)(x  1)
C(x)  x(x  1)
2
(x  1)
m.c.d.  (x  1)x
m.c.m.  2x
2
(x  1)
2
(x  1) (x  2)
2

36 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
24. Calcula:
1  x x  1 x
2
 1
———  ———  ———
1  x 1  x x
2
 1
Cal tenir en compte que 1  x  (x  1). m.c.m.  x
2
 1.
(1  x)(x  1) (x  1)(1  x)
———————  ——————— 
x
2
 1 x
2
 1
x
2
 1 3x
2
 3

———  ——————
x
2
 1 x
2
 1
25. Donades les fraccions següents:
x  2 x  3
A(x) 
—————— i B(x)  ——— ,
x
2
 6x  9 x
2
 4
calcula:
A(x)B(x), A(x) : B(x) i B(x) : A(x)
(x  2)(x  3)
A(x)B(x)  ——————————— 
(x  3)
2
(x  2)(x  2)
1

———————
(x  3)(x  2)
(x  2)(x  2)(x  2)
A(x) : B(x) 
——————————— 
(x  3)
2
(x  3)
(x  2)
2
(x  2)

———————
(x  3)
3
(x  3)
3
B(x) : A(x)  ———————
(x  2)
2
(x  2)
26. Indica, sense fer la divisió, el residu de cadascuna de les di-
visions següents:
a) (x
3
+ 8) : (x + 2)
R = (-2)
3
+ 8 = 0
b) (x
10
– 1) : (
x – 1)
R = 1
10
- 1 = 0
c) (x
4
+ 81) : (x – 3)
R = 3
4
+ 81 = 162
d) (x
5
– 32) : (x + 2)
R = (-2)
5
- 32 = -64
e) (x
65
+ 1) : (x – 1)
R = 1
65
+ 1 = 2
27. Efectua les operacions següents:
a)
x
x
x
x x
xx
x
x
2
22
22
2
2
2
2
2
5
4
22 5
4
8
+
−
−
−
+
+
−
+
() −−() +
−

++
−
5
4
2
x
b)
x
x
x
xx
xx xx
x
22
2
1
2
4
32
1122
2
−
+
⋅
−
−+
+
()−()−()−()
+(
) )−()−()
+
xx
x
13
1
c)
1
710
1
5
5
25 2
22
xx x
xx
xx
x
x x−+ −
−
()
−() −() −
:

28. Donat el polinomi P(x) = 2x
3
− (m − 2)x
2
+ mx + 3, determi-
na el valor de m per tal que en dividir-lo per x + 2 doni de
residu −10.
P(-2) = -10 → -16 - 4(m - 2) + (-2)m + 3 = -10 → m =
6
6
29. Si A(x) + B(x) = 1 i A(x) =
x – 2 x + 3
, calcula:
a) B(x)
B(x) = 1 - A(x) = 1 -
x – 2 x + 3

5
x + 3
b) A(x) : B(x)
A(x) : B(x) =
(x – 2) (x + 3)
5(x + 3)


x – 2
5
30. Determina el polinomi P(x) que verifica les condici ons se-
güents:
a) És de tercer grau.
b) P(2) = P(−1) = P(0) = 0.
c) El coeficient del monomi de grau màxim és 2.
P(x) = 2(x - 2)(x + 1)x = 2x
3
- 2x
2
- 4x
31. Donats els polinomis P (x) = x
4
− 10x
2
+ 9 i Q (x) = 3x
2
− 12x + 9:
a) Efectua’n la factorització.
P(x) = 0 → x
1
= 3, x
2
= -3, x
3
= 1, x
4
= -1 → P(x) = (x - 3)
(x + 3)(x - 1)(x + 1)
Q(x) = 0 → x
1
= 3, x
2
= 1 → Q(x) = 3(x - 3)(x - 1)
b) Simplifica la fracció algèbrica
P(x)
Q(x)
.

P(x)
Q(x)

=

(x + 3) (x + 1)
3

=
x
2
+ 4x + 3)
3
32. Troba per a quins valors de m el polinomi P(x) = x
2
− mx + 9
té una arrel entera doble. Facto ritza P(x) per als valors de m
trobats.
x
2
- mx + 9 = 0 → ∆ = m
2
- 36 = 0 → m = 6
m = 6 → l’arrel doble és x = 3 → P(x) = (x - 3)
2
m = -6 → l’arrel doble és x = -3 → P(x) = (x + 3)
2
33. Sabent que m.c.d. [A(x), B(x)] = x − 2, m.c.m. [A(x), B(x)] =
= (x − 2)
2
(x + 3)(x − 1) i A(x) = x
2
+ x − 6, calcula B(x).
B
AB AB
A
()
(),()( ),()
(
x
xx xx
x
=
[] • []m.c.d. m.c.m.
))
=−
() −
()xx21
2

37MATEMÀTIQUES 1 la
Avaluació
1. Contesta raonadament les qüestions següents:
a) Si en restar dos polinomis de tercer grau obtenim un polino-
mi de segon grau, quina relació hi ha entre els coeficients de
grau més gran dels dos polinomis?
Els dos coeficients de grau més alt són oposats.
b) Un polinomi P(x) és divisible per x + 3. Quin és el valor de
P(–3)?
P(-3) = 0
c) El grau d’un polinomi P(x) és 3. Quin és el grau [P(x)]
2
?
El grau de [P(x)]
2
és 6 = 3 · 2.
d) Si x = 2 és una arrel de P(x), quin factor trobarem amb tota
seguretat en la descomposició factorial de P(x)?
El factor x → –2.
2. Donats els polinomis P(x) = 2x
5
– 7x
2
+ 3x – 10, Q(x)= –x
3
+
5x
2
– 7 i R(x) = x + 2, calcula:
a) P(x) – 2Q(x)
P(x) – 2Q(x) = 2x
5
+ 2x
3
- 17x
2
+ 3x + 4
b) Q(x) · R(x)
Q(x)·R(x) = -x
4
+ 3x
3
+ 10x
2
- 7x - 14
c) Q(x) : R(x)
Per Ruffini: Q(x) = -x
2
+ 7x - 14; R = 21
3. Determina el valor de k per tal que P(x) = x
4
– 2x
3
+ 7x + k
sigui divisible per x + 1.
Si P(x) és divisible per x + 1, llavors P(–1) = 0 i per tant
1 + 2 – 7 + k = 0 → k = 4.
4. Troba les arrels del polinomi
P(x) = x
4
– 6x
3
+ 10x
2
+ 6x – 11 i realitza’n La factorització.
P(x) = (x – 1) (x + 1)(x
2
– 6x + 11); arrels: 1,–1.
5. Factoritza els polinomis P(x) = 5x
2
- 35x + 60 i Q(x) = 10x
2

– 160. Simplifica la fracció algèbrica
P(x)
Q(x)
.
P(x) = 5x
2
- 35x + 60 = 5(x
2
- 7x + 12) = 5(x - 4)(x - 3)
Q(x) = 10x
2
– 160 = 10(x
2
- 16) = 10(x + 4)(x - 4)

P(x)
Q(x)

=

5(x – 4) (x – 3)
10(x + 4) (x – 4)

=
x – 3
2x + 8
6. Realitza les operacions següents:
a)
2x – 5
x
2
– 9

=
5
3x – 9
25
9
5
39
6155 3
33 3
615
2
−
−
+
−
=
−− + ()
−()+()
=
−
x x
xx
xx
x−−−
−
=
−
−
515
327
30
327
22
x
x
x
x
b)
72
33
21
494
2
2
2
x
x
xx
x
−
−
⋅
−+
−


)27)(27)(1)(1(3
)1)(1)(27(
+−−+
−−−
xxxx
xxx

)27)(1(3
1
++
−
xx
x

62721
1
2
++
−
xx
x
−−

)27)(27)(1)(1(3
)1)(1)(27(
+−−+
−−−
xxxx
xxx

)27)(1(3
1
++
−
xx
x

62721
1
2
++
−
xx
x
−−
c) :
−
xx4
11
3
−

xx 2
22
2
−

)2)(2(22
)2(11
+−
−
xxx
xx

42
1
+x

j Unitat 3. Trigonometria
Activitats
1. Dibuixa una circumferència de 2 cm de radi, uns eixos de
coordenades amb origen en el centre de la circumferència, la
bisectriu del primer i del tercer quadrants i la bisectriu del
segon i del quart quadrants.
Un cop hagis dibuixat aquesta circumferència, respon el se-
güent:
a) Indica la mesura de cadascun dels quatre angles que de-
terminen aquestes bisectrius a partir de l’origen d’angles,
el semieix positiu OX .
Els angles que determinen aquestes bisectrius són:
45°, 135°, 225° i 315°
b) Pren les mesures necessàries per calcular les raons trigo-
nomètriques de cadascun d’aquests angles. Compara els
resultats que obtinguis amb els que et dóna la calcula
dora.
Cal mesurar l’ordenada i l’abscissa de cadascun dels 4 punts
que en la circumferència determinen els 4 angles. I aplicar
les definicions de les tres raons trigonomètriques per a cada
angle tot considerant la longitud del radi de la circumferència
traçada.

38 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
2. Dibuixa un angle de 135°. Quin és el signe de cadascuna de
les tres raons trigono mètriques d’aquest angle?
sin 135°  0; cos 135°  0;
tg 135°  0
3. Si tg   1,5, en quin quadrant pot estar l’angle ?
Justifica’n la resposta.
La tangent d’un angle és negativa en el segon i en el quart qua- drants, ja que en aquests quadrants el sinus i el cosinus tenen
signes diferents.
4. Explica per què la tangent d’un angle pot ser un nombre més
gran que 1.

sin 
Com que sabem que tg   ———, sempre que sin   cos ,
es verifica: tg   1.
cos 
5. En una circumferència trigonomètrica dibuixa tots els angles
tals que sin   0,5.
Hi ha dos angles que tenen sin   0,5. Són els angles: 30° i 150°.
6. Esbrina quin és el signe de cadascuna de les raons tri gono
mètriques dels angles:
45°, 230°, 315°, 720° i 1 000°
45° 230° 315° 720° 1000°
Sinus    0 
Cosinus     
Tangent    0 
Cal esbrinar en quin quadrant es troba cada angle i obtenir:
1000°  2 360°  280°
7. Relaciona les raons trigonomètriques de l’angle de 210°
amb les d’un angle del primer quadrant.
Relacionem 210° amb 30°, ja que 210°  180°  30°:
sin 210°  sin 30°; cos 210°  cos 30°;
tg 210°  tg 30°
8. Considera un angle de 850°. Redueix-lo a un angle més pe-
tit de 360° i relaciona’n les raons trigonomètriques amb les
d’un angle del primer quadrant.
L’equivalent a 850° en la circumferència unitat és 130°, ja que:
850°  2 360°  130°
En el primer quadrant, el relacionem amb 50°  180°  130°:
sin 130°  sin 50°; cos 130°  cos 50°;
tg 130°  tg 50°
9. Un angle  tal que 0°    360° verifica:
sin   sin 30° i cos   cos 30°
a) A quin quadrant pertany l’angle ?
Les condicions de l’enunciat indiquen que l’angle és del ter-
cer quadrant.
b) Quant mesura ?
La seva mesura és:
180°  30°  210°
4
10. Sabent que cos   
— i 90°    180°, calcula sin 
5
i tg . Quany mesura  ? Utilitza la calculadora per compro-
var que els resultats que has obtingut són, efectivament,
correctes.
Ens indiquen que l’angle és del segon quadrant. Hi apliquem les
fórmules:
sin
2
  cos
2
  1 →
4 3
→ sin
2
  
—
2
 1 → sin   —
5 5
sin  3 4 3
tg  
————  — : 
—
 —
cos  5 5 4
Amb l’ajut de la calculadora trobem l’angle:
  143,13°
11. Determina tots els angles compresos entre 0° i 360° la tan-
gent dels quals sigui igual a 1.
Els angles tals que tg   1 verifiquen sin   cos  . En el
primer quadrant,   45°, i en el tercer,   225°.
12. Utilitza les relacions entre les raons trigonomètriques per de-
terminar els angles positius més petits de 360° el sinus dels
1
quals sigui igual a 
—.
2

39MATEMÀTIQUES 1 la
1
sin   
—. L’angle  és del tercer quadrant o del quart qua-
2
drant. Les seves raons trigonomètriques es relacionen amb les
1
de l’angle 30°, ja que sin 30° 
—.
2
Els angles són:
180°  30°  210° i 360°  30°  330°
1
sin 210°  sin 330°  
—
2
13. Si sin   0,6 i 90°    180°, calcula: sin (180°  ),
cos , tg , cos (180°  ) i .
L’angle  és del segon quadrant:
sin (180°  )  sin   0,6
cos
2
  1  sin
2
  1  0,6
2
 0,64 →
→ cos   0,8
0,6
tg   ———  0,75
0,8
cos (180° )  cos   0,8
Fent la inversa del sinus 0,6 amb la calculadora obtenim: 36,87°,
però sabem que  és del segon quadrant; per tant,
  180°  36,87°  143,13°
14. a) Dedueix una expressió que et permeti calcular cos 3  en
funció de cos  i sin .
cos 3   cos (  2) 
 cos  cos 2   sin  sin 2 
Substituïm els dobles:
cos 3  cos  (cos
2
  sin
2
) 
 sin  2 sin  cos  
 cos
3
  3sin
2
 cos 
b) Expressa sin 4 en funció de cos  i sin .
sin 4  sin 2 2  2 sin 2  cos 2  
 22sin  cos  · (cos
2
  sin
2
)
sin 4  4 sin  cos
3
  4 sin
3
 cos 
15. Sabent que cos   0,8, amb  que veri fica 0°    90°
i sin   0,6, amb 90°    180°, calcula:
a) sin (  )
sin (  )  sin  · cos   cos  
Cal calcular prèviament sin  i cos :
sin   
√10,8
2
 0,6; com que  és del primer qua-
drant, és sin   0,6.
cos   
√1  0,6
2
 0,8; com que  és del segon qua-
drant, cos   0,8.
Si substituïm:
sin (  )  0,6 (0,8)  0,8 0,6  0
b) cos (  )
cos (  )  cos  cos   sin  sin   0,8(0,8) 
 0,6 0,6  1
c) sin (  )
sin (  )
 sin  cos   cos  sin   0,6 0,8 
(0,8 ) 0,6  0,96
d) cos (  )
cos (  )  cos  cos   sin  sin   (0,8 0,8) 
 0,6 0,6  0,28
e) sin 2
sin 2  2 sin  cos   2 0,60,8  0,96
f) cos 2
cos 2 cos
2
  sin
2
  (0,8)
2
 0,6
2
 0,28
1
16. Utilitza sin 30° 5
— per calcular les raons trigonomètriques
2
de 15°. No utilitzis la calculadora i expressa els resultats en
forma exacta. Calcula prèviament cos 30°.
1 3
√3
cos 30° 
√

1  
—
2
 √

—  ——
2 4 2
30° 1  cos 30°
sin 15°  sin —— 
√
 
———––—— 
2 2

√3
1  ——
2
√

2  √3

√

—————  ————
2 2
30° 1  cos 30°
cos 15°  cos —— 
√

—————— 
2 2

√

2  √3

—————
2
sin 15° 2 
√3
tg 15°  ———— 
√

—————
cos 15° 2 
√3
17. Sense utilitzar la calculadora, determina les raons trigo-
nomètriques dels angles de 75° i 15° a partir de les raons
trigonomè triques dels angles de 45° i 30°. Recorda que:

√
2
cos 45°  sin 45°  ——
2
1
√
3
sin 30° 
— cos 30°  ——
2 2
sin 75°  sin (45°  30°) 
 sin 45° cos 30°  cos 45° sin 30°

40 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
√2 √3 √2 1
sin 75° 
————  ——— 
2 2 2 2

√
6  √2

—————
4
cos 75°  cos (45°  30°) 
 cos 45° cos 30°  sin 45° sin 30°

√
2 √3 √2 1
cos 75° 
————  ——— 
2 2 2 2

√
6  √2

————
4
sin 75°
√
6  √2
tg 75° 
————  —————
cos 75°
√
6  √2
18. Si tg   2 i tg   3, calcula tg (   ), tg (   ), tg 2 
i tg 2.
tg   tg  2  3
tg (  ) 
——————  ————  1
1  tg tg  1  23
tg   tg  2  3 1
tg (  ) 
——————  ————  ——
1  tg  tg  1  23 7
2 tg  22 4 4
tg 2 
—————  ———  ——   —
1  tg
2
 1  2
2
3 3
2 tg  23 6 3
tg 2 
—————  ———  ——  —
1  tg
2
 1  3
2
8 4
19. Demostra que sin 90°  1 utilitzant l’expressió que obtinguis de
sin 3a a partir de sin  i cos  i substituint després  per 30°.
sin 90°  sin (3 30°)
sin 3  sin (  2 ) 
 sin  cos 2   cos  sin 2  
 sin  (cos
2
  sin
2
) 
 cos 2sin cos  sin
3
  3sin cos
2

1 1
√3
sin 90°  

—
3
 3 — 
——
2

2 2 2
1 9
 
—  —  1
8 8
3
20. Sabent que sin  
— i 0°    90°, troba:
5
  
sin
—, cos — i tg —
2 2 2

L’angle  és el del primer quadrant i
— també. Per tant, les
2
tres raons trigonomètriques són positives:
sin  
3
5
; cos  √
1  
3 5

2

4 5
4

1  —
 1  cos  5
sin
— 
√

—————  √
———— 
2 2 2
1

√

——
10
4
1 
—
 1  cos  5
cos
— 
√

—————  √

———— 
2 2 2
9

√

——
10
 1 1
tg
— 
√

—  —
2 9 3
21. Transforma en producte:
a) 1  sin 
Es verifica: 1  sin 90° i 1  cos 0°. Si hi apliquem les fórmules:
1  sin   sin 90°  sin  
90°   90°  
 2 cos ———— sin ————
2 2
b) 1  cos 
1  cos   cos 0°  cos  
  0   0 
 2 cos ——— cos ———  2 cos
2
—
2 2 2
c) 1  sin 
1  sin   sin 90°  sin  
90°   90°  
 2 sin ———— cos ————
2 2
22. Expressa en forma de producte:
a) sin 105°  sin 15°
sin 105°  sin 15° 
105°  15° 105°  15°
 2 sin
————— cos ————— 
2 2
 2 sin 60° cos 45°
b) sin 105°  sin 15°
sin 105°  sin 15° 
105°  15° 105°  15°
 2 cos
————— sin ————— 
2 2
 2 cos 60° sin 45°

41MATEMÀTIQUES 1 la
23. Considera dos angles  i  tals que sin  5sin . Comprova
que es verifica la igualtat:
  
tg ———
sin   sin  2
———————  —————
sin   sin    
tg ———
2
Desenvolupem la segona part de la igualtat:
     
2 sin
——— cos ———
sin   sin  2 2
———————  ———————————––––– 
sin   sin       
2 cos
——— sin ———
2 2
     
sin
——— cos ———
2 2

—————— ——————
     
cos
——— sin ———
2 2
  
La segona fracció és la inversa de tg
———.
2
Per tant, es verifica:
  
tg ———
sin   sin  2
———————  —————
sin   sin    
tg ———
2
24. Si coneixem els tres angles d’un triangle, està determinat?
Per què? Com són entre ells els diferents triangles que pots
dibuixar amb aquestes dades?
Si es coneixen els tres angles d’un triangle, aquest no és únic.
Es poden dibuixar molts triangles tots semblants entre ells.
25. Un dels costats d’un triangle és a i els altres dos són 2 a i
3a. Està determinat el triangle? Intenta dibuixar-lo.
3a  2a  a. La longitud del costat més gran és igual a la suma
dels altres dos. Per poder determinar el triangle cal que aquesta
longitud sigui més petita.
26. Dibuixa dos segments de longituds 3 i 5 cm i un angle de
60°. Construeix tots els triangles possibles en cadascuna
d’aquestes situacions:
a) Quan l’angle és el que determinen els dos costats.
b) Quan no ho és. Raona cada construcció.
27. Resol el triangle en què coneixem a  4 cm, c  8 cm i
B  75°.
Hi apliquem la fórmula del teorema del cosinus:
b
2
 a
2
 c
2
 2ac cos B
b
2
 4
2
 8
2
 248cos 60° → b  6,93 cm
Per calcular un angle del triangle cal aïllar el cosinus en la fór-
mula:
b
2
 c
2
 a
2
6,93
2
 8
2
 4
2
cos A  ——————  ———————— 
2bc 26,938
 0,867 → A  30°
B  180°  60°  30°  90° (aproximacions a les centèsimes).
28. Els costats d’un triangle mesuren a  24 cm, b  30 cm
i c  45 cm. Està determinat el triangle? En cas afirmatiu,
calcula’n els tres angles.
El triangle està determinat, ja que:
45  24  30
Per calcular els angles del triangle, hi apliquem dues vegades la
fórmula anterior:
b
2
 c
2
 a
2
30
2
 45
2
 24
2
cos A  ——————  ———————— 
2bc 23045
 0,87 → A  29,54°
c
2
 a
2
 b
2
45
2
 24
2
 30
2
cos B  ——————  ———————— 
2ca 24524
 0,79 → B  38,05°
C  180°  (29,54°  38,05°)  112,41°
29. Realitzant el mínim nombre de càlculs possible, classifica
aquests triangles segons els seus angles:
a) a  8 cm, b  7 cm i c  6 cm
8
2
 7
2
 6
2
→ El triangle és acutangle.
b) a  5 cm, b  13 cm i c  12 cm
13
2
 5
2
 12
2
→ El triangle és rectangle.
Cal comparar el quadrat del costat més llarg amb la suma dels
quadrats dels altres dos.
c) a  20 cm, b  10 cm i c  6 cm
No formen triangle, ja que 20  10  6.

42 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
30. Construeix un triangle en què B  56°, C  80° i b  12 cm.
Resol aquest triangle calculant-ne les mesures dels altres
elements.
Els elements que hi falten són A  180°  (56°  80°)  44°
i els costats a i c que surten d’aplicar-hi el teorema del sinus:
a b c
———  ———  ——— →
sin A sin B sin C
a 12 c
→ ————  ————  ————
sin 44° sin 56° sin 80°
12sin 44°
a 
—————  10,05 cm
sin 56°
12sin 80°
c 
—————  14,25 cm
sin 56°
31. Utilitza el teorema del sinus per resoldre un triangle en què
a  5 cm, b  8 cm i A  35,5°. Pots resoldre’l mitjantçant
el teorema del cosinus?
5 8 c
————  ———  ——— →
sin 35,5° sin B sin C
8sin 35,5°
→ sin B 
—————  0,93 → B  68,3°
5
L’angle C  180°  (35,5°  68,30°)  76,2°
5 c
————  ———— →
sin 35,5° sin 76,2°
5sin 76,2°
→ c  ——————  8,36 cm
sin 35,5°
S’hi pot aplicar també el teorema del cosinus, però els càlculs
són més llargs.
32. Un dels angles aguts d’un triangle rec tangle mesura 35° i un
dels catets, 6 cm. Utilitza el teorema del sinus per resoldre
aquest triangle i comprova que obtens els mateixos resultats
que amb el procediment que coneixes de l’etapa anterior.
A  90°, b  6 cm, B  35°, C  55°
a 6 c
————  ————  ————
sin 90° sin 35° sin 55°
Com que sin 90°  1, aleshores:
6
a  ————  10,46 cm
sin 35°
c  a sin 55°  10,46 0,82  8,58 cm
Són les mateixes expressions que les dels triangles rectangles.
33. Resol el triangle en què a  24 cm, b  15 cm i A  125°.
Calcula’n l’àrea.
24 15 15sin 125°
———  ——— → sin B  —————— 
sin 125° sin B 24
 0,51 → B  30,8°
C  180°  (125°  30,8°)  24,2°
24 c
—————  ————— →
sin 125° sin 24,2°
24sin 24,2°
→ c  ———————  12 cm
sin 125°
Per a l’àrea:
1
S 
— bc sin A 
2
1

—1512 sin 125°  73,8 cm
2
2
34. Dos motoristes surten d’un encreuament de dues carreteres
sense corbes i que formen un angle de 55°. Els motoristes es
desplacen amb velocitats constants de 90 i 120 km/h, respecti-
vament. Quina dis tància els separarà després de tres minuts?
Cal calcular les distàncies recorregudes per cada motorista en 3
minuts. Aquestes distàncies són dos costats d’un triangle en el
qual l’angle comprès és de 55°  C.
km 1 h
a  90 ——
——— 3 min  4,5 km
h 60 min
km 1 h
b  120 ——
——— 3 min  6 km
h 60 min
c
2
 a
2
 b
2
 2ab cos C 
 4,5
2
 6
2
 24,56 cos 55°
c  5,03 km
35. Una sequoia de Califòrnia es veu des d’un cert punt sota un
angle de 36° i, si ens hi acostem 35 m, es veu sota un angle
de 44°. Calcula l’alçària de l’arbre.

43MATEMÀTIQUES 1 la
a 35
————  ——— → a  147,82 m
sin 36° sin 8°
h
—  sin 44° →
a
→ h  a sin 44°  102,68 m
La sequoia fa 102,68 m.
36. Calcula l’àrea d’un polígon regular de 15 costats si cada cos-
tat mesura 2 cm.
Descomponem el polígon en 15 triangles isòsceles iguals. En
360°
cada triangle, l’angle desigual fa ———  24°, i cadascun dels

180°  24°

15
altres dos fa
——————  78°.
2
2 b
————  ———— →
sin 24° sin 78°
→ b  4,8 cm
24,8sin 78°
A  ———————  4,7 cm
2
2
Àrea del polígon: 15 4,7  70,5 cm
2
37. Les diagonals d’un paral
.
lelogram mesuren 16 cm i 12 cm,
respectivament. Un dels angles que determinen és de 40°.
Calcula la longitud dels costats del paral
.
lelogram i el seu
perímetre. Recorda que les diagonals dels paral
.
lelograms es
tallen en el seu punt mitjà.
a
2
 8
2
 6
2
 286 cos 40°
b
2
 8
2
 6
2
 286 cos 140°
a  5,14 cm
b  13,17 cm
P = 2a + 2b = 36,62 cm
38. Un avió vola entre dues ciutats A i B que disten l’una de l’al-
tra 800 km. Les visuals de l’avió a les ciutats A i B formen
amb l’horitzontal angles de 29° i 43°, respectivament.
Calcula:
a) L’altitud a què vola l’avió.
b) La distància a què es troba de cadascuna de les dues ciu-
tats.
fi
−

fifi 




C = 180º - (29º + 43º) = 108º
ab
b
sin29ºsin43º
800
sin108º
800sin43º
3
4
3
4
3
== →=
44
3
4
3
4
3
4
sin108º
800sin29º
sin108º
=
=
5737,km,
a = =4078,km
h = b sin 49º = a sin 43º = 278,1 km
39. Des d’un cert punt s’observa la part més alta del parallamps
d’una casa amb un angle de 30°. Si ens allunyem de la verti-
cal del parallamps fins a una distància doble de l’anterior,
amb quin angle el veurem?

∆
∆fi

∆
fi
tg 30º =

h
d
i tg α =
h
d2
→ tg 30º = 2tg

α → tg α =
tg30
2
1
4

=
= 0,29 → α = 16,1º

44 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
Activitats finals
1. Un angle agut  és tal que tg   3. Re presenta’l a la cir-
cumferència unitat i troba sin  i cos  sense utilitzar la
calculadora.
sin 
tg   3  ——— → sin   3 cos 
cos 
sin
2
  cos
2
  1 →
→ (3 cos )
2
 cos
2
  1
9 cos
2
  cos
2
  1 →
1
→ 10 cos
2
  1 → cos   ——

√10
1 3
sin   3 
———  ———

√10 √10
2. Representa tots els angles  positius més petits de 360° tals que sin   0,5.
Es representa y  0,5 en el gràfic de la circumferència unitat.
3. Si 90°    180° i cos   0,8, calcula: sin , tg ,
cos (), sin () i tg ().
L’angle  és del segon quadrant: sin   0 i tg   0.
cos  0,8 → sin
2
  1  cos
2
 
 1  (0,8)
2
 0,36 → sin   0,6
0,6
tg   ———  0,75
0,8
cos ()  cos   0,8
sin ()  sin   0,6
tg ()  tg   0,75
4. Quins angles del segon, tercer i quart quadrant tenen les
raons trigonomètriques relacionades amb les de l’angle
35°? Escriu totes les relacions possibles entre les raons tri-
gonomètriques de cadascun d’aquests angles i les de 35°.
Segon quadrant: 180°  35°  145°
sin 145°  sin 35°; cos 145°  cos 35°;
tg 145°  tg 35°
Tercer quadrant: 180°  35°  215°
sin 215°  sin 35°; cos 215°  cos 35°;
tg 215°  tg 35°
Quart quadrant: 360°  35°  325°
sin 325°  sin 35°; cos 325°  cos 35°;
tg 325°  tg 35°
5. Calcula les raons trigonomètriques de l’angle de 15° en funció
de les de l’angle de 30°. Després, comprova amb la calculadora
que els resultats que has obtingut són correctes.
30°
15°  ——
2
Utilitzem les fórmules de l’angle unitat:
1  cos 30°
sin 15° 
√

——————  0,259
2
1  cos 30°
cos 15° 
√
 
——————  0,966
2
0,259
tg 15° 
———  0,268. Cal fer-ne la comprovació amb la
0,966
calculadora.
6. Considera un angle  del tercer quadrant tal que tg   2.

Indica a quin quadrant es troben els angles 2  i
—. Calcula
 2
cos , sin 2  i cos
—.
2
tg   2 i  del tercer quadrant indica que 225°    270°,
ja que tg 225°  1. N’hi ha prou de fer operacions en la de-
sigualtat:
450°  2  540°. Si restem 360°:
90°  2   180° → segon quadrant
 
112,5° 
—  135° → — és del segon quadrant.
2 2
6

45MATEMÀTIQUES 1 la
sin 
tg   2 
——— → sin   2 cos  i
cos 
sin
2
  cos
2
  1 → (2 cos )
2
 cos
2
  1

1 2
5 cos
2
  1 → cos   ——; sin   —— →

√5 √5
→  és del tercer quadrant.
2 1 4
sin 2   2 sin  cos   2 ——

——
 ——

√5 √5

5
 1  cos 
cos
—  
√

—————  0,53
2 2
7. Demostra que sin 40°  sin 20°  cos 10°, aplicant la cor-
responent fórmula de transformació de suma en producte.
Hi apliquem:
A  B A  B
sin A  sin B  2 sin
——— cos ———
2 2
sin 40°  sin 20°  2 sin 30° cos 10° 
1
 2
— cos 10°  cos 10°
2
8. Demostra que la constant de proporcionalitat del teore-
ma del sinus és 2 R, essent R el radi de la circumferència
circumscrita al triangle. Per fer-ho, inscriu el triangle en
una circumferència i compara’n els angles inscrits amb els
d’un triangle en què un costat sigui un diàmetre de la cir-
cumferència.
El triangle ABC és rectangle perquè AB és un diàmetre.

A 

A
perquè comprèn el mateix arc.
a a
sin

A  sin

A  — → ———  d  2 R
d sin 
A
9. Mirant des d’un cert punt, veiem el terrat d’un gratacels sota un angle de 60°. Amb quin angle el veuríem des d’una dis- tància doble de l’anterior?
h
Si h és l’altura i d la distància: tg 60° 
—
d
h h
d  ——— i tg   —— →
tg 60° 2d
h h h
→ 2d 
—— → 2 ———  ——
tg  tg 60° tg 
2 tg   tg 60° →
tg 60°
→ tg  
——— →   40,89°
2
10. A un fuster li han encarregat un tauler triangular. Dos dels
costats d’aquest triangle han de mesurar 1 m i 1,75 m i
l’angle oposat al primer costat, 30°. Té dades suficients el
fuster per fer el tauler? Raona la resposta.
Amb les dades del problema no es pot fer un únic tauler, tal com
es pot comprovar en la figura.
11. El radar d’un vaixell detecta un objecte en direcció est a 8
km de distància i un altre objecte en direcció nord-est a 6
km. Quina distància separa els dos objectes?
Les dues direccions formen un angle de 45°. Cal calcular el cos-
tat d’un triangle oposat a l’angle de 45°. Sabem que els altres
dos són 8 km i 6 km.
a
2
 8
2
 6
2
 286 cos 45° → a  5,67 km
12. Per fixar un pal a terra se’l subjecta mitjançant dos cables
per dos punts separats 20 m. Els cables formen amb el terra
angles de 75° i 60°. Determina l’altura del pal.
a 20
———  ——— → a  27,32 m
sin 75° sin 45°
h
sin 60° 
— →
a
→ h  asin 60°  23,66 m
L’altura del pal és: 23,66 m.
13. Un jugador de golf colpeja la pilota des de la posició de sortida per tal d’introduir-la al forat, que es troba a 350 m. El cop no ha estat gaire precís i la pilota, que s’ha desviat 20° de la direcció correcta, només ha assolit una distància
de 180 m. A quina distància del forat s’ha aturat la pilota?
d
2
 180
2
 350
2
 2180350 cos 20°
d  191,05 m

46 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
14. Construeix un triangle de costats 10, 35 i 39 cm. Quant me-
suren els seus angles?
Considerem:
a  10 cm, b  35 cm i c  39 cm.
10
2
 35
2
 39
2
 23539 cos A →
→ A  14,25°
Podem repetir el teorema del cosinus o aplicar el del sinus per
trobar l’angle B:
35 10
———  ————— → B  59,49°
sin B sin 14,25°
C  180°  (14,25°  59,49°)  106,26°
15. Dues persones, separades una distància de 5 km, observen
alhora un avió sota angles de 80° i 65° , respectivament.
Suposant que les persones i l’avió es troben en el mateix pla
vertical, calcula l’altura a què vola l’avió.
La figura seria com la de l’exercici 12. El tercer angle és 35°:
a 5
————  ———— → a  8,58 km
sin 80° sin 35°
h
sin 65° 
— →
a
→ h  a sin 65°  7,78 km
16. Dibuixa el triangle ABC en què a  12 cm, b  15 cm i
A  48°. Resol aquest triangle.
a b c
———  ———  ——— →
sin A sin B sin C
12 15 15sin 48°
→
———  ——— → sin B  —————
sin 48° sin B 12
B  68,27°
C  180°  (68,27°  48°)  63,73°
12 c
————  ————— →
sin 48° sin 63,73°
12sin 63,73°
→ c 
———————  14,48 cm
sin 48°
17. Construeix el triangle ABC tal que B  40°, C  63° i
a  12 cm. Resol el triangle i calcula’n l’àrea.
A  180°  (40°  63°)  77°
12 b c
———  ———  ——— →
sin 77° sin 40° sin 63°
12sin 40°
→ b 
—————  7,92 cm
sin 77°
12sin 63°
c 
—————  10,97 cm
sin 77°
18. Explica el procediment que seguiries per calcular la longitud
d’un pont que cal construir per salvar un barranc.
Des dels punts B i C qualssevol de la figura es mesuren els angles

B i

C. A partir de la longitud a es pot mesurar l’amplada que cal
que tingui el pont un cop resolt el triangle de la figura.
19. Una parcel
.
la de 6 ha té forma de trapezi rectangle. Un dels
costats paral
.
lels del trapezi mesura 500 m i l’angle adjacent,
60°. Calcula quants metres de tanca es necessiten per cercar
la parcel
.
la.
Amb les incògnites de la figura es poden plantejar les equacions
següents:
Àrea: 6 ha  60 000 m
2
→
(500  z) y
→ ——————  60 000
2
y

—  sin 60°  0,87
k
500  z 1
6
————  cos 60°  —
k 2

47MATEMÀTIQUES 1 la
En resoldre el sistema s’obté:
k  149,78 m
y  129,71 m
z  425,11 m
Cal calcular el perímetre per tenir els metres de tanca:
P  k  y  z  500  1 204,6 m
20. Es vol construir un túnel que travessi una muntanya en
línia recta. Per tal de determinar-ne la longitud, es con-
sidera un punt A d’una de les boques del túnel i un al-
tre punt B de l’altra boca, i es mesura la distància de cadas-
cun d’aquests punts a un altre punt O. S’obtenen 315 m i
375 m, respectivament. Si les direccions OA i OB formen un
angle de 46,9°, quina és la longitud del túnel?
L’amplada del túnel és el costat oposat a l’angle 46,9° i les lon-
gituds donades corresponen als altres dos costats:
a
2
 315
2
 375
2
 2315375 cos 46,9°
a  280,05 m
21. Una torre de telecomunicacions es troba situada a la part
més alta d’una muntanya. Situats en una plataforma, l’extrem
de l’antena es veu sota un angle de 60°. Si ens apropem
13 m, l’extrem de l’antena es veu sota un angle de 68° i, des
d’aquest mateix punt, es veu la base de la torre sota un angle
de 57°. Amb aquestes dades, calcula l’alçada de la torre.
13 a
——— 
——— → a  80,89 m
sin 8° sin 60°
h 80,89
———  ———— → h  28,34 m
sin 11° sin 147°
L’altura de la torre és de 28,34 m. Avaluació
1. La longitud de la hipotenusa d’un triangle rectangle és el triple que la d’un dels dos catets. Determina:
a) La mesura dels angles d'aquest triangle.
b) la raó entre la hipotenusa i l'altre catet.
Angles:


A 5 90º(angle recte).


B (angle agut entre els costats 3x i x):
cos

B 5
x
3x

5
1
3

→ 
B 570,53

C 5 90º 2

B 5 90º 2 70,53º 5 19,47º
Càlcul del catet c: Apliquem el teorema de Pitàgores:
Relació entre la hipotenusa i l’altre catet:
3 3 3 2 32
422 22 22 2
hx
c x
= = = ⋅=
2. Sabem que cos α =
5
13

i 0° < α < 90°. Calcula el valor de:
a) sin α

sins in
2
2 5
13
1
12
13αα+





=→ =
b) cos (180°  α)
cosº cos180
5
13
−()−−αα
c) tg (α)

tg tg−()=− =− =−αα
α
α
sin
cos
12
5
d) cos (180° + α)

cosº cos180
5
13
+()−−αα
e) sin (360° α)

sinº sin360
12
13
−() =− =−αα
3. Les longituds dels costats d’un triangle són de 8 cm, 11 cm i
13 cm. Calcula el valor del sinus de l’angle més petit d’aquest
triangle.
Anomenem: a = 8 cm, b = 11 cm, c = 13 cm
Apliquem el teorema del cosinus per trobar l’angle

A:
a
2
5 b
2
1 c
2
22bc·cos

A
8
2
5 11
2
1 13
2
22·11·13·cos

A
64 5 290 2 286·cos

A
290 2 64 226
cos

A 5 ——————  ———  0,79020979 →

A  37,8º
286 286
Trobem l’angle

B amb el teorema del sinus:
a b
———  ———
sin

A sin

B
8 11 11· sin 37,8º
————— 
——— → sin

B  —————— 
sin 37,8º sin 
B 8
11·0,612907 6,74197759
 ——————  ——————  0,842747198 →

B  57,4º
8 8
Deduïm que l’angle més petit és l’

A i llavors sin

A  0,612907
a
2
5 b
2
+ c
2
→ (3x)
2
5 x
2
+ c
2
→ 9x
2
5 x
2
+ c
2
c
2
5 9x
2
2 x
2
5 8x
2
→ c 5
()
22 22 22 2 22
2 22 2 2
39
9 8 8 22
abc x xc x xc
c xx x c x x
=+→ =+→ =+
= − = →= =

48 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
1
4. Si a  — i l’angle pertany al primer quadrant, expressa de
3
manera exacta el valor de:
a) tg a
Apliquem la igualtat fonamental de la trigonometria:
22
22 2 211
sin cos 1 cos 1 cos 1
33
 
α+ α= → + α= → α= −
 
 
2 18 8 8
cos 1 cos
99 9 3
α=−=→ α=+=+=
22
3
= + (primer quadrant)
tg
1
sin 1 1 2 2
3
cos 422 22 22 2
3
tg
α
α= = = = ⋅ =
α
b) sin (2a) Apliquem la fórmula d’addició de l’angle doble:
122 42
sin(2 ) 2sin cos 2
33 9
α = α⋅ α = ⋅ ⋅ =
5. D’un triangle sabem que la suma de les longituds de dos
costats a i b és d’11 m, que l’angle C oposat al tercer costat
val 30º i que l’area és de 7 m
2
. Calculeu:
a) La longitud de cadascum dels costats del triangle.
Tenim que a 1 b 5 11. Si designem per h l’altura sobre el
costat a es compleix:
11
sin30º
22
ba
hb
−
=⋅ = =
de forma que la condició sobre l’àrea del triangle, que es posarà inicialment com
7
2
ah⋅
=
dóna finalment
2
11 28 0aa− +=
que té com a solucions a 5 7 i b 5 4. Totes dues solucions
són equivalents, intercanviant els papers de a i b, de forma que triarem a 5 7 i b 5 4.
El tercer costat c es pot obtenir aplicant el teorema del co-
sinus:
22 2
2c os30º6 5283ca ba bc=+ −⋅⋅⋅ ⇔= − =
=+4,062336443m
b) La mesura dels dos angles desconeguts del t.
Si es designa per α l’angle entre els costats b i c el teorema
del cosinus també dóna:
cos 5
b
2
2 c
2
2 a
2
2 · b · c

, 20,5076334412,
de forma que a . 120,51º. L’angle que resta serà
b 5 180º 2 30º 2 a  29,49º
6. Dos angles α i β són complementaris. Si sin α 5
3 5
, calcula
el valor de:
a) sin β

sincos
sincos sincos=+
++ +===
+= →= =
3
5
1
4
5
22
b) sin (α + β)
sin (α +
β)  1, ja que α + β  90º
c) cos (α +
β)
cos (α +
β)  cos α cos β –sin α sin β  90º
d) tg 2α
tg 2α 
2tg α
1  tg
2
α
, amb tg α 
sin α
cos α


3
4

→ tg 2α 
24
7

j Unitat 4. Nombres complexos
Activitats
1. Identifica la part real i la part imaginària de cadascun dels
nombres complexos següents:
3
a)
—  √
3i
7
3
a 
—, b  √
3
7
b) 5  i
a  5, b  1
2
c) 
—
5
2
a  
—, b  0
5
d) 3i
a  0, b  3
e) 0,2  i
a  0,2, b  1
f) 1  i
a  1, b  1
2. Quin ha de ser el valor de p perquè el nombre complex
1

—  (p  2)i sigui un nombre real?
5

Cal que p  2  0 → p  2

49MATEMÀTIQUES 1 la
3. Quin valor té r si sabem que el nombre complex
1
(r  3) 
—i és imaginari pur?
7
Cal que r  3  0 → r  3
4. Escriu les arrels quadrades de cadascun d’aquests nombres:
a) 81
−±819i
9
b) ——
25
3
√

9

—
25
 
—i
5
c) 2
√
2

  √2i
d) 25
−=±255i
1
e) 
—
9
1
√

1 
—
9
 
—i
3
5. Resol, en el conjunt  dels nombres complexos, les equacions
següents:
a) x
2
 49  0
x
2
 49  0 → x
2
 49 →
→ x  7 i
b) 16x
2
 25  0
16x
2
 25  0 →
25 5
→ x
2
 —— → x   —i
16 4
c) x
2
 x  1  0
xx
x
i
2
10
11 4
2
1
2
3
2
++=→
→=
−± −
=
=−±
d) x
2
 18  0
x
2
 18  0 → x
2
 18 →
→ x  3
√
2 i
6. Compara les dues solucions obtingudes per a cadascuna de
les equacions de l’exercici anterior. Quina o quines relacions
hi trobes?
En els apartats a), b) i d) les dues solucions són dos nombres
imaginaris purs oposats. En l’apartat c) les dues solucions tenen
oposada la part imaginària.
7. Representa els afixos dels nombres complexos:
3
z
1
 8, z
2
 —  i, z
3
 4 i
2
3
z
1
és el punt (8, 0); z
2
és el punt 
—, 1
2
i z
3
és el punt (0,  4), representats en una referència carte-
siana.
8. Escriu tres nombres complexos que tinguin els seus afixos a
la bisectriu del primer i el tercer quadrants. Quina relació hi
ha entre la part real i la part imaginària de cadascun d’ells?
Resposta oberta. Per exemple: z
1
 2  2i; z
2
 1  i,
z
3
 √
2  √2 i. Tots aquests nombres tenen la part real igual
a la part imaginària.
9. És possible trobar un valor de k perquè els nombres
z
1
 3  2i i z
2
 2  (1  k)i siguin iguals? Raona la
resposta.
No és possible perquè tenen la part real diferent: 3  2.
10. Representa els afixos dels nombres complexos següents:
2 7
z
1
 1  i, z
2
 ——  —i, z
3
 2i,
3 3
z
4
 2  3 i, z
5
 10
2 7

—, —
3 3
11. Escriu els nombres complexos z
1
 5 i z
2
 1  i en
forma polar i en forma trigonomètrica.
z
1
 5  5
180°
 5 (cos 180°  i sin 180°)
z
2
 1  i  √
2
225°


√
2 (cos 225°  i sin 225°)

ja que rt g=− +− ==
−
−
=()() √√√11 2
1
1
22
iα 1 en el tercer
quadrant.
12. Troba el mòdul i l’argument del nombre complex z  2
(cos 225°  i sin 225°). Expressa’l en forma binòmica.
z  2 (cos 225°  i sin 225°)  2
225°
√
2 √2
cos 225°   ——, sin 225°   ——
2 2

√
2 √2
z  2

——  i 
——
 √
2  √2i
2 2

50 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
13. Comprova que les expressions binòmiques dels nombres
2
180°
, 2
180°
i 2
540°
coincideixen.
Raona per què els tres nombres complexos són iguals.
2
180°
 2
2
180°
 2
180°
 2
2
540°
 2
180°
 2 (540°  360°  180°)
Els tres nombres tenen el mateix mòdul i el mateix argument
principal.
14. Donats els nombres complexos:
4
z
1
 2  i ; z
2
 3 i i z
3
 —  3i
3
comprova que es verifiquen les propietats associativa de la
suma i associativa de la multiplicació.
Propietat associativa de la suma:
4
(2  i) 

(3i)  
—  3i

3
4 2
 (2  i ) 

—
 —  i
3 3
igual
4
[(2  i)  (3 i)] 

—  3i

3
4 2
 (2  4 i) 

—  3i
 —  i
3 3
Propietat associativa de la multiplicació:
4
(2  i)

3i 
—  3i

3
 (2  i ) (9  4 i)  22  i
igual
4
[(2  i) (3 i)]

—  3i

3
4
 (3  6 i)

—  3i
 22  i
3
15. Calcula:
2i  (1  4 i) 1
a)
——————  ———
1  2  4 i 2  i
2i  (1  4 i) 1  2i
——————  ———— 
1  2  4 i 1  4 i
(1  2 i) (1  4 i) 7 6

—————————  ——  —— i
(1  4 i) (1  4 i) 17 17
1 2  i 2  i 2 1
——— ———  ——— 
—  —i
2  i 2  i 5 5 5
7 6 2 1

——  —— i 
 
—  —i

17 17 5 5
69 47
 ——  —— i
85 85
(2  3 i)  (5  2 i) 3  i
b)
—————————  ————
4  3 i 4  2i
(2  3 i)  (5  2 i)
———————————— 
4  3 i
3  5 i 4  3i

—————  ————— 
4  3i 4  3i
3  29i 3 29

—————  ——  —— i
25 25 25
3  i 4  2i
————  ————— 
4  2i 4  2i
10  10 i 1 1

—————  —  —i
20 2 2
3 29 1 1

——  —— i 
 
—  —i

25 25 2 2
31 33
 ——  —— i
50 50
1  3i 3  i
c)
————  ————
1 1 4  2i
—
 —i
2 2
1 1

—  —i
1  3i 2 2
————— —————— 
1 1 1 1

—  —i —  —i
2 2 2 2
2  i 2  i
 —————  ————  4  2 i
1 1 1

—  — —
4 4 2
3  i 4  2i
————— ————— 
4  2i 4  2i
10  10 i 1 1
 —————— 
—  —i
20 2 2
1 1 7 3
(4  2 i) 

—  —i
 —  —i
2 2 2 2
2  ri
16. Se sap que el quocient
———— és un nombre real. Troba
1  i
el valor de r. Quin hauria de ser el valor de r perquè aquest
quocient fos imaginari pur?

51MATEMÀTIQUES 1 la
2  ri 1  i 2  r 2  r
———— ————  ————  ———— i
1  i 1  i 2 2
Per tal que sigui un nombre real:
2  r
————  0 → r  2
2
Per tal que sigui imaginari pur:
2  r
———  0 → r  2
2
17. Efectua:
a) (2i)
5
(2i)
5
 32 i
5
 32 i
b) (4i)
3
(4i)
3
 64 i
2
c)

—i
4
5
2 16

—i
4
 ——
5 625
i
d)

—
10
2
i i
10
i
2
1

—
10
 ——  ——  ———
2 2
10
2
10
1024
e) (
√
2 i)
2
( √ 2 i)
2
 2
f) (3 i
2
)
2
(3i
2
)
2
 9i
4
 9
g) (
√
3i )
6
(√3i )
6
 (3i)
3
 27i
h) i
225
i
225
 i, ja que el residu de dividir 225 entre 4 és 1.
18. Troba el nombre complex que resulta de les potències se-
güents:
a) (1  2i)
5
(1  2 i)
5
 (1  2 i)
2
(1  2 i)
2
(1  2 i) 
 (3  4 i)
2
(1  2 i) 
 (7  24 i) (1  2 i)  41  38 i
b) (1  i )
7
(1  i )
7
 ((1  i )
2
)
3
(1  i ) 
 (2i)
3
(1  i)  8i (1  i)  8  8i
c) (2  i )
6
(2  i)
6
 (( 2  i)
2
)
3
 (3  4i)
3

 (3  4i)
2
(3  4i) 
 (7  24i) (3  4i)  117  44i
1
d)

—  2i
4
2
1 1

—  2i
4
 
—  2i
2

2

2 2
15 161


——  2i 
2
 ——  15i
4 16
19. Calcula ( 1  2i)
4
. Recorda que com que es tracta d’un
1
exponent negatiu, z
4
 —.
z
4
1 1
(1  2i)
4
 —————  —————— 
(1  2i)
4
(( 1  2i)
2
)
2
1 1

—————  —————

(3  4i)
2
7  24i
1 7  24i

————— ————— 
7  24i 7  24i
7  24i 7 24

—————  ——  —— i
625 625 625
20. Comprova mitjançant l’exemple 2
90°
 1
180°
que no és certa la
igualtat r

 s

 (r  s)
  
.
2
90°
 1
180°
 2i  1  1  2i ⇒
5
r  √
5  3
2  1  3 tg   2
90°  180°  270° → tg 270° no existeix.
21. Calcula:

√
3 1 √3 1

——  —i

——  —i
2 2 2 2
Efectua l’operació amb les expressions bi nòmiques i amb les
polars. Compara’n els resultats.
En forma binòmica:

√
3 1 √3 1

——  —i

——  —i

2 2 2 2
3 1

—  —  1
4 4
En forma polar:

√
3 1 √3 1
—— 
—i  1
30°
; ——  —i  1
30°
⇒
2 2 2 2
⇒ 1
30°
1
30°
 1
0°
 1
Evidentment els dos resultats coincideixen.

52 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
1  i
22. Troba el quocient
———— utilitzant les expressions polars
1  i
dels dos nombres complexos.

1  i 
√
2
45°  315°
,  1  i  √2
135°
1  i
———— 
√
2
15°
: √2
135°
 1
180°
 1
1  i
23. Calcula (1  i)
5
de dues maneres diferents. Comprova que
n’obtens el mateix resultat.
Si passem de la forma binòmica a la forma polar tenim:
(1  i )
5
 (√
2
315°
)
5

 4
√
2
1575°
 4 √2
135°
Per la potència del binomi:
5 5 5
(1  i )
5
 

 

i  

i
2

0 1 2
5 5 5



i
3

 

i
4
 

i
5

3 4 5
 1  5 i  10  10 i  5  i 
 4  4 i  4
√
2
135°
24. Comprova que (1
60°
)
6
 1.
(1
60°
)
6
 1
360°
 1
0°
 1
25. Expressa en forma binòmica el resultat de (1
30°
)
15
.
(1
30°
)
15
 1
450°
 1
90°
 i
26. Expressa en forma binòmica les arrels quartes de z  4.
4
√
4 
4
√4
0°
⇒ mòdul
4
√4  √2. Els arguments surten d’aplicar
0°  k360°
——————— donant a k els valors 0, 1, 2, i 3. Són: 0°, 90°,
4
180° i 270°.
En forma binòmica:
√
2
0°
 √2; √2
90°
 √2i;
√2
180°
 √2; √2
270°
 √2i
27. Troba les arrels vuitenes d’1. A continuació, comprova que el
producte de dues qualssevol d’aquestes arrels és també una
arrel.
8
√
1 
8
√1
0°
⇒ mòdul:
8
√1  1. Per trobar els arguments proce-
0°  k360°
dim com en l’exercici anterior:
——————— amb k  0, k  1,
8
k  2, k  3, k  4, k  5, k  6 i k  7. Les arrels són: 1
0°
, 1
45°
,
1
90°
, 1
135°
, 1
180°
, 1
225°
, 1
270°
, 1
315°
. Multiplicant dues arrels qualssevol
se n’obté una de mòdul 1 i d’argument un múltiple de 45°.
28. Una de les arrels cúbiques d’un nombre complex és 1
60°
.
Calcula aquest nombre complex i les altres dues arrels.
3
√
z  1
60°
→ (1
60°
)
3
 z  1
180°

11
180
3
º
:+.++arg :⇒mòdulElsumentss?n
180°  k360
——————— , k  0, k  1 i k  2
3
Les arrels són:
1
60°
(ja la teníem); 1
180°
; 1
300°
29. Resol les equacions:
a) x
4
 16  0
x
4
 16  0 →
→ x 
4
√
16 
4
√16
180°
→
mòdul 
4
√
16  2
Arguments:
180°  k360°
————————, k  0, k  1,
4
k  2 i k  3 → 45°, 135°, 225°, 315°.
L’equació té 4 arrels complexes:
2
45°
, 2
135°
, 2
225°
i 2
315°
b) x
6
 i
x
6
 i ⇒ x 
6
√
i 
6
√1
90°
→
mòdul:
6
√
1  1
Arguments: 90°  k360°
——————— → k  0, k  1,
6
k  2, k  3, k  4 i k  5
Les sis arrels:
1
15°
, 1
75°
, 1
135°
, 1
195°
, 1
255°
, 1
315°
.
c) x
3
 8 i
x
3
 8i ⇒ x 
3
√
8i 
3
√8
270°
→
mòdul:
3
√
8  2
Arguments: 270°  k360°
———————— , k  0, k  1 i k  2 →
3
→ 90°, 210°, 330°
Les tres arrels són:
2
90°
, 2
210°
, 2
330°

53MATEMÀTIQUES 1 la
Activitats finals
1. Resol les equacions següents en el conjunt dels nombres
complexos:
a) x
2
 2x  2  0
2 
√
48
x
2
 2x  2  0 → x  —————— 
2
2 
√
4 2  2i x
1
 1  i

—————  ———— 
2 2
x
2
 1  i
b) x
2
 3x  6  0

xx x
2
36 0
39 24
2
−+ =→ =
±−
=
3 
√
15 3  √15i

—————  ———— 
2 2
3
√
15
x
1
 —  ——i
2 2

3 √15
x
2
 —  ——i
2 2
c) x
2
 25  0
x
2
 25  0 → x
2
 25 →
→ x  
√
25  5 i
2. Donats els nombres complexos z
1
 2  (3  p)i i
z
2
 5  4i, troba el valor de p sabent que z
1
 z
2
és un
nombre real.
z
1
 z
2
 2  (3  p) i  (5  4 i) 
 3  (7  p) i
Si ha de ser un nombre real, 7  p  0 → p  7.
3. Calcula:
1
a)

—  3i
 (3  i )  (2  5 i)
3
1


—  3i
 (3  i )  (2  5 i) 
3
1


—  3  2
 (3  1  5) i 
3
2
 
—  i
3
b) 10i  [(1  i )  (4  3i )]
10i  [(1  i )  (4  3i )] 
 10i  (3  4 i)  3  6 i
4. Comprova amb un exemple que quan se suma i quan es mul-
tiplica un nombre complex pel seu conjugat s’obté un nom-
bre real en cada cas.
Siguin, per exemple, z
1
 1  2i; z
2
 1  2i.
z
1
 z
2
 (1  2 i)  (1  2 i)  2
z
1
z
2
 (1  2 i)(1  2 i) 
 1  4 i
2
 1  4  5
5. Donats el nombres complexos z
1
 1  3i, z
2
 2  i i
z
3
 2i, comprova que es verifica la propietat distributiva
de la multiplicació respecte de la suma.
z
1
(z
2
 z
3
)  (1  3 i)(2  i  2 i) 
 (1  3 i) (2
 i)  1  7 i
(z
1
z
2
)  (z
1
z
3
)  (1  3 i) (2  i ) 
 (1  3i) 2i  (5  5i)  (6  2i)  1  7i
S’obté el mateix resultat.
6. Calcula en forma binòmica:
a) (2  i)
2
(2  i)
2
 4  4 i  i
2
 3  4 i
b) (2  3 i)
2
(2  3 i)
2
 4  12 i  9i
2
 5  12 i
c) (1  i )
2
(1  i )
2
 1  2 i  i
2
 2i
7. Efectua les operacions del numerador i del denominador en
les expressions fraccionàries següents i després, calcula’n el
quocient:
(4  7i)  (1  i ) (2  i )
a) ——————————————
(5  i )
2
(4  7 i)  (1  i ) (2  i )
————————————— 
(5  i)
2
(4  7i)  (1  3 i) 5  4i

——————————  —————
25  10i  i
2
24  10i
Calculem el quocient:
(5  4i) (24  10 i) 160  46i
———————————  ————— 
(24  10i) (24  10 i) 676
40 23
 ——  —— i
169 338
10  [(1  4 i)  (2  3 i)]
b)
—————————————
3i  (2  √

3i) (2  √

3i)

54 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
10  [(1  4 i)  (2  3 i)]
———————————— — 
3i  (2 
√
3i) (2  √3i)
11  i 11  i
 —————— 
———
3i  (4  3) 7  3 i
Calculem el quocient:
(11  i) (7  3 i) 80  26i
————————— 
—————— 
(7  3i) (7  3 i) 49  9
40 13

——  ——i
29 29
z 

z
8. Demostra que si z és un nombre complex, el quocient ———
z 

z
en què

z és el conjugat de z, és sempre un nombre complex
imaginari pur.
Sigui z  a  b i;

z  a  b i:
z 

z (a  b i)  (a  b i)
——— 
—————————— 
z 

z (a  b i)  (a  b i)
2b b
 ——i  —i
2a a
Efectivament, és un nombre imaginari pur.
9. Escriu en forma polar els nombres complexos que tenen per
afixos els vèrtexs de l’hexàgon regular de la figura 4.6.
El vèrtexs de l’hexàgon corresponen als nom bres complexos de
mòdul 1 i argument un angle múltiple de 60°. Són els següents: 1
0°
, 1
60°
, 1
120°
, 1
180°
, 1
240°
, 1
300°
.
10. Descriu la figura que s’obtindria en representar gràficament tots els nombres complexos de mòdul 2.
Tots els punts de la circumferència de centre l’origen de coorde- nades i de radi dos corresponen a tots els nombres complexos de mòdul 2.
11. Donat el nombre complex 1
60°
, escriu-lo en forma binòmica.
Troba’n l’oposat, el con jugat i l’invers.
1
1
60°
 a  b i; a  cos 60° 1  —;
2

√
3 1 √3
b  sin 60° 1  ——; z 
—  ——i
2 2 2
L’oposat:
1
√
3
z  
—  ——i
2 2
El conjugat:
1
√
3

z 
—  ——i
2 2
L’invers:
1 1
—  —————— 
z 1
√
3

—  ——i
2 2
1
√
3

—  ——i
2 2
 —————————————— 
1
√
3 1 √3


—  ——i

—  ——i
2 2 2 2
1
√
3

—  ——i
2 2 1
√
3
 ——————— 
—  ——i
1 2 2

1  i
12. Calcula

———
6
. Efectua primer la divisió i després la po-
tència.
1  i
1  i (1  i) (1  i ) 2i

———
6
 
————————
6
 
——
6

1  i (1  i) (1  i ) 2
 (i )
6
 i
6
 i
2
 1
13. Comprova que la suma de les arrels vuitenes de la unitat
dóna com a resultat zero.
Calculem les arrels vuitenes d’1:
8
√

1 
8
√

1
0°
→ mòdul:
8
√

1  1. Arguments:
0°  k360°
—————— , k  0, k  1, k  2, k  3,
8
k  4, k  5, k  6 i k  7.
Les arrels són:
1
0°
, 1
45°
, 1
90°
, 1
135°
, 1
180°
, 1
225°
, 1
270°
, 1
315°

55MATEMÀTIQUES 1 la
En forma binòmica:
1
0°
 1
1 1
1
45°
 ——  ——i

√
2 √2
1
90°
 i
1 1
1
135°
 ——  —— i

√
2 √2
1
180°
 1
1 1
1
225°
 ——  —— i

√2
√2
1
270°
 i
1 1
1
315°
 ——  —— i

√
2 √2
La suma:
1 1 1 1
1 

——  —— i
 i 
——  —— i
 1 

√
2 √2 √2 √2
1 1 1 1


——  —— i
 i  
——  —— i
 0

√
2 √2 √2 √2
14. Descriu la ﬁ gura que s’obtindria en representar gràﬁ cament
tots els nombres complexos l’argument dels quals és 60°.
Tots els nombres complexos d’argument 60° formen una semi-
recta d’origen l’origen de coordenades i que forma un angle de
60° amb el semieix positiu OX.
15. Determina el valor de la suma següent:
1  i  i
2
 ...  i
125
Cal tenir en compte que:
i  i
2
 i
3
 i
4
 i  1  i  1  0
Separant 1, la suma de les 125 potències successives de i conte-
nen 31 grups que sumen 0 i queda i
125
, ja que 125  314  1.
1  i  i
2
 ...  i
125
 1  i
125
 1  i
16. Expressa en forma binòmica el resultat de la divisió:
6
120°
: 3
30°
.
6
120°
: 3
30°
 2
90°
. Passant a forma binòmica: 2
90°
 2i.
17. Calcula el mòdul i l’argument de la tercera potència de
√
3 i.
(
√
3 i)
3
→ √3 i → r  2
1
tg   —— →   30°
√
3
(2
30°
)
3
 2
3
330°
 8
90°
18. Troba les arrels quartes de z  8  8 √
3i.
Passem a forma polar:
r  8
2
 (8 √
3)
2
 256; tg   √3,   60°
4
√256
60°
→ mòdul
4
√256 4, arguments:
60°  k360°
——————— , k  0, k  1, k  2 i k  3.
4
Arrels: 4
15°
; 4
105°
; 4
195°
; 4
285°
.
19. Dibuixa el triangle que té per vèrtexs els aﬁxos de les arrels
cúbiques de 8 i. De quin tipus de triangle es tracta?
3
√
8i 
3
√8
90°
→ mòdul
3
√8  2; arguments:
90°  k360°
—————— , k  0, k  1 i k  2.
3
Arrels: 2
30°
; 2
150°
; 2
270°
. Els afixos són els punts que tenen de
coordenades els components en forma binòmica.
Vèrtex A → 2
30°

 2 (cos 30°  i sin 30°) 
√
3  i → ( √3, 1)
Vèrtex B → 2
150°
 2 (cos 150°  i sin 150°) 
 
√
3  i → ( √3, 1)
Vèrtex C → 2
270°
 2 i → (0, 2)
Recta AB: y  1
3
Recta BC: y  2  ——x

√
3
3
Recta AC: y  2  ——x

√
3
El triangle és equilàter.
20. Calcula la suma dels quadrats de les ar rels cúbiques de 8.
3
√8 
3
√8
180°
→ mòdul
3
√8 2; arguments:
180°  k360°
——————— , k  0, k  1 i k  2.
3
Arrels: 2
60°
; 2
180°
; 2
300°
. Calculem els quadrats:
(2
60º
)
2
 4
120°
 4 (cos 120°  i sin 120°) 

56 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
1 √3
 4

—  ——i
 2  2 √
3i
2 2
(2
180°
)
2
 4
360°
 4
(2
300°
)
2
 4
600°
 4
240°

 4 (cos 240°  i sin 240°) 
1
√
3
 4

—  ——i
 2  2 √
3i
2 2
Suma: (2  2
√
3i)  4  (2  2 √3i)  0
21. Troba les arrels cúbiques de  27. Comprova que una d’aques
tes arrels és el nombre real  3.
3
√
27 
3
√ 27
180°
→ mòdul:
3
√ 27  3.
Arguments:
180°  k360°
———————, k  0, k  1 i k  2.
3
Les arrels: 3
60°
; 3
180°
 3; 3
300°
.
22. Calcula les arrels quartes de 16 i comprova que dues d’aques
tes arrels són nombres reals.
4
√
16
4
√16
0°
→ mòdul:
4
√16 2;
Arguments:
0°  k360°
—————— , k  0, k  1, k  2 i k  3.
4
Arrels: 2
0°
 2; 2
90°
; 2
180°
 2; 2
270°
.
Les arrels 2 i 2 són nombres reals.
23. Una de les arrels cúbiques del nombre complex z és 2
130°
.
Calcula z i les altres dues arrels.
3
√
z 2
130°
→ z  (2
130°
)
3
 8
390°
 8
30°
3
√
8
30°
→ mòdul: 2.
30°  k360°
Arguments:
——————
3
Arrels: 2
10°
; 2
130°
; 2
250°
.
24. Utilitza el mètode més senzill per calcular (1  i)
10
.
Per què creus que el mètode que has utilitzat és el més
senzill?
El mètode més senzill és passar el nombre complex a la forma
polar:
1  i 
√
2
225°
(√ 2
225°
)
10
 √ 2
10
2250°
 32
90°
 32 i
25. Representa gràﬁ cament les arrels quartes de 16.
Les arrels quartes de 16 s’han obtingut en l’exercici 22. Els seus
afixos són els punts (2, 0); (0, 2); ( 2, 0) i (0,  2).
Avaluació
1. Resol les equacions següents en el conjunt dels nombres complexos:
a) x
2
 25  0
x
2
 25  0 → x
2
 225 → x   √
225  5i
b) 9x
2
 1  0
1 1 1
9x
2
 1  0 → x
2
 2— → x  
√

2——  —i
9 9 3
c) x
2
 x  1  0
21 
√
1 2 4 21  √ 3i
x
2
 x  1  0 → x  ———————  ———— 
2 2
1 √
3
2
—— 1 —— i
2 2
 1 √3
2
—— 2 —— i
2 2
d) x
2
2 4x  5  0
4 
√
16 2 20 4  2i
x
2
2 4x  5  0 → x  ———————  ——— 
2 2
2  i

2 2 i
2. Donats els nombres complexos z
1
 1 22i i z
2
24 1 6i,
calcula’n:
a) z
1
1 z
2

(1 – 2i) + (–4 + 6i) = –3 + 4i
b) z
1
2 z
2

(1 – 2i) – (–4 + 6i) = (1 – 2i) + (4 – 6i) = 5 – 8i
c) z
1
 z
2
(1 – 2i) · (–4 + 6i) = –4 + 6i + 8i + 12 = 8 + 14i
d) el quocient z
1
: z
2
12
46
12
46
46
46
4681 2
1
−
−+
=
−
−+
⋅
−−
−−
=
−−+−i
i
i
i
i
i
ii
6636
162
52
16
52
2
52
4
13
1
26
+
=
−+
=
=
−
+=
−
+
i
ii

57MATEMÀTIQUES 1 la
3. Expressa els nombres complexos z
1
 21 1 i i z
2
 1 2 √3i
en forma polar i calcula z
1
4
: z
2
.
z
1
 21 1 i  √
2
135º
; z
2
 1 2 √ 3  2
300º
(z
1
)
5

 1√
2
135º
2
5
5 √ 2
5
675º
 4√
2
315º
zz
1
4
2 135
4
300 120 240
2222::
ºº ºº
=() ==
−
4. Considera els nombres complexos z
1
{2 = 3i i z
2
{ 3 4 ki.
Troba el valor de k per tal que el quocient z
1
: z
2
sigui:
a) Un nombre real.

33
3
3
3
63 29
9
63
9
22
+
−
⋅
+ +
=
−+ +
+
=
−
+
i
ki
ki ki
kk i
k
k
k
()
++
+
+
+=→=−
29
9
29 0
9
2
2
k
k
kk
b) Un nombre complex imaginari pur.
6  3k  0 → k  2
5. Una de les arrels quadrades d’un nombre complex z és z
1
{
{ 3 = 5i. Calcula z i l’altra arrel quadrada, z
2
.
z  z
1
2
 (3 1 5i)
2
 16  30i
z
2
 z
1
 3  5i
6. Determina les arrels quartes de 416 i expressa el resultat
en forma polar i en forma binòmica.

−= ==
=→
+⋅
1616 2 012 3
0
4
180
4
45 90ºº º
,=,=,=,==
k
k
k
i
zzi
kz i
kz
14 5
2 135
3 225
22 2
12 22
22
== +
=→ == −+
=→ =
º
º
º
= =−−
=→ == −
22
02 22
4 315
i
kz i
º

58 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
j Unitat 5. Vectors en el pla
Activitats
1. Compara els sentits dels parells de vectors (fig. 4.2) se-
güents:
→
p i
→
q
→
q i
→
r
→
q i
→
s

→
p i
→
q sentit contrari;
→
q i
→
r sentit contrari;
→
q i
→
s mateix sentit.
2. Dibuixa dos vectors que tinguin el mateix mòdul, la mateixa
direcció i els sentits contraris.
3. Dibuixa dos vectors que tinguin diferent mòdul i diferent
direcció. Pots comparar-ne els sentits?
No, perquè els sentits de dos vectors només són comparables si
tenen la mateixa direcció.
4. Determina els components cartesians i el mòdul de cadascun
dels vectors següents. En cada cas fes-ne la representació
gràfica.
a) AB
→
amb A(2, 4) i B(6, 10)
AB
→
 (6  (2), 10  4)  (8, 6)
AB
→
 
√8
2
 6
2
 10
b) CD
→
amb C(6, 2) i D(3, 2)
CD
→
 (3  6, 2  2)  (3, 4)
CD
→
 
√(3)
2
 (4)
2
 5
c) EF
→
amb E(0, 0) i F(1, 3)
EF
→
 (1, 3)
EF
→
 
√(1)
2
 (3)
2
√10
d) GH
→
amb G(1, 2) i H(4, 9)
GH
→
 (4  (1), 9  (2))  (3, 7)
GH
→
 
√(3)
2
 (7)
2
√58
5. Es pot definir el vector nul com aquell que té l’origen i
l’extrem en el mateix punt. Quins són els components carte-
sians i el mòdul del vector nul?
Els components cartesians del vector nul són (0, 0) i el mòdul
és 0.
6. Sabent que RS
→
 (4, 7) i R(6, 2), determina les coordena-
des del punt S analíticament i gràficament.
Anomenem S(x, y)
RS
→
 (4, 7), amb R(6, 2)
(4, 7)  (x  6, y  2) →
4  x  6 → x  10 →
→
7  y  2 → y  5
→ S  (10, 5)
7. Donats els punts P (5, 2) i Q(8, 2), troba els components
cartesians i el mòdul dels vectors PQ
→
i QP
→
. Representa’ls
gràficament i compara’n el mòdul, la direcció i el sentit.
PQ
→
 (8  5, 2  (2))  (3, 4)
PQ
→
  √
3
2
 4
2
 5
QP
→
 (5  8, 2  2)  (3, 4)
QP
→
 
√(3)
2
 (4)
2
 5

59MATEMÀTIQUES 1 LA
Els vectors PQ
→
i QP
→
tenen el mateix mòdul, la mateixa direcció
i sentits contraris.
8. Les coordenades de l’extrem del vector AB
→
 (5, 3) són
(1, 4). Determina’n les coordenades de l’origen. Fes la reso-
lució gràfica i l’analítica.
Anomenem A(x, y)
(5, 3)  (1  x, 4  y)
5  1  x → x  4

3  4  y → y  7
A(4, 7)
9. Representa gràficament els vectors:
a) MN
→
 (5, 3) amb M(1, 2)
Anomenem N (x, y)
(5, 3)  (x  1, y  2)
x  4; y  5
N (4, 5)
b) PQ
→
 (1, 4) amb Q(2, 5)
Anomenem P(x, y)
(1, 4)  (2  x, 5  y)
x  3; y  9
P(3, 9)
c) RS
→
 (2, 3) amb R(1, 4)
Anomenem S(x, y)
(2, 3)  (x  1, y  4)
x  1; y  7
S(1, 7)
10. Si F
→
  40 N, troba els components cartesians d’aquesta
força (fig. 5.13).
√2
F
x
 F
→
  cos 45°  40  ——  20
√2
2
√2
F
y
 F
→
  sin 45°  40  ——  20
√2
2 6
F
→
 (20
√2, 20 √2) N

60 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
11. Expressa en forma polar el vector posició de cadascun dels
punts següents:
a) (1, 1)
Mòdul: √2
Argument: tg   1 →   315°
6
√2
315°
b) (1, 1)
Mòdul: √2
Argument: tg   1 →   135°
6
√2
135°
c) (1,  √3)
Mòdul: 2
Argument: tg   √3 →   240° 6
2
240°
d) (√3, √3)
Mòdul: 2
Argument: tg   1 →   45°
6
2
45°
e) (5, 12)
Mòdul: 13
12
Argument: tg   —— →   67,38°
6
5
13
67,38°
f) (8, 6)
Mòdul: 10
3
Argument: tg   
— →   143,13° 6
4
10
143,13°
12. Calcula les coordenades cartesianes dels punts M, N, R i S els
vectors posició dels quals són, respectivament:
→
m  6
45°

→
n  4
150°

→
r  2
240°

→
s  10
300°

√2
m
x
 
→
m  cos 45°  6  ——  3
√2
2
√2
m
y
 
→
m  sin 45°  6  ——  3
√2
2 6
M(3
√2, 3 √2)
√3
n
x
 
→
n  cos 150°  4  
——
 2
√3
2
1
n
y
 
→
n  sin 150°  4  —  2
2 6
N(2
√3, 2)
1
r
x
 
→
r  cos 240°  2  
—
 1
2

√3
r
y
 
→
r  sin 240°  2  
——
 
√3
2 6
R(1, 
√3)
1
s
x
 
→
s  cos 300°  10  —  5
2

√3
s
y
 
→
s  sin 300°  10  
——
 5
√3
2 6
S(5, 5
√3)
13. El vector
→
r té l’origen en el punt (0, 1) i l’extrem en el punt
(2, 3). El vector
→
t, equipol ·lent a l’anterior, té l’origen en
el punt (2, 4). Troba’n les coordenades de l’extrem.
→
r  (2  0, 3  1)  (2, 4)
Representem per (x, y) les coordenades de l’extrem del vec-
tor
→
t:
→
t  (x  2, y  4)
Com que
→
r i
→
t són equipol·lents, es verifica:
(2, 4)  (x  2, y  4) → x  4, y  8
L’extrem del vector
→
t és el punt (4, 8).
14. Dibuixa els vectors
→
r i
→
t de l’exercici anterior i uneix-ne,
mitjançant segments, els punts origen i els punts extrem.
Quina figura obtens?
S’obté un paral
.
lelogram.
15. Considera els punts A(3, 2), B(5, 4), C(1, 5) i D(x, y).
Calcula les coordenades del punt D sabent que els vectors
AB
→
i CD
→
són equipol ·lents.
AB
→
 (5  3, 4  2)  (2, 6)
CD
→
 (x  1, y  5) 6

61MATEMÀTIQUES 1 LA
(2, 6)  (x  1, y  5) → x  3, y  1
D(3, 1)
Les coordenades del punt D són D(3, 1).
16. Els punts A , B i C de la figura 5.15 són tres vèrtexs consecutius
d’un paral
.
lelogram. Troba les coordenades del quart vèrtex D.
Anomenem D(x, y).
A(2, 3); B(2, 6); C(4, 4)
Es compleix que:
AB
→
 DC
→
→ (4, 3)  (4  x, 4  y) →
→ x  0, y  1
El quart vèrtex del paral
.
lelogram se situa en el punt D(0, 1).
17. Donats els vectors:
→
a  (2, 4),
→
b  (5, 7) i
→
c  (7, 1)
comprova que es verifica:
a)
→
a 
→
b 
→
b 
→
a
b)
→
a  (
→
b 
→
c)  (
→
a 
→
b) 
→
c
c) 2  (
→
a 
→
b)  2 
→
a  2
→
b
d) (3  4) 
→
c  3 
→
c  4 
→
c
e)
→
a 
→
b  (
→
b 
→
a)
1
f)
—  (4 
→
a)  2 
→
a
2
Els resultats que s’obtenen en els dos membres de cadascuna de
les igualtats són:
a) (3, 3); b) (4, 2); c) (6, 6); d) (49,  7); e) (7,  11);
f) (4,  8)
18. Determina els components dels vectors 3
→
v i 4
→
v si
→
v  (3, 2). Compara el mòdul, la direcció i el sentit de ca-
dascun dels dos vectors amb el mòdul, la direcció i el sentit
del vector
→
v.
3
→
v  3  (3, 2)  (9, 6)
Mòdul: 3
→
v  3 
→
v
3
→
v
Direcció: la mateixa que
→
v
Sentit: el mateix que
→
v
4
→
v  4 (3, 2)  (12, 8)
Mòdul: 4
→
v  4  
→
v
4
→
v
Direcció: la mateixa que
→
v
Sentit: l’oposat a
→
v
19. Si
→
p  (4, 2) i
→
q  (2, 3), quins són els components del
vector
→
s 
→
p 
→
q? Dibuixa els vectors
→
p i
→
q amb origen
a l’origen de coordenades i troba gràficament el vector
→
s.
Comprova que coincideix amb el resultat que havies obtin-
gut. Calcula el mòdul dels vectors
→
p,
→
q i
→
s, i comprova que es
verifica 
→
s  
→
p  
→
q .
→
s 
→
p 
→
q  (4, 2)  (2, 3)  (2, 5)

→
p  √4
2
 2
2
 √20  2 √5

→
q 
√(2)
2
 3
2
 √13

→
s 
√2
2
 5
2
 √29 6
Es compleix que:
√29 2 √5  √13
20. Donats els vectors
→
c  (2, 7) i
→
d  (5, 3), troba els
components dels vectors 2 
→
c  3 
→
d i 3 
→
c  2 
→
d.
2
→
c  3
→
d  2 (2, 7)  3 (5, 3) 
 (4, 14)  (15, 9)  (11, 5)
3
→
c  2
→
d  3 (2, 7)  2 (5, 3) 
 (6, 21)  (10, 6) = (–16, 27)
21. S’anomenen vectors unitaris els vectors que tenen mòdul 1. Quin és el mòdul del vector
→
v  (3, 4)?
3 4
Comprova que el vector
→
u  
—, —
és unitari i que té la
5 5
mateixa direcció i el mateix sentit que el vector
→
v. Hi ha un
altre vector unitari en la mateixa direcció que
→
v? Quin?

62 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA

→
v  √3
2
 4
2
 5
3 4

→
u 
√


—
2
 
—
2
 1
5 5
Es verifica que
→
v  5
→
u. Per tant, els vectors
→
v i
→
u tenen la ma-
teixa direcció i el mateix sentit (5  0).
3 4
El vector
→
u  
—, —
 
→
u té també la mateixa direcció
5 5
que el vector
→
v i també és unitari.
22. Raona per què el vector
1
→
u —
→
v

→
v
és un vector unitari que té la mateixa direcció i el mateix
sentit que el vector
→
v.
1 1
Si
→
u  — 
→
v, 
→
u  —  
→
v  1.

→
v 
→
v
Es compleix que
→
v  
→
v
→
u, amb 
→
v  0. Per tant, el vector
→
u
és unitari i té la mateixa direcció i el mateix sentit que el vec-
tor
→
v.
Determina els vectors unitaris en la direcció i el sentit dels
vectors:
a)
→
a  (5, 12)

→
a 
√5
2
 (12)
2
 13 →
5 12
→
→
u  
——, ——
13 13
b)
→
b  (6, 8)
√(6)
2
 8
2
 10 →
3 4
→
→
u  
—, —
5 5
c)
→
c  (2, 4)

→
c 
√(2)
2
 (4)
2
 √20  2 √5 →
√5 2 √5
→
→
u  
——, ——— 
5 5
d)
→
d  (1,
√3)

→
d 
√
1
2
(√3)
2  2 →
1 √3
→
→
u  
—, ——
2 2
23. Donats els vectors
→
a  (4, 1) i
→
b  (2, 3), troba’n les
combinacions lineals següents:
a) 3 
→
a  2 
→
b
3
→
a  2
→
b  3
→
a  2 (
→
b) 
 3 (4, 1)  2 (2, 3)  (8, 9)
1 2
b)
— 
→
a  — 
→
b
2 3
1 2 1 2
—
→
a  —
→
b  — (4, 1)  — (2, 3) 
2 3 2 3
10 3


——, —
3 2
c) 
→
a  5  b
→

→
a  5
→
b  (4, 1)  5 (2, 3)  (6, 16)
24. Esbrina si són linealment dependents o independents els
parells de vectors següents:
a) (4, 7) i (8, 14)
4 7
——  —— → linealment independents
8 14
b) (3, 0) i (1, 0)
(3, 0)  3 (1, 0) → linealment dependents
c) (5, 2) i (5, 2)
5 2
——  —— → linealment dependents
5 5
1 4
d)

—, 3
i 
2, —
2 3
1
—
2 3
——  —— → linealment independents
2 4
—
3
25. Els vectors (5, 4) i (2, a) són linealment dependents. Cal-
cula a.
5 4 8
—— 
— → 5a  8 → a   —
2 a 5
26. Els vectors (4, 7) i (x, 14) són linealment independents.
Quins valors pot tenir x?
4 7 4 1
—  —— → —  — → x  8
x 14 x 2
x pot prendre qualsevol valor real diferent de 8.

63MATEMÀTIQUES 1 LA
27. Demostra que els vectors (1, 2), (2, 4) i (2, 1) són lineal-
ment dependents.
N’expressem un en combinació lineal dels altres dos:
(2, 4)  k (1, 2)  h (2, 1)
2  k  2h
k  2, h  0
4  2k  h
6
Llavors es compleix que
(2, 4)  2 (1, 2)  0 (2,  1)  2 (1, 2)
és a dir, els tres vectors són linealment dependents.
28. Representa gràficament els vectors de l’exercici anterior
prenent per a tots ells el mateix origen.
29. Expressa el vector (2, 7) en combinació lineal dels vectors
(1, 3) i (2, 1).
(2, 7)  k (1, 3)  h (2, 1)
2  k  2 h 16 1
k 
——, h  ——
7  3 k  h 6
7 7
16 1
(2, 7)  —— (1, 3)  —— (2, 1)
7 7
30. Sense fer cap càlcul, expressa els vectors
→
c,
→
d i
→
e en combi-
nació lineal dels vectors
→
a i
→
b (fig. 5.24).
→
c  2
→
a
→
d  4
→
a  2
→
b
→
e  2
→
a  2
→
b
31. Quins dels parells de vectors següents són una base del pla?
Justifica’n la resposta.
a) (1, 4) i (2, 8) b) (2, 0) i (1, 4)
c) (3, 2) i (1, 5) d) (1, 0) i (3, 0)
Els dels apartats b) i c), ja que són parells de vectors linealment
independents.
2 0 3 2
b)
—  — c) ——  —
1 4 1 5
32. Els components del vector
→
p en la base:
B 
{(4, 1), (5, 2) }
són (3, 1). Determina els components de
→
p en la base
canònica.
→
p  3 (4, 1)  (1) (5, 2) 
 (12, 3)  (5, 2)  (7, 5)
Els components de
→
p en la base canònica són (7, 5).
33. Troba els components del vector (7, 7) en la base
B 
{
→
u
1
,
→
u
2
}, on
→
u
1
 (3, 1) i
→
u
2
 (1, 2). Comprova gràfi-
cament el resultat obtingut prenent un origen comú per als
tres vectors.
Expressem el vector (7, 7) en combinació lineal dels vectors de
la base B:
(7, 7)  ku
1
 hu
2
 k (3, 1)  h (1, 2)
(7, 7)  (3k, k)  (h, 2h)
(7, 7)  (3k  h, k  2h)
7  3k  h
k  3; h  2
7  k  2h
6
Els components del vector (7, 7) en la base B són (3, 2)
(7, 7)  3
→
u
1
 2
→
u
2

64 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
34. Indica tots els parells de vectors de la figura 5.29 que són
una base del pla. Raona la resposta.
→
a i
→
c;
→
a i
→
d;
→
a i
→
e;
→
b i
→
c;
→
b i
→
d;
→
b i
→
e;
→
c i
→
d;
→
c i
→
e;
→
d i
→
e
En tots els casos es tracta de parells de vectors linealment in-
dependents (tenen diferent direcció).
35. Donats els vectors
→
p  (3, 4) i
→
q  (2, 1), calcula:
a) El seu producte escalar.
→
p 
→
q  3  2  (4)  1  6  4  2
b) L’angle que formen.

→
p 
→
q 2 2
√5
cos   ———— 
————  ——— →

→
p  
→
q 5 
√5 25
→   79,7°
c) L’angle format pels vectors
→
p i 
→
q. Resol aquest apartat de
diferents maneres i compara’n els resultats obtinguts.
L’angle que formen els vectors
→
p i 
→
q és el suplementari de
l’angle . Si el representem per :
  180°   
 180°  79,70° 100,3°
d) L’angle que formen els vectors 
→
p i 
→
q.
L’angle que formen els vectors 
→
p i 
→
q és el mateix que el
que formen els vectors
→
p i
→
q:
  79,7°
36. Donats els vectors
→
a  (1, 2),
→
b  (3, 4) i
→
c  (2, 5),
comprova que es verifica la igualtat:
→
a  (
→
b 
→
c) 
→
a 
→
b 
→
a 
→
c
Primer membre:
→
a  (
→
b 
→
c)  (1, 2)  [(3, 4)(2, 5) ] 
 (1, 2)  (1, 9)  1  18  17
Segon membre:
→
a 
→
b 
→
a 
→
c 
 (1, 2)  (3, 4)  (1, 2)  (2, 5) 
 5  12  17
→
a  (
→
b 
→
c) 
→
a 
→
b 
→
a 
→
c
37. El resultat de (
→
v 
→
w)
→
t, és un nombre real o un vector? Per
què? Fes els càlculs per a
→
v  (2, 4),
→
w  (1, 1) i

→
t  (4, 3).
És un vector, ja que és el resultat de multiplicar un nombre real
(
→
v 
→
w) per un vector (
→
t).
(
→
v 
→
w)
→
t  [(2, 4)  (1, 1)](4, 3) 
 2(4, 3)  (8, 6)
38. Donats els vectors
→
a  (2, 1),
→
b  (3, 4) i el nombre real
k  3, comprova que es verifica (k
→
a) 
→
b 
k(
→
a 
→
b).
Primer membre:
(k
→
a) 
→
b  [3 (2, 1)]  (3, 4) 
 (6, 3)  (3, 4)  18 12  6
Segon membre:
k(
→
a 
→
b)  3 [(2, 1)  (3, 4)] 
 3(2)  6
39. Demostra que el triangle de vèrtexs els punts A(1, 2),
B(6, 5) i C(3, 10) és rectangle en B. Quant mesuren els al-
tres dos angles del triangle?
Si és rectangle en B,

B  90°. Aleshores els vectors BC
→
i BA
→

han de ser perpendiculars → BC
→
 BA
→
 0.
BC
→
 (3, 5); BA
→
 (5, 3)
BC
→
 BA
→
 15  15  0
Com que els catets BC i BA són iguals, BC
→
  BA
→
  √
34, el
triangle rectangle és isòsceles i, per tant,

A 

C  45°.
40. Troba un vector de mòdul 2 que sigui ortogonal al vector
→
v  (4, 3). Analitza les diferents solucions que has ob-
tingut.
Hi ha dos vectors perpendiculars al vector
→
v que tenen el mateix
mòdul que aquest vector:
→
w
1
 (3, 4) i
→
w
2
 (3, 4). Els
vectors
→
w
1
i
→
w
2
tenen la mateixa direcció i sentit contrari.
Com que 
→
w
1  
→
w
2  5, els vectors que ens demanen són:
2 2 6 8
→
t
1
 —
→
w
1
 — (3, 4)  
—, —
5 5 5 5
2 2 6 8
→
t
2
 —
→
w
2
 — (3, 4)  
—, —
5 5 5 5
El problema té, doncs, dues solucions.

65MATEMÀTIQUES 1 LA
41. Els punts A(1, 2), B(3, 5) i C(7, 4) són tres vèrtexs conse-
cutius d’un paralel
.
logram. Troba les coordenades del quart
vèrtex i les del punt intersecció de les diagonals. Fes-ne la
representació gràfica.
Anomenem D(x, y) el quart vèrtex del paral·lelogram.
AB
→
 DC
→
→ (2, 3)  (7  x, 4  y) →
→ x  5, y  1 → D(5, 1)
Les coordenades del punt intersecció de les diagonals del pa-
ral
.
lelogram són les coordenades del punt mitjà del segment
d’extrems A i C, o bé, B i D.
1  7 2  4
M 

————, ———— 
 (4, 3)
2 2
42. Els punts P(3, 7) i Q(5, 13) són els extrems d’un dels dià-
metres d’una circumferència. Determina’n les coordenades del centre i calcula’n el radi.
Dibuixa aquesta circumferència.
El centre C de la circumferència és el punt mitjà d’un qualsevol dels seus diàmetres.
3  5 7  13
C 

————, —————
 (4, 3)
2 2
El radi és la distància del centre a un punt qualsevol de la cir- cumferència.
r  CP
→
; CP
→
 (1, 10)
r 
√(1)
2
(10)
2
 √100
43. Troba les coordenades dels punts que divideixen el segment
d’extrems A(12, 6) i B(0, 9) en tres parts iguals.
AB
→
 3 AC
→
, amb C(x
1
, y
1
)
(12, 3)  3 (x
1
 12, y
1
 6)
(12, 3)  (3x
1
 36, 3y
1
18)
12  3x
1
 36 → x
1
 8
3  3y
1
 18 → y
1
 7
Les coordenades del punt C són (8, 7).
AB
→
 3 DB
→
, amb D(x
2
, y
2
)
(12, 3)  3 (x
2
, 9  y
2
) →
→ (12, 3)  (3x
2
, 27  3y
2
)
12  3x
2
→ x
2
 4
3  27  3y
2
→ y
2
 8
Les coordenades del punt D són (4, 8).
44. Els punts A(2, 5), B(3, 2) i C(1, p) estan alineats.
Calcula p.
S’ha de verificar que: AB
→
 k BC
→
:
(1, 7)  k(4, p  2)
1
1  k (4) → k  
—
4
1
7  k(p  2) → 7  
— (p  2) →
4
→ p  26
45. Determina les coordenades del baricentre del triangle de vèr- texs els punts P(3, 4), Q(2, 6) i R(4, 10).
Les coordenades del baricentre G del triangle són:
x
1
 x
2
 x
3
y
1
 y
2
 y
3
G
——————— , ——————— 

3 3

5


—, 0
3
Activitats finals
1. Donats els punts A(2, 3) i B(5, q), troba q sabent que
AB
→
  5.
AB
→
 (3, q  3) →
→ AB
→
 
√3
2
(q  3)
2
 5

66 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
3
2
 (q  3)
2
 5
2
→
→ (q  3)
2
 25  9  16 →
q  3  4 → q  7
→ q  3  
√16
q  3  4 → q  1
Hi ha dues solucions per al problema: q
1
 7 i q
2
 1.
1
2. Els vectors AB
→
i BC
→
verifiquen AB
→
 —BC
→
. Si A(6, 2)
2
i B(0, 4), quines són les coordenades de C?

Anomenem C(x, y)
1 1
AB
→
 — BC
→
→ (6, 2)  — (x, y  4) →
2 2
→ (12, 4)  (x, y  4) → x  12, y  8
Les coordenades del punt C són (12, 8).
3. Calcula els components cartesians del vector 10
210°
, donat
en forma polar.
Representem per
→
v aquest vector:

v
x
 10 cos 210°  5
√3
→
v  10
210°
v
y
 10 sin 210°  5
Per tant,
→
v  (5
√3, 5).
4. Sabent que F
→
1  60 N i F
→
2  40 N, calcula  perquè el cos
de la figura (fig. 5.49) es mogui en la direcció de l’eix X.
Perquè el cos es mogui en la direcció de l’eix OX, cal que la suma dels
components segons l’eix OY de les forces F
→
1
i F
→
2
sigui igual a zero.
1
F
1y
 F
→
1  sin 30°  60  —  30
2
F
2y
 F
→
2  sin   40 sin 
F
1y
 F
2y
 0 → 30  40 sin   0 →
3
→ sin  
— →   48,59°
4
5. Donats els vectors
→
a  (5, 7),
→
b  (3, 6) i
→
c  (10, 4),
calcula:
a)
→
a  2 
→
b  3 
→
c
(5, 7)  2 (3, 6)  3 (10, 4) 
 (41, 31)
1
b) 4

→
a  — 
→
c
2
1
4 (5, 7) 
— (10, 4)  (15, 26)
2
c)
→
a 
→
b
(5, 7) ⋅ (3, 6)  57
d)
→
b  (
→
c 
→
a)
(3, 6) ⋅ [(10, 4)  (5, 7)] 
 (3, 6) ⋅ (5, 3)  3
6. Calcula els components cartesians del vector
→
u que verifica
les condicions següents:
a) És unitari.
b) Té la mateixa direcció que el vector
→
v  (6, 8), però
sentit contrari.

→
v 
√(6)
2
 8
2
 10
1 3 4
→
u   —— (6, 8)  
—, —
10 5 5
7. Els vectors
→
v i
→
w són ortogonals i tenen el mateix mòdul. Es-
brina els components de
→
w sabent que
→
v  (5, 2). Quantes
solucions has trobat? Raona-ho.
Si els vectors
→
v i
→
w tenen el mateix mòdul i són ortogonals,

→
v ⋅
→
w  0 i 
→
v  
→
w 
√29.
El problema té dues solucions:
→
w
1
 (2, 5) i
→
w
2
 (2, 5).
(5, 2) ⋅ (w
x
, w
y
)  0 5w
x
 2w
y
 0

√
w
x
2
 w
y
2

√29 6
w
x
2
 w
y
2
 29 6
w
x
 2 → w
y
 5
8. Els components del vector
→
a en la base B  {(1, 3), (2, 1) }
són (5, 2). Quins són els components d’aquest mateix vector
en la base B 
{(4, 1), (3, 2) }?
→
a  5 (1, 3)  2 (2, 1)  (9, 13)
(9, 13)  k (4, 1)  h (3, 2)
9  4 k  3 h 21 61
k  
—— ; h  ——
13  k  2 h 6
11 11
Els components de
→
a en la base B són:
21 61

——, ——
11 11

67MATEMÀTIQUES 1 LA
9. Calcula els components del vector (5, 7) en la base
B 
{(2, 3), (1, 2) }.
(5, 7)  k (2, 3)  h (1, 2)
5  2k  h 17 1
k 
——; h  —
7  3k  2h 6
7 7
17 1
Els components del vector (5,  7) en la base B són

——, —
.
7 7
10. Donat el segment d’extrems els punts P(3, 5) i Q(6, 8),
troba les coordenades del punt R d’aquest segment que ve-
rifica.
3
PR  ——  PQ.
10
Representem per (x, y) les coordenades de R:
10 PR
→
 3 PQ
→
→
→ 10 (x  3, y  5)  3 (3, 13) →
→ (10x  30, 10y  50)  (9, 39) →
39 11
x  ——; y  ——
10 10
39 11
Les coordenades de R són

——, ——
.
10 10
11. El baricentre d’un triangle se situa en el punt G(2, 0) i dos
dels seus vèrtexs, en els punts A(3, 4) i B(6, 5). Troba les
coordenades de l’altre vèrtex C del triangle.
Anomenem C(x, y) el tercer vèrtex.
3  (6)  x
2 
——————––– → x  3
3
4  5 y
0  ————— → y  9
3
Les coordenades de C són (3, 9).
12. Donat el segment que té com a extrems els punts A(3, 6) i
B(6, 3), troba les coordenades del punt C, alineat amb A i B,
2
que verifiqui AC 
—AB. Quants punts hi ha que verifiquen
3
aquesta condició?
Hi ha dos punts que verifiquen aquesta condició:
a) El punt C
1
situat entre A i B(C
1
(x
1
, y
1
))
3 AC
→
1
 2 AB
→
→
→ 3 (x
1
 3, y
1
 6)  2 (9, 9) →
→ x
1
 3, y
1
 0 → C
1
(3, 0)
b) El punt C
2
situat a la recta determinada pels punts A i B i a
la dreta del punt A (C
2
(x
2
, y
2
)).
3
→
C
2
A

 2 AB
→
→
→ 3 (3  x
2
, 6  y
2
)  2 (9, 9) →
→ x
2
 9, y
2
 12 → C
2
(9, 12)
Els punts que verifiquen les condicions de l’enunciat del pro-
blema són C
1
(3, 0) i C
2
(9, 12).
13. Determina la mesura de cadascun dels angles del triangle de
vèrtexs els punts A(0, 0), B(5, 1) i C(4, 2).
Angle

A → el més petit dels angles que formen els vectors AB
→

i AC
→
.
AB
→
 (5, 1); AC
→
 (4, 2)
AB
→
⋅ AC
→
22
cos 
A  ——————  —————— →
AB
→
  AC
→

√26  √20
→

A  15,26 °
Angle

B → el més petit dels angles que formen els vectors BC
→

i BA
→
.
BC
→
 (1, 1); BA
→
 (5, 1)
BC
→
⋅ BA
→
4
cos

B  —————  ————— →

B  56,31 °
BC
→
  BA
→

√2  √26
Angle

C →

C  180 °  (

A 

B)  108,43 °
14. Dues rectes perpendiculars r i s es tallen en el punt
P(2, 3). Sabent que el punt Q(3, 5) pertany a la recta r,
calcula t perquè la recta s passi pel punt R(t, 1).
Els vectors PQ
→
i PR
→
han de ser perpendiculars → PQ
→
•PR
→
 0
PQ
→
 (1, 8); PR
→
 (t  2, 1  3)
PQ
→
⋅ PR
→
 t  2  8 (1  3)  0 →
→ t  14  0 → t  14
3
15. Sabent que 
→
v  
→
w  10 i sin   —, calcula els compo-
5
nents cartesians del vector
→
v 
→
w (fig. 5.50).

68 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
→
v  (10 cos , 10 sin );
→
w  (10 cos (), 10 sin ()) 
 (10 cos , 10 sin )
→
v 
→
w 
 (10 cos   10 cos , 10 sin   10 sin ) 
 (20 cos , 0)
3
Si sin  
— → cos  
√1 sin
2
 
4
5 5
4
Aleshores,
→
v 
→
w  
20  —, 0
 (16, 0)
5
16. Demostra que el baricentre G d’un triangle de vèrtexs els
punts A(a
1
, a
2
), B(b
1
, b
2
) i C(c
1
, c
2
) es troba en el punt de
coordenades:
a
1
 b
1
 c
1
a
2
 b
2
 c
2

—————— , ——————
3 3
GC
→
 2 MG
→
→ (c
1
 x, c
2
 y) 
a
1
 b
1
a
2
 b
2
 2 
x  ————, y  ———— 
2 2
(c
1
 x, c
2
 y) 
 (2x  a
1
 b
1
, 2y  a
2
 b
2
)
c
1
 x  2x  a
1
 b
1
→
a
1
 b
1
 c
1
→ x  ——————––
3
c
2
 y  2y  a
2
 b
2
→
a
2
 b
2
 c
2
→ y  ——————
3
Avaluació
1. Donats els punts Q (3, 2) i R (21, 5), determina les coorde-
nades (x , y) del punt P per tal que es verifique la igualtat
3
→
PQ 22
→
QR 5 0
→
.
Anomenem el punt P(x, y).
→
PQ 5 Q 2 P 5 (3, 2) 2 (x, y) 5 (3 2 x, 2 2 y)
→
QR 5 R 2 Q 5 (21, 5) 2 (3, 2) 5 (24, 3)
S’ha de complir: 3
→
PQ 2 2
→
QR 5
→
0
3(3 2 x, 2 2 y) 22 (24, 3) 5
→
0
(9 2 3x, 6 2 3y) 2 (28, 6) 5
→
0
(9 2 3x 1 8,6 2 3y 2 6) 5
→
0
(17 2 3x, 2 3y) 5
→
0
Tenim el sistema:
17 3 0
30
x
y
−=

−=

La solució del sistema és
17
0
3
x iy== .
Llavors P
17
3
0,






2. Demostra que el vector u
→
5
1
v
→ v
→
és unitari. Si u
→
5 (5-12),
troba el vector unitari u
→
que té la mateixa direcció i el mateix
sentit que el vector v
→
.

�
�
�
�
�
u
v
v
vv== =
1
1, amb
�
v≠0

��
vu 51 213
1
13
512
5
13
12
13
22
+− − () −




() ;, ,


3. Indica de manera raonada si els vectors u
→
5 (0,2) i v
→
5 (21,1)
formen una base del pla.
En cas afirmatiu, expressa el vector a
→
5 (5,2) en combinació
lineal de u
→
i v
→
.
Només ens cal veure si els dos vectors són linealment indepen-
dents:
0 2
→
u  k·
→
v  perquè —  —
21 1
Per tant, els dos vectors són linealment independents i, en con-
seqüència, són una base del pla.
Expressem el vector (5, 2) en combinació lineal dels vectors de
la base:
(5, 2)  h · (0, 2)  t (1, 1)
(5, 2)  (0, 2h)  (t, t)
(5, 2)   (t, 2h  t)
Tenim el sistema:
(5  t
2  2h  t

La solució del sistema és
7
5
2
h it= =− .
Per tant, (5, 2) 
7
2
(0, 2)  5 ·(1, 1)

69MATEMÀTIQUES 1 LA
4. Calcula
→
a·
→
a sabent que
→
a·
→
b 5 3,
→
b·
→
b 5 4 i que l’angle que
formen els vectors
→
a i
→
b mesura 60º.
→
b·
→
b 5 4
()()()()()()5,3 1,2 6,5 , 4,1 6 ,5AB DC B A C D x y x y= ⇔−=−⇔ − = − ⇔ = − −
��

→
b
2
5 4 ()()()()()()5,3 1,2 6,5 , 4,1 6 ,5AB DC B A C D x y x y= ⇔−=−⇔ − = − ⇔ = − −
��

→
b 5 2
→
a·
→
b 5 3 ()()()()()()5,3 1,2 6,5 , 4,1 6 ,5AB DC B A C D x y x y= ⇔−=−⇔ − = − ⇔ = − −
��

→
a ·
→
b · cos a 5 3 ()()()()()()5,3 1,2 6,5 , 4,1 6 ,5AB DC B A C D x y x y= ⇔−=−⇔ − = − ⇔ = − −
��

→
a · 2 · cos 60º 5 3
3 3

→
a 5 —————  ——— 5 3
2 cos 60º 1
2·
—
2
→
a·
→
a 5

→
a
2
5 3
2
5 9
5. Els punts A(1, 2), B(5, 3) i C(6, 5) són tres vèrtexs conse-
cutius d’un paral·lelogram. Troba les coordenades del quart
vèrtex D i les del punt d’intersecció de les diagonals.
Els vectors
→
AB i
→
DC són equipol·lents.
Anomenem D(x, y)
Llavors
→
AB 5
→
DC
()()()()()()5,3 1,2 6,5 , 4,1 6 ,5AB DC B A C D x y x y= ⇔−=−⇔ − = − ⇔ = − −
��

B 2 A 5 C 2 D ()()()()()()5,3 1,2 6,5 , 4,1 6 ,5AB DC B A C D x y x y= ⇔−=−⇔ − = − ⇔ = − −
��
(5, 3) 2 (1, 2) 5
5 (6, 5) 2 (x, y) ()()()()()()5,3 1,2 6,5 , 4,1 6 ,5AB DC B A C D x y x y= ⇔−=−⇔ − = − ⇔ = − −
��

(4, 1) 5 (6 2 x, 5 2 y)
Tenim el sistema:
46
15
x
y
=−

=−

La solució és: x 5 2 i y 5 4.
El punt buscat és D(2, 4). El punt d’intersecció de les diagonals és el punt mig M dels
segments AC o BD:
M
AC
=
+
=
+
==






2
1265
2
77
2
7
2
7
2
(,)(,)(,
,
6 Els vèrtexs d’un triangle estan situats en els punts A(1, 2),
B(3, 4) i C(7, 4).
a) Demostra que el triangle és rectangle en el vèrtex A.

AB AC
ABAC
=(== (=
=(==(=
=
() =−()
⋅=−=
26 62
12120
,, ,
→→⊥ →=ABACA
=(==(=
ˆ
º90
b) Comprova que els costats del triangle verifiquen el teore-
ma de Pitàgores.

ABAB
ACAC
BC
== =
== =
=−
(
=(=
=(=
=(=
40210
40210
48
u
u
,))→= ==BCBC
=(=
8045u
Es verifica: BC
2
= AB
2
+ AC
2
→ 80 = 40 + 40 → triangle rec-
tangle isòsceles
c) Calcula l’àrea del triangle.
Àrea
ABAC⋅
2
40
2
20
40
2
20
22
 uu
j Unitat 6. Rectes en el pla
Activitats
1. Escriu les diferents equacions de la recta que passa pel punt
P(4, 1) i té com a vector director el vector
→
v  (2, 5).
Indica’n el pendent i l’abscissa i l’ordenada a l’origen.
Vectorial: (x, y)  (4, 1)  k (2, 5)
x  4  2k
Paramètriques:
5
y  1  5k
x  4 y  1
Contínua: ———  ———
2 5
General: 5x  2y  22  0
5
Explícita: y 
—x  11
2
x y
Canònica: ——  ——  1
22 11

—
5
5 22
m 
— p  —— n  11
2 5
2. Considera la recta d’equació vectorial:
(x, y)  (3, 2)  k  (2, 1)
Determina quin és el valor de b per tal que el vector
→
v  (3, b) sigui un vector director de la recta.
→
v  (3, b)

→
v  k
→
u →
→
u  (2, 1) 6
3 b 3
→ ——  —— → b 
—
2 1 2
x y
3. Per a la recta d’equació —— 
—  1, escriu les equacions
4 2
general i explícita. Indica’n un vector director.
x y
—— 
—  1 → x  2y  4 →
4 2
→ x  2y
 4  0
x
 4 1
2y
 x  4 → y  ——— → y  —x  2
2 2
1
m 
— →
→
v  (2, 1)
2

70 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
4. El punt A (3, 1) és de la recta que passa pel punt P (2, 2) i
té com a vector director
→
v  (1, 3)? Justifica la resposta.
P(2, 2) y
 2
x
 2  ——— →
→
v  (1, 3) 6
3
→ 3x 
y  4  0
A  (3, 1) → 33  1  4  9  1  4  12  0. No és de
la recta.
5. Quin és el pendent de la recta x  3? Per què?
No té pendent real, ja que és una recta vertical i, per tant,
m  tg 90°  .
6. Escriu l’equació canònica de la recta que té per equació ex-
plícita:
1 3
y
 — x  ——
5 10
1 3 3
y
 —x  —— → n  ——
5 10 10
1 3
y
 0 →  —x  ——  0 →
5 10
3 3
→ x
 — → p  —
2 2
x y

——  ——  1
3 3

— —
2 10
2
 x y
7. Considera la recta d’equació:
———  —
3 2
Es demana: un vector director, el pendent i els punts de tall
amb els eixos de coordenades.
2
 x y x  2 y
———  — → ———  — →
3 2 3 2
→
→
v  (3, 2)
2
→ m
 —
3
x
 2
y
 0 → ———  0 → x  2 →
3
→ P(2, 0) a l’eix OX
2 y 4
x
 0 →  —  — → y  — →
3 2 3
4
→ Q

0, —
a l’eix OY
3
8. Esbrina si el punt P(5, 1) pertany o no a cadascuna de les
rectes. Justifica les respostes.
a) (x, y)  (1, 1)  k(2, 1)
(x, y)  (1, 1)  k(2, 1) →
x  1
 2k
→
5
y  1  k
5  1  2k → k  2
P(5, 1) →
5
1  1  k → k  2
Sí és de la recta.
x  3  2k
b)
5
y  1  k
5  3  2k → k  1
P(5, 1) →
5
1  1  k → k  0
No és de la recta.
c) x  2y  3  0
P(5, 1) → 5  2  3  4  0
No és de la recta.
x  1 y  1
d) ———  ———
4 2
5  1
———  1
4
P(5, 1) →
5
1  1
———  1
2
Sí és de la recta.
1 3
e) y 
—x  —
2 2
1 3 5 3
P(5, 1) →
—  5  —  —  —  1
2 2 2 2
Sí és de la recta.
x y
f)
—  ——  1
3 3

—
2
5 1 5 2 7
P(5, 1) →
—  ——  —  —  —  1
3 3 3 3 3

—
2
No és de la recta.
9. Escriu l’equació general de la recta que passa pels punts
P(4, 5) i Q(3, 2).
P(4, 5)
→ PQ
→

→
q 
→
p  (7, 3) →
Q(3, 2) 6

→
v  (7, 3) x  4 y  5
———  ——— →
P(4, 5)
6
7 3
→ 3x  7y  23  0

71MATEMÀTIQUES 1 LA
10. Sense fer-ne la representació gràfica, esbrina si A(1, 2),
B(3, 3) i C(1, 1) estan alineats.
A(1, 2)
AB
→

→
b 
→
a  (2, 1) →
→
v  (2, 1)
B(3, 3)
6

→
v  (2, 1)
6
x  1
———  y  2 →
→ A(1, 2) 2
→ x  2y  3  0
C(1, 1) → 1  2  3  0
Estan alineats.
3
11. Determina l’equació de la recta de pendent m 
— que
4
passa pel punt A(1, 3). Tot seguit representa-la gràfi-
cament.
3
y  mx  n → y 
—x  n
4
3 9
A(1, 3) → 3 
— (1)  n → n   —
4 4
3 9
y 
—x  —
4 4
12. Troba l’equació de la recta que passa per l’origen i té un angle d’inclinació   45°. Dibuixa-la.
m  tg   tg 45°  1 → y  x  n
0(0, 0) → y  x
13. Comprova que els punts A(2, 3), B(2, 1) i C(5, 1) no
estan alineats. Troba les equacions de les rectes que de-
terminen el triangle, els vèrtexs del qual són els punts A ,
B i C.
AB
→

→
b 
→
a  (4, 2)
6
AB
→
 k AC
→
AC
→

→
c 
→
a  (3, 4)
No estan alineats.
Costat AB:
AB
→
 (4, 2) →
→
v  (2, 1)
6 A(2, 3)
x  2
———  y  3 → x  2y  4  0
2
Costat AC:
AC
→
 (3, 4) →
→
u  (3, 4)
6 A (2, 3)
x  2 y  3
———  ——— → 4x  3y  17  0
3 4
Costat BC:
BC
→

→
c 
→
b  (7, 2) →
→
w  (7, 2)
6
B (2, 1)
x  2 y  1
———  ——— → 2x  7y  3  0
7 2
14. Determina l’equació explícita de la recta que passa pels
punts P(0, 2) i Q(5, 1). Quin és el seu pendent?
PQ
→

→
q 
→
p  (5, 3)
3

→
v  (5, 3) → m   —
6
5 3
y  
—x  2
→ P(0, 2) → n  2 5
15. Escriu l’equació canònica de la recta an terior.
3
y  
—x  2 → n  2
5
3 10
y  0 → 
—x  2  0 → x  — →
6
5 3
10
p 
—
3
x y
—— 
—  1
10 2

—
3

72 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
16. Troba la mesura dels angles del triangle que formen les rec-
tes r: x  y  7  0; s: 2x  3y  6  0 i t: y  0. Fes-ne
el dibuix corresponent.
x  y  7  0 → m  1 → tg   1 →
→   135° →   45°
2 2
2x  3y  6  0 → m 
— → tg   — →
3 3
→   33,7°
  180°  (  )  180°  78,7°  101,3°
17. Troba l’equació de la recta que passa pel punt de tall de les
rectes 3x  2y  8  0 i 5x  7y  3  0, i és paral
.
lela a
8  x y  2
la recta ———  ——— .
5 7
3x  2y  8  0
6
x  2, y  1 → P(2, 1)
5x  7y  3  0
8  x y  2 x  8 y  2
———  ——— → ———  ———
5 7 5 7
→
v  (5, 7)
6
x  2 y  1
———  ———
P(2, 1) 5 7
7x  5y  9  0
18. Esbrina si les tres rectes 2x  y  0, x  y  3  0 i
5x  4y  3  0 es tallen o no en un mateix punt.
2x  y  0
x  1, y  2 → P(1, 2)
x  y  3  0
6
2x  y  0
x  1, y  2 → P(1, 2)
5x  4y  3  0
6
Sí, es tallen en el punt P(1, 2).
19. Troba el baricentre del triangle de vèrtexs A(3, 0), B(3, 4)
i C(6, 1).
M punt mitjà del segment AB → M (0, 2)
C (6, 1)
6
MC
→
 (6, 3)

→v  (2, 1)
6
x y  2

—  ——— → x  2y  4  0
M(0, 2) 2 1
Mediana des de C.
9 3
N punt mitjà del segment BC → N

—, —

6
2 2
A(3, 0)
15 3
NA
→
 
——, —
2 2
→
u  (5, 1)
6
x  3
———  y → x  5y  3  0
A(3, 0) 5
Mediana des de A.
x  2y  4  0
6
x  2, y  1 → G(2, 1)
x  5y  3  0
20. Classifica aquests parells de rectes en incidents, coincidents
o paral
.
leles. En cas que siguin incidents, troba’n el punt on
es tallen.
1 y  2
a) y  — x  3, x  3  ———
2 2
1
y 
— x  3 → x  2y  6  0
2
→
y  2
x  3  ——— → 2x  y  8  0
6
2
22 20
→ Incidents; P

——, ——
3 3
b) x  3y  3  0, 2x  6y  6  0
x  3y  3  0
→
2x6y60 → x3y30
6
→ Coincidents
c) 3x  3y  7  0, x  y  3  0
3x  3y  7  0
→
x  y  3 
0 → 3x  3y  9  0 6
→ Paral
.
leles
d) (x, y)  (1, 2)  k(2, 3),
3x  2y  6  0
(x, y)  (1, 2)  k(2, 3) →
x  1 y  2
→ ———  ——— →
2 3
→ 3x  2y  7  0
6
Paral
.
leles
3x  2y  6  0

73MATEMÀTIQUES 1 LA
21. Determina el punt d’intersecció de les rectes:
x y
—  — i (x, y)  (1, 2)  k(1, 1)
2 3
x y
—  — → 3x  2y  0
2 3
(x, y)  (1, 2)  k(1, 1) →
x  1
→ ———  y  2 → x  y  3  0
6
1
6 9
x 
—, y  —
5 5
6 9
P

—, —
5 5
22. Considera els punts P(3, 1) i Q(1, 2) i les rectes
r: 3x  4y  12  0 i s: x  y  1  0
Troba l’equació de:
a) La recta paral
.
lela a r que passi pel punt mitjà del seg-
ment PQ.
3
M, punt mitjà del segment PQ → M

2, —
2
r: 3x  4y  12  0
Paral
.
lela → 3x  4y  C  0
3
M

2, —
→ 6  6  C  0 → C  0
2
3x  4y  0
b) La recta que passa pel punt d’intersecció de r i s i té pen-
dent m  2.
3x  4y  12  0
6
8 15
x 
—, y   ——;
x  y  1  0 7 7
8 15
A

—, ——
7 7
m  2 → y  2x  n
8 15 15 16
A

—, ——
→  ——  ——  n →
7 7 7 7
31
→ n  
——
7
31
y  2x 
—— → 14
x  7y  31  0
7
c) La recta que passa per Q i és paral
.
lela a s.
s: x  y  1 0
Paral
.
lela → x  y  C  0
Q(1, 2) → 1  2  C  0 → C  3
x  y 3  0
d) La recta que passa per P i és paral
.
lela a r.
r: 3x  4y  12  0
Paral
.
lela → 3x  4y  C  0
P(3, 1) → 9  4  C  0 → C  5
3x  4y  5  0
Determina també les coordenades del punt on es tallen les
rectes corresponents als apartats c) i d).
x  y  3  0 17 4
x 
——, y  —
3x  4y  5  0
6
7 7
17 4
B
——, —
7 7
23. Calcula els valors de q per tal que les rectes r i s siguin paral-
leles:
r: qx  2y  4  0
s: x  (q  3) y  7  0
2
q  ———
q  3
q
2
 3q  2  0 → q
1
 1, q
2
 2
24. Comprova que els punts A(1, 2), B(1, 0) i C(3, 4) són els
vèrtexs d’un triangle rectangle. En quin dels tres punts està
el vèrtex corresponent a l’angle recte? Justifica la resposta.
AB
→

→
b 
→
a  (2, 2)
6
AC
→

→
c 
→
a  (2, 6)
AB
→
⋅ AC
→
 4  12  8  0 →

A  90°
BA
→
 AB
→
 (2, 2)
BC
→

→
c 
→
b  (4, 4) 6
BA
→
⋅ BC
→
 8  8  0 →

B  90°
25. Determina l’equació de la recta perpendicular a la recta
3
y 
— x  6 i que passa pel punt on es tallen les rectes
4
x  y  9  0 i x  2y  3  0.
x  y  9  0
x  7, y  2 →
x  2y  3  0
6
→ P(7, 2)
3
y 
—x  6
4
4
Perpendicular: y  
—x  n
3
4
P(7, 2) → 2  
— (7)  n →
3

74 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
34
→ n   ——
3
4 34
y  
—x  —— → 4x  3y  34  0
3 3
26. Classifica els següents parells de rectes incidents segons
siguin o no perpendiculars. Justifica’n les respostes.
a) 3x  5y  3  0 3x  5y  7  0
3x  5y  3  0 →
→
u  (5, 3)
→
3x  5y  7  0 →
→
v  (5, 3) 6
→
→
u ⋅
→
v  25  9  16  0
No són perpendiculars.
1 y  1
b) y  
—x  4 x  2  ———
7 7
1 1
y  
—x  4 → m   — →
6
7 7
→
→
u  (7, 1)
y  1 x  2
x  2 
——— → ——— 
7 1
y  1

——— →
→
v (1, 7)
7
→
u ⋅
→
v  7  7  14  0
No són perpendiculars.
x  7  2h
c) (x, y)  k(5, 2)

5
y  1  5h
x  7  2h
→
→
u  (2, 5)
y  1  5h 6
(x, y)  k(5, 2) →
→
v  (5, 2) 6
→
u ⋅
→
v  10  10  0
Són perpendiculars.
d) x 
3y  8  0 9x  3y  13  0
x  3y  8  0 →
→
u  (3, 1)
→
9x  3y  13  0 →
→
v  (1, 3) 6
→
→
u ⋅
→
v  3  3  0
Són perpendiculars.
27. Determina l’equació de la mediatriu del segment d’extrems
els punts A(2, 3) i B(6, 1). Recorda que la mediatriu
d’un segment és la recta perpendicular pel punt mitjà.
M, punt mitjà del segment AB → M(2, 1)
AB
→

→
b 
→
a  (8, 4) →
→
n  (2, 1) →
→ 2x  y  C  0
M(2, 1) → 4  1  C  0 → C  3
2x  y  3  0
28. Determina les coordenades del circumcentre i de l’ortocentre
del triangle de vèrtexs A(2, 5), B(1, 1) i C(3, 2). El circum-
centre és el punt on es tallen les mediatrius del triangle.
L’ortocentre és el punt on es tallen les rectes que determi-
nen les altures del triangle.
3
M, punt mitjà del segment AB → M

—, 3
2
AB
→

→
b 
→
a  (1, 4) →
→
n
1
 (1, 4) →
→ x  4y  C  0
3 3 27
M

—, 3
→ —  12  C  0 → C   ——
2 2 2
27
x  4y  ——  0 → 2x  8y  27  0
2
Mediatriu AB.
3
N, punt mitjà del segment BC → N

2, —
2
BC
→

→
c 
→
b  (2, 1) →
→
n
2
 (2, 1) →
→ 2x  y  C  0
3 3 11
N

2, —
→ 4  —  C  0 → C
 ——
2 2 2
11
2x  y  ——  0 → 4x  2y  11  0
2
Mediatriu BC.
2x  8y  27  0 17 43
x  ——, y  ——
4x  2y  11  0
6
14 14
17 43
Circumcentre:

——, ——
14 14
2x  8y  27  0
Paral
.
lela: 2x  8y  C  0
C(3, 2) → 6  16  C  0 → C  22
2x  8y  22  0 → x  4y  11  0
Alçada desde C.
4x  2y  11  0
Paral
.
lela: 4x  2y  C  0
A(2, 5) → 8  10  C  0 → C  18
4x  2y  18  0 → 2x  y  9  0
Alçada desde A.
x  4y  11  0 25 13
x  ——, y  ——
4x  2y  18  0
6
7 7
25 13
Ortocentre:

——, ——
7 7

75MATEMÀTIQUES 1 LA
29. Donat el punt P(3, 4):
a) Determina la projecció ortogonal de P sobre la recta
r: 4x  y  1.
r: 4x  y  1 0
s 

r → s: x  4y  C  0
P(3, 4) → 3  16  C  0 → C  13
x  4y  13  0 9 53
x  
——, y  —— →
4x  y  1  0
6
17 17
9 53
→ P

——, ——
17 17
b) Troba les coordenades del punt simètric de P respecte de
la recta r.
P(3, 4)
9 53
P

——, ——

6
17 17
S(x, y)
3  x 9 69
———  —— → x   ——
2 17 17
4  y 53 38
———  —— → y  ——
2 17 17
6
69 38
S

——, ——
17 17
30. Dedueix els valors de q perquè les rectes r i s siguin perpen-
diculars:
r: qx  y  2  0
s: (q  2) x  (2q  1) y  0
r: qx  y  2  0 →
→
u  (1, q)
s: (q  2) x  (2q  1) y  0 →
→
→
v  (2q  1, q  2) 6
→
u •
→
v  0 → 2q  1  q
2
 2q  0 →
→ q
2
 1  0 → q
1
 1, q
2
 1
31. Calcula l’angle que formen les rectes:
r: x  y  4
 0
s: y  4x  2
r: x  y  4  0 →
→
u  (1, 1)
s: y  4x  2 → m  4 →
→
v  (1, 4) 6

→
u •
→
v 1  4 5
cos   ———— 
—————  ——— →

→
u  
→
v
√2 √17 √34
5
→   arc cos ———  30,96°
√34
1
32. Considera la recta r: x  y  4  0 i el punt P

2, —
.
2
Troba l’equació de les rectes que passen per P i formen un
angle de 60° amb la recta r.
r: x  y  4  0 →
→
u  (1, 1)

→
v  (1, m) 6

→
u •
→
v 1  m  1
————  cos 60° → ——————— 
—

→
u  
→
v
√2 √1  m
2

1
1  2m  m
2
1
——————— 
— → 4  8m  4m
2

2 (1  m
2
) 4
 2  2m
2
→ 2m
2
 8m  2  0
m
2
 4m  1  0 → m  2 
√3
m
1
 2 
√3
6
1
y 
—  (2 
√3)(x  2)
2
1
P

2, —
2
m
2
 2 
√3
6
1 y 
—  (2  √3)(x  2)
2
1
P

2, —
2
33. Quant mesuren els angles del triangle de vèrtexs els punts
A(2, 4), B(3, 1) i C(1, 6)?
A(2, 4)
AB
→

→
b 
→
a  (5, 5)
B(3, 1)
6
A(2, 4)
AC →

→
c 
→
a  (3, 2)
C(1, 6)
6
AB
→
• AC
→
 15  10
cos 
A  ——————  ————— 
AB
→
  AC
→

√50 √13
5 1

—————  ——— →
5
√2√13 √26
1
→

A  arc cos ———  78,7°

√26
BA
→
 AB
→
 (5, 5)
B(3, 1)
BC
→
 (2, 7)
C(1, 6)
6
BA
→
• BC
→
 10  35
cos 
B  ——————  ————— 
BA
→
  BC
→

√50√53
45 9

—————  ——— →
5
√2√53 √106
9
→

B  arc cos ———  29°

√106

C  180°  (

A 

B)  180°  107,7°  72,3°

76 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
34. Determina les equacions de les rectes que formen un angle de
30° amb la recta 5x  2y  3  0 i passen pel punt P (x, 6),
on P és un punt de la recta donada. Troba l’angle que formen
aquestes rectes.
P(x, 6) → 5x  2y  3  0
P(x, 6) → 5x  12  3  0 → x  3 →
→ P(3, 6)
5x  2y  3  0 →
→
u  (2, 5)

→
v  (1, m) 6

→
u•
→
v 2  5m 
√3
———  cos 30° → ———————  ——

→
u
→
v
√29 √1  m
2
2
4  20m  25m
2
3
————————— 
— →
29 (1  m
2
) 4
→ 16  80m  100m
2
 87  87m
2
13m
2
 80m  71  0 →
40  29
√3
→ m  ———————
13
40  29 √3
m
1
 ———————
6
13
P(3, 6)
40  29
√3
y  6  ——————— (x  3)
13
40  29 √3
m
2
 ———————
6
13
P(3, 6)
40  29
√3
y  6  ——————— (x  3)
13
35. Donades les rectes
y x  3
r: x  2 
— i s: y  3  ———,
3 2
determina l’angle que formen.
y
r: x  2 
— →
→
u  (1, 3)
3
x  3 x  3 y  3
s: y  3  ——— → ———  ——— →
6 2 2 1
→
→
v  (2, 1)

→
u•
→
v 2  3 1
cos  
———  —————  ——— →

→
u
→
v
√10 √5 5 √2
1
→   arc cos
———  81,87°
5
√2
36. Calcula de dues maneres diferents la dis tància de l’origen de
coordenades a la recta x  3y  7  0.
a) r: x  3y  7  0
6
O (0, 0)
7 7 7
√10
d(0, r)  ————  ———  ————
u

√1  9 √10 10
b) r: x  3y  7  0
s 

r → s: 3x  y  C  0
O (0, 0) → C  0 →
→ s: 3x  y  0 7 21
x 
——, y   ——
r: x  3y  7  0 6
10 10
7 21
O

——, ——
és el projectat de O sobre r.
10 10
7 21

→
OO  
——, ——
10 10
d(O, r)  d(O, O)  
→
OO 
49 441 490 7
√10

√

——  ——  √

——  ———— u
100 100 100 10
37. Troba la distància entre les rectes:
2x  3y  5  0 i 4x  6y  3  0
r: 2x  3y  5  0
r i s són paralel
.
les
s: 4x  6y  3  0
6
P(2, 3) és un punt de r, aleshores:
8  18  3 
d(r, s)  d(P, s)  ——————— 

√16  36
7 7 7 √13
 ———  ————  ————
u

√52 2 √13 26
38. Els punts de la mediatriu d’un segment equidisten dels seus
extrems. Tenint en compte aquesta propietat, determina
l’equació de la mediatriu del segment d’extrems A(2, 5)
i B(4, 7).
A(2, 5)
6
AX
→

→
x 
→
a  (x  2, y  5)
X(x, y)
B(4, 7)
6
BX
→

→
x 
→
b  (x  4, y  7)
X(x, y)
AX
→
BX
→
 →
√
(x  2)
2
 (y  5)
2

 √
(x  4)
2
 (y  7)
2
x
2
 4x  4  y
2
 10y  25 
 x
2
 8x  16  y
2
 14y  49
12x  24y  36  0 → x  2y  3  0
39. Determina les equacions de les bisectrius dels angles que formen les rectes r: x  2y  5  0 i s: 2x  y  3  0.
Comprova que són perpendiculars.
r: x  2y  5  0
6 s: 2x  y  3  0
x  2y  5 2x  y  3
——————  ——————

√5 √5

77MATEMÀTIQUES 1 LA
x  2y  5  2x  y  3 →
→ x  y  8  0 →
→
u  (1, 1)
x  2y  5  2x  y  3 →
→ 3x  3y  2  0 →
→
v  (3, 3)
6
→
u •
→
v  3  3  0
40. Demostra que les dues bisectrius dels angles que formen
dues rectes que es tallen són perpendiculars.
Ax  By  C Ax  By  C
———————  ————————

√
A
2
 B
2

√ A
2
 B
2
A√ A
2
 B
2
x  B √ A
2
 B
2
y 
 C
√
A
2
 B
2

 A
√
A
2
 B
2
x  B √ A
2
 B
2

y 
 C
√
A
2
 B
2
(A√ A
2
 B
2
 A√ A
2
 B
2
) x 
 (B
√
A
2
 B
2
 B√ A
2
 B
2
) y 
 C
√
A
2
 B
2
 C√ A
2
 B
2
 0
→
u  (B √ A
2
 B
2
 B√ A
2
 B
2
,
A
√
A
2
 B
2
 A√ A
2
 B
2
)
A
√
A
2
 B
2
x  B√ A
2
 B
2
y 
 C
√
A
2
 B
2


 A
√
A
2
 B
2
x  B √ A
2
 B
2

y 
 C
√
A
2
 B
2
(A√ A
2
 B
2
 A√ A
2
 B
2
)x 
 (B
√
A
2
 B
2
 B√ A
2
 B
2
)y 
 C
√
A
2
 B
2
 C√ A
2
 B
2
 0
→
v  (B √ A
2
 B
2
 B√ A
2
 B
2
,
A
√
A
2
 B
2
 A√ A
2
 B
2
)
→
u •
→
v  (B √ A
2
 B
2
 B√ A
2
 B
2
)
(B
√
A
2
 B
2
 B√ A
2
 B
2
) 
 (A
√
A
2
 B
2
 A√ A
2
 B
2
)
(A
√
A
2
 B
2
 A√ A
2
 B
2
) 
 (B
√
A
2
 B
2)
2
 (B √ A
2
 B
2 )
2

 (A
√
A
2
 B
2)
2
 (A √ A
2
 B
2 )
2

 B
2
(A
2
 B
2
)  B
2
(A
2
 B
2
) 
 A
2
(A
2
 B
2
)  A
2
(A
2
 B
2
) 
 B
2
A
2
 B
2
B
2
 B
2
A
2

 B
2
B
2
 A
2
A
2
 A
2
B
2

 A
2
A
2
 A
2
B
2
 0
41. L’incentre d’un triangle és el punt on es tallen les bisectrius
dels angles interiors del triangle. Troba les coordenades de
l’incentre del triangle determinat per les rectes:
r: 3x  4y  5  0, s: 3x  4y  7  0 i t: 4 x  3y  6  0.
r: 3x  4y  5  0
t: 4x  3y  6  0
6
3x  4y  5 4x  3y  6
———————  ———————
5 5
3x  4y  5  4x  3y  6
x  7y  1  0 → m  0 → no
3x  4y  5  4x  3y  6
7x  y  11  0 → m  0
s: 3x  4y  7  0
t: 4x  3y  6  0
6
3x  4y  7 4x  3y  6
————————  ———————
5 5
3x  4y  7  4x  3y  6
x  y  13  0 → m  0 → no
3x  4y  7  4x  3y  6
7x  7y  1  0 → m  0
7x  y  11  0
7x  7y  1  0
6
19 3
x  ——, y  
—
14 2
19 3
Incentre:

——, —
14 2
42. Donades dues rectes de pendents m  2 i m  3, calcula
els pendents de les dues rectes bisectrius dels angles que
determinen.
m  2 → y  2x  n → 2x  y  n  0
6
m  3 → y  3x  n →
→ 3x
 y  n  0

78 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
2x  y  n 3x  y  n
——————  —————— →

√
5 √10
3x  y  n
→ 2x  y  n   ——————

√
2
b
1
: 2 √
2 x  √2 y  √2 n  3x  y  n
b
1
: (3  2 √
2)x  (1  √2)y  √2 n  n  0
2
√
2  3 (2 √2  3) (1  √2)
m
1
 —————  —————————— 
1 
√
2 1  2
5
√
2  7
 —————  7  5
√
2
1
b
2
: 2 √
2 x  √2 y  √2 n  3x  y  n
b
2
: (3  2 √
2)x  (1  √2)y  √2 n  n  0
3  2
√
2 (3  2 √2) (√2  1)
m
2
 —————  —————————— 

√
2  1 2  1
 7  5
√
2
43. Donades les rectes x = 0, y = 0 i 3x + 4y − 12 = 0, determina:
a) Les coordenades dels vèrtexs del triangle que determinen.
fi− fi −→− − − fi


≠
(
− →
−

fi−→−−→−fi−→−=fi
≠→≠(≠ −≠−≠−
)
⇔
Fent la intersecció de les rectes que determinen els costats del
triangle, en trobem els vèrtexs: O(0, 0), P(4, 0) i Q(0, 3). Es
tracta d’un triangle rectangle.
b) L’àrea d’aquest triangle.

A=
⋅
=
43
2
6
2
u
c) Les equacions de les bisectrius dels angles del triangle.
Bisectriu de l’angle amb vèrtex en O: x  y = 0
Bisectriu de l’angle amb vèrtex en P:

34 12
5
34 0
xy
yx y
+−
−→ +−
Bisectriu de l’angle amb vèrtex en Q:
34 12
5
23 0
xy
xx y
+−
−→ +−
d) Les coordenades de l’incentre.
El sistema que resulta de considerar dues qualssevol de les bi-
sectrius del triangle té per solució x  y  1. Incentre I (1, 1).
e) La distància de l’incentre a cadascun dels costats del
triangle.
La distància és d  1 u.
Activitats finals
1. Donada la recta d’equació 4x + 5y + 20 = 0, indica’n:
a) El pendent i un vector director.
m
A
B
v −− ()
4
5
,
�
5,–4
b) Les equacions explícita i canònica.
4x + 5y + 20  0 → y  
4
5

x  5 equació explícita
4x + 5y + 20  0 → x  0, y  4  q i y  0, x  5 
 p →
xy
−
+
−54
1 equació canònica.
c) Una equació vectorial, una de paramètrica i una de canò-
nica.
Per exemple, si prenem P(0, 4) i v = (5, 4):
(x, y) = (0, 4) + k(5, 4) equació vectorial
xy
5
4
4

+
−
equa-
ció contínua
2. El punt P(t, −5) pertany a la recta de pendent m = −
2
3
que
passa pel punt Q(4, −2). Calcula el valor de t.
Equació de la recta donada:
yx xy+− − ()→+ −2
2
3
42 32 0
El punt P(t, 5) pertany a aquesta recta: 2t  15  2 
 0 → t 
17
2
3. La recta d’equació x + 2y − 1 = 0 dista 2 unitats de la recta y

1
2

x − n. Calcula el valor de n.
Considerem un punt qualsevol de la primera recta, per exemple
P(1, 0), i imposem la condició que la distància d’aquest punt a
la segona recta és
√5:
d =
1 + 2n
√5
 √5 → 1 + 2n =  5 → n = 2, n = 3
4. Troba l’equació de la recta que conté el punt P(1, −6) i és
paral·lela a la recta
x
25
1+
y
.

xy
xy
25
15 2100+→ +−
L’equació d’una recta paral·lela a la recta que ens donen és de la
forma 5x + 2y + C  0. Imposem la condició que passi pel punt
P(1, 6):
5  12 + C = 0 → C  7
La recta que ens demanen és: 5x + 2y + 7 = 0

79MATEMÀTIQUES 1 LA
5. Les rectes 2x + 3y − 5  0 i Ax + By − 4  0 són perpendicu-
lars. Calcula el valor de A i de B sabent que la segona recta
passa pel punt P(2, 1).
Les dues rectes són perpendiculars: 2A + 3B  0
La segona recta passa per P(2, 1): 2A + B  4
Resolem el sistema format per aquestes dues equacions: A  3,
B  2
6. Determina l’equació de la recta que passa pel punt (3, 2) i
forma amb els eixos de coordenades un triangle d’àrea
25
12

u
2
.
Considerem l’equació de la recta en la seva forma canònica. Es
verifica:
32
1
pq
+ i, simultàniament,
pq
2
25
2
=.
El sistema format per aquestes dues equacions té dues solucions:
p
1
 q
1
 5 →
xy
xy
55
15 0+→ +−
p
2

15
2
, q
2


10
3
→ 4x + 9y  30  0
7. Considera les rectes r: recta de pendent −2 que passa pel
punt (1, −4), i s: recta que conté el punt (−2, 3) i forma un
angle de 45° amb el sentit positiu de l’eix de les abscisses.
Escriu l’equació de les rectes r i s i calcula l’angle que for-
men.
Recta r: y + 4 = 2(x  1) → 2x + y + 2 = 0
Recta s: m = tg 45º = 1; y  3 = x + 2 → x  y + 5 = 0
Vectors directors: v  = (1, 2) i v  = (1, 1)
cos α 
v • v
v
r vs

1–2
√5√2

√10
10
→ α = 71,6º
8. Donada la recta r d’equació 3x − 2y + 7 = 0 i el punt P(2, 0),
determina:
a) L’equació de la recta r’ que passa per P i és perpendicular
a r.
mm yx xy
rr '

3
2
2
3
2
3
22 34 0→− −−
()→+ −;
b) El punt d’intersecció de les rectes r i r’.
Resolent el sistema format per les equacions 3x − 2y + 7  0
i 2x + 3y  4  0 s’obté la solució x  1, y  2. Les rectes
r i r’ es tallen en el punt P ’(1, 2).
c) El punt simètric de P respecte de r.
P’ és el punt mitjà del segment que determinen el punt P i el
punt P’’(x, y) les coordenades del qual hem de determinar.
Per tant:

−
+
→− →1
2
2
42
2
4 
x
x
y
y;
El punt simètric de P respecte de r és P’’(4, 4).
9. Calcula l’àrea del triangle de vèrtexs els punts A (1, 1), B (3, 4)
i C(5, 2).
AC
→

→
c 
→
a  (4, 3)
b  AC
→
 
√16
2
 9  √ 25  5 u
→
v  (4, 3)
6
A(1, 1)
x  1 y  1
———  ——— → r: 3x  4y  7  0
4 3
9  16  7 18
h  d(B, r)  ——————  —— u

√
25 5
1 1 18
S 
— b h  — 5  ——  9 u
2
2 2 5
10. Determina el valor de k per tal que les rectes: r: kx  (k  1)
y  2  0 i s: 3kx  (3k  1) y  5  0 siguin:
a) Paral
.
leles.
k k  1
——  —————
3k 3k  1
3k
2
 k  3k
2
 3k
6k
2
 2k  0 → 2k (3k  1)  0 →
1
→ k
1
 0, k
2
 —
3
b) Perpendiculars.
→
u  (1  k, k)
→
v  (3k  1, 3k) 6
→
u•
→
v  0 → (1  k) (3k  1)  k3k  0
3k
2
 2k  1  3k
2
 0 →
1
→ 2k  1  0 → k  
—
2

80 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
11. Determina l’equació de la recta que passa pel punt P(2, 4),
tal que la seva perpendicular per l’origen de coordenades
forma un angle de 45° amb l’eix d’abscisses.
  45° → m  tg   tg 45°  1
6
y  x
O  (0, 0)
r: x  y  0
s 

r, s: x  y  C  0
P  (2, 4) → 2  4  C  0 → C  6
x  y  6  0
12. Els punts O(0, 0), P(4, 2) i Q(2, 6) són els vèrtexs d’un
triangle. Troba el baricentre (B), el circumcentre (C) i l’ortocentre (A).
PO
→
 (4, 2)
6
PO
→
• PQ
→
 8  8  0 →
PQ→
 (2, 4)
→

P  90°
És un triangle rectangle en P.
4  2 2  6 8
Baricentre: B

———, ——— 
→ B 
2, —
3 3 3
Circumcentre: punt mitjà del segment OQ → C(1, 3)
Ortocentre: vèrtex P → A(4, 2)
Comprova que:
a) B, C i A estan alineats.
2
AB
→
 
2, —
3
AC
→
 (3, 1)
Són linealment dependents, per tant els punts A, B i C estan
alineats.
b) AB
→
 2BC
→
.
2
AB
→
 
2, —
3
1
BC
→
 
1, —
→ 2 BC
→

6
AB
→
 2 BC
→

3
1 2
 2

1, —
 
2, —
3 3
c) La distància de C a cada vèrtex és la mateixa.
→
CO  (1, 3), d (C, O)  CO
→
 

√
1  9  √10 u
CP
→
 (3, 1), d (C, P)  CP
→
 

√
9  1  √10 u
CQ
→
 (1, 3), d (C, Q)  CQ
→
 

√
1  9  √10 u
13. Escriu l’equació de la recta perpendicular a x  3y  1  0
que es troba a distància 3 del punt P(1, 1).
r: x  3y  1  0
s 

r, s: 3x  y  C  0
3  1  C 
d(P, s)  3 → ——————  3 →

√
10
4  C C
1
 3
√
10  4
→ ————  3
√10 C
2
 3 √ 10  4
s
1
 3x  y  3 √
10  4  0
s
2
 3x  y  3 √
10  4  0
14. Els punts A(0, 2) i B(4, 0) són dos vèrtexs d’un triangle rec-
tangle isòsceles d’hipotenusa AB. Calcula les coordenades
del tercer vèrtex C i l’àrea del triangle.
A(0, 2), B(4, 0), C(x, y)
CA
→
 (x, 2  y)
CB
→
 (4  x, y)

81MATEMÀTIQUES 1 LA
CA
→
  CB
→
 →
→
√
(x)
2
 (2  y)
2
 √ (4  x)
2
 (y)
2
x
2
 4  4y  y
2
 16  8x  x
2
 y
2
→
→ 8x  4y  12  0 → 2x  y  3  0
CA
→
• CB
→
 0 → x (4  x)  (2  y)(y)  0
4x  x
2
 2y  y
2
 0 →
→ x
2
 y
2
4x  2y  0
2x  y  3  0
x
2
 y
2
4x  2y  0
6
Dues solucions:
x
1
 3, y
1
 3 → C
1
(3, 3)
x
2
 1, y
2
 1 → C
2
(1, 1)
C(3, 3)
CA
→
 (3, 1) →
A(0, 2) 6
→ CA
→
  √
9  1  √10 u
CB
→
  CA
→
  √
10 u
1 1
S 
— CA
→
CB
→
  — √
10 √10  5 u
2
2 2
15. Determina les equacions de les rectes que tallen la recta
2x  y  3  0 en el punt d’abscissa x  3 i formen amb
ella un angle de 60°.
x  3 → 6  y  3  0 → y  3
P(3, 3)
r: 2x  y  3  0 →
→
u  (1, 2)
6 →
v  (1, m)

→
u•
→
v 1  2 m  1
———  cos 60° → ———————  —

→
u
→
v √
5 √ 1  m
2
2
1  4m  4m
2
1
———————— 
— →
5 (1  m
2
) 4
→ 4  16m  16m
2
 5  5m
2
8  5 √
3
11m
2
 16m  1  0 → m  ——————
11
P(3, 3)
8  5
√
3
m
1
 —————— 6
11
8  5
√
3
y  3  —————— (x  3)
11
P(3, 3)
8  5
√
3
m
2
 —————— 6
11
8  5
√
3
y  3  —————— (x  3)
11
16. Troba l’incentre del triangle determinat per les rectes
2x  3y  8  0, 3x  2y  25  0 i 2x  3y  4  0. Com-
prova que l’incentre equidista dels tres costats del triangle.
s: 3x  2y  25  0
6
t: 2x  3y  4  0
3x  2y  25 2x  3y  4
———————  ———————

√
13 √13
3x  2y  25  2x  3y  4
x  y  29  0 →
→ m  0 → no

82 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
3x  2y  25  2x  3y  4
5x  5y  21  0 m  0
r: 2x  3y  8  0
s: 3x  2y  25  0
6
2x  3y  8 3x  2y  25
———————  ———————

√
13 √13
2x  3y  8  3x  2y  25
x  5y  17  0
m  0 → no
2x  3y  8  3x  2y  25
5x  y  33  0 m  0
5x  5y  21  0 31
x  ——, y  2
5x  y  33  0
6
5
31
Incentre: I

——, 2
5
62 52

——  6  8 
——
5 5
d(I, r)  ———————— 
—— 

√
13 √13
52 52
√
13 4 √13

———  ———  ——— u
5
√
13 513 5
93 52

——  4  25 
——
5 5
d(I, s)  ———————— 
—— 

√
13 √13
4
√
13

——— u
5
62 52

——  6  4 
——
5 5
d(I, t)  ———————— 
—— 

√
13 √13
4
√
13

——— u
5
17. Calcula l’àrea del triangle determinat per les rectes:
r: 4x  y  5  0; s: x  3y  4  0 i t: 3 x  2y  12  0.
r: 4x  y  5  0
x  1, y  1 → A(1, 1)
s: x  3y  4  0
6
r: 4x  y  5  0
x  2, y  3 →
t: 3x  2y  12  0
6
→ B(2, 3)
s: x  3y  4  0
x  4, y  0 →
t: 3x  2y  12  0
6
→ C(4, 0)
AC
→

→
c 
→
a  (3, 1)
b  AC
→
  √
9  1  √10 u

2  9  4  11
h  d(B, s) 
———————  —— u

√
10 √10
1 1 11 11
S 
— bh  — √
10——  —— u
2
2 2 √10 2
18. Determina l’equació de les rectes paral
.
leles a la recta:
2x  y  3  0 que es troben a distància 5 del punt P(1, 2).
r: 2x  y  3  0
s paral
.
lela a r → s: 2x  y  C  0

2  2  C 
d(P, s)  5 → ———————  5 →

√5
→ C  5 √5 → C  5 √5
s
1
: 2x  y  5
√5  0
s
2
: 2x  y  5
√5  0

83MATEMÀTIQUES 1 LA
19. El centre d’un quadrat és el punt C(0, 3) i el punt P(2, 6)
n’és un vèrtex. Troba els tres vèrtexs restants, el perímetre
i l’àrea del quadrat.
x  2
P(2, 6) ———  0 → x  2
6
2
C(0, 3) R(2, 0)
6  y
R(x, y)
6
———  3 → y  0
2
PC
→

→
c 
→
p  (2, 3)
→
u 

PC
→
→
→
u  (3, 2)
C(0, 3)
→
u  (3, 2) 6
CQ
→

→
u → (x, y  3)  (3, 2)
Q(x, y)
x  3
Q(3, 1)
y 3  2 → y  1
6
3  x
Q(3, 1) ———  0 → x  3
2
C(0, 3)
6
S(3, 5)
1  y
S(x, y) ———  3 → y  5
6
2
PQ
→

→
q 
→
p  (1, 5) →
→ PQ
→
  √
1  25  √26 u
p  4 PQ
→
  4√
26 u
S  PQ
→

2
 √
26
2
 26 u
2
20. Un paral
.
lelogram OABC té els seus vèrtexs en els punts
O(0, 0), A(3, 1) i C(1, 2). Calcula les coordenades del vèrtex B
i l’àrea del paral
.
lelogram.
OA
→
 (3, 1)
C(1, 2)
B(x, y)
6
CB
→

→
b 
→
c  (x  1, y  2)
CB
→
 OA
→
→ (x  1, y  2)  (3, 1)
x  1  3 → x  4
B(4, 3)
y  2  1 → y  3
6
b   OA
→
  √
9  1  √10 u
→
u  OA
→
 (3, 1)
6
x

—  y → r: x  3y  0
O(0, 0) 3

1  6 5
h  d(C, r) → ———— 
—— u

√
10 √10
5
S  bh 
√
10——  5 u
2
√10
21. Determina l’equació de les rectes que contenen les altures
del triangle de vèrtexs A(2, 1), B(0, 2) i C(4, 0).
A(2, 1)
AB
→

→
b 
→
a  (2, 1)
B(0, 2)
6
→
n
1
 (2, 1) → 2x  y  C  0
C(4, 0) → 8  C  0 → C  8
h
c
: 2x  y  8  0
B(0, 2)
BC
→

→
c 
→
b  (4, 2)
C(4, 0)
6
→
n
2
 (2, 1) → 2x  y  C  0
A(2, 1) → 4  1  C  0 → C  5
h
A
: 2x  y  5  0
A(2, 1)
AC
→

→
c 
→
a  (6, 1)
C(4, 0)
6
→
n
3
 (6, 1) → 6x  y  C  0
B(0, 2) → 2  C  0 → C  2
h
B
: 6x  y  2  0

84 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
22. Dos dels vèrtexs oposats d’un rombe es troben situats en
els punts A(2, 4) i C(0, 2) i el vèrtex B és un punt de l’eix
d’abscisses. Determina les coordenades dels vèrtexs B i D i
calcula l’àrea del rombe.
M, punt mitjà del segment AC → M(1, 3)
→
AC 
→
c 
→
a  (2, 2),
→
n  (1, 1)
x  y  C  0
M(1, 3) → 1  3  C  0 → C  4
x  y  4  0
6
x  4, y  0 → B(4, 0)
y  0
4  x
B(4, 0) ———  1 → x  2
2
M(1, 3)
6

6
D(2, 6)
y
D(x, y) —  3 → y  6
2
→
AC 
→
c 
→
a  → (2, 2)
d  
→
AC  √
4  4  √8  2 √2 u;
BD
→

→
d 
→
b  (6, 6)
d 
BD
→
  √
36  36  √ 72  6 √2 u
1 1
S 
— dd  — 2 √
2 6 √2  12 u
2
2 2
23. Troba el punt en què es tallen les diagonals del quadri-
làter que està format pels eixos de coordenades i les rectes
x  y  4  0 i 2x  y  3  0.
O(0, 0)
r: x  y  4  0
6 x  4, y  0 → A(4, 0)
y  0
r: x  y  4  0 1 11
x 
—, y  —— →
s: 2x  y  3  0 6
3 3
1 11
→ B

—, ——
3 3
s: 2x  y  3  0
6 x  0, y  3 → C(0, 3)
x  0
1 11
OB
→
 
—, ——
→
→
u  (1, 11)
6 3 3
O (0, 0)
y
x  —— → 11x  y  0
11
AC
→

→
c 
→
a  (4, 3) →
→
v  (4, 3)
6
A(4, 0)
x  4 y
——— 
— → 3x  4y  12  0
4 3
11x  y  0 12 132
x  ——, y 
—— →
3x  4y  12  0 6
47 47
12 132
→ D

——, ——
47 47
24. Calcula l’àrea del quadrilàter de vèrtexs els punts: A(3, 2);
B, simètric del punt A respecte de la recta x  y; C, simètric
del punt B respecte de l’eix d’ordenades, i D, simètric de C
respecte de l’eix d’abscisses.
A(3, 2) → B(2, 3) → C(2, 3) →
→ D(2, 3)

85MATEMÀTIQUES 1 LA
AD
→

→
d 
→
a  (5, 5)
6
AB
→

→
b 
→
a  (1, 1)
1 1
S
1
 — AD
→
AB
→
  — √
50 √2  5 u
2
2 2
CB
→

→
b 
→
c  (4, 0)
CD
→

→
d 
→
c  (0, 6)
6
1 1
S
2
 — CB
→
CD
→
  —46  12 u
2
2 2
S  S
1
 S
2
 5  12  17 u
2
25. Els vèrtexs corresponents al costat des igual d’un triangle
isòsceles se situen en els punts A(1, 1) i B(4, 0). El ter-
cer vèrtex C és un punt de la recta x  2y  8  0. Troba les
coordenades de C i calcula el perímetre i l’àrea del triangle.
A(1, 1)
6
AB
→
 (5, 1)
B(4, 0)
M, punt mitjà del segment AB, →
3 1
→ M

—, —
2 2
→
n  (5, 1) → 5x  y  C  0
3 1 15 1
M

—, —
→ ——  —  C  0 → C  7
2 2 2 2
5x  y  7  0
r: x  2y  8  0
6
6 47 6 47
x  ——, y  —— → C

——, ——
11 11 11 11
17 58
AC
→

→
c 
→
a  
——, ——
11 11
17 58
AC
→
  √


—
2
 
—
2

11 11
289  3 364
√
3 653

√
  
——————  ———— u
11
2
11
b 
AB
→
  √
25  1  √26 u
p 
AB
→
  2AC
→
 
2
√
3 653

√
26  ——————
u
11
21 105
MC
→

→
c 
→
m  
——, ——
22 22
21 105
h  MC
→
  √


——
2
 
——
2

22 22

√
441 + 11 025
22
2
= =
√11 466
22
21
√
26
 ———— u
22
1
S 
— bh 
2
1 21
√
26 273

— √
26  ————  —— u
2
2 22 22
26. Determina les bisectrius interiors dels angles del triangle de
vèrtexs A(4, 5), B(5, 7) i C(4, 7).
A(4, 5)
6
AB
→

→
b 
→
a  (9, 2) →
B(5, 7)
→
→
u  (9, 2)
6
x  4 y  5
———  ———
A(4, 5) 9 2
2x  8  9y  45 → r: 2x  9y  53  0
A(4, 5)
6

AC→

→
c 
→
a  (0, 2) →
C(4, 7)
→
→
v  (0, 1)
6
s: x  4  0
A(4, 5)

86 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
B(5, 7)
6
BC
→

→
c 
→
b  (9, 0) →

C(4, 7)
→
→
w  (1, 0)
6
t: y  7  0
B(5, 7)
r: 2x  9y  53  0
s: x  4  0
2x  9y  53
———————   (x  4)

√
85
2x  9y  53 
√
85 (x  4)
2x  9y  53 
√
85x  4 √85
(
√
85  2)x  9y  4 √85  53  0 →
→ m  0 → no
2x  9y  53  
√
85 (x  4)
2x  9y  53  
√
85x  4 √85
(
√
85  2)x  9y  4 √85  53  0
m  0
r: 2x  9y  53  0
6
t: y  7  0
2x  9y  53
———————   (y  7)

√
85
2x  9y  53 
√
85 (y  7)
2x  9y  53 
√
85y  7 √85
2x  (9 
√
85)y  53  7 √85  0 m  0
s: x  4  0
6
x  4   (y  7)
t: y  7  0
x  4  y  7 → x  y  11  0 →
→ m  0 no
x  4  y  7 →
→ x  y  3  0 m  0
27. Dos dels vèrtexs d’un triangle rectangle són els punts B (5, 2)
i C(1, 5). Calcula l’ordenada de l’altre vèrtex A sabent que la
seva abscissa és x  3 i que

A  90°.
A(3, y)
6
AB
→

→
b 
→
a  (2, 2  y)
B(5, 2)
A(3, y)
6
AC
→

→
c 
→
a  (2, 5  y)
C(1, 5)

A  90° → AB
→
•AC
→
 0 →
→ 4  10  7y  y
2
 0 →
→ y
2
 7y  6  0 → y
1
 1, y
2
 6
A
1
(3, 1), A
2
(3, 6)
28. Determina les coordenades de l’ortocentre, el baricentre i el
circumcentre del triangle que té per vèrtexs els punts A(4, 2),
B(10, 6) i C(6, 1).
A(4, 2)
6
AB
→

→
b 
→
a  (6, 4)
B(10, 6)
A(4, 2)
6
AC
→

→
c 
→
a  (2, 3) 6
C(6, 1)
AB
→
• AC
→
 12  12  0 →

A  90°
Ortocentre: el vèrtex A(4, 2)
4  10  6 2  6  1
Baricentre:

—————— , ————— 
→
3 3
20 7
→ G

——, —
3 3
Circumcentre: punt mitjà del segment BC →
5
→ M

8, —
2
29. Les equacions de les rectes que contenen dos dels costats
d’un paral
.
lelogram de centre el punt C(2, 2) són y  2x i
x  2y. Troba’n les coordenades dels quatre vèrtexs.
r: y  2x
6
x  0, y  0 →
s: x  2y

87MATEMÀTIQUES 1 LA
x
→ O(0, 0)
6
——  2 → x  4
2
C(2, 2) Q(4, 4)
y
Q(x, y)
——  2 → y  4 6
2
y  2x → 2x  y  0
Paral
.
lela: 2x  y  C  0
Q(4, 4) → 8  4  C  0 → C  4
2x  y  4  0
x  2y → x  2y  0
Paral
.
lela: x  2y  C  0
Q (4, 4) → 4  8  C  0 → C  4
x  2y  4  0
2x  y  0 4 8
x 
—, y  — →
x  2y  4  0 6
3 3
4 8
→ R

—, —
3 3
x  2y  0 8 4
x 
—, y  — →
2x  y  4  0 6
3 3
8 4
→ P

—, —
3 3
30. El costat desigual d’un triangle isòsceles mesura 4 i es troba so
bre la recta d’equació y  x. El vèrtex oposat és el punt C (0, 4).
Determina les coordenades dels vèrtexs A i B del triangle.
y  x → x  y  0
Perpendicular: x  y  C  0
C(0, 4) → 4  C  0 → C  4
x  y  4  0
x  y  4  0
6 x  2, y  2 → M(2, 2)
x  y  0
A(x, x)
AM
→

→
m 
→
a  (2  x, 2  x)
M(2, 2) 6
AM
→
  2
√
(2  x)
2
(2  x)
2
 2
2 (4  4x  x
2
)  4
4  4x  x
2
 2
x
2
 4x  2  0 → x  2  √
2
A(2 
√
2, 2  √2), B(2  √2, 2  √2)
31. El catet AB d’un triangle rectangle en A es troba sobre la
recta 2x  5y  4  0 i el punt C(4, 2) és un vèrtex del
triangle. Calcula les coordenades del vèrtex A i la longitud
del catet AC.
r: 2x  5y  4  0
Perpendicular s: 5x  2y  C  0
C(4, 2) → 20  4  C  0 → C  16
s: 5x  2y  16  0
5x  2y  16  0
2x  5y  4  0
6
88 12 88 12
x  ——, y   —— → A

——, ——
29 29 29 89

8  10  4  14
AC→
 d(C, r)  ———————  —— 

√
29 √ 29
14
√
29
 ———— u
29

88 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
32. Els punts A(1, 1), B(0, 1) i C(3, 2) són tres vèrtexs
consecutius d’un paral
.
lelogram. Determina’n el vèrtex D i
calcula’n el perímetre i l’àrea.
3
M, punt mitjà del segment AC, → M

1, —
2
x
B(0, 1)
6
—  1 → x  2
2
3
M1,
—
2 1  y 3
D(x, y) ———— 
— → y  4 6
2 2
D (2, 4)
AB
→

→
b 
→
a  (1, 2) →
→
AB
→
  √
1 

4 
√
5 u
AD
→

→
d 
→
a  (3, 3) →
→
AD
→
  √
9  9  √ 18  3 √2 u
p  2 AB
→
  2 AD
→
  (2 √
5  6 √2) u
b 
AD
→
  3 √
2 u
AD
→
 (3, 3) →
→
u  (1, 1)
A(1, 1)
6
x  1  y  1 → r: x  y  2  0

3  2  2  3
h  d(C, r)  ——————  —— u

√
2 √2
3
S  bh  3
√
2——  9 u
2
√2
Avaluació
1. Els punts A (2, 5), B (6, 8) i C (22, d) estan alineats. Calcula el
valor de d .
Primerament trobem la recta AB:
Un vector director és
→
v  B  A (6,8)  (2,5)  (4,3) .
L’equació contínua és:
25
43
xy−−
=
El punt C compleix aquesta equació:
22 2 5 20 5 60
5 15 5 20
4 3 43 4
dd
d
−− −
= → = → = += +=
2. Determina l’equació general de cadascuna de les rectes se-
güents:
a) La recta r de pendent m = −2 que conté el punt P(1, −4).
yx xy+− −()→+ +42 12 20
b) La recta s que passa pels punts A(4, −3) i B(1, 2).

fi=−=
vAB
xy
xy


−()
−
−
+
→+ −
35
4
3
3
5
53 110
,
c) La recta t l’equació canònica de la qual és
xy
23
1+.
3x + 2y  6  0
d) La recta u que passa pel punt Q(−3, 5) i és paral ·lela a la
recta 4x − 3y + 17  0.
4x  3y + C  0 → 4 · (3)  3 · 5 + C  0 → C  27 → 4x
 3y + 27  0
3. Considera r la recta d’equació 3x 2 5y 1 2 5 0. Troba les
equacions de les rectes paral·lela i perpendicular a r que passen pel punt (215, 4).
Recta paral·lela: és de la forma 3x 2 5y 1 C 5 0. Substituint
el punt:
3 · (−15)−5 (4) + C = 0 → −45 − 20 + C = 0 → = 65 .
L’equació de la recta paral·lela és 3x 2 5y 1 65 5 0.
Recta perpendicular: és de la forma 5x 1 3y 1 C 5 0. Substi-
tuint el punt:
5 · (−15) + 3 · 4 + C = 0 → −75 + 12 + C = 0 → C = 63 .
L’equació de la recta perpendicular és 5x 1 3y 1 63 5 0.
4. Donades les rectes x22ay 5 1 i x13y 5 8 calcula el valor
de a perquè siguin:
a) Paral·leles.
La condició de paral·lelisme és:
'''
ABC
ABC
=≠
En el nostre cas:
12 1 3
32
13 8 2
a
aa
−−
= ≠ → =− → =−
−
.
b) Perpendiculars.
La condició de perpendicularitat és:
''
0AA BB⋅ +⋅ =
En el nostre cas:
1
11 2 3 0 1 6 0
6
a aa⋅− ⋅=→− =→= .

89MATEMÀTIQUES 1 LA
5. El punt P(2, q) dista 2 unitats de la recta 3x + 4y − 12  0.
a) Calcula q.

32412
34
24 6104 610
4
22
12
⋅+−
+
→− →−
→−
q
qq
qq
−− −=
−−,11
b) Troba l’àrea limitada per la recta i els eixos de coordena-
des.
Punts d’intersecció amb els eixos de coordenades: (0, 3) i
(4, 0).
Àrea del triangle: A
43
2
6 2⋅
u
6. a) Representa gràficament les rectes 3x 2 y 2 1 5 0 i
x 1 3y 2 12 5 0.
Fem el gràfic. La recta 3x 2 y 2 1 5 0 talla els eixos en els
punts (0, –1) i
1
,0
3



. La recta x 1 3y 5 12 talla en els
punts (12, 0) i (0, 4).
b) Demostra que són perpendiculars.
Els vectors perpendiculars a la primera i segona rec-
tes són (3, 21) i (1, 3). Fem el producte escalar i tenim
3 · 1 1 (21) · 3 5 0, i per tant són perpendiculars.
c) Calcula’n el punt d’intersecció.
La intersecció l’obtenim resolent el sistema:
31
3 12
xy
xy
−= 

+=

que dóna com a resultat el punt
37
,
22



.
d) Determina l’àrea del triangle que limiten aquestes dues
rectes i l’eix d’ordenades.
El triangle ABC té base CB 5 4 2(21) 5 5 i altura sobre A de
longitud
3
2
(abscissa de A). Per tant la seva superfície és
1 3 15
5 3,75
2 24
S= ⋅⋅ = =

u
2
j Unitat 7. La circumferència
i altres llocs geomètrics
Activitats
1. Escriu l’equació de la circumferència de centre el punt
(2, 0) i radi 2. Dibuixa-la.
Hi apliquem la fórmula directament:
(x  a)
2
 (y  b)
2
 r
2
→ (x  2)
2
 y
2
 4
2. Identiﬁca el centre i el radi de la circumferència d’equació
(x  3)
2
 (y  1)
2
 4 i tot seguit representa-la gràﬁca-
ment.
Si comparem l’equació (x  3)
2
 (y  1)
2
 4 amb l’equació
general, tenim el següent:
a  3, b  1 i r  2, és a dir, la circumferència té centre (3, 1)
i radi 2.
3. L’equació d’una circumferència és x
2
 y
2
 16. Determina’n
el centre i el radi.
De la mateixa manera que en l’exercici anterior es dedueix: cen-
tre, (0, 0) i radi, 4.
4. Escriu l’equació de la circumferència de centre C(3, 1) i
radi r  4. Esbrina si el punt P(3, 4) pertany a aquesta
circumferència.
Hi apliquem la fórmula:
(x  3)
2
 (y  1)
2
 16
Per saber si el punt P(3, 4) pertany a la circumferència cal subs-
tituir les coordenades del punt a l’equació:
(3  3)
2
 (4  1)
2
 36  9  45  16
El punt P no és de la circumferència.

90 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
5. Determina l’equació de la circumferència que té per diàme-
tre el segment d’extrems els punts A(1, 4) i B(3, 0).
El centre C de la circumferència en qüestió és el punt mitjà del
1  3 4  0
diàmetre, és a dir, del segment AB → C

————– , ———–
→
→ C(1, 2).
2 2
El radi de la circumferència és:

→
AC  (2, 2)  √
8  r
Equació: (x  1)
2
 (y  2)
2
 8
6. Escriu l’equació de la circumferència de centre (1, 3) i que passa per l’origen de coordenades.
C(1, 3). El radi és el mòdul del segment determinat per
l’origen de coordenades i el centre:
r 

→
OC  (1, 3)  √
10
Equació: (x  1)
2
 (y  3)
2
 10
7. Les equacions següents són de circumfe rències. Troba’n el
centre i el radi.
En cada cas cal aplicar les fórmules
2a  m, 2b  n i a
2
 b
2
 r
2
 p,
per tal de trobar el centre C(a, b) i el radi r.
a) x
2
 y
2
 8x  6y  20  0
8  2a → a  4;
6  2b → b  3 → C(4, 3)
4
2
 3
2
 r
2
 20 → r  √
5
b) x
2
 y
2
 4x  7y  0
4  2a → a  2;
7 7
7  2b → b 
— → C
2, —
2 2
7
√
65
(2)
2
 
—
2
 r
2
 0 → r  ——
2 2
c) x
2
 y
2
 6y  7  0
6  2b → b  3;
0  2a → a  0 → C(0, 3)
0
2
 (3)
2
 r
2
 7 → r  4
27
d) 3x
2
 3y
2
 5x  9y  ——  0
4
Cal dividir tota l’equació per 3:
5 9
x
2
 y
2
—x  3y  —  0
3 4
5 5

— 2a → a  —; 3  2b →
3 6
3 5 3
→ b 
—— → C
—, ——
2 6 2
5 3 9 5

—
2
 
—
2
 r
2
 — → r  —
6 2 4 6
8. Determina el centre i el radi de la circumferència:
(x  2)
2
 (y  3)
2
 9
Troba si hi ha algun punt de la circumferència que tingui
abscissa 2.
De manera immediata: C(2, 3) i r  3.
Per trobar si hi ha algun punt de la circumferència d’abscissa 2
cal substituir x per 2:
(2  2)
2
 (y  3)
2
 9 → (y  3)
2
 7
Aquesta equació no té solució real, per tant no hi ha cap punt
de la circumferència que tingui abscissa 2.
9. Esbrina quines d’aquestes equacions no corresponen a una
circumferència. Raona la resposta.
a) x
2
 y
2
 8x  3xy  5  0
No és una circumferència perquè té el terme 3xy.
b) 3x
2
 2y
2
 5x  9y  2  0
No és una circumferència perquè els coe ficients de x
2
i y
2
són
diferents.
c) x
2
 y
2
 3  0
És una circumferència de centre C(0, 0) i radi r 
√
3.
d) x
2
 y
2
 4x  8y  20  0
Podria ser l’equació d’una circumferència. Per estar-ne se- gurs, en calculem el centre i el radi:
4  2a → a  2;
8  2b → b  4 → C(2, 4)
(2)
2
 (4)
2
 r
2
 20 → r  0
No és una circumferència.
4 8
e) x
2
 y
2
 —x  —y  2  0
5 3
Hi apliquem les fórmules:
4 2

—  2a → a  —;
5 5
8 4 2 4
—  2b → b   — → C
—, —
3 3 5 3

91MATEMÀTIQUES 1 LA
2 4 14

—
2
 
—
2
 r
2
 2 → r
2
 ——
5 3 225
No hi ha radi, per tant aquesta equació no correspon a una
circumferència.
10. Escriu les equacions de les circumferències següents:
En cada cas aplicarem l’equació general:
(x  a)
2
 (y  b)
2
 r
2
a) C(0, 2), r  2
x
2
 (y  2)
2
 4
b) C(2 ,0), r  2
(x  2)
2
 y
2
 4
c) C(2, 2), r  4
(x  2)
2
 (y  2)
2
 16
d) C(1, 1), r 
√
2
(x  1)
2
 (y  1)
2
 2
11. Determina l’equació de la circumferència circumscrita al triangle de vèrtexs A(2, 0), B(0, 4) i O(0, 0).
El circumcentre d’aquest triangle es pot trobar gairebé d’una
manera immediata. Recordes com fer-ho? Representa els
punts en uns eixos cartesians i ho veuràs.
Els tres punts determinen un triangle rectangle d’hipotenusa
AB. El circumcentre del trian gle és el punt mitjà de AB.
2 4
C

—, —
→
2 2
→ C(1, 2) i radi

→
OC  √
5  r
Equació: (x  1)
2
 (y  2)
2
 5
12. Una circumferència passa pels punts A(2, 1), B(2, 4)
i C(0, 2). Determina’n el centre i el radi i escriu-ne
l’equació.
Per determinar el circumcentre cal trobar la intersecció de dues mediatrius.
3
Mediatriu del costat AB: y 
—
2
6
Mediatriu del costat BC: pendent de BC → m 
—  3; el

1
2
pendent de la perpendicular: m  
— i passa pel punt mitjà
de BC: (1, 1).
3
1 4
y  
—x  —
3 3
Intersecció de les dues mediatrius:
1 4
y  
—x  —
3 3
1 3

5

6

—, —
(centre)
3
2 2
y 
—
2
25
El radi (centre, C)  
√

——
2
Equació de la circumferència:
1 3 25

x  —
2
 
y  —
2
 ——
2 2 2
13. Expressa en la forma x
2
 y
2
 mx  ny  p  0 l’equació
de la circumferència que passa pels punts (0, 3), (3, 0)
i (1, 1).
Substituir cadascun dels punts a x
2
 y
2
 mx  ny  p  0.
9  p
(0, 3) → 9  3n  p  0 → n 
———
3
9  p
(3, 0) → 9  3m  p  0 → m 
———
3
(1, 1) → 1  1  m  n  p  0
9  p 9  p
2  ———  ———  p  0 →
3 3
24
→ p 
———
5
7
Substituint: n  m
 ——
5
7 7 24
Equació: x
2
 y
2
 —— x  —— y ——  0
5 5 5
14. Dibuixa la circumferència de centre l’origen de coordenades i tangent a la recta y  2. Escriu-ne també l’equació.
El radi és 2 i l’equació, x
2
 y
2
 4.
15. La recta que passa pels punts A(1, 3) i B(3, 0) és tan-
gent a una circumferència de centre C(3, 4). Troba l’equació
d’aquesta circumferència.
El radi de la circumferència és la distància del centre a la recta
tangent. Cal trobar primer l’equació d’aquesta recta. El pendent és
3
m 
——
4

92 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
i, per tant, l’equació de la recta tangent és:
3 9
y  
—x  — → 3x  4y  9  0
4 4
El radi de la circumferència és la distància del centre (3, 4) a la
recta:

33  44  9  16
r  ———————— 
——
√
3
2
 4
2
5
Equació de la circumferència:
256
(x  3)
2
 (y  4)
2
 ——
25
16. Troba l’equació de la circumferència de centre ( 1, 1) i tan-
gent a la recta y  2x  3.
Com en l’exercici anterior. Equació de la recta tangent:
2x  y  3  0.

2(1)  1  3  4
r 
————————  ——

√
2
2
 1
2
√5
Equació de la circumferència:
16
(x  1)
2
 (y  1)
2
 ——
5
1 9
17. Una circumferència de centre C

—, —
és tangent a la bi-
2 4
sectriu del primer i tercer quadrants. Escriu l’equació de la
circumferència.
La bisectriu del primer i del tercer quadrants és la recta d’equa-
ció x  y  0.
1 9 7


—  —
—
2 4 4 7
r  —————— 
——  ———

√
1
2
 1
2
√ 2 4 √ 2
Equació de la circumferència:
1 9 49

x  —
2
 
y  —
2
 ——
2 4 32
18. Troba la posició relativa de la recta x  y  0 i la circum-
ferència x
2
 y
2
 4x  2y  1  0.
La posició relativa es determina resolent el sistema format per
les dues equacions, la de la recta i la de la circumferència:
x  y  0

5
x
2
 y
2
 4x  2y  1  0
x  y

5
x
2
 x
2
 4x  2x  1  0
2x
2
 6x  1  0 →
3 
√
7
x
1
 ————
6 
√36

 8
2
→ x  ——————— 
4
3 
√
7
x
2
 ————
2
Es pot afirmar que la recta és secant a la circumferència, ja que
té dos punts en comú:
3 
√
7 3  √7 3  √7 3  √7

———, ———
i 
———, ———
2 2 2 2
19. Determina la posició relativa de les circumferències d’equa-
cions:
x
2
 y
2
 12x  35  0 i
(x  3)
2
 y
2
 4
x
2
 y
2
 12x  35  0
6
x
2
 y
2
 6x  5  0
Restem les dues equacions:
6x  30  0 → x  5
Substituïm x  5 en una de les dues equacions:
25  y
2
 30  5  0 → y  0
Les dues circumferències són tangents en el punt (5, 0). Cal
esbrinar, però, si són tangents exteriors o interiors:
Centres: (6, 0) i (3, 0)
Radis: 1 i 2
La distància entre els centres és la suma dels dos radis, és a dir,
1  2  3. Per tant, les circumferències són tangents exteriors.
20. Una circumferència amb centre en el punt (2, 3) és tan-
gent a l’eix de les abscisses. Determina’n el radi i l’equació.
Ajuda’t d’un dibuix.
El radi és la distància del centre a l’eix de les abscisses:
r  3
Equació: (x  2)
2
 (y  3)
2
 9
21. Expressa, per mitjà d’una inequació, la condició per tal que un punt P(x, y) sigui exterior a una circumferència de centre
(1, 0) i radi
√
3.
Els punts exteriors a una circumferència es troben a una distàn-
cia del centre més gran que el radi. La inequació és:
(x  1)
2
 y
2
 3

93MATEMÀTIQUES 1 LA
22. Dibuixa la circumferència de centre l’origen de coordena-
des i radi 3. Sense fer cap càlcul localitza un punt interior,
un d’exterior i un de la circumferència. Hi pot haver algun
punt de la circumferència amb abscissa 4? Raona la res-
posta.
Resposta oberta.
Per exemple:
Punt interior: (1, 1); punt exterior (4, 3); punt de la cir- cumferència: (3, 0).
No hi pot haver cap punt d’abscissa 4, ja que tots els punts de la circumferència verifiquen 3  x  3.
23. Escriu l’equació de la recta tangent a la circumferència C en
el punt P que pertany a aquesta circumferència en els casos
següents:
En cada cas cal trobar l’equació de la recta perpendicular al radi en el punt de tangència. Cal recordar que mm  1.
a) x
2
 y
2
 2x  4y  3  0 i P(0, 1)
Centre: (1, 2); pendent CP → m  1; pendent perpendicu-
lar: 1; equació de la recta: y  x  1.
b) x
2
 y
2
 2x  10y  13  0 i P(1, 2)
3
Centre: (1, 5); pendent CP → m  
—; pendent per-
2
2 2 4
pendicular:
—; equació de la recta: y  —x  —.
3 3 3
c) x
2
 y
2
 6  0 i P( √
3, √3)
Centre: (0, 0). Pendent CP → m  1; pendent perpendi-
cular: 1; equació de la recta: y  x  2
√
3.
24. Troba k per tal que la recta x  y  k  0 sigui tangent a la
circumferència x
2
 y
2
 2.
El sistema format per les dues equacions cal que tingui només una solució; és a dir, el discriminant ha de ser igual a zero.
x  y  k  0
6
y  x  k
x
2
 y
2
 2 x
2
 (x  k)
2
 2 →
→ x
2
 x
2
 2kx  k
2
 2  0
2x
2
 2kx  k
2
 2  0
  (2k)
2
 8(k
2
 2)  0 → k  2
Hi ha dues rectes tangents.
25. Considera el feix de rectes que passen pel punt P(0, 2).
Troba les dues rectes del feix que són tangents a la cir-
cumferència de centre C(1, 1) i radi
√
2.
El feix de rectes que passa per P és
y  mx  2
Equació de la circumferència:
(x  1)
2
 (y  1)
2
 2 →
→ x
2
 y
2
 2x  2y  0
Procedim com en l’exercici anterior:
x
2
 (mx  2)
2
 2x  2(mx  2)  0 →
→   0 → m
1
 1, m
2
 7
Les rectes són: y  x  2 i y  7x  2.
26. Una circumferència té com a tangents els eixos de coordena- des. En quina recta es troba el seu centre?
El centre es troba en una de les dues bisectrius d’equacions:
y  x i y  x
27. Calcula la potència del punt P(2, 3) respecte d’una cir-
cumferència de centre l’origen de coordenades i radi 4. Qui- na és la posició del punt respecte de la circumfe rència?
La potència es calcula substituint les coordenades del punt en l’equació de la circumferència, ja que correspon a l’expressió
p  d
2
 r
2
.
Equació de la circumferència:
x
2
 y
2
 4  0
p  2
2
 (3)
2
 4  9
El punt és exterior a la circumferència, ja que p  9  0.
28. Considera la circumferència tangent a la bisectriu del se-
gon i quart quadrants i de centre el punt (0, 3) i la cir-
cumferència d’equació x
2
 y
2
 14x  8y  56  0.
Troba l’equació de l’eix radical de les dues circumferències.
Comprova que l’eix ra dical és perpendicular a la recta que
determinen els centres de les dues circumferències. Fes-ne
un dibuix.
Cal trobar el radi de la circumferència que és tangent a la recta
y  x  0:

3 3
r 
——————  ——
√
1
2
 1
2
√2
Equació:
9
(x  0)
2
 (y  3)
2
 — →
2
9
→ x
2
 y
2
 6y  —  0
2

94 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
L’equació de l’eix radical es troba igualant les dues equacions:
9
x
2
 y
2
 6y  — 
2
 x
2
 y
2
 14x  8y  56 →
→ 28x  4y  103  0
1
La recta dels centres (0, 3) i (7, 4) té pendent
——, l’eix ra-
1
7
dical té pendent 7. Com que 7

—
 1, les dues rectes
són perpendiculars.
7
29. Intenta trobar l’eix radical de dues circumferències concèn-
triques de centre el punt (1, 1) i de radis 3 i 4, respecti-
vament. Què observes? Raona la resposta.
Les dues circumferències tenen equacions:
(x  1)
2
 (y  1)
2
 9  0 i
(x  1)
2
 (y  1)
2
 16  0
En igualar-les obtindríem 9  16. Com que no es verifica la
igualtat, no existeix l’eix radical.
30. Determina l’equació que veriﬁquen tots els punts P(x, y)
del pla que tenen po tència 12 respecte de la circumferència
x
2
 y
2
 4x  2y  1  0. Quina ﬁgura determinen?
Els punts P(x, y) cal que verifiquin:
x
2
 y
2
 4x  2y  1  12 →
→ x
2
 y
2
 4x  2y  11  0
Formen una circumferència concèntrica amb la donada i de radi 4 .
31. Fes una construcció geomètrica de l’eix radical de dues cir-
cumferències tangents, exteriors i secants.
L’eix radical és la recta perpendicular a la dels centres pel punt
de tan gència. Si les circumfe rències són secants, és la recta
determinada pels dos punts d’intersecció.
32. Determina el focus i la directriu de les pa ràboles d’equa
cions:
y
2
 6x i x
2
 10y
Cal determinar el paràmetre p per obtenir el focus i la directriu.
y
2
 6x → 2p  6 → p  3
3 3
Focus: F

—, 0
; directiu: x   —
2 2
x
2
 10y → 2p  10 → p  5
5 5
Focus:

0, ——
; directiu: y  —
2 2
33. Determina l’equació de la paràbola que té el vèrtex a l’origen
de coordenades, l’eix és la recta y  0 i conté el punt
(1, 4).
La paràbola serà de la forma x
2
 ay si conté el punt (1,  4) →
1 1
→ 1  a(4) → a  
— → x
2
 —y.
4 4
34. Troba el valor del paràmetre p de la pa ràbola d’equació
x
2
 2py, sabent que el punt P(4, 2) pertany a la parà-
bola.
P(4, 2) → (4)
2
 2p2 → p  4
35. Representa gràﬁcament aquestes paràboles i determina’n
els diferents elements:
a) y
2
 4x
F(1, 0)
d: x  1
b) x
2
 6y
3
F

0, —
2
3
d: y 
—
2
c) y  x
2
 4x
15
F

2, ——
4
17
d: y  
——
4

95MATEMÀTIQUES 1 LA
36. Escriu l’equació de les dues paràboles que veriﬁquen aques-
tes condicions: tenen el vèrtex a l’origen de coordenades,
els eixos coincideixen amb els eixos de coordenades i amb-
dues passen pel punt (4, 4). Representa gràﬁcament
aquestes paràboles i indica’n el focus i la directriu.
La paràbola que té com a eix el d’abscisses té una equa-
ció del tipus y
2
 2px. Si passa pel punt (4, 4) tindrem:
16  8p → p  2.
Equació: y
2
 4x. Focus: (1, 0); directriu: x  1.
La paràbola que té com a eix el de les or denades té una equa-
ció del tipus x
2
 2py. Si passa pel punt (4, 4) tindrem:
16  8p → p  2.
Equació: x
2
 4y. Focus (0, 1); directriu: y  1.
37. Determina els semieixos, els vèrtexs, els focus i l’excentri-
citat de l’el
.
lipse d’equació:
x
2
y
2
—  —  1
9 4
x
2
y
2
Si identifiquem l’equació amb ——  ——  1 obtenim:
a
2
b
2
a  3 i b  2. Si tenim en compte que a
2
 b
2
 c
2
→ c  √
5.
Vèrtexs: (3, 0), (3, 0), (0, 2) i (0, 2)
Focus: (
√
5, 0) i (√5, 0)
c
√
5
Excentricitat: e 
—  ——
a 3
38. Escriu l’equació de l’el
.
lipse centrada a l’origen de coordena-
des, amb un focus en el punt ( 12, 0) i de semieix gran 13.
Si un focus és (12, 0) → c  12 i a  13. Per trobar b hi
apliquem:
13
2
 b
2
 12
2
→ b
2
 25
x
2
y
2
Equació: ——  ——  1
169 25
39. Calcula els paràmetres a, b, c i e de l’el
.
lipse d’equació
9x
2
 16y
2
 144.
Dividim l’equació 9x
2
 16y
2
 144 per 144 i la simplifiquem:
x
2
y
2
——  ——  1 → a  4 i b  3;
16 9
a
2
 b
2
 c
2
→ 16  9  c
2
→ c  √
7

√
7
e  ——
4
40. Troba l’equació de l’el
.
lipse de centre l’origen de coordena-
des sabent que un dels focus se situa en el punt (2
√
7, 0) i
que pas sa pel punt (4, 3
√
3).
F(2
√
7, 0) i F(–2 √7, 0), P(4, 3 √3). En ser P un punt de l’el-

lipse es verifica:
16 27
——  ——  1 i
a
2
b
2
a
2
 b
2
 (2 √
7)
2
 b
2
 28
Resolem el sistema, amb incògnites a
2
i b
2
.
a
2
 b
2
 28
16 27
——  ——  1 6
a
2
b
2
Les solucions són: b
2
 36 i a
2
 64
x
2
y
2
L’equació: ——  ——  1
64 36
41. Escriu l’equació de la circumferència principal de l’el
.
lipse
de l’exercici anterior.
La circumferència principal té centre (0, 0) i r  a  8.
Equació: x
2
 y
2
 64
42. Determina els paràmetres a, b i c i l’excentricitat de la hipèr-
bola que té l’equació següent:
x
2
y
2
——  —  1
16 9
x
2
y
2
En l’equació ——  ——  1,
16 9
a  4 i b  3;
c
2
 a
2
 b
2
 25 → c  5.
c 5
Excentricitat: e 
—  —
a 4
43. Determina l’equació d’una hipèrbola equi làtera un dels focus
de la qual se situa al punt (
√
2, 0). Calcula’n l’excentricitat.
En una hipèrbola equilàtera, a  b i l’equació és: x
2
 y
2
 a
2
.
F(
√
2, 0) → c  √2 →
→ c
2
 a
2
 b
2
 2a
2
→
→ (
√
2)
2
 2a
2
→ a  1
Equació: x
2
 y
2
 1
44. Troba els valors de a, b, c i e a la hipèrbola d’equació
2x
2
 3y
2
 12.
Dividim els termes de l’equació per 12 i simplifiquem:
x
2
y
2
2x
2
 3y
2
 12 → ——  ——  1 →
6 4
→ a 
√
6 i b  2
c
2
 a
2
 b
2
 6  4  10 →

√
10 √ 5
→ c 
√
10 i e  ——  ——

√
6 √ 3

96 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
45. El semieix real d’una hipèrbola és 3 i la semidistància focal, 10.
Escriu-ne l’equació reduïda.
Les dades que ens dóna l’enunciat ens permeten deduir que
a  3 i c  10.
10
2
 3
2
 b
2
→ b
2
 91
x
2
y
2
Equació: ——  ——  1
9 91
46. Demostra que l’excentricitat de totes les hipèrboles equi-
làteres és e 
√
2.
c
Excentricitat: e 
—. En una hipèrbola equilàtera, c
2
 2a
2
→
a

√2 a
→ c 
√
2a → e  ——  √ 2.
a
Activitats finals
1. Esbrina si els punts P(1, 2), Q(2, 1) i R(0, 0) es troben en una mateixa circumferència. Si és així, determina’n el cen- tre, el radi i l’equació.
Els tres punts no estan alineats i, per tant, es troben en una ma- teixa circumferència. Podem substituir cada punt en l’equació:
x
2
 y
2
 mx  ny  p  0
(1, 2) → 1  4  m  2n  p  0
(2, 1) → 4  1  2m  n  p  0
6

(0, 0) → p  0
5
Resolem el sistema i trobem: m  n  
—
3
5 5
Equació: x
2
 y
2
 —x  — y  0
3 3
5 5 5
√
2
Centre

—, —
i radi r  ———
6 6 6
2. Determina el centre i el radi de la circumferència
2x
2
 y
2
 4x  12y  12  0.
L’equació 2x
2
 y
2
 4x  12y  12  0 no és la d’una cir-
cumferència, ja que els coeficients dels termes de segon grau són diferents.
3. a) Escriu l’equació de la circumferència de centre (3, 2) i tangent a l’eix de les abscisses.
La circumferència de centre (3, 2) i tangent a l’eix de les
abscisses té radi r  2. L’equació és:
(x  3)
2
 (y  2)
2
 4 →
→ x
2
 y
2
 6x  4y  9  0
b) Escriu l’equació de la circumferència de centre ( 1, 2)
i tangent a l’eix de les ordenades.
La circumferència de centre (1, 2) i tangent a l’eix dels
ordenades té radi r  1. L’equació és:
(x  1)
2
 (y  2)
2
 1 →
→ x
2
 y
2
 2x  4y  4  0
c) Troba l’eix radical de les dues circumferències que has
determinat en els apartats a) i b).
L’equació de l’eix radical s’obté igualant les dues equacions:
x
2
 y
2
 6x  4y  9 
5
 x
2
 y
2
 2x  4y  4 → x  —
8
d) Comprova que l’eix radical és perpendicular a la recta de-
terminada pels dos centres.
La recta determinada pels dos centres (3, 2) i (1, 2) és
la recta d’equació y  2 que és perpendicular a la recta
d’equació
5
x 
—.
8
4. Determina l’equació de la circumferència de radi 4 i que
passa pels punts A(1, 2) i B(3, 4).
La distància del centre (x, y) a cada punt és el radi de la cir-
cumferència:
√
(x  1)
2
(y  2)
2
 4 i
√ (x  3)
2
(y  4)
2
 4
x
2
 2x  1  y
2
 4y  4  16
x
2
 6x  9  y
2
 8y  16  16 6
Restant i simplificant s’obté: x  y  5
Substituint en una de les dues equacions s’ob tenen dos valors.
Hi ha dues circumfe rències de centres:
(2 
√
7, 3  √ 7) i (2  √ 7, 3  √ 7)
Les equacions són:
(x  (2 
√
7))
2
 (y  (3  √ 7))
2
 16
(x  (2 
√
7))
2
 (y  (3  √ 7))
2
 16
5. Una circumferència és tangent a la recta y  x  1 en el punt
d’abscissa 3. Se sap que la circumferència també passa pel punt A(3, 1). Troba l’equació d’aquesta circumferència.
El centre de la circumferència es troba en la intersecció de la recta perpendicular a la tangent en el punt (3, 4) i la media- triu del segment determinat per aquest punt i el (3, 1). Les
equacions d’aquestes rectes són, respectivament: y  x  7 i
3
y 
—.
2

97MATEMÀTIQUES 1 LA
11 3
El centre és el punt

——, —
. El radi és el mòdul del vector

2 2
5
entre el centre i el punt (3, 4) → r  ——

√
2
11 3 25
Equació:

x  ——
2
 
y  —
2
 ——
2 2 2
6. L’incentre d’un triangle és el centre de la circumferència
inscrita en el triangle. Si els vèrtexs d’un triangle són els
punts (0, 0), (0, 4) i (4, 0), quina és l’equació de la cir-
cumferència inscrita? Fes-ne un dibuix.
L’incentre és la intersecció de les bisectrius. Una de les bisec- trius és la recta y  x. Cal trobar-ne una altra.
Considerem les rectes y  x  4 i x  0. La bisectriu de l’an-
x  y  4
gle que formen ambdues rectes és
—————  x, ja que és
√
2
la que correspon al pendent negatiu. El punt d’intersecció és
(4  2
√
2, 4  2 √ 2 ), que és el centre. La distància d’aquest
punt a la recta x  0, per exemple, ens dóna el radi r  4  2
√
2.
Equació:
(x  (4  2
√
2 ))
2
 (y  (4  2 √ 2 ))
2

 (4  2
√
2 )
2
7. Dibuixa la circumferència que té com a equació
x
2
 y
2
 6x  6y  9  0
Considera el punt P(3, 1). Troba la potència i la posició d’aquest punt respecte de la circumferència. Troba el punt més proper i el més llunyà a P que pertanyin a la cir- cumferència.
Potència: p  3
2
 1
2
 63  61  9  31. Com que p  0,
el punt és exterior a la circumferència.
La recta determinada pel centre (3, 3) i el punt (3, 1) conté un diàmetre de la circumferència. Els extrems d’aquest diàmetre són els punts que es demanen.
1
Equació de la recta: y  
—x  2
3
Intersecció amb la circumferència:
x
2
 y
2
 6x  6y  9  0
6
1
y  
—x  2
3
9 ·
√
10 3 √ 10
x
1
 3  ———— → y
1
 3  ———
10 10
9
√
10 3 √ 10
x
2
 3  ——— → y
2
 3  ———
10 10
El primer parell de valors correspon al punt més proper i l’altre
al més llunyà.
8. Escriu les equacions de les rectes tangents a la circumferèn-
cia x
2
 y
2
 6x  4y  4  0 en els punts en què talla els
eixos de coordenades.
Els punts de tall amb els eixos de coordenades s’obtenen fent
x  0 i y  0, respectivament:
x
2
 y
2
 6x  4y  4  0
6
→ (0, 2)
x  0
x
2
 y
2
 6x  4y  4  0
6
→
(3  √
5, 0)
y  0 (3 
√
5, 0)
La tangent en el punt (0, 2) és la recta x  0.
Per trobar les altres dues tangents caldrà buscar la recta per-
pendicular a la que determina el centre amb cada punt, per a
aquest punt. Les rectes que se n’obtenen són:

√
5
Per a (3 
√
5, 0) → y  —— (x  (3  √ 5))
2

√
5
Per a (3 
√
5, 0) → y   —— (x  (3  √ 5))
2
9. Els punts que són d’un cercle tenen una inequació que els representa. Escriu la inequació del cercle de centre l’origen
de coordenades i radi 3.
Els punts d’un cercle són els de la circumferència que el limita i
tots els interiors. Verifiquen la inequació x
2
 y
2
 9.
10. Troba la posició relativa de la recta d’equació 2x  3y  4  0
i la circumferència de centre (4, 3) i radi 5.
Cal determinar quins són els punts que tenen en comú la recta
i la circumferència.
Equació de la circumferència:
(x  4)
2
 (y  3)
2
 25
Cal resoldre el sistema d’equacions per substitució:

98 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA

2x  4

5

2x  3y  4  0 → ————  y
3
x
2
 y
2
 8x  6y  0 →
2x  4
→ x
2
 
————
2
 8x  2(2x  4)  0
3
L’equació 13x
2
 92x  56  0 té dues solucions, per tant, la
recta és secant a la circumferència.
11. Considera la circumferència x
2
 y
2
 2x  8y  12  0.
Escriu l’equació de la circumferència concèntrica que té de
radi
√
5 unitats més que la primera.
La circumferència d’equació x
2
 y
2
 2x  8y  12  0 té com
a centre el punt (1, 4) i de radi, r 
√
5.
La circumferència concèntrica té de radi:
√
5  √ 5  2 √ 5
Equació:
(x  1)
2
 (y  4)
2
 (2 √
5 )
2
 20 →
→ x
2
 y
2
 2x  8y  3  0
12. Des d’un punt exterior a una circumferència es poden traçar
dues rectes tangents a la circumferència. Considera el punt
P(2, 0) i la circumferència x
2
 y
2
 6x  4y  9  0.
Traça les rectes tangents a la circumferència des del punt P.
Determina les equacions d’aquestes dues rectes.
Una de les tangents és la recta y  0, com es pot comprovar en
la figura. L’altra tangent s’obté en fer que la intersecció de les
rectes y  m(x  2), que passen pel punt (2, 0), tinguin una
única intersecció amb la circumferència:
y  m(x  2)

5 x
2
 y
2
 6x  4y  9  0 →
→ x
2
 [m(x  2)]
2
 4m(x  2) 
 6x  9  0 →
→ x
2
 m
2
x
2
 4m
2
x  4m
2
 4mx 
 8m  6x  9  0
20
  0 → m
1
 0 i m
2
 ——
21
20 20
m
2
 —— ens dóna la recta y  —— (x  2); m
1
ens dóna la
21 21
recta y  0.
13. Calcula la potència de l’origen de coordenades respecte de la cir-
cumferència que té el centre a la recta d’equació 2x  y  0 i és
tangent a l’eix d’ordenades i a la recta d’equació x  y  3  0.
En primer lloc, cal trobar l’equació de la circumferència.
Si té el centre en la recta 2x  y  0 significa que el centre té
com a coordenades (x, 2x).
Si és tangent a l’eix d’ordenades significa que r  x i per
trobar r calculem la distància del centre a la recta x  y  3  0:

x  2x  3 
√

2 x  x  3
r 
x  ——————
√ 2

√
2 x  x  3
Se n’obtenen dos valors per al radi:
x
1
 3 (√
2  1) i x
2
 3 (√ 2  1)
Per tant, hi ha dues circumferències:
C
1
: (x  3 (√
2  1))
2
 (y  6 ( √ 2  1))
2

 (3 (
√
2  1))
2
 0
C
2
: (x  3 (√
2  1))
2
 (y  6 ( √ 2  1))
2

(3 (
√
2  1))
2
 0
Per calcular la potència, substituïm per (0, 0) en el primer mem- bre de cada equació:
p
1
: 108  72 √
2; p
2
: 108  72 √ 2
14. Fes la interpretació geomètrica de la potència del punt P
respecte d’aquesta circumferència. Observa el triangle rec- tangle que es forma a la ﬁgura 7.27 i calcula la longitud del
segment PT.
El segment PT és un segment de la tangent en el punt T. En el
triangle rectangle: PT
2
 d
2
 r
2
, que és l’expressió de la po-
tència del punt P respecte de la circumferència:
PT 
√
d
2
 r
2
 √ p
15. Considera les circumferències:
C: x
2
 y
2
 4x  10y  20  0 i C que té el centre en el
punt (3, 7) i passa pel punt (2, 7).
Cal trobar l’equació de la circumferència C que té centre en el
punt (3, 7) i radi el mòdul del vector que determinen els dos
punts: (5, 0)  5  r.
C: (x  3)
2
 (y  7)
2
 5
2
→ x
2
 y
2
 6x  14y  33  0

99MATEMÀTIQUES 1 LA
a) Troba la posició relativa de les dues circumferències.
Intersecció de C i C:
x
2
 y
2
 4x  10y  20  0

5 x
2
 y
2
 6x  14y  33  0
Restant:
13  10x
10x  4y  13  0 → y 
—————
4
13  10x
x
2
 
—————
2
 6x 
4
13  10x
 14

—————
 33  0
4
L’equació que en resulta, 116x
2
 204x  31  0, té dues
solucions; per tant, les circumferències són secants.
b) Escriu l’equació de l’eix radical de C i C.
L’eix radical es troba restant les dues equacions que ja hem
resolt en l’apartat anterior.
Eix radical: 10x  4y  13  0
c) Troba la intersecció de l’eix radical amb C. Què observes?
Explica-ho.
La intersecció de l’eix radical amb C i amb C és la mateixa,
ja que l’eix radical està determinat pels punts d’intersecció
de les dues circumferències.
d) Calcula la longitud de la corda que determina l’eix radical
amb C.
La longitud de la corda ve determinada per la distància dels
dos punts d’intersecció.
De manera aproximada, aquests punts són ( 1,9, 6) i (0,14, 2,9).
La longitud de la corda és 3,7.
16. Determina k per tal que la recta 3x  y  k  0 sigui tan-
gent a la circumferència d’equació x
2
 y
2
 6x  0. Hi ha
més d’una solució? Raona la resposta.
La recta és tangent si només hi té un punt en comú. Busquem
la intersecció: y  3x  k.
x
2
 (3x  k)
2
 6x  0 →
→ 10x
2
 (6k  6)x  k
2
 0
Per tal que aquesta equació només tingui una solució, el discri-
minant ha de ser 0:
  (6k  6)
2
 40k
2
 0 →
18 
√
360
→ k
2
 18k  9  0 → k  ——————––   9  3 √
10
2
Hi ha dos valors de k que corresponen a dues rectes paral
.
leles
tangents a la circumferència.
17. El punt P(0, 1) és de la circumferència:
x
2
 y
2
 3x  2y  3  0? Troba l’equació de la recta
tangent a la circumferència per aquest punt.
El punt pertany a la circumferència perquè en substituir en
l’equació se satisfà la igualtat. Cal trobar el centre de la cir-
cumferència que amb el punt P(0, 1) determinen una recta.
La perpendicular per aquest punt és la recta tangent.
3
Centre de x
2
 y
2
 3x  2y  3  0 → C 
—, 1
2
4
Pendent de la recta CP: m  
—
3
3
pendent de la perpendicular: m  
— →
4
3
→ y 
—x  1 és l’equació de la recta tangent.
4
18. Determina l’equació del lloc geomètric dels punts del pla
tals que la distància al punt (2, 0) és sempre la meitat de la
distància a la recta y  x  8.
Donat un punt P(x, y) posem la condició següent:
1
x  y  8 
√
(x  2)
2
 y
2
 — ——————
2 √ 2
Si elevem aquesta expressió al quadrat obtenim:
1 (x  y  8)
2
(x  2)
2
 y
2
 — ——————,
4 2
que és l’equació del lloc geomètric.
19. Calcula m per tal que la recta d’equació y  x  m sigui
tangent a l’el
.
lipse x
2
 2y
2
 6.
Procedim com en l’exercici 16:
x
2
 2(x  m)
2
 6 →
→ 3x
2
 4mx  2m
2
 6  0
  (4m)
2
 12(2m
2
 6)  0 → m  3
Hi ha dues rectes tangents a l’el
.
lipse.
20. Dibuixa de manera aproximada la paràbola d’equació
x
2
 6y.
Indica’n:
a) Les coordenades del focus.
3
Focus: F

0, ——
2
b) Les equacions de la directriu i de l’eix.
3
Directriu: y  ——; eix: x  0
2

100 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
c) La longitud de la corda perpendicular a l’eix pel focus.
3
Cal trobar la intersecció de la paràbola amb la recta y  
—— :
2
x
2
 6y

3 → x
2
 9 → x   3

y  —— 6
2
La longitud de la corda és: 3∙2  6.
21. Troba l’equació de l’el
.
lipse els focus de la qual són els punts
(6, 0) i (6, 0) sabent que la suma de distàncies d’un punt
qualsevol de l’el
.
lipse als focus és constant i igual a 20.
A partir de les dades podem deduir que c  6 i a  10.
a
2
 b
2
 c
2
→ b
2
 100  36  64
x
2
y
2
Equació de l’el
.
lipse: ——  ——  1
100 64
22. Escriu l’equació de la hipèrbola centrada a l’origen de coor-
denades sabent que un dels focus és el punt (6, 0) i que
el semieix real és 5.
A partir de les dades podem deduir que c  6 i a  5.
c
2
 a
2
 b
2
→ b
2
 36  25  11
x
2
y
2
Equació de la hipèrbola: ——  ——  1
25 11
23. Els focus d’una el
.
lipse centrada a l’origen de coordenades
es troben situats a l’eix d’abscisses. Determina’n l’equació
sabent que e  0,6 i b  8.
Per escriure l’equació ens cal trobar a. Relacionem les dades:
c
e  0,6 
— i a
2
 b
2
 c
2
→ a
2
 64  c
2
a
c  0,6a → a
2
 64  0,36a
2
→
→ 0,64a
2
 64 → a
2
 100
x
2
y
2
Equació de l’el
.
lipse: ——  ——  1
100 64
24. Identiﬁca els focus i els vèrtexs de la hi pèrbola d’equació
x
2
y
2
——  ——  1. Calcula’n l’excentricitat.
144 25
x
2
y
2
De l’equació ——  ——  1 es dedueix: a  12 i b  5.
144 25
Els vèrtexs són: (12, 0) i (12, 0).
c
2
 a
2
 b
2

 144  25  169 → c  13
Focus: (13, 0) i (13, 0)
c 13
Excentricitat:
e  —  ——
a 12
x
2
25. Dibuixa la paràbola y  —— i determina’n:
4
a) El focus.
Focus: de x
2
 4y → p  2
i el focus F(0, 1)
b) L’equació de la directriu.
Directriu: y  1
c) El vèrtex.
Vèrtex: (0, 0)
x
2
26. Identiﬁca el vèrtex de la paràbola d’equació y  ——  x  6.
4
Relaciona el seu gràﬁc amb el de la paràbola de l’exercici
anterior. Dóna’n el focus i la directriu.
x
2
El vèrtex de la paràbola y  ——  x  6 és el punt (2, 5) →
4
b
→

x
v
 ——
.
2a
El gràfic d’aquesta paràbola és el mateix que el de l’exercici
anterior traslladant el vèrtex (0, 0) al punt (2, 5). També hi
traslladem el focus i la directriu:
Focus: (2, 6)
Directriu: y  4
4
27. L’excentricitat d’una el
.
lipse és e 
—. Escriu la seva equació
5
sabent que a  10. Representa-la gràﬁcament.
c 4 c
e 
—  —  —— → c  8
a 5 10
a
2
 b
2
 c
2
→ b
2
 100  64  36
x
2
y
2
Equació de l’el
.
lipse: ——  ——  1
100 36

101MATEMÀTIQUES 1 LA
28. Dibuixa de manera aproximada una hipèrbola que tingui com
a vèrtex A (0, 3) i A (0, 3) i un dels seus focus sigui F (0, 5).
Escriu-ne l’equació.
Per les dades: a  3 i c  5
c
2
 a
2
 b
2
→ b
2
 25  9  16
En ser l’eix d’ordenades el de la hipèrbola, l’equació ha de ser
tal que es correspongui amb el dibuix, és a dir, que contingui
els vèrtexs.
y
2
x
2
Equació de la hipèrbola: ——  ——  1
9 16
29. Compara les excentricitats d’una el
.
lipse i d’una hipèrbola
amb el número 1.
c
L’excentricitat és e 
— en totes les còniques.
a
En l’el
.
lipse: c  a → e  1
En la hipèrbola: c  a → e  1
30. Identiﬁca les paràboles següents sabent que les seves equa-
cions són:
a) y
2
 8x b) x
2
 8y
a)
Correspon a la paràbola d’equació x
2
 8y.
b)
Correspon a la paràbola d’equació y
2
 8x.
31. La circumferència principal d’una el
.
lipse té d’equació x
2
 y
2

 16. Escriu l’equació de l’el
.
lipse sabent que l’excentrici-
tat és
1
e 
—.
2
La circumferència principal és la que verifica: r  a.
En la circumferència
x
2
 y
2
 16 → r  a  4
c c 1
e 
—  —  — → c  2 →
a 4 2
→ a
2
 b
2
 c
2
→ b
2
 16  4  12
x
2
y
2
Equació de l’el
.
lipse: ——  ——  1
16 12
x
2
y
2
32. Considera l’el
.
lipse d’equació ——  ——  1. Representa-la
36 9
gràﬁcament i traça la recta perpendicular a l’eix de les abscis-
ses per a un dels focus. Troba la longitud del segment d’aquesta
recta determinat per la seva intersecció amb l’el
.
lipse.
a  6 i b  3
a
2
 b
2
 c
2
→ c
2
 27 → c  √
27
Cal buscar la distància PP  2PF. El punt P té abscissa
√
27 i
l’ordenada la trobarem en substituir en l’equació:
(
√
27)
2
y
2
9 3
———  ——  1 → y
2
 — → y   —
36 9 4 2
3
La distància PP és 2
—  3.
2

102 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
33. Una circumferència té el centre en la bisectriu dels se-
gon i quart quadrants i passa pels punts (0, 3) i (1, 2).
Determina’n el centre i el radi. Quina és l’equació d’aquesta
circumferència?
El centre es troba a la mateixa distància dels dos punts. Es troba en
la mediatriu del segment que determinen. La intersecció d’aquesta
recta amb la que té com a equació y  x ens dóna el centre.
El pendent de la recta que passa pels punts (0, 3) i (1, 2) és
m  1; el de la perpendicular és m  1, i passa pel punt
1 5
mitjà

—, —
→ y  x  2.
2 2
y  x  2

6
C(1, 1)
y  x
Radi: mòdul del vector (1, 2) → r 
√
5
Equació de la circumferència:
(x  1)
2
 (y  1)
2
 5
34. Traça les dues tangents a la circumferència d’equació
x
2
 y
2
 4 des del punt P(5, 5). Troba les equacions
d’aquestes dues rectes.
Considerem el feix de rectes que passen pel punt (5, 5) i imposem
la condició que la seva distància a (0, 0) sigui igual al radi 2.
Recta:
y  5  m(x  5) → mx  y  5m  5  0

5m  5 
2  —————— → 4 (m
2
 1) 
√
m
2
 1
 (5m  5)
2
→ 21m
2
 50m  21  0
50 
√
736
m  —————— ⇒ m
1
 1,84; m
2
 0,54
42
(de manera aproximada)
Les rectes:
y  5  1,84 (x  5) i
y  5  0,54 (x  5)
35. Considera el triangle de vèrtexs els punts O(0, 0), P(6, 0) i Q(0, 4).
a) Escriu l’equació de la mediatriu de dos dels cos tats del
triangle.
fi−fifififi
)
+
→
≠
(
)
−⇔−fifi−
Considerem per comoditat els dos costats del triangle rectangle
que determinen l’angle recte. Les equacions de les dues media-
trius són x  3 i y  2.
b) Determina’n el circumcentre.
Naturalment, el circumcentre del triangle se situa en el punt (3, 2).
c) Calcula la distància del circumcentre a cadascun dels vèr-
texs del triangle.
La distància del circumcentre a cada vèrtex és la mateixa:
d 
√13 u.
d) Escriu l’equació de la circumferència circumscrita.
Equació de la circumferència de centre C(3, 2) i radi
r  d  √13:

xy xy xy−() +−() →+ −−32 13 64 0
22 22

36. Donada l’el·lipse d’equació
xy
22
79
1+, determina:
a) Les coordenades dels vèrtexs.
b
2
 7 → b 
√7; a
2
= 9 → a = 3
Vèrtexs: (√7, 0), ( √7, 0), (0, 3) i (0, 3)
b) Les coordenades dels focus.
a
2
 b
2
+ c
2
→ 9  7 + c
2
→ c =
√2; focus: (0, √2) i (0,  √2).
c) L’excentricitat.
e
c
a

√2
3
37. Calcula l’àrea del cercle limitat per la circumferència de cen-
tre C(1, −1) i tangent a la recta que té per equació 12x − 5y
+ 9 = 0.
El radi és la distància del centre C(1, 1) a la recta tangent 12x
 5y + 9 = 0:

r
1259
13
2
++
u
38. Troba l’equació de la paràbola que té el vèrtex a l’ori gen de
coordenades, és simètrica respecte de l’eix de les abscisses i
conté el punt (6, 6). Determina les coordenades del focus
i l’equació de la directriu.

103MATEMÀTIQUES 1 LA
L’equació de la paràbola és del tipus y
2
 2px. Si conté el punt (6, 6),
es verifica: 36  12p → p  3. Per tant, l’equació és y
2
 6x.
Focus: F(
3
4
, 0); directriu: x  
3 2
.
39. Considera la hipèrbola equilàtera que passa pel punt (3, 2).
a) Escriu-ne l’equació.
x
2
 y
2
= a
2
→ 9  4 = a
2
→ a = b =
√5 → x
2
 y
2
= 5
b) Indica les coordenades dels vèrtexs i les dels focus.
Vèrtexs: (√5, 0) i ( √5, 0)

 a
2
+ b
2
 10 → c 
√10; focus: (√10, 0) i ( √10, 0)
Avaluació
1. Escriu l’equació de cadascuna de les circumferències se-
güents:
a) De centre C el punt mitjà del segment d’extrems els punts
A(5, 2) i B(1, −6).
C(3, 2); r  d
AC
 d
CB

√20
(x  3)
2
+ (y + 2)
2
 20 → x
2
+ y
2
 6x + 4y  7  0
b) De centre C(0, 2) i tangent a la bisectriu dels quadrants
primer i tercer.
C(0, 2); equació bisectriu: x  y = 0 → r 
– 2
√2
= √2
x
2
+ (y  2)
2
 2 → x
2
+ y
2
 4y + 2  0
2. Donades les circumferències:
x
2
1 y
2
2 9 5 0 i x
2
1 y
2
2 2x 1 6y 2 35 0.
a) Calcula la potència del punt P (1, –3) respecte a la primera
cincumferència i indica’n la posició relativa.
b) Troba l’ecuació de l’eix radical de les dues circumferències.
c) Comprova que l’eix radical és perpendicular a la recta que
contè els centres de les dues circumfèrencies.
a) p  1
2
 (3)
2
9  1  9 9  1  0. Punt exterior.
b) Igualem les dues equacions:
22 22
9 263 9 263 2660 330xy xy xy xy xy xy+−=+−+−→−=−+−→−++=→−++=
22 22
9 263 9 263 2660 330xy xy xy xy xy xy+−=+−+−→−=−+−→−++=→−++=
c) Els centres són: C
1
(0, 0) i C
2
(1, 3).
Un vector director de la recta que uneix els centres és
→
v  (1, 3).
Un vector director de l’eix radical és
→
w  (3, 1).
Si fem el producte escalar:
→
v •
→
w 5 (1, 23) • (3, 1) 5 1 · 3 1 (23) · 1 5 3 2 3 5 0.
Aleshores, són perpendiculars ambdues rectes.
3. L’equació d’una el·lipse es 4x
2
1 9y
2
2 144 5 0.
a) Expressa-la en forma reduïda.
49 144
3616
1
22
22
xy
xy
+= →+ =
b) Identifica les coordenades dels vèrtex i dels focus de l’el· lipse.
a
2
 36 → a  6; b
2
 16 → b  4; c  √
a
2
 b
2
 2 √5
Vèrtex: (6, 0), ( 6, 0), (0, 4) i (0,  4)
Focus: (2
√
5, 0) i ( 2 √5, 0)
c) Calcula’n l’excentricitat.
e 5
c
a

√5
3
4. Escriu l’equació reduïda de la hipèrbola que té un vèrtex en
el punt (212, 0) i un focus en el punt (13, 0). Determina’n
l’excentricitat.
a  12, c  13; c
2
 a
2
1 b
2
→ b  √
c
2
 a
2
 5
Equació de la hipèrbola:
xy
2
14425
1−=
Excentricitat: e
c
a
==
13
12
5. L’eix d’una paràbola se situa en la recta y 5 0 i el focus, en
el punt F(
5
2
). Esbrina:
a) El valor del paràmetre i l’equació de la directriu.

p
px
2
5
2
5
5
2
=→
== −−;−: −−directriu
b) L’equació de la parábola.
y
2
 2px → + y
2
 10x
6. Determina les equacions de les rectes tangents a la circum-
ferència x
2
1 y
2
2 10x + 16 5 0 en els punts en què s’inter-
secta amb els eixos de coordenades.
Intersecció eix
X:−− −yx xx ix=→ →+ =→ ==01 0160 28
2
12

→(,−)−−(,−)20 80i
Intersecció eix Yx yy:−−=→ += →∉ →01 60
2
R

no talla l’eix
d’ordenades
Centre circumferència: ab C== →50 50,− (,−)
Radi circumferència: r  3
y
258
y
x
Les rectes tangents i la circumferència pels punts (2, 0) i (8, 0) són perpendiculars a l’eix de les abscisses i les seves equacions
són x  2 i x  8.

104 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
j Unitat 8. Funcions
Activitats
1. Defineix la variable independent i la variable dependent en
els casos següents:
a) L’import que cal pagar en una benzinera i els litres de
benzina que hi comprem.
x: litres de benzina
y: import en euros
b) El pes d’una persona i la seva edat.
x: edat
y: pes
c) L’espai recorregut per un cotxe i la velocitat a què circula.
x: velocitat
y: espai recorregut
d) El volum d’una esfera i la longitud del diàmetre.
x: longitud del diàmetre
y: volum de l’esfera
2. Representa la variable independent per x i la variable de-
pendent per f(x) i troba, sempre que sigui possible, l’ex-
pressió algèbrica de cadascuna de les funcions de l’exercici
anterior.
a) f(x)  p x, essent p el preu d’un litre de benzina en €.
b) No és possible.
c) Caldria saber el tipus de moviment.

d) f(x)  —x
3
6
3. Escriu l’expressió algèbrica i troba el domini de les funcions
següents:
a) A cada valor del radi d’una esfera li assignem la seva
superfície.
f(x)  4 x
2
; D
f
 

b) La diagonal d’un quadrat depèn de la longitud del costat.
f(x) 
√
2 c; D
f
 

c) Al radi d’una circumferència li assignem l’àrea de l’hexàgon regular inscrit.
3
√
3
f(x)  ——— x
2
; D
f
 

2
d) La longitud de l’aresta d’un cub és funció del volum.
f(x) 
3
√
3; D
f
 

4. Determina el domini de les funcions:
1
f(x)  3 x  7, g(x)  2 x
2
 7x  11 i h(x)  ———
x  1
D
f
 
D
g
 
D
h
 {x    x  1  0 }    {1}
5. Troba el domini de les funcions següents:
x  1
a) f(x)  ——————
x
2
 6x  5
D
f
 {x  x
2
 6x  5  0 }    {1, 5}
b) g(x)  √

4  3x
4
D
g
 {x  4  3 x  0 }  
—, 
3
7x  8
c) h(x)  ————
x
2
 5
D
h
 

d) k(x) 
3
√
3
4

x  5

D
k
 
2
e) p(x)  
— x
3
 5x  2
3
D
p
 
x
2
 4
———— si x < 2
x
f) t(x) 
5
2x
——— si x  2
x  3
D
t
 {x  x  0 i x  3  0 } 
  
{0, 3}
6. Amb les funcions f, g i h dels exemples anteriors, comprova
que es verifiquen les propietats de la suma i del producte de
funcions.
Suma
Commutativa:
x
3
 x
2
 x  2
f(x)  g(x)  g(x)  f(x)  ————————
x
2
 1

105MATEMÀTIQUES 1 la
Associativa:
f(x)  [g(x)  h(x)]  [f(x)  g(x)]  h(x) 
2x
4
 4x
3
 x
2
 5x  6
 ————————————––
(x
2
 1)(x  3)
Element neutre:
O(x)  0 per a les tres funcions.
Element simètric:
x
2
 2 2  x
2
f: f(x)  ————  ————
x  1 x  1
x
g: g(x)  ———
x
2
 1
x
2
h: h(x)  ———
x  3
Producte
Propietat commutativa:
x (x
2
 2)
f(x)g(x)  g (x)f(x)  ———————––
(x  1) (x  1)
2
Propietat associativa:
f(x)[g(x)h(x)]  [ f(x)g(x)]h(x) 
x
3
(x
2
 2)
 ———————————
(x  1) (x  1)
2
(x  3)
Element neutre: I (x)  1 per a les tres funcions.
Element simètric:
1 x  1
Per a la funció f :

—
(x)  ———
f x
2
 2
1 x
2
 1
Per a la funció g:

—
(x)  ———
g x
1 x  3
Per a la funció h:

—
(x)  ———
h x
2
Propietat distributiva de la multiplicació respecte de la suma:
f(x) [g(x)  h (x)]  f (x)g(x)  f (x)h(x) 
(x
2
 2) (x
4
 3x)

———————————––
(x  1)
2
(x  1) (x  3)
7. A partir de les funcions f i k dels exemples, escriu l’expressió
1 1 1 1
algèbrica de les funcions
—, —, —— i ——. Troba’n el domini.
f k f k
1 1 x  1

—
(x)  ——  ———
f f(x) x
2
 2
1 1 1

—
(x)  ——  ————

k
k(x) √

x  1
1 1 x  1

——
(x)  
—
(x)   ———
f f x
2
 2
1 1 1

—
(x)  
—
(x)   ————
k k √

x  1
D1
—
f  D 1
—
f
 {x  x
2
 2  0 } 
  
{√

2, √

2}
D
1
—
k  D 1
—
k  {x  x  1  0 } 
 (1, 
)
8. Donades les funcions:
2x  4 x  2
f(x)  ———— i g(x)  ————
x  3 3x  9
1

—
f g f 1
Determina l’expressió de les funcions
—, —, — i —
i troba’n el domini.
g f g g

—
f
2x  4

————
f f(x) x  3

—
(x)  ——–  ————— 
g g(x) x  2

————
3x  9
(2x  4) (3 x  9) 6x
2
 30 x  36

—————————  ————————
(x  3) (x  2) x
2
 5x  6
x  2

————
g g(x) 3x  9

—
(x)  ——  ————— 
f f(x) 2x  4

————
x  3
(x  2) (x  3) x
2
 5x  6

—————————  ————————
(3x  9) (2 x  4) 6x
2
 30 x  36
1 1

— ——
f f(x) 1
— (x)  ———  ————— 
g g(x) f(x)g(x
)
1 1
 ——————————
 —————— 
2x  4 x  2 2x
2
 8
———— ————
————
x  3 3x  9 3x
2
 27
3x
2
 27

————
2x
2
 8

106 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
1 1 f(x)

—

(x)  ———  —— 
g g(x) g(x)
— ——
f f(x)
6x
2
 30 x  36
 ————————
x
2
 5x  6
D
f
—
g  D 1
—
g
—
f
 {x  x
2
 5x  6  0 } 
  
{3, 2 }
D g
—
f  {x  6x
2
 30 x  36  0 } 
  
{2, 3}
D
1
—
f
—
g
 {x  2x
2
 8  0 }    {2, 2}
9. Amb les funcions f (x)  7x  4, g (x)  2x
2
 1 i
h(x)  x  9, comprova les propietats associativa i de
l’element neutre de la composició de funcions.
Propietat associativa:
[h  (g  f )] (x)  h [ (g  f) (x)]  h [ g (f (x))] 
 h [g (7x  4)]  h (2 (7 x  4)
2
 1) 
 h (98 x
2
 112 x  31) 
 98 x
2
 112 x  31  9 
 98 x
2
 112 x  22
[(h  g)  f ] (x)  (h  g) (f (x))  h [ g (f (x))] 
 98 x
2
 112 x  22
Element neutre:
(f  I)(x)  f (
I(x))  f (x)  7 x  4
(I  f)(x)  I (f(x))  f (x)  7 x  4
10. Donades les funcions:
1 3
f(x)  3  2 x i g(x)  
—x  —,
2 2
comprova que són inverses l’una de l’altra. Fes-ho també
gràficament.
(g  f)(x)  g (f(x))  g (3  2 x) 
1 3 3 3
 
— (3  2 x)  —  —  x  —  x
2 2 2 2
(f  g) (x)  f (g (x)) 
1 3 1 3
 f

— x  —
 3  2
— x  —

2 2 2 2
 3  x  3  x
f(x)  3  2 x
1 3
g(x)  
—x  —
2 2

1
11. Comprova que la funció inversa de f (x) 
— és ella ma-
teixa.
x
1 1
(f  f)(x)  f (f (x))  f

—
 —  x →
x 1
—
x
1
→ f
1
(x)  f (x)  —
x
x  4 3x
12
. Amb les funcions f (x)  ——— i g(x)  ——— :
x  2 x  1
a) Troba l’expressió algèbrica i el domini de: g  f, f  g, f  f,
g  g, f
1
i g
1
.
x  4
(g  f)(x)  g (f(x))  g

———

x  2
x  4 3 (x  4)

3——— ————
x  2 x  2
 ——————  ———————— 
x  4 x  4  x  2

———  1 ——————
x  2 x  2
3 (x  4) 3x  12

————  ————
2x  6 2x  6
D
g  f
   {3, 2 }
3x
(f  g) (x)  f (g(x))  f

———

x  1
3x 3x  4x  4

———  4 ——————
x  1 x  1
 ——————  ———————— 
3x 3x  2x  2

——
—  2 ——————
x  1 x  1
7x  4
 ————
5x  2

107MATEMÀTIQUES 1 la
2
D
f  g
   
1, —
5
x  4
(f  f) (x)  f (f (x))  f

———

x  2
x  4 x  4  4 x  8

———  4 ————————
x  2 x  2
 ——————  ————————— 
x  4 x  4  2 x  4

———  2 ————————
x  2 x  2
5x  12
 —————
3x  8
8
D
f  f
   
2, —
3
3x
(g  g) (x)  g (g(x))  g

———

x  1
3x 9x

3 ——— ———
x  1 x  1
 —————— 
——————— 
3x 3x  x  1

———  1 —————
x  1 x  1
9x
 ————
4x  1
1
D
g  g
   
1, —
4
x  4
y 
——— → xy  2 y  x  4 →
x  2
→ xy  x  4  2 y →
→ x(y  1)  4  2 y
4  2y 4  2 x
x  ———— → f
1
(x)  ————
y  1 x  1
D
f
1    {
1}
3x
y 
——— → xy  y  3 x →
x  1
→ 3x  xy  y → x(3  y)  y
y x
x  ——— → g
1
(x)  ———
3  y 3  x
D
g
1    {3}
b) Comprova que les funcions f
1
i g
1
són les inverses de
f i g respectivament.
x  4
(f
1
 f)(x)  f
1
(f(x))  f
1

———

x  2
x  4

4  2 ———
x  2

—————— 
x  4

———  1
x  2
4x  8  2x  8

————————
x  2

———————— 
x  4  x  2

——————
x  2
2x

——  x
2
4  2x
(f  f
1
)(x)  f (f
1
(x))  f
————

x  1
4  2 x 4  2 x  4x  4

———  4 ————————–
x  1 x  1
 ——————  ————————— 
4  2 x 4  2 x  2x  2

———  2 ————————–
x  1 x  1
2x

——  x
2
3x
(g
1
 g)(x)  g
1
(g(x))  g
1

———


x  1
3x 3x

——— ———
x  1 x  1
 —————— 
——————— 
3x 3x  3  3 x

3  ——— —————
x  1 x  1
3x

——  x
3
x
(g  g
1
)(x)  g (g
1
(x))  g
———

3  x
x 3x

3 ——— ———
3  x 3  x
 —————— 
————— 
x x  3  x

———  1 ————
3  x 3  x
3x

——  x
3
Activitats finals
1. En una certa zona, la quantitat de sofre que hi ha a l’atmosfera,
en parts per milió, evoluciona d’acord amb la funció
s(t)  2,1  0,2t  0,03t
2
, on t és el temps expressat en anys.
Determina la presència de sofre en l’actualitat i quants anys
han de transcórrer perquè s’assoleixi novament el valor actual.
s(0)  2,1. Actualment hi ha 2,1 parts per milió de sofre.
s(t)  2,1 → 2,1  0,2 t  0,03 t
2
 2,1 →
→ 0,03 t
2
 0,2 t  0

108 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
t  0
t(0,03t  0,2)  0 → 0,03 t  0,2  0 →
0,2
→ 0,03 t  0,2 → t  ———  6,6
(
anys
0,03
2. Defineix la funció que expressa la suma de dos nombres
enters tals que el seu producte és 18. Troba’n el domini.
18 x
2
 18
S(x)  x  ——  ————
x x
D
s
 {18, 9, 6, 3, 2, 1, 1, 2, 3, 6, 9, 18 }
3. En un triangle, la suma de les longituds de la base i l’altura
és 15 cm. Expressa l’àrea del triangle en funció de la longitud
de la base. Troba el domini d’aquesta funció.
x (15  x) 1 15
S(x)  ————— 
—x
2
 ——x en cm
2
2 2 2
D
s
 (0, 15)
4. Volem construir una capsa sense tapa amb una cartolina
quadrada de 12 cm de costat. Per fer-ho, retallem quadrats
iguals de costat x cm en cadascuna de les quatre cantonades
de la cartolina. Determina l’expressió algèbrica que ens dóna
el volum de la capsa (fig. 8.9), en funció del valor de x .
Indica el domini d’aquesta funció.
V(x)  (12  2 x)
2
x  (144  48 x  4x
2
) x 
 4x
3
 48 x
2
 144 x en cm
3
D
v
 (0, 6)
5. Troba el domini de la funció que expressa l’àrea d’un rectangle de 30 cm de perímetre en funció de la longitud
d’un dels costats.
2x  2y  30 → x  y  15 → y  15  x
S  xy  x (15  x )  15 x  x
2
S(x)  15 x  x
2
en cm
2
, D
s
 (0, 15)
6. L’altura d’un cilindre és el triple del radi de la base. Escriu
l’expressió del volum del cilindre en funció del radi de la
base. Quin serà el volum del cilindre per a un radi de 5 cm?
Quin és el valor del radi de la base si el volum del cilindre
és de 24  cm
3
? Troba el domini de la funció suposant que
el volum màxim és de 3,75 10
5
 cm
3
.
V  r
2
h  r
2
3r  3r
3
→ V(r)  3r
3
V(5)  3 5
3
 375  cm
3
24  3 r
3
→ r
3
 8 → r 
3
√

8  2 cm
3,7510
5
  3 r
3
→
3,7510
5
375 000
→ r
3
 ————  ———— 
3 3
 125 000 cm
3
→ r  50 cm
D
v
 (0, 50)
7. Dos nombres naturals sumen 20. Expressa’n el producte
en funció d’un d’ells. Troba el domini d’aquesta funció.
Comprova que 15 és del domini, i que 28 no ho és.
P(x)  x (20  x)  20 x  x
2
D
p
 {x  1  x  19 }
15  D
p
, 28  D
p
8. Es vol construir una finestra formada per un quadrat i un
semicercle de radi x (fig. 9.10). Troba les expressions del
perímetre i de l’àrea de la finestra en funció de x. Indica el
domini de cadascuna d’aquestes funcions.
2x
p(x)  6 x 
———  6x   x  (6  ) x
2
x
2
x
2
8  
S(x)  (2x)
2
 ——  4x
2
 ——  —— x
2
2 2 2
D
p
 D
s
 (0,  )
9. El radi d’una taca d’oli circular creix a un ritme de 3 cm per
minut i el centre es troba a 9 cm del marge de la taula.
a) Expressa la funció que assigna a cada instant t el valor
del radi de la taca.
r(t)  3t, t en min i r (t) en cm.
b) Quant trigarà la taca d’oli a arribar al marge de la taula?
3t  9 → t  3 min
c) Escriu l’expressió algèbrica de la funció que assigna a cada
instant t el valor de l’àrea de la taca d’oli.
S   r
2
 (3t)
2
 9t
2
 9t
2
S(t)  9t
2
en cm
2
d) Calcula l’àrea en l’instant en què la taca arriba al marge
de la taula.
S(3)  9 3
2
 81  cm
2

109MATEMÀTIQUES 1 la
10. Suposem que establir una trucada telefònica costa 0,50 € i,
a partir d’aquest moment, el preu és de 0,30 € per minut.
Troba l’expressió algèbrica de la funció que ens determina
l’import d’una trucada telefònica en funció de la seva durada.
Quant costarà una trucada de 8 minuts? Quants minuts ha
durat una trucada l’import de la qual és de 5,30 € ?
f(t)  0,5  0,3 t, t en min, f (t) en €
f(8)  0,5  0,3 8  0,5  2,4  2,9 €
0,5  0,3t  5,3 → 0,3t  4,8 → t  16 min
11. La funció f (t)  2t
2
 5t expressa la distància recorreguda
per un mòbil en funció del temps, on t s’expressa en segons
i f(t), en metres. Troba la distància recorreguda pel mòbil
entre els instants t  1s i t  2s. Quant de temps trigarà el
mòbil a recórrer una distància de 75 m?
f(2)  f (1)  2 2
2
 52  2  5 
 8  10  2  5  11 m
2t
2
 5t  75 → 2t
2
 5t  75  0 →
→ t  5s
12. En mesurar la temperatura a diferents alçades, s’ha observat
que la temperatura disminueix 1 °C cada 200 m d’alçada.
Si en un dia determinat la temperatura arran de terra és de
12 °C, escriu l’expressió algèbrica de la funció t (h), essent
h l’alçada en metres i t (h) la temperatura en °C. Quina
temperatura hi haurà a 6 km d’alçada? A quina alçada hi
haurà una temperatura de 50 °C?
h
t(h)  12 
——
200
6000
t(6000)  1 2  ———  12  30  18 °C
200
h
12  ——  50 →
200
→ h  12 400 m  12,4 km
13. Dividim un segment de 10 cm de longitud en dues parts.
Expressa la suma de les àrees dels triangles equilàters cons-
truïts sobre cadascuna d’aquestes dues parts (fig. 8.11), en
funció del costat d’un dels triangles. Troba’n el domini.
√

3 √

3
S(x)  —— x
2
 —— (10  x)
2

4 4

√

3 √

3
 —— x
2
 —— (100  20 x  x
2
) 
4 4

√

3 √

3
 —— x
2
 25 √

3  5 √

3 x  —— x
2

4 4

√

3
 —— x
2
 5 √

3 x  25 √

3 en cm
2
2
D
s
 (0, 10)
14. Troba el domini de les funcions següents:
2
a) f(x)  ————————
x
2
 10 x  16
D
f
 {x  x
2
 10 x  16  0 } 
  
{2, 8}
2
b) g(x) 
√

— x  8
3
2
D
g
 
x  — x  8  0

3
 (, 12]
c) h(x) 
3
√

8  x
5
D
h
 
7x
d) k(x)  ————
3x
2
 3
D
k
 
15. Defineix una funció que tingui per domini els conjunts:
Respostes obertes, per exemple:
a) D
f
   {2, 7}
1
f(x)  ———————
x
2
 9x  14
b) D
g
 {x  x  0}
1
g(x)  ———
√

x
c) D
h
 (, 3]
h(x) 
√

x  3
d) D
q
 
q(x)  x
2
 x  4
e) D
p
 {x  x  2, x  0 }
10
p(x)  ————
x
2
 2x

110 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
16. Determina el domini de cadascuna de les funcions següents:
2  x
a) f(x)  ————
√

3  x
D
f
 {x  3  x  0 }  (, 3)
4x  1
b) g(x) 
————
x
2
 7x
D
g
 {x  x
2
 7x  0 }    {0, 7 }
2x  1
c) h(x)  —————

3
√

8  x
3
D
h
 {x  8  x
3
 0}    {2}
x
——— si x  0
x  1
d)
k(x) 
5
3x  1
———— si x  0
2x  5
D
k
 {x  x  1  0 i 2x  5  0 } 
5
  

1, —
2
17. Donades les funcions f(x)  3x
2
 4 i g(x)  3(x  1)
2
,
troba:
a) (f  g) (x)
(f  g) (x)  f (x)  g (x) 
 3x
2
 4  3 (x  1)
2

 3x
2
 4  3 x
2
 6x  3 
 6x
2
 6x  1
b) g (x  2)
g (x  2)  3 (x  2  1)
2
 3 (x  3)
2

 3 (x
2
 6x  9)  3 x
2
 18 x  27
c) (fg)(x)
(fg)(x)  f(x)g(x) 
 (3x
2
 4)3(x  1)
2

 (3x
2
 4)3(x
2
 2x  1) 
 (3x
2
 4)(3x
2
 6x  3) 
 9x
4
 18 x
3
 3x
2

 24x  12
g
d)

—
(x)
f
g g(x)

—
(x)  —— 
f f(x)
3 (x  1)
2
3x
2
 6x  3
 —————  ———————
3x
2
 4 3x
2
 4
e) (fg)(x)
(fg)(x)  f (g(x))  f (3(x  1)
2
) 
 3(3(x  1)
2)
2
 4  39(x  1)
4
 4 
 27(x
4
 4x
3
 6x
2
 4x  1)  4 
 27x
4
 108 x
3
 162 x
2
 108 x  23
f) (gf) (x)
(gf)(x)  g (f(x))  g (3x
2
 4) 
 3(3x
2
 4  1)
2
 3(3x
2
 5)
2

 3(9x
4
 30 x
2
 25) 
 27x
4
 90 x
2
 75
18. Troba el domini de la funció representada en cadascuna de
les gràfiques (fig. 8.12).
a) b)
a) D
f
 [3, 1] [0, 3)
b) D
g
 (3, 2]
19. Defineix una funció a trossos que tingui per domini
D
f
 {x  x  0}.
Resposta oberta, per exemple:
1

— si x  1
x
f(x) 
5
x si x  1
20. Calcula f(3), f(1), f(0), f(1) i f (2), i troba el domini de:
2x  3 x  1
x
2
 1
f(x) 
5
——— 1  x  1
x  2

√

x  3 x  1

111MATEMÀTIQUES 1 la
f(3)  2 (3)  3  6  3  9
(1)
2
 1 2
f(1)  —————  
—
1  2 3
1
f(0)  
—
2
1  1
f(1)  ———  2
1  2
f(2) 
√

5
D
f
 
21. El nombre d’articles n produïts en una empresa un
dia qualsevol, t hores després de l’inici de la feina, és
n(t)  t
2
 20t, amb una jornada laboral de vuit hores
diàries. Si el cost de producció de n articles és, en euros, c(n)
 5  6n, determina l’expressió de la funció c (t) que en
dóna el cost en funció del temps. Indica’n el domini.
c(t)  c(n(t))  c (t
2
 20 t) 
 5  6 (t
2
 20 t)  5  6 t
2
 120 t 
 6 t
2
 120 t  5
D
c
 (0, 8]
2x  1 x
2
 1
22. Siguin f (x) 
———— i g(x)  ————
x  1 3x
f
a) Troba les funcions: f  g, f g,
—, f  f, g  g, f
1
.
g
(f  g) (x)  f (x)  g (x) 
2x  1 x
2
 1

————  ———— 
x  1 3x
3x(2x  1)  (x  1) (x
2
 1)
 ——————————————––– 
3x (x  1)
6x
2
 3x  x
3
 x
2
 x  1

—————————————– 
3x(x  1)
x
3
 7x
2
 4x  1

————————— 
3x (x  1)
x
3
 7x
2
 4x  1

—————————
3x
2
 3x
(fg)(x)  f (x)g(x) 
2x  1 x
2
 1
 ———— ———— 
x  1 3x
(2x  1) (x
2
 1) (2x  1) (x  1)

————————–  ————————–– 
(x  1) 3x 3x
2x
2
 3x  1
 ———————
3x
2x  1

————
f f(x) x  1

—
(x)  ——  ————— 
g g(x) x
2
 1

———
3x
3x (2x  1) 6x
2
 3x

————————  ———————
(x  1) (x
2
 1) x
3
 x
2
 x  1
2x  1
(f  f)(x)  f (f (x))  f

————

x  1
2x  1 4x  2  x  1

2 ————  1 ——————–
x  1 x  1
 ———————  ———————— 
2x  1 2x  1  x  1

————  1 ——————–
x  1 x  1
3x  3 x  1
 ————  ———
3x x
x
2
 1
(g  g) (x)  g (g(x))  g

———

3x
x
2
 1

———
2
 1
3x
 ——————— 
x
2
 1

3 ———
3x
x
4
 2x
2
 1  9
x
2

—————————
9x
2
 ——————————— 
x
2
 1

———
x
x
4
 11 x
2
 1 x
4
 11 x
2
 1
 ———————  ———————
9x (x
2
 1) 9x
3
 9x
2x  1
y  ———— → xy  y  2 x  1 →
x  1
→ 2x  xy  y  1 → x (2  y)  y  1
y  1 x  1
x 
——— → f
1
(x)  ———
2  y 2  x
b) Troba el domini de cadascuna de les funcions anteriors.
D
f  g
 D
fg
 D
f  f


{x  x  0, x  1  0 }    {0, 1 }
D
f
—
g {x  x
2
 1  0 }    {1, 1}
D
g  g
 {x  x  0, x
2
 1  0 } 
  
{1, 0,1}
D
f
1  {x  2  x  0 }    {2}

112 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
c) Comprova que f
1
és la funció inversa de f.
2x  1
(f
1
 f)(x)  f
1
(f(x))  f
1

————

x  1
2x  1

————  1
x  1

———————— 
2x  1

2  ————
x  1
2x  1  x  1

————————
x  1 3x
 —————————— 
——  x
2x  2  2 x  1 3

—————————
x  1
x  1
(f  f
1
)(x)  f 
———

2  x
x  1

2 ———  1
2  x

———————— 
x  1

———  1
2  x
2x  2  2  x

————————
2  x 3x
 —————————— 
——  x
x  1  2  x 3

———————
2  x
x
23. Donada la funció f (x)  ——— , comprova que (f  f)(x)  x.
x  1
Per què creus que passa això? Justifica’n la resposta.
x
(f  f)(x)  f (f(x))  f

———

x  1
x x

——— ———
x  1 x  1
 ——————  ——————  x
x x  x  1

———  1 —————
x  1 x  1
Perquè f
1
(x)  f (x), és a dir, és la inversa d’ella mateixa.
24. Troba la funció inversa i fes-ne la comprovació en cada cas,
per a cadascuna de les funcions següents:
x  1
a) f(x
)  ———
x  2
x  1
y 
——— → xy  2 y  x  1 →
x  2
→ x  xy  1  2 y → x (1  y)  1  2 y
1  2y 1  2 x
x  ———— → f
1
(x)  ————
1  y 1  x
x  1
(f
1
 f)(x)  f
1
(f(x))  f
1

———

x  2
x  1

1  2 ———
x  2

——————— 
x  1

1  ———
x  2
x  2  2 x  2

————————
x  2 3x
 —————————— 
——  x
x  2  x  1 3

———————
x  2
1  2x
(f  f
1
)(x)  f(f
1
(x))  f
————

1  x
1  2 x

————  1
1  x

—————— 
1  2 x

————  2
1  x
1  2 x  1  x

————————
1  x 3x
 —————————— 
——  x
1  2 x  2  2 x 3

—————————
1  x
b) g(x) 
√
x
2
 2
y 
√
x
2
 2 → y
2
 x
2
 2 →
→ x
2
 y
2
 2 → x  √
y
2
 2 →
→ g
1
(x)  √
x
2
 2
(g
1
 g)(x)  g
1
(g(x)) 
 g
1
(√
x
2
 2)  √
(√ x
2
 2)
2
 2 

√
x
2
 2  2  √ x
2
 x
(g  g
1
)(x)  g (g
1
(x)) 
 g (
√
x
2
 2)  √
(√ x
2
 2)
2
 2 

√
x
2
 2  2  √ x
2
 x
1
c) h(x)  — x  3
2
1
y 
— x  3 → 2y  x  6 →
2
→ x  2y  6 → h
1
(x)  2 x  6
(h
1
 h)(x)  h
1
(h(x)) 

113MATEMÀTIQUES 1 la
1 1
 h
1

— x  3
 2 
— x  3
 6 
2 2
 x  6  6  x
(h  h
1
)(x)  h (h
1
(x)) 
1
 h(2x  6) 
— (2x  6)  3 
2
 x  3  3  x
Avaluació
1. Troba el domini de les funcions següents. Representa també
gràficament les funcions dels apartats a , b i c i indica’n el
recorregut.
a) f(x) 5 5
b) f(x) 5 22x + 1
c) f(x) 5 x
2
2 2x + 3
d) f(x) 5
54
4
2
x
xx
−
−
e) f(x) 5 27x−
f) f(x) 5 x
23
1−
g) f(x) 5
47
2
x
x
+
h) f(x) 5 x
2
5+
i) f(x) 5
xx
xx
+≤



30
1
2
>
j) f(x) 5
xs ix
x
six
2
11
1
1
+−
−





<
>
El domini és tot R.
a) D
f
5 R , R
f
5 {5}
y
x
b) D
f
5 R , R
f
5 R
y
x
c) D
f
5 R , R
f
5 [2, +∞)
y
x
d) R 2 {0, 4}
e) )
7
,
2

+∞


f) R
g) (0, +∞)
h) R
i) D
f
5 (−∞, 0] U (1, +∞), R
f
5 R
2. Siguin
32
()
3
x
fx
x
−
=
+
,
2
()
3
x
gx
x
=
+
i h(x) = x
2
– 1. Calcula:
a) f + g b) f · g
c) f : g
d) f  h
a)
2
32
3
(f + g) ( x) =
xx
x
+−
+
b)

23 2
22
(32)
32
(3)6 9
xx xx
xx x
−−
==
++ +
(f·g) (x)

114 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
c)

2
2 3 2
(32)(3)376
()
(3) 3
f x x xx
x
g xx xx
 − + +−
= =
+ +
d) (f o h) (x) 5
22
22
3( 1) 2 3 5
( )( )
( 1) 3 2
xx
f gx
xx
−− −
==
−+ +
�
3. I) Troba la funció inversa de:
a) f(x) 5
1
32
x
x
−
+
b) g(x) 5 2x 2 5
II) Comprova que (g
–1
o g) (x) 5 x
a)
1
11
3 2 13 21
32 32
21 21
(31) 21 ()
13 13
xy
y x xy x y xy y x
xy
xx
yx x y f x
xx
−
−−
= → = → + = −→ − =− −→
++
++
− =− − → = → =
−−
1
11
3 2 13 21
32 32
21 21
(31) 21 ()
13 13
xy
y x xy x y xy y x
xy
xx
yx x y f x
xx
−
−−
= → = → + = −→ − =− −→
++
++
− =− − → = → =
−−
1
11
3 2 13 21
32 32
21 21
(31) 21 ()
13 13
xy
y x xy x y xy y x
xy
xx
yx x y f x
xx
−
−−
= → = → + = −→ − =− −→
++
++
− =− − → = → =
−−
b)
155
2 5 2 5 ()
22
xx
y x x y y gx
−++
= −→ = −→ = → =
c) (g
21

1 (2 5) 5 2
( )( )
22
xx
g gx x
−−+
= ==�
4. Un venedor té un salari mensual que està determinat per un
sou fix més un cert percentatge sobre el volum de vendes
que ha fet durant el mes. Si ven per valor de 2 000 €, el seu
salari és de 1 200 € i, si ven per valor de 2 500 €, el salari és
de 1 300 €. Trobeu el percentatge que guanya sobre el total
de vendes i el sou fix.
b, sou fix
a, % del volum de vendes
Busquem una funció de la forma y = ax + b
Sabem
12002000
13002500
=+
=+



ab
ab
Resolent per reducció, restant les equacions −100 5 2500a →
→ a 5 1/5 5 0,2 5 20 % i b 5 800.
Així, el percentatge que guanya sobre el total de vendes és del
20 % i el sou fix són 800 €.
j Unitat 9. Successions Activitats
1. Intenta deduir l’expressió del terme general de cadascuna d’aquestes successions:
1 1 1 1 1
a)
—, —, —, —, ——...
2 4 6 8 10
1
——
2n
b) 1, 4, 9, 16, 25, 36...
n
2
c) 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128...
(2)
n
2. Troba els termes que falten fins arribar al 10è de les successions de l’exercici 1.
a)
1111111111
,,,,,,,,,
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
b) 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100
c) 2,4, 8,16, 32,64, 128,256, 512,1024−− − − −
n
2
3. a
n
 ——— és l’expressió del terme general d’una succes-
n  1
sió. Calcula els termes a
7
i a
100
. Pots determinar l’expressió
del terme a
n  1
en funció de n?
7
2
49
a
7
 ———  ——
7  1 8
100
2
10 000
a
100
 ————  ————
100  1 101
(n  1)
2
(n  1)
2
a
n  1
 —————  ————
n  1  1 n
n  1
4. El terme general d’una successió és: a
n
 ———— . Calcula
n
els termes a
100
i a
1000
.
Substituïm n pel terme que s’indica:
101
a
100
 ——  1,01
100
1001
a
1000
 ———  1,001
1000
5. Representa a la recta real els deu primers termes de la suc-
2n
cessió a
n
 ——— .
n  1
6. Estudia la monotonia de les successions següents:
1
a) a
n
 ——
n
2

115MATEMÀTIQUES 1 la
1 1 n
2
 n
2
 2n  1
———  ——  —————————— 
(n  1)
2
n
2
n
2
(n  1)
2
2n  1

——————  0 per a tot n
n
2
(n  1)
2
Successió monòtona decreixent.
Hi apliquem el criteri de restar un terme de l’anterior i observar
el signe de la diferència.
b) b
n
 n
3
(n  1)
3
 n
3

 n
3
 3n
2
 3n  1  n
3

 3n
2
 3n  1  0 per a tot n
Monòtona creixent.
n  1
c) c
n
 ———
n
(n  1)  1 n  1 n
2
 n
2
 1
—————  ———  ——————— 
n  1 n (n  1) n
1

—————  0 per a tot n
(n  1) n
Monòtona creixent.
n
2
d) d
n
 ———
n  2
(n  1)
2
n
2
—————  ——— 
(n  1)  2 n  2
n
2
 5n  2

———————  0 per a tot n
(n  3) (n  2)
Monòtona creixent.
e) e
n
 n
2
 n
3
(n  1)
2
 (n  1)
3
 [n
2
 n
3
] 
 3 n
2
 n  0 per a tot n
Monòtona decreixent.
f) f
n
 2n  25
2(n  1)  25  (2 n  25)  2  0
per a tot n
Monòtona creixent.
7. Determina, si existeixen, les ﬁtes superior i inferior de
cadascuna de les successions de l’activitat anterior.
a) Fites inferiors: k  0.
Fites superiors: K  1.
b) Fites inferiors: k  1.
No té fita superior.
c) Fites inferiors: k  0.
Fites superiors: K  1.
1
d) Fites inferiors: k 
—.
3
No té fita superior.
e) No té fita inferior.
Fites superiors: K  0.
f) Fites inferiors: k  23.
No té fita superior.
8. Escriu el terme general de la successió dels múltiples de 5. El
nombre 6000 és una ﬁta superior d’aquesta successió? Raona
la resposta. Està ﬁtada inferiorment aquesta successió?
a
n
 5n; a
1200
 6000
Amb n  1 200, a
n
 6000.
No és una fita superior.
La fita inferior és 5 i qualsevol k  5.
9. Calcula termes avançats d’aquestes successions per poder-
ne establir el límit en cada cas:
En cadascun dels apartats cal calcular 2 o 3 termes avançats:
1
a) a
n
 ——
n
2
a
100
 0,0001;
a
1000
 0,000001 → 0
n
b) b
n
 ———
n  8
100 1000
b
100
 ——; b
1000
 ——— → 1
108 1008
n
2
 1
c) c
n
 ———
n
2
 1
9999
c
100
 ———— ;
10001
999999
c
1000
 —————  0,999... → 1
1000001
100
d) d
n
 ———
n

116 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
100
d
1000
 ———  0,1;
1000
100
d
100000
 ————  0,001 → 0
100000
e) e
n
 n
2
 100
e
100
 9900; e
10000
 99 999900 → 
f) f
n
 n
3
 100
f
100
 999 900;
f
1000
 999 999900 → 
g) g
n
 n
2
 50 n  125
g
100
 5125;
g
10000
 99 500 125 → 
2n
2
 1
h) h
n
 ————
n
2
h
100
 1,9999; h
1000
 1,999999 → 2
10. Classiﬁ ca les successions anteriors en convergents i diver-
gents.
Són convergents les que tenen límit numéric: a ), b), c), d) i h).
Són divergents les que tenen límit del tipus infinit: e), f ) i g).
11. Troba els cinc primers termes de la successió a
n
 (2)
n  1
.
Substituïm n per 1, 2... 5:
a
1
 4; a
2
 8; a
3
 16;
a
4
 32; a
5
 64
12. Escriu el terme general de dues successions divergents de
límit .
Resposta oberta. Per exemple:
a
n
 n
2
 100; b
n
 n
2
 3n
3
13. Calcula els termes que ocupen les posicions 100 i 1 000 en
les successions de terme general:
n  10 n
2
 100
a
n
 ———— i b
n
 —————
n n  10
Pots intuir quin és el límit de cadascuna?
110 1010
a
100
 ——  1,1; a
1000
 ———  1,01 → 1
100 1000
10100 1010
b
100
 ———  ——;
110 11
1000100 100 010
b
1000
 ————  ——— → 
1010 101
Quan el nombre de decimals es preveu il
.
limitat és millor deixar
els resultats en forma de fracció.
14. Considera les successions
{a
n
}: 1, 4, 9, 16, 25... i
1 1 1 1

{b
n
}: 1, — , —, —, —...
2 3 4 5
a) Troba el terme general de a
n
i b
n
.
1
a
n
 n
2
; b
n
 —
n
b) Determina els cinc primers termes i el terme general de cadascuna de les successions següents:
{a
n
 b
n
} {a
n
 b
n
} {a
n
b
n
}
a
n
{nb
n
} 
——
{b
n
 a
n
}
b
n
n
3
 1
{a
n
 b
n
}  ———— →
n
9 28 65 126
→ 2,
—, ——, ——, ——
2 3 4 5
n
3
 1
{a
n
 b
n
}  ———— →
n
7 26 63 124
→ 0,
—, ——, ——, ——
2 3 4 5
{a
n
b
n
}  n → 1, 2, 3, 4, 5
{nb
n
}  1 → 1, 1, 1, 1, 1
a
n

——
 n
3
→ 1, 8, 27, 64, 125
b
n
1  n
3
{b
n
 a
n
}  ——— →
n
7 26 63 124
→ 0,
——, ——,——, ——
2 3 4 5
15. Escriu els deu primers termes de la successió
{a
n
}
n
, en què
n  1
a
n
 ——— .
n
n  1 9 64 625 7 776

———
n
→ 2; —; ——; ——; ———— ;
n 4 27 256 3 125
2,522; 2,546; 2,565; 2,581; 2,594...
16. Calcula quin és el límit de cadascuna de les successions següents:
2n  1 n
a) a
n
 ———  ———
n n  1

117MATEMÀTIQUES 1 la
2n  1 n
———  ——— ⇒
n n  1
⇒ 2  1  3 (suma de límits)
1 1
b) b
n
 —— : —
n
2
n
1 1 n 1
—— : —  ——  — → 0
n
2
n n
2
n
1 1
c) c
n
 ——  —
n
2
n
1 1 n  n
2
1  n
——  —  ———  ——— → 0
n
2
n n
3
n
2
1
d) d
n
 5 : —
n
1
5 :
—  5n → 
n
17. Escriu els termes generals de dues successions convergents
el límit de les quals sigui zero. Calcula el límit de les dues
possibles successions quocient.
Resposta oberta. Per exemple:
2 2n
a
n
 — i b
n
 ———
n n
2
 1
a
n
2n
2
 2
——  ———— → 1;
b
n
2n
2
b
n
2n
2
——  ———— → 1
a
n
2n
2
 2
5000 n  5 000 a
n
18. Donades a
n
 ———— i b
n
 —————— , calcula lim ————
b
n

n

n  1
b
n
i lim ——.

a
n
a
n
5000n  5 000
lim
——  lim ———————  0
b
n
n
2
 5000n
ja que el grau del polinomi denominador és més gran que el del
numerador.
b
n
n
2
 5000n
lim
——  lim ———————  
a
n
5000n  5 000
19. Considera les successions a
n
 n
2
 1 i b
n
 35n. Comprova
que són successions divergents. Calcula el límit de cadascuna
de les successions següents:
{a
n
 b
n
} {a
n
b
n
}
{
a
n
 b
n
} {a
n
: b
n
}
{
b
n
 a
n
} {b
n
: a
n
}
lim (n
2
 1)  ; lim 35 n  
lim
{a
n
 b
n
}  
lim
{a
n
b
n
}  
lim
{a
n
 b
n
}  lim (n
2
 1  35 n)  
n
2
 1
lim
{a
n
: b
n
}  lim ———  
35n
lim
{b
n
 a
n
}  lim (35 n  n
2
 1)  
35n
lim
{b
n
: a
n
}  lim ———  0
n
2
 1
3n 5n
2
20. Calcula el límit de les successions a
n
 ——— i b
n
 ——— .
150 n 1
Són divergents? Calcula el límit de cadascuna de les suc-
cessions següents:

{a
n
 b
n
} {a
n
b
n
} {a
n
 b
n
}
{
a
n
: b
n
} {b
n
 a
n
} {b
n
: a
n
}
3n
lim a
n
 lim ——  ;
150
5n
2
lim b
n
 lim ———  
n  1
Són divergents.
3n
2
 3n  750 n
2
lim {a
n
 b
n
}  lim ————————  
150n  150
15n
3
lim {a
n
b
n
}  lim —————  
150n  150
3n
2
 3n  750 n
2
lim {a
n
 b
n
}  lim ————————  
150n  150
3n
2
 3n 3 1
lim
{
a
n
: b
n
}  lim ————  ——  ——
750n
2
750 250
lim
{b
n
 a
n
} 
750n
2
 3n
2
 3n
 lim
—————————  
150n  150
750n
2
lim {b
n
: a
n
}  lim ————  250
3n
2
 3n
21. Calcula el límit de cadascuna de les successions següents:
2n
a) a
n
 ————
3n  5
2n 2n 2
lim
————  lim ———  —
3n  5 3n 3

118 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
1  √

n
b) b
n
 ———
n
1 
√

n √

n 1
lim
———  lim ——  lim ——  0
n n
√

n
1
c) c
n
 100  —
n
1
lim

100  —
 lim 100  100
n
d) d
n
 n
2
 n  n
3
lim (n
2
 n  n
3
)  lim (n
3
)  
800
e) e
n
 ———
2n
3
800
lim
——  0
2n
3
n  1
f) f
n
 ————
n
2
n  1 n 1
lim ————  lim ——  lim ——  0
n
2
n
2
n
22. Troba, si existeixen, els límits següents:
n
3
a) lim ——
2n
n
3
n
2
lim ——  lim ——  
2n 2
b) lim 0,2
n
2 1
lim 0,2
n
lim 
——
n
 lim —— → 0
10 5
n
c) lim (1)
n
No existeix, ja que és una successió oscil
.
lant.
1
d) lim

—
5n
3
1 1
lim

—
5n
 lim ——  0
3 3
5n
2n  2
e) lim

———
n
——
n  1
n  3
2n  2
lim

———
n
——
n  1
 2
1
 2, ja que:
n  3
2n  2 n
lim ————  2 i lim ———  1
n  3 n  1
n
f) lim

———
1
—
n
n  5
n
lim

———
1
—
n
 1
0
 1, ja que:
n  5
n 1
lim
————  1 i lim —  0
n  5 n
1
23. Calcula: lim

1  —
n
.
n
1 1
Tingues en compte que: 1 
—
 1  ——.
n n
1 1
lim

1  —
n
 lim 
1  ——
n (1)
———
21

n n
1 1


lim 
1  ——
n

1
 e
1
 —
n e
24. Determina els límits següents:
n  2
a) lim

———
n
n  1
n  2 n  2
lim

———
n
 lim 
1  ———  1 
n

n  1 n  1
1
 lim

1  ———
n (n  1)
———
n  1

n  1
1
 lim

1  ———
n  1

n
———
n  1
 e
1
 e
n  1
n  3
b) lim

2  ———
3n
n  1
n  3
lim

1  1  ——— 
3n

n  1
2
 lim

1  ———
3n

n  1
1
 lim

1  ———

3n 
n  1
———
22

22
———
n  1

n  1
———
2
1
 lim

1  ———

n  1
———
22


26n
———
n  1

n  1
———
2

 e
6

119MATEMÀTIQUES 1 la
1
c) lim

1  ——
3n  1
2n
1
lim

1  ——
3n  1

2n
1
 lim

1  ——
2n (3n11)
————
2n

2n
1
 lim

1  ——
2n

3n11
——
2n
 e
3
—
2
2n
3n
d) lim

4  ———
n
2
n  5
3n
lim

1  3  ——— 
n
2

n  5
15
 lim

1  ———
n
2

n  5
1
 lim

1  ———

n
2

(n15)——
15


15
——
n15

n  5
———
15
1
 lim

1  ———

n15
——
15


15 n
2
——
n15

n  5
———
15
 e

 
Activitats finals
1. La successió 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34... és la successió
de Fibonacci. Aquesta successió té una regla recurrent
que permet, a partir d’un cert valor de n, determinar-ne
qualsevol terme si es coneixen els anteriors. Escriu-ne cinc
termes més i indica la recurrència enunciada.
A partir del segon terme, cadascun dels termes és la su ma dels
dos anteriors.
Cinc termes més:
55, 89, 144, 233, 377
a
n
 a
n  1
 a
n  2
per a tot n  2
2. Dibuixa triangles equilàters successius a partir dels punts
mitjans del triangle equi làter immediatament anterior. Si el
primer triangle mesura 1 cm de costat, comprova que la seva

√

3
àrea és —— cm
2
.
4
Calcula els termes a
2
, a
4
i a
7
de la successió de les àrees.
Pots escriure l’expressió del terme general a
n
d’aquesta
successió? Té límit la successió d’aquestes àrees? Quin és?
1 3 √

3
h 
√

1  —  √

—  ——
4 4 2

√

3 √

3
a
1
 1—— : 2  —— cm
2
2 4
1
L’àrea de cada triangle és
— de la del triangle anterior:
4

√

3 √

3 √

3
a
2
 —— cm
2
; a
4
 —— cm
2
; a
7
 —— cm
2
;
4
2
4
4
4
7
√

3
lim a
n
 lim ——  0
4
n
3. Esbrina si aquesta aﬁrmació és certa: 2 és una ﬁta inferior
de la successió
2n  2
a
n
 ———
2
Quin és el límit d’aquesta successió?
2 no és una fita inferior de la successió, ja que a
1
 0  2.
2n  2 2n
lim
———  lim ——  
2 2
4. Considera la successió de terme general a
n
 (√

3)
n
. Té ﬁtes
inferiors aquesta successió? A partir de quin terme tots el
que el segueixen són més grans que 81? Té ﬁta superior
aquesta successió?
a
1
 √

3 i qualsevol k  √

3 és una fita inferior.
(
√

3 )
n
 81 → 3
n
2

 3
4
⇒
n
⇒
—  4 → n  8
2

120 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
Aquesta successió no té fita superior:
lim (
√

3 )
n
 
5. Calcula els límits següents:
a) lim (3 n  5) (2  3 n)
lim (3n  5)(2  3n) 
 lim (9 n
2
 21 n  10) 
 lim (9 n
2
)  
n
2
n
b) lim

———  —
n  1 2
n
2
n
lim

———  —

n  1 2
n
2
 n n
2
 lim ————  lim —— 
2n  2 2n
n
 lim
—  
2

√

4n
2
 n
c) lim
—————
2n  3

√

4n
2
 n 2n
lim
—————  lim ——  1
2n  3 2n
5
d) lim

—  √

n
n
5
lim

—  √

n
 0    
n
n  n
3
11
e) lim

————
n
2
n  n
3
11
lim
————— 
n
2
n
3
 lim ——  lim (n)  
n
2
3n  n
2
f) lim 
————
1  n
2

3n  n
2
lim 
 lim
n
2
n
2
 1
1  n
2
6. Troba el valor de k per tal que es veriﬁqui:
kn
2
 3
lim
————  2
1  n
2
kn
2
 3
lim
———— 
1  n
2
kn
2
 lim ——  k  2 → k  2
n
2
7. Determina aquests límits:
1
a) lim

—
5n
5
1 1
lim

—
5n
 lim ——  0
5 5
5n
n
3
 3n
2
 1
b) lim

——————
n
5
 2n
n
3
 3n
2
 1 n
3
lim ——————  lim —— 
n
5
 2n n
5
1
 lim
—  0

n
2
n  1
c) lim
———
√

n
n  1 n
lim ———  lim ——  lim
√

n  

√

n √

n

√

5 n
3
 3n
2
d) lim ——————
√

n
3
 5n  1

√
5 n
3
 3n
2
√ 5 n
3
lim ——————  lim ———  

√
n
3
 5n  1 n
3
2

n
2
 1
e) lim

———
2n
——
n  1
n
n
2
 1
lim

———
2n
——
n  1
 
2
 
n
3n
2
3n
2
 2
f) lim

———  ————
n  1 n  1
3n
2
3n
2
 2
lim

———  ————

n  1 n  1
6n
2
 2n  2 6n
2
 lim ———————  lim ———  6
n
2
 1 n
2
g) lim ( √
3n  √ n )
lim (
√
3n  √ n)  lim √ n (√ 3  1)  

121MATEMÀTIQUES 1 la
h) lim 300
n
1
lim 300
n
 lim ———  0
300
n
n  3
i) lim

———
n
n  5
n  3
lim

———
n
és del tipus del número e:
n  5
Dividim la fracció:
n  3
n  5
n  5 1

2
2
 lim

1  ———
n

n  5
1
 lim

1  ———

n  5
——
22


n 
22
——
n  5

n  5
———
2
1
 e
2
 —
e
2
5n
2
 3
j) lim

————
3
—
n
n
2
5n
2
 3
lim

————
3
—
n

 5 0
 1
n
2
8. El límit d’una successió, el terme general de la qual és una
fracció algèbrica, és 1. Explica la relació que hi ha entre els
graus dels polinomis numerador i denominador, i entre els
coeﬁcients dels termes que determinen aquests graus.
Els polinomis numerador i denominador són del mateix grau i els
coeficients dels respectius termes de major grau són iguals.
9. Calcula els límits següents:
Tots aquests límits són del tipus del número e:
3
a) lim

1  ———
n
n  5
3
lim

1  ———
n

n  5
1
 lim

1  ———

n  5
——
3


n
3——
n  5
 e
3
n  5
———
3
6
b) lim

1  —
2n
n
6
lim

1  —
2n

n
1
 lim

1  ——

n
—
26

2n
6—
n
 e
12
n
——
6
n
3
 n
2
c) lim 
————
n
n
3
 1
n
3
 n
2
lim 
————
n
n
3
 1
Dividim la fracció:
n
3
 n
2

n
3
 1
n
3
 1 1

n
2
1
n
2
 1
lim

1  ————
n

n
3
 1
1
 lim

1  ————

n

n
3
 1
————
n
2
 1
1
 lim

1  ————

n
3
 1
———
2n
2
2 1

n
2n
2
2 1
———
n
3
 1

n
3
 1

————
n
2
 1
1
 lim e
2n
3
2 n
———
n
3
1 1  e
1
 —
e
2n
d) lim

3  ———
n  1
n  1
2n
lim

3  ———
n  1

n  1
2n
 lim

1  2  ——— 
n  1

n  1
2
 lim

1  ———
n  1
 e
2
n  1
n  1
e) lim

2  ———
2n
n
n  1
lim

2  ———
2n

n
n  1
 lim

1  1  ——— 
2n

n

122 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
1
 lim

1  ——
2n

n
1
 lim

1  ——
n

1
—
2n
(2n)

n
 lim e
22n
—
2n
 e
2
n
2
 5
f) lim

————
5n
n
2
 1
n
2
 5 4
lim

————
5n
 lim 
1  ———
5n

n
2
 1 n
2
 1
1
 lim

1  ———

5n

n
2
 1

———
4
1
 lim

1  ———

n
2
 1
———
4

5n
4
———
n
2
 1

n
2
 1

———
4
 lim e
20 n
———
n
2
 1
 e
0
 1
10. Expressa en funció del número e la fórmula de l’interès
continu que ve donada per:
r
C
t
 lim C
0

1  ———
tn
100n
r
lim

1  ———
tn

100n
1
 lim

1  ———

tn

100n

———
r
1
 lim

1  ———

100 n
———
r

tn
r
———
100 n

100n

———
r
 e
tr
——
100 → C
t
 C
0
e
tr
——
100
Avaluació
1. Donada la successió de terme general a
n
n
n
==++
3
21
:
a) Escriu-ne els sis primers termes.
a aaa aa
12 34 56
1
6
5
9
7
12
9
4
3
15
11
== == == =;fi;fi;fi :fi ;fi
118
13
b) Indica raonadament si és monòtona o no.
Es verifica a
n + 1
- a
n
> 0,
∀n. Per tant, la successió és monò-
tona creixent.
c) Calcula’n a
1 000
i a
10 000
i indica el nombre real al qual sembla
que s’apropen els termes de la successió suficientment
avançats.

aa
1000 1000
3000
2001
149925
30000
20001
== ≈, ...;fi ≈≈1499925, ...
Sembla que s’apropen a 1,5.
d) Es tracta d’una successió fitada? Explica-ho.
La successió està fitada inferiorment per a qualsevol nombre
real més petit o igual que 1, i està fitada superiorment per
qualsevol nombre real més gran o igual que 1,5. Es compleix,
doncs, 1 ≤ a
n
≤ 1,5.
2. Donades les successions a
n
5 (2n 1 1)
2
i b
n
5 (1 1 n) (1 2 n),
calcula:
a) lim a
n
lim a
n
5 lim (2n 1 1)
2
5 lim (4n
2
1 4n 1 1) 5 lim 4n
2
5 ∞
b) lim b
n
lim b
n
5 lim (1 2 n)(1 1 n) 5 lim (1 2 n
2
) 5 lim (2n
2
) 5
5 -∞
c) lim (a
n
+ b
n
)
lim (a
n
1 b
n
) 5 lim (3n
2
1 4n + 2) 5 lim 3n
2
= ∞
d)
lim
a
b
n
n

limfilimfi limfi
a
b
nn
n
n
n
n
n
=
++
−
=
−
=−
44 1
1
4
4
2
2
2
2
3. Considera la successió
a
nn
n
n
k
=
−+
−
35 7
41
22
()
. Indica’n els pos-
sibles límits segons els valors de l’exponent k.
limfiliml im
fi
a
nn
nn
n
n
k
n
k
=
−+
−+
=
35 7
1681
3
16
42
4
4
Si
>>= ∞= =<44
3
16
4,filimfi;fifi,filimfi; fifi,fiak as ik
nn
si l limfi.a
n
=0
4. Donades les successions ab
n
n
n
n
=





=






1
2
1
3
fifii , determina:
a) lim a
n

limfi ,fififi
1
2
0
1
2
1





= <
n
jaque
b) lim b
n

limfi ,fififi
1
3
0
1
3
1





=<
n
jaque

123MATEMÀTIQUES 1 la
c) lim
a
b
n
n

lim=lim= ,===
a
b
n
n
n
=





=∞>
3
2
3
2
1jaque
d) lim
b
a
n
n

lim=lim= ,===
b
a
n
n
n
=





=<
2
3
0
2
3
1jaque
5. Calcula els límits següents:
a) lim
n
2
– n + 1
2n – 5
b) lim
5n + 3
2 – n
∞ −5
c) lim
2n

– + 3
n
3
– 1
d) lim
(
√n
2
– √n
2
+ 1)
0 multiplicant i dividint pel conjugat, 0
e) lim
⎝
⎜
⎛
n + 5
n – 1
⎝
⎜
⎛
2n
2
+ 1

és de nombre e,
2
1
6
2 6
21·
1
2
6 1
lim1 lim1
11
6
n
n
n
n
e
nn
−
+
−
+
∞
 
  
   
+ = + ==∞    
−−     
  
 
1
f) lim
⎝
⎜
⎛
n + 5
n – 1
⎝
⎜
⎛
2n
2
+ 1

2
6. Quina és la suma dels cent primers nombres naturals? I la
dels dos-cents primers nombres parells?
Els nombres naturals són una progressió aritmètica de d 5 1, i
per tant
100
1 100
.100 5050
2
S
+
==

· 100

 5 050
La successió dels nombres parells també és una progressió
aritmètica de d 5 2
2, 4, 6, 8, 10…
La suma dels dos-cents primers nombres és
200
2 400
·200 40200
2
S
+
==

· 200 5 40 200.
j Unitat 10. Límits i continuïtat
de funcions
Activitats
x  2
1. Donada la funció f (x)  ——— :
x  1
a) Troba el límit de la funció per a x  4, x  1 i x  2.
x  4, x → 4

; f(x) → 2

x → 4

; f(x) → 2

6
x → 4
lim f(x)  2
x  1, x → 1

; f(x) → 
x → 1

; f(x) →  6
No existeix
x → 1
lim f(x) perquè els límits laterals són diferents
x  2, x → 2

; f(x) → 0

x → 2

; f(x) → 0

6
x → 2
lim f(x)  0
b) Indica si es creixent o decreixent per a x  4 i x  2.
x  4, x → 4

; f(x) → 2


6
És decreixent ja que x ↑, f (x) ↓
x → 4

; f(x) → 2

És decreixent ja que x ↓, f (x) ↑
→ Decreixent.
x  2, x → 2

; f(x) → 0


6
És decreixent ja que x ↑, f (x) ↓
x → 2

; f(x) → 0

És decreixent ja que x ↓, f (x) ↑
→ Decreixent.
x
2
 2x
2. Donada la funció f (x)  ———— :
3x
a) Troba el límit de la funció en x  0.
x → 0

; f(x) → 0,6
(

x → 0

; f(x) → 0,6
(

6
2
x → 0
lim f(x)  0,6
(
 —
3
b) Què pots dir del creixement de la funció en el punt x  0?
Justifica’n la resposta.
x 
0  D
f
. No poden parlar de creixement en x  0.
2n
2
– 5

124 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
3. Calcula els límits següents:
2  x  5 x
2
a)
x → 
lim ——————
3x
2
 1
2  x  5 x
2
5x
2
5
x → 
lim —————— 
x → 
lim ———  —
3x
2
 1 3x
2
3
7x  3
b)
x → 
lim ————
4x
2
 2
7x  3

7x
x → 
lim ———— 
x → 
lim —— 
4x
2
 2 4x
2
7

x → 
lim ——  0
4x
c)
x →1
lim (√
3x
2
 5x  9  √ 3x
2
 x  1)
x →1
lim (√ 3x
2
 5x  9  √ 3x
2
 x  1) 
( √ 3x
2
 5x  9 )
2
 (√ 3x
2
 x  1 )
2

x →1
lim —————————————————— 
√ 3x
2
 5x  9  √ 3x
2
 x  1
3x
2
 5x  9  3x
2
 x  1

x →1
lim ———————————————— 
√
3x
2
 5x  9  √ 3x
2
 x  1
6x  10

x →1
lim ———————————————— 
√
3x
2
 5x  9  √ 3x
2
 x  1
6x

x → 
lim ———————— 
√
3x
2
 √ 3x
2
6x 6x

x →1
lim —————— 
x → 
lim ———— 
√ 3 x  √ 3 x 2 √ 3 x
6 3 3 √ 3
 ———  ——  ———  √ 3
2 √ 3 √ 3 3
d)
x → 1
lim (√ x
2
 1  x  2)
x →1
lim ( √ x
2
 1  x  2) 

x →1
lim [ √
x
2
 1  (x  2) ] 
(
√
x
2
 1 )
2
 (x  2)
2

x →1
lim —————————— 
√ x
2
 1  x  2
x
2
 1  x
2
 4x  4

x →1
lim ——————————— 
√
x
2
 1 x  2
4x  3

x →1
lim ————————— 
√
x
2
 1  x  2
4x 4x

x →1
lim ———— 
x →1
lim ——— 
√
x
2
 x x  x
4x

x →1
lim ———  2
2x
e)
x → 2
lim (3x
3
 2  √
5x
4
 3x
2
 7)
x →2
lim (3x
3
 2  √ 5x
4
 3x
2
 7) 

x →2
lim (3x
3
)  
1  3 x
3
f)
x → 2
lim ————
5x
2
 2
1  3x
3
3x
3
x →2
lim ———— 
x →2
lim ——— 
5x
2
 2 5x
2
3x

x →2
lim ——  
5
x  5
g)
x → 1
lim 
———
x  3
x  2
x  5
x →1
lim 
———
x  3

x  2
3

x →1
lim 
1  ———
x  2
———
3

3
———
x  2

(x  3)

x  2
 e
lim
x → 
3(x  3)
———
x  2  e
lim
x → 
3 x
——
x  e
3
x
2
 x  2 1  x
3
h)
x → 1
lim 
—————  ————
2x  3 x
2
 5
x
2
 x  2 1  x
3
x →1
lim 
—————  ———— 

2x  3 x
2
 5
x
4
 2x
3
 7x
2
 7x  13

x →1
lim ——————————————— 
2x
3
 3x
2
 10x  15
x
4
x

x →1
lim ——— 
x →1
lim ——  
2x
3
2
6x
4
 5x
3
 2x
2
 3
i)
x → 
lim ———————————
2x
3
 x
2
 2x  7
6x
4
 5x
3
 2x
2
 3
x → 
lim ——————————— 
2x
3
 x
2
 2x  7
6x
4

x → 
lim ——— 
x → 
lim 3x  
2x
3
2  2x
j)
x → 
lim 
3  ————
x  1
———
2
x  4
2  2x

x → 
lim 
3  ————
x  1
———
2

x  4

125MATEMÀTIQUES 1 la
6

x → 
lim 
1  ———
x  1
———
2

x  4
6

x → 
lim 
1  ———
x 2 4
———
2 6

2 6
———
x 2 4
·
x  1
———
2

x  4
 e
lim
x → 
23x 2 3
———
x 2 4  e
3
3x
3
 2 4x  1
k)
x → 2
lim 
———— ————
x
2
 5 6x
2
 3
3x
3
 2 4x  1
x → 
lim 
———— ————

x
2
 5 6x
2
 3
12x
4
 3x
3
 8x  2

x → 
lim ——————————— 
6x
4
 33 x
2
 15
12x
4

x → 
lim ———  2
6x
4
3  x  3 x
2
l)
x → 
lim 
——————
3  x
1  2x
2
3  x  3 x
2
x → 
lim 
——————
3  x

1  2x
2
3  x  3 x
2
 
x → 
lim ——————
lim
x → 
(3  x)

1  2x
2
 3x
2
 
x → 
lim ——
—
lim
x → 
(3  x)

2x
2
3 2


—

 
—

 0
2 3
4. Troba el límit de la funció
x
3
 5x
2
 6x
f(x) 
——————— en x  0, x  1, x  2 i x  3.
x
3
 3x
2
 2x
x
3
 5x
2
 6x
x → 0
lim ——————— 
x
3
 3x
2
 2x
x(x
2
 5x  6)

x → 0
lim ——————— 
x(x
2
 3x  2)
x
2
 5x  6 6

x → 0
lim ——————  —  3
x
2
 3x  2 2
x
3
 5x
2
 6x 2
x → 1
lim ———————  —  
x
3
 3x
2
 2x 0
x
3
 5x
2
 6x
x → 2
lim ——————— 
x
3
 3x
2
 2x
(x  2) (x
2
 3x)

x → 2
lim ———————— 
(x  2) (x
2
 x)
x
2
 3x 2

x → 2
lim —————  ——  1
x
2
 x 2
x
3
 5x
2
 6x 0

x → 3
lim ———————
 —  0
x
3
 3x
2
 2x 6
5. Calcula els següents límits de funcions:
x 
√
3x  10
a) lim ————————

x → 5
x
2
 25
x 
√
3x  10
lim
——————— 

x → 5 x
2
 25
x
2
 (√
3x  10)
2
 lim ———————————— 

x → 5 (x
2
 25)(x  √ 3x  10)
x
2
 3x  10


lim ———————————— 

x → 5 (x
2
 25)(x  √
3x  10)
(x  5) (x  2)
 lim ——————————————— 

x → 5 (x  5)(x  5) (x  √
3x  10)
x  2
 lim ——————————— 

x → 5 (x  5)(x  √
3x  10)
7 7
 ——— 
——
1010 100
x  1 2x  3
b)
x → 0
lim 
———  ————
6x
2
3x
3
x  1 2x  3
x → 0
lim 
———  ————

6x
2
3x
3
x(x  1)  2 (2x  3)

x → 0
lim ——————————— 
6x
3
x
2
 x  4 x  6

x → 0
lim ———————— 
6x
3
x
2
 3x  6  6

x → 0
lim ——————  ——  
6x
3
0
2x  3 2x  2
c)
x → 1
lim 
———— : ———— 
x
2
 1

x  1
2x  3 2x  2
x → 1
lim 
———— : ———— 

x
2
 1

x  1
(2x  3) (x  1)

x → 1
lim ———————— 
(x
2
 1)(2x  2)
(2 x  3) (x  1)

x → 1
lim ——————————— 
(x  1) (x  1) (2x  2)
2x  3 5 5

x → 1
lim ————————  ———  —
(x  1) (2x  2) 24 8

126 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
x
2
 2x  1
d)
x → 1
lim —————————
x
3
 3x
2
 3x  1
x
2
 2x  1
x → 1
lim ————————— 
x
3
 3x
2
 3x  1
(x  1)
2

x → 1
lim ———— 
(x  1)
3
1 1

x → 1
lim ———  —  
x  1 0
2x
3
 5x
2
 7x
e)
x → 0
lim 
————————
8x
2
 x
———
3x
3x
2
 4x
2x
3
 5x
2
 7x
x → 0
lim 
————————
8x
2
 x
———
3x
3x
2
 4x
x(2x
2
 5x  7)


x → 0
lim ———————— 
lim
x
→ 0
x(8x  1)
————
3x

x(3x  4)
2x
2
 5x  7


x → 0
lim ————————
lim
x
→ 0
8x  1
————
3

3x  4
7 7 7


——
1
—
3

3
√

—  
3
√

—
4 4 4
x
3
 4
f)
x → 2
lim 
——————
1
—
x
x
2
 2x  2
x
3

4
x → 2
lim 
———————
1
—
x

x
2
 2x  2
x
3
 4


x → 2
lim ———————
lim
x
→ 2
1
—
x

x
2
 2x  2
6 6


—
1
—
2

√

—
5 5
3x
2
 9x  30
g)
x → 2
lim ————————
16  2 x
3
3x
2
 9x  30
x → 2
lim ———————— 
16  2x
3
(x  2) (3x  15)

x → 2
lim ——————————— 
(x  2) (2x
2
 4x  8)
3x  15 7

x → 2
lim ———————   —
2x
2
 4x  8 8
x
3
 2x
2
 3x
h)
x → 3
lim ———————
27  x
3
x
3
 2x
2
 3x
x → 3
lim ——————— 
27  x
3
(x  3) (x
2
 x)

x → 3
lim ——————————— 
(x  3) (x
2
 3x  9)
x
2
 x 4

x → 3
lim ———————   —
x
2
 3x  9 9
3x  9
i)
x → 3
lim ————
x
3
 27
3x  9
x → 3
lim ———— 
x
3
 27
3(x  3)

x → 3
lim ——————————— 
(x  3) (x
2
 3x  9)
3 1

x → 3
lim ——————  —
x
2
 3x  9 9
x
2
 x  2
6. Donada la funció f (x)  ——————— , calcula’n el límit
x
2
 5x  6
quan x tendeix a:  3

, 3

, 3, 2

, 2

, 2, 1

, 1

i 1.
x
2
 x  2 4
x → 3

lim ——————  ——  
x
2
 5x  6 0

x
2
 x  2 4
x → 3
1
lim ——————  ——   6
x
2
 5x  6 0

No existeix el límit.
x
2
 x  2
x → 2

lim —————— 
x
2
 5x  6
(x  2) (x  1)

x → 2

lim ———————— 
6
(x  2) (x  3)
x  1

x → 2

lim ———  3
x  3
x
2
 x  2
x → 2

lim ——————— 
x
2
 5x  6
(x  2) (x  1)



x → 2


lim ———————— 
(x  2) (x  3)
x  1

x → 2

lim ———  3
x  3
x
2
 x  2
x → 2
lim ———————  3
x
2
 5x  6
x
2
 x  2
x → 1

lim ——————  0
x
2
 5x  6
x
2
 x  2
x → 1
1
lim ——————  0 6
x
2
 5x  6
x
2
 x  2
x → 1
lim ——————  0
x
2
 5x  6

127MATEMÀTIQUES 1 la
7. Donada la funció fx x()=− 4, indica’n el domini i
dedueix-ne el límit quan x tendeix a: 4

, 4

, 4.
D
f
 {x  x  4  0 }  [4, )
/∃
x → 4

lim √
x  4
ja que els valors més petits de 4 no són del domini.
x → 4

lim √
x  4  0, i per tant:
/∃
x → 4
lim √ x  4
8. Calcula el límit de la funció definida a trossos:
x
2
 x
————— x  1
2x
2
 2x
f(x) 
5
x
2
 1
———— x  1
2x  2
quan x tendeix a 0

, 0

, 0, 1

, 1

, 1, 3

, 3

, 3.
x
2
 x
x → 0

lim f(x) 
x → 0

lim ————— 
2x
2
 2x
x(x  1)

x → 0

lim ————— 
2x(x  1)
x  1 1

x → 0

lim —————  —
6
2(x  1) 2
x
2
 x
x → 0

lim f(x) 
x → 0

lim ————— 
2x
2
 2x
x(x  1)

x → 0

lim ————— 
2x(x  1)
x  1 1

x → 0

lim —————  —
2(x  1) 2
1
d’on:
x → 0
lim f(x)   —
2
x
2
 x
x → 1

lim f(x) 
x → 1

lim —————  0
2x
2
 2x
x
2
 1
x → 1

lim f(x) 
x → 1

lim ———— 
2x  2
(x  1) (x 
1)

x → 1

lim ——————— 
6
2 (x  1)
x  1

x → 1

lim ———  1
2
/∃
x → 1
lim f(x)
x
2
 1
x → 3

lim f(x) 
x → 3

lim ————  2
2x  2
x
2
 1
x → 3

lim f(x) 
x → 3

lim ————  2 6
2x  2
x → 3
lim f(x)  2
9. Donades les funcions:
2x
2
 2x
f(x)  ————— i
x  x
3
5x
——— si x  0
x  1
g(x) 
5 x
2
——— si x  0
x  1
Estudia’n la continuïtat en x  1, x  0 i x  1.
D
f
 {x  x  x
3
 0}    {1, 0, 1}
2x
2
 2x
x → 1

lim f(x) 
x → 1

lim ————— 
x  x
3
2x(x  1)

x → 1

lim ———————— 
6
(x  x
2
)(x  1)
2x

x → 1

lim ————  1
x  x
2
2x
2
 2x
x → 1

lim f(x)

x → 1

lim ————— 
x  x
3
2x(x  1)

x → 1

lim ———————— 
(x  x
2
)(x  1)
2x

x → 1

lim ————  1
x  x
2
d’on: /∃ f(1), ja que x  1  D
f
. Discontinuïtat evitable en
x  1.
2x
2
 2x
x → 0

lim f(x) 
x → 0

lim ————— 
x  x
3
x(2x  2)

x → 0

lim ————— 
6
x(1  x
2
)
2x  2

x → 0

lim ————  2
1  x
2
2x
2
 2x
x → 0

lim f(x) 
x → 0

lim ————— 
x  x
3
x(2x  2)

x → 0

lim ————— 
x(1  x
2
)
2x  2

x → 0

lim ————  2
1  x
2
d’on: /∃ f(0), ja que x  0  D
f
. Discontinuïtat evitable en
x  0.

128 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
S’eviten les dues discontinuïtats definint una nova funció:
f(x) x  1 i x  0
h(x) 
5
1 x  1
2 x  0
2x
2
 2x 4
x → 1

lim f(x) 
x → 1

lim —————  —  
6
x  x
3
0

2x
2
 2x 4
x → 1

lim f(x) 
x → 1

lim —————  —  
x  x
3
0

/∃ f(1), ja que x  1  D
f
Discontinuïtat asimptòtica en x  1.
D
g
 {x  x  1  0 i x  1  0 } 
  
{1, 1}
5x 5
x → 1

lim g(x) 
x → 1

lim ———  —  
6
x  1 0

5x 5
x → 1

lim g(x) 
x → 1

lim ———  —  
x  1 0

Discontinuïtat asimptòtica en x  1. /∃ g(1), ja que
x  1  D
g
.
5x
x → 0

lim g(x) 
x → 0

lim ———  0
6
x  1
x
2
x → 0

lim g(x) 
x → 0

lim ———  0
x  1
f(0)  0
Contínua en x  0.
x
2
1
x → 1

lim g(x) 
x → 1

lim ———  —  
6
x  1 0

x
2
1
x → 1

lim g(x) 
x → 1

lim ———  —  
x  1 0

Discontinuïtat asimptòtica en x  1. /∃ g(1), ja que x  1  D
g
.
10. Estudia la continuïtat de la funció:
2x
2
 6x  4
f(x)  ————————
1  x
4
D
f
 {x  1  x
4
 0}    {1, 1}
Cal estudiar-la en x  1 i x  1.
2x
2
 6x  4 12
x → 1

lim ————————  ——  
6
1  x
4
0

2x
2
 6x  4 12
x → 1

lim ————————  ——  
1  x
4
0

/∃ f(1), ja que x  1  D
f
Discontinuïtat asimptòtica en x  1.
2x
2
 6x  4
x → 1

lim ———————— 
1  x
4
(x  1) (2x  4)

x → 1

lim ————————————— 
(x  1) (x
3
 x
2
 x  1)
2x  4 1

x → 1

lim ————————  —
x
3
 x
2
 x  1 2
2
x
2
 6x  4
x → 1

lim ———————— 
1  x
4
(x  1) (2x  4)

x → 1

lim —————————————  6
(x  1) (x
3
 x
2
 x  1)
2x  4 1

x → 1

lim ————————  —
x
3
 x
2
 x  1 2

/∃ f(1), ja que x  1  D
g
Discontinuïtat evitable en x  1. S’evita definint una nova funció:
f(x) x  1
g(x) 
5
1

— x  1
2
11. En la funció
px  1
———— si x  1
x  4
f(x) 
5
x  1
———— si x  1
x
2
 1
a) Troba el valor de p perquè sigui contínua en x  1.
px  1 p  1
x → 1

lim f(x) 
x → 1

lim ————  ———
6
x  4 3
x  1
x → 1

lim f(x) 
x → 1

lim ———— 
x
2
 x
x  1

x → 1

lim ———— 
x(x  1)
1

x → 1

lim —  1
x
p  1
f(1)  ———
3
Si ha de ser contínua en x  1 →
p  1
→ ———  1 → p  4
3

129MATEMÀTIQUES 1 la
b) Hi ha algun altre punt en què la funció és discontínua?
Justifica’n la resposta.
No, perquè D
f
 . Per a p  4 f(x) és contínua en tots els
reals.
12. Estudia la continuïtat de la funció:
2x  1 si x  1
x  3
g(x) 
5
——— si  1  x  1
2x
x
——— si x  1
x  2
D
g
 {x  2x  0 i x  2  0 }    {0, 2}.
Cal estudiar la continuïtat en x  1, x  0, x  1 i x  2.
x → 1

lim g(x) 
x → 1

lim (2x  1)  1
6
x  3
x → 1

lim g(x) 
x → 1

lim ———  1
2x
g(1)  1
Contínua x  1.
x  3 3
x → 0

lim g(x) 
x → 0

lim ———  —  
6
2x 0

x  3 3
x → 0

lim g(x) 
x → 0

lim ———  —  
2x 0

/∃ g(0) ja que x  0  D
g
Discontinuïtat asimptòtica en x  0.
x  3
x → 1

lim g(x) 
x → 1

lim ———  2
6
2x
x
x → 1

lim g(x) 
x → 1

lim ——— 
1
x  2
g(1)  2
Discontinuïtat de salt en x  1.
x 2
x → 2

lim g(x) 
x → 2

lim ———  —  
6
x  2 0

x 2
x → 2

lim g(x) 
x → 2

lim ———  —  
x  2 0

/∃ g(2) ja que x  2  D
g
Discontinuïtat asimptòtica en x  2.
13. A partir de la gràfica:
D
f
 
a) Indica quin és el límit de la funció quan x tendeix a ,
, , 4

, 4

, 4, 2

, 2

, 2, 0

, 0

, 0, 1

, 1

,
1, 2

, 2

, 2.
x → 
lim f(x)  0;
x → 1
lim f(x)  ;
/ ∃
x → 
lim f(x)
x → 4

lim f(x)  2;
x → 4

lim f(x)  ;
/ ∃
x → 4
lim f (x); f(4)  2
x → 2

lim f(x)  1;
x → 2

lim f(x)  1;
x → 2
lim f (x)  1; f(2)  0
x → 0

lim f (x)  ;
x → 0

lim f (x)  2;
/ ∃
x → 0
lim f(x); f(0)  2
x → 1

lim f (x)  0;
x → 1

lim f (x)  0;
x → 1
lim f(x)  0; f(1)  0
x → 2

lim f (x)  2;
x → 2

lim f (x)  1;

/∃
x → 2
lim f(x); f(2)  1
b) Justifica i classifica les discontinuïtats de la funció
representada gràficament.
Discontinuïtat asimptòtica en x  4.
Discontinuïtat evitable en x  2. S’evita
f(x) x  2
definint g(x) 
5
1 x  
2
Discontinuïtat asimptòtica en x  0.
Discontinuïtat de salt x  2.

130 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
14. Dibuixa una gràfica d’una funció que verifiqui les condicions
següents:
a) D
f
   {0};
b)
x → 
lim f(x)  0;
c) Presenti aquestes discontinuïtats: asimptòtica en x  0,
evitable en x  2 i de salt en x  4.
Resposta oberta, per exemple:
Activitats finals
1. Calcula els límits a l’infinit de les funcions polinòmiques següents:
a) p(x)  4 x
4
 x
3
 12 x
2
 x  3
x → 
lim p(x) 

x → 
lim (4x
4
 x
3
 12 x
2
 x  3) 
6

x → 
lim 4x
4
 
x → 
lim p(x) 

x → 
lim (4 x
4
 x
3
 12 x
2
 x  3) 

x → 
lim 4x
4
 
d’on:
x → 
lim p(x)  
b) q(x)  2 x
3
 6x
2
 8
x → 
lim q(x) 
x → 
lim (2 x
3
 6x
2
 8) 
6

x → 
lim (2 x
3
)  
x → 
lim q(x) 
x → 
lim (2 x
3
 6x
2
 8) 

x → 
lim (2x
3
)  
d’on: /∃
x → 
lim q(x)
2. Troba el límit quan x → , x →  i x →  de les
funcions racionals:
7x  3
a) f(x)  —————
2x
3
 x
7x  3
x → 
lim f(x) 
x →

lim ———— 
6
2x
3
 x
7x

x → 
lim —— 
2x
3
7

x → 
lim ——  0

2x
2
7x  3
x → 
lim f(x) 
x → 
lim ———— 
2x
3
 x
7x

x → 
lim —— 
2x
3
7

x → 
lim ——  0

2x
2

x → 
lim f(x)  0
12x
2
 2x  5
b) g(x) 
———————
6x
2
 8x
12x
2
 2x  5
x → 
lim g(x) 
x → 
lim ———————— 
6
6x
2
 8x
12x
2

x → 
lim ——  2
6x
2
12x
2
 2x  5
x → 
lim g(x) 
x → 
lim ———————— 
6x
2
 8x
12x
2

x → 
lim ——  2
6x
2
x → 
lim g(x)  2
x
4
 2
c) h(x) 
———————
7x
3
 20 x  1
x
4
 2
x → 
lim h(x) 
x → 
lim
 ———————— 
6
7x
3
 20 x  1
x
4

x → 
lim —— 
7x
3

x

x → 
lim —  

7
x
4
 2
x → 
lim h(x) 
x → 
lim  ———————— 
7x
3
 20 x  1
x
4

x → 
lim —— 
7x
3

x

x → 
lim —  

7
/∃
x → 
lim h(x)

131MATEMÀTIQUES 1 la
x
3
 4x
2
 3x
3. Donada la funció f (x) 
——————— :
x
2
 x  2
a) Calcula el límit de f (x) quan x → 2 i x → 1.
x
3
 4x
2
 3x  30
x →  2
2
lim ———————  ———  
x
2
 x  2 0

x
3
 4x
2
 3x  30
x →  2
1
lim ———————  ———  1
x
2
 x  2 0
2
/∃
x → 22
lim f(x)
x
3
 4x
2
 3x
x → 1
lim ——————— 
x
2
 x  2
(x  1) (x
2
 3x)

x → 1
lim ———————— 
(x  1) (x  2)
x
2
 3x 2

x → 1
lim ————   —
x  2 3

1
b) Determina el límit de la funció

—
(x) quan x → 0,
x → 1 i x → 3.
f
x
2
 x  2 2
x → 0
2
lim ———————  ——  
x
3
 4x
2
 3x 0

x
2
 x  2 2
x → 0
1
lim ———————  ——  2
x
3
 4x
2
 3x 0
1
/∃
x → 0
lim f(x)
x
2
 x  2
x → 1
lim ——————— 
x
3
 4x
2
 3x
(x  1) (x  2)

x → 1
lim ———————— 
(x  1) (x
2
 3x)
x  2 3

x → 1
lim ————   —
x
2
 3x 2
x
2
 x  2 10
x → 3
2
lim ———————  ——  
x
3
 4x
2
 3x 0

x
2
 x  2 10
x → 3
1
lim ————————  ——  1
x
3
 4x
2
 3x 0
1
/∃
x → 3
lim f(x)
4. Calcula:
x  6 x  4
a)
x → 2
lim 
————  ————
x
2
 4 x
2
 2x
x  6 x  4
x → 2
lim 
————  ————

x
2
 4 x
2
 2x
(x  6) x  (x  4) (x  2)

x → 2
lim ——————————————— 
x(x  2) (x  2)
x
2
 6x  x
2
 2x  8

x → 2
lim ————————————— 
x(x  2) (x  2)
4x  8

x → 2
lim —————————

x(x  2) (x  2)
4(x  2)

x → 2
lim ————————— 
x(x  2) (x  2)
4 4 1

x → 2
lim —————  ————  —
x(x  2) 2 (4) 2
x 
√
4x  3
b)
x → 3
lim ———————
x
2
 3x
x 
√
4x  3
x → 3
lim ——————— 
x
2
 3x
x
2
 (√
4x  3)
2

x → 3
lim ————————————— 
(x
2
 3x)(x  √ 4x  3)
x
2
 4x  3

x → 3
lim ————————————— 
(x
2
 3x)(x  √
4x  3)
(x  3) (x  1)

x → 3
lim ————————————— 
x(x  3) (x  √
4x  3)
x  1 2 1

x → 3
lim ————————  ———  —
x (x  √
4x  3) 36 9
3x  1 x
2
 x
c)
x → 1
lim 
———— ———— 
2x  2 2x  3
3x  1 x
2
 x
x → 1
lim 
———— ———— 

2x  2 2x  3
(3x  1) (x
2
 x)

x → 1
lim ————————— 
(2x  2) (2x  3)
(3x  1) x(x  1)

x → 1
lim ————————— 
2 (x  1) (2x  3)
x(3x  1) 4 2

x → 1
lim ——————  ———  —
2(2x  3) 25 5
5. Per calcular alguns límits cal utilitzar el mètode del doble con-
jugat. Consisteix a multiplicar el numerador i el denominador
pel conjugat de cadascun d’ells. Tot emprant el mètode del do-
ble conjugat, calcula:
3x 
√
x
2
 32
x → 2
lim ————————
√ x  2  x

132 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
3x  √ x
2
 32
x → 2
lim ———————— 
√ x  2  x
[(3x)
2
 (√ x
2
 32)
2
](√ x  2  x )

x → 2
lim —————————————————— 
[(√
x  2)
2
 x
2](3x  √ x
2
 32)
(9x
2
 x
2
 32)( √ x  2  x )

x → 2
lim ———————————————— 
(x  2  x
2
)(3x  √
x
2
 32)
(8x
2
 32)( √ x  2  x )

x → 2
lim —————————————————— 
(x
2
 x  2) (3x  √
x
2
 32)
8(x  2)(x  2) ( √ x  2  x )

x → 2
lim —————————————————— 
(x  2)(x  1) (3x  √
x
2
 32)
8 (x  2) ( √ x  2  x )

x → 2
lim —————————————— 
(x  1) (3x  √
x
2
 32)
844 32
 ————  ——
312 9
6. a) Mitjançant una taula de valors comprova que:
x → 0
lim (1  x)
1
—
x e
b) Sabent que
x → a
lim [1  f (x)]
1
——
f(x)
 e si
x → a
lim f(x)  0,
calcula:
x  1
x → 1
lim 
1  ——— 
2
———
3x23
x  1
a)
g(x)  (1  x)
1
—
x
g(0,1)  (1  0,1)
1
—
0,1 1,1
10
 2,5937425
6
g(0,01)  (1  0,01)
1
——
0,01
 1,01
100
 2,7048138
g(0,001)  (1  0,001)
1
——
0,001
 1,001
1000
 2,7169239
x → 0

lim g (x)  e
g(0,1)  (1  0,1)
1
——
20,1  0,9
10

1


——
10
 1,1
(
10
 2,867972
0,9
1
g(0,01) 

——
100

0,99
 1,01
(
100
 2,731999
1
g(0,001) 

———
1000
 1,001
(
1000
 6
0,999
 2,7196422
x → 0

lim g (x)  e
Per tant,
x → 0
lim (1  x)
1
—
x e.
b)
x  1
x → 1
lim 
1  ———
2
———
3x23
x  1
x  1

x → 1
lim 
1  ———
x 1 1
———
x 2 1

x 2 1
———
x 1 1
2
———
3x 2 3

x  1
 e
x → 1
lim
2 (x 2 1)
————————
(x 1 1) 3(x 2 1)
 e
x → 1
lim
2
————
3(x 1 1)
 e
1
—
3

x 2 1
ja que
x → 1
lim f(x)5
x → 1
lim ———  0

x 1 1

x 
x
7. Raona per què la funció f (x)  ———— no té límit quan
x → 0.
x
x 
x x  x
x → 0

lim ———— 
x → 0

lim ———  0
6
x x
x 
x x  x
x → 0

lim ———— 
x → 0

lim ——— 
x x
2x

x → 0

lim ——  2
x
x  x
/∃
x → 0
lim ————
x
8. Calcula el límit de:
x

——— si x  0
x
2
 x
3x  9
f(x) 
5
——— si 0  x  3
x
2
 9
3x

——— si x  3
x  3
quan x tendeix a , , , 1

, 1

, 1, 0

, 0

, 0, 3

,
3

, 3.
x
x → 
lim f(x) 
x → 
lim ——— 
x
2
 x
x 1

x → 
lim —— 
x → 
lim —  0
x
2
x
3x 3x
x → 
lim f(x) 
x → 
lim ——— 
x → 
lim —  3 6
x  3 x
/∃
x → 
lim f(x)
x
1
x → 1

lim f(x) 
x → 1

lim ———  ——  
x
2
 x 0

x 1
x → 1

lim f(x) 
x → 1

lim ———  ——   6
x
2
 x 0

/∃
x → 1

lim f(x)

133MATEMÀTIQUES 1 la
x
x → 0

lim f (x) 
x → 0

lim ——— 
x
2
 x

x

x → 0

lim ————— 
x(x  1)
1

x → 0

lim ———  1
x  1
3x  9
x → 0

lim f(x) 
x → 0

lim ————  1
6
x
2
 9
x → 0
lim f(x)  1
3x  9
x → 3

lim f (x) 
x → 3

lim ———— 
x
2
 9
3(x  3)

x → 3

lim ——————— 
(x  3) (x  3)
3 1

x → 3

lim ———  —
x  3 2
3x 3
x → 3

lim f (x) 
x → 3

lim ———  —
6
x  3 2
/∃
x → 3
lim f(x)
1
9. Les funcions f (x) 
x, g(x)  — i h(x)  √
x són contí-
x
nues en x  0? Justifica’n les respostes.
x → 0

lim f(x) 
x → 0

lim x  0
6 x → 0

lim f(x) 
x → 0

lim x  0
f(0)  0
f(x) és contínua en x  0.
1 1
x → 0

lim g (x) 
x → 0

lim —  ——  
6
x 0

1 1
x → 0

lim g (x) 
x → 0

lim —  ——  
x 0

/∃ g(0) ja que x  0  D
g
g(x) és discontínua en x  0. És una disconti nuïtat asimptòtica.

/∃
x → 0

lim h (x) ja que D
h
 [0, )
6
x → 0

lim h (x) 
x → 0

lim √
x  0
f(0)  0
h(x) és discontínua en x  0.
10. La funció
1 si x  0
f(x)  5
x  2 si x  0
és contínua en x  0? I en x  1? Raona les respostes.
x → 0

lim f(x)  1
x → 0

lim f(x) 
x → 0

lim (x  2)  2
6
f(0)  1
En x  0 la funció f (x) presenta una discontinuïtat de salt.
x → 1

lim f(x) 
x → 1

lim (x  2)  3
x → 1

lim f(x) 
x → 1

lim (x  2)  3
6
f(1)  3
En x  1 la funció f (x) és contínua.
11. Justifica raonadament per què una funció polinòmica és
contínua per a tot x  .
Sigui p(x) una funció polinòmica.
D
p
 
x → a

lim p(x) 
x → a

lim p(x)  p (a) → és contínua  a  .
12. Classifica les discontinuïtats de cada funció per al valor de
x que s’indica:
1
a) f(x)  ——— en x  3
x  3
1 1
x → 3

lim f (x) 
x → 3

lim ———  ——  
6
x  3 0

1 1
x → 3

lim f (x) 
x → 3

lim ———  ——  
x  3 0

/∃ f(3), ja que x  3  D
f
Discontinuïtat asimptòtica en x  3.
x si x  1
b) g(x) 
5
en x  1
x
2
 2 si x  1
x → 1

lim g(x) 
x → 1

lim x  1
x → 1

lim g(x) 
x → 1

lim (x
2
 2)  3 6
g(1)  3
Discontinuïtat de salt en x  1.

134 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
13. Estudia la continuïtat de la funció
2x
2
 8
f(x)  ————— en x  0 i x  2.
x
3
 2x
2
2x
2
 8 8
x → 0

lim —————  ——  
6
x
3
 2x
2
0

2x
2
 8 8
x → 0

lim —————  ——  
x
3
 2x
2
0

/∃ f(0), ja que x  0  D
f
Discontinuïtat asimptòtica en x  0.
2x
2
 8 2(x  2) (x  2)
x → 2

lim ————— 
x → 2

lim ————————— 
6
x
3
 2x
2
x
2
(x  2)
2(x  2)

x → 2

lim —————  2
x
2
2x
2
 8 2(x  2) (x  2)
x → 2

lim ————— 
x → 2

lim ————————— 
x
3
 2x
2
x
2
(x  2)
2(x  2)

x → 2

lim —————  2
x
2
/∃ f(2) ja que x  2  D
f
Discontinuïtat evitable en x  2.
f(x) si x  2
S’evita definint g (x) 
5
2 si x  2
14. Explica per què té una discontinuïtat evitable en x  1 la
funció:
2 si x  1

f(x) 
5
x  3

——— si x  1
2
Com es pot evitar la discontinuïtat?
x → 1

lim f
(x)  2
x  3
x → 1

lim f(x) 
x → 1

lim ———  2
6
2

/∃ f(1)
Efectivament, és una discontinuïtat evitable.
2 si x  1

S’evita definint g (x) 
5
x  3
——— si x  1
2
15. Troba el domini i estudia la continuïtat de les funcions
irracionals:
a) f(x)  
√
x  1
D
f
 {x  x  1  0 }  [1, )

/∃
x → 1

lim ( √
x  1)
x → 1

lim ( √
x  1)  0 6
f(1)  0
És discontínua en x  1.
b) g(x) 
√
4  x
2
D
g
 {x  4  x
2
 0}  [2, 2]
/ ∃
x → 2

lim √ 4  x
2
x → 2

lim √
4  x
2
 0 6
g(2)  0
És discontínua en x  2.
x → 2

lim √
4  x
2
 0
6
/∃
x → 2

lim √ 4  x
2
g(2)  0
És discontínua en x  2.
16. Estudia la continuïtat de la funció següent:
3x  9
f(x)  —————
2x
2
 18
D
f
 {x  2x
2
 18  0 }    {3, 3}
3x  9 18
x → 3

lim —————  ——  
2x
2
 18 0

3x  9 18
x → 3

lim —————  ——   6 2x
2
 18 0

/∃ f(3) ja que x  3  D
f
Discontinuïtat asimptòtica en x  3.
3x  9 3(x  3)
x → 3

lim ————— 
x → 3

lim ————————— 
6
2x
2
 18 2(x  3) (x  3)
3 1

x → 3

lim —————  —
2(x  3) 4
3x  9 3(x  3)
x → 3

lim ————— 
x → 3

lim ————————— 
2x
2
 18 2(x  3) (x  3)
3 1

x → 3

lim —————  —
2 (x  3) 4

/∃ f(3), ja que x  3  D
f
.

135MATEMÀTIQUES 1 la
Discontinuïtat evitable en x  3, s’evita definint:
f(x) x  3
g(x) 
5
1
— x  3
4
17. A partir de la gràfica, descriu tots els punts de discontinuïtat
de la funció part entera, definida per a tot nombre real x com
la funció f (x) que hi fa correspondre el nombre enter més
gran n tal que n  x.
A partir de la gràfica s’observa que  x  , hi ha una
discontinuïtat de salt i és contínua en els altres punts.
18. Descriu el domini i les discontinuïtats de les funcions se-
güents:
x  3
a) f(x)  ———
x
D
f
 {x  x  0}    {0}
x  3 3
x → 0

lim ———  ——  
6
x 0

x  3 3
x → 0

lim ———  ——  
x 0

/∃ f(0) ja que x  0  D
f
Discontinuïtat asimptòtica en x  0.
3x  15
b) g(x) 
————
x
2
 5x
D
g
 {x  x
2
 5x  0 }    {0, 5}
3x  15 15
x → 0

lim ————  ——  
6
x
2
 5x 0

3x  15 15
x → 0

lim ————  ——  
x
2
 5x 0

/∃ g(0), ja que x  0  D
g
Discontinuïtat asimptòtica en x  0.
3x  15 3(x  5)
x → 5

lim ———— 
x → 5

lim ————— 
6
x
2
 5x x(x  5)
3 3

x → 5

lim —  —
x 5
3x  15 3(x  5)
x→ 5

lim ———— 
x→ 5

lim ————
— 
x
2
 5x x(x  5)
3 3

x→ 5

lim —  —
x 5

/∃ g(5), ja que x  5  D
g
Discontinuïtat evitable en x  5.
g(x) si x  5

S’evita definint q(x) 
5
3
— si x  5
5
x
3
 x
2
c) h(x)  ————
x
2
D
h
 {x  x
2
 0}    {0}
x
3
 x
2
x
2
(x  1)
x→ 0

lim ———— 
x→ 0

lim ————— 
6
x
2
x
2

x→ 0

lim (x  1)  1
x
3
 x
2
x
2
(x  1)
x → 0

lim ———— 
x → 0

lim ————— 
x
2
x
2

x → 0

lim (x  1)  1

/∃ h(0), ja que x  0  D
h
Discontinuïtat evitable en x  0.
h(x) si x  0
S’evita definint r (x)  5
1 si x  0
d) p(x)  x
2
 9
p(x)  x
2
 9 és pot definir així:
x
2
 9 si x  3 o x  3
p(x)  5
9  x
2
si 3  x  3
D
p
 
x → 3

lim
p(x) 
x → 3

lim (x
2
 9)  0
6 x → 3

lim p(x) 
x → 3

lim (9  x
2
)  0
p(3)  0
Contínua en x  3.

136 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
x → 3

lim p(x) 
x → 3

lim (9  x
2
)  0
6 x → 3

lim p(x) 
x → 3

lim (x
2
 9)  0
p(3)  0
Contínua en x  3.
19. Troba el domini i estudia la continuïtat de la funció:
x
2
 3x  1
—————— si x  1
x  2
x
2
 1
f(x) 
5
——— si 1  x  1
x  1
x  1

——— si x  1
2  x
D
f
 {x  x  2  0 i 2  x  0 } 
  
{2, 2}
x
2
 3x  1
x → 2

lim f(x) 
x → 2

lim —————— 
6
x  2

1

——  
0

x
2
 3x  1
x → 2

lim f(x) 
x → 2

lim ——————— 
x  2

1

 ——  
0

/∃ f(2), ja que x  2  D
f
Discontinuïtat asimptòtica en x  2.
x
2
 3x  1
x → 1

lim f(x) 
x → 1

lim ———————  1
6
x  2
x
2
 1
x → 1

lim f(x) 
x
→ 1

lim ————  0
x  1
f(1)  0
Discontinuïtat de salt en x  1.
x
2
 1
x → 1

lim f(x) 
x → 1

lim ——— 
x  1
(x  1) (x  1)

x → 1

lim ———————— 
x → 1

lim (x  1)  2
6
x  1
x  1
x → 1

lim f(x) 
x → 1

lim ———  2
2  x
f(1)  2
Contínua en x  1.
x  1
3
x → 2

lim f(x) 
x → 2

lim ———  ——  
2 x 0

x  1 3
x→ 2

lim f(x) 
x → 2

lim ———  ——   6 2 x 0

/∃ f(2) ja que x  2  D
f
Discontinuïtat asimptòtica en x  2.
20. Estudia la continuïtat de la funció f (x) 
x
2
 1 en els
punts x  1 i x  1.
f(x) 
x
2
 1 es pot definir:
x
2
 1 si x  1 o x  1
f(x)  5
1  x
2
si 1  x  1
x → 1

lim f(x) 
x → 1

lim (x
2
 1)  0
6 x
→ 1

lim f(x) 
x → 1

lim (1  x
2
)  0
f(1)  0
Contínua en x  1.
x → 1

lim f(x) 
x → 1
2
lim (1  x
2
)  0
6 x → 1

lim f(x) 
x → 1

lim (x
2
 1)  0
f(1)  0
Contínua en x  1.
21. El novembre de 1999, el preu del franqueig d’una carta en
funció del seu pes era:
Fins a 20 g
0,21 
Més de 20 g fins a 50 g
0,27 
Més de 50 g fins a 100 g
0,45 
Més de 100 g fins a 200 g
0,75 
Més de 200 g fins a 350 g
1,35 
Més de 350 g fins a 1 kg
1,95 
Més d’1 kg fins a 2 kg
3,01 

137MATEMÀTIQUES 1 la
a) Representa per x la variable pes i per f (x) la variable
preu i escriu l’expressió algèbrica de la funció.
0,21 si 0  x  20
0,27 si 20  x  50
0,45 si 50  x  100
f(x) 
5
0,75 si 100  x  200
1,35 si 200  x  350
1,95 si 350  x  1 000
3,01 si 1 000  x  2 000
x en g i f (x) en euros.
b) Indica’n el domini.
D
f
 (0, 2 000]
c) Fes-ne la representació gràfica. d) Estudia les discontinuïtats.
És discontínua de salt en x  20, x  50, x  100, x  200,
x  350 i x  1 000.
22. Troba el valor de k per tal que la funció
x  k si x  0
f(x) 
5
2x
2
 kx  6 si x  0
sigui contínua en el punt x  0.
x → 0

lim f(x) 
x → 0

lim (x  k)  k
x → 0

lim f(x) 
x → 0

lim (2 x
2
 kx  6)  6 6
f(0)  k
Contínua en x  0 → k  6.
23. Sigui la funció:
kx

——— si x  2
x  3
3x  h
f(x) 
5
———— si 2  x  1
x  2
x  1

——— si x  1
2x
a) Troba els valors de k i h que fan que la funció f (x) sigui
contínua en els punts x  2 i x  1.
kx
x → 2

lim f(x) 
x → 2

lim ———  2 k
x  3
3x  h 6  h
x → 2

lim f(x) 
x → 2

lim ————  ——— 6 x  2 4
f(2)  2 k

6  h
Contínua en x  2 → 2k  ———
4
3x  h
x → 1

lim f(x) 
x →
1

lim ————  h  3
6
x  2
x  1
x → 1

lim f(x) 
x → 1

lim ———  1
2x
f(1)  1
Contínua en x  1 → h  3  1
h  3  1 → h  4
6  h 6  4 10 5
2k  ———  ———  —— 
— →
4 4 4 2
5
→ k  
—
4
b) Hi ha algun valor de x per al qual la funció és discontínua?
Justifica-ho.
D
f
 {x  x  3  0 }    {3}
5x
x → 3

lim f(x) 
x → 3

lim ———— 
6
4(x  3)
15

 ——  
0

5x
x → 3

lim f(x) 
x → 3

lim ——— 
4(x  3)

15

 ——  
0

/∃ f(3), ja que x  3  D
f
Discontinuïtat asimptòtica en x  3.
24. Donada la gràfica d’una funció (fig. 10.11):

138 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
a) Indica’n el domini.
D
f
   {1}
b) Digues-ne el límit quan x tendeix a
, , , 1

, 1

, 1, 1

,
1

, 1, 3

, 3

, 3, 5

, 5

, 5.
c) Descriu-ne les discontinuïtats. Justifica-les.
b) i c)
x → 
lim f(x)  0
6
/∃
x → 
lim f(x)
x → 
lim f(x)  1
x → 1

lim f(x)  1
6
x → 1
lim f(x)  1
6
x → 1

lim f(x)  1
f(1)  1
Contínua en x  1.
x → 1

lim f(x)  
6

x → 1
lim f(x)  
6
x → 1

lim f(x)  

/∃ f(1), ja que x  1  D
f
Discontinuïtat asimptòtica en x  1.
x → 3

lim f(x)  2
6
/∃
x → 3
lim f(x)
6
x → 3

lim f(x)  1
f(3)  1
Discontinuïtat de salt en x  3.
x → 5

lim f(x)  3
6
x → 5
lim f(x)  3
6
x → 5

lim f(x)  3
f(5)  2
Discontinuïtat evitable en x  5.
f(x) x  5
S’evita definint g (x)  5
3 x  5
Avaluació
1. Calcula els límits següents:
a)
lim
x →  ∞

3x
3
 4
x
2
 16

lim
x →  ∞

3x
3
 4
x
2
 16




 
punts x = −5 x = −3 x = 0 x = 3
imatges f(−5) = f(−3) = f(0) = f(3) =
càlcul de límits
laterals
5
lim ( )
x
fx
−
→−
=
5
lim ( )
x
fx
−
→−
=
5
lim ( )
x
fx
→−
=
5
lim ( )
x
fx
−
→−
=
5
lim ( )
x
fx
−
→−
=
3
lim ( )
x
fx
→−
=
0
lim ( )
x
fx
−
→
=
0
lim ( )
x
fx
−
→
=
0
lim ( )
x
fx
→
=
0
lim ( )
x
fx
−
→
=
0
lim ( )
x
fx
−
→
=
3
lim ( )
x
fx
→
=
tipus de discontinuïtat
punts x = −5 x = −3 x = 0 x = 3
imatges f(−5) = 1 f(−3) = 2 f(0) = –2 f(3) no existeix
càlcul de límits laterals
5
lim ( )
x
fx
−
→−
= −∞
5
lim ( ) 0
x
fx
+
→−
=
(0) '(0) 0
(0) '(0) 27 km/h
A
B
vs
ve
==
==
5
lim ( ) 0
x
fx
+
→−
=
5
lim ( ) 0
x
fx
+
→−
=
3
lim ( ) no
x
fx
→−
=∃
5
lim ( ) 0
x
fx
+
→−
=
5
lim ( ) 0
x
fx
+
→−
=
0
lim ( ) 1
x
fx
→
=−
3
lim ( )
x
fx
+
→
= +∞
3
lim ( )
x
fx
+
→
= +∞
3
lim ( )
x
fx
→
= +∞
tipus de discontinuïtat
disc. asimptòticadisc. de salt disc. evitable disc. asimptòtica

139MATEMÀTIQUES 1 la
b)
lim
x → 3

x
2
 6
x
2
 3x
lim
x → 3

x
2
 6
x
2
 3x


3
0
 , però el límit per l’esquerra és
−
π i el límit per la dreta és + .
c)
lim
x → + 
⎝
⎜
⎛
x
2
– 5
x
–
2x
3
– 1
x
2
⎝
⎜
⎛
2 3
2
521
lim
x
x x
x x
→+ ∞
 − −
− =
∞−∞= 
 
2 3
2
521
lim
x
x x
x x
→+ ∞
 − −
− =∞−∞= 
 
2 3 3 3 3
2 2 2 2
521 521 51
lim lim lim
x x x
x x
xxx xx
x x x x x
→+ ∞ →+ ∞ →+∞
    − − − − −−+ −∞
− =∞−∞= − = = =−∞     
+∞     


limx → + 
2 3 3 3 3
2 2 2 2
521 521 51
lim lim lim
x x x
x x xxxxx
x x x x x
→+∞ →+ ∞ →+∞
    − − − − −−+ −∞
− =∞−∞= − = = =−∞     
+∞     
c)
lim
x → + 

⎝
⎜
⎛
x
2
+ 7x
2 + x
2
⎝
⎜
⎛
3x
2
– 2

lim
x → + 
2
2
3
2
2 72
32 ·
722
32 322 21 20 4
lim 21
2
222
7 72 1
lim 1 lim 1 lim 1
222
72
xx
x
x x
x x
xx
x
x xx
xx x
e
xxx
x
e
+−
−
−+
− −
−+
∞
+
→ +∞ → +∞ → +∞

+− 
==+ =+ = =  
+++  

−
lim
x → + 8
2
2
3
2
2 72
32 ·
722
32 322 21 20 4
lim 21
2
222
7 72 1
lim 1 lim 1 lim 1
222
72
xx
x
x x
x x
xx
x
x xx
xx x
e
xxx
x
e
+−
−
−+
− −
−+
∞
+
→+∞ →+∞ →+∞

+− 
==+ =+ = =  
+++  

−


lim
x → + 
2
2
2
2
32 ·
72
21 20 4
lim 21
2
2
1
1
2
72
x
x
x
x x
x
e
x
xe
+
−
−
2
72
2
x
x
−
+
− +
+
 
 
+ = = 
+ 
 
− 
21
e=
2. Estudia la continuïtat de la funció següent en x 5 21 i en
x 5 2.
fx
x
x
x
()=
+≤
−





5
12
2
2
six
4si
six
<
>
En x 5 21 la imatge val 2 3, i els límits laterals són 2 3 i 4, per
tant tenim una discontinuïtat de salt. En x 5 2 la imatge i els límits
laterals coincideixen i valen 4, per tant és contínua en aquest punt.
3. A partir de la gràfica de la funció següent, fes l’estudi de la
continuïtat en els punts que s’indiquen en la taula:
4. Troba el domini i estudia la continuïtat de la funció
f (x) 5
2x – 6
x
2
– 9
.
La funció és discontínua en x 5 3 i x 5 23, que són els punts
que anul·len el denominador i que per tant no pertanyen al
domini. El domini és R 2 {23, 3}.
En x 5 23 els límits laterals són 2π i 1π i la imatge no
existeix, així que tenim una disc. asimptòtica.
En x 5 3 la imatge no existeix però el límit sí i val 1/3, per tant
la discontinuïtat és evitable.

140 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
j Unitat 11. Funcions
exponencial i logarítmica
Activitats
1. Calcula les potències d’exponent racional següents:
2

—

3
—
4

; 3,2
4,5
; 7
0,3
; 10

2
—
5
; e

1—
8
.
3
2 3

—

3
—
4

 
—

3
—
4

 1,5
0,75
 1,355403
3 2
3,2
4,5
 187,57498
1 1 1
7
0,3
 
—
0,3

 ——  ———— 
7 7
0,3
1,79279
 0,5577898
10
2
—
5
 10
0,4

 2,5118864
1 1 1
e

1—
8
 
—

1
—
8

 
—
0,125

 ——— 
e e

e
0,125
1
 —————  0,8824969
1,1331485
2. Escriu i calcula els sis primers termes d’una successió que
tingui per límit 4
√
3
.
4
√
3
 4
1,7320508
4
1
 4; 4
1,7
 10,556063; 4
1,73
 11,004335;
4
1,732
 11,034887; 4
1,7320
 11,034887;
4
1,73205
 11,035652 4; 10,556063; 11,004335; 11,034887;
11,034887; 11,035652
3. Repeteix l’activitat anterior per a 3

.
1 1 1
3

 
—


 ——  ————
3 3

3
3,415927
1 1
——
 ——  0,037
)
3
3
27
1 1
——  —————  0,0331836
3
3,1
30,135326
1 1
——  —————  0,0317570
3
3,14
31,489136
1 1
——  —————  0,0317221
3
3,141
31,523749
1 1
———  —————  0,0317047
3
3,1415
31,54107
1 1
———  —————  0,0317016
3
3,14159
31,544189

)
0,037; 0,0331836; 0,0317570; 0,0317221;
0,0317047; 0,0317016
4. Troba les cinc primeres aproximacions per defecte de les
potències:
a) 2
e
2
e
 2
2,7182818
2
2
 4; 2
2,7
 6,4980192;
2
2,71
 6,5432165; 2
2,718
 6,5796006;
2
2,7182
 6,5805127 4; 6,4980192; 6,5432165; 6,5796006;
6,5805127
b) 3
√
2
3
√2

 3
1,4142136
3
1
 3; 3
1,4
 4,6555367;
3
1,41
 4,706965; 3
1,414
 4,727695;
3
1,4142
 4,7287339 3; 4,6555367; 4,706965; 4,727695;
4,7287339
5
c)

—

4
5

—


 1,25
3,1415927
4
1,25
3
 1,953125; 1,25
3,1
 1,9971976;
1,25
3,14
 2,0151039;
1,25
3,141
 2,0155536;
1,25
3,1415
 2,0157785
1,953125; 1,9971976; 2,0151039;
2,0155536; 2,0157785

141MATEMÀTIQUES 1 la
5. Representa gràficament les funcions exponencials f(x)  e
x

i g(x)  e
x
.
f(x)  e
x
x e
x
1 e  2,7182818
2 e
2
 7,3890561
0 1
1
1 e
1
 —  0,3678794
e
f(x)  e
x
, per simetria respecte de l’eix OY de la funció f (x)  e
x
.
6. A partir de la gràfica de la funció y  2
x
, dibuixa, fent les
translacions necessàries, la gràfica de les funcions:
y  2
x
x 2
x
1 2
2 4
0 1
1 0,5
a) y  2
x  1
A partir de la gràfica de y  2
x
, es trasllada una unitat cap a
la dreta.
b) y  2
x
 1
A partir de la gràfica de y  2
x
, es trasllada una unitat cap
amunt.
c) y  2
x  1
 1
A partir de la gràfica de y  2
x
, es trasllada una unitat cap a
l’esquerra i una unitat cap avall.
1
7. Determina les antiimatges de
—— ; 0,125; 512 i
5
√
8 en la
16
funció f(x)  2
x
. Has d’expressar cadascun d’aquests
nombres com una potència de base 2.
1 1
2
x
 —— → 2
x
 — →
16 2
4
→ 2
x
 2
4
→ x  4
1 1
2
x
 0,125 → 2
x
 — → 2
x
 — →
8 2
3
→ 2
x
 2
3
→ x  3
2
x
 512 → 2
x
 2
9
→ x  9
3
2
x

5
√
8 → 2
x

5
√ 2
3
→ 2
x
 2

3
—
5
→ x  —
5
8. Comprova que es verifiquen les propietats dels apartats j),
k), l) i m) amb les funcions exponencials següents:
1
f(x)  2
x
, g(x)  3
x
, h(x)  
—
x
2
1
i p(x) 

—
x
3
j) g(x)  3
x
; g(1)  3, g(2)  3
2
 9 →
→ g(1)  g(2)

142 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
1 1
p(x) 

—
x
; p(1)  —,
3 3
1 1
p(2) 

—
2
 — → p(1)  p(2)
3 9

k) f(x)  2
x
x 2
x
1
h(x) 

—
x
2
1
x

—
x
2
1
1
—
2
1
2
—
4
0 1
1 2
2 4
1 2
2 4
0 1
1
1
—
2
1
2
—
4
l) f(x)  2
x
1 1
f(1)  2
1
 —, f(2)  2
2
 —,
2 4
1
f(3)  2
3
 —
8
f(1)  2, f(2)  2
2
 4, f(3)  2
3
 8
1
p(x) 

—
x
3
1
p(1) 

—
1
 3,
3
1
p(2) 

—
2
 3
2
 9,
3
1
p(3) 

—
3
 3
3
 27
3
1 1 1
p(1) 
—, p(2)  
—
2
 —,
3 3 9
1 1
p(3) 

—
3
 ——
3 27
m) f(x)  2
x
i g(x)  3
x
f(1)  2
g(1)  f(1)
g(1)  3
6
1
f(1)  2
1
 —
2
g(1)  f(1)
1
g(1)  3
1
 — 6
3
1
9. La gràfica de la funció f(x)  a
x
passa pel punt (1, —).
5
Determina el valor de a.
f(x)  a
x
f(1)  0,2
1
—  0,2 → a  5 1
a f(1)  a
1
 — 6
a
10. Quan es defineix la funció exponencial de base a , per quin
motiu s’imposa la condició que aquesta base sigui positiva?
Si a  0 hi hauria valors de x que no tindrien imatge, per exemple:
(2)
1
—
2

 √
2  
11. Resol aquestes equacions exponencials:
a) 2
x
2
x  1
2
x  1
 64
2
x
2
x  1
2
x  1
 64 →
→ 2
x  x  1  x  1
 2
6
→ 2
3x
 2
6
→
→ 3x  6 → x  2
b) 7
3x  2
 √
7
x  1
7
3x  2
 √ 7
x  1
→ 7
3x  2
 7
x  1
———
2

→
x  1 3
→ 3x  2  ——— → x 
—
2 5
c) 1  3  9  27  ...  3
x
 364
1  3  9  27  ...  3
x
 364,
1  3  9  27  81  243  364,
3
x
 243 → 3
x
 3
5
→ x  5
d) 11
x
2
 3x  2
 1
11
x
2
 3x  2
 1 → x
2
 3x  2  0 →
→ x
1
 2, x
2
 1

143MATEMÀTIQUES 1 la
1
e)

——
x  3
 32
3x  2
16
1 1

——
x  3
 32
3x  2
→ 
—
x  3

16 2
4
 (2
5
)
3x  2
→ (2
4
)
x  3
 (2
5
)
3x  2
2
4x  12
 2
15x  10
→
2
→ 4x  12  15x  10 → x  ——
11
f) 9
x
 43
x
 3  0
9
x
 43
x
 3  0 →
→ (3
2
)
x
 43
x
 3  0 →
→ (3
x
)
2
 43
x
 3  0
Si 3
x
 t → t
2
 4t  3  0 →
→ t
1
 3, t
2
 1 → x
1
 1, x
2
 0
151
g) 5
x  1
 5
x  2
 5
x
 ——
25
151
5
x  1
 5
x  2
 5
x
 —— →
25
5
x
151
55
x
 ——  5
x
 ——
25 25
1 151
5
x

5  ——  1
 —— →
25 25
151 151
→ 5
x
——  —— → 5
x
 1 → x  0
25 25
a
11
h) a
x
2
 2x  4
 ——
a
8
a
11
a
x
2
 2x  4
 ——
→ a
x
2
 2x  4
 a
3
→
a
8
→ x
2
 2x  4  3 →
→ x
2
 2x  1  0 → x  1
12. Calcula, aproximant-la fins a les centèsimes, la solució de
cadascuna de les equacions:
a) 3
x
 17
3
2,57
 16,834554
x  2,58
3
2,58
 17,020521 6
b) 5
x
 0,8
5
0,14
 0,7982597
x  0,14
5
0,13
 0,8112111 6
1
c)

—
x
 7
2
0,5
2,81
 7,0128458
x  2,81
0,5
2,80
 6,9644045 6
13. Elabora una taula de valors i dibuixa les gràfiques de les
funcions:
a) f(x)  ln x
x
ln x
1 0
e 1
e
2
2
1

— 1
f
e
b) g(x)  log
1
—
4

x

x
log
1
4

x
1 0
4 1
1

— 1
4
1 1

— —
g
2 2
1 1
14. Utilitzant les funcions logarítmiques en base 2, 3,
— i —,
2 3
comprova les propietats dels apartats i), j) i k) de la funció
logarítmica.
i) f(x)  log
2
x, f(2)  log
2
2  1,
f(4)  log
2
4  2 → f(2)  f(4)
g(x)  log
1
—
2
x, g(2)  log
1
—
2
2  1,
g(4)  log
1
—
2
4  2 → g(2)  g(4)
j)

144 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
x → 0

lim (log
2
x)  ,
x → 
lim (log
2
x)  
x → 0

lim (log
1
—
2
x)  ,

x → 
lim (log
1
—
2
x)  
k) f(x)  log
2
x, h(x)  log
3
x
f(8)  log
2
8  3,
h(8)  log
3
8  2 → log
2
8  log
3
8
1 1
f

—
 log
2
—  1,
3 3
1 1
h

—
 log
3
—  1, →
3 3
1 1
→ log
2
—  log
3
—
3 3
k(x)  log
1
—
3
x, g(x)  log
1
—
2
x
k(4)  log
1
—
3
4  2,
g(4)  log
1
—
2
4  2 →
→ log
1
—
3
4  log
1
—
2
4
1 1
k

—
 log
1
—
3
—  1,
2 2
1 1
g

—
 log
1
—
2
—  1 →
2 2
1 1
→ log
1
—
3
—  log
1
—
2
—
2 2
g(x)  log
1
—
2
x, f(x)  log
2
x
g(2)  log
1
—
2
2  1,
f(2)  log
2
2  1 → log
1
—
2
2  log
2
2
1 1
g

—
 log
1
—
2
—  2,
4 4
1 1
f

—
 log
2
—  2 →
4 4
1 1
→ log
1
—
2
—  log
2
—
4 4
15. A partir de la gràfica y  log
2
x, dibuixa, aplicant les
translacions corresponents, les gràfiques:
y  log
2
x

x log
2
x
1 0
2 1
4 2
1
— 1
2
1
— 2
4
a) y  log
2
(x  1)
A partir de la gràfica de y  log
2
x, es trasllada una unitat cap
a l’esquerra.
b) y  log
2
x  1
A partir de la gràfica de y  log
2
x, es trasllada una unitat cap
avall.
16. Demostra les igualtats:
1
log
a
b  log
a
—  log
1
—
a
b
b
Suposem que log
a
b  p → a
p
 b
1 1 1
log
a
—  log
a
—  log
a

—
p

b a
p
a
 log
a
a
p
 (p)  p  log
a
b
1
log
1
—
a
b  log
1
—
a
a
p
 log
1
—
a

—
p

a
 (p)  p  log
a
b

145MATEMÀTIQUES 1 la
17. Troba, sense utilitzar la calculadora, els logaritmes següents:
a) log
7
49
log
7
49  log
7
7
2
 2
b) log
3
729
log
3
729  log
3
3
6
 6
1
c) log
9
—
9
1
log
9
—  log
9
9
1
 1
9
d) log
11

3
√
121
log
11

3
√
121  log
11

3
√ 11
2

2
 log
11
11

2
—
3


—
3
e) log
234
1
log
234
1  0
f) log
1
—
3
27
1
log
1
—
3
27  log
1
—
3
3
3
 log
1
—
3

—
3
 3
3
g) log
1
—
5
125
log
1
—
5
125  log
1
—
5
5
3

1
 log
1
—
5

—
3
 3
5
h) log
1
—
6

7
√
216
log
1
—
6

7
√
216  log
1
—
6

7
√ 6
3
 log
1
—
6
6

3
—
7


1 3
 log
1
—
6

—


3
—
7

 —
6 7
i) log
225
15
log
225
15  log
225
√
225 
1
 log
225
225

1
—
2


—
2
18. Calcula x en cadascuna d’aquestes igualtats:
a) log
3
x  1
1
log
3
x  1 → x  3
1
→ x  —
3
1
b) log
x
——  2
25
1 1
log
x
——  2 → x
2
 —— →
25 25
1 1
→
—  —— → x
2
 25 → x  5
x
2
25
c) log
x
6
3
 3
log
x
6
3
 3 → x
3
 6
3
→
1 1
→ x
3
 
—
3
→ x  —
6 6
1
d) log x 
—
2
1
log x 
— → x  10
1
—
2
→ x  √
10
2
2
e) ln x  
—
3
2
ln x  
— → x  e


2
—
3
3
f) log
√

7
x  2
log
√

7
x  2 → x  ( √ 7 )
2

1 1 1


——
2
 — → x  —
√
7 7 7
19. Si log 3  m, escriu en funció de m:
a) log 8 100
log 8 100  log (81100) 
 log 81  log 100  log 3
4
 2 
 4 log 3  2  4 m  2
b) log
√
3 000
1
log
√
3 000  — log 3 000 
2
1

— log(31 000) 
2
1 1

— (log 3  log 1 000)  — (m  3)
2 2
c) log
7
√
0,27
1
log
7
√
0,27  — log 0,27 
7
1 27 1

— log ——  — (log 27  log 100) 
7 100 7

146 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
1 1

— (log 3
3
 2)  — (3 log 3  2) 
7 7
1

— (3 m  2)
7
1
d) log ——
729
1
log ——  log 729  log 3
6

729
 6 log 3  6 m
1
e) log

——
6
2,43
1 1
log

——
6
 6 log —— 
2,43 2,43
243
 6 (log 2,43)  6

log ——

100
 6 (log 243  log 100) 
 6 (log 3
5
 2)  6 (5 log 3  2) 
 6 (5 m  2)  12  30 m
0,9
f) log
——
7,29
0,9 90 10
log
——  log ——  log —— 
7,29 729 81
 log 10  log 81  1  log 3
4

 1  4 log 3  1  4 m
g) log 0,3
3
log 0,3  log
—  log 3  log 10  m  1
10
h) log 0,3
)
1
log 0,3
)
 log —  log 3  m
3
10
i) log ——
81
10
log ——  1  4 m
81
20. a) Desenvolupa l’expressió següent aplicant logaritmes
neperians als dos membres de la igualtat següent:
(a
2
b
3
c)

1
—
3
p  ——————
d
5
m
2
(a
2
b
3
c)

1
—
3
ln p  ln —————— 
d
5
m
2
 ln (a
2
b
3
c)

1
—
3

 ln (d
5
m
2
) 
1

— ln (a
2
b
3

c)  ln (d
5
m
2
) 
3
1

— (ln a
2
 ln b
3
 ln c) 
3
 (ln d
5
 ln m
2
) 
1

— (2 ln a  3 ln b  ln c) 
3
 (5 ln d  2 ln m) 
2 1

— ln a  ln b  — ln c  5 ln d  2 ln m
3 3
b) Escriu sense logaritmes decimals:
5
log p 
— (3 log a  2 log b  log c  7 log d)
2
5
log p 
— (log a
3
 log b
2
 log c  log d
7
) 
2
5 a
3
c

— log ——— 
2 b
2
d
7
a
3
c a
3
c
 log

———

5
—
2

→ p  
———

5
—
2
b
2
d
7
b
2
d
7
21. Expressa la relació que hi ha entre log 2 i ln 2.
ln 2
log 2  ——— → ln 2  ln 10log 2
ln 10
log 2
o ln 2  ——— → log 2  log eln 2
log e
22. Utilitza la calculadora per trobar:
log
5,2
12,45, log
13
87, log
0,3
0,675, ln , log e
log 12,45
log
5,2
12,45  ————— 
log 5,2
1,0951694
 ——————  1,529559
0,7160033
log 87
log
13
87  ———— 
log 13
1,9395193
 ——————  1,7411292
1,1139434
log 0,675
log
0,3
0,675  ————— 
log 0,3
0,1706962
 ——————  0,3264547
0,5228787
ln   1,1447299
log e  0,4342945

147MATEMÀTIQUES 1 la
23. Quina relació hi ha entre log
a
b i log
b
a?
log
b
b 1
log
a
b  ———  ——— →
log
b
a log
b
a
→ log
a
blog
b
a  1

1
24. Donats els números
√
21, —, 2, 0,2 i 12
3
, ordena’ls del més
petit al més gran:
3

a) Els seus logaritmes en base 7.
1
log
7
0,2  log
7
—  log
7
2 
3
 log
7
√
21  log
7
12
3
1
b) Els seus logaritmes en base
—.
3
log
1
—
3
12
3
 log
1
—
3
√
21  log
1
—
3
2 
1
 log
1
—
3
—  log
1
—
3
0,2
3
25. Per què log
1
x no és una funció?
log x log x
log
1
x  ———  ———  
log 1 0
26. Dues de les quatre expressions següents són equivalents.
Indica quines són i demostra-ho.
a) ln (ab)  ln (ac) b) ln (ab) ln (ac)
c) ln (ab  ac) d) ln a  ln (b  c)
ln (ab  ac)  ln [a(b  c)] 
 ln a  ln (b  c)
c) i d)
27. Determina la solució de les equacions logarítmiques
següents:
3
a) log
2
x
2
 log
2

x  —
 2
4
3
log
2
x
2
 log
2

x  —
 2 →
4
x
2
→ log
2
————  log
2
4
3
x 
—
4
x
2
————  4 → x
2
 4x  3 →
3
x 
—
4
→ x
2
 4x  3  0 → x
1
 3, x
2
 1
b) 2 [1  log (2x  3)]  4 log
√
5x  3
2 [1  log (2x  3)]  4 log
√
5x  3
1  log (2x  3)  2 log
√
5x  3
log 10  log (2x  3)  2 log
√
5x  3
10
log ————  log (
√
5x  3

)
2
2x  3
10
————  5x  3;
2x  3
10  10x
2
 9x  9
10x
2
 9x  19  0 → x  1
log 2  log (11  x
2
)
c)
———————————  2
log (5  x)
log 2  log (11  x
2
)
———————————  2
log (5  x)
log 2  log (11  x
2
)  2 log (5  x)
log [2 (11  x
2
)]  log (5  x)
2
2 (11  x
2
)  (5  x)
2
;
22  2x
2
 25  10x  x
2
1
3x
2
 10x  3  0 → x
1
 3, x
2
 —
3
28. Resol els sistemes:
log x  log y  2
a)
5
x  y  15
Soluciona’l de dues maneres diferents.
log x  log y  2 →

5
→ log (xy)  log 100 → xy  100
x  y  15
xy  100

5
x  y  15 → x  15  y
(15  y) y  100 → 15 y  y
2
 100 →
→ y
2
 15 y  100  0 → y  5
x  15  y  15  5  20 →
→ x  20
2 log y  3 log x  1
b)
5
log x
 log y  3
Soluciona’l de dues maneres diferents.

5
2 log y  3 log x  1
log x  log y  3

148 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
b
1
) 2 log y  3 log x  1
3 log y  3 log x  9

5 log y  3 log x  10
log y  2 → y  100
log x  log y  3 →
→ log x  3  log y  3  2  1 →
→ x  10
y
2
b
2
)
5
log —  log 10
x
3
log (xy)  log 1 000

5
y
2
—  10
x
3
1 000
xy  1 000 → y  ———
x
1 000 10
6

———
2

——
x x
2
—————  10; ———  10;
x
3
x
3
10
6
——  10; x
5
 10
5
→ x  10
x
5
1 000 1 000
y  ———  ———  100 →
x 10
→ y  100
29. Aplicant logaritmes, resol l’equació exponencial 5
3x  1
 17.
5
3x  1
 17 → 3x  1  log
5
17 →
→ 3x  log
5
17  1
1 1 log 17
x 
— (log
5
17  1)  — 
———  1

3 3 log 5
1 1,2304489

— 
—————  1 

3 0,69897
1 1

— (1,7603744  1)  —2,7603744 
3 3
 0,9201248; x  0,9201248
30. En una entitat bancària es dipositen 15 025  al 3 % d’interès
compost anual. Quin és el benefici que s’obtindrà al cap de
cinc anys? Repeteix el problema suposant que l’interès sigui
continu. Compara’n els resultats obtinguts.
Compost → C  C
0
(1  r)
t
 15 025 (1  0,03)
5

 15 0251,03
5
 17 418,09 
b  17 418,09
 15 025  2 393,09 
Continu → C  C
0
e
rt
 15 025e
0,035

 15 025e
0,15
 17 456,56 
b  17 456,56  15 025  2 431,56 
31. El pH d’una dissolució és 11,25. Quina és la concentració d’ions
hidrogen que hi ha a la dissolució? I la d’ions hidroxil?
pH  11,25 → log [H
3
O

]  11,25 →
→ log [H
3
O

]  11,25
[H
3
O

]  10
11,25
 5,623413310
12
mol/L
pOH  14  pH  14  11,25  2,75 →
→ log [OH

]  2,75
[OH

]  10
2,75
 1,778310
3
mol/L
o [H
3
O

][OH

]  10
14
→
10
14
10
14
→ [OH

]  ————  ————————— 
[H
3
O

] 5,623413310
12
 1,778310
3
mol/L
Activitats finals
1. Dibuixa en uns mateixos eixos de coordenades les funcions
3 2
exponencials

—
x
i 
—
x
i les funcions logarítmiques
2 3
log
3
—
2
x i log
2
—
3
x.

3
y 

—
x 3
x

—
x
2
0 1
3
1
—
2
9
2
—
4
2
1
—
3
2
A partir de la taula de valors es dibuixa la gràfica de la funció
3


—
x
; a partir d’aquesta, per simetria amb l’eix OY, es dibuixa

2

2
la de

—
x
.

3
Per dibuixar les logarítmiques n’hi ha prou amb la simetria de
les dues exponencials respecte de la recta y  x.

149MATEMÀTIQUES 1 la
2. Es considera la funció exponencial f(x)  a
x
. Demostra que
si el punt (p, q) és un punt de la seva gràfica, també ho és
1
el punt

p, —
.
q
f(x)  a
x
Sabem que f(p)  q, per tant a
p
 q
1 1
f(p)  a
p
 ——  — →
a
p
q
1
→

p, —
també és de la gràfica.
q
3. Determina el punt en què la gràfica de cadascuna de les
funcions següents talla l’eix de les ordenades:
a) f(x)  5e
x
f(0)  5e
0
 5 → (0, 5)
b) h(x)  3  2a
x
h(0)  3  2a
0
 3  2  1 →
→ (0, 1)
1
c) g(x)  2

—
x  1
3
1
g(0)  2

—
0  1

3
1 2
 2
—  — →
3 3
2
→

0, —

3
d) p(x)  1  3
2x
p(0)  1  3
0
 1 1  0 → (0, 0)
4. Resol aquestes equacions:
a) x
4
 256
x
4
 256 → x
4
 4
4
→
1 1
→ x
4
 
—
4
→ x  —
4 4
1
b)
√

3 √
3 √
3 √3  
—
1  x
3
1
√

3 √
3 √
3 √3  
—
1  x
→
3
→ 3
15
——
16

 3
x  1
→
15 31
→ ——  x  1 → x  ——
16 16
c) 3
x
5
x  1
 10 125
3
x
5
x
3
x
5
x  1
 10 125 → ——  10 125 →
5
→ 3
x
5
x
 10 1255
3
x
5
x
 3
4
5
3
5 → 3
x
5
x
 3
4
5
4
→
→ 15
x
 15
4
→ x  4
d)
√
√7  6 √7  49

x
—
2
√ √7  6√7  49

x
—
2
→
→
√
7 √7  49

x
—
2
→
3
→ 7

3
—
4

 7
x
→ x  —
4
1
e) 27x
3
 ——
125
1 1
27x
3
 —— → x
3
 ———— →
125 27125
1
→ x
3
 ———
3
3
5
3
1 1 1
x
3
 —— → x
3
 
——
3
→ x  ——
15
3
15 15
f) 5
4x
 35
2x
 10  0
5
4x
 35
2x
 10  0 →
→ (5
2x
)
2
 35
2x
 10  0
t  5
2x
, t
2
 3t  10  0 → t  5
1
5
2x
 5 → 2x  1 → x  —
2
3
g) 5
x  1
 2  ———
5
x  2
3 5
x
35
2
5
x  1
 2  ——— → —  2  ——
5
x  2
5 5
x
(5
x
)
2
 105
x
 375 →
→ (5
x
)
2
 105
x
 375  0
t  5
x
, t
2
 10t  375  0 → t  25
5
x
 25 → 5
x
 5
2
→ x  2
1
h) (a
x  3
)
x
 
—
2x
a
1
(a
x  3
)
x
 
—
2x
→ a
x
2
 3x
 a
2x
→
a
→ x
2
 3x  2x
x
2
 5x  0 → x (x  5)  0 →
→ x
1
 0, x
2
 5

150 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
i) (2x)


2
—
5

5
√ e
4
(2x)


2
—
5

5
√ e
4
→ (2x)


2
—
5
 e

4
—
5
→
→ 2x  e

4
—
5
 

5
—
2 
1 1
2x  e
2
→ 2x  — → x   ——
e
2
2e
2
j) 7
x
 7
x  1
 7
x  2
 2 793
7
x
 7
x  1
 7
x  2
 2 793 →
→ 7
x
 77
x
 497
x
 2 793
7
x
(1  7  49)  2 793 →
2 793
→ 577
x
 2 793 → 7
x
 ———  49
57
7
x
 49 → 7
x
 7
2
→ x  2
5. Demostra que si f(x)  3
x
, aleshores
f(x)
f(x  2)  —— i f(x  3)  27f(x).
9
f(x)  3
x
f(x  2)  3
(x  2)
 3
x  2

3
x
3
x
f(x)
 ——  ——  ——
3
2
9 9
f(x  3)  3
(x  3)
 3
x  3
 3
x
3
3

 273
x
 27f(x)
6. Hem rebut a casa una carta que ens augura bona sort si
n’enviem una fotocòpia a cinc persones. En cas contrari,
si trenquem la cadena, la sort se’ns girarà en contra. Quina
funció expressa el nombre de persones que rebran la carta
successivament, si no es trenca la cadena?
012
5 ,5 ,5 ,...,5
() 5
x
x
fx=
7. Determina el punt en què la gràfica de cadascuna d’aquestes
funcions talla l’eix de les abscisses:
a) f(x)  log (x  3)
f(x)  0 → log (x  3)  0 →
→ x 
3  1 → x  2 → (2, 0)
b) g(x)  ln (2x  5)
g(x)  0 → ln (2x  5)  0 →
→ 2x  5  1 → 2x  6 →
→ x  3 → (3, 0)
c) h(x)  log
3
√
3x
h(x)  0 → log
3
√
3x  0 →
→
√
3x  1 → 3x  1 →
1 1
→ x 
— → 
—, 0
3 3
5
d) p(x)  log
5
—
x
5 5
p(x)  0 → log
5
—  0 → —  1 →
x x
→ x  5 → (5, 0)
8. Calcula els logaritmes següents sense utilitzar la calculadora:
1 1
a) log
4
—; b)log
5

3
√
25; c) log
1
—
a
a
√3
; d) log ——;
16 √ 10
1
e) log
1
—
2
2, f) log
9
—; g) log
0,001
0,1
3
1 1
a) log
4
—  log
4
—  log
4
4
2
 2
16 4
2
2
b) log
5

3
√
25  log
5

3
√ 5
2
 log
5
5

2
—
3
 —
3
1
c) log
1
—
a
a
√
3
 log
1
—
a

—
√3
 √ 3
a
1 1
d) log
——  log —— 

√
10
10

1
—
2
1 1
 log

—

1
—
2
 log 10


1
—
2
 —
10 2
1
e) log
1
—
2
2  log
1
—
2

—
1
 1
2
1 1 1
f) log
9
—  log
9
——  log
9
—— 

3

√

9
9

1
—
2
1 1
 log
9

—

1
—
2
 log
9
9


1
—
2

 
—
9 2
g) log
0,001
0,1  log
0,001

3
√

0,001 
1
 log
0,001
0,001

1
—
3
 —
3

151MATEMÀTIQUES 1 la
9. Calcula:
a) log
a
blog
b
a
log
b
b
log
a
blog
b
a  ——— log
b
a 
log
b
a
1
 ——— log
b
a  1
log
b
a
1
b) log
1
—
a
a  log
b
—
b
1
log
1
—
a
a  log
b
— 
b
1
 log
1
—
a

—
1
 log
b
b
1
 1  1  2
a
10. Si log 2  m, expressa en funció de m:
a) log 1600
log 1600  log (16100) 
 log 16  log 100  log 2
4
 2 
 4 log 2  2  4 m  2
b) log
5
√

0,0002
1
log
5
√

0,0002  — log 0,0002 
5
1 2

— log ——— 
5 10 000
1 1

— (log 2  log 10 000)  — (m  4)
5 5
c) log
√

0,0064
1
log
√

0,0064  — log 0,0064 
2
1 64

— log ——— 
2 10 000
1

— (log 64  log 10 000) 
2
1 1

— (log 2
6
 4)  — (6 log 2 4) 
2 2
1

— (6 m  4)  3 m  2
2
1
d) log

———
3
1,28
1 1
log

——
3
 3 log —— 
1,28 1,28
 3(log 1,28)  3 log 1,28 
128
 3 log
——  3 (log 128  log 100) 
100
 3 (log 2
7
 2)  3 (7 log 2  2) 
 3 (7 m  2)  21 m  6
e) log 12,5
100
log 12,5  log
——  log 100  log 8 
8
 2  log 2
3
 2  3 log 2  2  3m
f) log 0,8
7
8
log 0,8
7
 7 log 0,8  7 log —— 
10
 7 (log 8  log 10)  7 (log 2
3
 1) 
 7 (3 log 2  1)  7 (3 m  1)  21 m  7
11. Determina l’expressió de log x que correspon a cadascuna de
les igualtats següents:
3a
2
b
a) x 

———
2
c
3
d
3a
2
b 3a
2
b
log x  log

———
2
 2 log ——— 
c
3
d c
3
d
 2 [log (3a
2
b)  log (c
3
d)] 
 2 [log 3  log a
2
 log b 
 (log c
3
 log d)]  2 [log 3  2 log a

 log b  (3 log c  log d)]  2 log 3 
 4 log a  2 log b  6 log c  2 log d
a (b  c)
b) x 
4
√

—————
d
5

a (b  c)
log x  log
4
√

————— 

d
5
1 a (b  c)

— log ————— 
4 d
5
1

— {log [a(b  c)]  log d
5
} 
4
1

— [log a  log (b  c)  5 log d] 
4
1 1 5

— log a  — log (b  c)  — log d
4 4 4
a
3
b
4
c

1
—
6
c) x  ——————
m

2
—
3
n
√

p

152 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
a
3
b
4
c

1
—
6
log x  log ————— 
m

2
—
3
n
√

p
 log (a
3
b
4
c

1
—
6
)  log (m

2
—
3
n
√

p ) 
 log a
3
 log b
4
 log c

1
—
6

 (log m

2
—
3
 log n  log √

p ) 
1
 3 log a  4 log b 
— log c 
6
2 1


— log m  log n  — log p

3 2
1
 3 log a  4 log b 
— log c 
6
2 1

— log m  log n  — log p
3 2
h
d) x 
—————
mnpqr
h
log x  log ———— 
mnpqr
 log h  log (mnpqr)  log h 
 (log m  log n  log p  log q  log r) 
 log h  log m  log n 
 log p  log q  log r
12. Estableix l’expressió de x corresponent a:
1
a) ln x  3 ln a  2 ln b 
— ln c
2
ln x  ln a
3
 ln b
2
 ln √

c 
 ln (a
3
b
2
)  ln √
c 
a
3
b
2
a
3
b
2
 ln —— → x  ——
√
c √c
b) log x 
1

— (3 log a  2 log b)  7 (log c  4 log d)
5
1
log x 
— (log a
3
 log b
2
) 
5
 7 (log c  log d
4
) 
1 a
3
 — log ——  7 log (cd
4
) 
5 b
2
a
3
 log
5
√

——  log (cd
4
)
7

b
2
a
3

5
√

——
b
2

5
√

a
3
 log —————  log ————— →
(cd
4
)
7

5
√

b
2
c
7
d
28

5
√

a
3
→ x  —————

5
√

b
2
c
7
d
28
c) log
4
x 
log
4
c  log
4
d
 3 log
4
a  2 log
4
b  ————————
3
log
4
x  log
4
a
3
 log
4
b
2

1

— (log
4
c  log
4
d) 
3
1
 log
4
(a
3
b
2
)  — log
4
(cd) 
3
 log
4
(a
3
b
2
)  log
4

3
√

c d 
a
3
b
2
a
3
b
2
 log
4
——— → x  ———

3
√

c d
3
√

c d
1
d) ln x 
— (3 ln a  ln b  ln c  5 ln d)
2
1
ln x 
— (ln a
3
 ln b  ln c  ln d
5
) 
2
1

— [ln a
3
 ln b  (ln c  ln d
5
)] 
2
1

— [ln (a
3
b)  ln (cd
5
)] 
2
1 a
3
b

— ln —— 
2 cd
5
a
3
b a
3
b
 ln
√

—— → x 
√

——
cd
5
cd
5
13. Calcula log
x
(log
x
x
√
x
).
1
log
x
(log
x
x
√
x
)  log
x
√x  log
x
x

1
—
2
 —
2
14. Es consideren les quatre expressions següents:
log
a
(p
2
 q
2
); 2 log
a
p  2 log
a
q
2 log
a
(p  q); log
a
(p  q)  log
a
(p  q).
A totes elles es verifica que p  q  0.

153MATEMÀTIQUES 1 la
a) Demostra que dues d’aquestes expressions són equiva-
lents.
log
a
(p
2
 q
2
) 
 log
a
[(p  q)(p  q)] 
 log
a
(p  q)  log
a
(p  q)
b) Calcula el valor de la primera expressió per a a  2, p  3
i q  1.
log
a
(p
2
 q
2
)  log
2
(3
2
 1) 
 log
2
(9  1)  log
2
8  log
2
2
3
 3
15. Resol aquestes equacions:
a) 2 log x  4 log 2  3 log x
x
2
x
2
log —  log x
3
→ ——  x
3
→
2
4
16
→ x
2
 16x
3
→ 16x
3
 x
2
 0
x
2
(16x  1)  0
x  0
→ 16x  1  0 →
1
→ x  ——
16
x
b) 3 log
2
x  2 log
2
—  2 log
2
3  1
3
x
3
log
2
———  log
2
(3
2
2) →
x

—
2
3
x
3
x
3
→ ———  18 → ——  18
x x
2

—
2
—
3 9
9x
3
——  18
x  0
→ 9x  18 → x  2
x
2
c) ln 2  ln(11  x
2
)  2 ln (5  x)
ln [2 (11  x
2
)]  ln(5  x)
2
→
→ 2(11  x
2
)  (5  x)
2

→
→ 22  2x
2
 25  10x  x
2
1
3x
2
 10x  3  0 → x
1
 3, x
2
 —
3
10
logx
1
d) —————— 
—
1  10
2logx
2
x 1
———  — → 2x  1  x
2
→
1  x
2
2
→ x
2
 2x  1  0 → x  1
e) 7
3x  2
 140
3x  2  log
7
140 →
→ 3x  log
7
140  2 →
1
→ x 
— (log
7
140  2) 
3
1 log 140

— 
————  2

3 log 7
1 2,146128

— 
—————  2 

3 0,845098
1 1

— (2,5395018  2)  —0,5395018 
3 3
 0,1798339 → x  0,1798339
16. Calcula x en cadascuna de les igualtats següents:
1
a) log
3
√

x  —
2
1
log
3
√

x  — → √

x  3

1
—
2
→
2
→ x

1
—
2
 3

1
—
2
→ x  3
b) log
x
2x  2
log
x
2x  2 → x
2
 2x →
→ x
2
 2x  0 → x(x  2)  0
x  0
→
x  0
→ x  2  0 → x  2
1
c) log
1
—
3
x   —
2
1 1
log
1
—
3
x   — → x  
—


1
—
2
 3

1
—
2

2 3

√

3 → x  √

3
d) log
x
√

2  3
log
x
√

2  3 → x
3
 √

2 → x
3
 2

1
—
2
→
→ x 

2

1
—
2 

1
—
3
→ 2

1
—
6


6
√

2 → x 
6
√

2
1
e) log
x
———  3
2 √

2
1 1
log
x
———  3 → x
3
 ——— →
2 √

2 2 √

2
1 1 1 1
→
—  —— → —  ——— →
x
3
√

2
3
x
3
(√

2 )
3
→ x  √

2

154 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
3
f) log
4
x  —
2
3
log
4
x  — → x  4

3
—
2
 √

4
3
 √

2
6

2
 2
3
 8 → x  8
17. Determina el valor de a per tal que quan incrementem en
tres unitats el logaritme en base a de 6, obtinguem el
logaritme en base a de 48.
log
a
6  3  log
a
48 →
→ log
a
6  log
a
a
3
 log
a
48
log
a
(6a
3
)  log
a
48 → 6a
3
 48 →
→ a
3
 8 → a  2
18. En el país dels nombres es poden escoltar converses molt
estranyes. Fixa’t en aquesta i intenta identificar-ne els dos
personatges.
y: Sóc el teu logaritme decimal.
x: Ep! Sóc deu vegades més gran que tu.
x  10, y  1
19. Resol els sistemes d’equacions següents:
log x  log y  3
a)

5
2 log x  2 log y  1
5
4 log x  5 → log x 
— → x  10

5
—
4
4
7
4 log y  7 → log y 
— → y  10

7
—
4
4
log x  log y  1
b)

5
3x  5y  35
x
—  10
y
x  10, y  1
3x  5y  35 6
log x  3 log y  5
c)
x
2
5
log —  3
y
7 log x  14 → log x  2 → x  100
7 log y  7 → log y  1 → y  10
log
x
(y  18)  2
d)
1

5
log
y
(x  3)  —
2
x
2
 y  18
3 81
x
 —, y  ——
2 4
√

y  x  3 6
20. El pare de l’Albert i el Jordi és matemàtic. Quan li
pregunten les edats dels seus fills, respon: «La potència
de base 2 i exponent l’edat del Jordi és igual a la potència
de base 8 i exponent 5 menys l’edat de l’Albert. D’altra
banda, el logaritme en base l’edat de l’Albert de 64 és
igual a l’edat del Jordi». Quina és l’edat de cadascun dels
dos nois?
x: edat de l’Albert; y: edat del Jordi; x, y naturals.
2
y
 8
5  x
2
y
 (2
3
)
5  x

6
2
y
 2
15  3x

6
log
x
64  y 6
x
y
 64 x
y
 64
y  15  3x
6
x
y
 64
x  4 anys, y  3 anys
21. La taxa de despoblació d’una ciutat és del 1,5 % anual.
Suposant que aquesta taxa no es modifica, quants anys
hauran de transcórrer perquè la població actual es redueixi a
la meitat? Si actualment aquesta ciutat té 100 000 habitants,
quants en tindrà d’aquí a set anys?
h  h
0
(1  r)
t
1,5% → r  0,015
h  h
0
0,985
t
1
— h
0
 h
0
0,985
t
2
0,5  0,985
t
→
log 0,5
→ t  log
0,985
0,5  ———— 
log 0,985
0,30103
 ——————  45,862365
0,0065638
t  46 anys
h  h
0
0,985
t
 100 0000,985
7

 89 961 habitants
Avaluació
1. Fes una taula de valors i representa gràficament en els ma- teixos eixos de coordenades cadascuna de les funcions se- güents:
f(x) 5 3
x
g(x) 5 log
3
x
Elabora també una llista de les característiques de cada cor-
ba i compara-les.

155MATEMÀTIQUES 1 la
x f(x) 5 3
x
221/9
211/3
0 1
1 3
2 9
327
x g(x) 5 log
3
x
1 0
2 0,631
3 1
9 2
Característiques de y 53
x
:
D
y
5 R, R
y
5 R
1
, contínua, creixent, passa per (0, 1),
lim 0, lim
xx
yy
→ −∞ → +∞
= = +∞
Característiques de y = log
3
x:
D
y
5 R
1
, R
y
5 R, contínua, creixent, passa per (1, 0),
vtvt
tt
AB
()()=→
=→ =3273
2
h
Les dues funcions són creixents i contínues. A més són simètri-
ques respecte la bisectriu del primer quadrant ja que són inver-
ses una de l’altra.
2. Resol les equacions o sistemes següents:
a) log
5
x 5 23
5
–3
5 x → x 51/125
b) 3
x+1
5 150
x 1 1 5 log
3
150 → x 1 1 5 log 150/log
3
→ x 5 3,5609
c) 9
x
2 3
x+1
2 54 5 0
3
2x
2 3·3
x
2 54 5 0 → canvi t 5 3
x
, t
2
2 3t 2 54 5 0 →
→ t 5 9, t 526 (no té sentit) → x 52
d) 2
x
1 2
x+1
1 2
x+2
1 2
x+3
5 480
canvi t 52
x
, t 1 2t 1 4t 1 8t 5 480 → 15t 5 480 →
t 5 32 → x 5 5
e) 2 log x 5 log (3 2 x) 1 log 4
log x
2
5 log (12 2 4x) → x
2
4x212 5 0 → x 5 2,
x 5 26 (no té sentit)
f) log x 1 log (y 1 12)5 1
()log log 12 1
24
xy
xy
+ +=

−=
 2x 2 y 5 4
y 5 2x 2 4 → substituint a la primera equació
log x 1 log (2x 1 8) 51 → log (2x
2
1 8x) 5 log 10 →
2x
2
1 8x 2 10 5 0 → x 5 1, x 5 25 (no té sentit)→ y 522.
3. Si log
3 p 5 5 i log3 q 5 22, calcula els resultats de les ope-
racions següents aplicant les propietats dels logaritmes:
a) log
3 (p · q)
log
3
p 1 log
3
q 5 5 2 2 5 3
b) log
3
p
2
2 log
3
p 5 10
c) log
3
(p · q
3
)
log
3
p 1 3 log
3
q 5 5 2 6 5 21
p
5
d) log3 ——
q
5 log
3
p 2 log
3
q 5 25 1 2 5 27
4. La datació de restes arqueològiques es pot fer a partir de la
quantitat de carboni 14 (
14
C) que contenen. La quantitat re-
sidual de
14
C que trobem al fòssil segueix la llei exponencial:
q(t) 5 q
0
· 2
t

5700
on q0 és la quantitat inicial de
14
C que contenia el fòssil
quan era viu, q és la quantitat de
14
C que trobem al fòssil i
t el temps en anys.
a) Escriu la funció que es fa servir per datar restes arqueo-
lògiques, és a dir, la funció que s’utilitza per determinar
l’edat d’un fòssil en funció de la quantitat de
14
C que
conté en relació amb la d’un ésser viu.
5700
22
00 0
() () ()
2 log 5700·log
5700
t
qt qt t qt
t
qq q
−
 −
= → = → =− 
 
b) Quina és l’edat d’una mòmia si la quantitat de
14
C que
presenta és la meitat de la que tindria si la persona fos viva?
0
22
0
/2 1
5700·log 5700·log 5700·( 1) 5700
2
q
tt
q
 
=− = =− =− − = 


→
0
22
0
/2 1
5700·log 5700·log 5700·( 1) 5700
2
q
tt
q
 
=− = =− =− − = 

0
22
0
/2 1
5700·log 5700·log 5700·( 1) 5700
2
q
tt
q
 
=− = =− =− − = 

anys

156 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
j Unitat 12. Funcions
trigonomètriques
Activitats
1. Representa gràﬁcament la funció y  sin x en l’interval
[, ]. Elabora’n una taula de valors i dibuixa-la amb
detall.
Taula de valors:
x 0

—
2


—
2

sin x 0 1 0 1 0
2. Tenint en compte la gràﬁca de la funció sinus, dibuixa les
gràﬁques de les funcions següents:
a) y  sin x  2
Translació de la funció 2 unitats negatives.

b) y  sin

x  —
4

Translació de la variable x a x  —.
4

c) y  sin

x  —
 1
2

Translació de x,
— a la dreta i 1 cap amunt.
2
d)
Els valors de sin x es multipliquen per 3, per a cada x.
3. Representa gràﬁcament les funcions:
a) f(x)  sin 3x
2
Període ——
3

157MATEMÀTIQUES 1 la
b) f(x)  sin x
Període 2
c) f(x)  sin 4x

Període
—
2
d) f(x)  sin (2x)
Període 
4. Representa gràﬁcament la funció y  2 sin x. Indica’n el
recorregut i el pe ríode.
El recorregut és [2, 2] i el període és 2.
5. Dibuixa la gràﬁca de la funció y  cos x en l’interval [ 2, 2].
Elabora’n una taula de valors i pren com a model la gràﬁca del
text.
Taula de valors:
x2
3
——
2


—
2
0

—
2

3
——
2
2

cosx1 0 1 010 101
6. Representa gràﬁcament aquestes funcions:
a) y  cos x  1
Translació de la funció 1.

b) y  cos

x  —
4

Translació de x,
— a la dreta.
4

158 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
c) y  cos x  2
Translació de la funció 2.

d) y  cos

x  —
4

Translació de x,
— a l’esquerra.
4
7. Construeix la gràﬁca i indica el període de cadascuna
d’aquestes funcions:
a) f(x)  cos 4x

Període
—
2
La funció f(x)  cos 4x té de període:
2 
——  —
4 2
b) f(x)  cos x
Període 2
La funció f(x)  cos x té de període 2 ja que només és la
simètrica de cos x respecte de l’eix de les abscisses.
8. Determina el recorregut de les funcions:
a) f(x)  2 cos x
Recorregut: [2, 2]
b) f(x)  2 cos x
Recorregut: [2, 2]
c) f(x)  3 cos x
Recorregut: [3, 3]
d) f(x)  cos 3x
Recorregut: [1, 1]
9. Indica quins d’aquests angles no pertanyen al domini de la
funció f(x)  tg x:
7 32
——, ——, 324°, 32,
4 5
15
——, 900° i 990°
2
No pertanyen al domini de la funció els angles tals que el seu
 15
cosinus és 0. Són els múltiples imparells de
—. Són: —
i 990°.
2 2
10. Utilitza la calculadora per elaborar una taula de valors que
et permeti representar amb precisió la gràﬁca de la funció
 
f(x)  tg x en l’interval

—, —
.
2 2

159MATEMÀTIQUES 1 la
Taula:
x
 —
2

—
4
0

—
4

—
2
tg x 1 0 1
11. Aplica a la gràﬁca de l’exercici anterior una translació de
dues unitats en la direcció de l’eix d’ordenades i en el sentit
positiu d’aquest eix. Quina és l’expressió algèbrica de la
funció que correspon a aquesta gràﬁca?
L’expressió de la funció és: f(x)  tg x  2.
13
12. Determina els límits laterals de la funció y  tg x en x 
——.
2
13
x 
—— no és del domini de la funció.
2

13
1
x → ——
2
lim tg x  
13
2
x → ——
2
lim tg x  
13. Raona per què les funcions y  arc sin x i y  arc cos x tenen
el domini restringit a l’interval [1, 1].
Les funcions y  arc sinus x i y  arc cos x tenen el domini
restringit a [1, 1] perquè són les funcions respectivament inverses de y  sin x i y  cos x que tenen de recorregut [ 1, 1].
14. Considera la funció y  arc tg x. Indica l’interval en què els
valors que assoleix la funció són més grans que 1.
180 180
L’interval és:

——, 
, ja que arc tg ——  1.
 
15. Representa a la circumferència trigono mètrica l’angle que
2
mesura
—— rad. Dibuixa les sis raons trigonomètriques
3
d’aquest angle i mesura-les. Compara els resultats experi
mentals amb els que obtens amb la calculadora. En cas que
hi hagi diferències, justiﬁca-les.
2
L’angle —— és del segon quadrant. Els valors aproximats que es
3
poden obtenir en la circumferència de radi 1 són:
sin   0,8; cos   0,5; tg   1,7;
cotg   0,5;
sec   2; cosec   1,1
3
16. Considera un angle  tal que     —— i sin  0,6.
2
Determina’n les altres cinc raons trigonomètriques.
L’angle  és del tercer quadrant.
sin   0,6 →
→ cos   
√
1  (0,6)
2
 0,8
0,6 1 4
tg  
———  0,75; cotg   ——  —;
0,8 tg  3
1 5
sec  
———  —
0,8 4
1 5
cosec  
———  —
0,6 3
17. Explica les particularitats que observes en calcular la secant i la cosecant de cadascun d’aquests angles:

a)  
—
2

 
— → sin   1,
2
1
cos  0 → sec 
——— → No existeix
cos 
1
cosec  
———  1
sin 

160 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
3
b)   3 i  
——
2
  3 → sin   0,
1
cos   1 → sec   ———  1
cos 
1
cosec  
——— → No existeix
sin 
3
c) f 
——
2
3 3
 
—— → sin ——  1,
2 2
3 1
cos
——  0 → sec   —— →
2 cos 
→ No existeix
1
cosec  
———  1
sin 
3 
18. Si cotg   
— i  és un angle que ve riﬁca —    ,
4 2
calcula les altres cinc raons trigonomètriques.
 és un angle del segon quadrant.
3 4
cotg   
— → tg    —
4 3
4
tg
2
  1  sec
2
 → 
—
2
 1 
3
5
 sec
2
 → sec α   —
3
3
cos   
—;
5
3 4
sin   
√

1  
——
2
 —;
5 5
5
cosec  
—
4
1
19. Per què no és possible la igualtat sec  
—?
3
1
La igualtat sec   — implicaria cos   3,
3
cosa que no és possible.
20. Explica el motiu pel qual hi ha angles que no tenen cosecant.
No tenen cosecant els angles  tals que sin   0. Són tots els
angles de la forma:   k amb k un nombre enter.
3
21. Considera un angle  tal que ——    2 i tg   1.
2
Determina el valor de les altres raons trigonomètriques
d’aquest angle.
L’angle  és del quart quadrant.
tg   1. Això indica el següent:

√ 2 √ 2
sin   cos    ——; cos   ——
2 2
cotg   1; cosec   
√
2; sec   √ 2
22. Quins són els valors reals que no pot pren dre la funció
f(x)  cosec x? Per què?
f(x)  cosec x no està definida per a tots els valors que fan
sin x  0 → x  k, on k és qualsevol nombre enter.
23. Dibuixa un angle  tal que tg    2. Hi ha més d’un angle
més petit que 2 que veriﬁca aquesta condició? Raona la
resposta.
Hi ha un angle del segon quadrant i un del quart que verifiquen tg   2.
24. Indica tots els angles  compresos entre 0 i 2 que
compleixen cosec   1. Representa’ls gràﬁcament a la
circumferència unitat.
3
Si cosec   1 → sin   1. Només l’angle  
—— verifica
aquesta condició.
2
25. Identiﬁca tots els angles compresos entre 0 i 2 que no
tenen cotangent.
Els angles que no tenen cotangent són els que tenen els sinus igual
cos 
a 0 → cotg  
——— .
sin 
sin   0 →   0 i 
26. Expressa el domini de cadascuna de les funcions f (x)  cosec x ,
f(x)  sec x i f(x)  cotg x. Indica’n les discontinuïtats i
classiﬁca-les. Quin és el recorregut de cada funció?
Domini són tots els valors de la variable que permeten calcular
f(x).
1
f(x)  cosec x 
——— →
sin x
→ D
f
   {x  k, k   }

161MATEMÀTIQUES 1 la
En els punts que no són del domini, les discontinuïtats són
asimptòtiques.
1
f(x)  sec x  ——— →
cos x
(2k  1)
→ D
f
   {x  ————— , k   }

2
Les discontinuïtats són asimptòtiques.
En les dues funcions el recorregut és:
(, 1]  [1, )
cos x
f(x)  cotg x 
——— →
sin x
→ D
f
   {x  k, k   }
El recorregut és .
27. Veriﬁca la identitat:
1  cos  sin  2
—————  —————  ———
sin  1  cos  sin 
Desenvolupem el primer membre de la igualtat:
1  cos  sin 
—————  ————— 
sin  1  cos 
(1  cos )
2
 sin
2

 ——————————–– 
sin  (1  cos )
1  2 cos   cos
2
  sin
2

 ——————————————–– 
sin  (1  cos )
2 (1  cos ) 2
 ————————–  ———
sin  (1  cos ) sin 
En obtenir el segon nombre de la igualtat, queda comprovada la
identitat.
28. Comprova la identitat:
cos 2  2 cos
2
  1
cos 2  cos
2
  sin
2
 
 cos
2
  (1  cos
2
)  2 cos
2
  1
Desenvolupant el primer nombre s’obté el segon. Per tant, és una
identitat.
29. Resol aquestes equacions trigonomètriques:
Les solucions es donen en l’interval [0, 2 ].

a) sin

x  —
 1
2

sin

x  —
 1 →
2
 
→ x 
—  — → x  0
2 2
b) 2 cos
x  1  0
2 cos x  1  0 →
1 2
→ cos x 
—— ; x
1
 —— ,
2 3
4
però també hi ha un altre angle del tercer quadrant: x
2
 ——.
3
c) 2 sin
2
x  sin x  1
2 sin
2
x  sin x  1. Cal prendre una in cògnita auxiliar:
sin x  t → 2t
2
 t  1  0 →
1 
√
1  8
1
→ t  —————— 
1
4

—
2
Substituint els valors de t:

sin x  1 → x
1
 —
2
 11
——  ——  x
2
1 6 6
sin x  
— → x 
2 7
——  x
3
6
d) 2 sin x  tg x
sin x
2 sin x  tg x → 2 sin x 
—— →
cos x
sin x
→ 2 sin x  ———  0
cos x
1
sin x

2  ———
 0 →
cos x
sin x  0 → x  0 i p
→
→ x
1
 0, x
2
 
1 1
2  ———  0 → cos x  — →
cos x 2
 5
→ x
3
 —, x
4
 ——
3 3
e) 2 cos
2
x  cos 2x  1
2 cos
2
x  cos 2x  1
Substituïm cos 2x  cos
2
x  sin
2
x.
2 cos
2
x  cos
2
x  sin
2
x  1; com que 1  sin
2
x  cos
2
x,
la igualtat és una identitat.
f) cos x  sin 2x  (sin x  cos x)
2
cos x  sin 2x  (sin x  cos x)
2
cos x  2 sin x cos x 
 sin
2
x  2 sin x cos x  cos
2
x
cos x  1 → x  0

162 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
30. Les equacions trigonomètriques següents tenen solució
immediata. Expressa, en cada cas, totes les solucions.
a) tg x  
√
3
2 5
tg x  
√
3 → x
1
 ——, x
2
 ——
3 3
b) cotg x  1
3 7
cotg x  1 → x
1
 ——, x
2
 ——
4 4
c) sec x  2
sec x  2 →
1 7 11
→ sin x  
— → x
1
 ——, x
2
 ——
2 6 6
d) cosec x  2
cosec x  2 →
1  5
→ cos x 
— → x
1
 —, x
2
 ——
2 3 3
31. Comprova que les igualtats següents són identitats:
1 1
a) tg  
——  —————
tg  sin  cos 
1 sin  cos 
tg  
——  ———  ——— 
tg  cos  sin 
sin
2
  cos
2
 1
 ———————— 
——————
cos  sin  cos  sin 
 
b) sin   2 sin
— cos —
2 2
És la igualtat del sinus de l’angle doble,

ja que   2
—.
2
32. Representa gràﬁcament la funció f(x)  cotg x  2.
a) Quin és el seu domini?
D
f
   {x  k, k   }
b) Presenta discontinuïtats? Quines?
Les discontinuïtats en els punts que no són del domini són
asimptòtiques.

c) Passa pel punt

—, 0
?
2

No passa pel punt

—, 0
→
2
 
→ f

—
 cotg — 2  2  0
2 2
d) Quin és el seu període?
El període és .
33. Resol l’equació següent:
tg
2
x  3 tg x  2  0
Considera primer que la incògnita és tg x.
tg
2
x  3 tg x  2  0
Cal fer el canvi tg x  t:
t
2
 3t  2  0 →
3 
√
3
2
 8 2
→ t 
———————  2 1
tg x  2 → x
1
 arc tg 2  1,11 rad
 5
tg x  1 → x
2
 —; x
3
 ——.
4 4
Activitats finals
1. Deﬁneix la funció f(x)  cotg x. Indica’n el domini, el
recorregut i les característiques més importants. Dibuixa’n
la gràﬁca.
cos x
f(x)  cotg x  ———
sin x

163MATEMÀTIQUES 1 la
D
f
   {x  k, k   }. Contínua en tot el seu domini.
Presenta discontinuïtats asimptòtiques en els punts que no són
del domini. El període és .
2. Dibuixa la gràﬁca de les funcions següents. Per a cada
funció, especiﬁca’n el domini, el recorregut i el període.
a) y  3 sin x
y  3 sin x: D
y
 ; recorregut: [3, 3].
Període: 2.
b) y  3 cos x
y  3 cos x: D
y
 ; recorregut: [3, 3].
Període: 2.
c) y  tg x  2
y  tg x  2:
(2k  1)
D
y
   
x  ————— , k  
;
2
recorregut: . Període: .
d) y  cotg x  1
y  cotg x  1:
D
y
   {x  k, k   };
recorregut: . Període: .
3. Considera la funció f(x)  tg x. Troba els límits laterals
en els valors de x de l’interval [, ] en què la funció és
discontínua.
La funció f(x)  tg x presenta discontinuïtats asimptòtiques
 
en els punts x  
— i x  —.
2 2

1
x → 2—
2
lim f(x)  

2
x → 2—
2
lim f(x)  

1
x → —
2
lim f(x)  

2
x → —
2
lim f(x)  

4. El període de la funció f(x)  cos kx és
—. Calcula k.
2
El període de f(x)  cos x és 2; el període de f(x)  cos kx
serà:
2 2 
—— → —— 
— → k  4
k k 2
5. Se sap que cotg   2. A quins quadrants pot situar-se
l’angle ? Determina les restants raons trigonomètriques
de l’angle  per a cadascun dels possibles quadrants.
Si cotg   2,  pot ser del primer i del tercer quadrants.
1 sin 
tg  
—  ——— → cos   2 sin  →
2 cos 
→ sin
2
  (2 sin
2
)  1
1
sin
2
  —
5

164 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
En el primer quadrant:
1 2 1
sin   ——; cos   ——; tg  
—;
√
5 √ 5 2
√ 5
sec   ——; cosec   √ 5
2
En el tercer quadrant:
1 2 1
sin    ——; cos   ——; tg  
—;
√
5 √ 5 2
√ 5
sec    ——; cosec    √ 5
2
6. Deﬁneix la funció f(x)  arc cotg x com la funció inversa de
la funció f(x)  cotg x i indica’n el domini i el recorregut.
Dibuixa la gràﬁca de la primera funció a partir de la gràﬁca
de la segona tenint en compte que, pel fet de ser funcions
inverses, aquestes gràﬁques han de ser simètriques respecte
de les bisectrius del primer i tercer quadrants.
El domini de la funció és , que és el recorregut de la funció
f(x)  cotg x.
El recorregut és l’interval (0, ) que correspon al període de la
funció f(x)  cotg x.
7. Resol aquestes equacions trigonomètriques:
cos x  1, tg x 
√
3,
cotg x  1 i sec x  1
cos x  1 → x  
Si ampliem: x  (2k  1), k  .
 4
tg x 
√
3 → x
1
 — i x
2
 ——
3 3

Ampliant: x 
—  k, k  .
3
3 7
cotg x  1 → x
1
 —— i x
2
= ——
4 4
3
Ampliant: x  ——  k, k  .
4
sec x  1 → cos x  1 → x  0
Ampliant: x  2k, k  .
8. Esbrina si la igualtat
1  sin 2x  (sin x  cos x)
2
és una identitat o una equació.
1  sin 2x  1  2 sin x cos x
(cos x  sin x)
2

 cos
2
x  2 sin x cos x  sin
2
x 
 1  2 sin x cos x
És una identitat.
9. Aquestes igualtats, són identitats?
1  sin  cos 
a)
————  ————
cos  1  sin 
1  sin  cos 
—————  ————— →
cos  1  sin 
→ (1  sin )(1  sin ) 
 1  sin
2
  cos
2

És una identitat.
1  sec  1  cos 
b)
————  ————
1  sec  1  cos 
No és una identitat:
1 1

1  ———
: 
1  ———

cos  cos 
cos   1 1  cos 
 —————  —————
cos   1 1  cos 
cotg
2
  1
c)
—————  cotg 
1  tg 
No és una identitat:
cotg
2
  1 1
—————— 
——

1  tg  tg 
10. Comprova que aquestes igualtats són identitats:
cotg   cotg 
a) tg (  ) 
————————
cotg  cotg   1
sin (  )
tg (  )  —————— 
cos (  )

165MATEMÀTIQUES 1 la
sin  cos   cos  sin 
 ———————————— 
cos  cos   sin  sin 
sin  cos  cos  sin 
——————  ——————
sin  sin  sin  sin 
 ——————————————— 
cos  cos  sin  sin 
——————  ——————
sin  sin  sin  sin 
cotg   cotg 

—————————
cotg  cotg   1
1 1
b)
————  ————  2 sec
2

1  sin  1  sin 
1 1
————  ———— 
1  sin  1  sin 
1  sin   1  sin 

——————————– — 
1  sin
2

2

————  2 sec
2

cos
2

11. Resol les equacions trigonomètriques següents:
Les solucions es donen en l’interval [0, 2).
5
a) sin x  cos
2
x  —
4
5
sin x  cos
2
x  — →
4
5
→ sin x  1  sin
2
x  —
4
5
Fem sin x  t → t  1  t
2
 — →
4
→ 4t
2
 4t  1  0 →
4 
√
16  16 1
→ t  ———————— 
—
8 2
1  5
sin x 
— → x
1
 —, x
2
 ——
2 6 6
b) cos x  1  sin x
cos x  1  sin x. Les solucions són immediates, només
poden ser:
 3
cos x  0 → x
1
 —, x
2
 ——,
2 2
o sin x  0 → x
3
 0, x
4
 .
c) 2 sin
2
x  tg x  0
2 sin
2
x  tg x  0 →
sin x
→ 2 sin
2
x  ———  0 →
cos x
1
→ sin x

2 sin x  ——— 
 0
cos x
sin x  0 → x
1
 0, x
2
  i
1
2 sin x  ———  0 → 2 sin x cos x  1
cos x
2 sin x cos x  sin 2x  1 →
  
→ 2x 
— → x  — → x
3
 —
2 4 4
x
d) 6 cos
2
—  cos x  1
2
x 1  cos x
Cal substituir cos
2
—  ————— .
2 2
1  cos x
6
————  cos x  1 →
2
→ 3  3 cos x  cos x  1 →
→ 4 cos x  2
1 2 4
cos x  
— → x
1
 —— i x
2
 ——
2 3 3
1
e) sin x  cos x
 ——
√ 2
Cal canviar: cos x   √ 1  sin
2
x:
1
sin x  (
√
1  sin
2
x)  —— →
√ 2
1
→ 
√
1  sin
2
x  ——  sin x
√ 2
Elevem al quadrat:
1  sin
2
x 
1 2

—  —— sin x  sin
2
x →
2 √
2
2 1
→ 2 sin
2
x  —— sin x  —  0
√
2 2
Utilitzem el canvi:
2 1
sin x  t → 2t
2
 —— t  —  0
√
2 2
2

——  √
6
√ 2
t  ——————  sin x
4
Prenem valors aproximats:
sin x  0,966 →
→ x
1
 1,3 rad, x
2
 1,84 rad
sin x  0,26 →
→ x
3
 3,4 rad, x
4
 6,02 rad

166 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
cotg x  tg x
f)
——————  2
cotg x  tg x
cotg x  tg x
——————  2
cotg x  tg x
Multipliquem el numerador i el denominador de la fracció per
tg x  0.
1  tg
2
x
————  2 →
1  tg
2
x
→ 1  tg
2
x  2  2 tg
2
x →
1
→ 3 tg
2
x  1 → tg x  ——
√
3
 5 7 11
x
1
 —, x
2
 ——, x
3
 ——, x
4
 ——
6 6 6 6
3 sin x  cos y  2
g)
5
sin x  3 cos y  1
Resolem el sistema per reducció:

5
3 sin x  cos y  2
→
sin x  3 cos y  1
→
9 sin x  3 cos y  6
sin x  3 cos y  1

1
10 sin x  5 → sin x 
—
2
3 1
cos y  2 
—  —
2 2
 5
Els valors de x:
— i ——;
6 6
 5
els de y:
— i ——.
3 3
Combinant els valors de x i de y s’obtenen quatre solucions
diferents.

12. Si    
—, demostra que:
2
(sin   sin )(cos   cos ) 
 1  sin 2
Substituïm sin 2  2 sin  cos  i tenim en compte que si

   
— → sin   cos  i cos   sin :
2
(sin   cos )(cos   sin ) 
 (sin   cos )
2

 sin
2
  2 sin  cos   cos
2
 
 1  2 sin  cos   1  sin 2
13. Resol l’equació tg x  2 en l’interval [0, ].
tg x  2. En l’interval [0, ], només hi ha un angle del primer
quadrant que verifiqui la igualtat:
x  arc tg 2  1,107 rad
14. En un examen de matemàtiques es de manaven totes les
√
3
solucions de l’equació tg x  ——. Indica raonadament quina
3
d’aquestes respostes és la correcta:

a) x 
—  k, k  
6
 7
b) x 
—  k, k   i x  ——  k,
6 6
k  

√
3
Les solucions de l’equació tg x  —— només poden ser dos
3
angles, un del primer quadrant i un del tercer, menors de 2.
Per tant, totes les solucions ja estan expressades en l’apartat
a) que ja inclou les de l’apartat b).
15. Resol les equacions:

a) sin x  cos

x  —
3
Els únics angles que tenen el sinus igual al cosinus són els
angles complementaris en el primer quadrant i els corresponents
en el tercer.

sin x  cos

x  —
→
3
 
→ x  x 
—  — →
3 2
 
→ 2x 
— → x
1
 ——
6 12
13
El corresponent del tercer quadrant és x
2
= ——
12
b) cos
2
x  sin
2
x
cos
2
x  sin
2
x → cos
2
x  sin
2
x  0 →


—
2
→ cos 2x  0 → 2x 
3

——
2
 3
x
1
 —, x
2
 ——
4 4

167MATEMÀTIQUES 1 la
c) 6 cos
2
x  cos 2x  1
6 cos
2
x  cos 2x  1
Substituïm cos 2x:
6 cos
2
x  cos
2
x  sin
2
x  1 →
→ 7 cos
2
x  (1  cos
2
x)  1 →
→ 8 cos
2
x  2 →
1 1
→ cos
2
x  — → cos x   —
4 2
1  5
cos x 
— → x
1
 —, x
2
 ——;
2 3 3
1 2 4
cos x  
— → x
3
 ——, x
4
 ——
2 3 3
Avaluació
p
1. El període de la funció f(x) 5 sin kx és —. Calcula k.
2
El període d’aquest tipus de funció és
2
k
π
.
Aleshores,
2
44
2
kk
k
ππ
= → π= π→ = .
2. Donada la funció f(x) 5 tg x 1 1.
a) Determina quin és el seu domini?
Domini: R ()21 /
2
xk k
π
−= +∈

¡¢ , ()21/
2
xk k
π
−= + ∈

�� Z()21/
2
xk k
π
−= + ∈

�� .
b) Presenta discontinuïtats? Quines?
Discontinuïtats asimptòtiques a ()21 /
2
xk k
π
=+ ∈¢, ()21/
2
xk k
π
−= + ∈

�� Z.
c) Passa pel punt ,0
4
π


?
05tg0 101102
4
tg
π
= +→ =+→ ≠ . No passa pel punt ,0
4
π


.
d) Quin és el seu període?
Període: π.
3. Resol l’equació següent a l’interval [0,2p ]: sin x 5 1 2 cos x.
sin 1 cosxx=−
Ho elevem tot al quadrat:
()
22
22
22
2
sin1 cos
sin1 2coscos
1cos 12coscos
2cos2cos0
xx
xx x
xx x
xx
=− =− +
−=
−+
−=
Ara podem extreure factor comú:
()2coscos1 0xx −=
Les solucions són:
cos x  0
→ x
1


2
rad, x
2


2
rad
cos x  1  0
→ x

 1 → x
3
 0 rad, x
4
 2 rad
4. Comprova que la igualtat següent és una identitat:
cos (a2b) 2 cos (a1b)
———————————— 5 tg b.
sin (a1b ) 1 sin (a2b )
() ()
() ()
cosc os
sins in
tg
α−β− α+β
=β
α+β+ α−β

tg b.
Substituïm les fórmules trigonomètriques:
coscos sinsincoscos sinsin
tg
sinα ⋅ cosβ + sinβ ⋅ cosα + sinα ⋅ cosβ − sinβ ⋅ cosα
2sinsin
tg
2sincos
tgtg
α⋅β+α⋅β−α⋅β+α⋅β
=β
α⋅β
=β
α⋅β
β=β
5. Dibuixa a la circumferència trigonomètrica tots els angles
més petits de 2π que verifiquen cos α = –
1
2
. Calcula, en cada
cas, les altres cinc raons trigonomètriques d’aquests angles.
El valor cos α
1 2
correspon a dos angles del segon i ter-
cer quadrant, respectivament. Són els angles α
1
 120
o

2
3
i
α
2
 240
o

4
3
.
Les altres cinc raons trigonomètriques d’aquests angles les obtenim
aplicant la igualtat fonamental i les definicions corresponents:
sin α
1

√3
2
tg α
1
 
√3 cotg α
1

1
√3
sec α
1
 2 cosec
α
1

2
√3
sin α
2

√3
2
tg α
2

√3 cotg α
2

1
√3
sec α
2
 2 cosec
α
2

2
√3
j Unitat 13. Introducció
a les derivades
Activitats
1. La gràfica velocitat-temps corresponent a dos mòbils és la
que pots veure a la dreta (fig. 13.2).
a) Quina és la velocitat de cada mòbil a l’instant inicial,
quan t  0?
A l’instant inicial, v
1
 v
2
 0.

168 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
b) Com pots veure, la velocitat de cada mòbil augmenta a
mesura que passa el temps. En quin cas augmenta més de
pressa? Per què?
La velocitat del mòbil 2 augmenta més de pressa, ja que per
a qualsevol valor t . 0, es compleix v
2
. v
1
.
c) Quin dels dos mòbils haurà recorregut una distància més
gran després de 5 s d’haver començat el moviment?
El mòbil 2, ja que en tot moment t . 0 la seva velocitat és
més gran.
2. Quina és la velocitat mitjana del ciclista de l’exemple
anterior durant els 10 s?
120  0 120
v
m
[0,10]  ———  ——  12 m/s
10  0 10
3. A partir de la gràfica distància-temps següent (fig. 13.4),
calcula en km/h:
a) La velocitat mitjana del mòbil en cadascun dels intervals
de temps [0, 2], [2, 3,5] i [3,5, 4,5].
120  0 120
v
m
[0, 2]  — ———  ——  60 km/h
2  0 2
320  120 180
v
m
[2, 3,5]  —————  ——  120 km/h
3,5  2 1,5
387  300 87
v
m
[3,5, 4,5]  —————  ——  87 km/h
4,5  3,5 1
b) La velocitat mitjana del mòbil durant les 4,5 h que ha
durat el trajecte.
387 0
v
m
[0,4,5]  —————  86 km/h
4,5  0
4. La funció f(x)  x
3
1 2 sempre és creixent. Calcula’n la
variació mitjana a cadascun dels intervals següents:
[3, 1], [0, 2] i [5, 7].
En quin dels tres intervals té un creixement més ràpid?
f(1)  f(3) 1  (25) 26
Interval [3, 1]: ———————  —————  ——  13
1  (3) 1 1 3 2
f(2)  f(0) 10  2 8
Interval [0, 2]: ——————  ————  ——  4
2  0 2 2
f(7)  f(5) 345  127 218
Interval [5, 7]: ——————  ————  ——  109
7  5 2 2
La funció f(x)  x
3
1 2 té el creixement més ràpid en l’interval
[5, 7].
5. Demostra que la variació mitjana de la funció f(x)  3x 1 1
sempre és la mateixa, independentment de l’interval [x
1
, x
2
]
considerat.
f(x
2
)  f(x
1
) 3x
2
1 1  (3x
1
1 1) 3x
2
3x
1
——————  ——————————  ————— 
x
2
 x
1
x
2
 x
1
x
2
 x
1
3(x
2
 x
1
)
—————  3

x
2
 x
1
En qualsevol interval [x
1
, x
2
] la variació mitjana de la funció és 3.
6. Quant val la variació mitjana de la funció f(x)  5 en
qualsevol interval [x
1
, x
2
]?
Val zero, ja que es tracta d’una funció constant.
7. Calcula la variació mitjana de la funció f(x)  x
2
1 4
x
a l’interval [2,9, 3,1]. Creix o decreix aquesta funció al
voltant de x  3?
f(3,1)  f(2,9) 2,79  3,19 0,4
————————  ——————  ———  2
3,1  2,9 0,2 0,2
Fes-ne la representació gràfica i tot seguit comprova la teva
resposta.
Podem esperar que la funció f(x)  x
2
1 4x decreixi al voltant
de x  3. Ho comprovem a la gràfica de la funció.
8. Representa gràficament la funció d  40t  5t
2
corresponent
al moviment del cos de l’exemple anterior. Quant triga a
assolir l’altura màxima? Quin és el valor d’aquesta altura?
Quant triga a tornar al punt de llançament?
El cos que es considera:
– Triga 4 s a assolir l’altura màxima.
– El valor d’aquesta altura és 80 m.
– Triga 8 s a tornar altre cop al punt de llançament.
9. Calcula la velocitat d’aquest cos en els instants t  4 s i
t  8 s. Interpreta’n els resultats obtinguts.
f(t)  f(4) 40t  5t
2
 80
v(4)  lim ——————  lim ——————— 
t→4
t  4
t→4 t  4
5(t
2
8t 1 16) 5(t  4)
2
 lim ————————  lim ————— 

t→4 t  4
t→4 t  4

169MATEMÀTIQUES 1 la
 lim[5(t  4)]  0

t→4
t  4s → v(4)  0
f(t)  f(8) 40t  5t
2
 0
v(8)  lim ——————  lim ——————— 

x→8 t  8
t→8 t  8
5t(t  8)
 lim ——————  lim(5t)  40

x→8 t  8
t→8
t  8 s → v(8)  40 m/s
Per a t  4 s, el cos canvia el sentit del seu moviment. Passats
8 s, el cos torna a la posició de sortida. Fixa’t que hi arriba a la
mateixa velocitat amb què ha estat llançat, però movent-se en
sentit contrari. D’aquí el signe menys de v (8).
10. On es troba el cos en els instants t  3 s i t  5 s? Quina és
la seva velocitat en cadascun d’aquests instants?
t  3 s → d  f(3)  75 m.
t  5 s → d  f(5)  75 m.
t  3 s i t  5 s → el cos es troba a la mateixa posició: a 75 m
del punt de llançament.
f(t)  f(3) 40t  5t
2
 75
v(3)  lim ——————  lim ———————— 
t→3
t  3
t→3 t  3
5(t
2
 8t 1 15) 5(t  3)(t  5)
 lim ————————  lim ———————— 

t→3 t  3
t→3 t  3
 lim[5(t  5)]  5 · (2)  10 m/s

t→3
f(t)  f(5) 40t  5t
2
 75
v(5)  lim ——————  lim ———————— 

t→5 t  5
t→5 t  5
5(t  3)(t  5)
 lim ————————  lim[5(t  3)] 

t→5 t  5
t→5
 5 · 2  10 m/s
Naturalment, per a t  3 s, el cos està en trajectòria ascendent
(v . 0). En canvi, quant t  5 s, el cos ja està en trajectòria
descendent (v , 0). En ambdós instants, el mòdul de la
velocitat és el mateix: 10 m/s.
11. Sabem que la funció f(
x)  x
2
1 6x és decreixent al
voltant de x  4. Quantifica aquest decreixement a partir del
f(x)  f(4)
càlcul de lim —————— . Interpreta’n el resultat obtingut.

x→4 x  4
f(x)  f(4) x
2
1 6x  8
lim ——————  lim ——————— 
x→4
x  4
x→4 x  4
 (x  2)(x  4)
 lim ————————  lim(2  x)  2

x→4 x  4
x→4
Per a valors de x pròxims a 4, la funció f(x) disminueix de l’ordre
de dues vegades el que augmenta x.
12. Fes el mateix estudi de l’activitat anterior per a x  3.
Fixa’t en la gràfica de la funció i interpreta el valor que has
obtingut.
f(x)  f(3) x
2
1 6x  9
lim ——————  lim —————— 

x→3 x  3
x→3 x  3
(x  3)
2
 lim —————  lim(3  x)  0

x→3 x  3
x→3
Als voltants de x  3, la funció pràcticament no varia.
13. Representa gràficament la funció f(x)  2x 1 3. Calcula
f(2), f (0) i f (3). Interpreta’n els resultats.
f(2 1 h)  f(2)
f(2) lim —————————— 

h→0 h
 2(2 1 h) 1 3  7 4  2h 1 3  7
 lim ——————————  lim ——————— 

h→0 h
h→0 h
2h
 lim ——  lim  2  2
h→0
h
h→0
També es verifica: f (0)  f (3)  2.
La funció f(x)  2x 1 3 decreix sempre de la mateixa manera,
és a dir, presenta un decreixement uniforme. En general, f(x
0
)  2, x
0
∈R.
14. Donada la funció f(x)  ax 1 b, demostra que f (x
0
)  a,
independentment del valor x
0
considerat.
f (x
0
1 h)  f(x
0
)
f(x
0
)  lim ———————— 
h→0
h

170 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
a(x
0
1 h) 1 b  (ax
0
1 b)
 lim ————————————— 

h→0 h
ax
0
1 ah 1 b  ax
0
 b
 lim ———————————— 

h→0 h
ah
 lim ——  lim a  a

h→0 h
h→0
15. Calcula, si és possible:
a) f(8) si f(x) 
√
x 1 1
f(8

1 h)  f(8) √
8 1 h 1 1  3
f(8)  lim ————————  lim ———————— 

h→0 h
h→0 h

√
9 1 h  3 ( √ 9 1 h  3)(√ 9 1 h 1 3)
 lim ——————  lim ————————————— 

h→0 h
h→0 h ( √
9 1 h 1 3)
9

1 h  9 h
 lim ————————  lim ———————— 
h→0
h (√
9 1 h 1 3)
h→0 h (√ 9 1 h 1 3)
1 1
 lim ——————  —

h→0 √
9 1 h 1 3 6
1
b) f

—2
si f(x)  4  x
2
2
1 1
f

— 1 h2
 f 
—2
1 2 2
f

—2
 lim —————————— 
2
h→0 h
1 1
4 

— 1 h2
2
 
4  — 2
2 4
 lim ———————————— 
h→0
h
1 1
4  — 2 h 2 h
2
2 4 1 —
4 4 h(212 h)
 lim —————————————  lim —————— 
h→0 h
h→0 h
 lim (212h)  21

h→0
1
c) f(0) si f(x)  —
x
No existeix f (0), ja que x  0 no pertany al domini de la funció
1
f(x)  — → no existeix f(0).
x
16. Representa gràficament la funció f(x)  x
2
 2x 1 4
i indica’n, a partir de la gràfica, els intervals de creixement i
decreixement. Comprova que f (1)  0.
Decreixent: (∞, 1)
Creixent: (1, 1∞)
f(1 1 h)  f(1)
f(1)  lim ———————— 

h→0 h
(1 1 h)
2
 2(1 1 h) 1 4  3
 lim —————————————— 

h→0 h
1 1 2h 1 h
2
 2  2h 1 4  3
 lim ———————————————— 

h→0 h
h
2
 lim —  lim h  0

h→0 h
h→0
17. Sense fer-ne la representació gràfica, indica si la funció f(x)
 (2  x)
2
és creixent o decreixent en x  6. Fes el mateix
estudi en x  1.
f(6 1 h)  f(6)
f(6)  lim ——–––––––––––— 
h → 0
h
4  4(6 1 h) 1 (6 1 h)
2
 16
 lim —–––––––––––––––––––––––––––––—— 

h→0 h
4  24  4h 1 36 1 12h 1 h
2
 16
 lim —––––––––––––––––––––––––––––––––––—— 
h→0
h
h
2
1 8h h(h 1 8)
 lim ——–––—  lim ——–––——  lim(h 1 8)  8

h→0 h
h→0 h
h→0
→ f(6) . 0 → creixent en x  6.
f(1 1 h)  f(1)
f(1)  lim —–––––––––––––––—— 

h→0 h
4  4(1 1 h) 1 (1 1 h)
2
 9
 lim —––––––––––––––––––––––––––––––––—— 

h→0 h
4 1 4  4h 1 1 2h 1 h
2
 9 h
2
 6h
 lim —––––––––––––––––––––––––––———  lim ———–— 

h→0 h
h→0 h
h(h  6)
 lim —–––––—
 lim(h  6)  6 → f (1) , 0

h→0 h
h→0
→ decreixent en x  1.
18. Com ha de ser una funció perquè la derivada sigui nul·la en tots i cadascun dels punts del seu domini? Per què?
La funció ha de ser constant, f(x)  K, K∈R. És així perquè si
una funció és constant, la seva variació és zero per a qualsevol valor de x ∈ D
f
 R.
19. Calcula si és possible:
a) f(4) si f(x) 
√
x
No és possible, ja que no existeix
f(4) : f(4) 
√
4 ∈ R
2
b) f(1) si f(x)  —
x
2
–––––––  2
f(1 1 h)  f(1) 1 1 h
f(1)  lim ——–––––––––––––—  lim ——––––––— 

h→0 h
h→0 h
2  2  2h
—–––––––––—
1 1 h 2h 2
 lim —–––––––––—  lim —––––––—  lim —––—  2

h→0 h
h→0 h(1 1 h)
h→0 1 1 h

171MATEMÀTIQUES 1 la
c) f(0) si f(x)  2x
2
1 1
f(0 1 h)  f(0) f(h)  f(0)
f(0)  lim ——–––––––––––—  lim ——––––––––— 

h→0 h
h→0 h
2h
2
1 1  1 2h
2
 lim —–––––––——  lim ––––––  lim 2h  2 · 0  0

h→0 h
h→0 h
h→0
d) f(2) si f(x)  10x 1 3
f(2 1 h)  f(2)
f(2)  lim —–––––––––––—––––— 

h→0 h
10(2 1 h) 1 3  (17)
 lim ——––––––––––––––––––––––— 

h→0 h
20 1 10h 1 3 1 17
 lim —–––––––––––––––––—— 

h→0 h
10h
 lim ––––  lim 10  10

h→0 h
h→0
20. Calcula la funció derivada de cadascuna de les funcions
següents:
a) f(x)  x 1 7
(x 1 h) 1 7  (x 1 7)
f(x)  lim —––––––––––––––––––––––––—— 

h→0 h
 x  h 1 7 1 x  7 h
 lim ——–––––––––––––––––—  lim ––––  lim 1  1

h→0 h
h→0 h
h→0
b) f(x)  1  2x
2
1  2(x 1 h)
2
 (1  2 x
2
)
f(x)  lim —–––––––––––––––––––––––––—— 

h→0 h
1  2(x
2
1 2xh 1 h
2
)  1 1 2 x
2
 lim —––––––––––––––––––––––––––––––—— 

h→0
h
1  2
x
2
 4xh  2h
2
 1 1 2 x
2
 lim —––––––––––––––––––––––––––––––—— 

h→0
h
2h (2x 1 h)
 lim ——–––––––—  lim 2(2x 1 h)  4 x

h→0
h
h→0
1
c) f(x)  —, x ≠ 0
x
1 1 x  x  h
–––––––  — ––––––––––––
x 1 h x (x 1 h) · x
f(x)  lim ——––––––––––—  lim —–––––––—— 

h→0 h
h→0 h
h 1 1
 lim —––––––––—  lim —–––––—   ––––

h→0 h(x 1 h)x
h→0 x(x 1 h) x
2
1
d) f(x)  —, x ≠ 0
x
2
1 1 x
2
 (x 1 h)
2
–––––––––  ––– —–––––––––––—
(x 1 h)
2
x
2
x
2
(x 1 h)
2
f(x)  lim —–––––––––——  lim ——––––––-––— 

h→0 h
h→0 h
x
2
 x
2
 2xh  h
2
h(2x 1 h)
 lim ——––––––––––––––—  lim —––––––––—— 

h→0 hx
2
(x 1 h)
2

h→0 hx
2
(x 1 h)
2
(2x 1 h) 2x 2
 lim —––––––—   ––––   –––––

h→0
x
2
(x 1 h)
2
x
4
x
3
e) f(x)  √
x, x . 0

√
x 1 h  √ x
f(x)  lim ——––––––––––— 

h→0 h
(
√
x 1 h  √ x )(√ x 1 h 1 √ x )
 lim ———–––––––––––––––––––––––––— 

h→0 h(√
x 1 h 1 √ x )
x 1 h  x h
 lim —–––––––––––——  lim ——––––––––––––— 

h→0 h(√
x 1 h 1 √ x )
h→0 h(√ x 1 h 1 √ x )
1 1
 lim —–––––––––––——  —–––—

h→0
√
x 1 h 1 √ x

2√ x
f) f(x)  3
3  3 0
f(x)  lim ––––––––  lim —  0

h→0 h
h→0 h
g) f(x)  3x
2
1 2x  1
3(x 1 h)
2
1 2(x 1 h)  1  (3x
2
1 2x  1)
f(x)  lim ————––––––––––––––––––––––––––––––——— 

h→0 h
3x
2
1 6xh 1 h
2
1 2x 1 2h  1  3x
2
 2x 1 1
 lim ————––––––––––––––––––––––––––––––––––———— 

h→0 h
h(h 1 6x 1 2)
 lim ——–––––––––—  lim(h 1 6x 1 2)  6x 1 2

h→0 h
h→0
h) f(x)  p
π  π 0
f(x)  lim ––––––––  lim —  0

h→0 h
h→0 h
21. Sense fer-ne la representació gràfica, determina els intervals
de creixement i decreixement de la funció
f(x)  2 x
2
1 6x  8. Quant val f (3)?
(x 1 h)
2
1 6(x 1 h)  8  (x
2
1 6x  8)
f(x)  lim ——–––––––––––––––––––––––––––––––—————— 

h→0 h
x
2
 2xh  h
2
1 6x 1 6h  8 1 x
2
 6x 1 8
 lim ———–––––––––––––––––––––––––––––––––––———— 

h→0 h
h
2
 2xh 1 6h h(h  2x 1 6)
 lim ——––––––––––——  lim ——––––––––––––— 

h→0 h
h→0 h
 lim (h  2x 1 6)   2
x 1 6

h→0
f(x) . 0 →  2x 1 6 . 0 →  2x . 6 → 2x , 6 → x , 3
(∞, 3) funció creixent
f(x) , 0 →  2x 1 6 , 0 →  2x , 6 → 2x . 6 →
(3, 1∞) funció decreixent
f(3)  2 · 3 1 6  0

172 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
22. Donada la funció f (x)  6  x
2
, calcula f (2) i f(4). Indica si
la funció és creixent o decreixent en x  2 i en x  4.
6  (x 1 h)
2
 (6  x
2
)
f(x)  lim —–––––––––––––––———— 

h→0 h
6  x
2
 2xh  h
2
 6 1 x
2
h(2x  h)
 lim ——–––––––––––––––––––––——  lim —–––––––—— 

h→0 h
h→0 h
 lim (2x  h)  2x

h→0
f(2)  2 · ( 2)  4 . 0 →
la funció és creixent en x  2
f(4)  2 · 4  8 , 0 →
la funció és decreixent en x  4
23. Donada la funció f(x)  x
4
, calcula f(x) de dues maneres
diferents:
a) Aplicant la definició de funció derivada.
(x 1 h)
4
 x
4
f(x)  lim —–––––––——— 

h→0 x
x
4
1 4x
3
h 1 6x
2
h
2
1 4xh
3
1 h
4
 x
4
 lim ———–––––—––——––––––––––––––—— 

h→0 h
h(4x
3
1 6x
2
h 1 4xh
2
1 h
3
)
 lim ———––––––––––––––––––—— 

h→0 h
 lim (4x
3
1 6x
2
h 1 4xh
2
1 h
3
)  4x
3

h→0
b) A partir de la segona regla que acabem de veure.
f(x)  4x
3
24. Calcula la funció derivada de cadascuna de les funcions
següents:
1
a) f(x)  —
x
4
4
f(x)   4x
5
  —
x
5
b) f(x)  x
7
f(x)  7x
6
1
c) f(
x)  ––––

√
x
1 1 1
f(x)   — x
3/2
  —––—   —––—
2 2
√
x
3
2x √ x
d) f(x) 
3
√
x
2
2 2
f(x)  — · x
1/3
 ––––––
3 3
3
√
x
e) f(x) 
5
√
2
f(x)  0
1
f) f(x)  —
x
6
6
f(x)  6x
7
  —
x
7
25. Donada la funció f(x)  x
3
, calcula f (1) i f (1). Indica si
la funció és creixent o decreixent en aquests dos punts, i en
cas que hi presenti el mateix tipus de variació, digues on és
més ràpida aquesta variació.
(x 1 h)
3
 x
3
f(x)  lim —–—––––—— 

h→0 h
x
3
1 3x
2
h 1 3xh
2
1 h
3
 x
3
 lim ———–––––––––––––––––——— 

h→0 h
h(3x
2
1 3xh 1 h
2
)
 lim ——––––––––––——  lim (3x
2
1 3xh 1 h
2
)  3x
2

h→0 h
h→0
f(1)  3 · 1
2
 3; f (1)  3 · ( 1)
2
 3
f(1)  f(1)  3 . 0 → la funció és creixent en x  1 i en
ambdós punts creix amb la mateixa rapidesa.
26. Pot decréixer en algun punt la funció de l’exercici anterior?
Per què?
No, perquè f (x)  3x
2
$ 0 per a qualsevol x ∈R
27. Considera la funció:
f(x) 
3
√
x. Calcula f(1) i f (8). Interpreta’n els resultats
obtinguts.
1 1
f(x)  — x
2/3
 ––––––––
3 3
3
√
x
2
1 1 1 1
f(1)  –––––––  ––– ; f(8)  ––––––––  ––––
3
3
√
1 3 3
3
√ 64 12
f(1) . 0 i f (8) . 0 → la funció és creixent en x  1 i també
en x  8.
f(1) . f(8) → la funció creix amb més rapidesa prop de x  1
que prop de x  8.
28. Calcula la funció derivada de cadascuna de les funcions següents:
a) f(x)  3x
3
 5x
2
1 7
f(x)  9x
2
 10x
1
b) f(x)  x 1 — 3
x
1
f(x)  1  —
x
2

173MATEMÀTIQUES 1 la
x
4
3x
2
c) f(x)  ––  ––––
5 7
4 6
f(x)  — x
3
 — x
5 7
d) f(x)  √
10 1 √ x
1
f(x)  ––––––
2√ x
e) f(x)  (2x 1 3)
2
f(x)  8x 1 12
1 2
f) f(x) 
— 1 — 1 7
x
3
x
3 2
f(x)  —–  –––
x
4
x
2
29. Indica per a quins valors de x s’anul·la la derivada de la
funció f(x)  x
3
 5x
2
1 3x 1 4.
f(x)  3x
2
 10x 1 3
1
f(x)  0 → 3x
2
 10x 1 3  0 → x  3 i x  —
3
30. Determina els intervals de creixement i decreixement de la
funció f(x)  x
2
1 4x  7.
f(x)  2x 1 4
f(x) , 0 → 2x 1

4 , 0 → x , 2
f(x) . 0 → x . 2
(∞, 2) funció decreixent
(2, 1∞) funció creixent
31. Demostra que la derivada de la funció polinòmica de segon
grau f(x)  ax
2
1 bx 1 c s’anul·la per al valor de x correspo-
nent al vèrtex de la paràbola que en resulta de representar-
la gràficament.
f(x)  2ax 1 b
b
f(x)  0 → 2ax 1 b  0 → 2ax  b → x =  –––
2a
32. La distància d’un mòbil a un punt de referència ve donada
per l’expressió d  f(t)  10 1 12t 1 t
2
, d en metres i t en
segons.
a) Determina l’expressió de la funció que permet calcular la
velocitat del mòbil en qualsevol instant.
v  f(t)  12 1 2t m/s.
b) Indica raonadament si en algun moment aquest mòbil
canvia el sentit del seu moviment.
El mòbil no canvia el sentit del moviment, ja que v (t) ≠ 0 per a
t > 0 → la velocitat d’aquest mòbil no s’anul·la per a t $ 0.
33. Troba l’equació d’una funció f(x) que tingui per derivada
la funció f (x) representada en la gràfica (fig. 13.12). Pots
trobar-ne més d’una? Per què?
Compleixen la condició que s’estableix a l’enunciat totes les
funcions del tipus f(x)  x 1 K, amb K∈R.
Activitats finals
1. Aplicant la definició, calcula la derivada de cadascuna de les funcions següents en x  3:
a) f(x)  x
2
1 1
(3 1 h)
2
1 1  (8)
f(3)  lim —-––––––––––––––––––––––— 

h→0 h
9 1 6h  h
2
1 1 1 8 h(6  h)
 lim ——–––––––––––––––––––––—  lim —–––—— 

h→0 h
h→0 h
 lim(6  h)  6

h→0
b) f(x)  √
1  x
√ 1  (3 1 h)  2 √ 4  h  2
f(3)  lim ——––––––––––––––––—  lim ——–––––––— 

h→ 0 h
h→0 h
(√
4  h  2)(√ 4  h 1 2) 4  h  4
 lim ———––––––––––––––––––——  lim —––––––––––—— 

h→ 0 h(√
4  h 1 2)
h→ 0 h(√ 4  h 1 2)
h 1 1
 lim ————–––––—  lim ——–––––––—  ––––

h→ 0 h(√
4  h 1 2)
h→ 0 √ 4  h 1 2 4
1
c) f(x)  —
x
1 1 3  3 1 h
––––––––– 1 –––– ——–––––—
3 1 h 3 3(3 1 h)
f(3)  lim ––––––––––––––––  lim ––––––––––––– 

h→0 h
h→0 h
h 1 1
 lim ——––––––—  lim —–––––——   —

h→0
3h(3 1 h)
h→0
3(3 1 h) 9
1
2. Donada la funció f(x )  —––—, és possible calcular f (2)?
Per què?
x  2
No, perquè x  2 ∉ D
f
3. Sense fer-ne la representació gràfica, indica si la funció f(x)  (x  4)
2
és creixent o decreixent en x  3,5.
f(x)  (x  4)
2
 x
2
 8x 1 16 → f (x)  2x  8
f(3,5)  2 · 3,5  8  7  8  1
f(3,5) , 0 → la funció és decreixent en x  3,5

174 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
4. En la gràfica (fig. 13.15) hem representat la funció f (x),
derivada d’una certa funció f(x). Quina és l’expressió
algèbrica de f (x)? I la de f(x)? Pots trobar-ne més d’una?
f(x)  2x → f(x)  x
2
1 C, amb C ∈R
Per tant hi ha infinites funcions, la funció derivada de les quals
és f(x)  2x.
5. Compara la rapidesa del creixement de la funció
f(x)  x
3
1 2x en els punts d’abscisses x  2 i x  2.
f(x)  x
3
1 2x → f (x)  3x
2
1 2
f(2)  3 · (2)
2
1 2  14 . 0
f(2)  3 · 2
2
1 2  14 . 0
Com que f (2)  f(2), la funció creix amb la mateixa rapidesa
en x  2 que en x  2.
6. Aplicant la definició, calcula la funció derivada de:
a) f(x)  x
3
1 3
(x 1 h)
3
1 3  (x
3
1 3)
f(x)  lim —––––––––––––––––––——— 

h→0 h
x
3
1 3x
2
h 1 3xh
2
1 h
3
1 3  x
3
 3
 lim ————–––––––––––––––––––––––––––—— 

h→0 h
h(3x
2
1 3xh 1 h
2
)
 lim ——–––––––––––——  lim (3x
2
1 3xh 1 h
2
)  3x
2

h→0 h
h→0
b) f(x)  x 1 3x
2
x 1 h 1 3(x 1 h)
2
 (x 1 3x
2
)
f(x)  lim ——––––––––––––––––––––––––——— 

h→0 h
x 1 h 1 3x
2
1 6xh 1 3h
2
 x  3x
2
 lim ————––––––––––––––––––––––––——— 

h→0 h
h(1
1 6x 1 3h)
 lim ———–––––––––—  lim(1 1 6x 1 3h)  1 1 6x

h→0 h
h→0
c) f(x)  5√
x
5√ x 1 h  5√ x
f(x)  lim ——–––––––––—— 

h→0 h
5(√
x 1 h  √ x )(√ x 1 h 1 √ x )
 lim ————–––––––––––––––––——— 

h→0
h(√
x 1 h 1 √ x )
5(x 1 h  x) 5h
 lim ———–––––––––—  lim ——––––—–––––— 

h→0
h(√
x 1 h 1 √ x )
h→0
h(√ x 1 h 1 √ x )
5 5
 lim ——––––––––––—  —––—

h→0
√
x 1 h 1 √ x 2√ x
7. Indica raonadament el signe de la funció f (x) corresponent
a la funció f(x) representada en la gràfica de la figura 13.16,
en cadascun dels intervals següents:
(∞, 1) (1, 1) (1, 1∞)
x ∈ (∞, 1) → la funció és creixent → f (x) . 0
x ∈ (1, 1) → la funció és decreixent → f (x) , 0
x ∈ (1, 1∞) → la funció és creixent → f (x) . 0
8. Indica els intervals de creixement i decreixement de la fun
ció f(x)  3x 1 5. Verifica la teva resposta fent-ne la
representació gràfica.
f(x)  3x 1 5 → f (x)  3
f(x) , 0 per a qualsevol x∈R → la funció és decreixent en tot
el seu domini.
9. Calcula la funció derivada de cadascuna de les funcions
següents:
a) f(x)  2x
4
 3x
2
1 1
f(x)  8x
3
 6x
b) f(x)  √
x
3
1
3
√ x
2
3 2 3 2
f(x)  — x
1/2
1 ––––– x
1/3
 — √
x 1 ––––
2 3 2
3
√
x
2
c) f(x)  1  —
x
2
4
f(x)  2 · (2)x
3
 –––
x
3
d) f(x)  3(x
2
1 7x  12)
f(x)  6x 1 21
e) f(x)  √
5x
√ 5
f(x)  —–—
2√ x
f) f(x)  (2  6x)
2
f(x)  24 1 72x
10. Per a un determinat mòbil, la distància d en metres a un punt de referència en funció del temps t en segons ve donada per l’expressió:
d  f(t)  10t  2t
2

175MATEMÀTIQUES 1 la
a) Troba l’expressió algèbrica que et permeti calcular la
velocitat d’aquest mòbil en qualsevol instant.
v  f(t)  10  4t, en m/s
b) Indica a quina distància del punt de referència es troba
quan canvia el sentit del moviment.
v  0 → 10  4t  0 → t  2,5 s
d  f(2,5)  10 · 2,5  2 · 2,5
2
 12,5 m.
c) Interpreta físicament el signe de la velocitat per a
t . 2,5 s.
t . 2,5 s → v , 0 → el mòbil es mou en sentit negatiu cada
cop més de pressa.
11. A conseqüència de la dilatació, la longitud L d’una barra
metàl·lica augmenta amb la temperatura T d’acord amb
l’expressió:
L  8(1 1 10
4
· T), on L s’expressa en centímetres i T, en
graus centígrads.
a) Quina és la longitud de la barra a 0 ºC? I a 100 ºC?
L (0 ºC)  8 cm; L (100 ºC)  8,08 cm
b) Quan augmenta més bruscament la longitud d’aquesta
barra, si T  50 ºC o si T  80 ºC? Per què?
L (T)  8 1 8 · 10
4
T → L (T)  8 · 10
4
cm/ºC
Com que L (T) no depèn de la temperatura, la longitud de la
barra augmenta amb la mateixa rapidesa independenment de
la temperatura.
12. Representa gràficament les funcions f(x)  2x 1 3 i
g(x)  2x  3. Què obtens?
Quina de les dues funcions creix més de pressa al voltant
de x  0? I al voltant de x  10? Procura respondre les
dues últimes qüestions sense fer cap càlcul i argumenta’n la
resposta.
S’obtenen dues rectes paral·leles.
Es compleix que f(x)  g(x)  2 → la funció f i la funció g
creixen amb la mateixa rapidesa, independenment del valor de la variable x.
13. Calcula la funció derivada de cadascuna de les funcions se-
güents:
a) f(x) 

3x
2
 5x + 3x + 7
f’(x)  6x  5
b) f’(x)  x +
1
x
2
f’(x) 
2
x
3
c) f(x) 
x
2
5

3x
2
8
f’(x) 
x
3
5


3x

4
d) f(x)  (2x + 3)
2
f’(x)  8x + 12
e) f(x) 
√10 + √x + √
f’(x) 
1
2
1
2
1
2
x
−
=

√x
f) f(x)  
5
x
2
+ 7
f’(x) 
3
x
3
14. Demostra que la derivada de la funció f(x)  ax
2
+ bx + c
s’anul·la per al valor de x que correspon al vèrtex de la parà-
bola que resulta de la seva representació gràfica.
La derivada és: f’(x)  2ax + b, que s’anul·la per a x =
b
2a
, que és
l’abscissa del vèrtex de la paràbola.
15. Donada la funció
f(x)−
x
2
+1si x<0
2x si x≥0






calcula f’( 2)
i f’(0).
Cada derivada es calcula en l’expressió que correspon al domini
del valor de la variable: f’(2) = 4 i f’(0) = 2.
16. Troba els valors que anul ·len la derivada de la funció f(x) 
3x
5
 5x
3
+ 7. Quin és el valor de f’(0)?
f’(x)  15x
4
 15x
2
→ 15x
4

15
x
2
0 → 15x
2
(x
2
1)  0. Les
solucions són: 0, 1 i 1. Aquests són els valors que anul·len la
derivada.
f’(0) = 0
17. Considera la funció f(x)  x
2
 4x + 4 i, a partir de la seva
derivada, determina els intervals en els quals la funció és
creixent i els intervals en què és decreixent. Raona el com-
portament de la funció en l’entorn de x  2.
f’(x)  2x  4 → 2x



4  0 → x  2. Per a aquests valors la
funció és creixent.
La funció és decreixent per a 2x



4  0 → x  2.
Per a x  2 → (2)  0. Abans del 2, la funció és decreixent; i
després del 2, és creixent.

176 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
18. Donada la funció f(x)  x
5
+ 1, calcula f’(1) i f’(2). Indica si la
funció és creixent en aquests punts i en quin dels dos el creixe-
ment és més ràpid. Pot decréixer en algun punt aquesta funció?
f’(x)  5x
4
→ f’(1)  5 i f’(2)  80. La funció és creixent en els
dos punts, la derivada és positiva, i creix més ràpidament en el
punt x  2.
La funció no és decreixent en cap punt, ja que l’expressió de la
derivada dóna positiu per a qualsevol valor de x.
Avaluació
1. Donada la funció: f(x) 5 3x
2
1 5,
a) Calcula la variació mitjana de f(x) en l’interval [2, 5].
b) Calcula, aplicant la definició de derivada, la derivada de
f(x) en x 5 1.
a) interval
(5)(2)801763
[2, 5]: 21
52 52 3
f f− −
= ==
− −
b)
0
()lim
h
f’x
h
→
==
3(x + h)
2
+ 5 − (3x
2
+ 5)
2
00
63
lim lim (6x + 3h) = 6x
hh
xhh
h
→→
+
==
b) f (1)
'(1) 6 1 6f=⋅=
2. Calcula, aplicant les regles de derivació, les derivades de les
següents funcions, simplificant al màxim:
a) f(x)  x
4


2x
3


3x 

7
f(x)  4x
3
 6x
2
 3
b) f(x) 
5
√
x
3
f
32
1
55
52
33 3
'( )
55 5
fx x x
x
−−
= ==
c) f(x) 
3
x
2

1
x
f
32
32
61
'( ) 6fx x x
xx
−− −
=− − = −
d) f(x) 
√ x
x
4

f
1
2
8
8 8
1
1
2
'( )
2
2
xx x
fx
x
x
x
xx
x xx
−
⋅ −⋅
==
−
==
⋅
1 2
8
8 8
1
1
2
'( )
2
2
xx x
fx
x
x
x
xx
x xx
−
⋅ −⋅
==
−
==
⋅
3. Donada la funció f(x) 5 5x 2 2x
3
, indica raonadament si és
creixent o decreixent en els punts x 5 0 i x 5 3.
f′(x) = 5 − 6x
2
f′(0) = 5 > 0 → la funció és creixent en aquest punt.
f′(3) = 5 − 6 ⋅ 3
2
> 0 → la funció és decreixent en aquest punt.
4. Comencem a observar dos mòbils A i B que tenen trajectòries
que segueixen, respectivament, les equacions següents:
A: s(t) 5 t
3
i B: e(t) 5 27t
on s i e són les distàncies recorregudes en km des del moment
en què comencem a observar i t és el temps transcorregut en
hores.
a) Calcula les funcions velocitat de cadascun dels dos mòbils.
v
A
(t) = s′(t) = 3t
2
v
B
(t) = e′(t) = 27
mesurades en km/h
b) Calcula la velocitat inicial de cadascun dels dos mòbils.
v
A
(0) = s′(0) = 0
v
B
(0) = e′(0) = 27 km/h
c) En un cert instant de temps, els dos mòbils tenen la
mateixa velocitat. Calcula aquest instant de temps.
2
() ()
3 27 3 h
AB
vt vt
tt
=→
= →=
2
() ()
3 27 3 h
AB
vt vt
tt
=→
= →=
d) Calcula els km que han recorregut cadascun d’ells des
que comencem a observar fins al moment en què tenen la
mateixa velocitat.
3
(3) 3 27 km
(3) 27 3 81 km
s
e
==
= ⋅=

177MATEMÀTIQUES 1 la
j Unitat 14. Distribucions
bidimensionals
Activitats
1. En una població de 25 famílies s’ha estudiat la variable X:
«nombre de cotxes que té la família», i s’han obtingut les
dades següents:
0, 1, 2, 3, 1, 0, 1, 1, 1, 2, 3, 2, 2, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 2, 1
Construeix la taula de freqüències i de per centatges cor
responent.
x
i
n
i
N
i
f
i
F
i
p
i
P
i
02 20,080,08 8% 8%
112140,480,56 48% 56%
2 8 220,320,88 32% 88%
3 3 250,121,00 12%100%
25 1,00 100%
2. La taula 14.2, que apareix incompleta, representa les qua
liﬁcacions obtingudes per 80 alumnes de primer de batxille
rat d’un institut.
Qualificació
Freqüència
absoluta
Freqüència
relativa
Suspens
Aprovat
Notable
Excel
.
lent
—
20
16
—
0,375
— —
—
a) Completa la taula amb les freqüències absolutes i relati
ves que falten.
b) Elabora la taula de freqüències i de percentatges cor
responent.
a) i b)
x
i
n
i
f
i
p
i
N
i
F
i
P
i
S300,375 37,5%300,37537,5%
A200,25 25%500,625 62,5%
N160,2 20%660,825 82,5%
E140,175 17,5%801 100%
801 100%
x
i
3. Troba la mitjana, la variància i la desviació típica de les
variables X i Y de la taula 14.6.
Nombre d’hores
veient
la televisió
Nombre
d’hores
dormint
Nombre
de persones
4
3
3
2
1
6 7 8
9
10
3
16
20
10
1

5

i1
x
i
n
i
141

x  ———  ———  2,82 h
n 50

5

i1
x
2
i
n
i

413

x
2
 ———— 

x
2
 ——  7,9524 
n 50
 0,3076 h
2

5

i1
x
2
i
n
i

x

———— 

x
2

n

√
0,3076  0,55462 h

5

i1
y
i
n
i

390

y  ————  ——  7,8 h
n 50

5

i1
y
2
i
n
i

3 082

y
2
 ————— 

y
2
 ———  60,84  0,8 h
2
n 50

5

i1
y
2
i
n
i

y


———— 

y
2
 √
0,8  0,89443 h
n
4. Calcula la variància de la variable de la taula 14.3 utilitzant
la primera expressió.
Número de calçat Nombre d’alumnes
35
36
37
38
40
42
4
15 17
20
10
4

6

i1
(x
i


x )
2
n
i

209,443

2
 ——————  —————  2,992
n 70

178 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
5. Amb les dades de la taula 14.3, comprova les propietats
de la mitjana, la variància i la desviació típica. Per fer-ho,
suma 2 i multiplica per 3 cada valor de la variable.
Número de calçat Nombre d’alumnes
35
36
37
38
40
42
4
15 17
20
10
4
y  x  2

6

i1
y
i
n
i

2 777

y  ————  ———  39,67 

x  2
n 70

6

i1
y
2
i
n
i

y
2
 ————— 

y
2

n

110 377
 ————  1 573,8222  2,992  
y
2
70

y

√2,992  1,73  
x
z  3x

6

i1
z
i
2

n
i

7 911

z  ————  ———  113,01  3

x
n 70

6

i1
z
j
2

n
i

z
2
 ———— 

z
2

n

895 941
 ————  12 772,23  26,9271 
70
 9
x
2
 3
2

x
2

z
 √
26,9271  5,19  3
x
6. Les dades del consum de carburant d’una ﬂota de camions
al llarg d’un dia es poden observar a la taula de freqüències
següent (taula 14.5):
Consum de carburant Nombre de camions
(0, 10]
(10, 20]
(20, 30]
(30, 40]
(40, 50]
(50, 60]
(60, 70]
8
12 10
14
21
16
9
Completa la taula amb les columnes necessàries per calcular

x i 
x
.
Consum x
i
n
i
x
i
· n
i
x
i
2
x
i
2
n
i
(0, 10] 5 8 40 25 200
(10, 20]1512 180 225 2700
(20, 30]2510 250 625 6250
(30, 40]3514 4901225 17150
(40, 50]4521 9452025 42525
(50, 60]5516 8803025 48400
(60, 70]65 9 5854225 38025
903370 155250

7

i1
x
i
n
i

3 370

x  ————  ———  37,4
(
n 90

7

i1
x
2
i
n
i

x
√

———— 

x
2

n

√
155 250 –1 402,0864 
90

√
322,9136  17,97
7. A partir de la taula següent, en què s’indica l’alçada i el pes
de 24 alumnes de primer de batxillerat:
Pes
en kg
595552
Alçada
en cm
179163156
Pes
en kg
68596263715955
Alçada
en cm
177170173164176174165
Pes
en kg
51588380495864
Alçada
en cm
165172174188153158161
Pes
en kg
70665858725755
Alçada
en cm
177174170167174173162

179MATEMÀTIQUES 1 la
a) Calcula la mitjana i la desviació típica de cadascuna de
les dues variables.
X: «pes», Y: «alçada»

24

i1
x
i

1 482

x  ———  ———  61,75 kg
n 24

24

i1
x
2
i

x
 √

——— 

x
2

n
√
93 232
 3 813,0625 
24

√
71,6042  8,4619 kg

24

i1
y
i

4 065

y  ———  ———  169,375 kg
n 24

24

i1
y
i
2

y
√

———— 

y
2

n
√
690 043
 28 687,8906 
24

√
63,9011  7,9938 cm
b) Dibuixa el diagrama de dispersió.
c) La relació entre les dues variables, és directa o inversa? Raona la resposta.
És directa, ja que el núvol de punts segueix una trajectòria creixent.
d) Indica les coordenades del punt mitjà de la distribució.
M(

x,

y) → M(61,75; 169,375)
e) Comprova que el punt mitjà no forma part del diagrama de dispersió.
Tal com s’observa a la gràfica de l’apartat b), el punt M no
forma part del diagrama de dispersió.
8. La classiﬁcació ﬁnal de la lliga de futbol de primera divi
sió de la temporada 1998-1999, després de 38 jornades,
va ser:
Equips PG PE PP
1. Barcelona 30 6 2
2. R. Madrid 29 5 4
3. València 21 8 9
4. Vila-real 18 8 12
5. Sevilla 17 7 14
6. Athlètic 18 4 16
7. Atlético 17 7 14
8. Espanyol 15 4 19
9. Osasuna 13 8 17
10. Sporting 11 14 13
11. Màlaga 13 7 18
12. Racing 12 10 16
13. Saragossa 12 9 17
14. R. Societat 14 3 21
15. Llevant 12 9 17
16. Getafe 12 8 18
17. Mallorca 12 8 18
18. Deportivo 10 13 15
19. Hèrcules 9 8 21
20. Almeria 6 12 20
Representa el diagrama de dispersió de les distribucions
bidimensionals següents. Quin tipus de relació, directa o
inversa, hi ha entre les dues variables en cadascun dels tres
casos?
a) Lloc a la classiﬁcació-partits guanyats.
És inversa.
fi
≥
≤fi
≤≥
−fi
−≥


fi≥ ≤fi ≤≥ −fi


b) Lloc a la classiﬁcació-partits empatats.
No es pot assegurar.

180 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
ﬁ
ﬂ
≤
≥ﬁ


 ≥ﬁ  


≥ﬂ


c) Lloc a la classiﬁcació-partits perduts.
Directa.
fi
≥
≤fi
≤≥
−fi
−≥
fi≥ ≤fi ≤≥ −fi


9. Calcula 
xy
de l’exemple de la taula 14.6 utilitzant la prime
ra de les expressions de la covariància.

5

i1
(x
i


x)(y
i


y)n
i

21,8

xy
 ————————  ——— 
n 50
 0,436
10. Donada la taula:
x
i
46812
y
i
2346
Justiﬁca mitjançant el càlcul de r, i sense dibuixar el núvol
de punts, que els punts del diagrama de dispersió de la dis
tribució se situen en una línia recta creixent.

xy
4,375
r  ———  ——————————— 

x

y
2,9580399  1,4790199
4,375

———  1
4,375
El núvol de punts són els punts d’una recta creixent.
11. A partir d’aquest experiment amb dues variables:
x
i
04681214162226
y
i
43867132110
a) Calcula la covariància i el coeﬁcient de correlació lineal.

9

i1
x
i
y
i

648

xy
 ———— 

x

y  ——  126 
n 9
 72  72  0

xy
0
r  ———  ———  0

x

y

x

y
b) Dibuixa el diagrama de dispersió.
c) Relaciona el valor del coeﬁcient amb els punts del diagra
ma de dispersió.
No hi ha relació, ja que r  0.
12. Les alçades en polzades de 12 pares i els seus ﬁlls són les
següents:
Pares656367646862
Fills686668656966
Pares706668676971
Fills686571676870
Calcula el coeﬁcient de correlació lineal i extreu conclusions sobre la relació entre les dues variables estudiades.

xy
3,3611111
r  ———  ————————  0,7027

x

y
2,6562  1,80085
La relació entre les dues variables és lineal directa i bastant forta.

181MATEMÀTIQUES 1 la
13. A partir de la taula de valors següent:
x
i
2 4 56811
y
i
18121087 5
a) Calcula el coeﬁcient de correlació lineal.

xy
11,16
(
r  ———  ———————— 

x

y
2,886754,20317
 0,9203
b) Multiplica cada valor de x
i
de la taula per 2 i suma-li 6;
multiplica cada valor de y
i
per 3 i resta-li 15. Troba el
coeﬁcient de correlació entre els dos nous sistemes de
valors i explica per què s’obté o no el mateix resultat que
abans.
x
i
 2x
i
 6101416182228
y
i
 3y
i
 15392115 9 6 0

xy 67
r  ———  ———————— 

x

y
5,773512,6095
 0,9203
A causa de les propietats de la mitjana, de la desviació tipus i de la covariància, el valor de r no varia.
14. Calcula la covariància i el coeﬁcient de cor relació lineal en
els tres casos de l’exercici 8.
T: «lloc en la classificació», X: «partits gua nyats», Y: «partits
empatats», Z: «partits perduts».

20

i1
t
i
x
i
a) 
tx
 ———— 

t

x 
n

2 437

———  10,514,15  26,725
20

tx
26,725
r
tx
 ———  ————————— 

t

x
5,766284,70399
 0,98527

20

i1
t
i
y
i
b) 
ty
 ———— 

t

y 
n

2 130

———  10,59,7  4,65
20

ty
4,65
r
ty
 ———  ————————— 

t

y
5,766282,64764
 0,30458

20

i1
t
i
z
i
c) 
tz
 ———— 

t

z 
n

3 413

———  10,514,15  22,075
20

x
22,075
r
tz
 ———  ————————— 

t

z
5,766284,36205
 0,87764
15. S’ha observat l’alçada X en metres i el pes Y en quilograms
de 9 nadons i s’han obtingut aquests resultats:

x  0,5; 
x
 0,026;

y  3,4;

y
 0,392, i 
xy
 0,01
Calcula el coeﬁcient de correlació lineal i escriu l’equació de
la recta de regressió de Y sobre X.

xy 0,01
r  ——— 
——————  0,98116

x

y
0,0260,392

xy
y 

y  ——— (x 

x)

x
2
0,01
y  3,4 
————— (x  0,5) →
0,000676
→ y  14,793x  3,996
16. Cinc nens de 2, 3, 5, 7 i 8 anys d’edat pesen, respectiva
ment, 14, 20, 30, 35 i 42 kg.
X: «edat», Y: «pes»
a) Calcula el coeﬁcient de correlació lineal.

xy 22,8
r  ——— 
———————— 

x

y
2,2803510,0876
 0,99116
b) Escriu l’equació de la recta de regressió que expressa el
pes en funció de l’edat.

xy
y 

y  ——— (x 

x)

x
2
22,8
y  28,2 
—— (x  5) →
5,2
→ y  4,385x  6,277

182 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
c) Estima quant pesarà un nen de 6 anys.
x  6 anys →
→ y  4,3856  6,277  32,6 kg
17. Els pesos i les alçades de 12 alumnes són els que ﬁguren en
la taula següent:
Pes en kgAlçada en cm
70
63
72
60
66
70
74
65
62
67
65
68
155 150
180
135
156
168
178
160
132
145
139
152
a) Calcula el coeﬁcient de correlació lineal.
X: «pes», Y: «alçada»

xy 51,361275
r  ——— 
———————— 

x

y
3,9965314,88754
 0,8632
b) Escriu l’equació de cadascuna de les dues rectes de re
gressió.

xy
y 

y  ——— (x 

x)

x
2
51,361113
y  154,16 (
 ———— (x  66,83
(
) →
15,9723
→ y  3,22x  60,75

xy
x 

x  ——— (y 

y)

y
2
51,361113
x  66,83 (
 ———— (y  154,16
(
) →
221,639
→ x  0,23y  31,11
c) Dedueix l’alçada d’un alumne o una alumna que pesa 64 kg.
x  64 kg
y  3,2264  60,75  145,1 cm
d) Estima el pes d’un o d’una alumna que mesura 162 cm.
y  162 cm
x  0,23162  31,11  68,6 kg
18. Un centre comercial sap els clients que el poden visitar en
funció de la distància, en quilòmetres, a què se situï d’un
nucli de població, segons les dades que ﬁguren a la taula
següent:
Nre. de clients
(centenars)
876421
Distància
(quilòmetres)
151925233440
X: «distància», Y: «nombre de clients»
a) Calcula la covariància i el coeﬁcient de correlació lineal.

6

i1
x
i
y
i

xy
 ———— 

x

y 
n

603

——  264,6
(
 20,8333
6

xy
r
xy
 ——— 

x

y
20,8333
 ————————  0,95017

8,56352,5604
b) Dibuixa el diagrama de dispersió.
c) Si el centre comercial se situa a 30 km, quants clients pot
tenir?

xy
y 

y  ——— (x 

x)

x
2

183MATEMÀTIQUES 1 la
20,8333
y  4,6 (
 ———— (x  26) →
73,333
→ y  0,284x  12,053
x  30 km →
→ y  0,28430  12,053  3,53 →
→ 353 clients
19. La taula següent recull les qualiﬁcacions de 40 alumnes a
les matèries de matemàtiques i física:

Matemàtiques X3456677810
Física Y 2556767910
Nre. d’alumnes4612454212
a) Troba les mitjanes i les desviacions típiques , escrivint
prèviament les distribucions marginals de X i Y.

x
i
34567810
n
i
46129612
y
j
2567910
n
j
4188712

7

i1
x
i
n
i
220

x  ———  ———  5,5
n 40

7

i1
x
i
2
n
i

x
 √

———— 

x
2

n

1314

√

———  30,25  √
2,6  1,61245
40

6

j1
y
j
n
j
224

y  ———  ———  5,6
n 40

6

j1
y
j
2
n
j

y
√

———— 

y
2

n
1378

√

———  31,36  √
3,09  1,75784
40
b) Calcula r.

xy
2,6
r  ———  ———————— 

x

y
1,612451,75784
 0,9173
c) Quina nota de matemàtiques es pot esperar que tregui un
alumne o una alumna que té un 7,5 de física? És ﬁa ble la
predicció?

xy
x 

x  ——— (y 

y)

y
2
2,6
x  5,5 
—— (y  5,6) →
3,09
→ x  0,84y  0,788
y  7,5 → x  0,847,5  0,788  7,1
És fiable perquè la relació entre les dues variables és lineal
forta.
20. L’alçada mitjana d’una mostra de pares és d’1,68 m, amb una
desviació tipus de 5 cm, i l’alçada mitjana d’una mostra dels
seus ﬁlls és d’1,70 m, amb una desviació tipus de 7,5 cm. El
coeﬁcient de correlació entre les alçades de pares i ﬁlls és 0,7.
X: «alçada dels pares», Y: «alçada dels fills»

x  1,68; 
x
 0,05;

y  1,7; 
y
 0,075
r  0,7
a) Calcula la covariància de la distribució.

xy
r  ——— → 
xy
 r 
x

y


x

y
 0,70,050,075  0,002625
b) Estima l’alçada d’un ﬁll sabent que la del seu pare és
d’1,66 m.
Y sobre X:

xy
y 

y  ——— (x 

x)

x
2
0,002625
y  1,7 
———— (x  1,68) →
0,0025
→ y  1,05x  0,064
x  1,66 m →
→ y  1,051,66  0,064  1,68 m
c) Quina podem esperar que sigui l’alçada d’un pare si la del
seu ﬁll és d’1,72 m?
X sobre Y:

xy
x 

x  ——— (y 

y)

y
2

184 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
0,002625
x  1,68 
———— (y  1,7) →
0,005625
→ x  0,46
(
y  0,886
(
y  1,72 →
→ x  0,46
(
1,72  0,886
(
 1,69 m
21. En una fàbrica de components electrònics s’han seleccionat
12 treballadors, entre els que havien entrat a treballar du
rant els tres últims mesos, s’ha observat el nombre de peces
defectuoses que havien produït, i se n’ha obtingut la taula
següent:
Nombre de setmanes
treballades ( X)
Nombre de peces
defectuoses ( Y)
7
9
6
14
8
12
10
4
2
11
1
8
26 20
28
16
23
18
24
26
38
22
32
25
a) Determina l’equació de la recta de regressió y  ax  b.

xy
y 

y  ——— (x 

x)

x
2
19,72
(
y  24,83
(
 ——— (x  7,6
(
) →
14,2219
→ y  1,39 x  35,46
b) Estima el nombre de peces defectuoses que produiria un
treballador amb cinc setmanes d’experiència.
x  5 → y  1,39  5  35,46 
 29 peces defectuoses
22. Per què els quocients de les divisions entre els coeﬁcients
de x i de y de les rectes de regressió donen sempre com a
resultat un nombre positiu? Què passaria en el cas que tots
dos quocients fossin iguals a 1? Raona les respostes.
Perquè els coeficients a i c tenen el mateix signe.
Les dues variables tindrien la mateixa desviació tipus:
a 
y
2
—  1 → ——  1
c 
x
2

x
2
 
y
2
→ 
x  
y
23. Les equacions de les rectes de regressió d’una distribució
bidimensional són:
11y  7x  6, la de Y sobre X
2x  3y  1, la de X sobre Y
a) Troba r i indica el tipus de relació que hi ha entre les dues
variables.
11y  7x  6 →
7 6
→ y  
—— x  —— →
6
11 11

xy
7
→ a  ——   ——

x
2
11
2x  3y  1 →
3 1
→ x  
—y  — →
2 2

xy
3
→ c  ——   —

y
2
2
7 3
r 
√
ac √

—— 
—

11 2
21

√

——  0,977
22
La relació és lineal directa molt forta.
b) Calcula la mitjana de cadascuna de les variables.
7 6
y  
—— x  ——
11 11
3 1
x  
— y  — 6
2 2
3 7 6 1
x  
— 
—— x  ——
 —
2 11 11 2
21 9 1
x 
—— x  ——  —
22 11 2
1 29
—— x  —— → x  29 → y  19
22 22

x  29,

y  19
c) Dedueix quina de les dues variables té una desviació típi
ca més gran.

xy 7
——  ——
a 
x
2
11 14
—  ———  ———  —— →
c 
xy 3 33
——  —

y
2
2

y
2 14 
y 14
→ ——  —— → —— √

—— 

x
2
33 
x 33
 0,65134
d’on:

x  
y

185MATEMÀTIQUES 1 la
24. De dues variables, X i Y, es té la infor mació següent: la
variància de X és 3, la mitjana i la desviació tipus de Y són
1 i 2, respectivament, i l’equació de la recta de regressió de
Y sobre X és 2x  3y  6.

x
2
 3,

y  1, 
y
 2,
2
2x  3y  6 → y  
—x  2
3
Troba:
a) La mitjana de X.
2

y  1 → 1   —x  2 →
3
3 3
→ x 
— →

x  —
2 2
b) La covariància de X i Y.

xy
2
a  ——  — →

x
2
3
2 2
→ 
xy
 —
x
2
 —3  2
3 3
c) El coeﬁcient de correlació lineal.

xy
2 1
r  ——  ———  ——  0,57735

x

y
√
32 √ 3
d) L’equació de la recta de regressió de X sobre Y.

xy
x 

x  ——— (y 

y) →

y
2
3 2
→ x 
—  —— (y  1)
2 4
3 1
x 
—  — (y  1) →
2 2
3 1 1
→ x 
—  — y  — →
2 2 2
1
→ x  — y  2
2
Activitats finals
1. Els 30 alumnes d’una classe de primer de batxillerat van obtenir les notes següents en dues proves diferents de ma
temàtiques:
(73, 29), (41, 24), (83, 34), (71, 27), (39, 24),
(60, 26), (51, 35), (41, 18), (85, 33), (88, 39),
(44, 27), (71, 35), (52, 25), (74, 29), (50, 13),
(42, 13), (85, 40), (53, 23), (85, 42), (44, 22),
(66, 25), (60, 21), (33, 26), (43, 19), (76, 29),
(51, 25), (57, 19), (25, 17), (40, 17) i (76, 35).
La primera nota de cada parell correspon a la primera prova,
que està puntuada sobre 100 punts, i la segona nota és de
la segona prova, puntuada sobre 50 punts.
a) Dibuixa el diagrama de dispersió.
b) Calcula el coeﬁcient de correlació lineal.

xy
103,36779
r  ——  ————————  0,7737

x

y
17,61917,5828
c) Compara els dos resultats per donar la màxima informa ció sobre la relació existent entre les dues notes.
La relació entre les dues notes és lineal, directa i bastant forta.
2. A partir de la taula de valors següent, calcula el coeﬁcient de correlació lineal i analitza’n el signiﬁcat. Escriu l’equació de
cadascuna de les dues rectes de regressió.
y

x
1 2 3 4 5
1 1
2 6 1 3
3 2 1 4
4 1 1

xy
0,425
r  ——  ————————— 

x

y
1,071210,74162
 0,53497 → relació indirecta dèbil
Y sobre X:

xy
y 

y  ——— (x 

x)

x
2
0,425
y  2,5 
———— (x  2,55) →
1,1475
→ y  0,37x  3,44

186 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
X sobre Y:

xy
x 

x  ——— (y 

y)

y
2
0,425
x  2,55 
——— (y  2,5) →
0,55
→ x  0,773y  4,48
3. En una distribució bidimensional s’han obtingut els paràme
tres estadístics següents:

x  5,

y  6, 
2
x
 5; 
2
y
 8,5 i r  0,997
Calcula la covariància i escriu l’equació de la recta de regres
sió que expressa la variable X en funció de la variable Y.

xy
r  ——— → 
xy
 r 
x

y


x

y
 0,997 √
5 √ 8,5  6,5
X sobre Y:

xy
x 

x  ——— (y 

y)

y
2
6,5
x  5 
—— (y  6) → x  0,765y  0,412
8,5
4. La taula següent expressa el preu mitjà dels preus en dòlars de les accions i obligacions a la borsa de Nova York entre els anys 1950 i 1959:

Anys Accions Obligacions
1950 32,22 102,43
1951 39,87 100,93
1952 41,85 97,43
1953 43,23 97,81
1954 40,06 98,32
1955 53,29 100,07
1956 54,14 97,08
1957 49,12 91,59
1958 40,71 94,85
1959 55,15 94,65
A partir d’aquestes dades calcula el coe ﬁcient de correlació
lineal entre les variables. Interpreta cadascun dels resul tats.
X: «anys»; Y: «accions»; Z: «obligacions»
a) Anys-Accions.

xy
14,728
r
xy
 ——  ————————— 

x

y
2,872287,19553
 0,7126
Existeix una relació lineal directa bastant forta entre els
anys i les accions.
b) Anys-Obligacions.

xz
7,111
r
xz
 ——  ————————— 

x

z
2,872283,06096
 0,8088
La relació entre els anys i les obligacions és lineal inversa i
bastant forta.
c) Accions-Obligacions.

yz
10,9416
r
yz
 ——  ————————— 

y

z
7,195533,06096
 0,4968
La relació és lineal inversa força dèbil entre les accions i les
obligacions.
5. El consum d’energia per càpita en milers de kWh i la renda
per càpita en milers de dòlars en sis països de la UE són els
següents:
Consum Renda
Alemanya 5,7 11,1
Bèlgica 5,0 8,5
Dinamarca 5,1 11,3
Espanya 2,7 4,5
França 4,6 9,9
Itàlia 3,1 6,5
X: «renda»; Y: «consum»
a) Calcula r i interpreta’n el resultat.

xy
r  —— 

x

y
2,5078
 ————————  0,93179
2,46491,0919
Existeix una relació lineal directa i forta entre les dues variables.

187MATEMÀTIQUES 1 la
b) Quina predicció podem fer sobre el consum d’energia per
càpita a Grècia si sabem que en aquest país la renda és de
4,4 milers de dòlars? És ﬁable la predicció obtinguda?
Y sobre X:

xy
y 

y  ——— (x 

x)

x
2
2,5078
y  4,36 (
 ———— (x  8,63
(
) →
6,0755
→ y  0,413x  0,803
x  4,4 → y  0,4134,4  0,803 
 2,6 milers de kWh
La predicció és molt fiable, ja que r  1.
6. A partir d’un estudi estadístic realitzat a una mostra de 100
estudiants, s’ha observat una alçada mitjana de 155 cm,
amb una desviació tipus de 15,5 cm. A més, es va obtenir la
recta de regressió de X (pes en quilograms) sobre Y (alçada
en centímetres):
2 160
x  —y  ——
3 3
Determina:
a) El pes mitjà dels 100 estudiants.

y  155 cm →
2 160
→ x 
—155  ——  50 →
3 3
→

x  50 kg
b) La covariància de X i Y.
2 
xy
—  —— →
3 
y
2
2 2
→ 
xy
 —
y
2
 —15,5
2
 160,16
(
3 3
c) El signe del coeﬁcient de correlació en tre el pes i
l’alçada.
r  0 perquè 
xy
 0.
7. A les biblioteques de sis poblacions s’ha analitzat l’aﬂuència
de lectors (X en milers de persones) i el nombre de llibres
prestats (Y). Les dades es recullen en la taula següent:

X 0,5 1 1,31,7 2 2,5
Y180240250300340400
a) Quina és la mitjana del nombre de llibres prestats en el
conjunt de totes les biblioteques?

6

i1
y
i
1710

y  ———  ———  285 llibres
n 6
b) Escriu la recta de regressió que expressa el nombre de llibres
que hi ha en préstec en funció de l’aﬂuència de lectors.
Y sobre X:

xy
y 

y  ——— (x 

x)

x
2
46,6
(
y  285  ——— (x  1,5) →
0,43
→ y  108,53x  122,21
c) Si acudissin 1 500 lectors a una biblioteca, quants llibres
es deixarien en préstec?
x  1,5 és la mitjana de la variable X; per tant, y  285
llibres.
8. La creixent inclinació de la torre de Pisa ha generat nom
brosos estudis sobre la seva futura estabilitat. En la tau
la següent es presenten les mesures de la seva inclinació
entre els anys 1978 i 1982. Les dades d’inclinació s’han
codiﬁcat com a dècimes de mil
.
límetre que depassen
els 2,9 m, de manera que la inclinació l’any 1978, que
va ser de 2,9667 m, apareix en la taula com a 667.
Any Inclinació Any Inclinació
1978
1979
1980
1981
1982
667 673 688
696
698
1983 1984 1985
1986
1987
713 717 725
742
757
X: «anys»; Y: «inclinació»
a) Creus que la inclinació de la torre té una tendència lineal
que augmenta amb el temps? Justiﬁca’n la resposta.

xy
77,8
r  ——  —————————— 

x

y
2,8722827,38686
 0,98903
Efectivament, existeix una tendència lineal creixent, ja que
r  1.
b) Calcula la recta de regressió de la inclinació sobre el
temps.
Y sobre X:

xy
y 

y  ——— (x 

x)

x
2

188 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
77,8
y  707,6 
——— (x  1 982,5) →
8,25
→ y  9,43x  17 987,976
c) El 1918 la inclinació de la torre era de 2,9071 m. Quin
seria el valor ajustat segons la recta que has obtingut en
l’apartat anterior? A què és deguda la diferència entre els
dos valors?
x  1 918 →
→ y  9,431 918  17 987,976 
 98,764  99
La inclinació estimada seria de 2,9099 m. La diferència entre
els dos valors es produeix perquè l’any 1918 és molt més pe-
tit que el primer any que apareix a la taula, per tant, el valor
estimat no és fiable.
9. Durant un mes s’han observat les despeses de manutenció i
l’ingrés total de 6 famílies, i els resultats obtinguts són:
Despeses en milers d’ Ingressos en milers d’
1,5
1,8
2,4
2,8
3,2
3,2
2,4 3,2 3,6
4,2
4,4
4,5
X: «ingresos»; Y: «despeses»
a) Calcula el coeﬁcient de correlació lineal.

xy
0,4769
r  ——  —————————  0,97867

x

y
0,74480,65426
b) Determina l’equació de la recta de regressió que expressa
les despeses en funció dels ingressos.
Y sobre X:

xy
y 

y  ——— (x 

x)

x
2
0,4769
y  2,483 (
 ———— (x  3,716
(
) →
0,55472
→ y  0,86 x  0,712
c) Quines despeses tindria una família amb un ingrés men
sual de 3 800 ?
x  3,8 → y  0,86 3,8  0,712 
 2,6 milers d’
10. Les equacions de les rectes de regressió d’una distribució
bidimensional són:
2 26
y  
—x  ——, la de Y sobre X.
3 3
x  0,5y  7, la de X sobre Y.
a) Calcula la mitjana de cada variable.
2 26
y  
—x  ——
6
3 3
x  0,5y  7
2 1 26
y  
— 
—y  7
 ——
3 2 3
1 14 26
y 
—y  ——  ——
3 3 3
2
—y  4 →

y  6
3
1
x  
—6  7 
2
 3  7  4 →

x  4
b) Troba el coeﬁcient de correlació lineal.

xy

xy
r  
√

—— —— 

x
2

y
2
2 1 1
 
√

— 
—
 √

— 
3 2 3
 0,57735
c) Quina de les dues variables té una desviació típica més
gran? Justiﬁca’n la resposta.

xy
2
——  —
a 
x
2
3 4
—  ———  ———  — →
c 
xy
1 3
——  —

y
2
2

y
2
4 
y
4
→ ——  — → —— √

— 

x
2
3 
x
3
 1,1547
d’on:

x
 
y
d) Calcula el valor de n   tal que 
x
 n
y
.

y
——  1,1547 →

x

x
1
→ ——  ———  0,866 →

y
1,1547
→ 
x
 0,866
y
Per tant:
n  0,866

189MATEMÀTIQUES 1 la
11. En una mostra de dotze individus s’han estudiat dues varia
bles, de les quals sabem que:

x  6, 
x
 √
6,
12

i1
y
i

2  380
Al mateix temps, se sap que l’equació de la recta de regres
sió que expressa X en funció de Y és:
x  0,89y  1,55
Calcula:
a) La mitjana i la variància de la variable Y.

x  6 → 6  0,89y  1,55 →
4,45
→ 0,89y  4,45 → y 
———  5 →
0,89
→

y  5


y
i
2
380

y
2
 —— 

y
2
 ——  25  6,6
(
n 12
b) La covariància i el coeﬁcient de correlació lineal.

xy

xy
c  —— → 0,89  —— →

y
2

y
2
→ 
xy
 0,89
y
2
 0,896,6
(
 5,93
(

xy
5,93
(
r  ——  ——————  0,93814

x

y
√
6 √ 6,6
(
c) L’equació de la recta de regressió de Y sobre X.

xy
y 

y  ——— (x 

x) →

x
2
5,93
(
→ y  5  ——— (x  6)
6
y  5  0,98
(
(x  6) →
→ y  5  0,98
(
x  5,93
(
y  0,98
(
x  0,93
(
Avaluació
1. Si estudiem les qualifi cacions de matemàtiques i educació
física dels alumnes d’un centre obtenim un coefi cient de
correlació entre dues variables igual a 20,02. Com interpre
taries aquest resultat?
El signe negatiu indica una posició decreixent dels punts, el
valor tan proper a 0 indica molt poca correlació lineal.
2. Explica què signifi ca distribució bidimensional, posa’n un
exemple.
Resposta oberta.
3. La mitjana dels pesos d’una població és de 65 kg i la de les altu
res és de 170 cm, les desviacions típiques són de 5 kg i 10 cm,
respectivament, i la covariància d’ambdues variables és de 40.
Calcula la recta de regressió dels pesos respecte de les altures.
Què pots preveure que pesarà un individu de 180 cm d’alçada?
y 5 0,4x 2 3
Per un individu de 180 cm d’alçada el pes seria 69 kg.
4. En 4 viatges del trajecte Barcelona-Girona un conductor ha
observat les velocitats mitjanes i els consums de gasolina se
güents:
Velocitat x (km/h)10511790 120
Consum y (L/100 km) 6,57,56 8,2
a) Calcula les variàncies de les variables x i y, la covariància
i el coefi cient de correlació. Escriu les expressions algè
briques corresponents.
108 13,6382
7,05 1,6295
9,6
0,9497
x
y
xy
X
Y
r
= σ=
= σ=
σ=
=
11,8110
0,8559
b) Escriu la recta de regressió de y respecte x.
y 5 0,00688x  0,382
c) Quin consum es podria esperar d’un viatge fet a 130 km/h
de mitjana?
D’un viatge fet a 130 km/h de mitjana es podria esperar un
consum de 8,562 L cada 100 km.
5. En l’estudi de quatre distribucions entre dues variables,
s’han obtingut els coefi cients de correlació següents: a) 0,2;
b) –0,8; c) 0,001; d) 0,7. Raona, en cada cas, el tipus i la
intensitat de la correlació entre les variables.
a) 0,2: correlació feble positiva.
b) –0,8: correlació forta negativa.
c) 0,001: pràcticament no hi ha correlació entre les dues variables.
d) 0,7: correlació forta positiva.
j Unitat 15. Probabilitat
Activitats
1. Escriu l’espai de successos S associat a l’experiment aleatori
E: «llançar una moneda enlaire».
S  {{c}, {x}, {c, x
}, ∅}
2. Utilitzant nombres combinatoris, demostra que el nombre
de successos associats a un experiment aleatori de 3, 4 i n
elements és, respectivament, 8, 16 i 2
n
.
3 3 3 3


 

 

 


0 1 2 3
 1  3  3  1  8
4 4 4 4 4


 

 

 

 


0 1 2 3 4
 1  4  6  4  1  16
n n n n n


 

 

 ...  

 


0 1 2 n  1 n
 (1  1)
n
 2
n

190 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
3. Es consideren els successos A: «obtenir un nombre primer»
i B: «obtenir un nombre més petit que 10» de l’experiment
aleatori E: «treure una bola d’una urna amb 20 boles nume
rades de l’1 al 20».
a) Defineix A i B per extensió.
A  {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}
B  {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
b) Troba els successos.

A,

B, A  B, A  B,

A  B,
A 

B, A  B i B  A

A  {1, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20}

B  {10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20}
A  B  {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 13, 17, 19}
A  B  {2, 3, 5, 7}

A  B  {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16,
18, 20}
A 

B  {2, 3, 5, 7, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18,
19, 20}
A  B  {11, 13, 17, 19}
B  A  {1, 4, 6, 8, 9}
c) Defineix els successos de l’apartat b) per comprensió.

A: «obtenir un nombre compost»

B: «obtenir un nombre major que 9»
A  B: «obtenir un nombre primer o més petit que 10»
A  B: «obtenir un nombre compost o més petit que 10»

A  B: «obtenir un nombre compost o més petit que 10»
A 

B: «obtenir un nombre primer o major que 9»
A  B: «obtenir un nombre primer o major que 10»
B  A: «obtenir un nombre més petit que 10 i no primer»
4. Justifica raonadament:
a) A  B  A i A  B  B
Sempre que es verifica A  B es verifica A i es verifica B,
aleshores A  B  A i A  B  B.
b) A  A  B i B  A  B
Sempre que es verifica A es verifica A  B, aleshores A  A
 B, i sempre que es verifica B es verifica A  B; per tant,
B  A  B.
c) A  B  A  B
Sempre que es verifica A  B es verifica A i es verifica B , ales-
hores també es verifica A  B; per tant, A  B  A  B.
d) A  A,   A i  
B
Qualsevol succès està inclos en si mateix. El succès impossi-
ble esta inclòs sempre en qualsevol succès.
5. Demostra que A  B i B  A constitueixen successos incom
patibles.
(A  B)  (B  A)  (A 

B)  (B 

A) 
 A  (

B  B) 

A  A   

A  
6. Justifica mitjançant diagrames les igualtats següents:
a) A  B  A  (A  B)  A 

B
b) B  A  B  (A  B) 

A  B
7. Demostra gràficament la propietat 7 de les operacions amb
successos.
8. Si A i B són dos successos tals que A  B, justifica que:
a) A  B  A
b) A  B  B
c)

B 

A

191MATEMÀTIQUES 1 la
d)

A  B  
e) A 

B  
9. En l’experiment aleatori E: «llançar dos dardells a la dia
na», considerem els successos A: «fa diana amb el primer» i
B «fa diana amb el segon». Expressa en funció d’A i B els
successos:
a) Fa diana amb el primer, però no amb el segon.
A 

B
b) Fa diana amb algun dels dos.
A  B
c) Falla tots dos.

A 

B
d) Fa diana amb només un.
(A  B)  (B  A)
10. En l’experiment aleatori «extreure una carta d’una baralla de
48 cartes», calcula la probabilitat dels successos següents:
a) Treure una carta que sigui un nombre primer.
A: «extreure una carta que sigui un nombre primer» →
Card (A)  20.
20 5
p(A)  ——  ——
48 12
b) Que la carta que extraiem no sigui un as.
B: «extreure una carta que no sigui as» → Card (B)  44.
44 11
p(B)  ——  ——
48 12
c) Que sigui una figura d’espases.
C: «extreure una figura d’espases» → Card (C)  3.
3 1
p(C)  ——  ——
48 16
d) Treure una carta de copes.
D: «extreure una carta que sigui copes» → Card (D)  12.
12 1
p(D)  —— 
—
48 4
11. D’una classe on hi ha 20 noies i 15 nois escollim dos alum
nes a l’atzar.
Calcula la probabilitat que:
a) Siguin dues noies.
A: «que siguin dues noies»
20  19

———
C
20,2
2 10  19
p(A)  ———  ———— 
——— 
C
35,2
35  34 35  17

———
2
219 38

———  ——
717 119
b) Siguin un noi i una noia.
B: «que siguin un noi i una noia»
20  15 20  15 20  15
p(B) 
———  ————  ——— 
C
35,2
35  34 35  17

———
2
20  3 60

———  ——
7  17 119
c) Entre els escollits hi hagi un alumne o una alumna deter
minats.
C: «que hi hagi l’alumne x»
34 34 2
p(C) 
———  ————  ——
C
35,2
35  34 35

———
2
12. A la cua de la taquilla d’un cinema hi ha 14 persones. Quina
és la probabilitat que dues persones determinades estiguin
juntes?
A: «que dues persones determinades estiguin juntes»
13 P
2
13  2
p(A)  ——— 
——— 
P
14
14!
13  2 1

—————  ———
14  13  12! 7  12!
13. Calcula la probabilitat que quan girem una fitxa de dòmino
s’obtingui:
a) Un nombre de punts més gran que 8.
A: «obtenir més de 8 punts»
6 3
p(A)  ——  ——
28 14

192 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
b) Un nombre de punts que sigui múltiple de 3.
B: «obtenir un nombre de punts que sigui múltiple de 3»
9
p(B)  ——
28
c) Un nombre de punts que sigui més gran que 8 i múltiple
de 3.
3
C  A  B → p(C)  ——
28
d) Una fitxa doble.
D: «obtenir una fitxa doble»
7 1
p(D)  —— 
—
28 4
14. Llancem dos daus enlaire. Calcula la probabilitat d’obtenir:
a) Suma de punts igual a 10.
A: «obtenir 10 punts»
3 1
p(A)  ——  ——
36 12
b) Suma de punts senars.
B: «obtenir un nombre senar de punts»
18 1
p(B)  —— 
—
36 2
c) Almenys un 6 en un dels daus.
C: «obtenir almenys 6 punts en un dau»
11
p(C)  ——
36
d) Només un 6 en un dau.
D: «obtenir només un 6 en un dau»
10 5
p(D)  ——  ——
36 18
15. Es tira una moneda enlaire 4 vegades. Quina és la probabilitat
que surtin 4 cares? I que surtin 2 cares i 2 creus? I almenys
2 creus?
A: «obtenir 4 cares»
1
p(A)  ——
16
B: «obtenir 2 cares i 2 creus»
6 3
p(B)  —— 
—
16 8
C: «obtenir almenys 2 cares»
11
p(C)  ——
16
16. Donats dos successos A i B, tals que
3 1 5
p(A) 
—, p(B)  — i p(A  B)  —,
8 2 8
calcula:
p(A  B), p(

A), p(

B), p(

A 

B), p(
A  B),
p(

A  B) i p(A 

B).
p(A  B)  p(A)  p(B)  p(A  B)
p(A  B)  p(A)  p(B)  p(A  B) 
3 1 5 2 1

—  —  —  —  —
8 2 8 8 4
3 5
p(

A)  1  p(A)  1  —  —
8 8
1 1
p(

B)  1  p(B)  1  —  —
2 2
p(

A 

B)  p(

A  B)  1  p(A  B) 
5 3
 1 
—  —
8 8
1 3
p(

A  B)  1  p(A  B)  1  —  —
4 4
1 1 1
p(

A  B)  p(B)  p(A  B)  —  —  —
2 4 4
3 1 1
p(A 

B)  p(A)  p(A  B)  —  —  —
8 4 8
17. Sabem que la probabilitat que demà plogui és 0,4; que
plogui demà passat és 0,3 i que plogui cadascun dels dos
dies, 0,2.
p(A)  0,4, p(B)  0,3 i p(A  B)  0,2
Calcula la probabilitat que:
a) Plogui, com a mínim, un dels dos dies.
p(A  B)  p(A)  p(B)  p(A  B) 
 0,4  0,3  0,2  0,5
b) No plogui cap dia.
p(

A 

B)  p(

A  B)  1  p(A  B) 
 1  0,5  0,5

193MATEMÀTIQUES 1 la
c) Només plogui demà.
p(A 

B)  p(A)  p(A  B) 
 0,4  0,2  0,2
d) Plogui només un dels dos dies.
p[(A 

B)  (

A  B)] 
 p(A 

B)  p(

A  B) 
 p(A)  p(A  B)  p(B)  p(A  B) 
 p(A)  p(B)  2p(A  B) 
 0,4  0,3  20,2  0,3
18. Un dau està trucat, de manera que les probabilitats d’obtenir
les diferents cares són proporcionals als nombres que hi fi
guren.
Sigui S
i
 {i}, i  1, 2, 3, 4, 5, 6
Tenim que:
p(S
6
)  6p(S
1
), p(S
5
)  5p(S
1
),
p(S
4
)  4p(S
1
), p(S
3
)  3p(S
1
),
p(S
2
)  2p(S
1
)
i per tant:
p(S
6
)  p(S
5
)  p(S
4
)  p(S
3
)  p(S
2
) 
 p(S
1
)  6p(S
1
)  5p(S
1
)  4p(S
1
) 
 3p(S
1
)  2p(S
1
)  p(S
1
) 
1
 21p(S
1
)  1 → p(S
1
)  ——
21
Si llancem el dau una vegada, calcula la probabilitat de:
a) Cadascun dels successos elementals.
1 2
p(S
1
)  ——, p(S
2
)  ——,
21 21
3 1 4
p(S
3
)  ——  —, p(S
4
)  ——,
21 7 21
5 6 2
p
(S
5
)  —— i p(S
6
)  ——  —
21 21 7
b) Obtenir un nombre més gran que 4.
B: «obtenir més de 4 punts»
5 2 11
p(B)  p(S
5
)  p(S
6
)  ——  —  ——
21 7 21
c) Aconseguir un nombre senar.
C: «obtenir un nombre senar de punts»
p(C)  p(S
1
)  p(S
3
)  p(S
5
) 
1 1 5 9 3
 —— 
—  ——  ——  —
21 7 21 21 7
19. Llancem dos daus i considerem el nombre de punts de les
cares superiors.
Calcula la probabilitat dels successos següents:
a) A: «el nombre de punts de les dues cares superiors suma 7».
6 1
p(A)  —— 
—
36 6
b) B: «el producte dels nombres de les cares superiors és 12».
4 1
p(B)  —— 
—
36 9
c) A  B; A  B;

A;

B.
2 1
p(A  B)  ——  ——;
36 18
8 2
p(A  B)  —— 
—;
36 9
1 5
p(

A)  1  p(A)  1  —  —;
6 6
1 8
p(

B)  1  p(B)  1  —  —
9 9
20. Demostra que, efectivament, la independència de successos
és simètrica.
Si B és independent de A → p(B/A)  p(B)

D’on:

p(A  B)  p(A)p(B/A)  p(A)p(B)

i també

p(A  B)  p(B  A)  p(B)p(A/B)
6

→ p(A)p(
B)  p(B)p(A/B)

Per tant:
p(A/B)  p(A) → A és independent de B
21. Sabent que:

p(A)  0,3; p(

B)  0,6 i p(A/B)  0,32

calcula: p(A  B), p(A  B), p(A/

B), p(B/A)

p(
A  B) i p(

B/

A)

p(A  B)  p(B  A)  p(B)p(A/B) 

 0,40,32  0,128
p(A  B)  p(A)  p(B)  p(A  B) 
 0,3  0,4  0,128  0,572

194 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
p(A 

B) p(A)  p(A  B)
p(A/
B)  —————  ———————— 
p(
B) p(

B)
0,3  0,128 0,172
 ——————  ———  0,287
0,6 0,6
p(A  B) 0,128
p(B/A) 
—————  ———  0,427
p(A) 0,3
p(

A  B)  1  p(A  B) 
 1  0,572  0,428
p(

B 

A) p(

B  A)
p(
B/

A)  —————  ————— 
p(
A) p(

A)
p(

A  B) 0,428

—————  ———  0,61143
p(
A) 0,7
22. Indica la probabilitat de la unió de dos successos indepen
dents.
p(A  B)  p(A)  p(B)  p(A  B) 

 p(A)  p(B)  p(A) p(B/A) 

 p(A)  p(B)  p(A)p(B)
23. Calcula la probabilitat p(B/A) en aquests casos:
a) A  B
A  B → A  B  A →
→ p(A  B)  p(A)
D’on:
p(A  B)
p(B/A) 
—————  1
p(A)
b) A  B  
A  B   → p(A  B)  0
D’on:
p(A  B)
p(B/A) 
—————  0
p(A)
24. Tenim una caixa amb 5 cargols de capçal rodó, dos dels quals
són defectuosos, i 8 cargols de capçal quadrat, dels quals
només 3 són correctes. Escollim un cargol a l’atzar. Calcula
la probabilitat:
Q: «obtenir un cargol de capçal quadrat»
D: «obtenir un cargol defectuós»
a) Que sigui de capçal quadrat, si sabem que és correcte.
3
——
p(Q 

D) 13 1
p(Q/
D)  —————  ———  —
p(

D) 6 2
——
13
b) Que sigui defectuós, si sabem que és de capçal rodó.
2
——
p(D 

Q) 13 2
p(D/

Q)  —————  ———  —

p(

Q) 5 5
——
13
25. Disposem de 2 bosses amb boles blanques, vermelles i negres.
En una bossa hi ha 3 boles blanques, 4 de vermelles i 5 de
negres. L’altra bossa conté 5 de boles blanques, 7 de vermelles
i 2 de negres. Si agafem una bola de cada bossa, quina proba
bilitat hi ha que siguin del mateix color?
B: «obtenir bola blanca»
V: «obtenir bola vermella»
N: «obtenir bola negra»
S: «obtenir les dues boles del mateix color»
p(S) 
 p(B
1
 B
2
)  p(V
1
 V
2
)  p(N
1
 N
2
) 
 p(B
1
)p(B
2
)  p(V
1
)p(V
2
) 
1 5 1 1
 p(N
1
)p(N
2
)  ———  —— 
4 14 3 2
5 1
 —— 
— 
12 7
5 1 5 53
 —— 
—  ——  ——
56 6 84 168
26. A les últimes eleccions municipals, a la ciutat A els grocs
han obtingut el 20 % dels vots; els verds el 30 %, i els gri
sos el 50 %. A la ciutat B, els percentatges respectius han
estat: 40 %, 45 % i 15 %. Escollim una de les dues ciutats a
l’atzar i una persona que hi visqui. Quina probabilitat hi ha
que aquesta persona hagi votat el partit groc? Suposant que
la persona escollida hagi votat efectivament el partit groc,
quina probabilitat hi ha que visqui a la ciutat A?
A: «escollir la ciutat A»
B: «escollir la ciutat B»
G: «escollir una persona que hagi votat el partit groc»
p(G)  p(A  G)  p(B  G) 

 p(A)p(G/A)  p(B)p(G/B) 

 0,50,2  0,50,4  0,1  0,2  0,3
p(A)p(G/A) 0,50,2
p(A/G)  ———————  ———— 
p(G) 0,3
0,1
 ———  0,3
(
0,3

195MATEMÀTIQUES 1 la
27. Un joier compra els rellotges a dues cases proveïdores. La
primera li serveix el 60 % dels rellotges, dels quals el 0,4 %
són defectuosos. La segona li proporciona la resta, essent-
ne defectuosos l’1,5 %. Un dia, el joier, quan es disposa a
vendre un rellotge, observa que no funciona. Troba la proba
bilitat que el rellotge procedeixi de la segona casa proveïdora.
Si el rellotge venut funcionés correctament, troba la probabili
tat que provingui del primer proveïdor.
A: «escollir un rellotge de la primera casa proveïdora»
B: «ídem de la segona casa proveïdora»
D: «escollir un rellotge defectuós»

p(B) p(D/B)
p(B/D)  —————————————— 
p(A)p(D/A)  p(B)p(D/B)

0,40,015
 ——————————— 
0,60,004  0,40,015
0,006

———  0,7143
0,0084
p(A)p(

D/A)
p(A/
D)  —————————————— 
p(A)p( 
D/A)  p(B)p(

D/B)

0,60,996 0,5976

———————————  ———  0,6027
0,60,996  0,40,985 0,9916
28. En un institut s’organitza una excursió a una estació d’esquí.
El 65 % dels alumnes viatjarà en un autobús gran i la resta
ho farà en un de petit. Es coneix que el 90 % dels alumnes
que viatja a l’autobús petit sap esquiar, mentre que dels
alumnes que viatgen a l’autobús gran saben esquiar el 60 %.
S’escull un o una alumne/a a l’atzar i resulta que no sap
esquiar. Quina probabilitat hi ha que viatgi a l’autobús pe
tit? I si sap esquiar, quina probabilitat hi ha que viatgi al
gran?
G: «escollir un alumne de l’autobús gran»
S: «escollir un alumne que sap esquiar»
0,6 S

0,65
G
0,4

S

0,9 S

0,35


G 0,1

S
p(

G)p(

S/

G)
p(
G/

S)  —————————————— 
p(G)p( 
S/G)  p(

G)p(

S/

G)

0,350,1 0,035

——————————  ————  0,1186
0,650,4  0,350,1 0,295
p(G)p(S/G)
p(G/S)  —————————————— 
p(G)p(S/G)  p(

G)p(S/

G)

0,650,6 0,39

——————————  ————  0,553
0,650,6  0,350,9 0,705 Punt final
Aplicant els continguts de la probabilitat estudiats en aques
ta unitat, calcula les probabilitats dels successos plantejades
pel cavaller De Méré a Blaise Pascal, és a dir, la probabilitat
d’obtenir almenys un sis quan llancem un dau quatre vegades, i
la probabilitat d’obtenir almenys un doble sis quan llancem dos
daus 24 vegades.
En llançar un dau quatre vegades, es defineix:
A: «obtenir almenys un sis»
45
3
 65
2
 45  1
p(A) 
——————————— 
6
4
500  150  20  1 671
 ——————————  ———  0,5177
1 296 1 296
En llançar dos daus 24 vegades es defineix:
B: «obtenir almenys un doble sis»
35
p(B)  1 

——
24
 1  0,5086  0,4914
36
p(A)  p(B)
Activitats finals
1. Si A i B són dos successos tals que p(A)  0,4;
p(

A 

B)  0,9 i p(A  B)  0,8; A i B són incompatibles?
Són independents? Justifica ambdues respostes.
p(

A 

B)  p(

A  B)  0,9 → p(A  B) 
 1  p(

A  B)  1  0,9  0,1
Com que:
p(A  B)  0 → A  B   → A i B
no són incompatibles.
p(A  B)  p(A)  p(B)  p(A  B) →
→ p(B)  p(A  B)  p(A  B)  p(A) 
 0,8  0,1  0,4  0,5
p(A)p(B)  0,40,5  0,2
6
p(A  B)  0,1
p(A  B)  p(A)p(B) → A i B
no són independents.

196 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
2. Suposem que A i B són dos successos independents tals que
la probabilitat que succeeixi algun dels dos és de 0,7 i la
probabilitat que succeeixin tots dos alhora és de 0,2. Calcu
la p(A) i p(B).
p(A  B)  p(A)  p(B)  p(A  B) →
→ p(A)  p(B)  p(A  B)  p(A  B) 
 0,7  0,2  0,9
En ser independents:
p(A  B)  p(A)p(B) →
→ p(A)p(B)  0,2
p(A)  p(B)  0,9
6
p(A)p(B)  0,2
p(A)  0,5, p(B)  0,4
o
p(A)  0,4, p(B)  0,5
3. Dels successos A i B sabem que
1
p(

A 

B)  —;
5
2 3
p(A) 
—; p(

B)  —
3 4
Calcula:
a) p(A  B)
p(A  B)  1  p(

A  B) 
1 4
 1  p(

A 

B)  1  —  —
5 5
b) p(A  B)
p(A  B)  p(A)  p(B)  p(A  B) →
→ p(A  B) 
 p(A)  p(B)  p(A  B) 
2 1 4 7

—  —  —  ——
3 4 5 60
c) p(B/A)
7
——
p(A  B) 60 7
p(B/A) 
—————  ———  ——
p(A) 2 40

—
3
d) p(A/B)
p(A  B)
p(A/B) 
————— 
p(B)
7
——
60 7
 ———  ——
1 15

—
4
e) p(

A/B)
p(

A/B)  1  p(A/B) 

7 8
 1 
——  ——
15 15
f) p(A/

B)
p(A 

B)
p(A/
B)  ————— 
p(
B)
2 7
—  ——
p(A)  p(A  B) 3 60

—————————  —————— 
p(
B) 3

—
4
11
——
20 11
 ———  ——
3 15

—
4
4. Demostra que, si A i B són dos successos independents, tam
bé ho són els successos

A i

B.
p(

A 

B)  p(

A  B)  1  p(A  B) 
 1  [p(A)  p(B)  p(A  B)] 
 1  [p(A)  p(B)  p(A)p(B)] 
 1  {1  p(

A)  1  p(

B) 
 [1  p(

A)][1  p(

B)]} 
 p(

A)  1  p(

B)  [1  p(

A)][1  p(

B)] 
 p(

A)  1  p(

B)  1  p(

A)  p(

B) 
 p(

A)p(

B)  p(

A)p(

B)
5. Calcula la probabilitat que en llançar quatre vegades un ma
teix dau la suma dels punts obtinguts sigui diferent de 4 i
de 24.
A: «obtenir una suma de punts igual a 4 o 24»
A  {(1, 1, 1, 1), (6, 6, 6, 6)}
2 2 1
p(A) 
—  ———  —— →
6
4
1296 648
1 647
→ p(

A)  1  p(A)  1  ——  ——
648 648
6. En una sala en què hi ha 20 persones, 14 de les quals llegei
xen el diari, 10 prenen cafè i 8 fan totes dues coses. Si selec
cionem dues persones a l’atzar, calcula la probabilitat que:

197MATEMÀTIQUES 1 la
a) Totes dues prenguin cafè i no llegeixin el diari.
A: «dues persones prenguin cafè i no llegeixin el diari»
C
2,2
1
p(A)  ———  ———— 
C
20,2
2019

———
2
1 1

———  ——
1019 190
b) Totes dues només facin una de les dues coses.
B: «les dues només facin una cosa»
C
6,2
 C
2,2
 62
p(B)  ————————— 
C
20,2
65

——  1  12
2 15  1  12
 ————————  —————— 
1019 190
28 14

——  ——
190 95
c) Cap de les dues no faci res.
C: «cap de les dues no faci res»
43

——
C
4,2
2 23
p(C)  ———  ————  ———— 
C
20,2
1019 1019
3 3
 ———  ——
519 95
d) Totes dues facin ambdues coses.
D: «les dues facin les dues coses»
87

——
C
8,2
2 47
p(D)  ———  ————  ———— 
C
20,2
1019 1019
27 14
 ———  ——
519 95
7. Determina la probabilitat d’obtenir a la Loteria primitiva 6
encerts, 5 encerts i el complementari, i 4 encerts jugant una
sola combinació de 6 nombres.
A: «6 encerts»
1 1
p(A)  ——— 
—————
C
49,6
13 983 816
B: «5 encerts i el complementari»
C
6,5
1 6 1
p(B)  ——— 
—————  ————
C
49,6
13 983 816 2 330 636
C: «4 encerts»
C
6,4
C
43,2
13 545 645
p(C)  ————— 
—————  ————
C
49,6
13 983 816 665 896
8. Calcula la probabilitat que en llançar un dau la suma dels
punts de les cares visibles sigui més gran que 18.
A: «suma de punts de les cares visibles sigui més gran que 18»
B: «punts de la cara no visible sigui 1 o 2» → B  {1, 2}
2 1
p(A)  p(B)  —  —
6 3
9. D’una caixa que conté 5 boles numerades de l’1 al 5:
a) Extraiem una bola rere l’altra fins a treure-les totes. Qui na probabilitat hi ha que surtin en l’ordre natural?
A: «que surtin en ordre natural»
1 1 1
p(A)  —— 
—  ——
P
5
5! 120
b) S’extreu una bola i es retorna a la caixa, i es repeteix
això cinc vegades. Quina és ara la probabilitat que surtin en
l’ordre natural? Quina probabilitat hi ha que surti les cinc
vegades la mateixa bola?
1 1 1
p(A)  ——— 
—  ———
VR
5,5
5
5
3 125
B: «que surti la mateixa bola»
5 5 1 1
p(B)  ——— 
—  —  ——
VR
5,5
5
5
5
4
625
10. Cinc persones es troben a l’interior d’un ascensor situat a la
planta baixa d’un edifici que consta de planta baixa i sis pisos.
Suposant que totes tenen la mateixa probabilitat de baixar en
qualsevol dels sis pisos, calcula les probabilitats següents:
a) Que totes les persones baixin al mateix pis.
A: «que totes baixin al mateix pis»
1 6 1
p(A)  6

—
5
 —  — 
6 6
5
6
4
1
 ———  0,000772
1 296
b) Que no baixi ningú als tres primers pisos.
B: «que no baixi ningú als tres primers pisos»
5 5 5
p(B) 

—
5

—
5

—
5

6 6 6
5


—
15
 0,0649
6
c) Que als cinc primers pisos baixi una persona a cada pis.
C: «que baixi una persona a cada pis dels cinc primers pisos»
1 5 1 5 1 5
p(C) 
—
—
4
—
—
3
—
—
2

6 6 6 6 6 6
1 5 1 1 5

———  
—
5

—
10
 0,0000207
6 6 6 6 6

198 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
11. Un estudiant s’ha preparat 22 temes d’un programa compost
de 30 temes, dels quals surten 3 per sorteig. Calcula la pro
babilitat que:
a) Respongui correctament dos temes.
A: «respongui correctament 2 temes»
2221

———  8
C
22,2
C
8,1
2
p(A)  —————  —————— 
C
30,3
302928
—————
32
11218 1132 66
 ——————  ———— 
——
102914 529 145
b) No respongui correctament cap dels tres temes.
B: «no respongui correctament cap dels 3 temes»
876
————
C
8,3
32
p(B)  ———  —————— 
C
30,3
302928
—————
32
87 2 2

—————  ———  ——
102914 529 145
12. a) Quan llancem dos daus, quina probabilitat hi ha d’obtenir
un nombre de punts la suma dels quals sigui 9? I que la
suma sigui múltiple de 3?
A: «suma de punts igual a 9»
4 1
p(A)  —— 
—
36 9
B: «suma sigui múltiple de 3»
12 1
p(B)  —— 
—
36 3
b) Si en llançar dos daus ha sortit un nombre de punts la
suma dels quals és un múltiple de 3, calcula la probabili
tat que la suma sigui 9.
4
——
p(A  B) 36
p(A/B) 
—————  ——— 
p(B) 12
——
36
4 1
 —— 
—
12 3
13. En una facultat universitària, el 25 % dels estudiants ha
suspès les matemàtiques, el 15 % ha suspès la química i el
10 % ha suspès totes dues assignatures. Si seleccionem un
alumne o una alumna a l’atzar, determina la probabilitat
que:
M: «hagi suspès les matemàtiques»
Q: «hagi suspès la química»
1 3 1
p(M) 
—, p(Q)  ——, p(M  Q)  ——
4 20 10
a) Suspengui les matemàtiques, si ha suspès la química.
1
——
p(M  Q) 10 2
p(M/Q) 
—————  ———  —
p(Q) 3 3
——
20
b) Suspengui la química, si ha suspès les matemàtiques.
1
——
p(M  Q) 10 2
p(Q/M
)  —————  ———  —
p(M) 1 5

—
4
c) Suspengui les matemàtiques o la química.
p(M  Q)  p(M)  p(Q)  p(M  Q) 
1 3 1 6 3

—  ——  ——  ——  ——
4 20 10 20 10
14. Un automòbil, abans de sortir al mercat, se sotmet a tres controls de qualitat: mecànic, elèctric i de planxa. La pro
babilitat que fallin els controls és, respectivament, 0,02,
0,01 i 0,07. Si la fàbrica treu al mercat 500 cotxes cada any,
quants automòbils sortiran amb algun defecte?
M: «que falli el control mecànic»
p(M)  0,02 → p(

M)  0,98
E: «que falli el control elèctric»
p(E)  0,01 → p(

E)  0,99
X: «que falli el control de planxa»
p(X)  0,07 → p(

X)  0,93
S: «que falli almenys un dels controls»
p(S)  p(M)p(

E)p(

X) 
 p(

M)p(E)p(

X)  p(

M)p(

E)p(X) 
 p(M)p(E)p(

X)  p(M)p(

E)p(X) 
 p(

M)p(E)p(X)  p(M)p(E)p(X) 
 0,020,990,93 

199MATEMÀTIQUES 1 la
 0,980,010,93  0,980,990,07 
 0,020,010,93  0,020,990,07 
 0,980,010,07  0,020,010,07 
 0,018414  0,009114  0,067914 
 0,000186  0,001386  0,000686 
 0,000014  0,097714
5000,097714  48,857  49 automòbils
15. Disposem d’una moneda trucada, en la qual la probabilitat
que surti cara és el doble de la probabilitat que surti creu;
una caixa A amb 5 boles vermelles, 3 de blanques i 4 de gro
gues i una altra caixa B amb 4 boles vermelles, 2 de blanques
i 6 de grogues. Llancem la moneda enlaire, si surt cara traiem
2 boles consecutivament de la caixa A , i si surt creu les
traiem de la caixa B. Calcula la probabilitat que:
a) Surti creu quan llancem la moneda.
p(C)  p(X)  1
6
p(C)  2p(X)
2p(X)  p(X)  1 → 3p(X)  1 →
1 2
→ p(X) 
—, p(C)  —
3 3
b) Surtin dues boles del mateix color.
S: «les dues boles del mateix color»
2 5 4 1 2
p(S) 
—
—— ——  ——— 
3 12 11 4 11
1 3 1 1 3

———
 —
——— 
3 11 3 3 11
1 1 1 5

———  ———

6 11 2 11
2 5 1 1

—
——  ——  —— 

3 33 22 11
1 1 1 5

—
——  ——  —— 

3 11 66 22
2 19 1 1 19 1

———  ——  ——  — 
3 66 3 3 99 9
30 10
 ——  ——
99 33
c) Surtin una bola blanca i l’altra groga.
T: «surtin una bola blanca i l’altra groga»
2 1 4 1 3
p(T) 
—
———  ———

3 4 11 3 11
1 1 6 1 2

—
———  ———

3 6 11 2 11
2 1 1 1 1 1

—
——  ——
 —
——  ——

3 11 11 3 11 11
2 2 1 2

———  ——— 
3 11 3 11
2 1 2 2


—  —
——  ——
3 3 11 11
d) Surtin una bola vermella i una altra de blanca, en aquest
ordre.
M: «surtin una de vermella i l’altra de blanca, en aquest ordre»
2 5 3 1 1 2
p(M) 
—————  ———— 
3 12 11 3 3 11
5 2 19
 ——  —— 
——
66 99 198
16. Un ordinador personal està contaminat per un virus i està
carregat amb dos programes antivirus P
1
i P
2
, que actuen
independentment, l’un després de l’altre. El programa P
1
de
tecta la presència del virus amb una probabilitat de 0,9 i el
programa P
2
el detecta amb una probabilitat de 0,8. Quina
probabilitat hi ha que no es detecti el virus?
A: «no es detecti el virus» → A 

P
1


P
2
p(A)  p(

P
1


P
2
)  p(

P
1
)p(

P
2
) 
 0,10,2  0,02
17. Disposem de dues caixes A i B. La caixa A conté 4 boles
blanques i 2 boles negres i a la caixa B hi ha 3 boles blan
ques i 5 de negres. Escollim una caixa a l’atzar i traiem una bola,
a continuació, la introduïm a la caixa no escollida i traiem una
altra bola d’aquesta caixa. Calcula la probabilitat que:
a) La segona bola sigui negra.
S: «la segona bola sigui negra»
1 2 5 1 2
p(S) 
—
——  —— 
2 3 9 3 3
3 2 5 3

——  ——

8 7 8 7
1 10 2 3 15

—
——  —  ——  —— 

2 27 9 28 56
1 1 463 1 209 209

————  ———  ——
2 1 512 2 216 432
b) La primera sigui negra i la segona blanca.
T: «la primera sigui negra i la segona blanca»
1 1 1 5 4
p(T) 
—
——  ——

2 3 3 8 7
1 1 5 1 59 59

—
—  ——
 ———  ——
2 9 14 2 126 252

200 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
c) Totes dues boles siguin blanques.
D: «les dues boles siguin blanques»
1 2 4 3 5
p(D) 
—
——  ——

2 3 9 8 7
1 8 15

—
——  ——

2 27 56
1 853 853

————  ———
2 1512 3024
18. Es realitza un sorteig entre tres alumnes. Per establir-ne el
guanyador, s’escriu en un paper la paraula premi i es deixen
dos paperets en blanc. Què és preferible, escollir primer,
segon o tercer?
S
i
: «treure premi escollit en el lloc i», i  1, 2, 3
1
1r → p(S
1
)  —
3
2n → p(

S
1
 S
2
) 

2 1 1
 p(

S
1
)p(S
2
/


S
1
)  ——  —

3 2 3
3r → p(

S
1


S
2
 S
3
) 

 p(

S
1


S
2
)p(S
3
/(


S
1


S
2
)) 

 p(

S
1
)p(

S
2
/


S
1
)p(S
3
/(


S
1


S
2
)) 

2 1 1

——1  —
3 2 3
No importa, ja que la probabilitat és la mateixa.
19. a) Calcula la probabilitat que la suma dels punts obtinguts
sigui 4 quan llancem un dau, quan en llancem 2, quan en
llancem 3 i, finalment, quan en llancem 4.
A: «obtenir 4 punts»
1
En llançar un dau: P(A) 
—
6
3 1
En llançar dos daus: P(A)  ——  ——
36 12
3 1
En llançar tres daus: P(A) 
——  ——
216 72
1
En llançar quatre daus: P(A)  ———
1 296
b) Un senyor ha llançat un nombre desconegut de daus, en
tre 1 i 4, i la suma dels punts obtinguts ha estat 4. Quina
probabilitat hi ha que hagi llançat dos daus?
B: «ha llançat dos daus»
p(A  B)
p(B/A) 
————— 
p(A)
1
——
12
 —————————————— 
1 1 1 1

—  ——  ——  ———
6 12 72 1 296
1
——
12 1 296 108
 ————  ———— 
——
343 12343 343
———
1 296
20. D’una cistella en què hi ha 20 pomes, 4 de les quals estan macades, en cau una en una altra cistella en què hi havia 6 pomes macades i 18 en bon estat. Escollim una poma de la segona cistella i no està macada. Quina probabilitat hi ha
que la poma que ha caigut de la primera cistella fos bona?
B: «que sigui una poma bona»

p(B
1
)p(B
2
/B
1
)
p(B
1
/B
2
) ————————————––––––— 
p(B
1
)p(B
2
/B
1
)  p(

B
1
) p(B
2
/

B
1
)

4 19 76

—— ——
5 25 125

—————————  ———————— 
4 19 1 18 76 18

——  —— ——  ——
5 25 5 25 125 125
76
——
125 76 38

————  —  —
94 94 47

——
125
21. En un institut el 65 % dels alumnes són noies. El 10 % dels
nois no practica cap esport, mentre que el 70 % de les noies
fa esport. Escollim un o una alumne/a a l’atzar i resulta
que fa esport. Quina probabilitat hi ha que sigui noia? I que
sigui noi si no fa esport?
S: «que l’alumne escollit faci esport»
N: «que sigui noia»

p(N)p(S/N)
p(N/S)  —————————————— 
p(N)p(S/N)  p(

N)p(S/

N)

0,650,7 0,455

——————————  ————  0,590
(
0,650,7  0,350,9 0,77
p(

N)p(

S/

N)
p(
N/

S)  —————————————— 
p( 
N)p(

S/

N)  p(N)p(

S/N)

201MATEMÀTIQUES 1 la
0,350,1

—————————— 
0,350,1  0,650,3
0,035

————  0,152174
0,23
22. Disposem de tres monedes. La primera té dues cares; a la
segona la probabilitat de sortir cara i de sortir creu és la ma
teixa, i a la tercera la probabilitat que surti cara és del 30 %.
S’escull una d’aquestes tres monedes a l’atzar i es llança en
laire. Sabent que ha sortit cara, calcula la probabilitat que
la moneda escollida hagi estat la primera.
p(M
1
/C) 
p(M
1
)p(C/M
1
)
 —————————————————————— 
p(M
1
)p(C/M
1
)  p(M
2
)p(C/M
2
)  p(M
3
)p(C/M
3
)
1

—1
3
 —————————————— 
1 1 1 1 3

—1  ——  ———
3 3 2 3 10
1 1

— —
3 3 5
 —————————  —— 
—
1 1 1 3 9

—  —  —— —
3 6 10 5
23. En una determinada fàbrica d’electrodo mèstics s’ha detectat
que un de cada 100 frigorífics té un defecte al sistema de
congelació. Per solucionar el problema, es posa en marxa un
dispositiu per poder detectar aquest defecte abans que el
frigorífic surti al mercat. No obstant això, aquest dispositiu
no és fiable del tot, concretament, si el frigorífic té el de
fecte, el dispositiu el detecta en el 95 % dels casos, mentre
que si no el té, el dispositiu el dóna com a defectuós en un
2 % de les vegades. Si el dispositiu de control indica que
un frigorífic és defectuós, quina probabilitat hi ha que el
frigorífic no tingui cap defecte?
D: «que sigui defectuós»
S: «que detecti el defecte»
p(

D)p(S/

D)
p(

D/S)  —————————————— 
p(

D)p(S/

D)  p(D)p(S/D)

0,990,02
 ——————————— 
0,990,02  0,010,95
0,0198
 ————  0,675768
0,0293
24. En una població, el 30 % dels habitants pateix una malaltia.
Es realitza una prova per diagnosticar-la i s’anomenen A i B
els dos únics resultats possibles de la prova. Se sap que si la
prova es fa a un individu que té la malaltia, la probabilitat
que el resultat sigui A és del 90 %, però si es fa a un indivi
du sa, la probabilitat que el resultat sigui A és del 5 %.
M: «que tingui la malaltia»
a) Es fa la prova a un individu seleccionat a l’atzar. Quina
probabilitat hi ha que el resultat sigui B?
p(B)  p(M  B)  p(

M  B) 
 p(M)p(B/M)  p(

M)p(B/

M) 
 0,30,1  0,70,95 
 0,03  0,665  0,695
b) Es fa la prova a una persona i s’obté com a resultat B.
Quina probabilitat hi ha que no tingui la malaltia?
p(

M  B)
p(
M/B)  ————— 
p(B)

p(

M)p(B/

M) 0,70,95
 ———————  ————— 
p(B) 0,695
0,665

———  0,95683
0,695
25. En un institut, el 30 % de l’alumnat són noies. Se sap que el
40 % de les noies ha anat al cinema l’últim cap de setmana
i que el 70 % dels nois també hi ha anat. Es tria un alumne
a l’atzar. Quina és la probabilitat que hagi anat al cinema?
La probabilitat que sigui noia que hagi anat al cinema és:
3
10

4
10

12
100
La probabilitat que sigui noi que hagi anat al cinema és:
7
10

7
10

49
100
La probabilitat que un alumne hagi anat al cinema és la suma de
totes dues:
12
100

49
100

61
100
 0,61
26. En una competició esportiva de tir amb arc, un arquer té una pro-
babilitat de 0,6 de fer diana cada cop que dispara una fletxa. Se sap que ha fet tres dianes en sis intents. Calcula la proba
bilitat que hagi fet diana en el primer dels sis intents.
Es tracta d’una probabilitat a priori i hem d’aplicar la fórmula de
Bayes:
P 
10  0,6  0,6
2
 0,6
3
10  0,6  0,6
2
 0,6
3
 10  0,4 0,6
3
 0,4
2

1
2

202 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
27. En un examen tipus test, una pregunta consta de 5 respostes
possibles i cal marcar la correcta. Se sap que la probabilitat
que un alumne determinat sàpiga la resposta és 2/3 i la pro
babilitat que encerti la resposta correcta és 1/3. Calcula la
probabilitat que l’alumne sabés la resposta si se sap que ha
triat la correcta.
Els successos són:
A
1
= «l’alumne coneix la resposta correcta»
A
2
= «l’alumne no coneix la resposta»
B = «l’alumne ha triat la resposta correcta»
P(A
1
/B)  [P(A
1
)·P(B/A
1
)] : [P(A
1
)·P(B/A
1
)  P(A
2
)·P(B/A
2
)] 

2
31
2
3

1 9

6 7
28. Tres urnes contenen boles de diferents colors amb la compo
sició següent:
Urna A: 3 boles blanques i 5 de vermelles.
Urna B: 6 de vermelles i 4 de negres.
Urna C: 6 de blanques, 2 de vermelles i 3 de negres.
Es llança un dau. Si surt 1 o 2, s’extreu una bola de l’urna A;
si és un 3 o un 4, s’extreu de l’urna B, i si surt un 5 o un 6,
s’agafa de l’urna C. Se sap que s’ha extret una bola vermella.
Calcula la probabilitat que en el dau hagi sortit un 5 o un 6.
Els successos són:
A
1
= «En el dau surt un 1 o un 2»
A
2
= «En el dau surt un 3 o un 4»
A
3
= «En el dau surt un 5 o un 6»
B = «Extreure bola vermella»
P(A
3
/B)  [P(A
3
)·P(B/A
3
)] : [P(A
3
)·P(B/A
3
)  P(A
1
)·P(B/A
1
) 
 P(A
2
)·P(B/A
2
)] 
80
169
29. El cap d’estudis d’un institut, abans de posar un càstig als
seus alumnes, els concedeix una oportunitat. Els presenta
dues urnes idèntiques, A i B. L’urna A conté 4 boles negres i
2 de blanques, i l’urna B, en conté 2 de negres i 3 de blan
ques. L’alumne tria una urna i n’extreu una bola, i si és blan
ca és perdonat. Un alumne s’ha salvat del càstig. Quina és la
probabilitat que hagi triat l’urna A?
P 

1
2
·
1 3

: 
1 2
·
1 3

1 2
·
3 5


5
14
30. Es llancen dos daus n vegades.
a) Calcula la probabilitat que surti el 6 en els dos daus al
menys una vegada.
La probabilitat que surti un doble 6 en una tirada és
1
6

1 6

1
36
.
La probabilitat que no obtinguem un doble 6 en una tirada és
1 2
1
36

35
36
La probabilitat d’obtenir el doble 6 almenys una vegada és
1 2

1
36

n
.
b) Quantes vegades cal llançar els daus per poder apostar a
guanyar que surti el 6 en els dos daus?
Per poder guanyar, la probabilitat ha de ser més gran que
6
7
; és
a dir:
1 2

35
36

n
.
6 7
, o el que és el mateix:

35 36

n
.
1 2
Si es prenen logaritmes en aquesta expressió: n .
log2
log36 2 log35
.
Aproximadament, n . 24. Si es tira el dau almenys 25 vegades,
és més probable que surti el doble 6.
31. Un banc ha comprovat que la probabilitat que un client amb
fons escrigui la data equivocada en un xec és 0,001. En canvi,
la probabilitat que un client sense fons ho faci, és 1. El 90 %
dels clients del banc té fons. A la caixa s’ha presentat un xec
amb la data equivocada. Quina és la probabilitat que sigui
sense fons?
P {data equivocada/amb fons} = 0,001
P { data equivocada/sense fons} = 1
P {client amb fons} = 0,9
P {client sense fons} = 0,1
P { sense fons/data equivocada} 2
1
1 1 0,009
5 0,99
Avaluació
1. S’agafen dues cartes d’una baralla de 48. Troba les probabili
tats dels esdeveniments següents:
a) Que siguin dos asos.
El nombre de casos possibles en extreure dues cartes d’una bara-
lla de 48 és:
C
2
48
5 1 128
Casos favorables 2 asos de 4 C
2
4
5 6 ? P 5
6
1 128
5
1
188

b) Que siguin dues fi gures.
Casos favorables 2 figures de 12: C
2 12
5 66 ? P 5
6
1 128
5
11
188

c) Que siguin dues cartes del mateix número.
Casos favorables 6 en extreure 2 de 4 iguals multiplicat per 12
números diferents: 72.
P 5
6
1 128
5
1
188

203MATEMÀTIQUES 1 la
d) Que siguin dos reis.
La probabilitat és la mateixa de l’apartat a).
2. D’una baralla espanyola de 48 cartes en traiem una a l’atzar.
Són independents els esdeveniments “treure un rei” i “treu
re una espasa”? Raona la resposta.
p(rei) 5
41
48 12
=
p(espasa) 5
12 1
48 4
=∩p(rei) · p(espasa) 5 p(rei ∩espasa)
Sí, els dos esdeveniments són independents.
p(rei ∩espasa) 5
1
48
3. Tenim una urna amb 4 boles blanques, 4 de negres i 2 de
vermelles. En traiem 3 consecutivament, i retornem cada ve
gada la bola a l’urna abans de treure la següent. Calcula la
probabilitat que almenys dues siguin blanques.
Dues boles blanques ens poden sortir: bbx; bxb; xbb.
Tres boles blanques només poden aparèixer d’una manera: bbb
p(2blanques
U 3blanques) 5 p(2blanques) 1 p(3blanques) 5
5
4464 44 28864 352
3· ·· ·0 ,352
101010101010 1000 1000 1000
⋅+ =+ ==
4. Un producte està format per tres parts A, B i C. En el procés
de fabricació s’ha comprovat que la probabilitat que apare
gui un defecte a A és 0,03, un defecte a B és 0,02 i un de
fecte a C és 0,01. Si sabem que els tres esdeveniments són
independents, calcula la probabilitat que un producte elegit
a l’atzar no tingui cap dels defectes.
D
A
: esdeveniment tenir un defecte en A
p(D
A
) 5 0,03 i p (D
– c) 5 0,97
D
B
: esdeveniment tenir un defecte en B
p(D
B
) 5 0,02 i p (D
– c) 5 0,98
D
C
: esdeveniment tenir un defecte en C
p(D
C
) 5 0,01 i p (D
– c) 5 0,99
p (D
−
A ∩ D
−
B ∩ D
−
C)5 0,97 · 0,98 · 0,99 5 0,9411
5. En una cadena de muntatge hi ha una etapa on 3 robots A,
B i C solden peces. La probabilitat que la soldadura sigui
defectuosa i el percentatge de peces que solda ens la dóna
la taula següent:
Robots
Probabilitat de soldadura
defectuosa
Peces que solda
el robot
A 0,002 18 %
B 0,005 42 %
C 0,001 40 %
Quin és el percentatge de soldadures defectuoses? Si esco
llim una peça i és defectuosa en la soldadura, quina és la
probabilitat que l’hagi soldat el robot C?
a) Si anomenem d: esdeveniment defectuós en la soldadura
p(d) 5 p(A) · p(d|A) 1 p(B) · p(d|B) 1 p(C) · p(d|C) 5
5 0,18 · 0,002 1 0,42·0,005 1 0,40·0,001 5 0,00286
b) Aplicant el teorema de Bayes
()
()() ()() ()()
() |
(|)
|| |
0,400,001 0,0004
0,1399
0,40,0010,180,0020,420,0050,00286
pCpdC
pCd
pCpdCpApdA pBpdB
⋅
==
⋅+ ⋅+ ⋅
⋅
⋅= =
⋅+ ⋅+ ⋅
j Unitat 16. Distribució
de probabilitat
Activitats
1. Llancem una moneda enlaire quatre vegades. Deﬁnim la va
riable aleatòria X com el nombre de cares que surtin.
a) Determina la funció de probabilitat i la funció de distri
bució de la variable X.
1 1
p[X  0] 
——; p[X  1]  —;
16 4
3 1
p[X  2] 
—; p[X  3]  —;
8 4
1
p[X  4] 
——
16
0 si x  0
1

—— si 0  x  1
16
5

—— si 1  x  2
F(x) 

5
16
11

—— si 2  x  3
16
15

—— si 3  x  4
16
1 si x  4

204 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
b) Representa gràﬁcament la funció de probabilitat i la fun
ció de distribució.
c) Calcula l’esperança matemàtica i la desviació típica.
1 3 1
 
5

i1
x
i
p
i
 —  2—  3— 
4 8 4
1 1 3 3 1
 4
——  —  —  —  — 
16 4 4 4 4
8

—  2
4
 
√


5


i1
x
2
i
p
i
 
2

1 3 1 1

√

—  4—  9—  16 ——  4 
4 8 4 16
1 3 9

√
—  —  —  1  4  √
1  1
4 2 4
2. En l’experiment aleatori de llançar dos daus enlaire deﬁnim
la variable aleatòria X com X (a, b)  max(a , b), on (a, b) són
els resultats que mostren els dos daus. Determina la funció
de probabilitat i calcula l’esperança matemàtica.
x
i
1 2 3 4 5 6
p
i
1
——
36
1
——
12
5
——
36
7
——
36
1
—
4
11
——
36
1 1 5
 
6

i1
x
i
p
i
 1 ——  2 ——  3 —— 
36 12 36
7 1 11 1 1
 4
——  5—  6 ——  ——  — 
36 4 36 36 6
5 7 5 11 161

——  —  —  ——  ——  4,472
(
12 9 4 6 36
3. La funció de probabilitat d’una variable alea tòria discreta
està expressada en aquesta taula:
x
i
2 1 0 2 4
p
i
1
—
8
1
—
6
1
—
8
1
—
4
1
—
3
a) Determina la funció de distribució i representa-la gràﬁ
cament.
0 si x  2
1

— si 2  x  1
8
7

—— si 1  x  0
F(x) 

5
24
5

—— si 0  x  2
12
2

— si 2  x  4
3
1 si x  4
b) Troba l’esperança, la variància i la desviació típica.
1 1 1
 
5

i1
x
i
p
i
 2—  1—  0— 
8 6 8
1 1
 2
—  4— 
4 3
1 1 1 4 17
 
—  —  —  —  ——  1,416
(
4 6 2 3 12

205MATEMÀTIQUES 1 la

2

5

i1
x
i
2
p
i
 
2

1 1 1
 (2)
2
—  (1)
2
—  0
2
— 
8 6 8
1 1 17
 2
2
—  4
2
—  
——
2

4 3 12
1 1 16 289

—  —  1  ——  —— 
2 6 3 144
719

——  4,99305
(
144
719
√
719
 
√

——  ———  2,2345
144 12
4. La variable aleatòria discreta uniforme és aquella que pren
valors 1, 2, 3… n, amb probabilitats:
1
p
i
 — i  1, 2, 3... n
n
Calcula la funció de distribució, l’esperan ça i la desviació
típica d’aquesta variable.
0 si x  1
1

— si 1  x  2
n

F(x) 

5
...
n  1
——— si n  1  x  n
n

1 si x  n
1 1 1 1
 
n

i1
x
i
p
i
 1—  2—  3—  ...  n — 
n n n n
1

— (1  2  3  ...  n) 
n
1 n  1 1 (n  1)n n  1

—
———
 — —————  ———
n 2 n 2 2

2

n

i1
x
i
2
p
i
 
2

1 1 1 1 n  1
 1
2
—  2
2
—  3
2
—  ...  n
2
—  
———
2

n n n n 2
1 (n  1)
2
 — (1  4  9  ...  n
2
)  ———— 
n 4
1 [n(2n  3)  1]n (n  1)
2
n
2
 1

— ————————  ————  ————
n 6 4 12
n
2

1 1 n
2
 1
 
√

————  —
√

————
12 2 3
5. A partir de la variable aleatòria de l’exemple 2:
a) Comprova la segona propietat de la funció de probabilitat
de la distribució binomial.
6

i0
p[X  i]  p[X  0]  p[X  1] 
 p[X  2]  p[X  3]  p[X  4] 
 p[X  5]  p[X  6] 
15 625 5
6
 ———  ——  1
5
6
5
6
b) Deﬁneix la funció de distribució.
0 si x  0
4 096

——— si 0  x  1
15 625
2 048

——— si 1  x  2
3 125
2 816
——— si 2  x  3
F(x) 

5

3 125
3 072
——— si 3  x  4
3 125
624

—— si 4  x  5
625
15 624

——— si 5  x  6
15 625
1 si x  6
6. Calcula:
1
a) p[X  5], en B

7, —
3
7 1 2
p[X  5] 




5


2

5 3 3
1 4 214 74 28
 21
—— ——  ———  ——  ——
3
5
3
2
3
7
3
6
729
1
b) p[X  2], en B

5, —
2
p[X  2]  p[X  0]  p[X  1]  p[X  2] 
5 1 5 1 5 1
 


5
 


5
 


5

0 2 1 2 2 2
1 5 10 16 2
4
1

——  ——  ——  ——  ——  —
2
5
2
5
2
5
2
5
2
5
2

206 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
2
c) p[X  3], en B

8, —
3
p[X  3]  1  p[X  3] 
 1  (p[X  0]  p[X  1]  p[X  2]  p[X  3]) 
8 1 8 2 1 8 2 1
 1 



8
 



7
 


2


6

0 3 1 3 3 2 3 3
8 2 1




3


5


3 3 3
1 16 112 448
 1 

——  ——  ——  ——

3
8
3
8
3
8
3
8
577 577 5 984
 1 
——  1  ———  ———
3
8
6 561

6 561
3
d) , 
2
i , en B
10, —
5
3
  np  10
—  6
5
3 2 12

2
 npq  10 ——  ——
5 5 5
12 3
 
√
npq 
√

——  2
√

—
5 5
7. Llancem una moneda enlaire 100 vegades. Estableix la pro
babilitat d’obtenir:
1
X: «nombre de cares» → B

100, —
2
a) 47 cares.
100 1
p[X  47] 

——
—
100

47 2
100


——
2
100
0,0666
47
b) 35 creus.
100 1
p[X  65] 

——
—
100

65 2
100
 
——
2
100
 0,000864
35
c) Almenys 2 cares.
p[X  2]  1  p[X  2] 
 1  (p[X  0]  p[X  1]) 
100 1 100 1
 1  
——
—
100
 
——
—
100


0 2 1 2
 1  (2
100
 1002
100
) 
 1  [2
100
(1  100)]  1  1012
100
d) Cap creu.
100 1
p[X  100] 

——
—
100
 2
100

100 2
 7,889 · 10
31
8. Una família de Tarragona té cinc ﬁlls. Suposant que la pro
babilitat que un dels ﬁlls sigui nen és 0,45, calcula la
probabilitat que siguin:
X: «número de nens» → B (5; 0,45)
a) Tres nens i dues nenes.
5
p[X  3] 

—
0,45
3
0,55
2

3
 100,0911250,3025  0,27565
b) Menys nens que nenes.
p[X  2]  p[X  0]  p[X  1]  p[X  2] 
5 5 5

—
0,55
5
 
—
0,450,55
4
 
—
0,45
2
0,55
3

0 1 2
 0,0503284  0,205889  0,3369094 
 0,59313
c) Una sola nena.
5
p[X  4] 

—
0,45
4
0,55 
4
 50,04100630,55  0,11277
d) Cap nen.
5
p[X  0] 

—
0,55
5
 0,05033
0
9. El 2 % dels articles produïts en una fàbrica és defectuós. Cal
cula el nombre esperat i també la desviació tipus d’articles
defectuosos en una comanda de 10 000 unitats.
1
X: «número d’articles defectuosos» → B

10 000, ——
50
1 10 000
  np  10 000
——  ——— 
50 50
 200 articles defectuosos
1 49
 
√
npq √

10 000—— —— 
50 50
10
4
7
2
10
2
7 1007

√

————  ———  ——— 
50
2
50 50
 14 articles defectuosos

207MATEMÀTIQUES 1 la
10. Determina el nombre esperat de nenes en una família de
vuit ﬁlls, si suposem igualment probable la distribució de
sexes. Quina és la probabilitat que la família tingui el nom
bre esperat de nenes?
1
X: «nombre de nenes» → B

8, —
2
1
  np  8
—  4 nenes
2
8 1 70 35 35
p[X  4] 

—
—
8
 ——  ——  ——
4 2 2
8
2
7
128
11. Tenim un dau en forma de tetràedre, és a dir, amb quatre
cares que són triangles equilàters. Numerem les cares de l’1
al 4 i considerem la variable aleatòria X: «nombre d’1» per
a n  5.
a) Estudia la distribució binomial corresponent.
1 1
p  — → B 
5, —
4 4
b) Deﬁneix les funcions de probabilitat i de distribució.
5 3 3
5
243
p[X  0] 

—
—
5
 ——  ———
0 4 4
5
1 024
5 1 3
p[X  1] 

—
—
—
4

1 4 4
1 3
4
405
 5
———  ———
4 4
4
1 024
5 1 3
p[X  2] 

—
—
2

—
3

2 4 4
1 3
3
270 135
 10
————  ———  ——
4
2
4
3
1 024 512
5 1 3
p[X  3] 

—
—
3

—
2

3 4 4
1 3
2
90 45
 10
—— ——  ———  ——
4
3
4
2
1 024 512
5 1 3
p[X  4] 

—
—
4
— 
4 4 4
1 3 15
 5
—— —  ———
4
4
4 1 024
5 1 1 1
p[X  5] 

—
—
5
 ——  ———
5 4 4
5
1 024
243
F(0)  p[X  0]
 p[X  0]  ———
1 024
F(1)  p[X  1]  p[X  0]  p[X  1] 
243 405 648 81
 ———  ———  ——— 
——
1 024 1 024 1 024 1 28
F(2)  p[X  2]  p[X  0]  p[X  1]  p[X  2] 
81 135 459

——  ——  ——
128 512 512
F(3)  p[X  3]  p[X  0]  p[X  1]  p[X  2]  p[X  3] 
459 45 504 63

——  ——  ——  ——
512 512 512 64
F(4)  p[X  4] 
 p[X  0]  p[X  1]  p[X  2]  p[X  3]  p[X  4] 
63 15 1 023

——  ———  ———
64 1 024 1 024
F(5)  p[X  5] 
 p[X  0]  p[X  1]  p[X  2]  p[X  3] 
 p[X  4]  p[X  5] 
1 023 1 1 024

———  ———  ———  1
1 024 1 024 1 024
d’on s’obté la funció de distribució:
0 si x  0
243

——— si 0  x  1
1 024
81

—— si 1  x  2
128
459
F(x) 

5
—— si 2  x  3
512
63

—— si 3  x  4
64
1 023

——— si 4  x  5
1 024
1 si x  5
c) Calcula’n l’esperança i la desviació típica.
1 5
  np  5
—  —  1,25
4 4
1 3
 
√
npq  √

5—— 
4 4

√
15

——  0,968246
4

208 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
12. El 3 % de les peces elaborades per una màquina és defec
tuós. Les peces es venen en caixes de 25 unitats cadascu
na. Quina és la probabilitat que una caixa contingui com a
màxim una peça defectuosa?
3
X: «nombre de peces defectuoses» → B

25, ——
100
p[X  1]  p[X  0]  p[X  1] 
25 97 25 3 97


——
——
25
 
——
—— 
——
24

0 100 1 100 100
 0,4669747  0,3610629  0,82804
13. Una determinada malaltia té un índex de mortalitat del
20 %. Si en un hospital hi ha sis persones afectades, calcula la
probabilitat que almenys la meitat dels pacients sobrevisqui.
4
X: «nombre de persones que sobreviuen» → B

6, —
5
p[X  3]  1  p[X  3] 
 1  (p[X  0]  p[X  1]  p[X  2]) 
6 1 6 4 1
 1 

—
—
6
 
—
—
—
5

0 5 1 5 5

6

4

1


—
—
2

—
4


2 5 5
 1  (0,000064  0,001536  0,01536) 
 1  0,01696  0,98304
14. El 55 % dels treballadors d’un organisme oﬁcial són dones.
Per llei, el 25 % dels alts càrrecs han de ser dones. Si es trien
5 funcionaris a l’atzar, quina és la probabilitat que 3 siguin
dones? I si la elecció només es fa entre els alts càr recs?
11
X: «nombre de dones» → B

5, ——
20
5 11 9
p[X  3] 

—
——
3

——
2

3 20 20
11
3
9
2
1 078 110
 10
—— ——  ———— 
20
3
20
2
20
5
1 078 110 107 811
 —————  ————  0,33691
3 200 000 320 000
1
X: «nombre de dones» → B

5, —
4
5 1 3
p[X  3] 

—
—
3

—
2

3 4 4
1 3
2
90 90
 10
—— ——  —— 
——— 
4
3
4
2
4
5
1 024
45

——  0,08789
512
15. Si X representa una variable aleatòria contínua:
a) Demostra que f(x) és una funció de densitat:
1
— si 0  x  2
f(x) 
5
2
0 si x  [0, 2]
1. Per la mateixa definició de f(x), tenim que f(x)  0,
x  .
2. L’àrea del recinte que determina la gràfica de f(x) amb
l’eix OX és:
1 1
A  (2  0)
—  2—  1 u
2
2 2
Per 1 i 2 tenim que f(x) és una funció de densitat.
b) Representa-la gràﬁcament.
16. Per a la funció de densitat de l’exercici anterior, calcula:
a) p[X  1]
1
p[X  1] 
—
2
1
b) p

X  —
2
1 3
p

X  —
 —
2 4
1 3
c) p

—  X  —
4 2
1 3
p

—  X  —

4 2
3 1
 p

X  —
 p
X  —

2 4
3 1 5

—  —  —
4 8 8
17. En una variable aleatòria contínua X es deﬁneix la funció:
kx si x  [0, 5]
f(x) 
5
0 si x  [0, 5]

209MATEMÀTIQUES 1 la
a) Calcula el valor de k per tal que la funció f(x) sigui una
funció de densitat.
55k 25k
A  ——— 
———
2 2
25k 2
———  1 → k 
——
2 25
b) Troba p[2  X  3,5] per al valor de k calculat en l’apartat
anterior.
p[2  X  3,5]  p[X  3,5]  p[X  2] 
7 7 4
— —— 2 ——
2 25 25
 ——————  ———— 
2 2
49 4 33

——  ——  ——
100 25 100
18. Contesta raonadament cadascuna d’aquestes qüestions a partir de la taula de la distribució normal reduïda:
a) Per què el primer valor de probabilitat que es troba a la
taula és 0,5?
Perquè la gràfica de la funció de densitat de la distribució
normal N(0, 1) és simètrica respecte del valor z  0 i sabem
que p[Z  0]  0,5.
b) Quin és el valor de p[Z  4,5]? I el valor de p[Z  5]?
p[Z  4,5]  1
perquè segons la taula:
p[Z  4]  1
p[Z  5]  0
perquè: p[Z 5]  p[Z 5]
i p[Z  5]  1  p[Z  5]  1  1  0
19. Si Z és una variable N(0, 1), calcula:
a) p[Z  2,38]
p[Z  2,38]  p[Z  2,38] 
 1  p[Z  2,38]  1  0,9913 
 0,0087
b) p[Z  1,64]
p[Z  1,64]  0,9495
c) p[Z  1,03]
p[Z  1,03]  p[Z  1,03]  0,8485
d) p[Z  0,82]
p[Z  0,82]  1  p[Z  0,82] 
 1  0,7939  0,2061
e) p[1,5  Z  3]
p[1,5  Z  3]  p[Z  3]  p[Z 
1,5] 
 0,99865  0,9332  0,06545
f) p[0,79  Z  0,79]
p[0,79  Z  0,79] 
 2(p[Z  0,79]  0,5) 
 2(0,7852  0,5)  20,2852  0,5704
20. A partir de la taula, comprova a la distribució N(0, 1) que:
a) A l’interval (1, 1) es troba el 68,26 % del total de la
probabilitat.
p[1  Z  1]  2(p[Z  1]  0,5) 
 2(0,8413  0,5)  20,3413 
 0,6826
p[1  Z  1]  0,6826 → 68,26 %
b) A l’interval (2, 2) es troba el 95,44 % del total de la
probabilitat.
p[2  Z  2]  2(p[Z  2]  0,5) 
 2(0,9772  0,5)  20,4772  0,9544
p[2  Z  2]  0,9544 → 95,44 %
c) L’interval (3, 3) inclou el 99,74 % del total de la proba
bilitat.
p[3  Z  3]  2(p[Z  3]  0,5) 
 2(0,9987  0,5)  20,4987  0,9974
p[3  Z  3]  0,9974 → 99,74 %
21. Considerem X una variable N(8, 3). Calcula:
a) p[X  9]
p[X  9]  p[Z  0,33]  0,6293
b) p[X  7]
p[X  7]  p[Z  0,33] 
 p[Z  0,33]  0,6293
c) p[6  X  7,5]
p[6  X  7,5] 
 p[0,67  Z  0,17] 
 p[0,17  Z  0,67] 
 p[Z  0,67]  p[Z  0,17] 
 0,7486  0,5675  0,1811

210 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
d) p[7,2  X  8,7]
p[7,2  X  8,7] 
 p[0,27  Z  0,23] 
 p[Z  0,23]  p[Z  0,27] 
 p[Z  0,23]  (1  p[Z  0,27] ) 
 p[Z  0,23]  p[Z  0,27]  1 
 0,5910  0,6064  1  0,1974
22. Tenint en compte que l’àrea que es dóna fa referència a una
distribució normal N(0, 1), determina el valor o els valors
de la variable Z en cadascun dels casos següents:
a) L’àrea entre 0 i z és 0,3770.
p[0  Z  z]  0,3770 →
→ p[Z  z]  0,8770 → z  1,16
b) L’àrea a l’esquerra de z és 0,8621.
p[Z  z]  0,8621 → z  1,09
c) L’àrea entre 1,5 i z és 0,0217.
p[1,5  Z  z]  0,0217 →
→ p[Z  z]  p[Z  1,5]  0,0217
p[Z  1,5]  p[Z  1,5] 
 1  p[Z  1,5]  1  0,9332  0,0668
p[Z  z]  0,0668  0,0217 →
→ p[Z  z]  0,0885 →
→ p[Z  z]  0,0885
p[Z  z]  1  0,0885  0,9115 →
→ z  1,35 → z  1,35
23. En una població s’estableixen dos grups A i B. Els quo
cients intel
.
lectuals d’ambdós grups es distribueixen segons
N(100, 30) i N (120, 35), respectivament. S’escull un individu
de cada grup de manera alea tòria i independent. Calcula:
X: «quocient intel
.
lectual grup A»
Y: «quocient intel
.
lectual grup B»
a) La probabilitat que l’individu del grup A tingui un quo
cient intel
.
lectual superior a 90.
p[X  90]  p[Z  0,33] 
 p[Z  0,33]  0,6293
b) La probabilitat que l’individu del grup B tingui un quo
cient intel
.
lectual superior a 90.
p[Y  90]  p[Z  0,86] 
 p[Z  0,86]  0,8051
c) La probabilitat que ambdós tinguin un quocient intel
.
lec
tual superior a 90.
p[X  90]p[Y  90] 
 0,62930,8051  0,50665
24. Suposem que el pes dels atletes de marató segueix una dis
tribució normal N(62, 3,4).
X: «pes en kg»
a) Calcula la probabilitat que un atleta pesi més de 65 kg.
p[X  65]  p[Z  0,88] 
 1  p[Z  0,88]  1  0,8106  0,1894
b) El 70 % dels atletes no supera un determinat pes. Quin és
aquest pes?
p[X  x]  0,7
p[Z  z]  0,7 → z  0,52 →
→ x  z    3,40,52  62 
 63,768 kg
25. Calcula la probabilitat d’obtenir entre 4 i 7 creus, ambdues
incloses, en fer 12 llançaments d’una moneda utilitzant:
X: «nombre de creus»
a) La distribució binomial.
1
B

12, —
2
p[4  X  7]  p[X  4]  p[X  5]  p[X  6]  p[X  7] 
12 1 12 1 12 1 12 1
 
——
—
12
 
——
—
12
 
——
—
12
 
——
—
12

4 2 5 2 6 2 7 2
1 12 12 12 12
 ——

——
 
——
 
——
 
——

2
12
4 5 6 7
1 3 003 3 003
 —— (495  792  924  792) 
———  ——— 
2
12
2
12
4 096
 0,73315
b) L’aproximació normal de la distribució binomial.
1 1
B

12, —
;   np  12 —  6;
2 2
 
√
npq 
1 1

√

12——  √
3  1,732
2 2
N(6; 1,732)
p[3,5  X  7,5] 
 p[1,44  Z  0,87] 
 p[Z  0,87]  p[Z  1,44] 
 p[Z  0,87]  p[Z  1,44] 
 p[Z  0,87]  (1  p[Z  1,44]) 
 0,8078  (1  0,9251) 
 0,8078  0,0749  0,7329

211MATEMÀTIQUES 1 la
26. Es llança un dau 180 vegades. Troba la probabilitat d’obtenir
el número 6 entre 29 i 32 vegades (ambdues incloses).
1
B

180, —
; X: «nombre de 6»
6
1
  np  180 —  30;
6
6
1 5
 
√
npq  √

180——  √ 25  5
6 6
N(30, 5)
p[28,5  X  32,5]  p[0,3  Z  0,5] 
 p[Z  0,5]  p[Z  0,3] 
 p[Z  0,5]  p[Z  0,3] 
 p[Z  0,5]  (1  p[Z  0,3]) 
 0,6915  (1  0,6179) 
 0,6915  0,3821  0,3094
27. Tirem enlaire 500 vegades una moneda que ha estat trucada,
2
de manera que la probabilitat d’obtenir creu és
—. Calcula
5
la probabilitat que el nombre de cares no difereixi de 300:
3
X: «nombre de cares» → B

500, —
5
3
  np  500
—  300;
5
3 2
 
√
npq  √

500—— 
5 5

√
120  10,95
N(300; 10,95)
a) En més de 10 tirades.
p[289,5  X  310,5] 
 p[0,96  Z  0,96] 
 2(p[Z  0,96]  0,5) 
 2(0,8315  0,5)  20,3315  0,663
b) En més de 20 tirades.
p[279,5  X  320,5] 
 p[1,87  Z  1,87] 
 2(p[Z  1,87]  0,5) 
 2(0,9693  0,5)  20,4693  0,9386
28. Quan llancem 120 vegades un dau normal, quina és la pro
babilitat que la cara 4 surti exactament 24 vegades? I que
surti 14 vegades com a màxim?
1
X: «nombre de 4» → B

120, —
6
1
  np  120
—  20;
6
1 5 600
 
√
npq 
√

120—— 
√

—— 
6 6 36
5
 — √
6  4,08
3
N(20; 4,08)
p[23,5  X  24,5]  p[0,86  Z  1,1] 
 p[Z  1,1]  p[Z  0,86] 
 0,8643  0,8051  0,0592
p[X  14,5]  p[Z  1,35] 
 p[Z  1,35]  1  p[Z  1,35] 
 1  0,9115  0,0885
29. Troba la probabilitat d’obtenir més de 36 vegades el número 6 en 50 tirades d’un parell de daus no trucats.
11
X: «nombre de 6» → B

50, ——
36
11
  np  50
——  15,27
(
;
36
11 25
 
√
npq  √

50—— ——  3,26
36 36
N(15,27
(
; 3,26)
p[X  35,5]  p[Z  6,2]  0
30. Es llança 2500 vegades el dau de l’exercici 11. Calcula la
probabilitat d’obtenir el número 3:
1
X: «nombre de 3» → B

2 500, —
4
1
  np  2 500
—  625;
4
1 3
 
√
npq √

2 500——  21,65
4 4
N(625; 21,65)
a) 400 vegades.
p[399,5  X  400,5] 
 p[10,42  Z  10,37] 
 p[10,37  Z  10,42] 
 p[Z  10,42]  p[Z  10,37]  0
b) La meitat de les vegades que es llança.
p[1249,5  X  1250,5] 
 p[28,84  Z  28,89] 
 p[Z  28,89]  p[Z  28,84]  0
c) Més de 1 000 vegades.
p[X  999,5]  p[Z  17,3]  0

212 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
31. Calcula p[X  8] per a una variable que segueix una distribució
1
binomial B

40, —
.
5
Compara-ho amb el resultat que s’obté fent ús de l’aproximació
normal. És bona aquesta aproximació? Per què?
40 1 4
p[X  8] 

——

—
8

—
32
 0,15598
8 5 5
1
B

40, —
5
1
  np  40
—  8;
5
1 4
 
√
npq 
√

40——  2,53
5 5
N(8; 2,53)
p[7,5  X  8,5]  p[0,2  Z  0,2] 
 2(p[Z  0,2]  0,5) 
 2(0,5793  0,5)  20,0793  0,1586
Tot i que n  30, no és molt bona aproximació perquè p  0,2
no és un valor proper a 0,5.
32. La probabilitat que un vaporitzador d’insecticida mati un mosquit és 0,75. Si dirigim el vaporitzador contra 100 mos
quits, quina és la probabilitat de matar-ne almenys 75? I de
matar-ne menys de 50?
B(100; 0,75); X: «nombre de mosquits morts»
  np  1000,75  75;
 
√
npq  √ 1000,750,25  √ 18,75  4,33
N(75; 4,33)
p[X  74,5]  p[Z  0,12] 
 p[Z  0,12]  0,5478
p[X  50,5]  p[Z  5,66]  0
33. En l’experiment aleatori E: «llançar quatre monedes a la ve gada», considera la variable X: «que surtin 3 cares». Realit
zant 1 000 vegades l’experiment i cal culant prèviament la
probabilitat per a n = 1, calcu la aproximant per una distribu
ció normal:
a) p[X  280
La probabilitat que surtin 3 cares en llançar quatre monedes és
p  4 

1
2

4

1 4
.
La variable aleatòria X definida segueix una distribució binomial
B

1 000,
1 4

, d’on:
µ  np  1 000 ·
1
4
 250 i
s 
√npq 
√
1 000·
1 4
·
3 4
· 

√187,5  13,7
La distribució normal aproximada és: N(250, 13,7)
p[X ≥ 280]  p[Z ≥ 2,1 9]  1 ] p[Z ≤ 2,19]  1 ] 0,9857  0,0143
b) p[X ≤ 240]
p[X ≤ 240]  p[Z ≤ ] 0,73]  p[Z ≥ 0,73]  1 ] p[Z ≤ 0,73] 
 1 ] 0,7673  0,2327
c) p[245 ≤ X ≤ 265]
p[245 ≤ X ≤ 265]  p[] 0,36 ≤ Z ≤ 1,09] 
 p[Z ≤ 1,09] ] p[Z ≤ ] 0,36  p[Z ≤ 1,09] ] p[ Z ≥ 0,36] 
 p[Z ≤ 1,09] ] (1 ] p[Z ≤ 0,36])  0,8621 ] (1 ] 0,6406) 
 0,8621 ] 0,3594  0,5027
d) p[X  260]
p[259,5 ≤ X ≤ 260,5]  p[0,69 ≤ Z ≤ 0,77] 
 p[Z ≤ 0,77] ] p[Z ≤ 0,69]  0,7794 ] 0,7549  0,0245
34. Per una distribució binomial B(400, 0,4), calcula:
a) p[X ≤ 150]
µ  np  400·0,4  160;
s 
√npq  √400·0,4·=,6  √96  98
La distribució normal corresponent és: N(160, 9,8)
p[X ≤ 150]  p[Z ≤ ] 1,02]  p[Z ≥ 1,02]  1 ] p[Z ≤ 1,02] 
 1 ] 0,8461  0,1539
b) p[140 ≤ X ≤ 175]
p[140 ≤ X ≤ 175]  p[] 2,04 ≤ Z ≤ 1,53] 
 p[Z ≤ 1,53] ] p[Z≤ −2,04]  p[Z ≤ 1,53] ] p[Z ≥ 2,04] 
 p[Z ≤ 1,53] ] (1 ] p[Z ≤ 2,04])  0,937 ] (1 ] 0,9793) 
 0,937 ] 0,0207  0,9163
c) p[X ≤ 165]
p[164,5 ≤ X ≤ 165,5]  p[0,46 ≤ Z ≤ 0,56] 
 p[Z ≤ 0,56] ] p[Z ≤ 0,46]  0,7123 ] 0,6772  0,0351
d) p[X ≥ 180]
p[X ≥ 180]  p[Z ≥ 2,04]  1 ] p[Z ≤ 2,04]  1 ] 0,9793  0,0207
35. Troba la probabilitat que una variable discreta prengui va
lors entre 380 i 420 en una distribució binomial B(n, p), per
n  600 i p 
2
3
.
µ  np  600 ·
2 3
 400;
s 
√npq 
√
600·
2 3
·
1 3


√133,3
(
 11,5
La distribució normal aproximada és: N(400, 11,55)
p[380 ≤ X ≤ 420]  p[] 1,73 ≤ Z ≤ 1,73]  2(p[Z ≤ 1,73] ] 0,5) 
 2(0,9582 ] 0,5)  2·0,4582  0,9164
36. Es llança 300 vegades un dau. Calcula la probabilitat d’obte
nir un número parell de punts:
a) Menys de 120 vegades.
La probabilitat d’obtenir un nombre parell de punts en llançar un
dau una vegada és:

213MATEMÀTIQUES 1 la
p 
3
6

1 2
, d’on s’obté:
µ  np  300·
1 2
 150;
s 
√npq 
√
300·
1 2
·
1 2

√75  8,66
La distribució normal aproximada és: N(150, 8,66)
p[X ≤ 120]  p[Z ≤ ] 3,46]  p[Z ≥ 3,46]  1 ] p[Z ≤ 3,46] 
 1 ] 0,99973  0,00027
b) Més de 150 vegades.
p[X ≥ 150]  p[Z ≥ 0]  0,5
c) Exactament 140 vegades.
p[139,5 ≤ X ≤ 140,5]  p [] 1,21 ≤ Z ≤ ] 1,09] 
 p[1,09 ≤ Z ≤ 1,21]  p[Z ≤ 1,21] ] p[Z ≤ 1,09] 
 0,8869 ] 0,8621  0,0248
Punt final
1
Llancem una moneda

p  q  — 
200 vegades (n  200) i
2
definim la variable X: «nombre de cares».
1
X: «nombre de cares» → B

200, —
2
1
  np  200
—  100
2
1 1
 
√
npq 
√

200——  7,07
2 2
N(100; 7,07)
a) Quin serà el risc per a un interval de confiança d’amplitud
2l  20?
2  20 →   10
p[90  X  110]  p[1,41  Z  1,41] 
 2(p[Z  1,41]  0,5)  2(0,9207  0,5) 
 20,4207  0,8414 →
→   1  0,8414  0,1586
d’on tenim que   15,86%.
b) Si fem una predicció amb un risc del 5 %, quin serà l’interval
de confiança?
  5 % → p[100  
1
 X  100  
1
] 
 0,95 per a 
1
 z
1
p[X  100  
1
]  0,975
p[Z  z
1
]  0,975 →
→ z
1
 1,96 →
→ 
1
 7,071,96  13,86
L’interval de confiança és:
(86,14; 113,86)
c) Calcula el valor de l de l’interval de confiança per a a 5 2,5 %.
  2,5 % → p[X  100  
2
]  0,9875
per a 
2
 z
2
p[Z  z
2
]  0,9875 →
→ z
2
 2,24 →
→ 
2
 7,072,24  15,84
Activitats finals
1. Troba la probabilitat d’obtenir:
a) Dos èxits mitjançant la distribució
1
B

4, —
.
3
X: «nombre d’èxits»
4 1 2
p[X  2] 

—

—
2

—
2

2 3 3
1 2
2
24 8 8
 6
——  ——  —  ——
3
2
3
2
3
4
3
3
27
1
b) Més de tres èxits mitjançant la distribució B

6, —
.
2
p[X  3] 
 p[X  4]  p[X  5]  p[X  6] 
6 1 6 1 6 1


—

—
6
 
—

—
6
 
—

—
6

4 2 5 2 6 2
1 22 11 11


—
6
(15  6  1)  ——  ——  ——
2 2
6
2
5
32
1
c) Menys de dos fracassos mitjançant la distribució B

4, —
.
4
p[X  2]  p[X  3]  p[X  4] 
4 1 3 4 1


—

—
3

—  
—

—
4

3 4 4 4 4
1 3 1 12 1
 4
——  —  ——  — 
4
3
4 4
4
4
4
4
4
13 13

——  ——

4
4
256
2
2. Un equip A té una probabilitat p 
— de guanyar un partit.
3
Si l’equip juga 6 partits, calcula la probabilitat que:
2
X: «nombre de partits guanyats» → B

6, —
3
a) Guanyi dos partits.
6 2 1
p[X  2] 

—

—
2

—
4

2 3 3
2
2
1 60 20 20
 15
——  ——  ——  ——
3
2
3
4
3
6
3
5
243

214 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
b) Perdi més de la meitat dels partits.
p[X  3] 
 p[X  0]  p[X  1]  p[X  2] 
6 1 6 2 1


—

—
6
 
—
— 
—
5

0 3 1 3 3
6 2 1


—

—
2

—
4

2 3 3
1 12 60 73 73

—  ——  ——  ——  ——
3
6
3
6
3
6
3
6
729
3. Llancem 10 daus alhora. Deﬁnim la variable aleatòria X:
«nombre de daus en què s’obté la cara 1». Calcula:
1
B

10, —
6
a) p[X  3]
10 1 5
p[X  3] 

—

—
3

—
7

3 6 6
1 5
7
 120——  0,15505
6
3
6
7
b) p[X  7]
p[X  7]  p[X  7] 
 p[X  8]  p[X  9]  p[X  10] 
10 1 5 10 1 5


—
—
7

—
3
 
—
—
8

—
2

7 6 6 8 6 6
10 1 5 10 1


—

—
9
—

 
—

—
10

9 6 6 10 6
 0,000248  0,0000186  0,0000008 
 0,00000002  0,0002674
c) p[X  5]
p[X  5]  p[X  0]  p[X  1] 
 p[X  2]  p[X  3]  p[X  4] 
10 5 10 1 5


—
—
10
 
—
— 
—
9

0 6 1 6 6

10 1 5 10 1 5


—
—
2

—
8
 
—
—
3

—
7

2 6 6 3 6 6
10 1 5


—

—
4

—
6

4 6 6
 0,1615056  0,3230112  0,29071 
 0,1550454  0,0542659  0,98454
4. Determina el nombre esperat de respostes correctes en un
examen tipus test de 10 preguntes. Cada pregunta consta de
4 possibles respostes, de les quals, només una és correcta i
se suposa que cada pregunta es contesta a l’atzar.
1
B

10, —
; per X: «nombre de respostes correctes»
4
1
  np  10
—  2,5 respostes correctes
4
5. Se sap que un determinat medicament millora els símptomes
d’una malaltia en dos de cada tres pacients. Si administrem
aquest medicament a set malalts, calcula la probabilitat que:
X: «nombre de persones que milloren amb el medicament» →
2
→ B

7, —
3
a) Millorin quatre persones.
7 2 1
p[X  4] 

—

—
4

—
3

4 3 3
2
4
1 352
4
 35——  ———— 
3
4
3
3
3
7
560

———  0,25606
2187
b) Millorin tres persones com a mínim.
p[X  3]  1  p[X  3] 
 1  (p[X  0]  p[X  1] 
 p[X  2]) 
7 1 7 2 1
 1 

—
—
7
 
—
—


—
6

0 3 1 3 3
7 2 1


—

—
2


—
5


2 3 3
1  (0,0004572  0,0064015  0,0384088) 
 1  0,0452675  0,95473
c) Millorin les set persones.
7 2
p[X  7] 

—

—
7
 0,05853
7 3
6. Estudis recents han conﬁrmat que el 70 % dels portadors del
virus de la SIDA ha consumit algun tipus de droga. A la sala
d’espera d’una consulta especialitzada en aquesta malaltia
s’hi troben, en un cert moment, sis persones portadores del
virus. Determina la probabilitat que cap de les sis persones
hagi consumit drogues.
X: «nombre de persones que han consumit droga»
B(6; 0,7)
6
p[X  0] 

—
0,3
6
 0,000729
0
7.
Se sap que només el 5 % de les persones que visiten un logo
peda són de classe social baixa. Si a la consulta d’un logopeda
hi ha cinc persones, troba la probabilitat que:
X: «nombre de persones de classe social baixa»
B(5; 0,05)

215MATEMÀTIQUES 1 la
a) Cap sigui de classe social baixa.
5
p[X  0] 


0,95
5
 0,773781
0
b) Almenys dues no siguin de classe social baixa.
p[X  3]  1  p[X  3] 
 1  (p[X  4]  p[X  5]) 
5 5
 1 


0,05
4
0,95  

0,05
5


4 5
 1  (0,0000297  0,0000003) 
 1  0,0000300  0,99997
8. Sigui X una variable aleatòria contínua que segueix una dis
tribució normal N(, ). Determina:
3
p

  —  X    2 
2
3
p

  —  X    2 

2
3
 p

—  Z  2

2
 p[Z  2]  p[Z  1,5] 
 p[Z  2]  p[Z  1,5]  p[Z  2]  (1  p[Z  1,5]) 
 0,9772  (1  0,9332)  0,9772  0,0668 
 0,9104
9. Demostra que el 99,74 % del total de l’àrea de recinte que
determina la funció de densitat amb l’eix OX en una distri
bució normal N(, ) es troba a l’interval:
(  3,   3)
p[  3  X    3]  p[3  Z  3] 
 2(p[Z  3]  0,5)  2(0,9987  0,5) 
 20,4987  0,9974 → 99,74 %
10. Troba la probabilitat que una variable cotínua prengui valors
compresos entre 32 i 40 en una distribució N(50, 5).
p[32  X  40]  p[3,6  Z  2] 
 p[2  Z  3,6]  p[Z  3,6] 
p[Z  2] 
 0,99984  0,9772  0,02264
11. La durada de l’embaràs de les dones segueix una distribució
normal, amb una mitjana de 266 dies i una desviació tipus
de 16 dies. Calcula el percentatge d’embarassos amb una
durada màxima de 244 dies.
X: «durada de l’embaràs en dies» → N(266, 16)
p[X  244]  p[Z  1,38]  p[Z  1,38] 
 1  p[Z  1,38]  1  0,9162  0,0838
El 8,38 % d’embarassos.
12. La mitjana de pes de 500 persones és 70 kg i la desviació
típica, 3 kg. Suposant que el pes es distribueix normalment,
determina el nombre de persones que pesa:
X: «pes en kg» → N(70, 3)
a) Entre 60 i 75 kg.
p[60  X  75]  p[3,33  Z  1,67] 
 p[Z  1,67]  p[Z  3,33] 
 p[Z  1,67]  p[Z  3,33] 
 p[Z  1,67]  (1  p[Z  3,33]) 
 0,9525  (1  0,99957) 
 0,9525  0,00043  0,95207
5000,95207  476 persones pesen entre 60 i 75 kg.
b) Més de 90 kg.
p[X  90]  p[Z  6,67]  0
5000  0 → cap persona pesa més de 90 kg.
c) Menys de 64 kg.
p[X  64]  p[Z  2]  p[Z  2] 
 1  p[Z  2]  1  0,9772  0,0228
5000,0228  11 persones pesen menys de 64 kg.
13. La nota mitjana de les proves d’accés a una facultat va ser
de 5,8 amb una desviació típica d’1,75. Si van ser admesos
tots els estudiants amb una nota superior a 6 i considerant
que la distribució és normal:
X: «notes» → N(5,8; 1,75)
a) Quin va ser el percentatge d’estudiants admesos?
p[X  6]  p[Z  0,11] 
 1  p[Z  0,11] 
 1  0,5438  0,4562 → 45,62 %
b) Quina és la probabilitat que exactament quatre de cada
deu estudiants fossin admesos?
B(10; 0,4562); Y: «nombre d’estudiants admesos»
10
p[Y  4] 


0,4562
4
0,5438
6

4
 0,23522
c) Si haguessin admès el 55 % dels estudiants, quina hauria
estat la nota de tall en aquesta facultat?
p[X  x]  0,55 → p[Z  z]  0,55 →
→ p[Z  z]  0,55 → z  0,13
z  0,13 → x  z   
 1,75(0,13)  5,8  5,57
14. La data de caducitat d’un medicament és el 31 de desembre
d’un determinat any. Sabem que, després d’aquesta data,
l’efectivitat del medicament segueix una distribució normal
la mitjana de la qual és de 300 dies i la desviació típica, de
100 dies.
X: «dies que passen de la data de caducitat» → N(300, 100)
a) Calcula la probabilitat que no sigui efectiu el 31 de desem
bre de l’any següent.
p[X  365]  p[Z  0,65]  0,7422

216 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
b) Quin dia s’haurà de consumir si volem tenir un 80 % de
probabilitat que sigui efectiu?
p[X  x]  0,8 → p[Z  z]  0,8 →
→ p[Z  z]  0,8 → z  0,84
z  0,84 → x  z   
 100(0,84)  300  216 dies
216 dies després de la data de caducitat.
15. En un estadi esportiu es volen instal
.
lar focus per il
.
luminar
el terreny de joc. El temps de funcionament dels focus se
gueix una distribució normal, amb una mitjana de 40 hores
i una desviació típica de 4 hores.
X: «temps de funcionament dels focus en hores» → N(40, 4)
a) Si escollim un focus a l’atzar, quina és la probabilitat que
il
.
lumini un mínim de 30 hores?
p[X  30]  p[Z  2,5] 
 p[Z  2,5]  0,9938
b) Si es compren 1 500 focus, quants podem esperar que
funcionin 30 hores com a mínim?
1 5000,9938  1 490,7  1 491 focus
16. Per aprovar unes oposicions es necessita obtenir en una pro
va 100 punts com a mínim. Sabem que la distribució dels
punts obtinguts és normal, amb una mitjana de 110 punts i
una desviació típica de 15 punts.
X: «nombre de punts obtinguts» → N(110, 15)
a) Quina és la probabilitat que aprovi un opositor?
p[X  100]  p[Z  0,67] 
 p[Z  0,67]  0,7486
b) Si es presenten 1 000 opositors i només es disposa de 300
places, quants punts s’hauran d’aconseguir per gua nyar
una d’aquestes places?
p[X  x]  0,3 → p[Z  z]  0,3 →
→ p[Z  z]  0,7 → z  0,52
x  z   
 150,52  110  117,8 punts
17. El percentatge d’espanyols amb estudis mitjans és del 35 %.
Si triem vuit persones a l’atzar, calcula la probabilitat que en
tre 3 i 5 (ambdós inclosos) tinguin estudis mitjans, aplicant:
X: «nombre d’espanyols que tenen estudis mitjans»
a) La distribució binomial.
B(8; 0,35)
p[3  X  5] 
 p[X  3]  p[X  4]  p[X  5] 
8 8 8



0,35
3
0,65
5
 

0,35
4
0,65
4
 

0,35
5
0,65
3

3 4 5
0,2785858  0,1875097  0,0807734  0,5468689
b) L’aproximació normal a la binomial.
  np  80,35  2,8
 
√
npq  √ 80,350,65  1,35
B(8; 0,35) → N(2,8; 1,35)
p[2,5  X  5,5]  p[0,22  Z  2] 
 p[Z  2]  p[Z  0,22] 
 p[Z  2]  p[Z  0,22] 
 p[Z  2]  (1  p[Z  0,22]) 
 0,9772  (1  0,5871) 
 0,9772  0,4129  0,5643
18. El nombre de fulls que empaqueta una màquina segueix una
distribució normal, amb una mitjana de 1000 fulls i una
desviació típica de 10 fulls. Un paquet de fulls s’accepta si
en té entre 995 i 1005. Es demana:
X: «nombre de fulls» → N(1000, 10)
a) La probabilitat que un paquet sigui acceptat.
p[995  X  1005] 
 p[0,5  Z  0,5] 
 2(p[Z  0,5]  0,5) 
 2(0,6915  0,5)  20,1915  0,383
b) La probabilitat que exactament dos paquets de cada deu
siguin acceptats.
B(10; 0,383); Y: «nombre de paquets acceptats»
10
p[Y  2] 


0,383
2
0,617
8

2
 0,13864
c) Si el 65 % dels paquets té més d’un determinat nombre
de fulls, quants fulls té cadascun d’aquests paquets?
p[X  x]  0,65 → p[Z  z]  0,65 →
→ p[Z  z]  0,65 → z  0,39
z  0,39 → x  z   
 10(0,39)  1 000  996 fulls
19. Es llança 100 vegades un dau. Calcula la probabilitat d’obtenir
el número 5:
X: «nombre de vegades que surt el 5»
1
B

100, —
6
1
  np  100
—  16,6
(
6
1 5
 
√
npq 
√

100——  3,73 6
6 6
N(16,6
(
; 3,73)

217MATEMÀTIQUES 1 la
a) Menys de 18 vegades.
p[X  18,5]  p[Z  0,49]  0,6879
b) Més de 14 vegades.
p[X  13,5]  p[Z  0,85] 
 p[Z  0,85]  0,8023
c) Exactament 20 vegades.
p[19,5  X  20,5] 
 p[0,76  Z  1,03] 
 p[Z  1,03]  p[Z  0,76] 
 0,8485  0,7764  0,0721
20. El temps que es necessita perquè una ambulància arribi a
l’hora a un hospital es distribueix normalment amb una mi
tjana de 12 minuts i una desviació típica de 3 minuts.
X: «temps que necessita l’ambulància» → N(12,3)
a) Determina la probabilitat que el temps que trigui a arribar
es trobi entre 10 i 19 minuts.
p[10  X  19]  p[0,67  Z  2,33] 
 p[Z  2,33]  p[Z  0,67] 
 p[Z  2,33]  p[Z  0,67] 
 p[Z  2,33]  (1  p[Z  0,67]) 
 0,9901  (1  0,7486) 
 0,9901  0,2514  0,7387
b) Calcula el temps en minuts per al qual la probabilitat que
l’ambulància es retardi sigui del 15 %.
p[X  x]  0,15 → p[Z  z]  0,15 →
→ p[Z  z]  0,85 → z  1,04
z  1,04 → x  z   
 3(1,04)  12  8,88 minuts
21. La mitjana del pes dels habitants d’una ciutat és de 65 kg,
amb una desviació típica de 5 kg. Suposant una distribució
normal dels pesos, és zero la probabilitat que en escollir
una persona a l’atzar pesi més de 100 kg? Justiﬁca’n la res
posta.
X: «pes en kg» → N(65, 5)
p[X  100]  p[Z  7]  0. Sí, és zero.
22. Se sap que les notes d’un determinat examen segueixen una
distribució normal. El 17,5 % dels alumnes que s’han exami
nat ha obtingut una nota que supera els 7 punts, mentre que
la nota del 15,7 % no arriba als 5 punts. Calcula:
X: «notes» → N(, )
p[X  7]  0,175
p[X  5]  0,157
a) La nota mitjana de l’examen.
p[Z  z
1
]  0,175 →
→ p[Z  z
1
]  0,825 → z
1
 0,93
p[Z  z
2
]  0,157 →
→ p[Z  z
2
]  0,843 →
→ z
2
 1,01 → z
2
 1,01
7  
0,93  ———

d’on s’obté:
5  
1,01  ———
6

7  
  ———
0,93

7   5  
———  ——— →   6,04
0,93 1,01
5  
  ——— 6
1,01
b) El percentatge d’alumnes que van obtenir una nota compresa
entre 5 i 7 punts.
p[5  X  7]  p[X  7]  p[X  5] 
 1  p[X  7]  p[X  5] 
 1  0,175  0,157  0,668
23. Llancem una moneda 50 vegades. Troba la probabilitat que
el nombre de cares que obtinguem es trobi entre 12 i 16
(ambdues incloses). Utilitza:
X: «nombre de cares»
a) La distribució binomial corresponent.
1
B

50, —
2
p[12  X  16] 
 p[X  12]  p[X  13]  p[X  14]  p[X  15]  p[X  16] 
50 1 50 1


—
—
50
 
—
—
50

12 2 13 2
50 1 50 1 50 1


—
—
50
 
—
—
50
 
—
—
50

14 2 15 2 16 2
 0,00763
b) L’aproximació normal a la binomial.
1
  np  50
—  25
2
1 1
 
√
npq  √

50——  3,54
2 2
N(25; 3,54)

218 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNELA
p[11,5  X  16,5] 
 p[3,81  Z  2,4] 
 p[2,4  Z  3,81] 
 p[Z  3,81]  p[Z  2,4] 
 0,99993  0,9918  0,00813
24. Suposem una distribució normal N(50, ) en què
p[X  70]  0,0228. Determina el valor de  i calcula p[X  45].
p[X  70]  0,0228
p[Z  z]  0,0228 → p[Z  z]  0,9772 →
→ z  2
70  50 70  50
2  ———— →   ————  10
 2
N(50, 10)
p[X  45]  p[Z  0,5]  p[Z  0,5] 
 1  p[Z  0,5]  1  0,6915  0,3085
25. Dues variables aleatòries contínues X i Y segueixen una
distribució normal la mitjana de la qual és zero. A més,
p[X  2]  p[Y  3]  0,1587. Calcula’n les variàncies
corresponents.
  0 en ambdues.
p[X  2]  0,1587
p[Z  z]  0,1587 → p[Z  z]  0,8413 →
→ z  1
p[Y  3]  0,1587
2
1 
— → 
1
 2 → 
1
2
 4, de la variable X

1
3
1 
— → 
2
 3 → 
2
2
 9, de la variable Y

2
Avaluació
1. Quina diferència hi ha entre variable estadística i variable
aleatòria? Quines condicions ha de complir una distribució
perquè segueixi el model binomial?
Resposta oberta.
2. Tenim una moneda trucada de manera que la probabilitat
de treure cara és quatre vegades la de treure creu. Tirem 6
vegades la moneda. Calcula la probabilitat de:
a) Treure dues vegades creu.
b) Treure com a màxim dues vegades creu.
a) p[x 5 2] 5 0,24576
b) p[x ≤ 2] 5 0,90112
3. De 1 000 mesures de talles se’n va obtenir una mitjana de
165 cm i una desviació típica de 8 cm. Se suposa que la
distribució és normal i es demana:
a) Quantes mesures són més petites de 157 cm?
b) Quantes estan entre 167 i 181 cm?
a) 1 000·p [x ≤ 157] 5 1 000 · 0,1587 ≈ 159
b) 1 000· p[167 ≤ x ≤ 181] 5 1 000 · 0,3785 5 378
4. En un gran estadi esportiu es volen instal·lar focus per
il·luminar el camp de joc. El subministrador assegura que
el temps de vida dels focus segueix, aproximadament, una
distribució normal amb mitjana de 40 h i desviació tipus
de 4 h.
a) Escollim un focus a l’atzar. Quina és la probabilitat que
duri com a mínim 30 h?
b) Si es compren 1 500 focus, quants es pot esperar que
durin com a mínim 30 h?
c) Si es comprova que només 1 400 focus dels 1 500 com
prats duren més de 30 h, és cert el que assegura el sub
ministrador?
a) p[x ≥ 30] 5 0,9938
b) 1 500 · 0,9938 5 1 490,7. És a dir, aproximadament 1 491
focus.
c) El percentatge de focus que no funcionen desprès de 30 h és
1400
0,9333
1500
= .
Busquem a les taules de la normal quantes hores de vida
tindria una bombeta amb aquesta probabilitat:
p[z ≥ –z
o
] 5 p[z ≤ z
o
] 5 0,9333 → z
o
5 1,50 →
→
30
1,5
4
X−
=− → X5 36 hores. Per tant, la mitjana és
de 36 hores de durada i no de 40 hores, com diu el fabricant.

Solucionario mates 1 batx

About This Presentation

Slide Content

Tags

Categories

Download

Quick Actions

Statistics

Related Slideshows

Solucionario mates 1 batx

About This Presentation

Slide Content

Slide 1

Slide 2

Slide 3

Slide 4

Slide 5

Slide 6

Slide 7

Slide 8

Slide 9

Slide 10

Slide 11

Slide 12

Slide 13

Slide 14

Slide 15

Slide 16

Slide 17

Slide 18

Slide 19

Slide 20

Slide 21

Slide 22

Slide 23

Slide 24

Slide 25

Slide 26

Slide 27

Slide 28

Slide 29

Slide 30

Slide 31

Slide 32

Slide 33

Slide 34

Slide 35

Slide 36

Slide 37

Slide 38

Slide 39

Slide 40

Slide 41

Slide 42

Slide 43

Slide 44

Slide 45

Slide 46

Slide 47

Slide 48

Slide 49

Slide 50

Slide 51

Slide 52

Slide 53

Slide 54

Slide 55

Slide 56

Slide 57

Slide 58

Slide 59

Slide 60

Slide 61

Slide 62

Slide 63

Slide 64

Slide 65

Slide 66

Slide 67

Slide 68

Slide 69

Slide 70

Slide 71

Slide 72

Slide 73

Slide 74

Slide 75

Slide 76

Slide 77